Standard variáció. Változási mutatók

Az egyenes egyenletek tanulmányozásához jól kell ismernie a vektoralgebrát. Fontos megtalálni az egyenes irányvektorát és normálvektorát. Ez a cikk megvitatja normál vektor egyenes példákkal és rajzokkal, koordinátáinak megtalálása, ha az egyenesek egyenletei ismertek. A részletes megoldást megvitatják.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Az anyag könnyebb emészthetősége érdekében meg kell értenie a vektorokhoz kapcsolódó vonal, sík és definíciók fogalmait. Először is ismerkedjünk meg a vonalvektor fogalmával.

1. definíció

Normál vonal vektor bármely nullától eltérő vektor, amely az adott vektorra merőleges bármely egyenesen fekszik.

Egyértelmű, hogy van végtelen halmaz egy adott egyenesen elhelyezkedő normálvektorok. Nézzük az alábbi ábrát.

Megállapítjuk, hogy az egyenes két adott párhuzamos egyenes egyikére merőleges, majd a merőlegessége a második párhuzamos egyenesre terjed ki. Ebből azt kapjuk, hogy ezen párhuzamos egyenesek normálvektorainak halmazai egybeesnek. Ha az a és a 1 egyenesek párhuzamosak, és n → az a egyenes normálvektorának tekinthető, akkor az a 1 egyenes normálvektorának is tekinthető. Ha egy a egyenesnek van közvetlen vektora, akkor a t · n → vektor a t paraméter bármely értékére nem nulla, és az a egyenesre is normális.

A normál- és irányvektor definícióját felhasználva megállapíthatjuk, hogy a normálvektor merőleges az irányra. Nézzünk egy példát.

Ha az O x y sík adott, akkor az O x vektorok halmaza a j → koordinátavektor. Nem nullának számít, és ehhez tartozik koordináta tengely O y, merőleges az O x-re. Az O x-re vonatkozó normálvektorok teljes halmaza felírható t · j →, t ∈ R, t ≠ 0 alakban.

Az O x y z téglalaprendszernek van egy i → normálvektora, amely az O z egyeneshez kapcsolódik. A j → vektort is normálisnak tekintjük. Ez azt mutatja, hogy bármely síkban elhelyezkedő és O z-re merőleges nem nulla vektor normálisnak tekinthető O z-re.

Az egyenes normálvektorának koordinátái - az egyenes normálvektorának koordinátáinak megtalálása az ismert egyenes egyenletek segítségével

Ha figyelembe vesszük az O x y derékszögű koordinátarendszert, azt találjuk, hogy a síkon egy egyenes egyenlete felel meg neki, és a normálvektorok meghatározása a koordinátákból történik. Ha ismert egy egyenes egyenlete, és meg kell találni a normálvektor koordinátáit, akkor az A x + B y + C = 0 egyenletből meg kell határozni azokat az együtthatókat, amelyek megfelelnek a normálvektor koordinátáinak. az adott egyenes normálvektora.

1. példa

Adott egy 2 x + 7 y - 4 = 0 _ alakú egyenes, keresse meg a normálvektor koordinátáit.

Megoldás

Feltétellel azt kaptuk, hogy az egyenest egy általános egyenlet adta meg, ami azt jelenti, hogy fel kell írni az együtthatókat, amelyek a normálvektor koordinátái. Ez azt jelenti, hogy a vektor koordinátáinak értéke 2, 7.

Válasz: 2 , 7 .

Vannak esetek, amikor egy egyenletből A vagy B egyenlő nullával. Nézzük meg egy ilyen feladat megoldását egy példa segítségével.

2. példa

Adja meg az adott egyenes normálvektorát y - 3 = 0.

Megoldás

Feltétel alapján egy általános egyenes egyenletet kapunk, ezért írjuk fel így: 0 · x + 1 · y - 3 = 0. Most tisztán látjuk az együtthatókat, amelyek a normálvektor koordinátái. Ez azt jelenti, hogy azt találjuk, hogy a normálvektor koordinátái 0, 1.

Válasz: 0, 1.

Ha adott egyenlet x a + y b = 1 alakú szegmensekben vagy egyenlet lejtő y = k · x + b, akkor redukálni kell az egyenes általános egyenletére, ahol megtaláljuk ennek az egyenesnek a normálvektorának koordinátáit.

3. példa

Határozzuk meg a normálvektor koordinátáit, ha adott az x 1 3 - y = 1 egyenes egyenlete!

Megoldás

Először is az x 1 3 - y = 1 szegmensekben szereplő egyenletről egy általános egyenletre kell lépnie. Ekkor azt kapjuk, hogy x 1 3 - y = 1 ⇔ 3 x - 1 y - 1 = 0.

Ez azt mutatja, hogy a normálvektor koordinátái 3, - 1 értékűek.

Válasz: 3 , - 1 .

Ha az egyenest az x - x 1 a x = y - y 1 a y vagy parametrikus x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ síkon lévő egyenes kanonikus egyenlete határozza meg, akkor a koordináták megszerzése bonyolultabb. Ezekből az egyenletekből világos, hogy az irányvektor koordinátái a → = (a x , a y) lesznek. Az n → normálvektor koordinátáinak megtalálásának lehetősége az n → és a → vektorok merőlegességének feltétele miatt lehetséges.

Egy normálvektor koordinátáit megkaphatjuk a kanonikus ill parametrikus egyenletek közvetlenül a tábornoknak. Akkor kapjuk:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ a y · x - a x · y + a x · y 1 - a y · x 1 x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · x - a x · y + a x · y 1 - a y · x 1 = 0

Ennek megoldására bármilyen kényelmes módszert választhat.

4. példa

Határozzuk meg az adott egyenes normálvektorát x - 2 7 = y + 3 - 2 .

Megoldás

Az x - 2 7 = y + 3 - 2 egyenesből jól látható, hogy az irányvektornak a → = (7 , - 2) koordinátái lesznek. Egy adott egyenes n → = (n x, n y) normálvektora merőleges a → = (7, - 2) -re.

Nézzük meg, mi a skalárszorzat. Megtalálni pont termék vektorok a → = (7, - 2) és n → = (n x, n y) a → , n → = 7 · n x - 2 · n y = 0 vektorokat írjuk.

Az n x értéke tetszőleges n y-t kell keresni. Ha n x = 1, akkor innen azt kapjuk, hogy 7 · 1 - 2 · n y = 0 ⇔ n y = 7 2.

Ez azt jelenti, hogy a normálvektor koordinátái 1, 7 2.

A második megoldás az a tény, hogy meg kell érkezni Általános megjelenés egyenletek a kanonikusból. Ennek érdekében átalakítjuk

x - 2 7 = y + 3 - 2 ⇔ 7 · (y + 3) = - 2 · (x - 2) ⇔ 2 x + 7 y - 4 + 7 3 = 0

A normálvektor koordinátáinak eredője 2, 7.

Válasz: 2, 7 vagy 1 , 7 2 .

5. példa

Adja meg az x = 1 y = 2 - 3 · λ egyenes normálvektorának koordinátáit!

Megoldás

Először is el kell végeznie egy átalakítást, hogy áttérjen az egyenes vonal általános formájára. Csináljuk:

x = 1 y = 2 - 3 · λ ⇔ x = 1 + 0 · λ y = 2 - 3 · λ ⇔ λ = x - 1 0 λ = y - 2 - 3 ⇔ x - 1 0 = y - 2 - 3 ⇔ ⇔ - 3 · (x - 1) = 0 · (y - 2) ⇔ - 3 · x + 0 · y + 3 = 0

Ebből láthatjuk, hogy a normálvektor koordinátái egyenlőek - 3, 0-val.

Válasz: - 3 , 0 .

Tekintsünk módszereket egy normálvektor koordinátáinak meghatározására egy adott térbeli egyenes egyenletéhez téglalap alakú rendszer koordináták O x y z.

Ha egy egyenest az A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 és A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 metsző síkegyenletek adnak meg, akkor a normálvektor a sík A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 és A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, akkor az n 1 → = alakban felírt vektorokat kapjuk (A 1, B 1, C 1) és n 2 → = (A 2, B 2, C 2).

Ha egy egyenest egy kanonikus téregyenlet segítségével határozunk meg, amelynek alakja x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z, vagy egy paraméteres egyenletet, amelynek alakja x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ, ezért a x, a y és a z egy adott egyenes irányvektorának koordinátáinak tekinthetők. Bármely nullától eltérő vektor lehet normális egy adott egyenesre, és lehet merőleges a vektorra a → = (a x, a y, a z) . Ebből következik, hogy a normál koordinátáinak megtalálása parametrikus és kanonikus egyenletekkel egy adott a → = (a x, a y, a z) vektorra merőleges vektor koordinátái alapján történik.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Mégpedig arról, amit a címben lát. Lényegében ez egy „térbeli analóg” érintő problémák keresése És normálisak egy változó függvényének grafikonjára, és ezért nem merülhet fel nehézség.

Kezdjük az alapvető kérdésekkel: MI AZ érintősík és MI A normál? Sokan az intuíció szintjén értik ezeket a fogalmakat. A legtöbb egyszerű modell Egy golyó jut eszembe, amelyen egy vékony lapos kartonlap hever. A karton a lehető legközelebb van a gömbhöz, és egyetlen ponton érinti. Ezenkívül az érintkezési ponton egy egyenesen felfelé szúró tűvel rögzítik.

Elméletileg van egy meglehetősen zseniális definíciója az érintősíknak. Képzelj el egy ingyenes felület és a hozzá tartozó pontot. Nyilván sok minden átmegy a lényegen térbeli vonalak, amelyek ehhez a felülethez tartoznak. Kinek milyen egyesületei vannak? =) ...személy szerint egy polipot képzeltem el. Tegyük fel, hogy minden ilyen sor rendelkezik térbeli érintő pontban.

1. definíció: érintő sík egy ponton a felszínre – ez az repülőgép , amely egy adott felülethez tartozó és a ponton átmenő görbék érintőit tartalmazza.

2. definíció: Normál egy ponton a felszínre – ez az egyenes , áthaladó ez a pont merőleges az érintősíkra.

Egyszerű és elegáns. Egyébként, hogy ne halj bele az unalomba az anyag egyszerűsége miatt, kicsit később megosztok veled egy elegáns titkot, amivel elfeledkezhetsz a különféle definíciók összezsúfolásáról EGYSZER ÉS MINDENKINEK.

A munkaképletekkel és a megoldási algoritmusokkal közvetlenül a címen ismerkedünk meg konkrét példa. A problémák túlnyomó többségében meg kell alkotni az érintősík egyenletet és a normál egyenletet is:

1. példa

Megoldás:ha a felületet az egyenlet adja meg (azaz implicit módon), akkor egy pontban egy adott felület érintősíkjának egyenlete a következő képlettel kereshető meg:

Különös figyelmet fordítok a szokatlan parciális származékokra - azok nem szabad összekeverni Val vel egy implicit módon meghatározott függvény parciális deriváltjai (bár a felület implicit módon meg van adva). Ezen származékok megtalálásakor az embernek vezérelnie kell szabályok a három változó függvényének megkülönböztetésére , vagyis ha bármely változóhoz képest megkülönböztetünk, a másik két betűt konstansnak tekintjük:

Anélkül, hogy elhagynánk a pénztárgépet, a részleges származékot a következő helyen találjuk:

Hasonlóképpen:

Ez volt a döntés legkellemetlenebb pillanata, amikor egy hiba, ha nem megengedett, de folyamatosan megjelenik. Van azonban itt egy hatékony ellenőrzési technika, amiről az órán beszéltem. Irányi derivált és gradiens .

Az összes „összetevőt” megtaláltuk, és most gondos helyettesítésről van szó további egyszerűsítésekkel:

– általános egyenlet a kívánt érintősíkot.

Nyomatékosan ajánlom a megoldás ezen szakaszának ellenőrzését is. Először meg kell győződnie arról, hogy az érintőpont koordinátái valóban megfelelnek a talált egyenletnek:

- igazi egyenlőség.

Most „eltávolítjuk” az együtthatókat általános egyenlet síkokat, és ellenőrizze, hogy egybeesnek vagy arányosak-e a megfelelő értékekkel. BAN BEN ebben az esetben arányos. Ahogy emlékszel analitikus geometria tanfolyam , - Ezt normál vektor érintő sík, és ő is útmutató vektor normál egyenes vonal. Komponáljunk kanonikus egyenletek normálok pont- és irányvektor szerint:

Elvileg a nevezők kettővel csökkenthetők, de erre nincs különösebb szükség

Válasz:

Nem tilos az egyenleteket néhány betűvel jelölni, de miért? Itt már nagyon világos, hogy mi az.

A következő két példa erre való önálló döntés. Egy kis „matematikai nyelvforgató”:

2. példa

Határozzuk meg az érintősík és a felület normáljának egyenleteit a pontban!

És egy technikai szempontból érdekes feladat:

3. példa

Írjon fel egyenleteket a felület érintősíkjára és normáljára egy pontban!

Azon a ponton.

Minden esély megvan arra, hogy ne csak összezavarodj, hanem nehézségekbe is ütközz a felvétel során az egyenes kanonikus egyenletei . És a normál egyenletek, amint valószínűleg megérti, általában ebben a formában vannak írva. Bár egyes árnyalatok feledékenysége vagy tudatlansága miatt a parametrikus forma több mint elfogadható.

Hozzávetőleges példák a megoldások végső végrehajtására az óra végén.

Van-e érintősík a felület bármely pontjában? BAN BEN általános eset, természetesen nem. Klasszikus példa- Ezt kúpfelület és pont - az érintők ezen a ponton közvetlenül alakulnak ki kúpfelület, és természetesen ne feküdjenek egy síkban. Könnyű analitikusan ellenőrizni, hogy valami nincs rendben: .

A másik problémaforrás a tény nemlétezés bármely parciális derivált egy pontban. Ez azonban nem jelenti azt, hogy egy adott pontban nincs egyetlen érintősík.

De ez inkább populáris tudomány volt, mintsem gyakorlatilag jelentős információ, és visszatérünk a sürgető kérdésekhez:

Hogyan írjunk fel egyenleteket az érintősíkra és a normálra egy pontban,
ha a felületet explicit függvény határozza meg?

Írjuk át implicit módon:

És ugyanezeket az elveket alkalmazva parciális származékokat találunk:

Így az érintősík képlet a következő egyenletté alakul:

És ennek megfelelően kanonikus egyenletek normál:

Ahogy sejtheti, - ezek már „igaziak” két változó függvényének parciális deriváltjai ponton, amit korábban „z” betűvel jelöltünk, és 100500-szor találtuk meg.

Felhívjuk figyelmét, hogy ebben a cikkben elegendő emlékezni a legelső képletre, amelyből szükség esetén könnyen levezethető minden más (persze, hogy van alapszint készítmény). Ezt a megközelítést kell alkalmazni a tanulás során egzakt tudományok, azaz minimális információból arra kell törekednünk, hogy maximum következtetéseket és következtetéseket „levonjunk”. A „megfontoltság” és a meglévő tudás segít! Ez az elv azért is hasznos, mert nagy valószínűséggel megkíméli Önt kritikus szituáció amikor nagyon keveset tudsz.

Nézzük meg a „módosított” képleteket néhány példával:

4. példa

Írjon egyenleteket a felület érintő síkjára és normáljára! pontban.

Itt van egy kis átfedés a jelölésekkel - most a betű egy pontot jelöl a síkon, de mit tehetsz - ilyen népszerű betű...

Megoldás: állítsuk össze a kívánt érintősík egyenletét a következő képlettel:

Számítsuk ki a függvény értékét a pontban:

Számoljunk I. rendű parciális származékok ezen a ponton:

És így:

óvatosan, ne siess:

Írjuk fel a normális kanonikus egyenleteit a pontba:

Válasz:

És egy utolsó példa a saját megoldásodhoz:

5. példa

Írja fel a pontban lévő felület érintősíkjának és normáljának egyenleteit!

Végső – mert gyakorlatilag az összes technikai pontot kifejtettem, és nincs mit hozzátenni. Még maguk az ebben a feladatban javasolt függvények is unalmasak és monotonok - a gyakorlatban szinte garantáltan találkozunk egy „polinomiával”, és ebben az értelemben a 2. példa exponenssel úgy néz ki, mint egy „fekete bárány”. Egyébként sokkal nagyobb eséllyel találkozik felülettel egyenlet adja megés ez egy másik oka annak, hogy a függvény másodikként került be a cikkbe.

És végül a beígért titok: hogyan kerüljük el a definíciók zsúfoltságát? (Persze nem arra a helyzetre gondolok, amikor egy diák lázasan tömködik valamit vizsga előtt)

Minden fogalom/jelenség/tárgy meghatározása mindenekelőtt választ ad következő kérdés: AMI? (kik/olyanok/olyanok). Tudatosan válaszolva ez a kérdés, meg kell próbálnia tükrözni jelentős jelek, egyértelműen egy adott fogalom/jelenség/tárgy azonosítása. Igen, eleinte kissé nyelvesnek, pontatlannak és feleslegesnek bizonyul (a tanár kijavít =)), de idővel egészen tisztességes tudományos beszéd alakul ki.

Gyakoroljon például a legelvontabb tárgyakon, és válaszoljon a kérdésre: ki az a Cseburaska? Ez nem ilyen egyszerű ;-) Ez " mesefigura nagy fülekkel, szemekkel és barna bundával"? Messze és nagyon távol van a meghatározástól – soha nem tudhatod, hogy vannak ilyen tulajdonságokkal rendelkező karakterek... De ez sokkal közelebb áll a definícióhoz: „Cseburaska Eduard Uszpenszkij író által 1966-ban kitalált karakter, aki ... (a fő listák megkülönböztető jellegzetességek)» . Figyeld meg, milyen jól indult