Két sík párhuzamos ugyanahhoz az egyeneshez. Mondhatjuk, hogy ezek a síkok párhuzamosak? Két, ugyanarra a síkra merőleges egyenes párhuzamos
Legyen adott egy sík és egy pont, amely nem fekszik rajta:
Egy adott pontból ide ejtett merőleges adott repülőgép, az úgynevezett összekötő szegmens ezt a pontot a sík egy pontjával, és a síkra merőleges egyenesen fekszik;
- ennek a szakasznak a síkban fekvő végét a merőleges alapjának nevezzük;
- a pont és a sík távolsága az ebből a pontból a síkra húzott merőleges hossza;
Egy adott pontból egy adott síkra húzott ferde egyenes bármely szakasz, amely egy adott pontot összeköt a sík egy pontjával, amely nem merőleges a síkra;
- a szegmens síkban fekvő végét ferde alapnak nevezzük;
Az ugyanabból a pontból húzott merőleges és egy ferde alapjait összekötő szakaszt ferde vetületnek nevezzük.
Az ábrán az A pontból merőleges AB és ferde AC húzódik a síkra. A B pont a merőleges alapja, a C pont a ferde alapja, a BC a ferde AC vetülete a síkra.
Három merőleges tétel:
Ha egy síkon húzott egyenes átmenő ferde alap, merőleges rá előrejelzések, akkor merőleges hajlamos. És fordítva: Ha egy síkban egy egyenes merőleges egy ferde vonalra, akkor merőleges és ferde vetület.
Két egymást metsző síkot merőlegesnek nevezünk, ha a harmadik sík, amely merőleges e síkok metszésvonalára, merőleges egyenesek mentén metszi őket.
1. példa
A háromszögbe írt kör középpontján keresztül egy egyenest húzunk, amely merőleges a háromszög síkjára. Bizonyítsuk be, hogy ezen az egyenesen minden pont egyenlő távolságra van a háromszög oldalaitól.
Legyen A, B, C a háromszög oldalainak a körrel való érintkezési pontja, O a kör középpontja, S pedig a merőleges pontja. Mivel az OA sugár merőleges a háromszög oldalára, ezért a három merőleges tétele szerint az SA szakasz merőleges erre az oldalra, hossza pedig az S pont és a háromszög oldala közötti távolság. A Pitagorasz-tétel szerint SA=, ahol r a beírt kör sugara. Hasonlóan találjuk: 
, azaz Az S pont és a háromszög oldalai közötti összes távolság egyenlő.
- Mit nevezünk egy adott pontból egy síkra ejtett merőlegesnek?
- Mi az a ferde vetítés?
1. Adott egy a egyenes és egy sík. Rajzoljon egy egyenesen keresztül egy síkra merőleges síkot.
2. Bizonyítsuk be, hogy ha egy egyenes párhuzamos egy síkkal, akkor minden pontja azonos távolságra van a síktól.
3. Egy pontból két ferde síkot húzunk, amelyek közül az egyik 20 cm-rel nagyobb, mint a másik. A ferde vetületek 10 cm és 30 cm. Keresse meg a ferde vetületeket.
4. A négyzet oldala 4 cm-re van a négyzet összes csúcsától egyenlő távolságra lévő pont az átlóinak metszéspontjától. Határozza meg a távolságot ettől a ponttól a négyzet csúcsaiig.
5. Egy pontból 10 cm-es és 17 cm-es ferde lejtőket húzunk. Határozzuk meg a ferde lejtők vetületeit!
6. Egy pontból 23 cm-es és 33 cm-es ferde lejtőket húzunk. Határozza meg a távolságot ettől a ponttól a síkig, ha a ferde vetületek aránya 2:3.
8. Az a egyenes merőleges az ABC síkra. MD = 13. AC = 15, BC = 20. AC BC, MD AB. Keresse meg MC-t.
9. Lábak derékszögű háromszög Az ABC (С =90°) egyenlő 4 cm-rel, az M pont pedig √6 cm távolságra van a síktól ABC háromszögés minden csúcsától azonos távolságra. Határozzuk meg az M pont és a háromszög csúcsai közötti távolságot!
Irodalom:
1. Matematika: tankönyv kezdő intézmények számára. és szerda prof. oktatás / M.I. Basmakov. –M.: Akadémia Kiadóközpont, 2010.
Önálló munkavégzés № 5.
Az elhelyezések és permutációk számának számlálásával járó feladatok megoldása.
Az óra célja: a minták számának kiszámításával járó problémák megoldási módszereinek elsajátítása
Elméleti rész:
A kombinatorika a matematika olyan része, amely bizonyos elemek kiválasztásával és elrendezésével kapcsolatos problémák megoldására irányul. véges halmaz adott szabályok szerint, pl. A kombinatorika megoldja azt a problémát, hogy egy véges halmazból válasszunk ki elemeket, és ezeket az elemeket valamilyen sorrendbe rendezzük.
Az n - elemek m - elemekkel való elrendezése () adott n - m - elemből álló kombinációk, amelyek akár magukban az elemekben, akár az elemek sorrendjében különböznek egymástól.
N(n-1)(n-2)…(n-m+1)
1. számú példa Mennyi háromjegyű számok 1...9-es számokból készíthető?
Az n - elem permutációi az n - elemek n - elemenkénti elhelyezéseinek száma.
N(n-1)(n-2)…1=n!
2. példa Hányféleképpen lehet 5 könyvet elhelyezni egy polcon?
Az n - elem m - elemű kombinációi adott n - elemből m - elemből álló kombinációk, amelyek legalább egy elemben különböznek egymástól.
3. példa. Egy csoportban 30 tanuló van. A teszt sikeres teljesítéséhez három csoportra kell osztani őket. Hányféleképpen lehet ezt megtenni?
Biztonsági kérdések:
1. Vázolja fel a kombinatorika céljait!
2. Hánynak nevezzük m n elemének kombinációit?
3. Hánynak nevezzük n elem elhelyezéseinek számát m-be?
4. Mit nevezünk n elem permutációjának?
Gyakorlati rész:
1. Hányféleképpen küldhet egy 25 fős csoport 4 diákot tudományos - gyakorlati konferencia?
2. Tíz diák fogott kezet. Hány kézfogás volt?
3. Hét különböző színű anyagból hányféleképpen készíthető háromszínű csíkos zászló?
4. Hány szótárt kell kiadni, hogy az öt nyelv bármelyikéről le lehessen fordítani valamelyikre?
5. Számolja ki:
6. Számolja ki:
7. Számítsd ki: 5! + 6!
8. Határozza meg a 4 10 elemének elrendezéseinek számát!
9. Számolja ki:
10. Harminc diák cserélt fényképet. Hány fénykép volt összesen?
11. Hányféleképpen lehet nyolc jelölt közül három személyt kiválasztani három pozícióra?
12. Oldja meg az egyenletet:
13. Számítsa ki a kifejezés értékét:
14. Számítsa ki a kifejezés értékét!
5. Párhuzamos vonalak
Két egyenest nevezünk párhuzamos, ha egy síkban lévén nem metszik egymást.
A vonalak párhuzamosságát a || jel jelzi (például AB||CD).
Tétel. Ugyanahhoz az egyeneshez két merőleges párhuzamos.
Bizonyítás: Ha a merőlegesek egy ponton metszik egymást, akkor ebből a pontból két merőlegest húzunk egy egyenesre, ami lehetetlen.
Azon szögek neve, amelyeket akkor kapunk, ha két egyenes metszi a harmadikat
A párhuzamosság jelei.
Ha két egyenes metszi egy harmadik egyenest:
minden megfelelő szög egyenlő,
vagy néhány keresztirányú szög egyenlő,
vagy bármely két belső vagy két külső egyoldalú szög összege 180 fokkal,
akkor a két egyenes párhuzamos.
Párhuzamos egyenesek axiómája.
Ugyanazon a ponton keresztül lehetetlen ugyanahhoz az egyeneshez párhuzamosan két különböző egyenest húzni.Következmény 1. Ha egy egyenes metszi az egyik párhuzamos egyenest, akkor a másikat is metszi.
Következmény 2. A harmadikkal párhuzamos két egyenes párhuzamos.
Szögek párhuzamos vagy merőleges oldallal.
Tétel. Ha az egyik szög oldalai párhuzamosak egy másik szög oldalaival, akkor ezek a szögek vagy egyenlőek, vagy két derékszöget adnak össze.
Tétel. Ha az egyik szög oldalai rendre merőlegesek egy másik szög oldalaira, akkor ezek a szögek vagy egyenlőek, vagy két derékszöget adnak össze.
Egy háromszög és egy sokszög szögeinek összege.
Tétel. Egy háromszög szögeinek összege két derékszöggel egyenlő.
Következmények
:1. A háromszög minden külső szöge egyenlő az összeggel két belső sarok.
2. Ha egy háromszög két szöge egyenlő egy másik háromszög két szögével, akkor a harmadik szögek is egyenlők.
3. Kettő összege éles sarkok egy derékszögű háromszög egyenlő a derékszöggel.
Tétel. Szögek összege
az n-gon 180*(n-2) fokon.Tétel. Egy sokszög külső szögeinek összege négy derékszöggel egyenlő.
2. Adott két egyenes, amelyek a C pontban metszik egymást. Fekszik-e egy harmadik egyenes az egyes adott egyenesekkel ugyanabban a síkban? közös pont?
3.
4. Kettő közötti távolság párhuzamos síkok 8 cm-nek felel meg Egy 17 cm hosszú egyenes szakasz helyezkedik el úgy, hogy a végei a síkokhoz tartoznak. Keresse meg ennek a szakasznak a vetületét minden síkra.
5. Egészítse ki a mondatot a helyes állításhoz:
D) Nem tudom
6. Az a és b egyenesek merőlegesek. Az A és B pont az a egyeneshez, a C és D pont a b egyeneshez tartozik. Az AC és BD egyenesek ugyanabban a síkban vannak?
7. Az ABCDA1B1C1D1 kockában az AC és B1D1 lapok átlói vannak megrajzolva. mi az övék relatív helyzete?
8. Az ABCDA1B1C1D1 kocka éle egyenlő m-rel. Határozza meg az AB és CC1 egyenesek távolságát.
A) 2 m B) 1/2 m C) m D) Nem tudom
9. Döntse el, hogy az állítás igaz-e:
A) igen B) nem C) nem mindig D) Nem tudom
10. Az ABCDA1B1C1D1 kockában keresse meg a BCD és a ВСС1В1 síkok közötti szöget.
A) 90° B) 45° C) 0° D) 60°
11. Van-e olyan prizma, amelynek csak egy van oldalsó él merőleges az alapra?
A) igen B) nem C) Nem tudom
12. Lehet az átló téglalap alakú paralelepipedon legyen kisebb oldalsó borda?
A) igen B) nem C) Nem tudom
13. Mekkora egy 10-es élű kocka oldalfelülete?
A) 40 B) 400 C) 100 D) 200
14. Mi a terület? teljes felület kocka, ha az átlója d?
A) 2d2 B) 6d2 B) 3d2 D) 4d2
15. Hány szimmetriasíkot helyesbít egy négyszög alakú piramis?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6
16. Mi az axiális szakasz bármilyen szabályos piramis?
B) téglalap
B) trapéz alakú
D) egyenlő szárú háromszög
kérlek segíts megoldani a tesztet1. Hány közös egyenese lehet két különböző nem egybeeső síknak?
A) 1 B) 2 C) végtelen halmaz D) nincs D) Nem tudom
2. Adott két C pontban metsző egyenes. Fekszik-e velük egy olyan harmadik egyenes, amelyiknek közös pontja van az adott egyenesekkel?
A) mindig igen B) mindig nem C) hazudik, de nem mindig D) Nem tudom
3. Határozza meg, hogy igaz-e az állítás:
Két sík akkor párhuzamos, ha párhuzamosak ugyanazzal az egyenessel.
A) igen B) nem C) nem tudom D) nem mindig
4. Két párhuzamos sík távolsága 8 cm Egy egyenes szakasz, amelynek hossza 17 cm, úgy helyezkedik el, hogy végei a síkokhoz tartoznak. Keresse meg ennek a szakasznak a vetületét minden síkra.
A) 15 cm B) 9 cm C) 25 cm D) Nem tudom
5. Egészítse ki a kifejezést a helyes állításhoz:
Ha egy vonal a kettő közül az egyikben fekszik merőleges síkok, merőleges a metszésvonalukra, akkor ez ...
A) párhuzamos egy másik síkkal
B) metszi egy másik síkot
B) merőleges egy másik síkra
D) Nem tudom
6. Az a és b egyenesek merőlegesek. Az A és B pont az a egyeneshez, a C és D pont a b egyeneshez tartozik. Az AC és BD egyenesek ugyanabban a síkban vannak?
A) igen B) nem C) nem mindig D) nem tudom
7. Az ABCDA1B1C1D1 kockában megrajzoljuk az AC és B1D1 lapok átlóit. mi a relatív helyzetük?
A) metszi B) metszi C) párhuzamos D) nem tudom
8. Az ABCDA1B1C1D1 kocka éle egyenlő m-rel. Határozza meg az AB és CC1 egyenesek távolságát.
A) 2m B) B) m D) Nem tudom
9. Határozza meg, hogy igaz-e az állítás:
Ha két egyenes alakul ki egyenlő szögek ugyanazzal a síkkal, akkor párhuzamosak.
A) igen B) nem C) nem mindig D) nem tudom
10. Az ABCDA1B1C1D1 kockában keresse meg a BCD és a ВСС1В1 síkok közötti szöget!
A) 90 B) 45 C) 0 D) 60
11. Van olyan prizma, amelynek csak az egyik oldallapja merőleges az alapra?
A) igen B) nem C) Nem tudom
12. Lehet-e kisebb egy téglalap alakú paralelepipedon átlója az oldalélénél?
A) igen B) nem C) Nem tudom
13. Mekkora a 10-es élű kocka oldalfelületének területe?
A) 40 B) 400 C) 100 D) 200
14. Mekkora egy kocka teljes felülete, ha az átlója d?
A) 2d2 B) 6d2 B) 3d2 D) 4d2
15. Hány szimmetriasíkja van egy szabályos négyszög alakú piramisnak?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6
16. Mekkora bármely szabályos piramis tengelyirányú metszete?
A) egyenlő oldalú háromszög
B) téglalap
B) trapéz alakú
D) egyenlő szárú háromszög
pontok, amelyek nem ugyanazon a vonalon fekszenek?
2. Lehet-e két különböző síknak csak két közös pontja?
Közvetlen a ésb pontban metszik egymást M. Az M ponton át nem haladó c egyenes metszi az egyeneseket AÉs b. Ez a három egyenes ugyanabban a síkban van? Mi a vonalak egymáshoz viszonyított helyzete: 1) A 1 D És MN; 2) A 1 D És V 1C; 3) MN És A 1B1(1. ábra). Közvetlen AÉs b egyenes vonallal keresztezve Vel. Lehet egyenes AÉs b párhuzamos legyen? Két egyenes párhuzamos ugyanahhoz a síkhoz. Mondhatjuk-e, hogy ezek az egyenesek párhuzamosak egymással? Ha nem, mi a relatív helyzetük? A 2. ábrán egyenes vonalak láthatók típus párhuzamos. Pontok AÉs IN illetve a közvetlen típushoz tartoznak; b síkban fekszik α, a\\b. Mi a b és c egyenesek egymáshoz viszonyított helyzete? Adott egy négyszög ABCD és repülőgép α. Az átlói ACÉs BD párhuzamos a síkkal α. Mi a kölcsönös álláspont ABés repülőgépek α? Repülőgépek α és β párhuzamosak. Egy pontban metszéspont M egyenes AÉs b metszik a síkot α illetve pontokon INÉs A,és a β sík - pontokon EÉs F Találj egy hozzáállást
10. Laposság α áthalad a paralelepipedon alapjának átlóján és a felső alap egyik oldalának közepén. Határozza meg a szakasz típusát.
Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete