Miért van szükség irracionális egyenletekre? Megszabadulni az irracionálistól

Válasz: x = 3.

8 módszer. A derivált alkalmazása irracionális egyenletek megoldásában

Az egyenletek derivált módszerrel történő megoldására a legáltalánosabb módszer a becslési módszer.

15. PÉLDA:

Oldd meg az egyenletet: (1)

Megoldás: Mivel https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29">, vagy (2). Tekintsük a függvényt ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> egyáltalán, ezért növekszik. Ezért az egyenlet ekvivalens egy olyan egyenlettel, amelynek gyöke az eredeti egyenlet gyöke.

Válasz:

16. PÉLDA:

Oldja meg az irracionális egyenletet:

Egy függvény definíciós tartománya egy szegmens. Találjuk meg a legnagyobb és legkisebb érték ennek a függvénynek az értékei az intervallumon. Ehhez megkeressük a függvény deriváltját f(x): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. Keressük meg a függvény értékeit f(x) a szegmens végén és a ponton: Tehát, de és ezért az egyenlőség csak akkor lehetséges, ha https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height= "19 src=" > Az ellenőrzés azt mutatja, hogy a 3-as szám az egyenlet gyökere.

Válasz: x = 3.

9 módszer. Funkcionális

A vizsgákon néha olyan egyenletek megoldására kérnek, amelyek a következő alakban írhatók fel, ahol egy függvény.

Például néhány egyenlet: 1) 2) . Valóban, az első esetben , a második esetben . Ezért oldja meg az irracionális egyenleteket a segítségével következő kijelentés: ha a funkció szigorúan növekszik a készüléken xés bármelyik esetén az egyenletek stb. egyenértékűek a halmazon x .

Oldja meg az irracionális egyenletet: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> szigorúan nő a készleten R,és https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > aminek egyetlen gyöke van, ezért a vele egyenértékű (1) egyenletnek is egyetlen gyöke van

Válasz: x = 3.

18. PÉLDA:

Oldja meg az irracionális egyenletet: (1)

Definíció szerint négyzetgyök azt találjuk, hogy ha az (1) egyenletnek gyökerei vannak, akkor azok a DIV_ADBLOCK166"> halmazhoz tartoznak

. (2)

Fontolja meg, hogy a https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> függvény szigorúan növekszik ezen a halmazon bármely ..gif" width="100" esetén magasság ="41">, amelynek egyetlen gyöke van tehát, és megfelelője a halmazon x az (1) egyenletnek egyetlen gyöke van

Válasz: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

Megoldás: Ez az egyenlet egy vegyes rendszerrel ekvivalens

Irracionális egyenletek megoldása.

Ebben a cikkben a megoldásokról fogunk beszélni legegyszerűbb irracionális egyenletek.

Irracionális egyenlet egy olyan egyenlet, amely a gyökérjel alatt egy ismeretlent tartalmaz.

Nézzünk két típust irracionális egyenletek, amelyek első ránézésre nagyon hasonlóak, de lényegükben nagyon különböznek egymástól.

(1)

(2)

Az első egyenletben látjuk, hogy az ismeretlen a harmadfokú gyökér jegye alatt áll. Negatív szám páratlan gyökerét vehetjük fel, így ebben az egyenletben nincs korlátozás sem a gyökjel alatti kifejezésre, sem az egyenlet jobb oldalán lévő kifejezésre. Az egyenlet mindkét oldalát felemelhetjük a harmadik hatványra, hogy megszabaduljunk a gyöktől. Egy ekvivalens egyenletet kapunk:

Amikor az egyenlet jobb és bal oldalát befelé emeljük páratlan fokozat nem kell attól tartanunk, hogy idegen gyökereket szerezzünk.

1. példa. Oldjuk meg az egyenletet

Emeljük fel az egyenlet mindkét oldalát a harmadik hatványra. Egy ekvivalens egyenletet kapunk:

Vigyük át az összes kifejezést egy oldalra, és tegyük x-et a zárójelbe:

Ha minden tényezőt nullával egyenlővé teszünk, a következőt kapjuk:

Válasz: (0;1;2)

Nézzük meg közelebbről a második egyenletet: . Az egyenlet bal oldalán található a négyzetgyök, amely csak nem negatív értékeket vesz fel. Ezért, hogy az egyenletnek legyenek megoldásai, jobb rész szintén nem negatívnak kell lennie. Ezért a feltétel az egyenlet jobb oldalán található:

Title="g(x)>=0"> - это !} feltétele a gyökerek létezésének.

Egy ilyen típusú egyenlet megoldásához az egyenlet mindkét oldalát négyzetre kell emelni:

(3)

A négyzetre emelés idegen gyökerek megjelenéséhez vezethet, ezért szükségünk van az egyenletekre:

Title="f(x)>=0"> (4)!}

A (4) egyenlőtlenség azonban a (3) feltételből következik: ha az egyenlőség jobb oldala tartalmazza valamilyen kifejezés négyzetét, és bármely kifejezés négyzete csak nem negatív értékeket vehet fel, ezért a bal oldalnak is nem-negatívnak kell lennie. negatív. Ezért a (4) feltétel automatikusan következik a (3) és a mi feltételünkből az egyenlet egyenértékű a rendszerrel:

Title="delim(lbrace)(mátrix(2)(1)((f(x)=g^2((x))) (g(x)>=0) ))( )">!}

2. példa Oldjuk meg az egyenletet:

.

Térjünk át egy ekvivalens rendszerre:

Title="delim(lbrace)(mátrix(2)(1)((2x^2-7x+5=((1-x))^2) (1-x>=0) ))( )">!}

Oldjuk meg a rendszer első egyenletét, és nézzük meg, mely gyökök elégítik ki az egyenlőtlenséget.

Inequality title="1-x>=0">удовлетворяет только корень !}

Válasz: x=1

Figyelem! Ha a megoldás során az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeljük, akkor emlékeznünk kell arra, hogy idegen gyökök jelenhetnek meg. Ezért vagy át kell térnie egy ekvivalens rendszerre, vagy a megoldás végén ELLENŐRIZNI: keresse meg a gyököket, és helyettesítse be őket az eredeti egyenletbe.

3. példa. Oldjuk meg az egyenletet:

Az egyenlet megoldásához mindkét oldalt négyzetre kell emelnünk. Ne foglalkozzunk az ODZ-vel és a gyökök létezésének feltételével ebben az egyenletben, hanem egyszerűen ellenőrizzük a megoldás végén.

Tegyük négyzetre az egyenlet mindkét oldalát:

Mozgassuk a gyökért tartalmazó kifejezést balra, az összes többi kifejezést pedig jobbra:

Nézzük ismét négyzetre az egyenlet mindkét oldalát:

Vieta témája szerint:

Csináljunk egy ellenőrzést. Ehhez a talált gyököket behelyettesítjük az eredeti egyenletbe. Nyilvánvaló, hogy -nél az eredeti egyenlet jobb oldala negatív, a bal oldala pedig pozitív.

Amikor megkapjuk igazi egyenlőség.

A cikk anyagának első része az irracionális egyenletek gondolatát alkotja. Tanulmányozása után könnyen meg tudja majd különböztetni az irracionális egyenleteket a más típusú egyenletektől. A második rész részletesen megvizsgálja az irracionális egyenletek megoldásának főbb módszereit, és részletes megoldásokat kínál Hatalmas mennyiségű tipikus példák. Ha elsajátítja ezeket az információkat, szinte biztosan megbirkózik az iskolai matematika kurzusából származó szinte bármilyen irracionális egyenlettel. Sok sikert az ismeretszerzéshez!

Mik azok az irracionális egyenletek?

Először tisztázzuk, mik az irracionális egyenletek. Ehhez megtaláljuk a megfelelő meghatározásokat az Orosz Föderáció Oktatási és Tudományos Minisztériuma által ajánlott tankönyvekben.

Az irracionális egyenletekről és megoldásukról részletes beszélgetés folyik az algebra órákon, és a középiskolában elkezdődött az elemzés. Néhány szerző azonban már korábban bemutatta az ilyen típusú egyenleteket. Például azok, akik Mordkovich A. G. tankönyvei alapján tanulnak, már a 8. osztályban megismerkednek az irracionális egyenletekkel: a tankönyvben az áll, hogy

Vannak példák irracionális egyenletekre is, , , stb. Nyilvánvaló, hogy a fenti egyenletek mindegyike tartalmaz egy x változót a négyzetgyök jele alatt, ami azt jelenti, hogy a fenti definíció szerint ezek az egyenletek irracionálisak. Itt azonnal megvitatjuk a megoldásuk egyik fő módszerét -. De a megoldási módszerekről egy kicsit lejjebb fogunk beszélni, de most más tankönyvekből adjuk meg az irracionális egyenletek definícióit.

A. N. Kolmogorov és Yu M. Kolyagin tankönyveiben.

Meghatározás

irracionális olyan egyenletek, amelyekben egy változó a gyökérjel alatt található.

Figyeljünk az alapvető különbségre ezt a meghatározást az előzőtől: egyszerűen a gyökért mondja, nem a négyzetgyököt, vagyis nincs megadva a gyökér foka, amely alatt a változó található. Ez azt jelenti, hogy a gyök nemcsak négyzetgyök lehet, hanem harmadik, negyedik stb. fokon. Így az utolsó definíció egy szélesebb egyenletkészletet ad meg.

Felmerül a természetes kérdés: miért kezdjük el használni az irracionális egyenletek e tágabb meghatározását a középiskolában? Minden érthető és egyszerű: amikor 8. osztályban megismerkedünk az irracionális egyenletekkel, csak a négyzetgyököt ismerjük jól, a kockagyökről, negyedik gyökről vagy többről nem. magas fokok még nem tudjuk. A középiskolában pedig általánosítják a gyök fogalmát, megismerjük a -t, és amikor irracionális egyenletekről beszélünk, már nem szorítkozunk a négyzetgyökre, hanem egy tetszőleges fok gyökére gondolunk.

Az érthetőség kedvéért bemutatunk néhány példát az irracionális egyenletekre. - itt az x változó a kockagyökjel alatt található, tehát ez az egyenlet irracionális. Egy másik példa: - itt az x változó mind a négyzetgyök, mind a negyedik gyök előjele alatt van, vagyis ez is irracionális egyenlet. Itt van még néhány példa az irracionális egyenletekre összetett típus: És .

A fenti definíciók lehetővé teszik számunkra, hogy megjegyezzük, hogy bármely irracionális egyenlet jelölésében vannak a gyökök jelei. Az is világos, hogy ha a gyökereknek nincsenek jelei, akkor az egyenlet nem irracionális. Azonban nem minden gyökjelet tartalmazó egyenlet irracionális. Valójában egy irracionális egyenletben a gyökjel alatt változónak kell lennie, ha a gyökjel alatt nincs változó, akkor az egyenlet nem irracionális. Szemléltetésképpen példákat adunk olyan egyenletekre, amelyek gyököket tartalmaznak, de nem irracionálisak. Egyenletek És nem irracionálisak, mivel nem tartalmaznak változókat a gyökjel alatt - a gyökök alatt vannak számok, de a gyökjelek alatt nincsenek változók, ezért ezek az egyenletek nem irracionálisak.

Érdemes megemlíteni azon változók számát, amelyek részt vehetnek az irracionális egyenletek írásában. Az összes fenti irracionális egyenlet egyetlen x változót tartalmaz, azaz egy változós egyenlet. Azonban semmi sem akadályoz meg bennünket abban, hogy irracionális egyenleteket vegyünk figyelembe kettővel, hárommal stb. változók. Adjunk példát két változós irracionális egyenletre és három változóval.

Ne feledje, hogy az iskolában főként egy változós irracionális egyenletekkel kell dolgozni. A többváltozós irracionális egyenletek sokkal ritkábban fordulnak elő. Megtalálhatók a kompozícióban, mint például a „oldja meg az egyenletrendszert” feladatban "vagy mondjuk mikor algebrai leírás geometriai objektumok, tehát az egyenletnek egy 3 egység sugarú, origó középpontú félkör, amely a felső félsíkban fekszik.

Az „irracionális egyenletek” részben az egyesített államvizsgára való felkészüléshez szükséges egyes feladatgyűjtemények olyan feladatokat tartalmaznak, amelyekben a változó nem csak a gyökérjel alatt van, hanem más függvény előjele alatt is, például modulus, logaritmus stb. . Íme egy példa , a könyvből, de itt - a gyűjteményből. Az első példában az x változó a logaritmikus előjel alatt van, és a logaritmus is a gyökjel alatt van, vagyis van úgymond irracionális logaritmikus (vagy logaritmikus irracionális) egyenletünk. A második példában a változó a modulus jele alatt van, és a modulus is a gyökérjel alatt van, az Ön engedélyével irracionális egyenletnek nevezzük.

Az ilyen típusú egyenleteket irracionálisnak kell tekinteni? Jó kérdés. Úgy tűnik, hogy van egy változó a gyökér jele alatt, de zavaró, hogy nincs a " tiszta forma", és egy vagy több függvény jele alatt. Más szóval, úgy tűnik, nincs ellentmondás annak, ahogyan a fenti irracionális egyenleteket definiáltuk, de van bizonyos fokú bizonytalanság más függvények jelenléte miatt. A mi szempontunkból nem szabad fanatikusnak lenni azzal kapcsolatban, hogy „az ásót jó néven nevezzük”. A gyakorlatban elég egyszerűen kimondani az „egyenletet”, anélkül, hogy megadnánk, hogy milyen típusról van szó. És mindezek a kiegészítések „irracionális”, „logaritmikus” stb. leginkább az anyagok bemutatásának és csoportosításának kényelmét szolgálják.

Az utolsó bekezdésben található információk fényében érdekes az A. G. Mordkovich által a 11. évfolyamra írt tankönyvben szereplő irracionális egyenletek meghatározása.

Meghatározás

Irracionális olyan egyenletek, amelyekben a változó gyökjel vagy törthatványra emelés jele alatt található.

Itt a gyökjelű változót tartalmazó egyenletek mellett a törthatványra emelés jele alatt álló változókat is irracionálisnak tekintjük. Például e meghatározás szerint az egyenlet irracionálisnak tekinthető. Miért hirtelen? Az irracionális egyenletekben már megszoktuk a gyökereket, de itt nem gyökről, hanem fokról van szó, és ezt az egyenletet inkább neveznéd például hatványegyenletnek, nem pedig irracionálisnak? Minden egyszerű: a gyökökön keresztül határozható meg, és az x változóra adott egyenlethez (feltéve, hogy x 2 +2·x≥0) átírható a gyök segítségével, mint , az utolsó egyenlőség pedig egy ismerős irracionális egyenlet, melynek gyökjele alatt van egy változó. Igen, és módszerek az egyenletek megoldására változókkal az alapban törthatványok teljesen megegyezik az irracionális egyenletek megoldási módszereivel (a következő bekezdésben lesz szó). Ezért célszerű irracionálisnak nevezni őket, és ennek fényében tekinteni. De legyünk őszinték magunkhoz: kezdetben egy egyenlet áll előttünk, nem , és a nyelv nem nagyon hajlandó az eredeti egyenletet irracionálisnak nevezni, mivel a jelölésben nincs gyök. Ugyanez a technika lehetővé teszi számunkra, hogy elkerüljük az ilyen vitákat a terminológiával kapcsolatban: nevezzük az egyenletet egyszerűen egyenletnek, különösebb magyarázat nélkül.

A legegyszerűbb irracionális egyenletek

Érdemes elmondani az ún legegyszerűbb irracionális egyenletek. Tegyük fel azonnal, hogy ez a kifejezés nem jelenik meg az algebra és az elemi elemzés főbb tankönyveiben, de néha megtalálható a problémakönyvekben és a képzési kézikönyvekben, mint például a. Nem szabad általánosan elfogadottnak tekinteni, de nem árt tudni, mit szoktak érteni a legegyszerűbb irracionális egyenletek alatt. Általában így nevezik az alak irracionális egyenleteit , ahol f(x) és g(x) néhány . Ennek fényében a legegyszerűbb irracionális egyenletet nevezhetjük például a vagy egyenletnek .

Hogyan magyarázható egy ilyen név „a legegyszerűbb irracionális egyenletek” megjelenése? Például azért, mert az irracionális egyenletek megoldásához gyakran szükséges azok kezdeti formára való redukálása és bármilyen standard megoldási módszer további alkalmazása. Az ilyen formájú irracionális egyenleteket a legegyszerűbbnek nevezzük.

Irracionális egyenletek megoldásának alapvető módszerei

A gyökér meghatározása szerint

Az irracionális egyenletek megoldásának egyik módszere azon alapul. Segítségével általában a legegyszerűbb formájú irracionális egyenleteket oldják meg , ahol f(x) és g(x) néhány racionális kifejezések(ben adtuk meg a legegyszerűbb irracionális egyenletek definícióját). A forma irracionális egyenleteit hasonló módon oldják meg , de amelyben f(x) és/vagy g(x) nem racionális kifejezés. Sok esetben azonban kényelmesebb az ilyen egyenleteket más módszerekkel megoldani, amelyekről a következő bekezdésekben lesz szó.

Az anyag bemutatásának kényelme érdekében páros gyökkitevőjű irracionális egyenleteket különítünk el, vagyis az egyenleteket , 2·k=2, 4, 6, … , páratlan gyökkitevőjű egyenletekből , 2 k+1=3, 5, 7, … Rögtön vázoljuk a megoldási módokat:

A fenti megközelítések közvetlenül következnek És .

Így, irracionális egyenletek megoldásának módszere a gyökér meghatározása szerint a következő:

A gyök definíciója szerint a legegyszerűbb irracionális egyenleteket a legkényelmesebb a jobb oldalon lévő számokkal megoldani, vagyis a formájú egyenleteket, ahol C egy bizonyos szám. Ha az egyenlet jobb oldalán szám van, akkor még ha a gyökkitevő páros is, nem kell a rendszerbe lépni: ha C – nem negatív szám, akkor a páros fokú gyök definíciója alapján, és ha C negatív szám, akkor azonnal levonhatjuk azt a következtetést, hogy az egyenletnek nincs gyöke, mert definíció szerint a páros fokú gyök nemnegatív szám , ami azt jelenti, hogy az egyenlet nem válik a megfelelővé számszerű egyenlőség ha az x változónak nincs valós értéke.

Térjünk át a tipikus példák megoldására.

Az egyszerűtől a bonyolult felé haladunk. Kezdjük azzal, hogy megoldjuk a legegyszerűbb irracionális egyenletet, amelynek bal oldalán páros fok gyöke, jobb oldalán pedig pozitív szám található, azaz egy formájú egyenlet megoldásával, ahol C pozitív szám. A gyök meghatározása lehetővé teszi, hogy egy adott irracionális egyenlet megoldásáról egy egyszerűbb, gyök nélküli egyenlet megoldására térjünk át С 2·k =f(x) .

A jobb oldalon nullát tartalmazó legegyszerűbb irracionális egyenleteket is hasonló módon, gyök definiálásával oldjuk meg.

Foglalkozzunk külön az irracionális egyenletekkel, amelyek bal oldalán páros fok gyöke van, előjele alatt változóval, jobb oldalán pedig negatív szám. Az ilyen egyenleteknek nincs megoldásuk a valós számok halmazán (kb összetett gyökerek a találkozás után beszélünk komplex számok ). Ez elég nyilvánvaló: a páros gyök definíció szerint nem negatív szám, ami azt jelenti, hogy nem lehet egyenlő negatív számmal.

Az előző példákban szereplő irracionális egyenletek bal oldala páros hatványok gyöke volt, a jobb oldala pedig számok. Most nézzünk példákat változókkal a jobb oldalon, vagyis megoldjuk a forma irracionális egyenleteit . Megoldásukra a gyökér meghatározásával átmenet történik a rendszerbe , amelynek ugyanaz a megoldáskészlete, mint az eredeti egyenletnek.

Szem előtt kell tartani, hogy a rendszer , melynek megoldására az eredeti irracionális egyenlet megoldása redukálódik , nem mechanikusan, hanem lehetőség szerint racionálisan célszerű megoldani. Egyértelmű, hogy ez további kérdés a témából" rendszerek megoldása“, de mégis felsorolunk három gyakran előforduló helyzetet, példákkal illusztrálva ezeket:

1. Például, ha a g 2·k (x)=f(x) első egyenletének nincs megoldása, akkor nincs értelme a g(x)≥0 egyenlőtlenséget megoldani, mert a megoldások hiányából az egyenletre. arra a következtetésre jut, hogy a rendszernek nincs megoldása.

1. Hasonlóképpen, ha a g(x)≥0 egyenlőtlenségnek nincs megoldása, akkor nem szükséges megoldani a g 2·k (x)=f(x) egyenletet, mert e nélkül is egyértelmű, hogy ebben az esetben a rendszer nincsenek megoldásai.

1. Gyakran előfordul, hogy a g(x)≥0 egyenlőtlenséget egyáltalán nem oldjuk meg, csak azt ellenőrizzük, hogy a g 2·k (x)=f(x) egyenletnek melyik gyöke elégíti ki azt. Mindazok halmaza, amelyek kielégítik az egyenlőtlenséget, a rendszer megoldása, ami azt jelenti, hogy megoldása a vele egyenértékű eredeti irracionális egyenletnek is.

Elég a gyökök páros kitevőjű egyenleteiről. Ideje figyelni az irracionális egyenletekre, amelyekben az alakzat páratlan hatványainak gyökerei vannak . Ahogy már mondtuk, ezek megoldásához áttérünk az ekvivalens egyenletre , amely bármilyen rendelkezésre álló módszerrel megoldható.

Ennek a pontnak a befejezéseként említsük meg megoldások ellenőrzése. Az irracionális egyenletek megoldásának módja a gyök meghatározásával garantálja az átmenetek ekvivalenciáját. Ez azt jelenti, hogy nem szükséges ellenőrizni a talált megoldásokat. Ez a pont az előnyöknek tudható be ez a módszer irracionális egyenletek megoldása, mivel a legtöbb más módszerben az ellenőrzés a megoldás kötelező szakasza, amely lehetővé teszi idegen gyökerek. De nem szabad elfelejteni, hogy a talált megoldások eredeti egyenletbe való behelyettesítésével történő ellenőrzés soha nem felesleges: hirtelen számítási hiba csúszott be.

Azt is megjegyezzük, hogy az irracionális egyenletek megoldásánál nagyon fontos az idegen gyökök ellenőrzésének és kiszűrésének kérdése, ezért a cikk következő bekezdéseinek egyikében még visszatérünk rá.

Az egyenlet mindkét oldalának azonos hatványra emelésének módszere

A további bemutatás feltételezi, hogy az olvasónak van fogalma arról ekvivalens egyenletek és következményes egyenletek.

Az egyenlet mindkét oldalának azonos hatványra emelésének módszere a következő állításon alapul:

Nyilatkozat

Ha egy egyenlet mindkét oldalát ugyanarra a páros hatványra emeljük, akkor egy következmény egyenletet kapunk, ha pedig egy egyenlet mindkét oldalát ugyanarra a páratlan hatványra emeljük, egy ekvivalens egyenletet kapunk.

Bizonyíték

Bizonyítsuk be egy változós egyenletekre. A többváltozós egyenletek esetében a bizonyítási elvek azonosak.

Legyen A(x)=B(x) az eredeti egyenlet és x 0 a gyöke. Mivel x 0 ennek az egyenletnek a gyöke, akkor A(x 0)=B(x 0) – valódi számszerű egyenlőség. Ezt tudjuk numerikus egyenlőségek tulajdonsága: A helyes numerikus egyenlőségek termikus szorzása helyes numerikus egyenlőséget ad. Szorozzuk meg a tagot 2·k taggal, ahol k – természetes szám, helyes numerikus egyenlőségeket A(x 0)=B(x 0), így megkapjuk a helyes A 2·k (x 0)=B 2·k (x 0) numerikus egyenlőséget. A kapott egyenlőség pedig azt jelenti, hogy x 0 az A 2·k (x)=B 2·k (x) egyenlet gyöke, amelyet az eredeti egyenletből úgy kapunk, hogy mindkét oldalt ugyanarra a 2·k páros természetes hatványra emeljük. .

Az A 2·k (x)=B 2·k (x) egyenlet gyöke létezésének lehetőségének igazolására, amely nem az eredeti A(x)=B(x) egyenlet gyöke, a elég példát mondani. Tekintsük az irracionális egyenletet , és egyenlet , amelyet mindkét rész négyzetre emelésével kapunk az eredetiből. Könnyen ellenőrizhető, hogy a nulla az egyenlet gyöke , igazán, , hogy ugyanaz a 4=4 valódi egyenlőség. Ugyanakkor a nulla egy idegen gyöke az egyenletnek , mivel nulla behelyettesítése után az egyenlőséget kapjuk , ami megegyezik a 2=−2 -vel, ami hibás. Ez azt bizonyítja, hogy az eredeti egyenletből úgy kapott egyenletnek, hogy mindkét oldalt ugyanarra a páros hatványra emeljük, gyökerei lehetnek az eredeti egyenlettől idegenek.

Bebizonyosodott, hogy ha egy egyenlet mindkét oldalát ugyanarra a természetes hatványra emeljük, az egyenlethez vezet.

Be kell bizonyítani, hogy az egyenlet mindkét oldalát ugyanarra a páratlan természetes hatványra emelve ekvivalens egyenletet kapunk.

Mutassuk meg, hogy az egyenlet minden gyöke annak az egyenletnek a gyöke, amelyet az eredetiből kapunk, ha mindkét részét páratlan hatványra emeljük, és fordítva, hogy az eredetiből kapott egyenlet minden gyöke mindkét részét páratlanra emelve. a hatalom az eredeti egyenlet gyökere.

Legyen az A(x)=B(x) egyenlet. Legyen x 0 a gyöke. Ekkor az A(x 0)=B(x 0) numerikus egyenlőség igaz. A valódi numerikus egyenlőségek tulajdonságainak tanulmányozása során megtudtuk, hogy a valódi numerikus egyenlőségeket tagonként lehet szorozni. Ha a tagot megszorozzuk a 2·k+1 taggal, ahol k természetes szám, az A(x 0)=B(x 0) helyes numerikus egyenlőségeket kapjuk a helyes A 2·k+1 (x 0)= numerikus egyenlőséget. B 2·k+1 ( x 0) , ami azt jelenti, hogy x 0 az A 2·k+1 (x)=B 2·k+1 (x) egyenlet gyöke. Most vissza. Legyen x 0 az A 2·k+1 (x)=B 2·k+1 (x) egyenlet gyöke. Ez azt jelenti, hogy az A 2·k+1 (x 0)=B 2·k+1 (x 0) numerikus egyenlőség helyes. Tetszőleges valós szám páratlan gyökének létezése és annak egyedisége miatt az egyenlőség is igaz lesz. Ez pedig az identitás miatt , ahol a bármely valós szám, ami a gyökök és hatványok tulajdonságaiból következik, átírható A(x 0)=B(x 0) . Ez azt jelenti, hogy x 0 az A(x)=B(x) egyenlet gyöke.

Bebizonyosodott, hogy egy irracionális egyenlet mindkét oldalát páratlan hatványra emelve ekvivalens egyenletet kapunk.

A bevált állítás eggyel bővíti az általunk ismert, egyenletek megoldására használt fegyvertárat. egyenletek transzformálása– az egyenlet mindkét oldalát ugyanarra a természetes hatványra emeljük. Az egyenlet mindkét oldalának ugyanarra a páratlan hatványra emelése olyan transzformáció, amely következményegyenlethez vezet, míg a páros hatványra emelése ekvivalens transzformáció. Ezen a transzformáción alapul az a módszer, amellyel az egyenlet mindkét oldalát ugyanarra a hatványra emeljük.

Az egyenlet mindkét oldalának ugyanarra a természetes hatványra emelése elsősorban irracionális egyenletek megoldására szolgál, mivel bizonyos esetekben ez a transzformáció lehetővé teszi a gyökérjelektől való megszabadulást. Például az egyenlet mindkét oldalának emelése n hatványára megadja az egyenletet , amely később az f(x)=g n (x) egyenletté alakítható, amely már nem tartalmaz gyököt a bal oldalon. A fenti példa szemlélteti az egyenlet mindkét oldalát azonos hatványra emelő módszer lényege: megfelelő transzformáció segítségével kapjunk egy egyszerűbb egyenletet, amelynek jelölésében nincsenek gyökök, és ennek megoldásán keresztül kapjunk megoldást az eredeti irracionális egyenletre.

Most közvetlenül folytathatjuk annak a módszernek a leírását, amellyel az egyenlet mindkét oldalát ugyanarra a természetes hatványra emeljük. Kezdjük egy algoritmussal, amellyel ezzel a módszerrel megoldható a legegyszerűbb irracionális egyenletek páros gyökkitevőjű, vagyis az alábbi alakú egyenletek. , ahol k természetes szám, f(x) és g(x) racionális kifejezések. Algoritmus a legegyszerűbb irracionális egyenletek megoldására páratlan gyökkitevővel, azaz olyan alakú egyenletekkel , kicsit később adjuk. Akkor menjünk még tovább: terjesszük ki az egyenlet mindkét oldalának azonos hatványra emelésének módszerét bonyolultabb irracionális egyenletekre, amelyek a gyökjelek alatt gyököket, több gyökjelet stb. tartalmaznak.

módszer, amellyel az egyenlet mindkét oldalát ugyanarra a páros hatványra emeljük:

A fenti információkból jól látható, hogy az algoritmus első lépése után olyan egyenlethez jutunk, amelynek gyökei tartalmazzák az eredeti egyenlet összes gyökét, de lehetnek olyan gyökök is, amelyek idegenek az eredeti egyenlettől. Ezért az algoritmus tartalmaz egy záradékot az idegen gyökerek kiszűrésére.

Nézzük meg példákon keresztül az adott algoritmus alkalmazását irracionális egyenletek megoldására.

Kezdjük egy egyszerű és meglehetősen tipikus irracionális egyenlet megoldásával, amelynek mindkét oldalát négyzetre emeljük másodfokú egyenlet nincs gyökere.

Itt van egy példa, amelyben az eredeti irracionális egyenletből mindkét oldal négyzetre emelésével kapott egyenlet összes gyöke az eredeti egyenleten kívülinek bizonyul. Következtetés: nincs gyökere.

A következő példa egy kicsit bonyolultabb. Megoldása az előző kettőtől eltérően mindkét részt nem négyzetre, hanem hatodik hatványra emeli, és ez már nem lineáris vagy másodfokú egyenlethez vezet, hanem köbös egyenlet. Itt egy ellenőrzés megmutatja, hogy mindhárom gyöke az eredetileg megadott irracionális egyenlet gyöke lesz.

És itt még tovább megyünk. A gyökértől való megszabaduláshoz az irracionális egyenlet mindkét oldalát fel kell emelnie a negyedik hatványra, ami viszont a negyedik hatvány egyenletéhez vezet. Az ellenőrzés megmutatja, hogy a négy potenciális gyök közül csak az egyik lesz az irracionális egyenlet kívánt gyöke, a többi pedig idegen.

Három friss példák a következő állítást szemléltetik: ha egy irracionális egyenlet mindkét oldalát ugyanarra a páros hatványra emelve olyan egyenletet kapunk, amelynek gyökerei vannak, akkor ezek utólagos ellenőrzése megmutathatja, hogy

• vagy ezek mind az eredeti egyenlet idegen gyökerei, és nincs gyökere,
• vagy egyáltalán nincsenek köztük idegen gyökök, és mind az eredeti egyenlet gyökerei,
• vagy csak néhányuk kívülálló.

Elérkezett az idő, hogy továbblépjünk a legegyszerűbb irracionális egyenletek megoldására páratlan gyökkitevővel, vagyis az alak egyenleteivel . Írjuk fel a megfelelő algoritmust.

Irracionális egyenletek megoldásának algoritmusa módszer az egyenlet mindkét oldalának azonos páratlan hatványra emelésére:

• Az irracionális egyenlet mindkét oldalát ugyanarra a 2·k+1 páratlan hatványra emeljük.
• A kapott egyenlet megoldva. Megoldása az eredeti egyenlet megoldása.

Figyelem: a fenti algoritmus a legegyszerűbb irracionális egyenletek páros gyökkitevőjű megoldására szolgáló algoritmussal ellentétben nem tartalmaz záradékot az idegen gyökök kiküszöbölésére. Fentebb megmutattuk, hogy az egyenlet mindkét oldalának páratlan hatványra emelése az egyenlet ekvivalens transzformációja, ami azt jelenti, hogy egy ilyen transzformáció nem vezet idegen gyökök megjelenéséhez, így nem szükséges kiszűrni őket.

Így az irracionális egyenletek megoldása mindkét oldal azonos páratlan hatványra emelésével végrehajtható a kívülállók kizárása nélkül. Ugyanakkor ne felejtse el, hogy az egyenletes teljesítményre emeléskor ellenőrzésre van szükség.

Ennek ismerete lehetővé teszi számunkra, hogy jogilag elkerüljük az idegen gyökerek kiszűrését egy irracionális egyenlet megoldása során . Főleg benne ebben az esetben az ellenőrzés „kellemetlen” számításokat tartalmaz. Idegen gyökerek úgysem lesznek, mivel páratlan hatványra, nevezetesen kockára emelik, ami egyenértékű transzformáció. Nyilvánvaló, hogy az ellenőrzés elvégezhető, de inkább önellenőrzés céljából, a talált megoldás helyességének további ellenőrzése érdekében.

Foglaljuk össze a közbenső eredményeket. Ezen a ponton először is bővítettük a már ismert megoldások arzenálját különböző egyenletek egy másik transzformáció, amelyben az egyenlet mindkét oldalát ugyanarra a hatványra emeljük. Egyenletes hatványra emelve ez az átalakulás egyenlőtlen lehet, és használatánál ellenőrizni kell, hogy kiszűrjük az idegen gyökereket. Páratlan hatványra emelve a megadott transzformáció ekvivalens, és nem szükséges kiszűrni az idegen gyökereket. Másodszor pedig megtanultuk használni ezt a transzformációt az alak legegyszerűbb irracionális egyenleteinek megoldására , ahol n a gyökkitevő, f(x) és g(x) racionális kifejezések.

Most itt az ideje, hogy általános perspektívából megvizsgáljuk az egyenlet mindkét oldalát ugyanarra a hatványra. Ez lehetővé teszi számunkra, hogy az erre épülő irracionális egyenletek megoldásának módszerét a legegyszerűbb irracionális egyenletektől a bonyolultabb típusú irracionális egyenletekre is kiterjesszük. Csináljuk.

Valójában, amikor az egyenleteket úgy oldjuk meg, hogy az egyenlet mindkét oldalát azonos hatványra emeljük, akkor a már ismert Általános megközelítés: az eredeti egyenlet néhány átalakításon keresztül egyszerűbb egyenletté alakul, még egyszerűbbé, és így tovább, egy olyan egyenletig, amelyet képesek vagyunk megoldani. Nyilvánvaló, hogy ha az ilyen transzformációk láncolatában az egyenlet mindkét oldalát ugyanarra a hatványra emeljük, akkor azt mondhatjuk, hogy ugyanazt a módszert követjük, amikor az egyenlet mindkét oldalát ugyanarra a hatványra emeljük. Már csak azt kell kitalálni, hogy pontosan milyen transzformációkat és milyen sorrendben kell végrehajtani az irracionális egyenletek megoldásához úgy, hogy az egyenlet mindkét oldalát ugyanarra a hatványra emeljük.

Íme egy általános megközelítés az irracionális egyenletek megoldására az egyenlet mindkét oldalának azonos hatványra emelésével:

• Először is el kell lépnünk az eredeti irracionális egyenletről egy többre egyszerű egyenlet, ami általában a következő három művelet ciklikus végrehajtásával érhető el:
  • A radikális magánya(vagy hasonló technikák, például a gyökök szorzatának elkülönítése, olyan tört elkülönítése, amelynek számlálója és/vagy nevezője a gyök, ami lehetővé teszi a gyökértől való megszabadulást, ha az egyenlet mindkét oldalát hatványra emeljük) .
  • Az egyenlet alakjának egyszerűsítése.
• Másodszor, meg kell oldania a kapott egyenletet.
• Végül, ha a megoldás során átmenetek következtek be a következményegyenletekre (különösen, ha az egyenlet mindkét oldalát páros hatványra emeltük), akkor az idegen gyököket ki kell küszöbölni.

A megszerzett tudást ültessük át a gyakorlatba.

Oldjunk meg egy olyan példát, amelyben a gyök magánya az irracionális egyenletet a legegyszerűbb formába hozza, ami után már csak a két oldal négyzetbe állítása, a kapott egyenlet megoldása és az idegen gyökök kiszűrése egy ellenőrzés segítségével.

A következő irracionális egyenlet megoldható úgy, hogy a nevezőben gyököt tartalmazó törtet elkülönítjük, amely az egyenlet mindkét oldalának utólagos négyzetre emelésével kiküszöbölhető. És akkor minden egyszerű: az eredmény meg van oldva tört racionális egyenletés ellenőrizni kell, hogy a válasz nem tartalmaz-e idegen gyökereket.

Nagyon tipikusak az irracionális egyenletek, amelyek két gyökeret tartalmaznak. Általában sikeresen megoldhatók az egyenlet mindkét oldalának azonos hatványra emelésével. Ha a gyökereknek van azonos fokozatú, és rajtuk kívül nincs más kifejezés, akkor a gyököktől való megszabaduláshoz elegendő a gyököt elkülöníteni és egyszer végrehajtani a hatványozást, mint a következő példában.

És itt van egy példa, amelyben két gyök is van, rajtuk kívül szintén nincsenek kifejezések, de a gyökök fokozatai eltérőek. Ebben az esetben a gyök izolálása után célszerű az egyenlet mindkét oldalát olyan hatványra emelni, amely mindkét gyököt egyszerre kiküszöböli. Az ilyen fokozat például a gyökerek mutatójaként szolgál. Esetünkben a gyökök foka 2 és 3, LCM(2, 3) = 6, ezért mindkét oldalt a hatodik hatványra emeljük. Vegyük észre, hogy a szokásos úton is cselekedhetünk, de ebben az esetben mindkét részt kétszer kell hatványra emelnünk: először a másodikra, majd a harmadikra. Megmutatjuk mindkét megoldást.

Többben nehéz esetek, ha irracionális egyenleteket old meg az egyenlet mindkét oldalának azonos hatványra emelésével, kétszer, ritkábban - háromszor, még ritkábban - kell emelni. nagyobb szám egyszer. Az első irracionális egyenlet, amely az elmondottakat illusztrálja, két gyököt és egy további tagot tartalmaz.

A következő irracionális egyenlet megoldásához két egymást követő hatványozás is szükséges. Ha nem felejti el elkülöníteni a gyököket, akkor két hatványozás elegendő ahhoz, hogy megszabaduljon a jelölésében jelen lévő három gyöktől.

Az irracionális egyenlet mindkét oldalának azonos hatványra emelésének módszere lehetővé teszi, hogy megbirkózzon olyan irracionális egyenletekkel, amelyekben a gyök alatt van egy másik gyök. Íme a megoldás egy tipikus példára.

Végül, mielőtt rátérnénk az elemzésre következő módszereket Az irracionális egyenletek megoldása során meg kell jegyezni, hogy egy irracionális egyenlet mindkét oldalát azonos hatványra emelve további átalakítások eredményeként olyan egyenletet kaphatunk, amely végtelen halmaz döntéseket. Egy végtelen sok gyökből álló egyenletet kapunk például az irracionális egyenlet mindkét oldalának négyzetre emelésével és a kapott egyenlet alakjának ezt követő egyszerűsítése. Ugyanakkor szerint nyilvánvaló okokból helyettesítési ellenőrzést nem tudunk elvégezni. Ilyen esetekben vagy más ellenőrzési módszerekhez kell folyamodni, amelyekről beszélni fogunk, vagy el kell hagyni az egyenlet mindkét oldalának azonos hatványra emelésének módszerét egy másik megoldási módszer javára, például egy módszer javára. ami azt feltételezi.

A legtipikusabb irracionális egyenletek megoldásait úgy vizsgáltuk, hogy az egyenlet mindkét oldalát azonos hatványra emeltük. A vizsgált általános megközelítés lehetővé teszi más irracionális egyenletekkel való megbirkózást, ha ez a megoldási mód egyáltalán alkalmas rájuk.

Új változó bevezetésének módja

Mikor lehet még nagyon könnyen belátni egy új változó bevezetésének lehetőségét? Ha az egyenlet „fordított” törteket tartalmaz és (az Ön engedélyével kölcsönösen inverznek nevezzük őket a -val analógia alapján). Hogyan oldanánk meg egy racionális egyenletet ilyen törtekkel? Ezen törtek egyikét új t változónak vennénk, míg a másik törtet az új változón keresztül 1/t-ként fejeznénk ki. Az irracionális egyenletekben egy új változó ilyen módon történő bevezetése nem teljesen praktikus, mivel a gyökerek további megszabadulása érdekében valószínűleg egy másik változót kell bevezetnie. Jobb, ha azonnal elfogadjuk a tört gyökerét új változóként. Nos, akkor alakítsa át az eredeti egyenletet az egyik egyenlőség segítségével És , amely lehetővé teszi, hogy egy új változóval rendelkező egyenletre lépjen. Nézzünk egy példát.

Ne feledkezzünk meg a már ismert cserelehetőségekről. Például az x+1/x és x 2 +1/x 2 kifejezés megjelenhet egy irracionális egyenlet rögzítésében, ami elgondolkodtat egy új x+1/x=t változó bevezetésének lehetőségén. Ez a gondolat nem véletlenül merül fel, mert ezt már megtettük, amikor döntöttünk reciprok egyenletek. Az új változó bevezetésének ezt a módját, a többi, általunk már ismert módszerhez hasonlóan, az irracionális egyenletek, valamint más típusú egyenletek megoldásánál szem előtt kell tartani.

Áttérünk az összetettebb irracionális egyenletekre, amelyekben alkalmas egy új bevezetésére változó kifejezés nehezebben látni. És kezdjük azokkal az egyenletekkel, amelyekben radikális kifejezések azonosak, de a fentebb tárgyalt esettől eltérően az egyik gyökér nagyobb mutatója nincs teljesen osztva a másik gyökér kisebb mutatójával. Találjuk ki, hogyan válasszuk ki a megfelelő kifejezést egy új változó bevezetéséhez ilyen esetekben.

Ha a gyökkifejezések megegyeznek, és az egyik k 1 gyök nagyobb kitevője nincs teljesen elosztva a másik k 2 gyök kisebb kitevőjével, akkor az LCM (k 1 , k 2) fokú gyökét tekinthetjük új változó, ahol az LCM . Például egy irracionális egyenletben a gyökök egyenlőek 2-vel és 3-mal, a három nem a kettő többszöröse, LCM(3, 2)=6, így egy új változót lehet bevezetni . Továbbá a gyökér definíciója, valamint a gyökök tulajdonságai lehetővé teszik az eredeti egyenlet átalakítását a kifejezés explicit kiválasztásához, majd egy új változóval való helyettesítéséhez. Bemutatjuk a teljes ill részletes megoldás ezt az egyenletet.

Hasonló elvek alapján egy új változót vezetünk be azokban az esetekben, amikor a gyökök alatti kifejezések fokban különböznek. Például, ha egy irracionális egyenletben a változó csak a gyökök alatt található, és maguk a gyökök alakja és , akkor ki kell számítanunk az LCM(3, 4) = 12 gyök legkisebb közös többszörösét, és vegyük . Sőt, a gyökerek és az erők tulajdonságainak megfelelően a gyökereket úgy kell átalakítani, mint És ennek megfelelően, ami lehetővé teszi egy új változó bevezetését.

Hasonló módon járhat el az irracionális egyenletekben, amelyekben a gyökök alatt -val különböző mutatók vannak kölcsönösen inverz törtek és. Azaz új változóként célszerű a gyökérindikátorok LCM-jével megegyező indikátorral gyökerezni. Nos, akkor térjünk át az egyenletre egy új változóval, amely lehetővé teszi egyenlőségek létrehozását És , a gyökér meghatározása, valamint a gyökök és hatványok tulajdonságai. Nézzünk egy példát.

Most beszéljünk azokról az egyenletekről, amelyekben csak sejthető egy új változó bevezetésének lehetősége, és amelyek sikeressége esetén csak egészen komoly átalakítások után nyílnak meg. Például csak egy sor nem túl nyilvánvaló transzformáció után kerül formába egy irracionális egyenlet, amely megnyitja az utat a helyettesítéshez. . Adjunk megoldást erre a példára.

Végül tegyünk hozzá egy kis egzotikumot. Néha egy irracionális egyenlet több változó bevezetésével is megoldható. Az egyenletek megoldásának ezt a megközelítését javasolja a tankönyv. Ott kell megoldani az irracionális egyenletet két változó megadását javasoljuk . A tankönyv biztosítja rövid megoldás, állítsuk vissza a részleteket is.

Irracionális egyenletek megoldása faktorizációs módszerrel

Az irracionális egyenletek megoldására az új változó bevezetésének módszere mellett más módszereket is alkalmaznak. általános módszerek, különösen, faktorizációs módszer. Az előző mondatban megjelölt linken található cikk részletesen taglalja, hogy mikor alkalmazzák a faktorizációs módszert, mi a lényege és mi az alapja. Itt inkább nem maga a módszer érdekel, hanem az irracionális egyenletek megoldásában való felhasználása. Ezért az anyagot a következőképpen mutatjuk be: röviden felidézzük a módszer főbb rendelkezéseit, majd a faktorizálás módszerével részletesen elemezzük a jellemző irracionális egyenletek megoldásait.

A faktorizációs módszert olyan egyenletek megoldására használják, amelyekben a bal oldalon szorzat, a jobb oldalon pedig nullák találhatók, azaz olyan alakú egyenletek megoldására szolgál f 1 (x) f 2 (x) f n (x)=0, ahol f 1, f 2, …, f n néhány függvény. A módszer lényege az egyenlet helyettesítése f 1 (x) f 2 (x) f n (x)=0 az eredeti egyenlet x változóján.

Az utolsó mondat első része a totalitásba való átmenetről a jól ismertből következik Általános Iskola tény: több szám szorzata akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha a számok közül legalább az egyik egyenlő nullával. Az ODZ-ről szóló második rész jelenléte azzal magyarázható, hogy az egyenletből való átmenet f 1 (x) f 2 (x) f n (x)=0 egyenlethalmazhoz f 1 (x) = 0, f 2 (x) = 0, …, f n (x) = 0 egyenlőtlenek lehetnek, és a megjelenéshez vezethetnek idegen gyökerek, ami ebben az esetben lehetővé teszi, hogy a DL figyelembe vételével megszabaduljunk. Érdemes megjegyezni, hogy az idegen gyökerek kiszűrése, ha kényelmes, nem csak ODZ-n keresztül, hanem más módon is elvégezhető, például a talált gyökerek eredeti egyenletbe való behelyettesítésével.

Tehát az egyenlet megoldásához f 1 (x) f 2 (x) f n (x)=0 a faktorizálás módszerével, beleértve az irracionálist is, szükséges

• Tovább az egyenletkészlethez f 1 (x) = 0, f 2 (x) = 0, …, f n (x) = 0,
• Oldja meg az összeállított halmazt,
• Ha a megoldások halmaza nem rendelkezik, akkor következtessen arra, hogy az eredeti egyenletnek nincs gyöke. Ha vannak gyökerek, akkor gyomláljuk ki az idegen gyökereket.

Térjünk át a gyakorlati részre.

A faktorizálással megoldott tipikus irracionális egyenletek bal oldala számos algebrai kifejezés szorzata, általában lineáris binomiálisok és másodfokú trinomok, valamint több gyök. algebrai kifejezések alattuk. A jobb oldalon nullák vannak. Az ilyen egyenletek ideálisak a megoldásukhoz szükséges kezdeti készségek megszerzéséhez. Kezdjük egy hasonló egyenlet megoldásával. Ennek során két célt próbálunk elérni:

• vegye figyelembe a faktorizációs módszer algoritmusának minden lépését egy irracionális egyenlet megoldása során,
• idézzük fel az idegen gyökök kiszűrésének három fő módját (ODZ-vel, ODZ-feltételekkel és a megoldások közvetlen behelyettesítésével az eredeti egyenletbe).

A következő irracionális egyenlet jellemző abban az értelemben, hogy a faktorizációs módszerrel történő megoldáskor célszerű az idegen gyökereket az ODZ feltételei szerint kiszűrni, és nem az ODZ szerint a formában. számkészlet, mivel nehéz az ODZ-t numerikus szorzó formájában megszerezni. A nehézség az, hogy a DL-t meghatározó egyik feltétel az irracionális egyenlőtlenség . Az idegen gyökerek kiszűrésének jelzett megközelítése lehetővé teszi, hogy megoldja a megoldást, sőt néha iskolai tanfolyam A matematikusok általában nem ismerik az irracionális egyenlőtlenségek megoldását.

Jó, ha az egyenlet bal oldalán egy szorzat, a jobb oldalon egy nulla található. Ebben az esetben azonnal léphet az egyenletkészletre, megoldhatja azt, megkeresheti és eldobhatja az eredeti egyenleten kívüli gyökereket, amelyek megadják a kívánt megoldást. De gyakrabban az egyenletek más formájúak. Ha egyúttal lehetőség nyílik a faktorizációs módszer alkalmazására alkalmas formára alakítani, akkor miért ne próbálhatnánk meg a megfelelő átalakításokat. Például ahhoz, hogy a következő irracionális egyenlet bal oldalán lévő szorzatot megkapjuk, elegendő a négyzetek különbségéhez folyamodni.

Az egyenleteknek van egy másik osztálya is, amelyeket általában faktorizálással oldanak meg. Olyan egyenleteket tartalmaz, amelyek mindkét oldala olyan szorzat, amelynek ugyanaz a tényezője változós kifejezés formájában. Ez például az irracionális egyenlet . El lehet osztani az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal a faktorral, de nem szabad elfelejteni külön ellenőrizni azokat az értékeket, amelyek miatt ezek a kifejezések eltűnnek, különben elveszítheti a megoldásokat, mivel az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal a kifejezéssel osztja. egyenlőtlen átalakulás lehet. Megbízhatóbb a faktorizációs módszer alkalmazása, így garantálható, hogy a helyes megoldásnál a jövőben ne vesszenek el a gyökerek. Nyilvánvaló, hogy ehhez először meg kell kapnia a szorzatot az egyenlet bal oldalán, és a nullát a jobb oldalon. Ez egyszerű: csak mozgassa a kifejezést a jobb oldalról balra, megváltoztatva a jelét, és vegye ki közös szorzó zárójelből. Megmutatjuk komplett megoldás egy hasonló, de kissé összetettebb irracionális egyenlet.

Hasznos minden egyenlet megoldását (sőt, sok más probléma megoldását is) az ODZ megtalálásával kezdeni, különösen, ha az ODZ könnyen megtalálható. Mutassunk fel néhány legnyilvánvalóbb érvet e mellett.

Tehát, miután megkapta az egyenlet megoldásának feladatát, ne rohanjon az átalakításokba és számításokba anélkül, hogy visszanézne, talán csak nézze meg az ODZ-t? Ezt egyértelműen bizonyítja a következő irracionális egyenlet.

Funkcionális grafikai módszer

Grafikus módszer

Növekvő és csökkenő függvények tulajdonságainak felhasználása

Mint már megjegyeztük, grafikus módszer Az irracionális egyenletek megoldása kényelmetlen olyan esetekben, amikor az egyenlet bal és jobb oldalán található kifejezések meglehetősen összetettek abban az értelemben, hogy nem könnyű a megfelelő függvénygráfokat megszerkeszteni. De gyakran a grafikonok helyett a függvények tulajdonságaira hivatkozhat. Létezik módszer egyenletek megoldására a függvények monotonitása segítségével, amely megfelel az egyenlet részeinek. Ez a módszer különösen lehetővé teszi irracionális egyenletek megoldását. A következő állításon alapul:

Nyilatkozat

ha egy X halmazon az f függvény definiált és szigorúan monoton (növekvő vagy csökkenő), akkor az f(x)=C egyenletnek, ahol C egy bizonyos szám, vagy egyetlen gyöke van, vagy nincs gyöke a megadott halmazon.

A következő állítás erre utal:

Nyilatkozat

ha az f és g függvények egy X halmazon vannak definiálva, és az egyik növekszik, a másik pedig csökken, akkor az f(x)=g(x) egyenletnek vagy egyetlen gyöke van, vagy nincs gyöke az X halmazon.

Ezeket az állításokat általában akkor használjuk egyenletek megoldására, amikor az egyenlet egy gyökét valahogy meg lehet határozni, és a megfelelő függvények növekedése és csökkenése bizonyítható.

Ami az egyenlet gyökerének megtalálását illeti, tipikus esetekben nyilvánvaló vagy könnyen kitalálható. Általában egy irracionális egyenlet gyöke valamilyen szám az ODZ-ből, amikor a gyökök alatt behelyettesítjük az eredeti egyenletbe, olyan számokat kapunk, amelyek gyökerei könnyen kinyerhetők.

Ami a növekvő-csökkenő függvények bizonyítását illeti, azt általában az alap tulajdonságai alapján hajtják végre. elemi függvényekés híres a növekvő és csökkenő függvények tulajdonságai(például egy növekvő függvény gyöke egy növekvő függvény), vagy bonyolultabb esetekben a deriváltot használjuk bizonyításra.

Nézzük meg ezeket a pontokat az irracionális egyenletek megoldása során.

Kezdjük egy tipikus irracionális egyenlet megoldásával: bizonyítjuk az egyik részének megfelelő függvény növekedését, bizonyítjuk az egyenlet másik részének megfelelő függvény csökkenését, és a változó ODZ-jéből választunk egy gyöket. az egyenlethez, amely ebben az esetben egyedi lesz.

A következő irracionális egyenletet is meg kell oldani a funkcionális-grafikus módszerrel. Az egyenlet gyöke könnyen megtalálható, mint az előző példában, de itt az egyik függvény növekedését és egy másik függvény csökkenését kell bizonyítani a derivált segítségével.

Foglaljuk össze a növekvő és csökkenő függvények tulajdonságainak felhasználását egyenletek megoldásánál:

• ha az egyenlet gyöke látható, akkor megpróbálhatja megvizsgálni az egyenlet bal és jobb oldalának megfelelő függvényeket a növekedésre és a csökkentésre. Talán ez lehetővé teszi számunkra, hogy bizonyítsuk a talált gyökér egyediségét.
• Ha egyértelmű, hogy az f és g függvények egyike csökken, a másik pedig növekszik, akkor meg kell próbálnia megtalálni az egyenlet egyetlen lehetséges gyökét bármilyen elérhető módon. Ha megtaláljuk ezt a gyökeret, akkor az egyenlet megoldódik.

Értékelési módszer

Végül elérkezünk az egyenletmegoldó funkcionális-grafikus módszer három fő változata közül az utolsóhoz, amely a függvények korlátosságának használatán alapul. Egyezzünk meg abban, hogy ezt a fajta funkcionális-grafikus módszert nevezzük értékelési módszer.

A becslési módszert általában f(x)=C alakú egyenletek megoldására használják, ahol f(x) valamilyen kifejezés x változóval (és f a megfelelő függvény), C valamilyen szám, vagy g(x) )=h(x) , ahol g(x) és h(x) néhány kifejezés x változóval (és g és h a megfelelő függvények). Megjegyzendő, hogy a g(x)=h(x) egyenletet mindig le lehet redukálni egy ekvivalens, f(x)=C formájú egyenletre (különösen úgy, hogy a h(x) kifejezést átvisszük a jobb oldalról a bal oldalra. ellenkező előjellel), vagyis csak az f(x)=C alakú egyenletekre szorítkozhatunk a becslési módszer figyelembevételére. Néha azonban nagyon kényelmes a g(x)=h(x) alakú egyenletekkel dolgozni, ezért nem utasítjuk el figyelmüket.

Az egyenletek becslési módszerrel történő megoldása két lépésben történik. Az első lépés az f függvény értékeinek becslése (vagy a megfelelő f(x) kifejezés, ami lényegében ugyanaz), ha az f(x)=C egyenlet megoldott, vagy a függvény értékeinek becslése. a g és h függvényeket (vagy a megfelelő f(x ) és g(x) kifejezéseket), ha a g(x)=h(x) egyenletet megoldjuk. A második szakasz a kapott becslések felhasználása az egyenlet gyökereinek további keresésére vagy hiányuk igazolására. Tisztázzuk ezeket a pontokat.

Hogyan történik a függvényértékek kiértékelése? Ezt a kérdést részletesen tárgyaljuk. Itt az irracionális egyenletek becslési módszerrel történő megoldása során leggyakrabban használt becslési módszerek felsorolására szorítkozunk. Íme az értékelési módszerek listája:

• Értékelés a páros kitevővel rendelkező gyök definíciója alapján. Mivel definíció szerint a páros kitevővel rendelkező gyök nemnegatív szám, akkor az ODZ-ből származó bármely x esetén a kifejezésre, ahol n egy természetes szám, p(x) valamilyen kifejezés, az egyenlőtlenség igaz, és akkor és csak akkor, ha p(x)= 0 .
• Az értékelés alapján következő tulajdonság gyökök: bármely nem-negatív a és b szám esetén a , ≥ ), a (≤ , > , ≥ ) egyenlőtlenség teljesül. Ha az OD bármely x-ére teljesül a p(x) egyenlőtlenség a kifejezésre , ≥ ), ahol c valamilyen nemnegatív szám, akkor az ODZ bármely x-ére igaz a (≤ , > , ≥ ) egyenlőtlenség.
• Becslés azon a tényen alapuló becslés, hogy bármely páros kitevővel rendelkező szám hatványa nem negatív szám. Az ODZ-ből származó bármely x esetén a p 2·n (x) kifejezésre a p 2·n (x)≥0 egyenlőtlenség igaz, és p 2·n (x)=0 akkor és csak akkor, ha p(x)= 0.
• Az értékek becslése másodfokú trinomikus. A becsléshez használhatja a parabola csúcsának ordinátáját, és azt, hogy mikor negatív diszkrimináns- nulla.
  • Ha a>0, akkor a x 2 +b x+c≥y 0, ahol y 0 a parabola csúcsának ordinátája, és ha a<0 , то a·x 2 +b·x+c≤y 0 .
  • Ha a>0 és diszkrimináns D<0 , то a·x 2 +b·x+c>0 , és ha a<0 и D<0 , то a·x 2 +b·x+c<0 .
• Becslés a numerikus egyenlőtlenségek tulajdonságai alapján.
• Becslés a derivált segítségével talált függvény legnagyobb és legkisebb értékén keresztül. Ha A egy p függvény legkisebb értéke egy X halmazon, akkor a p(x)≥A egyenlőtlenség igaz X-re. Ha B egy p függvény legnagyobb értéke egy X halmazon, akkor a p(x)≤B egyenlőtlenség érvényes X-re.

Tegyük fel, hogy az első szakaszt befejeztük, vagyis megbecsültük a függvények értékeit. Felmerül egy logikus kérdés, hogy a kapott becsléseket hogyan lehet tovább felhasználni az egyenlet megoldására. Ezután hivatkoznia kell a következő állítások egyikére:

A második állításblokk rendelkezései az azonos jelentésű valódi numerikus egyenlőtlenségek összeadási és szorzási tulajdonságaiból következnek.

Az első pozícióblokk világossá válik, ha elképzeljük az f függvény és az y=C egyenes grafikonjának egymáshoz viszonyított helyzetét, illetve a többi blokk helyzetét - ha elképzeljük a g és a függvények grafikonjainak egymáshoz viszonyított helyzetét. h.

Nézzük az állítások első blokkját. Ha egy f függvény grafikonja az y=A egyenes alatt van vagy nincs felette, ami viszont az y=C egyenes alatt van, akkor egyértelmű, hogy nem metszi az y=C egyenest, ami azt jelenti, hogy nincs az f(x)=C egyenlet gyökei. Ha egy f függvény grafikonja magasabb vagy nem alacsonyabb, mint az y=B egyenes, amely viszont magasabb, mint az y=C egyenes, akkor egyértelmű, hogy nem metszi az y=C egyenest, ez az f(x)=C egyenlet gyökeinek hiányát jelenti. Ha egy f függvény grafikonja az y=C egyenes alatt vagy fölött van, akkor egyértelmű, hogy nem metszi ezt az egyenest, ez az f(x)=C egyenlet gyökeinek hiányát is jelenti.

Most igazoljuk a harmadik állításblokkot. Legyenek az X halmazon a g függvény értékei kisebbek vagy nem nagyobbak, mint az A szám, és a h függvény értékei nagyobbak vagy nem kisebbek, mint a B szám. Ez azt jelenti, hogy a g függvény grafikonjának minden pontja az y=A egyenes alatt vagy felett van, és a h függvény grafikonjának pontjai az y=B egyenes felett vagy alatt vannak. Nyilvánvaló, hogy az X sorozaton A

Térjünk át a negyedik állításblokkra. Itt az első esetben az egyik gráf e vonal alatt, a másik e vonal fölött helyezkedik el. A második esetben az egyik gráf nem e vonal felett, a másik e vonal felett van. A harmadik esetben az egyik gráf e vonal alatt van, a másik nem e vonal alatt. Jól látható, hogy a gráfoknak minden esetben nincs közös pontja, ami azt jelenti, hogy a g(x) = h(x) egyenletnek nincs megoldása.

Ez utóbbi esetben az egyik függvény grafikonja nem magasabb, mint az y=C egyenes, a másik függvény grafikonja pedig nem alacsonyabb ennél az egyenesnél. Nyilvánvaló, hogy a gráfoknak csak ezen az egyenesen lehetnek közös pontjai. Ez magyarázza a g(x)=h(x) egyenletből a rendszerbe való átmenetet.

Továbbléphet a gyakorlásra. Tekintsünk jellemző irracionális egyenletek megoldásait a becslési módszerrel.

Először is érdemes megérteni a kifejezések értékeinek becslésének pontosságának kérdését. Hogy egyértelmű legyen, honnan származik ez a kérdés, nézzünk meg három becslést a gyökérértékekre: először , második, harmadik, és mondja meg, melyiket részesítse előnyben? Nos, az elsőt elvetjük, mert az többnyire túlzás, de a második és a harmadik becslés teljesen működőképes, és helyzettől függően az első, viszonylag durva és a második is használható. Nézzük ezt a kérdést gyakorlati szempontból.

Annak bizonyítására, hogy egy egyenletnek nincs megoldása, elegendő durva becslés. A durva becslések fő előnye a pontosabb becslésekkel szemben a viszonylag könnyű megszerzésük. A durva becslések gyakorlatilag kézenfekvőek, és nem igényelnek további kutatást, mivel jól ismert tényeken alapulnak, mint például: a négyzetgyök nem negatív szám, a modulus nem negatív szám, egy szám négyzete nem-negatív szám, a pozitív reciprok összege nem kisebb kettőnél, a negatív vezető tagú másodfokú trinom és a negatív diszkrimináns értéke negatív stb. Tehát a következő irracionális egyenlet becslési módszerrel történő megoldásához elegendő egyrészt a gyök, másrészt a másodfokú trinom durva becslése.

Általában könnyebb durva becsléseket kapni a függvények vagy kifejezések értékeiről, mint a pontosakat. A durva becslések azonban gyakran nem teszik lehetővé, hogy következtetéseket vonjunk le a megoldandó egyenletek gyökereiről, míg a pontosabb becslések ezt lehetővé teszik. Oldjunk meg egy tipikus irracionális egyenletet.

Kezdjük egy egyszerű, de nagyon jellegzetes irracionális egyenlet megoldásával: bal oldalának értékeinek becslése az alkotó gyökeinek becsléseiből következik, az így kapott becslésből pedig az a következtetés, hogy az egyenletnek nincs gyöke.

Érdekesebb a helyzet, ha az f(x)=C irracionális egyenlet bal oldalának megfelelő kifejezés több kifejezés összege vagy szorzata, és értékeit f(x)≤C vagy f(x)-re becsüljük. ≥C. Ilyen esetekben a fent leírt állítások az eredeti irracionális egyenletről egy ekvivalens egyenletrendszerre írják elő az átmenetet. Mutassuk be egy karakterisztikus irracionális egyenlet megoldását.

Konszolidáljuk az átmenet készségeit a becslési módszerrel az f(x) = C irracionális egyenletből a bal oldalon összeggel vagy szorzattal egy ekvivalens egyenletrendszerbe. Ehhez egy viszonylag összetett irracionális egyenletet fogunk megoldani, melynek bal oldala két irracionális kifejezés összege, amelyek közül az egyik két kifejezés szorzata. A megoldási elv ugyanaz: olyan becslést kapunk, amely lehetővé teszi, hogy az eredeti egyenletről egy ekvivalens rendszerre térjünk át.

Térjünk át a g(x)=h(x) alakú irracionális egyenletekre.

Az előző példák meglehetősen egyszerűek voltak a kifejezések és függvények értékeinek értékelése szempontjából. Itt az ideje, hogy részletesebben foglalkozzunk az értékelési szemponttal. Nyilvánvaló okokból azokra az értékelési módszerekre összpontosítunk, amelyekhez a leggyakrabban kell folyamodni az irracionális egyenletek értékelési módszerrel történő megoldása során. Kezdjük a becslési módszerekkel, amelyekhez nincs szükség a derivált megtalálására. Tehát az alábbi irracionális egyenlet megoldásához szinte minden ismert eszközt használni kell: a páros kitevővel rendelkező hatványok tulajdonságától és a gyökkivonási függvény monotonitási tulajdonságától a numerikus egyenlőségek tulajdonságain alapuló becslésekig.

A becslések megszerzésére szolgáló módszerek, amelyeket minden korábbi példában használtunk, nem fedik le teljesen az értékek becslésének kérdését. Más szóval, nem mindig lehetséges a függvények és kifejezések értékeinek értékelése segítségükkel. A vizsgált módszerek különösen akkor nem jók, ha a megoldandó irracionális egyenlet x változó megengedett értékeinek tartománya eltér az összes R valós szám halmazától. Példaként két esetben adjuk meg a gyökér becslését: amikor az ODZ egy R halmaz, és amikor az ODZ egy 3 és 5 közötti szegmens. Az általunk fentebb alkalmazott becslési módszerek alapján becslést kaphatunk. Abban az esetben, ha az ODZ egy R halmaz, ez a becslés nagyon jó. De abban az esetben, ha az ODZ egy szegmens, a rögzített becslés már viszonylag durvának bizonyul, és lehetséges a gyökér pontosabb becslése, nevezetesen pl. . De nem csak a DL korlátozza a becslések beszerzésének lehetőségeit a fent tárgyalt módszerekkel. Ezek a módszerek gyakran nem teszik lehetővé a függvényértékek becslését a becsült függvény típusa miatt. Például azok a becslési módszerek, amelyekről beszélünk, lehetővé teszik, hogy megbecsüljük a gyökök értékét és a , valamint azok összegét: , , honnan és tovább . De ezek a becslési módszerek már nem teszik lehetővé a jelzett gyökök közötti különbség becslését. Ilyen helyzetekben a függvény tanulmányozásához kell folyamodni, meg kell találni a legnagyobb és legkisebb értékeit, amelyeken keresztül értékelni lehet a függvény értékeit. Néha célszerű kombinálni a becslések megszerzésének különböző módszereit. Mutassuk meg egy karakterisztikus irracionális egyenlet megoldását.

Az irracionális egyenletek funkcionális-grafikus módszerrel és különösen a becslési módszerrel való megoldásáról szóló beszélgetést befejezve emlékezzünk meg egy ígéretről, amelyet a bekezdés végén tettünk. Ne feledje, megoldottuk az irracionális egyenletet meglehetősen egzotikus módon két új változó bevezetésével (amire még gondolni kellett), és megígérték, hogy a megoldását egy standardabb módszerrel mutatják be. Ez a módszer jelen esetben az értékelési módszer. Tehát teljesítsük ígéretünket.

Irracionális egyenletek megoldása ODZ-n keresztül

Nagyon gyakran az egyenletek megoldási folyamatának része. Az ODZ keresésére kényszerítõ okok különbözõek lehetnek: el kell végezni az egyenlet transzformációit, és mint ismeretes, ezeket az ODZ-n hajtják végre, a választott megoldási mód magában foglalja az ODZ keresését, ellenõrzést. ODZ használata stb. És bizonyos esetekben az ODZ nem csak segéd- vagy vezérlőeszközként működik, hanem lehetővé teszi az egyenlet megoldását is. Itt két helyzetre gondolunk: amikor az ODZ egy üres halmaz, és amikor az ODZ egy véges számhalmaz.

Nyilvánvaló, hogy ha egy egyenlet, különösen egy irracionális egyenlet ODZ-je üres halmaz, akkor az egyenletnek nincs megoldása. Tehát a következő irracionális egyenlet x változójának ODZ-je egy üres halmaz, ami azt jelenti, hogy az egyenletnek nincs megoldása.

Ha egy egyenlet változójának ODZ-je számok véges halmaza, akkor szekvenciális ellenőrzéssel ezeknek a számoknak a helyettesítésével kaphatunk megoldást az egyenletre. Például vegyünk egy irracionális egyenletet, amelynél az ODZ két számból áll, és a behelyettesítés azt mutatja, hogy közülük csak az egyik gyöke az egyenletnek, amiből arra a következtetésre jutunk, hogy ez a gyök az egyetlen megoldás az egyenletre.

Irracionális egyenletek megoldása „tört egyenlő nullával”

Irracionális egyenletek numerikus egyenlőségre redukálva

Ugrás a modulokhoz

Ha egy irracionális egyenlet jelölésében a páros fokú gyök előjele alatt van valamilyen kifejezés olyan foka, amelynek kitevője megegyezik a gyök kitevőjével, akkor mehet a modulusra. Ez a transzformáció az egyik képlet miatt megy végbe, ahol 2·m páros szám, a tetszőleges valós szám. Érdemes megjegyezni, hogy ez az átalakulás az egyenlet ekvivalens transzformációja. Valójában egy ilyen transzformációval a gyökér helyébe egy ugyanolyan egyenlő modul kerül, míg az ODZ nem változik.

Tekintsünk egy karakterisztikus irracionális egyenletet, amely a modulusra való átadással megoldható.

Mindig érdemes modulokra váltani, ha lehetséges? Az esetek túlnyomó többségében az ilyen átmenet indokolt. Kivételt képeznek azok az esetek, amikor nyilvánvaló, hogy egy irracionális egyenlet megoldásának alternatív módszerei viszonylag kevesebb munkát igényelnek. Vegyünk egy irracionális egyenletet, amely megoldható a modulokra való áttéréssel és néhány más módszerrel, például az egyenlet mindkét oldalának négyzetre emelésével vagy a gyökér meghatározásával, és nézzük meg, melyik megoldás lesz a legegyszerűbb és legkompaktabb.

A megoldott példában a gyökér meghatározásának megoldása tűnik előnyösebbnek: rövidebb és egyszerűbb, mint a modulra való átmeneten keresztüli megoldás és az egyenlet mindkét oldalának négyzetre emelésével. Tudhattuk ezt az egyenlet mindhárom módszerrel történő megoldása előtt? Valljuk be, ez nem volt nyilvánvaló. Tehát ha több megoldási módot megvizsgál, és nem azonnal egyértelmű, hogy melyiket részesíti előnyben, meg kell próbálnia bármelyik megoldást megtalálni. Ha ez sikerül, akkor jó. Ha a választott módszer nem vezet eredményre, vagy a megoldás nagyon nehéznek bizonyul, akkor érdemes más módszerrel próbálkozni.

Ennek a pontnak a végén térjünk vissza az irracionális egyenlethez. Az előző bekezdésben mi már eldöntötteés látta, hogy annak megoldására tett kísérlet a gyök magányával és az egyenlet mindkét oldalának négyzetre emelésével a 0=0 numerikus egyenlőséghez vezetett, és a gyökökre vonatkozó következtetés levonásának lehetetlenségéhez vezetett. A gyök meghatározásának megoldása pedig egy irracionális egyenlőtlenség megoldását jelentette, ami önmagában is meglehetősen nehéz. Egy jó módszer ennek az irracionális egyenletnek a megoldására, ha a modulusra lépünk. Adjunk egy részletes megoldást.

Irracionális egyenletek transzformációja

Az irracionális egyenletek megoldása szinte soha nem teljes azok átalakítása nélkül. Mire az irracionális egyenleteket tanulmányozzuk, már ismerjük az egyenletek ekvivalens transzformációi. Az irracionális egyenletek megoldásánál ugyanúgy használatosak, mint a korábban vizsgált egyenlettípusok megoldásánál. Látott példákat az irracionális egyenletek ilyen transzformációira az előző bekezdésekben, és látja, teljesen természetes módon észlelték őket, mivel ismerősek számunkra. Fentebb egy számunkra új transzformációt is megtudtunk - az egyenlet mindkét oldalát ugyanarra a hatványra emeljük, ami általános esetben az irracionális egyenletekre jellemző, nem ekvivalens. Mindezekről az átalakításokról érdemes részletesen beszélni, hogy megismerjük a végrehajtásuk során felmerülő összes finomságot, és elkerüljük a hibákat.

Az irracionális egyenletek transzformációit a következő sorrendben elemezzük:

1. Kifejezések cseréje azonos azonos kifejezésekkel, amelyek nem változtatják meg az ODZ-t.
2. Ugyanazon szám hozzáadása egy egyenlet mindkét oldalához, vagy ugyanazon szám kivonása az egyenlet mindkét oldaláról.
3. Ugyanazon kifejezés hozzáadása, amely nem változtatja meg a tulajdonság értékét, egy egyenlet mindkét oldalához, vagy ugyanazt a kifejezést, amely nem változtatja meg a tulajdonság értékét, kivonja az egyenlet mindkét oldaláról.
4. Termek átvitele az egyenlet egyik oldaláról a másikra ellenkező előjellel.
5. Egy egyenlet mindkét oldalának szorzása és osztása ugyanazzal a nullától eltérő számmal.
6. Egy egyenlet mindkét oldalának szorzása és elosztása ugyanazzal a kifejezéssel, amely nem változtatja meg a változó megengedett értékeinek tartományát, és nem nullázódik rajta.
7. Egy egyenlet mindkét oldalának felemelése ugyanarra a hatványra.

Tehát körvonalazódik a kérdések köre. Kezdjük példákkal megérteni őket.

Az első számunkra érdekes transzformáció az egyenletben szereplő kifejezések azonos kifejezésekkel való helyettesítése. Tudjuk, hogy ekvivalens, ha a transzformáció eredményeként kapott egyenlet VA értéke megegyezik az eredeti egyenlet VA értékével. Ebből egyértelműen kitűnik, hogy a transzformáció végrehajtása során előforduló hibáknak két fő oka van: az első az OD változása, amely a transzformáció eredményeként következik be, a második az, hogy egy kifejezést kifejezésre cserélünk. ami nem azonos azzal. Vizsgáljuk meg ezeket a szempontokat részletesen és sorrendben, az ilyen típusú tipikus átalakulások példáit tekintve.

Először nézzük át az egyenletek tipikus transzformációit, amelyek abból állnak, hogy egy kifejezést egy azonos kifejezéssel helyettesítünk, amelyek mindig ekvivalensek. Íme a vonatkozó lista.

• A kifejezések és tényezők átrendezése. Ez a transzformáció az irracionális egyenlet bal és jobb oldalán is végrehajtható. Használható például hasonló tagok csoportosítására, majd redukálására az egyenlet alakjának egyszerűsítése érdekében. A tagok vagy tényezők átrendezése nyilvánvalóan az egyenlet egyenértékű átalakítása. Ez érthető: az eredeti kifejezés és az átrendeződött kifejezésekkel vagy tényezőkkel rendelkező kifejezés azonos (ha természetesen az átrendezést helyesen hajtják végre), és nyilvánvaló, hogy egy ilyen transzformáció nem változtatja meg az ODZ-t. Mondjunk egy példát. Az x·3·x szorzat irracionális egyenletének bal oldalán felcserélheti az első és a második x és 3 tényezőt, ami ezt követően lehetővé teszi, hogy a gyökjel alatti polinomot szabványos formában ábrázolja. Az egyenlet jobb oldalán pedig a 4+x+5 összegben felcserélheti a 4 és x tagokat, ami a jövőben lehetővé teszi a 4 és 5 számok összeadását. Ezen átrendezések után az irracionális egyenlet a következőt veszi fel, a kapott egyenlet ekvivalens az eredetivel.
• Bővülő zárójelek. Ennek az egyenlettranszformációnak az ekvivalenciája nyilvánvaló: a zárójelek nyitása előtti és utáni kifejezések azonosak, és a megengedett értéktartományuk azonos. Vegyük például az irracionális egyenletet . Megoldásához a zárójelek kinyitása szükséges. Az egyenlet bal oldalán, valamint az egyenlet jobb oldalán lévő zárójeleket kinyitva egy ekvivalens egyenlethez jutunk.
• Kifejezések és/vagy tényezők csoportosítása. Az egyenletnek ez az átalakítása lényegében az egyenlet részét képező kifejezések helyettesítését jelenti egy azonos kifejezéssel csoportosított kifejezésekkel vagy tényezőkkel. Nyilvánvaló, hogy ez nem változtat az ODZ-n. Ez azt jelenti, hogy az egyenlet jelzett transzformációja ekvivalens. Szemléltetésképpen vegyünk egy irracionális egyenletet. A kifejezések átrendezése (két bekezdéssel fentebb beszéltünk róla) és a kifejezések csoportosítása lehetővé teszi, hogy továbblépjünk egy ekvivalens egyenletre. A kifejezések ilyen csoportosításának célja jól látható - a következő ekvivalens transzformáció végrehajtása, amely lehetővé teszi egy új változó bevezetését.
• A közös tényező zárójelbe foglalása. Nyilvánvaló, hogy a közös tényező zárójelbe helyezése előtti és a közös tényező zárójelbe helyezése utáni kifejezések azonosak. Az is világos, hogy a közös tényező zárójelből való kitétele nem változtatja meg a VA-t. Ezért ha egy egyenlet részét képező kifejezésben a közös tényezőt zárójelből kivesszük, az az egyenlet egyenértékű átalakítása. Ezt a transzformációt például arra használjuk, hogy egy egyenlet bal oldalát szorzatként ábrázoljuk, hogy faktorizálással megoldjuk. Íme egy konkrét példa. Tekintsük az irracionális egyenletet. Ennek az egyenletnek a bal oldala szorzatként ábrázolható, ehhez ki kell venni a közös tényezőt a zárójelekből. Ennek az átalakításnak az eredményeként kapjuk meg az irracionális egyenletet , egyenértékű az eredetivel, ami faktorizálással megoldható.
• Numerikus kifejezések cseréje értékükkel. Nyilvánvaló, hogy ha az egyenlet tartalmaz egy bizonyos numerikus kifejezést, és ezt a numerikus kifejezést helyettesítjük annak értékével (helyesen kiszámítva), akkor egy ilyen helyettesítés ekvivalens lesz. Valójában egy kifejezést lényegében egy azonos kifejezéssel helyettesítünk, és ugyanakkor az egyenlet ODZ-je nem változik. Így az irracionális egyenletben helyettesítve két −3 és 1 szám összege és ennek az összegnek a −2-vel egyenlő értéke egy ekvivalens irracionális egyenletet kapunk. Hasonlóképpen végrehajtható az irracionális egyenlet egyenértékű transzformációja , a gyökjel alatti számokkal végzett műveleteket (1+2=3 és ), ez a transzformáció elvezet minket az ekvivalens egyenlethez .
• Műveletek végrehajtása irracionális egyenlet jelölésében található monomokkal és polinomokkal. Nyilvánvaló, hogy ezen intézkedések helyes végrehajtása egyenértékű egyenlethez vezet. Valójában ebben az esetben a kifejezést egy azonos kifejezéssel helyettesítjük, és az OD nem változik. Például az irracionális egyenletben összeadhatja az x 2 és 3 x 2 monomokat, és ugorhat az ekvivalens egyenletre . Egy másik példa: az irracionális egyenlet bal oldalán lévő polinomok kivonása egy ekvivalens transzformáció, amely egy ekvivalens egyenlethez vezet .

Továbbra is figyelembe vesszük az egyenletek transzformációit, amelyek abból állnak, hogy a kifejezéseket azonos kifejezésekkel helyettesítjük. Az ilyen transzformációk egyenlőtlenek is lehetnek, mivel megváltoztathatják az ODZ-t. Különösen az ODZ kiterjesztése történhet. Ez előfordulhat hasonló kifejezések redukálásakor, törtek redukálásakor, ha egy szorzatot több nulla tényezővel vagy egy tört nullával egyenlő számlálóval helyettesítünk, és leggyakrabban akkor, ha a gyökök tulajdonságainak megfelelő képleteket használunk. Mellesleg, a gyökerek tulajdonságainak gondatlan használata az ODZ szűküléséhez is vezethet. És ha az ODZ-t kiterjesztő transzformációk elfogadhatók az egyenletek megoldása során (idegen gyökerek megjelenését okozhatják, amelyeket bizonyos módon kiküszöbölnek), akkor az ODZ-t szűkítő transzformációkat el kell hagyni, mivel ezek a gyökerek elvesztését okozhatják. Maradjunk ezeknél a pontoknál.

Az első irracionális egyenlet az . Megoldása az egyenlet alakra való átalakításával kezdődik fokok egyik tulajdonsága alapján. Ez a transzformáció ekvivalens, mivel a kifejezést egy azonos kifejezéssel helyettesítjük, és az ODZ nem változik. De a következő, a gyök definíciója alapján végrehajtott átmenet az egyenletre már az egyenlet egyenlőtlen transzformációja lehet, mivel egy ilyen transzformációval az ODZ kibővül. Mutassuk meg ennek az egyenletnek a teljes megoldását.

A második irracionális egyenlet, amely jól illusztrálja, hogy az irracionális egyenleteknek a gyök tulajdonságait és a gyök definícióját használó transzformációi egyenlőtlenek lehetnek, a következő alakú: . Jó, ha nem engeded meg magadnak, hogy így kezdd el a megoldást

Vagy úgy

Kezdjük az első esettel. Az első transzformáció az eredeti irracionális egyenletből való átmenet az egyenlethez abból áll, hogy az x+3 kifejezést a kifejezésre cseréljük. Ezek a kifejezések azonosak. De egy ilyen cserével az ODZ leszűkül a (−∞, −3)∪[−1, +∞) halmazról a [−1, +∞) halmazra. És megállapodtunk abban, hogy feladjuk azokat a reformokat, amelyek szűkítik a DLZ-t, mivel azok gyökerek elvesztéséhez vezethetnek.

Mi a baj a második esetben? Az ODZ bővítése az utolsó átmenet során a −3-as számra? Nem csak ezt. Nagy gondot okoz az első átmenet az eredeti irracionális egyenletből az egyenlethez . Ennek az átmenetnek a lényege az x+3 kifejezés helyettesítése a kifejezéssel. De ezek a kifejezések nem azonosak: x+3 esetén<0 значения этих выражений не совпадают. Действительно, согласно свойству квадратного корня из квадрата , amiből az következik .

Tehát hogyan lehet megoldani ezt az irracionális egyenletet ? Itt a legjobb, ha azonnal bevezetünk egy új változót , ebben az esetben (x+3)·(x+1)=t 2. Adjunk egy részletes megoldást.

Foglaljuk össze az elemzett egyenletek transzformációi közül az elsőt – egy egyenlet részét képező kifejezést egy vele azonos kifejezéssel helyettesítünk. Minden alkalommal, amikor végrehajtják, két feltételnek kell teljesülnie: először, hogy a kifejezést egy azonos kifejezéssel cseréljék le, másodszor pedig, hogy az ODZ szűkülése ne következzen be. Ha egy ilyen csere nem változtatja meg az ODZ-t, akkor az átalakítás eredménye egy ekvivalens egyenlet lesz. Ha egy ilyen csere során az ODZ kitágul, akkor idegen gyökerek jelenhetnek meg, és ügyelni kell ezek kiszűrésére.

Térjünk át a lista második transzformációjára – adjunk hozzá ugyanazt a számot az egyenlet mindkét oldalához, és vonjuk ki ugyanazt a számot az egyenlet mindkét oldaláról. Ez az egyenlet egyenértékű transzformációja. Általában akkor folyamodunk hozzá, ha az egyenlet bal és jobb oldalán azonos számok vannak, ha ezeket a számokat az egyenlet mindkét oldaláról levonjuk, a jövőben megszabadulhatunk tőlük. Például az irracionális egyenlet bal és jobb oldalán is van egy kifejezés 3. Ha az egyenlet mindkét oldaláról kivonunk egy hármast, akkor egy egyenlet jön létre, amely a számokkal végzett manipulációk után a következő alakot ölti és tovább egyszerűsítve . Az eredmény szerint a szóban forgó transzformációnak van valami köze egy tagnak az egyenlet egyik részéből a másikba ellenkező előjelű átviteléhez, de erről az átalakításról kicsit később. Vannak más példák is erre az átalakításra. Például egy irracionális egyenletben a 3-as szám mindkét oldalához hozzá kell adni, hogy tökéletes négyzetet rendezzünk az egyenlet bal oldalán, és az egyenletet tovább alakítsuk formává egy új változó bevezetése érdekében.

Az imént tárgyalt transzformáció általánosítása az, hogy az egyenlet mindkét oldalához hozzáadjuk vagy ugyanazt a kifejezést kivonjuk az egyenlet mindkét oldaláról. Az egyenletek ezen átalakítása ekvivalens, ha az ODZ nem változik. Ezt az átalakítást főként annak érdekében hajtják végre, hogy később megszabaduljanak az azonos kifejezésektől, amelyek egyszerre vannak az egyenlet bal és jobb oldalán. Mondjunk egy példát. Tegyük fel, hogy van egy irracionális egyenletünk. Nyilvánvaló, hogy az egyenlet bal és jobb oldalán is van egy tag. Célszerű ezt a kifejezést kivonni az egyenlet mindkét oldaláról: . Esetünkben egy ilyen átmenet nem változtatja meg az ODZ-t, így az elvégzett transzformáció egyenértékű. És ez azért történik, hogy továbblépjünk egy egyszerűbb irracionális egyenlethez.

Az egyenletek következő átalakítása, amelyet ebben a bekezdésben érintünk, a kifejezések áthelyezése az egyenlet egyik részéből a másikba ellenkező előjellel. Az egyenletnek ez a transzformációja mindig ekvivalens. Alkalmazási köre meglehetősen széles. Segítségével például elkülönítheti a gyököt, vagy összegyűjtheti az egyenlet egy részében hasonló tagokat, így csökkentheti őket, és ezáltal egyszerűsítheti az egyenlet formáját. Mondjunk egy példát. Irracionális egyenlet megoldására a −1 tagokat jobbra mozgathatod, előjelüket megváltoztatva, ezzel egyenértékű egyenletet kapsz , ami tovább megoldható, például az egyenlet mindkét oldalának négyzetre emelésével.

Tovább haladunk az egyenletek transzformációinak figyelembevételével, hogy az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal a számmal szorozzuk vagy osztjuk, amely nullától eltérő. Ez a transzformáció az egyenlet egyenértékű transzformációja. Az egyenlet mindkét oldalának ugyanazzal a számmal való szorzását elsősorban a törtekről az egész számokra való áttéréshez használják. Például úgy, hogy az irracionális egyenletben hogy megszabaduljunk a törtektől, mindkét részt meg kell szorozni 8-cal, ami egyenértékű egyenletet ad , ami tovább redukálódik a formára . Az egyenlet mindkét oldalának felosztása elsősorban a numerikus együtthatók csökkentése céljából történik. Például az irracionális egyenlet mindkét oldala Célszerű a 18-as és 12-es numerikus együtthatóval osztani, azaz 6-tal, ez az osztás adja az ekvivalens egyenletet , amelyből később továbbléphetünk az egyenletre , amely kisebb, de egész együtthatókkal is rendelkezik.

Az egyenlet következő átalakítása az egyenlet mindkét oldalának szorzása és elosztása ugyanazzal a kifejezéssel. Ez a transzformáció akkor ekvivalens, ha a kifejezés, amellyel a szorzást vagy osztást végrehajtják, nem változtatja meg a változó megengedett értékeinek tartományát, és nem nullázódik rajta. Általában mindkét oldal szorzása ugyanazzal a kifejezéssel hasonló ahhoz, hogy egy egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal a számmal szorozzuk meg. Leggyakrabban ehhez az átalakításhoz folyamodnak, hogy további átalakításokkal megszabaduljanak a törtektől. Mutassuk meg ezt egy példával.

Nem hagyjuk figyelmen kívül az irracionális egyenleteket, amelyek megoldásához az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal a kifejezéssel kell elosztani. Kicsit magasabban megjegyeztük, hogy egy ilyen felosztás egyenértékű transzformáció, ha nem érinti az ODZ-t, és ez a kifejezés az ODZ-n nem tűnik el. De néha az osztást egy olyan kifejezéssel kell végrehajtani, amely eltűnik az ODZ-ben. Ez teljesen lehetséges, ha egyidejűleg külön-külön ellenőrzi ennek a kifejezésnek a nulláit, hogy van-e közöttük a megoldandó egyenlet gyöke, különben ezek a gyökök elveszhetnek egy ilyen osztás során.

Az irracionális egyenletek utolsó átalakítása, amelyet ebben a bekezdésben érinteni fogunk, az, hogy az egyenlet mindkét oldalát ugyanarra a hatványra emeljük. Ez a transzformáció az irracionális egyenletek esetében tipikusnak nevezhető, mivel gyakorlatilag nem használják más típusú egyenletek megoldására. A mostani cikkben már említettük ezt az átalakulást, amikor megvizsgáltuk . Erre az átalakulásra is számos példa van. Itt nem ismételjük magunkat, csak emlékezzünk arra, hogy általános esetben ez az átalakulás nem egyenértékű. Idegen gyökerek megjelenéséhez vezethet. Ezért, ha a megoldási folyamat során erre az átalakításra fordultunk, akkor a talált gyökereket ellenőrizni kell, hogy vannak-e köztük idegen gyökerek.

A gyökerek elvesztéséről

Mi okozhat gyökérvesztést egy egyenlet megoldása során? A gyökérvesztés fő oka a tartás az egyenlet transzformációi, amelynél az ODZ szűkül. Ennek megértéséhez nézzünk egy példát.

Vegyük az irracionális egyenletet amelyet mi már döntöttek az aktuális cikkben. A megoldást azzal kezdtük, hogy figyelmeztettünk az egyenlet alábbi transzformációinak végrehajtására

A legelső transzformáció az egyenletből való átmenet az egyenlethez – szűkíti az ODZ-t. Valójában az eredeti egyenlet ODZ értéke (−∞, −3)∪[−1, +∞) , a kapott egyenleté pedig [−1, +∞) . Ez azt jelenti, hogy a (−∞, −3) intervallumot kizárjuk a figyelembevételből, és ennek következtében az egyenlet összes gyökének elvesztését ebből az intervallumból. Esetünkben ennek a transzformációnak a végrehajtásakor az egyenlet összes gyöke elvész, amiből kettő és .

Tehát, ha az egyenlet átalakítása az OD szűküléséhez vezet, akkor az egyenletnek azon a részén található összes gyöke elvész, amelyre a szűkítés bekövetkezett. Ezért szorgalmazzuk, hogy ne folyamodjunk a DZ-t szűkítő reformokhoz. Van azonban egy figyelmeztetés.

Ez a záradék azokra a transzformációkra vonatkozik, amelyekben az ODZ egy vagy több számmal leszűkül. A legjellemzőbb transzformáció, amelyben több egyedi szám esik ki az ODZ-ből, az egyenlet mindkét oldalának ugyanazzal a kifejezéssel való osztása. Nyilvánvaló, hogy egy ilyen transzformáció végrehajtásakor csak azok a gyökök vesznek el, amelyek ebben a véges számhalmazban vannak, amelyek az ODZ szűkítésekor kiesnek. Ezért ha külön-külön ellenőrzi a halmaz összes számát, hogy van-e köztük például helyettesítéssel megoldandó egyenlet gyöke, és a talált gyököket belefoglalja a válaszba, akkor végrehajthatja a kívánt transzformációt. a gyökerek elvesztésétől való félelem nélkül. Illusztráljuk ezt egy példával.

Tekintsük az irracionális egyenletet, amely szintén szűkebb eldőlt az előző bekezdésben. Ennek az egyenletnek egy új változó bevezetésével történő megoldásához célszerű először az egyenlet mindkét oldalát elosztani 1+x-szel. Ezzel a felosztással a −1 szám kiesik az ODZ-ből. Ha ezt az értéket behelyettesítjük az eredeti egyenletbe, akkor hibás numerikus egyenlőséget kapunk (), ami azt jelenti, hogy a −1 nem az egyenlet gyöke. Egy ilyen ellenőrzés után biztonságosan végrehajthatja a tervezett felosztást, anélkül, hogy félne a gyökér elvesztésétől.

Ennek a pontnak a végén megjegyezzük, hogy az irracionális egyenletek megoldása során leggyakrabban az egyenlet mindkét oldalának ugyanazon kifejezéssel való felosztása, valamint a gyökök tulajdonságain alapuló transzformációk az OD szűküléséhez vezetnek. Ezért nagyon óvatosnak kell lennie az ilyen átalakítások végrehajtásakor, és nem szabad megengednie, hogy a gyökerek elveszjenek.

Idegen gyökerekről és kiszűrésük módszereiről

A túlnyomó számú egyenlet megoldását keresztül hajtjuk végre egyenletek transzformációja. Bizonyos átalakulások oda vezethetnek következményes egyenletek, és az egyenlet-következmények megoldásai között lehetnek az eredeti egyenlettől idegen gyökök. Az idegen gyökök nem gyökerei az eredeti egyenletnek, ezért nem szerepelhetnek a válaszban. Vagyis ki kell gyomlálni őket.

Tehát, ha a megoldandó egyenlet transzformációs láncában van legalább egy következményegyenlet, akkor gondoskodni kell az idegen gyökök észleléséről és kiszűréséről.

Az idegen gyökerek kimutatásának és kiszűrésének módszerei az esetleges megjelenésüket kiváltó okoktól függenek. Az irracionális egyenletek megoldása során a külső gyökök esetleges megjelenésének két oka van: az első az ODZ kiterjesztése az egyenlet átalakítása következtében, a második az egyenlet mindkét oldalának egyenletes hatványra emelése. Nézzük a megfelelő módszereket.

Kezdjük az idegen gyökerek kiszűrésének módszereivel, amikor lehetséges megjelenésük oka csak az ODZ kiterjesztése. Ebben az esetben az idegen gyökerek kiszűrését a következő három módszer egyikével végezzük:

• Az ODZ szerint. Ehhez megkeresik az eredeti egyenlet változójának ODZ-jét, és ellenőrzik a talált gyökerek hovatartozását. Az ODZ-hez tartozó gyökök az eredeti egyenlet gyökerei, azok pedig, amelyek nem tartoznak az ODZ-hez, az eredeti egyenlet idegen gyökei.
• Az ODZ feltételein keresztül. Felírjuk azokat a feltételeket, amelyek az eredeti egyenlet változójának ODZ-jét meghatározzák, és egyenként behelyettesítjük a talált gyököket. Azok a gyökök, amelyek minden feltételt kielégítenek, gyököknek számítanak, azok pedig, amelyek legalább egy feltételnek nem felelnek meg, az eredeti egyenlet külső gyökerei.
• Az eredeti egyenletbe (vagy bármely azzal egyenértékű egyenletbe) való behelyettesítés révén. A talált gyököket sorra behelyettesítjük az eredeti egyenletbe, közülük azok, amelyek behelyettesítésével az egyenlet helyes numerikus egyenlőséggé alakul, gyökök, azok közül pedig azok, amelyek behelyettesítésével értelmetlen kifejezést kapunk. , az eredeti egyenlet idegen gyökei.

A következő irracionális egyenlet megoldása során szűrjük ki az idegen gyökereket a jelzett módszerek mindegyikével, hogy általános képet kapjunk mindegyikről.

Nyilvánvaló, hogy nem fogunk minden ismert módszerrel azonosítani és kigyomlálni az idegen gyökereket. Az idegen gyökerek kigyomlálásához minden esetben a legmegfelelőbb módszert választjuk. Például a következő példában a legkényelmesebb az idegen gyökerek kiszűrése az ODZ feltételein keresztül, mivel ilyen körülmények között nehéz megtalálni az ODZ-t numerikus halmaz formájában.

Most beszéljünk az idegen gyökök kiszűréséről, amikor egy irracionális egyenlet megoldása úgy történik, hogy az egyenlet mindkét oldalát páros hatványra emeljük. Itt az ODZ-n vagy az ODZ-feltételeken való átszűrés már nem segít, mivel nem engedi kigyomlálni az idegen gyökereket, amelyek más okból keletkeznek - az egyenlet mindkét oldalának azonos páros hatványra való emelése miatt. Miért jelennek meg idegen gyökök, ha egy egyenlet mindkét oldalát ugyanarra a páros hatványra emeljük? Az idegen gyökök megjelenése ebben az esetben abból adódik, hogy a hibás numerikus egyenlőség mindkét részét ugyanarra a páros hatványra emelve helyes numerikus egyenlőséget kaphatunk. Például a hibás 3=−3 numerikus egyenlőség mindkét oldal négyzetre emelése után a helyes 3 2 =(−3) 2 numerikus egyenlőséggé válik, ami megegyezik a 9=9-gyel.

Kiderítettük az idegen gyökök megjelenésének okait, amikor az egyenlet mindkét oldalát ugyanarra a hatványra emeljük. Továbbra is jelezni kell, hogy ebben az esetben hogyan küszöbölhetők ki az idegen gyökerek. A szűrést elsősorban úgy végezzük, hogy a talált potenciálgyököket behelyettesítjük az eredeti egyenletbe vagy azzal egyenértékű bármely egyenletbe. Mutassuk meg ezt egy példával.

De érdemes szem előtt tartani még egy olyan módszert, amely lehetővé teszi az idegen gyökerek kiszűrését azokban az esetekben, amikor egy irracionális egyenlet egy magányos gyökös mindkét oldalát ugyanarra a páros hatványra emeljük. Irracionális egyenletek megoldásánál , ahol 2·k páros szám, az egyenletek mindkét oldalát ugyanarra a hatványra emelve az idegen gyökök kigyomlálása a g(x)≥0 feltételen keresztül történhet (azaz tulajdonképpen egy irracionális egyenlet megoldása a gyökér). Ez a módszer gyakran segít, amikor az idegen gyökerek helyettesítéssel történő kiszűrése bonyolult számításokat igényel. A következő példa jól szemlélteti ezt.

Irodalom

1. Mordkovich A. G. Algebra. 8. osztály. 2 órában 1. rész. Tankönyv általános oktatási intézmények tanulói számára / A. G. Mordkovich. - 11. kiadás, törölve. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
2. Mordkovich A. G. Algebra és a matematikai elemzés kezdete. 11. évfolyam. 2 órában 1. rész. Tankönyv általános oktatási intézmények tanulói számára (profilszint) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. kiadás, törölve. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.
3. Algebraés az elemzés kezdete: Proc. 10-11 évfolyamnak. Általános oktatás intézmények / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn és mások; Szerk. A. N. Kolmogorov - 14. kiadás - M.: Oktatás, 2004. - 384 p.: ISBN 5-09-013651-3.
4. Algebraés a matematikai elemzés kezdete. 10. évfolyam: tankönyv. általános műveltségre intézmények: alap és profil. szintek / [Yu. M. Koljagin, M. V. Tkacseva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; szerkesztette A. B. Zsizcsenko. - 3. kiadás - M.: Oktatás, 2010.- 368 p.: ill.-ISBN 978-5-09-022771-1.
5. Matematika. Egységes államvizsga-2012 (C1, C3) emelt szintje. Tematikus tesztek. Egyenletek, egyenlőtlenségek, rendszerek / szerkesztette F. F. Lysenko, S. Kulabukhov. - Rostov-on-Don: Legion-M, 2011. - 112 p. - (Felkészülés az egységes állami vizsgára) ISBN 978-5-91724-094-7
6. 2004-ben végzett. Matematika. Feladatgyűjtemény az egységes államvizsgára való felkészüléshez. 1. rész I. V. Bojkov, L. D. Romanova.

Téma: „Az alak irracionális egyenletei , .»

(Módszertani fejlesztés.)

Alapfogalmak

Irracionális egyenletek Egyenleteknek nevezzük, amelyekben a változó a gyök (gyök) vagy a törthatványra emelés jele alatt található.

Egy f(x)=g(x) alakú egyenlet, ahol az f(x) vagy g(x) kifejezések legalább egyike irracionális irracionális egyenlet.

A gyökök alapvető tulajdonságai:

• Minden radikális páros fokozat vannak számtan, azok. ha a gyök kifejezés negatív, akkor a gyöknek nincs jelentése (nem létezik); ha a gyök kifejezés egyenlő nullával, akkor a gyök is egyenlő nullával; ha a gyök kifejezés pozitív, akkor a gyök jelentése létezik és pozitív.
• Minden radikális páratlan fokozat a gyök kifejezés bármely értékéhez definiálhatók. Ebben az esetben a gyök negatív, ha a gyök kifejezés negatív; egyenlő nullával, ha a gyökkifejezés egyenlő nullával; pozitív, ha az alávetett kifejezés pozitív.

Irracionális egyenletek megoldási módszerei

Irracionális egyenlet megoldása - azt jelenti, hogy meg kell találni egy változó összes valós értékét, amikor az eredeti egyenletbe behelyettesítjük őket, akkor helyes numerikus egyenlőséggé alakul, vagy annak bizonyítására, hogy ilyen értékek nem léteznek. Az irracionális egyenleteket az R valós számok halmazán oldjuk meg.

Az egyenlet elfogadható értékeinek tartománya a változó azon értékeiből áll, amelyekre a páros fokú gyökök jele alatt álló összes kifejezés nem negatív.

Irracionális egyenletek megoldásának alapvető módszerei vannak:

a) módszer az egyenlet mindkét oldalának azonos hatványra emelésére;

b) új változók bevezetésének módja (helyettesítési módszer);

c) mesterséges módszerek az irracionális egyenletek megoldására.

Ebben a cikkben a fent meghatározott típusú egyenletek mérlegelésével foglalkozunk, és bemutatunk 6 módszert az ilyen egyenletek megoldására.

1 módszer. Kocka.

Ez a módszer rövidített szorzóképletek használatát igényli, és nem tartalmaz buktatókat, pl. nem vezet idegen gyökerek megjelenéséhez.

1. példa Oldja meg az egyenletet

Megoldás:

Írjuk át az egyenletet a formába és mindkét részét felkockázzuk. Ezzel az egyenlettel ekvivalens egyenletet kapunk,

Válasz: x=2, x=11.

2. példa. Oldja meg az egyenletet.

Megoldás:

Írjuk át az egyenletet alakban és kockázzuk mindkét oldalát. Ezzel az egyenlettel ekvivalens egyenletet kapunk

és tekintsük a kapott egyenletet másodfokúnak az egyik gyökhöz képest

ezért a diszkrimináns 0, és az egyenletnek lehet x = -2 megoldása.

Vizsgálat:

Válasz: x=-2.

Megjegyzés: Az ellenőrzés elhagyható, ha a másodfokú egyenlet megoldása folyamatban van.

2. módszer. Kocka a képlet szerint.

Továbbra is kockázzuk az egyenletet, de módosított rövidített szorzóképleteket használunk.

Használjuk a képleteket:

(az ismert képlet kisebb módosítása), akkor

3. példa Oldja meg az egyenletet .

Megoldás:

Kockázzuk fel az egyenletet a fent megadott képletekkel.

De a kifejezés egyenlőnek kell lennie a jobb oldallal. Ezért rendelkezünk:

.

Most kockára vágva a szokásos másodfokú egyenletet kapjuk:

, és annak két gyökere

Mindkét érték helyes, ahogy a teszt is mutatja.

Válasz: x=2, x=-33.

De vajon minden átalakulás egyenértékű? Mielőtt megválaszolnánk ezt a kérdést, oldjunk meg még egy egyenletet.

4. példa Oldja meg az egyenletet.

Megoldás:

Mindkét oldalt a harmadik hatványra emelve, mint korábban, a következőket kapjuk:

Ahonnan (ha figyelembe vesszük, hogy a zárójelben lévő kifejezés egyenlő a -val), a következőt kapjuk:

A következőt kapjuk: .Ellenőrizzük, hogy x=0 egy idegen gyök.

Válasz: .

Válaszoljunk a kérdésre: „Miért keletkeztek idegen gyökerek?”

Az egyenlőség egyenlőséget jelent . Cserélje ki a -val, így kapjuk:

A személyazonosság ellenőrzése egyszerű

Tehát, ha , akkor vagy , vagy . Az egyenlet a következőképpen ábrázolható , .

Helyettesítve a -tól a –s-ig, azt kapjuk: ha , akkor vagy vagy

Ezért ennek a megoldási módszernek a használatakor feltétlenül ellenőrizni kell, hogy nincsenek-e idegen gyökerek.

3. módszer. Rendszer módszer.

5. példa Oldja meg az egyenletet .

Megoldás:

Hagyjuk, . Akkor:

Hol nyilvánvaló, hogy

A rendszer második egyenletét úgy kapjuk meg, hogy a gyökkifejezések lineáris kombinációja nem függ az eredeti változótól.

Könnyen belátható, hogy a rendszernek nincs megoldása, ezért az eredeti egyenletnek nincs megoldása.

Válasz: Nincsenek gyökerek.

6. példa. Oldja meg az egyenletet .

Megoldás:

Vezessünk be egy cserét, alkossunk és oldjunk meg egyenletrendszert.

Hagyjuk, . Akkor

Visszatérve az eredeti változóhoz:

Válasz: x=0.

4. módszer A függvények monotonitásának felhasználása.

Mielőtt ezt a módszert használnánk, nézzük meg az elméletet.

A következő tulajdonságokra lesz szükségünk:

7. példa. Oldja meg az egyenletet .

Megoldás:

Az egyenlet bal oldala egy növekvő függvény, a jobb oldala pedig egy szám, azaz. konstans, ezért az egyenletnek legfeljebb egy gyöke van, amelyet kiválasztunk: x=9. Az ellenőrzéssel megbizonyosodunk arról, hogy a gyökér megfelelő-e.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete