Hogyan kell kiszámítani az arányokat. Egyenletrendszer felállítása

A legtöbb matematikai feladat megoldására Gimnázium Az arányok kialakításának ismerete szükséges. Ez az egyszerű készség nemcsak a teljesítményben segít nehéz gyakorlatok a tankönyvből, hanem mélyebben is a lényegbe matematikai tudomány. Hogyan készítsünk arányt? Most találjuk ki.

A legtöbb egyszerű példa olyan probléma, ahol három paraméter ismert, és a negyediket meg kell találni. Az arányok természetesen eltérőek, de gyakran százalékos számokat kell találni. Például a fiúnak összesen tíz almája volt. A negyedik részt az anyjának adta. Hány almája maradt a fiúnak? Ez a legegyszerűbb példa, amely lehetővé teszi arányok létrehozását. A fő dolog az, hogy ezt tegyük. Kezdetben tíz alma volt. Legyen 100%. Megjelöltük az összes almáját. Egynegyedét adta. 1/4=25/100. Ez azt jelenti, hogy elhagyta: 100% (eredetileg volt) - 25% (ő adta) = 75%. Ez az ábra a megmaradt gyümölcsmennyiség százalékos arányát mutatja az eredetileg rendelkezésre álló mennyiséghez képest. Most három számunk van, amivel már meg tudjuk oldani az arányt. 10 alma - 100%, x alma - 75%, ahol x a szükséges mennyiségű gyümölcs. Hogyan készítsünk arányt? Meg kell értened, mi az. Matematikailag így néz ki. Az egyenlőségjelet az Ön megértése érdekében helyezték el.

10 alma = 100%;

x alma = 75%.

Kiderül, hogy 10/x = 100%/75. Ez az arányok fő tulajdonsága. Végtére is, minél nagyobb x, annál nagyobb százaléka ennek a számnak az eredetihez képest. Megoldjuk ezt az arányt, és megállapítjuk, hogy x = 7,5 alma. Nem tudjuk, miért döntött úgy a fiú, hogy egész számot ad el. Most már tudja, hogyan kell arányt készíteni. A legfontosabb dolog az, hogy találjunk két kapcsolatot, amelyek közül az egyik az ismeretlen ismeretlent tartalmazza.

Egy arány megoldása gyakran abból adódik egyszerű szorzás, majd a felosztásra. Az iskolák nem magyarázzák el a gyerekeknek, hogy miért van ez így. Bár fontos megérteni, hogy az arányos összefüggések a matematikai klasszikusok, a tudomány lényege. Az arányok megoldásához tudni kell kezelni a törteket. Például gyakran szükséges a kamatot átváltani közönséges törtek. Vagyis a 95%-os rögzítés nem fog működni. És ha azonnal 95/100-at ír, akkor jelentős csökkentéseket hajthat végre a fő számítás megkezdése nélkül. Érdemes rögtön elmondani, hogy ha kiderül, hogy az arányod két ismeretlennel van, akkor az nem megoldható. Itt egyetlen professzor sem fog segíteni. És az Ön feladata valószínűleg több összetett algoritmus a helyes cselekedeteket.

Nézzünk egy másik példát, ahol nincsenek százalékok. Egy autós 5 liter benzint vett 150 rubelért. Arra gondolt, mennyit fizetne 30 liter üzemanyagért. A probléma megoldásához jelöljük x-szel a szükséges pénzösszeget. Ezt a problémát saját maga is megoldhatja, majd ellenőrizze a választ. Ha még nem értette, hogyan kell arányokat készíteni, akkor nézze meg. 5 liter benzin 150 rubel. Mint az első példában, 5l - 150r-t írunk le. Most keressük meg a harmadik számot. Természetesen ez 30 liter. Fogadja el, hogy ebben a helyzetben egy pár 30 l - x rubel megfelelő. Térjünk át a matematikai nyelvre.

5 liter - 150 rubel;

30 liter - x rubel;

Oldjuk meg ezt az arányt:

x = 900 rubel.

Szóval úgy döntöttünk. Feladata során ne felejtse el ellenőrizni a válasz megfelelőségét. Előfordul, hogy amikor rossz döntés az autók irreális 5000 kilométeres óránkénti sebességet érnek el és így tovább. Most már tudja, hogyan készítsen arányt. Azt is meg tudod oldani. Amint látja, ebben nincs semmi bonyolult.

Egy százalék a szám századrésze. Ez a koncepció akkor használatos, ha meg kell adnia egy rész és az egész arányát. Ezenkívül több érték is összehasonlítható százalékos arányban, de mindenképpen jelezze, hogy melyik egész számhoz viszonyítva számítja ki a százalékokat. Például a kiadások 10%-kal magasabbak a bevételeknél, vagy a vonatjegyek ára 15%-kal nőtt a tavalyi tarifákhoz képest. A 100 feletti százalékszám azt jelenti, hogy az arány nagyobb, mint az egész, ahogy az a statisztikai számításoknál gyakran előfordul.

A kamat, mint pénzügyi fogalom, a hitelfelvevő által a hitelezőnek fizetett összeg, amiért pénzt biztosít ideiglenes felhasználásra. Az üzleti életben elterjedt a „érdekből dolgozni” kifejezés. BAN BEN ebben az esetben magától értetődő, hogy a díjazás összege a nyereségtől vagy a forgalomtól függ (jutalék). Lehetetlen százalékszámítás nélkül a számvitel, az üzleti élet és a bankügyben. A számítások egyszerűsítésére egy online kamatkalkulátort fejlesztettek ki.

A számológép lehetővé teszi a következők kiszámítását:

• A beállított érték százaléka.
• Az összeg százaléka (a tényleges fizetés utáni adó).
• A különbözet ​​százaléka (áfa -tól).
• És még sok más...

Problémamegoldáskor százalékos számológéppel három értékkel kell operálni, amelyek közül az egyik ismeretlen (egy változót a megadott paraméterek alapján számítanak ki). A számítási forgatókönyvet a megadott feltételek alapján kell kiválasztani.

Példák számításokra

1. Szám százalékos arányának kiszámítása

Az 1000 rubel 25%-ának megfelelő szám megtalálásához a következőkre van szüksége:

• 1000 × 25 / 100 = 250 dörzsölje.
• Vagy 1000 × 0,25 = 250 rubel.

Számítani rá egy szokásos számológép, meg kell szoroznia 1000-et 25-tel, és meg kell nyomnia a % gombot.

2. Egy egész szám (100%) meghatározása

Tudjuk, hogy 250 rubel. egy bizonyos szám 25%-a. Hogyan kell kiszámolni?

Készítsünk egy egyszerű arányt:

• 250 dörzsölje. - 25%
• Y dörzsölje. - 100%
• Y = 250 × 100 / 25 = 1000 dörzsölje.

3. Százalék két szám között

Mondjuk 800 rubel nyereséget vártak, de 1040 rubelt kaptunk. Mennyi a többlet százaléka?

Az arány a következő lesz:

• 800 dörzsölje. - 100%
• 1040 RUB – Y%
• Y = 1040 × 100 / 800 = 130%

A profitterv túllépése 30%, azaz a teljesítés 130%.

4. A számítás nem 100%-on alapul

Például egy három részlegből álló üzlet a vásárlók 100%-át fogadja. Az élelmiszeripari osztályon - 800 fő (67%), a háztartási vegyi osztályon - 55. A vásárlók hány százaléka érkezik a háztartási vegyi osztályra?

Arány:

• 800 látogató – 67%
• 55 látogató - Y%
• Y = 55 × 67 / 800 = 4,6%

5. Hány százalékkal kisebb egy szám, mint a másik?

A termék ára 2000-ről 1200 rubelre csökkent. Hány százalékkal esett a termék ára, vagy hány százalékkal csökkent 1200 2000-nél?

• 2 000 - 100 %
• 1200 – Y%
• Y = 1200 × 100 / 2000 = 60% (60% az 1200-as számhoz 2000-ről)
• 100% − 60% = 40% (az 1200-as szám 40%-kal kisebb, mint 2000)

6. Hány százalékkal nagyobb egy szám a másiknál?

A fizetés 5000-ről 7500 rubelre emelkedett. Hány százalékkal nőtt a fizetés? Hány százalék nagyobb a 7500, mint az 5000?

• 5000 dörzsölje. - 100%
• 7500 dörzsölje. - Y %
• Y = 7500 × 100 / 5000 = 150% (számokban a 7500 az 5000 150%-a)
• 150% − 100% = 50% (a 7500-as szám 50%-kal nagyobb, mint 5000)

7. Növelje a számot egy bizonyos százalékkal

Az S termék ára 1000 rubel felett van. 27%-kal. Mennyi a termék ára?

• 1000 dörzsölje. - 100%
• S - 100% + 27%
• S = 1000 × (100 + 27) / 100 = 1270 dörzsölje.

Az online számológép jelentősen megkönnyíti a számításokat: ki kell választani a számítás típusát, be kell írni a számot és a százalékot (számítás esetén százalék- második szám), jelezze a számítás pontosságát, és adjon parancsot a műveletek megkezdéséhez.

Arány lefordítva latin nyelv(proportio) a részek arányát, egyenletességét, vagyis két reláció egyenlőségét jelenti. Az arányszámítás képessége gyakran szükséges a mindennapi helyzetekben.

Utasítás

Egy egyszerű példa, ahol alkalmaznia kell az arányok megoldásával kapcsolatos ismereteket: hogyan kell kiszámítani a 13%-át bérek- ugyanaz a kamat, amely a Nyugdíjpénztárba jár.

Írj két aránysort! Az elsőben adja meg a teljes fizetés összegét, amely 100%, azaz például 15 000 (rubel) = 100%.

Az alábbi sorban az „X” jellel jelölje a kiszámítandó összeget, amely 13%, azaz X = 13%.

Az arány fő tulajdonsága a következő: egy arány szélső tagjának szorzata egyenlő a középső tagok szorzatával. Ez azt jelenti, hogy ha 15 000-et megszorozunk 13-mal, akkor a kapott szám egyenlő lesz X értékének 100-zal szorozva. Vagyis az arány elemeit keresztben megszorozva ugyanazt az értéket kapjuk.

Annak kiszámításához, hogy X végül mennyivel egyenlő, szorozza meg 15 000-et 13-mal, és ossza el 100-zal. Azt kapja, hogy fizetésének 13 százaléka 1 950 rubel, így 15 000 - 1 950 = 13 050 rubel nettó fizetést kap.

Ha 100 gramm porcukrot kell vennie egy pitéhez, és tudja, hogy egy fazettás pohárba 140 gramm is belefér, állítsa be a következő arányt:

Számítsd ki, hogy X mivel egyenlő!

X = 100 x 1/140 = 0,7

Vagyis 0,7 csésze porcukorra lesz szüksége.

Előfordul, hogy ki kell számítania az egészet, csak a százalékos részt ismerve. Például tudja, hogy egy vállalkozásban 21 fő, ami az összes alkalmazott 5%-a, átlagosan speciális oktatás. Állítson be egy arányt a kiszámításhoz teljes alkalmazottak: X (fő) = 100%, 21 = 5%. 21 x 100 / 5 = 420 fő.

Így a rendelkezésre álló adatok két sorban történő felírása után az ismeretlen tag értékét a következőképpen kell megkeresni: szorozzuk meg egymással az arány azon tagjait, amelyek az ismeretlen mellett és felett vannak, és a kapott számot osszuk el azzal az értékkel, amely átlósan az ismeretlentől.

A = B x C / D- B = A x D / C- C = A x D / B- D = C x B / A

Matematikai szempontból az arány két arány egyenlősége. Az arány minden részére jellemző az egymásrautaltság, valamint azok változatlan eredménye. Megértheti az arány létrehozását, ha megismeri az arány tulajdonságait és képletét. Az arányok megoldásának elvének megértéséhez elegendő egy példát figyelembe venni. Csak az arányok közvetlen megoldásával lehet gyorsan és egyszerűen megtanulni ezeket a készségeket. És ez a cikk ebben segít az olvasónak.

Az arány és a képlet tulajdonságai

1. Az arány megfordítása. Abban az esetben, ha az adott egyenlőség így néz ki: 1a: 2b = 3c: 4d, írja be a 2b: 1a = 4d: 3c értéket. (És az 1a, 2b, 3c és 4d prímszámok, eltér a 0-tól).
2. Szorzás adott tagok keresztes arányok. BAN BEN szó szerinti kifejezésígy néz ki: 1a: 2b = 3c: 4d, és az 1a4d = 2b3c írása egyenértékű lesz vele. Így a munka extrém részek bármilyen arány (számok az egyenlőség élén) mindig egyenlő a termékkel középső részek (az egyenlőség közepén található számok).
3. Egy arány felállításánál hasznos lehet az a tulajdonsága is, hogy átrendezi a szélső és középső tagokat. Az 1a: 2b = 3c: 4d egyenlőség képlete a következő módokon jeleníthető meg:
   • 1a: 3c = 2b: 4d (ha az arány középső tagjai átrendeződnek).
   • 4d: 2b = 3c: 1a (ha az arány szélső tagjait átrendezzük).
4. Növekvő és csökkenő tulajdonsága tökéletesen segít az arányok megoldásában. Ha 1a: 2b = 3c: 4d, írja be:
   • (1a + 2b) : 2b = (3c + 4d) : 4d (egyenlőség növekvő arányban).
   • (1a – 2b) : 2b = (3c – 4d) : 4d (egyenlőség csökkenő arányban).
5. Arányt hozhat létre összeadással és kivonással. Ha az arány 1a:2b = 3c:4d, akkor:
   • (1a + 3c) : (2b + 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (az arányt összeadással alakítjuk ki).
   • (1a – 3c) : (2b – 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (az arányt kivonással számítjuk).
6. Szintén tört-, ill nagy számok, mindkét tagját oszthatja vagy szorozhatja ezzel ugyanaz a szám. Például a 70:40=320:60 arány összetevői a következőképpen írhatók fel: 10*(7:4=32:6).
7. Az arányok százalékos megoldásának lehetősége így néz ki. Például írja le, hogy 30=100%, 12=x. Most meg kell szoroznia a középső tagokat (12*100), és el kell osztania az ismert végletekkel (30). Így a válasz: x=40%. Hasonló módon Ha szükséges, az ismert szélső tagokat megszorozhatja és eloszthatja egy adott átlagszámmal, így megkapja a kívánt eredményt.

Ha egy konkrét arányképlet érdekel, akkor a legegyszerűbb és legelterjedtebb változatban az arány a következő egyenlőség (képlet): a/b = c/d, amelyben a, b, c és d négy nem- nulla szám.

Alkoss arányt. Ebben a cikkben az arányról szeretnék beszélni. Az arány megértése és összeállítása nagyon fontos, ez valóban megment. Ez egy kicsi és jelentéktelen „levélnek” tűnik nagy ábécé matematika, de nélküle a matematika bénára és hiányosra van ítélve.Először is hadd emlékeztesselek, mi az arány. Ez a forma egyenlősége:

ami ugyanaz (ez különböző alakú rekordok).

Példa:

Azt mondják, hogy egy a kettőhöz, mint a négy a nyolchoz. Vagyis ez két reláció egyenlősége (in ebben a példában az összefüggések numerikusak).

Az arányosság alapszabálya:

a:b=c:d

a szélső tagok szorzata egyenlő a középső tagok szorzatával

vagyis

a∙d=b∙c

*Ha egy arányban bármely érték ismeretlen, az mindig megtalálható.

Ha figyelembe vesszük a rögzítési formát, például:

akkor használhatod következő szabály„kereszt szabályának” nevezik: az átlón álló elemek (számok vagy kifejezések) szorzatának egyenlőségét írják

a∙d=b∙c

Mint láthatja, az eredmény ugyanaz.

Ha ismert a három arányelem, akkormindig találhatunk negyediket.

Pontosan ez a haszon és a szükségesség lényegearányokat a problémák megoldása során.

Nézzük meg azokat a lehetőségeket, ahol az ismeretlen x mennyiség „bárhol” található az arányban, ahol a, b, c számok:

Az x-től átlósan álló mennyiséget a tört nevezőjébe, az átlósan álló ismert mennyiségeket pedig a számlálóba szorzatként írjuk. Nem szükséges megjegyezni, akkor már mindent helyesen fog kiszámolni, ha megtanulta az arányosság alapszabályát.

Most fő kérdés, amely a cikk címéhez kapcsolódik. Mikor spórol az arány és hol használják? Például:

1. Először is, ezek a százalékokkal kapcsolatos problémák. Megnéztük őket a "" és a "" cikkekben.

2. Számos képlet arányok formájában van megadva:

>szinusztétel

> háromszög elemeinek kapcsolata

> érintő tétel

> Thalész tétele és mások.

3. Geometriai feladatoknál a feltétel gyakran megadja az oldalak (egyéb elemek) vagy a területek arányát, például 1:2, 2:3 és mások.

4. Mértékegységek átváltása, az egységek mértékegységeinek átváltására és az egyik mértékről a másikra való átváltásra használt arányokkal:

- óráktól percekig (és fordítva).

- térfogategységek, terület.

— hosszúságok, például mérföldtől kilométerre (és fordítva).

— fok radiánra (és fordítva).

itt nem nélkülözheti az arányok felvázolását.

A lényeg az, hogy helyesen kell létrehoznia a levelezést, nézzünk egyszerű példákat:

Meg kell határoznia egy számot, amely a 700 35%-a.

Százalékkal kapcsolatos feladatoknál az összehasonlítás értéket 100%-nak vesszük. Ismeretlen szám jelöljük x-szel. Hozzuk létre a levelezést:

Azt mondhatjuk, hogy hétszázharmincöt 100 százaléknak felel meg.

X 35 százaléknak felel meg. Eszközök,

700 – 100%

x – 35%

Döntsünk

Válasz: 245

Váltsunk 50 percet órákra.

Tudjuk, hogy egy óra 60 percnek felel meg. Jelöljük a levelezést -x óra 50 perc. Eszközök

1 – 60

x – 50

Mi döntünk:

Vagyis 50 perc az óra öthatoda.

Válasz: 5/6

Nikolai Petrovich 3 kilométert vezetett. Mennyi lesz mérföldben (vegyük figyelembe, hogy 1 mérföld az 1,6 km)?

Ismeretes, hogy 1 mérföld az 1,6 kilométer. Vegyük a Nyikolaj Petrovics által megtett mérföldek számát x-nek. Összeegyeztethetjük:

Egy mérföld 1,6 kilométernek felel meg.

Az X mérföld három kilométer.

1 – 1,6

x-3

Válasz: 1875 mérföld

Tudja, hogy vannak képletek a fokok radiánra való konvertálására (és fordítva). Nem írom le őket, mert szerintem felesleges megjegyezni őket, és ezért sok információt meg kell őriznie a memóriájában. A fokokat mindig átválthatja radiánra (és fordítva), ha arányt használ.

Váltsuk át a 65 fokot radián mértékegységre.

A legfontosabb dolog, amit meg kell jegyeznünk, hogy 180 fok a Pi radián.

Jelöljük a kívánt mennyiséget x-szel. Levelezést létesítünk.

Száznyolcvan fok a Pi radiánnak felel meg.

A hatvanöt fok x radiánnak felel meg. tanulmányozza a cikket ebben a témában a blogon. A benne lévő anyagot némileg másképp mutatják be, de az elv ugyanaz. Ezzel befejezem. Biztosan lesz még érdekesebb, ne hagyd ki!

Ha felidézzük a matematika definícióját, akkor ez a következő szavakat tartalmazza: a matematika kvantitatív relációkat (RELATIONS) vizsgál- Itt kulcsszó). Amint látja, a matematika definíciója magában foglalja az arányt. Általában a matematika arány nélkül nem matematika!!!

Minden jót!

Üdvözlettel, Alexander

P.S.: Hálás lennék, ha mesélne az oldalról a közösségi oldalakon.