Hogyan határozhatunk meg egy adott egyenesre merőleges síkot. Egymásra merőleges síkok felépítése

Rizs. 4.17 ábra. 4.18

Ha a síkot metsző egyenesek határozzák meg (4.17. ábra), akkor a feladat megoldása a ponton való áthúzásra redukálódik A adottakkal párhuzamos egyenes párok.

Ha a síkot nyomok (4.18) adják meg, akkor a konstrukció a következő algoritmussal végezhető el:

1. Egy ponton keresztül A rajzolja meg például a kívánt Q sík vízszintesét a vízszintesekkel párhuzamosan adott repülőgép R.

2. Ezen a vízszintes vonalon keresztül húzzuk meg a kívánt síkot az adott síkkal párhuzamosan. Elülső nyom K V a frontális vetületen keresztül hajtják végre P" elülső vágány vízszintesen párhuzamosan a vágánnyal P V; vízszintes nyom QH- egy ponton keresztül Q X párhuzamos a nyomvonallal R N.

2. feladat. A ponton keresztül A(a, a") rajzoljon egy síkot K, merőleges az egyenesre (4.19. ábra).

a) Meg kell mutatni a kívánt síkot metsző egyenesekkel. Ebben az esetben a legegyszerűbb egy síkot megépíteni K fő vonalak - vízszintes és elülső, áthaladnak a ponton A (a, a").

Rizs. 4.19 ábra. 4.20

b) A kívánt síkot nyomvonalakkal kell megjeleníteni. A konstrukció a következő algoritmussal hajtható végre. A ponton keresztül A rajzolja meg a vízszintes síkot K merőleges a szakaszra Nap. Ezután ezen a vízszintes vonalon keresztül rajzoljuk meg a kívánt síkot az egyenesre merőlegesen Nap. Elülső nyom K V a frontális vetületen keresztül hajtják végre P" frontális nyomvonal vízszintes merőleges b"с"; vízszintes nyom QH- egy ponton keresztül Q X merőlegesen időszámításunk előtt.

3. probléma. A ponton keresztül A (a, a") síkot rajzolni K, merőleges egy adott síkra Rés áthaladva a vágányok eltűnési pontján Q X a tengelyen x(4.20. ábra).

Ismeretes, hogy a repülőgép K merőleges lesz az adott síkra R, ha átmegy egy rá merőlegesen vagy merőlegesen egy síkban fekvő egyenesre R.

ábrán. 4.20 a probléma megoldását egy terv szerint hajtják végre, az alábbi feltételek közül az elsőt alkalmazva:

1. Via adott pont A merőleges a síkra R(am+P H, a′m′+P V).

2. Ezen a merőlegesen és egy adott ponton keresztül Q X megrajzolódik a szükséges sík K. Ugyanakkor a nyom Q N vízszintes vetületen keresztül rajzolva T merőleges és pont vízszintes nyoma Q X; nyomon követni K V— frontális vetületen keresztül P' merőleges és pont frontális nyoma Q X.

A kívánt síkot meg lehet alkotni metsző egyenesekkel is, ha ponton keresztül Q X rajzoljon bármilyen egyenest, amelynek van közös pont merőlegessel.

4. feladat. A ponton keresztül A (a, a")rajzoljon az egyenesre merőleges egyenest Nap.

A szükséges merőleges az adott egyenesre merőleges síkban található Nap.

Ezért a probléma a következő algoritmussal megoldható:

1. Egy ponton keresztül A síkot rajzolni K, merőleges a vonalra Nap.

2. Határozza meg a pontot K (k, k") egy egyenes metszéspontja Nap repülőgéppel K vízszintes vetítési sík segítségével S.

3. A pontok összekapcsolása AÉs NAK NEK.

Az ábrán, ezzel az algoritmussal megoldva a feladatot, a síkot két egymást metsző fővonallal ( h×f) (4.21. ábra) vagy nyomok (4.22. ábra).

Rizs. 4.21 ábra. 4.22

5. feladat. Készítsen síkok metszésvonalát ABCÉs DEF.

Ez a probléma egy egyenes és egy sík metszéspontjának problémájával megoldható. ábrán. A 4.23. ábra a háromszögekkel meghatározott síkok metszésvonalának felépítését mutatja ABCÉs DEF. Egyenes MN az oldalak talált metszéspontjai alapján megszerkesztve DFÉs E.F. háromszög DEF háromszög síkkal ABC.

Például egy pontot találni M keresztező oldalak DF repülőgéppel ABC, egyenes vonalon keresztül DF rajzoljunk egy frontális vetületi síkot R ABC egyenes vonalban I II dfÉs 12 m a kívánt pontot M. Ezután keresse meg a frontális vetületet m"pontok M. Pont N egy egyenes metszéspontja E.F. repülőgéppel ABC frontális vetítési sík segítségével találtuk meg K, amely metszi a háromszög síkját ABC egyenes vonalban III IV. Vízszintes vetületek metszéspontjában efÉs 34 vízszintes vetítést kap n a kívánt pontot N.

A pontok páros összekapcsolása m"És n", mÉs n, kapja meg a metszésvonal vetületeit MN repülőgépek ABCÉs DEF.

A síkszelvények részeinek láthatóságát a versengő pontok módszerével állapítjuk meg.

A geometriából ismert, hogy egy egyenes párhuzamos a síkkal, ha párhuzamos a síkhoz tartozó bármely egyenessel. Legyen szükséges (126. ábra) egyenes vonalat húzni a D ponton keresztül, párhuzamos a síkkal ABC háromszög. A háromszög mindhárom oldala a síkban fekszik. A DE egyenest úgy rajzoljuk meg, hogy párhuzamos legyen a háromszög egyik oldalával, például az AB oldallal. Ehhez, mint ismeretes, az szükséges következő feltétel: D 2 E 2 ||A 2 B 2 és D 1 E 1 ||A 1 B 1. Ha vízszintes vonalat kell húznia a D ponton keresztül párhuzamosan ABC repülőgép, akkor először a háromszög síkjában megszerkesztjük az AF vízszintes egyenes vetületeit, majd a ponton keresztül meghúzzuk a szükséges DG||AF vízszintes egyenest.

TBegin-->TENd-->

Mielőtt figyelembe venné a síkra merőleges egyeneseket, meg kell ismerkednie a vetítéssel derékszög. Kiderül, hogy egy derékszöget torzítás nélkül vetítünk, ha az egyik oldala párhuzamos egy adott síkkal, a másik pedig nem merőleges rá (127. ábra, a). Bizonyítsuk be ezt a tételt; Ehhez ábrázoljuk az a egyenes és a h vízszintes egyenes által alkotott derékszöget és annak h 1 Xa 1 vízszintes vetületét. Figyeljünk az a síkra, amely vízszintesen vetül, mivel átmegy az AA 1 vízszintesen vetülő egyenesen. A szög h oldala az utasítás szerint párhuzamos a P 1 síkkal és merőleges az a egyenesre. Ugyanakkor a h egyenes merőleges az AA 1 egyenesre, amely szintén az a síkhoz tartozik; Ez azt jelenti, hogy merőleges magára a síkra. A h 1 vízszintes vetület párhuzamos a h vízszintessel, ezért az a síkra is merőleges. De akkor az ehhez a síkhoz tartozó a 1 egyenesre is merőleges. Tehát h 1 _|_a 1, azaz a derékszög torzítás nélkül vetült a síkra, amit bizonyítani kellett.

Az összetett rajzon (127. ábra, b) az egyenesek vízszintes vetületei h1_|_ a1 derékszöget, a frontális vetületek h 2 és a 2 c ebben az esetben forma tompaszög. A P3 vetületek frontális síkjára derékszöget vetítünk derékszög formájában abban az esetben, ha annak egyik oldala / frontális lesz.

TBegin-->
TEnd-->

A geometriából ismert, hogy egy egyenes akkor merőleges egy síkra, ha merőleges az ehhez a síkhoz tartozó két egyenesre. A vízszintes és a frontális sík ilyen egyenesként választható. Ha egy egyenes merőleges egy síkra, akkor az egyenes vízszintes vetülete merőleges a vízszintes vízszintes vetületére, a frontális pedig merőleges az adott sík frontjának homlokvetületére. Alkalmazzuk ezt a pozíciót az ABC háromszög síkjára való merőleges visszaállításához (128. ábra, a). Az A 2 A 1 ponton keresztül a h 2 h 1 vízszintes egyenest, a C 2 C 1 ponton keresztül az f 1 f 2 frontvonalat húzzuk; ezek az egyenesek az N 2 N 1 pontban metszik egymást. Az MN merőleges vetületeinek át kell menniük: M 2 N 2 _|_ f 2 . M 1 N 1 _|_ h 1 A megfelelő vízszintes és frontális vetületek irányának ismeretében az ABC sík bármely pontjából merőleges vetületek rajzolhatók. A megoldás egyszerűsödik, ha a síkot kxl nyomokkal adjuk meg (128. ábra, b).

A k nyom a nulla frontális, az l nyom pedig a nulla vízszintes. Használhatók a merőleges MN vetületeinek megszerkesztésére; a merőleges M 2 N 2 frontális vetületének merőlegesnek kell lennie a k sík frontális nyomának k 2 frontális vetületére, a merőleges M 1 N 1 vízszintes vetületének merőlegesnek kell lennie a vízszintes l 1 vízszintes vetületére a l sík nyoma. A k frontális nyomon az N pontot választottuk; vízszintes nyomvonalon l vagy a síkon egy másik helyen felvehető.

rn
Például oldjunk meg két problémát.

1. probléma. Határozza meg az A pont és a BCD háromszög síkja közötti távolság vetületét!

Mint tudják, egy pont és egy sík távolságát a pontból erre a síkra húzott merőleges hosszával mérjük. A merőleges leengedéséhez meg kell rajzolni a vízszintes és a homloksíkot (129. ábra). A sík vízszintes h-ja ebben a példában a BD háromszög oldala, mivel annak frontális vetülete vízszintes (a kommunikációs vonalakra merőleges). Marad az elülső BE (f) megrajzolása; a B 1 E 1 vízszintes vetületének párhuzamosnak kell lennie az x 12 vetületek képzeletbeli tengelyével; Az E pont felhasználásával frontális vetületet készítünk. Az A 3 pont A frontális vetületéből a BE frontális B 2 E 2 frontális vetületére engedjük le a merőlegest, az A 1 vízszintes vetületből pedig a B 1 D 1 vízszintes vetületre. a vízszintes BD. Most meg kell találnunk a merőleges alapját - O pont. Ehhez rajzoljunk egy vízszintesen vetülő sigma _|_ P 1 síkot, és keressük meg az MN metszésvonalat, az O pont O 2 frontális vetületét, és ennek mentén a vízszintes. vetítés O 1.

A probléma megoldva: A 2 O 2 és A1O1 a szükséges távolság vetületei. Az AO szakasz a P2 és P1 síkra vetítve látható.

TBegin--> TEnd-->

2. probléma. Az A ponton keresztül rajzoljunk egy p síkot, amely merőleges az a síkra (BCD).

A geometriából ismert, hogy ha egy sík egy másik síkra merőleges vonalon megy át, akkor az ilyen síkok merőlegesek. Használjuk az előző rajzot, amelyben az első részt új feladat megoldva - egy merőleges AO=a rajzolódik ki (130. ábra). Most elég egy tetszőleges b egyenest meghúzni az A ponton keresztül. Ebben az esetben egy b_|_ a sík keletkezik. A megszerkesztett síkot az áttekinthetőség érdekében pontokkal árnyékoljuk. Amint látja, ennek a problémának számos megoldása van.

Az AB egyenes párhuzamos az OX vetületek tengelyével, a kívánt sík vízszintesen vetül - a frontális síkban a P sík nyoma merőleges lesz az OX tengelyre.

Ezért csak a C pont függőleges vetületén átmenő és az AB egyenes függőleges vetületére merőleges P sík vízszintes nyomát kell megszerkeszteni.

A P sík vízszintes nyoma merőleges a P sík függőleges nyomának a vetületi tengellyel való metszéspontjára.

Eredeti cikk

Irodalom

Kh. A. Arustamov „Problémák gyűjteménye a ábrázoló geometria", M., 1971

Wikimédia Alapítvány.

2010.

Nézze meg, mi az „Egyenesre merőleges sík készítése” más szótárakban:

Adott. Az AB vonal és a C pont. Kötelező. Rajzoljunk egy P síkot a C ponton keresztül, merőlegesen az AB egyenesre. Megoldás. Mivel az AB egyenes vízszintes és függőleges vetülete is merőleges az OX vetületek tengelyére, bármilyen nyomvonallal rendelkező sík ... ... Wikipédia Függőlegesség bináris reláció különböző objektumok (vektorok, vonalak, alterek stb.) között az euklideszi térben. Különleges eset

ortogonalitás. Tartalom 1 Vonalok merőlegessége síkon ... Wikipédia

Tartalom: 1) Alapfogalmak. 2) Newton elmélete. 3) Huygens-éter. 4) Huygens-elv. 5) Az interferencia elve. 6) Huygens Fresnel-elv. 7) A keresztirányú rezgések elve. 8) A fény éteri elméletének befejezése. 9) Az éterelmélet alapja…… Tartalom: 1) Alapfogalmak. 2) Newton elmélete. 3) Huygens-éter. 4) Huygens-elv. 5) Az interferencia elve. 6) Huygens Fresnel-elv. 7) A keresztirányú rezgések elve. 8) A fény éteri elméletének befejezése. 9) Az éterelmélet alapja…… enciklopédikus szótár

F. Brockhaus és I.A. Ephron GOST 22268-76: Geodézia. Kifejezések és meghatározások - Terminológia GOST 22268 76: Geodézia. Fogalmak és definíciók eredeti dokumentum: 114. NFT vázlat. Croki D. Gelandeskizze Gelandekroki E. Vázlat Területi vázlat F. Croquis Terepterület sematikus rajza A fogalom meghatározásai … különböző dokumentumokat

A normatív és műszaki dokumentáció kifejezéseinek szótár-referenciája A geometria azon szakasza, amelyben térbeli alakok tanulmányozzák képeik síkon való megkonstruálásával, különös tekintettel a vetítési képek készítésére, valamint a térbeli problémák síkon történő megoldására és tanulmányozására szolgáló módszereket....

Nagy Szovjet Enciklopédia MIKROSZKÓP - (a görög mikros small és a skopeo I look szóból), egy optikai műszer kisméretű, szabad szemmel közvetlenül nem látható tárgyak tanulmányozására. Van benne egyszerű M., vagy nagyító, és összetett M., vagyis mikroszkóp a maga értelmében . Nagyító... ...

Az izlandi spárga (mészpar, kalcit) nevű ásvány átlátszó kristálya rajzra vagy rajzra helyezve villás alakú vonalakat mutat. Egy ilyen kristály egyik oldalát egy átlátszatlan lemezzel letakarva, amelyben... ... Enciklopédiai szótár F.A. Brockhaus és I.A. Ephron

Tartalom: 1) Történelmi vázlatóraszerkezetek fejlesztése: a) napelemes órák, b) vízórák, c) homokórák, d) kerékórák 2) Általános információ. 3) Csillagászati ​​részek leírása 4.) Inga, kompenzációja. 5) Szökőkutak kialakítása 6. rész) Kronométerek... Enciklopédiai szótár F.A. Brockhaus és I.A. Ephron

Tartalom. 1) Az óraszerkezetek fejlődésének történeti vázlata: a) napelemes órák, b) vízórák, c) homokórák, d) kerékórák. 3) Csillagászati ​​részek leírása 4.) Inga, kompenzációja. 5) Menekülések kialakítása 6. rész) Kronométerek... Enciklopédiai szótár F.A. Brockhaus és I.A. Ephron

Az a síkra merőleges p sík megszerkesztése kétféleképpen történhet: I) a p síkot az a síkra merőleges egyenesen húzzuk át; 2) a p síkot merőlegesen húzzuk egy a síkban fekvő vagy azzal párhuzamos egyenesre. Megszerzéséért az egyetlen megoldás további feltételek szükségesek. A 148. ábra a síkra merőleges sík felépítését mutatja háromszög adja meg CDE. További feltétel itt, hogy a kívánt síknak át kell haladnia az AB egyenesen. Következésképpen a kívánt síkot az AB egyenes és a háromszög síkjára merőleges határozza meg. Ennek a CDE síkra merőleges megrajzolásához a CN és a vízszintes CM frontokat vesszük benne: ha B"F" ± C"N" és B"G 1 CM\, akkor a CDF sík BFX. A metszés által alkotott sík az AB és BF egyenesek merőlegesek a CDE síkra, Hogyan halad át a síkok azonos nevű nyomainak merőlegessége maguknak a síkoknak a merőlegességének jeleként? ide tartozik két vízszintesen kinyúló sík egymásra merőlegessége is, amelyekben a vízszintes nyomok egymásra merőlegesek kölcsönös merőlegesség frontálisan kiálló síkok frontális nyomai; ezek a síkok egymásra merőlegesek. Tekintsünk (149. ábra) egy vízszintesen vetülő p síkot, amely merőleges a síkra általános álláspont A. Ha a p sík merőleges az i síkra és az a síkra, akkor p 1 az a sík és az i sík metszésvonalára. Ezért h"0a 1р, és ezért h"0u 1 р", mint a р sík egyik egyenesére. Tehát az általános helyzetsík és a vízszintesen vetülő sík vízszintes nyomainak merőlegessége megfelel a kölcsönös merőlegességnek Ezeknek a síkoknak a merőlegessége nyilvánvalóan frontális vetületi sík, és egy általános helyzetben lévő sík is megfelel ezeknek a síkoknak a kölcsönös merőlegességének. akkor maguk a síkok nem merőlegesek egymásra, mivel a jelen bekezdés elején megfogalmazott feltételek egyike sem teljesül 1. Hogyan definiálható a sík a rajzon? a vetítési sík 3. Hol van a sík vízszintes nyomvonalának frontális vetülete és a sík homlokvonalának vízszintes vetülete Hogyan határozható meg a rajzon, hogy egy egyenes egy adott síkhoz tartozik-e? ami egy adott síkhoz tartozik? 6. Hogyan található az nt a rendszerben? és 713 általános sík? 7. Mik azok a frontális, vízszintes vetítési és profilvetítési síkok? 8. Hogyan rajzolódik meg a frotális vetületi sík a rajzon látható általános helyzetben húzott egyenesen? 9. Milyen relatív helyzetet foglalhat el két sík? 10. Mi a jele két sík párhuzamosságának? 11. Hogyan helyezkednek el két egymással párhuzamos sík azonos nevű nyomai? 12. Hogyan állapítható meg egy egyenes és egy sík egymáshoz viszonyított helyzete? 13. Mi az? általános módszer két sík metszésvonalának megszerkesztése? 14. Mi az általános eset módja annak, hogy egy egyenes és egy sík metszéspontját megszerkesztsük? 15. Hogyan határozható meg a „láthatóság”, amikor egy egyenes metszi a síkot? 16. Mi határozza meg két sík kölcsönös párhuzamosságát? 17. Hogyan rajzoljunk egy ponton keresztül egy adott síkkal párhuzamos síkot? 18. Hogyan helyezkedik el a síkra merőleges vetülete? 19. Hogyan készítsünk egymásra merőleges síkokat?

Ezen a témán belül képesnek kell lennie:

• 1. Adjon meg egy, az egyenesre merőleges síkot.
• 2. Adjon meg egy egyenest a síkra merőlegesen.

Ezen egymással összefüggő problémák megoldása során fontos megérteni, hogyan kell a merőleges vetületeket a síkvetületekhez képest irányítani. Ennek tisztázása érdekében oldjuk meg az A és B feladatokat.

A probléma

Feltétel. A GP egyenesre felvett A ponton keresztül rajzoljunk erre az egyenesre merőleges síkot.

Megoldás. Ismeretes, hogy a sík merőleges az egyenesre, leülve két, ebben a síkban elhelyezkedő egyenes merőleges az adott egyenesre.

Ezért esetünkben elegendő két egyenest húzni az A ponton keresztül, amelyek mindegyike merőleges lenne m-re. Ekkor ezek az egyenesek egy párban meghatározzák a kívánt síkot.

Legyen a síkot meghatározó egyenesek egyike a vízszintes. A frontális vetülete 1ъ átmegy vízszintesen (4.7. ábra), a vízszintes vetület pedig h| - alatt közvetlen szög m 1 -hez (a derékszög vetítési tétel alapján).

A kívánt síkot meghatározó második egyenes a frontális lesz. EU vízszintes vetítés f| vízszintesen fog elhaladni.

A frontális vetület f2 - jód mi-re derékszögben (ugyanaz a tétel alapján).

Rizs. 4.7

Így a probléma megoldódott. Ezt elemezve észrevehetjük, hogy a megszerkesztett síkhoz (f x h) képest az adott m egyenes merőleges. Ez egy fontos gyakorlati következtetéshez vezet:

a síkra merőleges vízszintes vetülete merőleges legyen a vízszintes vízszintes vetületére, a frontális vetület pedig merőleges legyen a frontális frontális vetületére.

B probléma

Körülmények. Engedje le a merőlegest a B pontból a DEF síkra (meghatározva láthatóságát a síkhoz képest).

Rizs. 4.8a - a probléma grafikus feltételei

Rizs. 4.86

Rizs. 4.8c - az alap és a meghatározása természetes méret merőleges

Megoldás. Először rajzoljunk DEF és B vetületeket (4.8a ábra).

A probléma megoldásának megkezdése után hármat emelünk ki

jellemző szakaszok:

• 1. Irányok felépítése merőleges vetületekhez.
• 2. A merőleges alapjának (a síkkal való metszéspontjának) megalkotása.
• 3. A merőleges természetes méretének meghatározása.

Végezzük el ezeket az építkezéseket. Először is határozzuk meg az irányt

merőleges vetületek. Ehhez először meg kell rajzolni a h vízszintes vonalat és az f elülső vonalat a DEF síkban, amelyek irányadók a vetületeihez.

Most keressük meg a merőleges alapját az eredményül kapott egyenes és a DEF sík metszéspontjaként. Ez a feladat már ismerős számunkra (lásd 3.3.4. fejezet). A vizsgált példában a kívánt K pont a síkot határoló háromszögön kívül esik (4.8c. ábra). A 2-3 egyenesen található, amely konstrukciója szerint a DEF síkhoz tartozik. Ez azt jelenti, hogy a K pont is hozzátartozik. Ha a merőleges vetületeit részben vagy teljesen eltakarják a DEF háromszög vetületei, akkor ezenkívül meg kell határozni a merőleges láthatóságát a síkhoz képest.

A merőleges VC természetes értékét az i.-ben korábban tárgyalt módszerek bármelyikével megtalálhatjuk. 2.2. A 4.8c ábrán a derékszögű háromszög módszert használjuk erre a célra.

Vegye figyelembe, hogy ez a feladat gyakran úgy fogalmazzák meg, hogy meghatározza a B pont és a DEF háromszög síkja közötti távolságot.