IN iskolai tanfolyam geometria hatalmas mennyiség időt szentelnek a háromszögek tanulmányozására. A tanulók szögeket számolnak, felezőket és magasságokat készítenek, megtudják, hogyan különböznek egymástól az alakzatok, és hogyan találhatják meg legegyszerűbben területüket és kerületüket. Úgy tűnik, ez nem lesz hasznos az életben, de néha mégis hasznos megtanulni, például, hogyan határozható meg, hogy egy háromszög egyenlő oldalú vagy tompaszögű. Hogyan kell ezt csinálni?

A háromszögek típusai

Három pont, amely nem egy egyenesen fekszik, és az ezeket összekötő szakaszok. Úgy tűnik, hogy ez a szám a legegyszerűbb. Milyen háromszögek lehetnek ezek, ha csak három oldaluk van? Valójában elég sok lehetőség van. nagy számban, és ezek egy része adott különös figyelmet iskolai geometria tanfolyam keretében. A szabályos háromszög egyenlő oldalú, azaz minden szöge és oldala egyenlő. Számos figyelemre méltó tulajdonsággal rendelkezik, amelyekről a továbbiakban még szó lesz.

Egy egyenlőszárúnak csak két egyenlő oldala van, és ez is elég érdekes. Egy téglalap alakúnál, ahogy sejthető, az egyik szög egyenes vagy tompaszögű. Sőt, egyenlő szárúak is lehetnek.

Van egy speciális, egyiptomi is. Oldalai 3, 4 és 5 egységesek. Ráadásul téglalap alakú. Úgy gondolják, hogy az egyiptomi földmérők és építészek aktívan használták derékszögek készítésére. Úgy tartják, hogy a híres piramisok is ennek segítségével épültek.

Pedig a háromszög minden csúcsa ugyanabban az egyenesben feküdhet. Ebben az esetben degeneráltnak, míg az összes többit nem degeneráltnak nevezzük. A geometria tanulmányozásának egyik tárgya.

Egyenlő oldalú háromszög

Természetesen mindig a helyes számadatok okozzák a legnagyobb érdeklődést. Tökéletesebbnek, kecsesebbnek tűnnek. A jellemzőik kiszámítására szolgáló képletek gyakran egyszerűbbek és rövidebbek, mint a hagyományos ábrák esetében. Ez vonatkozik a háromszögekre is. Nem meglepő, hogy a geometria tanulmányozása során nagy figyelmet fordítanak rájuk: az iskolásokat megtanítják megkülönböztetni a helyes alakzatokat a többitől, és elmesélik néhány érdekes jellemzőjüket is.

Jelek és tulajdonságok

Ahogy a névből sejthető, egy egyenlő oldalú háromszög mindkét oldala egyenlő a másik kettővel. Ezenkívül számos olyan funkcióval rendelkezik, amelyek segítenek eldönteni, hogy az ábra helyes-e vagy sem.

Ha a fenti jelek közül legalább az egyik megfigyelhető, akkor a háromszög egyenlő oldalú. Mert a megfelelő alak A fenti állítások mindegyike igaz.

Minden háromszögnek számos figyelemre méltó tulajdonsága van. Először, középvonal, azaz a két oldalt kettéosztó és a harmadikkal párhuzamos szakasz egyenlő az alap felével. Másodszor, ennek a számnak az összes szögének összege mindig 180 fokkal egyenlő. Ezen kívül van még egy érdekes kapcsolat a háromszögekben. Igen, ellene nagyobb oldala a nagyobb szög és fordítva. De ennek természetesen semmi köze egy egyenlő oldalú háromszöghez, mert minden szöge egyenlő.

Beírt és körülírt körök

A geometriatanfolyamokon gyakran azt is megtanulják a hallgatók, hogy az alakzatok hogyan hatnak egymásra. Különösen a sokszögekbe írt vagy körülöttük leírt köröket tanulmányozzák. miről beszélünk?

A beírt kör olyan kör, amelyre a sokszög minden oldala érintőleges. Leírva - az, amelyiknek minden sarokkal érintkezési pontja van. Minden háromszöghez mindig megszerkesztheti az első és a második kört is, de mindegyik típusból csak egyet. E kettő bizonyítéka

tételek az iskolai geometria tantárgyon hangzanak el.

A háromszögek paramétereinek kiszámításán túl néhány probléma magában foglalja e körök sugarának kiszámítását is. És képletek
az egyenlő oldalú háromszög így néz ki:

ahol r a beírt kör sugara, R a körülírt kör sugara, a a háromszög oldalának hossza.

Magasság, kerület és terület számítása

Azok az alapvető paraméterek, amelyeket az iskolások a geometria tanulmányozása során számítanak ki, szinte minden alak esetében változatlanok maradnak. Ezek a kerület, a terület és a magasság. A számítások egyszerűsítése érdekében többféle képlet létezik.

Tehát a kerületet, azaz az összes oldal hosszát a következő módon számítják ki:

P = 3a = 3√ ̅3R = 6√ ̅3r, ahol a egy egyenlő oldalú háromszög oldala, R a körülírt kör sugara, r a beírt kör.

h = (√ ̅3/2)*a, ahol a az oldal hossza.

Végül a képlet a standardból származik, vagyis az alap felének és magasságának szorzatából.

S = (√ ̅3/4)*a 2, ahol a az oldal hossza.

Ez az érték egy körülírt vagy beírt kör paraméterei alapján is kiszámítható. Erre is vannak speciális képletek:

S = 3√ ̅3r 2 = (3√ ̅3/4)*R 2, ahol r és R a beírt, illetve a körülírt kör sugarai.

Építés

Egy másik érdekes problématípus, beleértve a háromszögeket is, egy adott figura megrajzolásának szükségessége minimális halmaz segítségével

eszközök: körző és vonalzó osztás nélkül.

Hogy építsenek szabályos háromszög Csak ezekkel az eszközökkel több lépést kell végrehajtania.

1. Egy tetszőleges A pontban tetszőleges sugarú kört kell rajzolni, középponttal. Ezt meg kell jelölni.
2. Ezután egyenes vonalat kell húznia ezen a ponton.
3. A kör és az egyenes metszéspontjait B-vel és C-vel kell jelölni. Minden építkezést a lehető legnagyobb pontossággal kell elvégezni.
4. Ezután egy másik, azonos sugarú és középpontú kört kell felépítenie a C pontban vagy egy ívet a megfelelő paraméterekkel. A metszéspontok D és F jelzésűek lesznek.
5. A B, F, D pontokat szakaszokkal kell összekötni. Egyenlő oldalú háromszögépült.

Az ilyen problémák megoldása általában az iskolások problémája, de ez a készség hasznos lehet a mindennapi életben.

Belépő szint

Egyenlő oldalú háromszög. Illusztrált útmutató (2019)

Milyen különleges tulajdonságok rejlenek egy egyenlő oldalú háromszögben?

Egyenlő oldalú háromszög. Tulajdonságok.

Természetes, nem? Összesen három egyforma szög, ami mindegyiket jelenti.

Miért van ez így? Nézzük meg egyenlő oldalú háromszög:

Ez azt jelenti, hogy egy egyenlő oldalú háromszög bármely magassága felező, medián és merőleges felező! Egy egyenlő oldalú háromszögben nem voltak speciális vonalak, mint bármelyikben szabályos háromszög, de csak három!

Szóval még egyszer:

Már most nyilvánvalónak kell lennie, hogy miért van ez így.

Nézd meg a képet: a pont a háromszög középpontja. Ez azt jelenti, hogy a körülírt kör sugara (jelöljük), és a beírt kör sugara (jelöljük).

De egy pont a mediánok metszéspontja is! Emlékeztetünk arra, hogy a mediánokat a metszésponttal arányosan osztjuk el, a csúcstól számítva.

Ezért az.

Győződjünk meg erről.

Egyenlő oldalú háromszög. Magasság

Nézzük meg – téglalap alakú.

Egyenlő oldalú háromszög. Circumradius

Miért van ez?

Azt már megtudtuk, hogy egy pont nemcsak a körülírt kör középpontja, hanem a mediánok metszéspontja is. Azt jelenti,.

Már megtaláltuk az értéket. Most helyettesítjük:

Egyenlő oldalú háromszög. Beírt kör sugara

Ennek mostanra teljesen világosnak kell lennie

Nos, minden alapvető információt megbeszéltünk. Természetesen több száz kérdést tehet fel egy egyenlő oldalú háromszög mindenféle szakaszának mindenféle hosszúságáról.

De a legfontosabb dolog, amit szem előtt kell tartani az egyenlő oldalú háromszöggel kapcsolatos problémák megoldása során: az, hogy minden szöge ismert- egyenlőek és minden magasság felező, medián és merőleges felező.

EGYENLÍTŐ HÁROMSZÖG. ÖSSZEFOGLALÁS ÉS ALAPKÉPLETEK

egyenlő oldalú háromszög - egy háromszög, amelynek minden oldala egyenlő: .

Egy egyenlő oldalú háromszögben az összes „kút” elem hosszát az oldal hosszával fejezzük ki:

Nos, a téma véget ért. Ha ezeket a sorokat olvasod, az azt jelenti, hogy nagyon menő vagy.

Mert az embereknek mindössze 5%-a képes egyedül elsajátítani valamit. És ha a végéig elolvasod, akkor ebben az 5%-ban benne vagy!

Most a legfontosabb.

Megértetted az elméletet ebben a témában. És ismétlem, ez... ez egyszerűen szuper! Már így is jobb vagy, mint a társaid túlnyomó többsége.

Az a baj, hogy ez nem elég...

Minek?

A sikerességért az egységes államvizsga letétele, költségvetési keretből való felvételhez és ami a LEGFONTOSABB életre szóló.

Nem foglak meggyőzni semmiről, csak egyet mondok...

Emberek, akik kaptak jó oktatás, sokkal többet keresnek, mint azok, akik nem kapták meg. Ez statisztika.

De nem ez a fő.

A lényeg, hogy TÖBBEN BOLDOGAK legyenek (vannak ilyen tanulmányok). Talán azért, mert sokkal több lehetőség nyílik meg előttük, és az élet fényesebbé válik? nem tudom...

De gondold meg magad...

Mi kell ahhoz, hogy biztosan jobb legyen, mint mások az egységes államvizsgán, és végül... boldogabb legyen?

NYERJ MEG A KEZET AZ EBBEN A TÉMÁBAN VONATKOZÓ PROBLÉMÁK MEGOLDÁSÁVAL.

A vizsga során nem kérnek elméletet.

Szükséged lesz megoldani a problémákat az idővel.

És ha nem oldottad meg őket (SOKAT!), akkor valahol biztosan elkövetsz egy hülye hibát, vagy egyszerűen nem lesz időd.

Ez olyan, mint a sportban – sokszor meg kell ismételni a biztos győzelemhez.

Keresse a kollekciót, ahol csak akarja, szükségszerűen megoldásokkal, részletes elemzés és dönts, dönts, dönts!

Feladatainkat (opcionális) használhatja, és természetesen ajánljuk.

Ahhoz, hogy jobban tudja használni feladatainkat, hozzá kell járulnia az éppen olvasott YouClever tankönyv élettartamának meghosszabbításához.

Hogyan? Két lehetőség van:

1. Oldja fel az összes rejtett feladatot ebben a cikkben - 299 dörzsölje.
2. Nyissa meg a hozzáférést az összes rejtett feladathoz a tankönyv mind a 99 cikkében - 999 dörzsölje.

Igen, a tankönyvünkben 99 ilyen cikk található, és azonnal megnyitható az összes feladat és a benne lévő rejtett szöveg.

A második esetben adunk neked szimulátor "6000 probléma megoldásokkal és válaszokkal, minden témához, minden bonyolultsági szinten." Ez minden bizonnyal elég lesz bármilyen témában a problémák megoldására.

Valójában ez sokkal több, mint egy szimulátor – egy egész képzési program. Szükség esetén INGYENESEN is használhatod.

Az oldal fennállásának TELJES időszakára minden szöveghez és programhoz hozzáférés biztosított.

És befejezésül...

Ha nem tetszenek a feladataink, keress másokat. Csak ne állj meg az elméletnél.

Az „értettem” és a „meg tudom oldani” teljesen különböző képességek. Mindkettőre szüksége van.

Találd meg a problémákat és oldd meg őket!

7. definíció. Minden olyan háromszöget, amelynek két oldala egyenlő, egyenlő szárúnak nevezzük.
Két egyenlő oldalt laterálisnak, a harmadikat alapnak nevezzük.
8. definíció. Ha egy háromszög mindhárom oldala egyenlő, akkor a háromszöget egyenlő oldalúnak nevezzük.
Ő egy privát faj egyenlő szárú háromszög.
18. tétel. Az egyenlő szárú háromszög alapra süllyesztett magassága egyben a háromszög felezője is. egyenlő oldalak, az alap mediánja és szimmetriatengelye.
Bizonyíték. Csökkentsük a magasságot az egyenlő szárú háromszög alapjához. Két egyenlő részre osztja (a láb és a hypotenusa mentén) derékszögű háromszög. Az A és C szögek egyenlőek, és a magasság az alapot is kettéosztja, és a teljes vizsgált ábra szimmetriatengelye lesz.
Ez a tétel a következőképpen is megfogalmazható:
18.1. Tétel. Az egyenlő szárú háromszög alapra süllyesztett mediánja egyben az egyenlő oldalak közötti szög felezője, az alap magassága és szimmetriatengelye.
18.2. Tétel. Az egyenlő szárú háromszög felezője az alapra süllyesztve egyben az alap magassága, mediánja és szimmetriatengelye.
18.3. Tétel. Egy egyenlő szárú háromszög szimmetriatengelye egyben az egyenlő oldalak közötti szög felezője, a medián és a magasság.
Ezeknek a következményeknek a bizonyítása következik azon háromszögek egyenlőségéből is, amelyekre egy egyenlő szárú háromszög fel van osztva.

19. tétel. Egy egyenlő szárú háromszög alapjában lévő szögek egyenlőek.
Bizonyíték. Csökkentsük a magasságot az egyenlő szárú háromszög alapjához. Két egyenlő (a láb és a hipotenusz mentén) derékszögű háromszögre fogja osztani, ami azt jelenti, hogy a megfelelő szögek egyenlőek, pl. ∠ A=∠ C
Az egyenlő szárú háromszög kritériumai az 1. tételből és annak következményeiből, valamint a 2. tételből származnak.
20. tétel. Ha a jelzett négy egyenes közül kettő (magasság, medián, felező, szimmetriatengely) egybeesik, akkor a háromszög egyenlő szárú lesz (ami azt jelenti, hogy mind a négy egyenes egybeesik).
21. tétel. Ha egy háromszög bármely két szöge egyenlő, akkor egyenlő szárú.

Bizonyíték: Hasonlóan a direkt tétel bizonyításához, de a háromszögek egyenlőségének második kritériumát alkalmazva. Egy egyenlő szárú háromszög súlypontja, a körülírt és beírt kör középpontja, valamint a magasságok metszéspontja mind a szimmetriatengelyén fekszik, azaz. tetején.
Az egyenlő oldalú háromszög minden oldalpárja egyenlő szárú. Az összes oldalának egyenlősége miatt egy ilyen háromszög mindhárom szöge egyenlő. Figyelembe véve, hogy bármely háromszög szögeinek összege két derékszöggel egyenlő, azt látjuk, hogy egy egyenlő oldalú háromszög mindegyik szöge 60°. Ezzel szemben, annak biztosításához, hogy a háromszög minden oldala egyenlő legyen, elegendő ellenőrizni, hogy három szögéből kettő 60°-os.
22. tétel . Egy egyenlő oldalú háromszögben minden figyelemre méltó pont egybeesik: a súlypont, a beírt és körülírt körök középpontja, a magasságok metszéspontja (a háromszög ortocentrumának nevezik).
23. tétel . Ha a jelzett négy pont közül kettő egybeesik, akkor a háromszög egyenlő oldalú, és ennek következtében mind a négy megnevezett pont egybeesik.
Valójában egy ilyen háromszög az előző szerint egyenlő szárú lesz bármely oldalpárhoz képest, azaz. egyenlő oldalú. Az egyenlő oldalú háromszöget szabályos háromszögnek is nevezik.
Egy egyenlő szárú háromszög területe egyenlő az oldaloldal négyzetének és az oldalak közötti szög szinuszának szorzatának felével

Tekintsük ezt a képletet egy egyenlő oldalú háromszögre, akkor az alfa szög 60 fokkal lesz egyenlő. Ekkor a képlet a következőre változik: d1 tétel

Bizonyíték:. Egy egyenlő szárú háromszögben az oldalakra húzott mediánok egyenlőek.
Legyen ABC egyenlő szárú háromszög (AC = BC), AK és BL ennek mediánja. Ekkor AKB és ALB háromszögek egyenlőek a háromszögek egyenlőségének második kritériuma szerint. Közös AB oldaluk van, az AL és BK oldalak egyenlőek egy egyenlő szárú háromszög oldaloldalainak felével, a LAB és KBA szögek pedig egyenlőek egy egyenlő szárú háromszög alapszögeivel. Mivel a háromszögek egybevágóak, AK és LB oldaluk egyenlő. De AK és LB egy egyenlő szárú háromszög mediánja, amely az oldalsó oldalaihoz húzódik. d2 tétel

Bizonyíték: Legyen ABC egyenlő szárú háromszög (AC = BC), AK és BL felezői. Az AKB és ALB háromszögek egyenlőek a háromszögek egyenlőségének második kritériuma szerint. Közös az AB oldaluk, a LAB és a KBA szögek egyenlőek egy egyenlő szárú háromszög alapszögeivel, az LBA és KAB szögek pedig egyenlő szárú háromszög alapszögeinek felével. Mivel a háromszögek egybevágóak, oldalaik AK és LB felezők ABC háromszög- egyenlő. A tétel bizonyítást nyert.
d3 tétel . Egy egyenlő szárú háromszögben az oldalakra süllyesztett magasságok egyenlőek.

Bizonyíték: Legyen ABC egyenlő szárú háromszög (AC = BC), AK és BL pedig magassága. Ekkor az ABL és a KAB szögek egyenlőek, mivel az ALB és az AKB szögek derékszögek, a LAB és ABK szögek pedig egyenlőek egy egyenlő szárú háromszög alapszögeivel. Következésképpen az ALB és az AKB háromszögek egyenlőek a háromszögek egyenlőségének második kritériuma szerint: közös oldal AB, a KAB és LBA szögek a fentiek szerint egyenlőek, a LAB és KBA szögek pedig egyenlőek egy egyenlő szárú háromszög alapszögeivel. Ha a háromszögek egybevágóak, akkor AK és BL oldalaik is egybevágóak. Q.E.D.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete