Előadás algebra órára (9. osztály) témában: Előadás egy órára: "Alapvető trigonometrikus azonosságok. Problémamegoldás"

Ebben a cikkben átfogó pillantást vetünk rá. Alapvető trigonometrikus azonosságok olyan egyenlőségeket képviselnek, amelyek kapcsolatot létesítenek az egyik szög szinusza, koszinusza, érintője és kotangense között, és lehetővé teszik ezen trigonometrikus függvények bármelyikének megtalálását egy ismert másik szögön keresztül.

Azonnal soroljuk fel a fő trigonometrikus azonosságokat, amelyeket ebben a cikkben elemezünk. Írjuk le őket egy táblázatba, és az alábbiakban megadjuk ezeknek a képleteknek a kimenetét és a szükséges magyarázatokat.

Oldalnavigáció.

Egy szög szinusza és koszinusza közötti kapcsolat

Néha nem a fenti táblázatban felsorolt ​​fő trigonometrikus identitásokról beszélnek, hanem egyetlenegyről alapvető trigonometrikus azonosság kedves . Ennek a ténynek a magyarázata meglehetősen egyszerű: az egyenlőségeket a fő trigonometrikus azonosságból kapjuk, miután mindkét részét elosztjuk a, illetve az egyenlőségekkel. És a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definícióiból következik. Erről részletesebben a következő bekezdésekben fogunk beszélni.

Azaz az egyenlőség különösen érdekes, amely a fő trigonometrikus azonosság elnevezést kapta.

A fő trigonometrikus azonosság bizonyítása előtt megadjuk annak megfogalmazását: egy szög szinuszának és koszinuszának négyzetösszege azonos eggyel. Most pedig bizonyítsuk be.

Az alapvető trigonometrikus azonosságot nagyon gyakran használják, amikor átalakítás trigonometrikus kifejezések . Lehetővé teszi, hogy egy szög szinuszának és koszinuszának négyzetösszegét eggyel helyettesítsük. Nem kevésbé gyakran használják az alapvető trigonometrikus azonosságot fordított sorrendben: egység helyébe tetszőleges szög szinusza és koszinusza négyzetösszege kerül.

Érintő és kotangens szinuszon és koszinuszon keresztül

Az érintőt és a kotangenst egy látószög szinuszával és koszinuszával összekötő azonosságok és azonnal következik a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definícióiból. Valójában definíció szerint a szinusz az y ordinátája, a koszinusz az x abszcisszája, az érintő pedig az ordináta és az abszcissza aránya, azaz , a kotangens pedig az abszcissza és az ordináta aránya, azaz .

A személyazonosságok ilyen egyértelműségének köszönhetően és Az érintőt és a kotangenst gyakran nem az abszcissza és az ordináta arányán, hanem a szinusz és a koszinusz arányán keresztül határozzák meg. Tehát egy szög érintője ennek a szögnek a szinuszának a koszinuszhoz viszonyított aránya, a kotangens pedig a koszinusz és a szinusz aránya.

E bekezdés zárásaként meg kell jegyezni, hogy a személyazonosságok és minden olyan szögre érvényesül, amelynél a bennük szereplő trigonometrikus függvényeknek van értelme. Tehát a képlet bármely -re érvényes, kivéve (különben a nevező nulla lesz, és nem definiáltuk a nullával való osztást), és a képlet - mindenre , különbözik attól , ahol z tetszőleges .

Az érintő és a kotangens kapcsolata

Az előző kettőnél még nyilvánvalóbb trigonometrikus azonosság az alak egy szögének érintőjét és kotangensét összekötő azonosság. . Nyilvánvaló, hogy ez minden más szög esetén is megtörténik, mint , in másképp sem érintő, sem kotangens nincs definiálva.

A képlet bizonyítéka Nagyon egyszerű. Definíció szerint és honnan . A bizonyítást egy kicsit másképp is meg lehetett volna csinálni. Mivel , Azt .

Tehát ugyanannak a szögnek az érintője és kotangense, amelynél értelmet nyernek, .

Ez az utolsó és a legtöbb fő lecke, a problémák megoldásához szükséges B11. Már tudjuk, hogyan alakítsuk át a szögeket radiánmértékről fokmértékre (lásd „Radián és egy szög fokmértéke”), és azt is tudjuk, hogyan határozzuk meg az előjelet trigonometrikus függvény, a koordinátanegyedekre összpontosítva (lásd a „Trigonometrikus függvények jelei” leckét).

Már csak magának a függvénynek az értékét kell kiszámolnia - pontosan azt a számot, amely a válaszban szerepel. Itt jön a segítség az alapvető trigonometrikus azonosság.

Alapvető trigonometrikus azonosság. Bármely α szögre igaz a következő állítás:

sin 2 α + cos 2 α = 1.

Ez a képlet egy szög szinuszát és koszinuszát viszonyítja. Most már a szinusz ismeretében könnyen megtalálhatjuk a koszinust – és fordítva. Elég a négyzetgyököt venni:

Vegye figyelembe a "±" jelet a gyökerek előtt. A helyzet az, hogy az alapvető trigonometrikus azonosságból nem derül ki, hogy mi volt az eredeti szinusz és koszinusz: pozitív vagy negatív. Végül is a négyzetesítés - páros funkció, ami minden hátrányt „éget” (ha volt ilyen).

Éppen ezért minden B11 feladatban, amely a matematika egységes államvizsgájában található, szükségszerűen vannak további feltételek, amelyek segítenek megszabadulni a bizonytalanságtól az előjelekkel. Általában ez a koordinátanegyed jelzése, amely alapján az előjel meghatározható.

Egy figyelmes olvasó valószínűleg megkérdezi: „Mi a helyzet az érintővel és a kotangenssel?” Ezeket a függvényeket nem lehet közvetlenül kiszámítani a fenti képletekből. Az alapvető trigonometrikus azonosságnak azonban vannak fontos következményei, amelyek már érintőket és kotangenseket is tartalmaznak. Ugyanis:

Egy fontos következmény: bármely α szögre átírhatjuk az alapvető trigonometrikus azonosságot a következő módon:

Ezek az egyenletek könnyen származtathatók a fő azonosságból - elegendő mindkét oldalt cos 2 α-val (az érintő meghatározásához) vagy sin 2 α-val (a kotangenshez) osztani.

Nézzük meg mindezt konkrét példák. Az alábbiakban bemutatjuk a valódi B11-problémákat, amelyek a álproblémákból származnak Egységes államvizsga lehetőségek matematikából 2012.

Ismerjük a koszinuszát, de a szinuszát nem. A fő trigonometrikus identitás (a maga „tiszta” formájában) éppen ezeket a függvényeket kapcsolja össze, így ezzel fogunk dolgozni. Nekünk van:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0,1.

A probléma megoldásához meg kell találni a szinusz jelét. Mivel az α ∈ szög (π /2; π ), ezért fokmértékben a következőképpen írjuk: α ∈ (90°; 180°).

Ezért az α szög a II koordinátanegyed- minden szinusz pozitív. Ezért sin α = 0,1.

Tehát ismerjük a szinuszát, de meg kell találnunk a koszinuszát. Mindkét függvény az alapvető trigonometrikus azonosságban található. Cseréljük:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0,5.

Marad a tört előtti jel kezelése. Mit válasszunk: plusz vagy mínusz? Feltétel szerint az α szög a (π 3π /2) intervallumhoz tartozik. Váltsuk át a szögeket radiánmértékekből fokokra - kapjuk: α ∈ (180°; 270°).

Nyilvánvalóan ez a III. koordinátanegyed, ahol minden koszinusz negatív. Ezért cos α = −0,5.

Feladat. Keresse meg a tan α értéket, ha a következők ismertek:

Az érintő és a koszinusz az alapvető trigonometrikus azonosságból következő egyenlettel van kapcsolatban:

Kapjuk: tan α = ±3. Az érintő előjelét az α szög határozza meg. Ismeretes, hogy α ∈ (3π /2; 2π ). Váltsuk át a szögeket radiánmértékekből fokokra - α ∈ (270°; 360°) kapjuk.

Nyilvánvalóan ez a IV koordinátanegyed, ahol minden érintő negatív. Ezért tan α = −3.

Feladat. Keresse meg a cos α értéket, ha a következők ismertek:

A szinusz ismét ismert, a koszinusz pedig ismeretlen. Írjuk fel a fő trigonometrikus azonosságot:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ±0,6.

Az előjelet a szög határozza meg. Van: α ∈ (3π /2; 2π ). Váltsuk át a szögeket ebből fokmérő radiánhoz: α ∈ (270°; 360°) a IV koordinátanegyed, az ottani koszinuszok pozitívak. Ezért cos α = 0,6.

Feladat. Keresse meg a sin α-t, ha a következők ismertek:

Írjunk fel egy olyan képletet, amely az alapvető trigonometrikus azonosságból következik, és közvetlenül összekapcsolja a szinust és a kotangenst:

Innen azt kapjuk, hogy sin 2 α = 1/25, azaz. sin α = ±1/5 = ±0,2. Ismeretes, hogy az α ∈ szög (0; π /2). Fokmértékben ezt a következőképpen írjuk: α ∈ (0°; 90°) - I koordináta negyed.

Tehát a szög az I koordináta kvadránsban van - ott minden trigonometrikus függvény pozitív, tehát sin α = 0,2.

Trigonometrikus függvények- A "bűn" kérés ide kerül átirányításra; lásd még más jelentéseket is. A "sec" kérés ide kerül átirányításra; lásd még más jelentéseket is. A "Sine" kérés ide kerül átirányításra; lásd még más jelentéseket is... Wikipédia

Cser

Rizs. 1 A trigonometrikus függvények grafikonjai: szinusz, koszinusz, érintő, szekáns, koszekáns, kotangens Trigonometrikus függvények nézete elemi függvények. Jellemzően ezek a szinusz (sin x), koszinusz (cos x), érintő (tg x), kotangens (ctg x), ... ... Wikipédia

Koszinusz- Rizs. 1 Trigonometrikus függvények grafikonjai: szinusz, koszinusz, érintő, szekáns, koszekáns, kotangens A trigonometrikus függvények az elemi függvények egy fajtája. Jellemzően ezek a szinusz (sin x), koszinusz (cos x), érintő (tg x), kotangens (ctg x), ... ... Wikipédia

Kotangens- Rizs. 1 Trigonometrikus függvények grafikonjai: szinusz, koszinusz, érintő, szekáns, koszekáns, kotangens A trigonometrikus függvények az elemi függvények egy fajtája. Jellemzően ezek a szinusz (sin x), koszinusz (cos x), érintő (tg x), kotangens (ctg x), ... ... Wikipédia

Metsző- Rizs. 1 Trigonometrikus függvények grafikonjai: szinusz, koszinusz, érintő, szekáns, koszekáns, kotangens A trigonometrikus függvények az elemi függvények egy fajtája. Jellemzően ezek a szinusz (sin x), koszinusz (cos x), érintő (tg x), kotangens (ctg x), ... ... Wikipédia

A trigonometria története- Geodéziai mérések (XVII. század) ... Wikipédia

Félszög képlet érintője- A trigonometriában érintőképlet félszög a félszög érintőjét a trigonometrikus függvényekhez viszonyítja teljes szögben: Ennek a képletnek különböző változatai a következők... Wikipédia

Trigonometria- (a görög τρίγονο (háromszög) és a görög μετρειν (mérték, azaz háromszögek mérése) szóból a matematika olyan ága, amelyben a trigonometrikus függvényeket és azok geometriára való alkalmazását tanulmányozzák. Ezt a kifejezést először 1595-ben jelent meg... ... Wikipédia néven

Háromszögek megoldása- (lat. solutio triangulorum) történelmi kifejezés, vagyis a megoldás a fő trigonometrikus probléma: a háromszögről ismert adatok (oldalak, szögek stb.) felhasználásával keresse meg a háromszög fennmaradó jellemzőit. A háromszög a... ... Wikipédián található

Könyvek

• Állítsa be a táblázatokat. Az algebra és az elemzés kezdetei. 10-es fokozat. 17 táblázat + módszertan, . A táblázatok vastag, 680 x 980 mm méretű nyomtatott kartonra vannak nyomtatva. A készlet tartalmaz egy prospektust módszertani ajánlások a tanár számára. 17 lapos oktatóalbum... Vásárlás 3944 RUR-ért
• Tables of Integrals and Other Mathematical Formulas, Dwight G.B. A híres kézikönyv tizedik kiadása egy nagyon részletes táblázatok bizonytalan és határozott integrálok, és nagy szám mások matematikai képletek: sorozat bővítések,...

A prezentáció előnézetének használatához hozzon létre egy Google-fiókot, és jelentkezzen be: https://accounts.google.com

Diafeliratok:

Legyen egyeseknek kedves az angol, Valakinek fontos a kémia, Matematika nélkül mindannyiunknak De se itt, se ott Nekünk az egyenletek olyanok, mint a versek És a szinuszok támogatják a lelkünket Nekünk a koszinusz olyan, mint a dal, És a trigonometria képletei Simogatás a fülünk!

Óra témája: „Alapvető trigonometrikus azonosságok. Problémamegoldás." Ismerje: Legyen képes: Az óra célja:

TUDOM! MEG TUDOM CSINÁLNI! ÉN DÖNTEM! én

Hogy hívják egységkör? x y α R

Melyek az egységnyi sugár forgásirányai? x y α R

Milyen mértékegységekben mérik az egységnyi sugár elfordulási szögét? x y α R

Mekkora egy radián szöge? Körülbelül hány fokot tartalmaz egy radián szög? x y α R

Fogalmazza meg a szög fokmértékéből radiánmértékre és fordítva való átváltás szabályait.

Fogalmazza meg a szög fokmértékéből radiánmértékre és fordítva való átváltás szabályait. 30 0 π 45 0 π 2 2 π

Milyen trigonometrikus függvényeket ismer?

Milyen trigonometrikus függvényeket ismer? Mi határozza meg a trigonometrikus függvények jelentését?

Melyik negyedszög az α szög, ha: α =15° α =190° α =100°

Melyik negyedszög az α szög, ha: α =-20° α = -110° α =289°

Csoportmunka A csoportos munka szabályai: A csoport közösen tárgyal és dönt, ötleteket terjeszt elő vagy cáfolja azokat. Minden csoporttagnak a legjobb tudása szerint kell dolgoznia. Munka közben bánjon tisztelettel kollégáival: fogadjon el vagy utasítson el egy ötletet, tegye azt udvariasan. Ne feledje, hogy mindenkinek joga van hibázni. Ne feledje, hogy a csoport sikere attól függ, hogy mindenki mennyire mutatja meg erősségeit.

Csoportmunka

0° 30° 45° 60° 90° sin költség tg ctg 0 1 1 0 0 1 - - 1 0 A trigonometrikus függvényértékek táblázata

1 A 2 B 3 C 4 D 5 E 6 H 7 - K 8 L 9 -ig és M 10 -ig és N 1 - cos 2 α 1-sin 2 α sin 2 α Értékelési szempontok: 10 feladat - „5” osztályzat. 8-9 feladat – „4” pont. 5-7 feladat – pont „3”. 1-4 feladat – „2” pont. Hozzon létre megfelelést a bal és a között jobb oldal identitások.

1 M 2 L 3 N 4 E 5 B 6 C 7 -tól A 8 -ig K 9 -ig és H 10 -ig és D 1 - cos 2 α 1-sin 2 α sin 2 α Értékelési szempontok: 10 feladat - „5” osztályzat. 8-9 feladat – „4” pont. 5-7 feladat – pont „3”. 1-4 feladat – „2” pont. Hozzon létre megfeleltetést az identitás bal és jobb oldala között.

Alapvető trigonometrikus azonosság "trigonometrikus egység"

Alapvető trigonometrikus azonosság „trigonometrikus egység” koszinusz négyzet Nagyon örülök. Sine Square testvér eljön hozzá! Amikor találkoznak, Circle meg fog lepődni: Ki fog derülni egész család, Ez egy!

1. 3 sin 2 α + 3 cos 2 α 2. (1 – cos α)(1 + cos α) α =90°-nál 3. 1- sin 2 40 0 ​​​​4 5. tg α∙ ctg α 6. ( ctg 2 α + 1) (1 – sin 2 α) 7. tg α∙ ctg α -1 8. cos 2 α + ctg 2 α + sin 2 α és s t P 1 cos 2 40° 3 ctg 2 α 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Keresse meg annak a matematikusnak a nevét, akinek könyvében először szerepel a „trigonometria” kifejezés. 1 2 3 4 5 6 7 8 P i t i c k u s 2-2 cos (-60 0)

Pitiscus

Al-Batuni Al-Khwarizmi

Bhaskara Nasireddin Tusi

Leonard Euler

Által érték beállítása trigonometrikus függvény, keresse meg egy másik függvény értékét Negyed Adott: Keresse: Megoldás: I sinα= 0,6 II cosα= sinα III tgα= ctgα IV cosα= tgα

Adott a trigonometrikus függvény értéke, keresse meg egy másik függvény értékét Negyed Adott: Keresse: Megoldás: I sinα= 0,6

Adott a trigonometrikus függvény értéke, keresse meg egy másik függvény értékét Negyed Adott: Keresse: Megoldás: II cosα= sinα = =

Adott a trigonometrikus függvény értéke, keresse meg egy másik függvény értékét Negyed Adott: Keresse: Megoldás: III tgα= ctgα ctgα = = =

Adott a trigonometrikus függvény értéke, keresse meg egy másik függvény értékét Negyed Adott: Keresse: Megoldás: IV cosα = tgα tgα = = = = = =

A trigonometria alkalmazása az emberi életben.

Házi feladat Üzenet: „Trigonometria az emberi életben” 304. szám 111. o

y=sinx Köszönöm a leckét!

1 sin 240° 8 cos 290° 2 tg 98° 9 tg(-120°) 3 sin 70° 10 sin 4 ctg 200° 11 cos 5 cos 113° 12 cos 6 sin (- 140°) 13 sin 7 cos 300 °) 14 tg Határozza meg a kifejezés előjelét - - - - - - + + + + + + + +

A témában: módszertani fejlesztések, előadások és jegyzetek

Az előadás megoldásokat mutat be kulcsfontosságú feladatokat iskolai tanfolyam matematika minden típusú távolság és szög megtalálásához a térben egy algoritmus segítségével, amely lehetővé teszi, hogy mind a...

Prezentáció a leckéhez: "Síkok közötti szög. A feladat megoldása különféle módszerekkel"

Ez az előadás használható az áttekinthetőség érdekében a lektori órákon, az egységes államvizsgára való felkészüléshez a C-2 típusú feladatok megoldásánál....