Hogyan lehet megtalálni a képlet különböző figuráinak területét. Hogyan lehet megtalálni a geometriai alakzatok területét? Hogyan lehet megtalálni a háromszög területét

Minden területi képlet lapos figurák

Egy egyenlő szárú trapéz területe

1. Egy egyenlő szárú trapéz területének képlete oldalak és szögek felhasználásával

a - alsó alap

b - felső alap

c - egyenlő oldalain

α - szög az alsó alapnál

Az egyenlő szárú trapéz oldalain átmenő területének képlete (S):

Az egyenlő szárú trapéz területének képlete oldalak és szögek felhasználásával, (S):

2. Egy egyenlő szárú trapéz területének képlete a beírt kör sugarában

R - a beírt kör sugara

D - a beírt kör átmérője

O - a beírt kör középpontja

H- trapéz magassága

α, β - trapézszögek

Az egyenlő szárú trapéz területének képlete a beírt kör sugara szerint (S):

FAIR, egyenlő szárú trapézba írt körre:

3. Képlet egy egyenlő szárú trapéz átlóin és a köztük lévő szögön keresztül

d- trapéz átlója

α,β- átlók közötti szögek

Az egyenlő szárú trapéz átlóin és a köztük lévő szögén áthaladó terület képlete (S):

4. Egy egyenlő szárú trapéz átmenő területének képlete középvonal, oldal és sarok az alapnál

c- oldal

m - a trapéz középvonala

α, β - szögek az alapnál

Az egyenlő szárú trapéz területének képlete a középvonal, az oldalsó oldal és az alapszög felhasználásával,

(S):

5. Egy egyenlő szárú trapéz területének képlete alapok és magasságok felhasználásával

a - alsó alap

b - felső alap

h - a trapéz magassága

Az egyenlő szárú trapéz területének képlete alapokkal és magassággal, (S):

Egy háromszög területe egy oldal és két szög alapján, képlet.

a, b, c - a háromszög oldalai

α, β, γ - ellentétes szögek

Egy háromszög oldala és két szöge (S):

Egy szabályos sokszög területének képlete

a sokszög a - oldala

n - oldalak száma

Szabályos sokszög területe (S):

Képlet (Gém) a háromszög félkörzetén átmenő területének (S):

Egy egyenlő oldalú háromszög területe:

Képletek egy egyenlő oldalú háromszög területének kiszámításához.

a háromszög a - oldala

h – magasság

Hogyan lehet kiszámítani egy egyenlő szárú háromszög területét?

b - a háromszög alapja

a - egyenlő oldalak

h – magasság

3. Képlet a trapéz területének négy oldalával

a - alsó alap

b - felső alap

c, d - oldalak

A trapéz körülírt körének sugara az oldalak és az átlók mentén

a - a trapéz oldalsó oldalai

c - alsó alap

b - felső alap

d - átlós

h - magasság

Trapéz kör alakú képlet, (R)

keressük meg egy egyenlő szárú háromszög kerületi sugarát az oldalak segítségével

Egy egyenlő szárú háromszög oldalainak ismeretében a képlet segítségével megkeresheti a háromszög körüli körülírt kör sugarát.

a, b - a háromszög oldalai

Egy egyenlő szárú háromszög kör sugara (R):

A beírt kör sugara hatszögben

a hatszög a - oldala

A hatszögbe írt kör sugara (r):

A beírt kör sugara rombuszban

r - a beírt kör sugara

a rombusz a - oldala

D, d - átlók

h - a rombusz magassága

A beírt kör sugara egyenlő oldalú trapézban

c - alsó alap

b - felső alap

a - oldalak

h - magasság

A beírt kör sugara derékszögű háromszögben

a, b - a háromszög lábai

c - hypotenus

A beírt kör sugara egyenlő szárú háromszögben

a, b - a háromszög oldalai

Bizonyítsuk be, hogy egy beírt négyszög területe:

\/(р - а)(р - b) (р - с) (р - d),

ahol p a fél kerülete, a, b, c és d pedig a négyszög oldalai.

Bizonyítsuk be, hogy egy körbe írt négyszög területe egyenlő

1/2 (ab + cb) · sin α, ahol a, b, c és d a négyszög oldalai, α pedig az a és b oldalak közötti szög.

S = √[ a ƀ c d] sin ½ (α + β). - Bővebben az FB.ru oldalon:

Egy tetszőleges négyszög területe (1.13. ábra) az a, b, c oldalain és egy szemközti szögpár összegén keresztül fejezhető ki:

ahol p a négyszög fél kerülete.

A körbe írt négyszög területét () (1.14. ábra, a) Brahmagupta képletével számítjuk ki

és leírták (1.14. ábra, b) () - a képlet szerint

Ha a négyszöget egyszerre írjuk be és írjuk le (1.14. ábra, c), akkor a képlet nagyon egyszerűvé válik:

Pick képlete

A kockás papíron lévő sokszög területének becsléséhez elegendő megszámolni, hogy ez a sokszög hány cellát fed le (egy cella területét egynek vesszük). Pontosabban, ha S a sokszög területe, akkor azoknak a celláknak a száma, amelyek teljes egészében a poligonon belül helyezkednek el, és azoknak a celláknak a száma, amelyeknek legalább egy közös pontja van a sokszög belsejével.

Az alábbiakban csak azokat a sokszögeket fogjuk figyelembe venni, amelyeknek minden csúcsa a kockás papír csomópontjaiban található - azokat, ahol a rácsvonalak metszik egymást. Kiderült, hogy az ilyen sokszögekhez a következő képletet lehet megadni:

ahol a terület, r azon csomópontok száma, amelyek szigorúan a poligonon belül helyezkednek el.

Ezt a képletet „Pick-képletnek” nevezik – az 1899-ben felfedező matematikus után.

Mi az a terület?

A terület egy zárt geometriai alakzat (kör, négyzet, háromszög stb.) jellemzője, amely megmutatja a méretét. Mért terület négyzetcentiméter, méter stb. Betűvel jelölve S(négyzet).

Hogyan lehet megtalálni a háromszög területét?

S= a h

Ahol a- alaphossz, h– az alaphoz húzott háromszög magassága.

Ráadásul az alapnak nem kell alul lennie. Ez is megteszi.

Ha egy háromszög tompa, majd a magasságot az alap folytatásáig csökkentjük:

Ha egy háromszög négyszögletes, akkor az alap és a magasság a lábai:

2. Egy másik képlet, amely nem kevésbé hasznos, de valamiért mindig elfelejtik:

S= a b sinα

Ahol aÉs b- a háromszög két oldala, sinα az ezen oldalak közötti szög szinusza.

A fő feltétel az, hogy a szög két ismert oldal között legyen.

3. A három oldali terület képlete (Heron képlete):

S=

Ahol a, bÉs Val vel a háromszög oldalai, és R - fél kerülete p = (a+b+c)/2.

4. A háromszög területének képlete a körülírt kör sugara szerint:

S=

Ahol a, bÉs Val vel a háromszög oldalai, és R – a körülírt kör sugara.

5. A háromszög területének képlete a beírt kör sugara szerint:

S= p · r

Ahol R - háromszög fél kerülete, és r – a beírt kör sugara.

Hogyan lehet megtalálni a téglalap területét?

1. Egy téglalap területe egyszerűen megtalálható:

S=a b

Semmi trükk.

Hogyan lehet megtalálni egy négyzet területét?

1. Mivel a négyzet olyan téglalap, amelynek minden oldala egyenlő, ugyanaz a képlet vonatkozik rá:

S=a · a = a 2

2. A négyzet területe az átlóján keresztül is megtalálható:

S= d 2

Hogyan találjuk meg a paralelogramma területét?

1. A paralelogramma területét a következő képlet határozza meg:

S=a h

Ez annak a ténynek köszönhető, hogy ha kivágunk belőle egy derékszögű háromszöget a jobb oldalon, és feltesszük a bal oldalra, akkor egy téglalapot kapunk:

2. A paralelogramma területe a két oldal közötti szögön keresztül is megtalálható:

S=a · b · sinα

Hogyan lehet megtalálni a rombusz területét?

A rombusz lényegében egy paralelogramma, amelynek minden oldala egyenlő. Ezért ugyanazok a területképletek vonatkoznak rá.

1. Egy rombusz területe a magasságon keresztül:

S=a h

A geometriai feladatok megoldásához ismernie kell a képleteket - például a háromszög területét vagy a paralelogramma területét -, valamint egyszerű technikák, amiről beszélni fogunk.

Először tanuljuk meg az ábrák területeinek képleteit. Külön gyűjtöttük őket egy kényelmes táblázatba. Nyomtass, tanulj és jelentkezz!

Természetesen nem minden geometriai képlet szerepel a táblázatunkban. Például geometriai és sztereometriai feladatok megoldására a második részben profil Egységes államvizsga A matematikában más képleteket is használnak a háromszög területének meghatározására. Mindenképpen mesélni fogunk róluk.

De mi van, ha nem egy trapéz vagy háromszög területét kell megkeresnie, hanem valamilyen összetett alak területét? Eszik univerzális módszerek! Megmutatjuk őket a FIPI feladatbankból származó példákon keresztül.

1. Hogyan lehet megtalálni egy nem szabványos figura területét? Például egy tetszőleges négyszög? Egy egyszerű technika - osszuk fel ezt a figurát olyanokra, amelyekről mindent tudunk, és keressük meg a területét - ezen figurák területeinek összegeként.

Osszuk ezt a négyszöget egy vízszintes vonallal két háromszögre közös alap, egyenlő . Ezeknek a háromszögeknek a magassága egyenlő és . Ekkor a négyszög területe egyenlő a két háromszög területének összegével: .

Válasz: .

2. Egyes esetekben az ábra területe egyes területek különbségeként ábrázolható.

Nem olyan egyszerű kiszámolni, hogy ennek a háromszögnek mekkora alapja és magassága! De azt mondhatjuk, hogy területe egyenlő egy oldalas és három derékszögű háromszögű négyzet területeinek különbségével. Látod őket a képen? Kapunk: .

Válasz: .

3. Néha egy feladatban nem a teljes figura területét kell megtalálnia, hanem annak egy részét. Általában egy szektor területéről beszélünk - egy kör egy részéből, keresse meg egy olyan kör sugarú szektorának területét, amelynek ívhossza egyenlő.

Ezen a képen egy kör egy részét látjuk. A teljes kör területe egyenlő. Továbbra is ki kell deríteni, hogy a kör melyik része van ábrázolva. Mivel a teljes kör hossza egyenlő (hiszen), és egy adott szektor ívének hossza egyenlő, ezért az ív hossza kisebb, mint a teljes kör hossza. Az a szög, amelyben ez az ív nyugszik, szintén kisebb, mint egy teljes kör (azaz fok). Ez azt jelenti, hogy a szektor területe többszörösen kisebb lesz, mint a teljes kör területe.

Négyzet geometriai formák - számértékek, jellemzi méretüket kétdimenziós tér. Ez az érték rendszer- és nem rendszeregységekben mérhető. Például, nem rendszerszintű egység terület - száz négyzetméter, hektár. Ez az eset áll fenn, ha a mért felület egy földdarab. A terület rendszeregysége a hosszúság négyzete. Az SI rendszerben általánosan elfogadott, hogy a területegység lapos felület- Ezt négyzetméter. BAN BEN GHS egység területét négyzetcentiméterben fejezzük ki.

A geometria és a területképletek elválaszthatatlanul összefüggenek. Ez az összefüggés abban rejlik, hogy a síkidomok területének számítása pontosan ezek alkalmazásán alapul. Számos ábra esetében több lehetőség is származik, amelyekből kiszámítják a négyzet méretét. A problémafelvetés adatai alapján meg tudjuk határozni a lehető legegyszerűbb megoldást. Ez megkönnyíti a számítást, és minimálisra csökkenti a számítási hibák valószínűségét. Ehhez vegye figyelembe az ábrák fő területeit a geometriában.

Bármely háromszög területének meghatározására szolgáló képletek többféleképpen is bemutathatók:

1) A háromszög területét az a alapból és a h magasságból kell kiszámítani. Az alapnak azt az oldalát tekintjük, amelyen a magasság le van engedve. Ekkor a háromszög területe:

2) Terület derékszögű háromszög pontosan ugyanúgy számítjuk ki, ha a hipotenúzát tekintjük alapnak. Ha a lábat vesszük alapul, akkor a derékszögű háromszög területe egyenlő lesz a felezett lábak szorzatával.

A háromszög területének kiszámítására szolgáló képletek nem érnek véget. Egy másik kifejezés tartalmazza oldalak a,b valamint az a és b közötti γ szög szinuszfüggvénye. A szinuszérték a táblázatokban található. Számológép segítségével is megtudhatja. Ekkor a háromszög területe:

Ezzel az egyenlőséggel arról is meggyőződhet, hogy a derékszögű háromszög területét a lábak hossza határozza meg. Mert γ szög derékszög, tehát a derékszögű háromszög területét a szinuszfüggvénnyel való szorzás nélkül számítjuk ki.

3) Fontolja meg különleges eset - szabályos háromszög, amelynek a oldala feltétel alapján ismert vagy hossza megtalálható a megoldásban. A geometriai feladatban szereplő ábráról többet nem tudunk. Akkor hogyan lehet megtalálni a területet ilyen feltételek mellett? Ebben az esetben a szabályos háromszög területének képletét alkalmazzák:

Téglalap

Hogyan lehet megtalálni a téglalap területét és használni a közös csúcsú oldalak méreteit? A számítási kifejezés a következő:

Ha az átlók hosszát kell használnia egy téglalap területének kiszámításához, akkor szükség lesz a metszéskor kialakult szög szinuszának függvényére. A téglalap területének képlete a következő:

Négyzet

A négyzet területét az oldalhossz második hatványaként határozzuk meg:

A bizonyítás abból a definícióból következik, hogy a négyzet téglalap. Minden oldal, amely négyzetet alkot, azonos méretű. Ezért egy ilyen téglalap területének kiszámítása az egyiket a másikkal szorozza, azaz az oldal második hatványával. És a négyzet területének kiszámításának képlete a kívánt formát veszi fel.

A négyzet területe más módon is megtalálható, például ha az átlót használja:

Hogyan számítsuk ki egy sík része által alkotott ábra területét, egy kör korlátozza? A terület kiszámításához a következő képleteket kell használni:

Paralelogramma

A paralelogramma esetében a képlet tartalmazza lineáris méretek oldalak, magasságok és matematikai művelet - szorzás. Ha a magasság ismeretlen, akkor hogyan lehet megtalálni a paralelogramma területét? Van egy másik módszer is a számításra. Egy bizonyos értékre lesz szükség, ami el fog tartani trigonometrikus függvény a kialakult szög szomszédos felek, valamint azok hosszát.

A paralelogramma területének képletei a következők:

Rombusz

Hogyan találjuk meg a rombusznak nevezett négyszög területét? A rombusz területét egyszerű módszerrel határozzuk meg matematikai műveletekátlókkal. A bizonyítás azon a tényen alapul, hogy a d1 és d2 átlós szakaszai derékszögben metszik egymást. A szinusztáblázatból látható, hogy azért derékszög ezt a funkciót egyenlő eggyel. Ezért a rombusz területét a következőképpen számítják ki:

A rombusz területe más módon is megtalálható. Ezt sem nehéz bizonyítani, tekintve, hogy oldalai azonos hosszúságúak. Ezután helyettesítse a szorzatukat egy hasonló kifejezéssel egy paralelogrammára. Hiszen ennek a konkrét alaknak egy speciális esete a rombusz. Itt γ- belső sarok rombusz A rombusz területét a következőképpen határozzuk meg:

Trapéz alakú

Hogyan lehet megtalálni a trapéz területét az (a és b) alapokon keresztül, ha a probléma a hosszukat jelzi? Itt anélkül ismert érték h magasság hossza, nem lehet kiszámítani egy ilyen trapéz területét. Mert ez az érték tartalmazza a számítási kifejezést:

Négyzet méretű téglalap alakú trapéz ugyanígy számolható is. Figyelembe kell venni, hogy egy téglalap alakú trapézben a magasság és az oldal fogalma egyesül. Ezért téglalap alakú trapéz esetén a magasság helyett az oldaloldal hosszát kell megadni.

Henger és paralelepipedon

Nézzük meg, mi szükséges a teljes henger felületének kiszámításához. Egy adott ábra területe egy körpár, amelyet alapoknak nevezünk, és oldalfelület. A köröket alkotó körök sugara egyenlő r-rel. Egy henger területére a következő számítás történik:

Hogyan lehet megtalálni egy paralelepipedon területét, amely három pár arcból áll? Mérete megegyezik az adott párral. Az ellentétes arcok ugyanazokkal a paraméterekkel rendelkeznek. Először keresse meg az S(1), S(2), S(3) - az egyenlőtlen lapok négyzetméreteit. Ekkor a paralelepipedon felülete:

Gyűrű

Két kört közös központ gyűrűt alkotnak. A gyűrű területét is korlátozzák. Ebben az esetben mindkét számítási képlet figyelembe veszi az egyes körök méreteit. Közülük az első, amely a gyűrű területét számítja, a nagyobb R és a kisebb r sugarakat tartalmazza. Gyakrabban külsőnek és belsőnek nevezik őket. A második kifejezésben a gyűrű területét a nagyobb D és a kisebb d átmérők alapján számítjuk ki. Így a gyűrű területét az ismert sugarak alapján a következőképpen számítjuk ki:

A gyűrű területét az átmérők hosszának felhasználásával a következőképpen határozzuk meg:

Poligon

Hogyan lehet megtalálni egy olyan sokszög területét, amelynek alakja nem szabályos? Általános képlet Területre vonatkozóan nincsenek ilyen adatok. De ha rajta van ábrázolva Koordináta sík például lehet kockás papír, akkor ebben az esetben hogyan lehet megtalálni a felületet? Itt olyan módszert alkalmaznak, amely nem igényli az ábra hozzávetőleges mérését. Ezt teszik: ha olyan pontokat találnak, amelyek a cella sarkába esnek, vagy teljes koordinátákkal rendelkeznek, akkor csak azokat veszik figyelembe. Ha meg szeretné tudni, mi az a terület, használja a Peake által bizonyított képletet. Össze kell adni a szaggatott vonalon belül található pontok számát, amelyen a pontok fele található, és ki kell vonni egyet, azaz a következőképpen számítjuk ki:

ahol B, G - a pontok száma a teljes szaggatott vonalon belül és a teljes vonalon.