A vonalak egymáshoz viszonyított helyzete. Párhuzamos vonalak
Párhuzamos egyenesek meghatározása. Párhuzamos két egyenes, amelyek ugyanabban a síkban vannak, és nem metszik egymást teljes hosszukban.
Az AB és CD egyenesek (57. ábra) párhuzamosak lesznek. A párhuzamosság tényét néha írásban is kifejezik: AB || CD.
34. tétel. Két, ugyanarra a harmadikra merőleges egyenes párhuzamos.
Adott az AB-re merőleges CD és EF egyenesek (58. ábra)
CD ⊥ AB és EF ⊥ AB.
Be kell bizonyítanunk, hogy a CD || E.F.
Bizonyíték. Ha a CD és EF egyenesek nem lennének párhuzamosak, akkor valamelyik M pontban metszik egymást. Ebben az esetben az M pontból két merőlegest ejtenénk az AB egyenesre, ami lehetetlen (11. tétel), ezért a CD || EF (ChTD).
35. tétel. Két egyenes, amelyek közül az egyik merőleges, a másik ferde a harmadikra, mindig metszi egymást.
Két EF és CG egyenes van megadva, amelyek közül EF ⊥ AB, CG pedig AB felé hajlik (59. ábra).
Bizonyítani kell, hogy a CG találkozik az EF egyenessel, vagy hogy a CG nem párhuzamos az EF-vel.
Bizonyíték. A C pontból merőleges CD-t építünk az AB egyenesre, majd a C pontban DCG szög alakul ki, amit annyiszor megismételünk, hogy a CK egyenes az AB egyenes alá kerüljön. Tegyük fel, hogy ehhez a DCG szöget n-szer megismételjük, például mit
Ugyanígy n-szer ábrázoljuk a CE egyenest az AB egyenesen is, így CN = nCE.
A C, E, L, M, N pontokból megszerkesztjük az LL", MM", NN merőlegeseket". A kettő közötti tér párhuzamos szegmensek CD, NN" és a CN szakasz n-szer nagyobb lesz, mint a két merőleges CD, EF és a CE szakasz közötti tér, így DCNN" = nDCEF.
A DCK szögben lévő tér tartalmazza a DCNN teret", ezért
DCK > CDNN" vagy
nDCG > nDCEF, honnan
DCG > DCEF.
Az utolsó egyenlőtlenség csak akkor fordulhat elő, ha a CG egyenes a folytatása során elhagyja a DCEF teret, vagyis amikor a CG egyenes találkozik az EF egyenessel, ezért a CG egyenes nem párhuzamos a CF-vel (CHT).
36. tétel. Az egyik párhuzamosra merőleges egyenes a másikra is merőleges.
Adott két párhuzamos AB és CD egyenes, valamint egy CD-re merőleges EF egyenes (60. ábra).
AB || CD, EF ⊥ CD
Be kell bizonyítanunk, hogy EF ⊥ AB.
Bizonyíték. Ha az AB egyenes az EF-re hajlik, akkor két CD és AB egyenes metszi egymást, mert CD ⊥ EF és AB hajlik az EF-re (35. tétel), és az AB és CD egyenesek nem lennének párhuzamosak, ami ellentmondás lenne. ezt az állapotot Ezért az EF egyenes merőleges a CD-re (CHT).
Szögek, amelyeket két egyenes és egy harmadik egyenes metszéspontja alkot. Ha két AB és CD egyenes metszi egymást egy harmadik EF egyenessel (61. rajz), nyolc α, β, γ, δ, λ, μ, ν, ρ szög alakul ki. Ezek a szögek különleges neveket kapnak.
A négy α, β, ν és ρ szöget nevezzük külső.
A négy γ, δ, λ, μ szöget nevezzük belső.
A négy β, γ, μ, ν szöget és a négy α, δ, λ, ρ szöget ún. egyoldalú, mert az EF egyenes egyik oldalán fekszenek.
Ezenkívül a szögek párban véve a következő neveket kapják:
A β és μ szögeket nevezzük megfelelő . Ezen a páron kívül ugyanazok a megfelelő szögek szögpárok lesznek:γ és ν, α és λ, δ és ρ.
A δ és μ, valamint a γ és λ szögpárokat nevezzük belső keresztezés .
A β és ρ, valamint az α és ν szögpárokat nevezzük külső keresztezés .
A γ és μ, valamint a δ és λ szögpárokat nevezzük belső egyoldalú .
A β és ν, valamint az α és ρ szögpárokat nevezzük külső egyoldalú .
Két egyenes párhuzamosságának feltételei
37. tétel. Két egyenes akkor párhuzamos, ha egy harmadikat metszve egyenlő: 1) megfelelő szögeik, 2) belső keresztfekvéseik, 3) külső keresztfekvéseik, és végül, ha 4) belső egyoldali szögeinek összege. egyenlő két derékszöggel, 5) a külső egyoldalúak összege egyenlő két egyenessel.
Bizonyítsuk be a tétel ezen részét külön-külön.
1. eset. A megfelelő szögek egyenlőek(62. ábra).
Adott. A β és μ szögek egyenlőek.
Bizonyíték. Ha az AB és CD egyenesek a Q pontban metszik egymást, akkor egy GQH háromszöget kapunk, amelynek β külső szöge egyenlő belső sarokμ, ami ellentmondana a 22. tételnek, ezért az AB és CD egyenesek nem metszik egymást, vagy AB || CD (CHD).
2. eset. A belső keresztirányú szögek egyenlőek, azaz δ = μ.
Bizonyíték. δ = β mint függőleges, δ = μ feltétel szerint, ezért β = μ. Vagyis a megfelelő szögek egyenlőek, és ebben az esetben az egyenesek párhuzamosak (1. eset).
3. eset. A külső keresztirányú szögek egyenlőek, azaz β = ρ.
Bizonyíték. β = ρ feltétel szerint, μ = ρ mint függőleges, ezért β = μ, mivel a megfelelő szögek egyenlőek. Ebből következik, hogy AB || CD (1. eset).
4. eset. A belső egyoldalúak összege egyenlő két közvetlennel vagy γ + μ = 2d.
Bizonyíték. β + γ = 2d a szomszédosak összegeként, γ + μ = 2d feltétel szerint. Ezért β + γ = γ + μ, innen β = μ. A megfelelő szögek egyenlőek, ezért AB || CD.
5. eset. A külső egyoldalúak összege egyenlő két közvetlennel, azaz β + ν = 2d.
Bizonyíték. μ + ν = 2d a szomszédosak összegeként, β + ν = 2d feltétel szerint. Ezért μ + ν = β + ν, innen μ = β. A megfelelő szögek egyenlőek, ezért AB || CD.
Így minden esetben AB || CD (CHD).
38. tétel(37. hátoldal). Ha két egyenes párhuzamos, akkor egy harmadik egyenest metszve a következők egyenlők: 1) belső keresztirányú szögek, 2) külső keresztirányú szögek, 3) megfelelő szögek és egyenlők két derékszöggel, 4) a belső egyoldali szögek összege és 5) a külső egyoldali szögek összege.
Adott két párhuzamos AB és CD egyenes, azaz AB || CD (63. ábra).
Bizonyítani kell, hogy a fenti feltételek mindegyike teljesül.
1. eset. Metszünk két párhuzamos AB és CD egyenest egy harmadik EF ferde egyenessel. Jelöljük G-vel és H-val az EF egyenes AB és CD metszéspontjait. A GH egyenes felezőpontjának O pontjából leeresztünk egy merőlegest a CD egyenesre, és addig folytatjuk, amíg az AB egyenest a P pontban nem metszi. A CD-re merőleges OQ egyenes szintén merőleges az AB-re (36. tétel). Az OPG és az OHQ derékszögű háromszögek egyenlőek, mert OG = OH szerkezetileg, ∠ HOQ= ∠ POG tetszik függőleges szögek, ezért OP = OQ.
Ebből következik, hogy δ = μ, azaz. a belső keresztirányú szögek egyenlőek.
2. eset. Ha AB || CD, akkor δ = μ, és mivel δ = β, és μ = ρ, akkor β = ρ, azaz. külső keresztfekvési szögek egyenlőek.
3. eset. Ha AB || CD, akkor δ = μ, és mivel δ = β, akkor β = μ, ezért a megfelelő szögek egyenlőek.
4. eset. Ha AB || CD, akkor δ = μ, és mivel δ + γ = 2d, akkor μ + γ = 2d, azaz. a belső egyoldalúak összege egyenlő két közvetlen.
5. eset. Ha AB || CD, akkor δ = μ.
Mivel μ + ν = 2d, μ = δ = β, ezért ν + β = 2d, azaz. a külső egyoldalúak összege egyenlő két közvetlen.
Ezekből a tételekből az következik következmény. Egy ponton keresztül csak egy egyenest húzhat párhuzamosan egy másik egyenessel.
39. tétel. Két, egy harmadikkal párhuzamos egyenes párhuzamos egymással.
Adott három sor (64. ábra) AB, CD és EF, ebből AB || EF, CD || E.F.
Be kell bizonyítanunk, hogy AB || CD.
Bizonyíték. Metszük ezeket az egyeneseket a negyedik GH egyenessel.
Ha AB || Akkor EF ∠ α = ∠ γ megfelelő módon. Ha CD || Akkor EF ∠ β = ∠ γ valamint megfelelő. Ezért, ∠ α = ∠ β .
Ha a megfelelő szögek egyenlőek, akkor az egyenesek párhuzamosak, ezért AB || CD (CHD).
40. tétel. Az azonos nevű, párhuzamos oldalú szögek egyenlőek.
Az azonos nevű ABC és DEF szögek (mindkettő hegyes vagy tompaszögű) az oldaluk párhuzamos, azaz AB || DE, BC || EF (65. ábra).
Ezt bizonyítani kell ∠ B= ∠ E.
Bizonyíték. Folytassuk a DE oldalt, amíg az nem metszi közvetlen Kr. e akkor a G pontban
∠ E = ∠ G, amely megfelel a DG harmadik egyenes BC-vel és EF-vel párhuzamos oldalainak metszéspontjának.
∠ B = ∠ G mint a BC egyenes AB és DG párhuzamos oldalainak metszéspontjának felel meg, ezért
∠ E = ∠ B (CHD).
41. tétel. Az ellentétes szögek párhuzamos oldalakkal kiegészítik egymást két derékszögben.
Két különböző névvel szög ABCés DEF (66. ábra) párhuzamos oldalakkal, ezért AB || DE és BC || E.F.
Be kell bizonyítanunk, hogy ABC + DEF = 2d.
Bizonyíték. Folytassuk a DE egyenest addig, amíg a G pontban nem metszi a BC egyenest.
∠B+ ∠ DGB = 2d a BC harmadik egyenes AB és DG párhuzamos metszéspontja által alkotott belső egyoldali szögek összege.
∠ DGB = ∠ DEF mint megfelelő, ezért
∠B+ ∠ DEF = 2d (CHD).
42. tétel. Ugyanazok a szögek merőleges oldalai egyenlő és ellentétes kiegészítik egymást két egyenesig.
Tekintsünk két esetet: amikor A) a szögek azonosak, és amikor B) ellentétesek.
1. eset. Két azonos nevű DEF és ABC szög oldalai (67. ábra) merőlegesek, azaz DE ⊥ AB, EF ⊥ BC.
Be kell bizonyítanunk, hogy ∠ DEF = ∠ ABC.
Bizonyíték. Rajzoljunk B pontból BM és BN egyeneseket a DE és EF egyenesekkel párhuzamosan úgy, hogy
BM || DE, BN || E.F.
Ezek az egyenesek szintén merőlegesek az oldalakra adott szög ABC, azaz
BM ⊥ AB és BN ⊥ BC.
Mert ∠ NBC = d, ∠ MBA = d, akkor
∠ NBC = ∠ MBA (a)
Ha az (a) egyenlőség mindkét oldalából kivonjuk az NBA szögét, azt kapjuk
∠ MBN = ∠ ABC
Mivel az MBN és a DEF szögek azonosak és párhuzamos oldalaik vannak, egyenlőek (40. tétel).
∠ MBN = ∠ DEF (b)
Az (a) és (b) egyenlőség az egyenlőséget jelenti
∠ ABC = ∠ DEF
2. eset. A merőleges oldalú GED és ABC szögek ellentétesek.
Be kell bizonyítani, hogy ∠ GED + ∠ ABC = 2d (67. ábra).
Bizonyíték. A GED és DEF szögek összege két derékszöggel egyenlő.
GED + DEF = 2d
DEF = ABC tehát
GED + ABC = 2d (CTD).
43. tétel. A párhuzamos egyenesek részei más párhuzamos egyenesek között egyenlőek.
Adott négy egyenes AB, BD, CD, AC (68. ábra), ebből AB || CD és BD || AC.
Be kell bizonyítanunk, hogy AB = CD és BD = AC.
Bizonyíték. A C pontot a B ponttal összekötve a BC szakasszal kettőt kapunk egyenlő háromszög ABC és BCD, mert
I.E- közös oldal,
∠ α = ∠ β (mint belső keresztben fekvőek a BC harmadik egyenes AB és CD párhuzamos egyeneseinek metszéspontjából),
∠ γ = ∠ δ (mint a BC egyenes BD és AC párhuzamos egyeneseinek metszéspontjából származó belső keresztirányúak).
Így a háromszögeknek egy egyenlő oldala és két egyenlő szöge van.
Ellen egyenlő szögekα és β hazugság egyenlő oldalak AC és BD, és egyenlő szögekkel szemben γ és δ egyenlő AB és CD oldalak, ezért
AC = BD, AB = CD (CHD).
44. tétel. A párhuzamos vonalak teljes hosszukban bekapcsolva vannak egyenlő távolságra egymástól.
Egy pont távolságát az egyenestől a pontból az egyenesre húzott merőleges hossza határozza meg. Bármely két A és B pont távolságának meghatározásához, amely párhuzamos AB-vel a CD-től, AC és BD merőlegeseket ejtünk az A és B pontból.
Adott a CD-vel párhuzamos AB egyenes, az AC és BD szakaszok merőlegesek a CD egyenesre, azaz AB || CD, AC ⊥ DC, BD ⊥ CD (69. ábra).
Be kell bizonyítanunk, hogy AC = BD.
Bizonyíték. Az AC és BD egyenesek, amelyek mindketten merőlegesek a CD-re, párhuzamosak, ezért az AC és BD, mint a párhuzamosok részei egyenlőek, azaz AC = BD (CHD).
45. tétel(43. hátoldal). Ha négy egymást metsző egyenes szemközti része egyenlő, akkor ezek a részek párhuzamosak.
Adott négy egymást metsző egyenes, amelyek ellentétes részei egyenlők: AB = CD és BD = AC (68. ábra).
Be kell bizonyítanunk, hogy AB || CD és BD || AC.
Bizonyíték. Kössük össze a B és C pontot a BC egyenessel. Az ABC és a BDC háromszögek egybevágóak, mert
BC - közös oldal,
AB = CD és BD = AC feltétel szerint.
Innen
∠ α = ∠ β , ∠ γ = ∠ δ
Ezért,
AC || BD, AB || CD (CHD).
46. tétel. Egy háromszög szögeinek összege két derékszöggel egyenlő.
Dan ABC háromszög(70. ábra).
Be kell bizonyítanunk, hogy A + B + C = 2d.
Bizonyíték. Rajzoljunk egy CF egyenest a C pontból oldalával párhuzamosan AB. A C pontban három BCA, α és β szög alakul ki. Összegük egyenlő két egyenessel:
BCA+ α + β = 2d
α = B (mint belső keresztirányú szögek a BC egyenes AB és CF párhuzamos egyeneseinek metszéspontjában);
β = A (mint a megfelelő szögek az AD egyenes AB és CF metszéspontjában).
α és β szögek cseréje értékeiket kapjuk:
BCA + A + B = 2d (CHD).
Ebből a tételből a következő következmények következnek:
Következmény 1. Háromszög külső szöge egyenlő az összeggel belsők, amelyek nem szomszédosak vele.
Bizonyíték. Valóban, a 70. rajzból
∠BCD = ∠ α + ∠ β
Mivel ∠ α = ∠ B, ∠ β = ∠ A, akkor
∠BCD = ∠A + ∠B.
Következmény 2. IN derékszögű háromszögösszeg éles sarkok egyenlő az egyenessel.
Valóban, derékszögű háromszögben (40. ábra)
A + B + C = 2d, A = d, tehát
B + C = d.
Következmény 3. Egy háromszögnek nem lehet több derékszöge vagy egy tompaszöge.
Következmény 4. IN egyenlő oldalú háromszög mindegyik szög 2/3 d .
Valóban, egyenlő oldalú háromszögben
A + B + C = 2d.
Mivel A = B = C, akkor
3A = 2d, A = 2/3 d.
Metsző vonalak- egyenes vonalak, amelyekben egy van közös pont. Az ábrán ezeknek az egyeneseknek az azonos nevű vetületei a vetületi kapcsolat ugyanazon a vonalán fekvő pontokban metszik egymást (200. ábra, A).
Ha az azonos nevű egyenesek vetületei metszik egymást, de a metszéspontok különböző vetületi kapcsolati vonalakon fekszenek (200. ábra, b), akkor az egyenesek nem metszik egymást, hanem metszik egymást. Azonos nevű vetületek metszéspontjai (200. ábra, b, pontok 1 "És 2) vetületeket képviselnek különböző pontokat, amelyek ugyanazon a vetületi sugáron vannak és különböző egyenesekhez tartoznak.
ábrán. A 201. ábra bemutatja, hogyan lehet két keresztező vonalat elhelyezni ABÉs CD a síkhoz képest V hogy frontális vetületeik a"b"És CD" metszenek, és a metszéspont két pont egyidejű frontális vetülete lenne MÉs N. Ezen egyenesek vízszintes vetületeinek metszéspontja egyben a pont vetülete is E, az egyenes vonalon fekve CD,és egy vonalon fekvő pontok AB
Kölcsönös álláspont két olyan pont, amelyeknek az egyik vetületi sík vetülete egybeesik a harmadik koordinátáik összehasonlításával. ábrán. 201,6 elülső vetületek T"És p" pontokat MÉs N egybeesett. A koordinátáikat XÉs Z azonos méretűek. A koordináták összehasonlítása Y ezek a pontok ( Y N> Y M), látjuk, hogy ez a lényeg N távolabb van a K síktól, mint a pont M. Pont N a síkhoz képest V- látható pont.
Pontok láthatósága EÉs F vetületek vízszintes síkjához viszonyítva Z koordinátáik összehasonlításával határozzuk meg.
Azokat a pontokat, amelyek vetületei egybeesnek, azaz a pontok ugyanazon a vetületi sugáron vannak, versengő pontoknak, a geometriai elemek diagramon való láthatóságának e pontok felhasználásával történő meghatározását pedig versengő pontok módszerének nevezzük.
Párhuzamos vonalakúgy vannak ábrázolva az ábrán, hogy az azonos nevű vetületeik egymással párhuzamosak legyenek. Ha vonalszakaszokat vetítünk egy vetítési síkra, a vetületi sugarak két vetületi síkot alkotnak RÉs R, merőlegesek erre a síkra és párhuzamosak egymással (P||R). Metszik a vetítési síkot (202. ábra, a, sík N) párhuzamos vonalak mentén - abÉs CD.
Ezért, ha az egyenesek párhuzamosak, akkor az azonos nevű vetületeik párhuzamosak. ábrán. 202, b vízszintes vetületek abÉs CDés frontális vetületek a"b"És CD" egymással párhuzamosan, tehát egyenesen ABÉs CD párhuzamos.
Meg kell jegyezni, hogy a vonalak egymáshoz viszonyított helyzete a diagramon két vetületi síkkal határozható meg, kivéve azokat az eseteket, amikor az egyik egyenes vagy mindkét egyenes párhuzamos bármely vetítési síkkal. Ezekben az esetekben a vonalak egymáshoz viszonyított helyzetének meghatározásához szükséges, hogy a képük azon a vetítési síkon legyen, amellyel az egyik vagy mindkettő párhuzamos.
ábrán. 203 előrejelzés CD"És l"q", cdÉs lq közvetlen CDÉs L.Q. metszik egymást. Egyenes CD párhuzamos a profilvetülettel. Egy repülőn W egyértelmű, hogy egyenesek CDÉs L.Q. nem metszik egymást, mivel a profilvetületeik nem metszik egymást.
ábrán. A 204. ábra két vízszintes egyenes diagramját mutatja ABÉs CD. Elülső vetületeik a"b"És CD"és profilvetületek a"b"És CD" párhuzamos. A síkon lévő vetületekkel N világos, hogy a vonalak metszik egymást.
ábrán. A 205. ábra két profilegyenes diagramját mutatja. Elülső vetületeik a"b"És CD"és vízszintes vetületek abÉs CD párhuzamos. Egy repülőn W világos, hogy a vonalak metszik egymást.
Párhuzamos vonalak. A párhuzamos vetítés tulajdonságai a következők: két párhuzamos egyenes vetülete párhuzamos egymással. Ha (78. ábra) az AB egyenes párhuzamos a CD egyenessel, akkor a vetületi síkok? És? párhuzamosak egymással, és amikor ezek a síkok metszik a π 0 vetületek síkját, akkor egymással párhuzamos A 0 B 0 és C 0 D 0 vetületeket kapunk.
Azonban bár A 0 B 0 || C 0 D 0 (78. ábra), azok az egyenesek, amelyeknél A 0 B 0 és C 0 D 0 vetületek, nem lehetnek párhuzamosak egymással: például az AB egyenes nem párhuzamos a C 1 D 1 egyenessel.
A párhuzamos vetítés jelzett tulajdonságaiból az következik a párhuzamos egyenesek vízszintes vetületei párhuzamosak egymással, a frontális vetületek egymással párhuzamosak és a profilvetületek párhuzamosak egymással.
Igaz-e az ellenkező következtetés, azaz párhuzamos lesz-e két egyenes a térben, ha a rajzon azonos nevű vetületeik páronként párhuzamosak?
Igen, ha párhuzamos vetületek vannak megadva mindhárom vetületi síkon π 1, π 2 és π 3. De ha az egymással párhuzamos egyenesek vetületei csak két vetületi síkon vannak megadva, akkor az egyenesek térbeli párhuzamossága egyeneseknél mindig megerősített általános álláspontés nem erősíthető meg az egyik vetületi síkkal párhuzamos egyeneseknél.
ábrán látható egy példa. 79. Bár az AB és CD profilvonalakat az A "B", A "B" és CD, C "D" vetületek adják, egymással párhuzamosak, maguk az egyenesek nem párhuzamosak - ez a profilvetületeinek egymáshoz viszonyított helyzete, az adott vetületek szerint megszerkesztve.
Így, a kérdést a vetítési síkon olyan egyenes vetületekkel oldottuk meg, amelyekhez képest az adott egyenesek párhuzamosak.
ábrán. A 80. ábra egy olyan esetet mutat be, amikor meg lehet állapítani, hogy az AB és CD profilvonalak nem párhuzamosak egymással, anélkül, hogy egy harmadik vetületet szerkesztenénk: elég figyelni a betűjelölések váltakozására.
Ha át ezt a pontotÉs egy adott LM egyenessel párhuzamos egyenest kell húzni, majd (81. ábra balra) a konstrukció leredukálódik egy L"M"-vel párhuzamos egyenesre az A" ponton keresztül, és egy ezzel párhuzamos egyenesre. L"M" az A ponton keresztül".
ábrán látható esetben. 81 jobb oldalon párhuzamos egyenesek a négyzetre merőlegesen közös vetítési síkban helyezkednek el. π 1. Ezért ezen vonalak vízszintes vetületei ugyanazon a vonalon helyezkednek el.
Metsző vonalak.Ha az egyenesek metszik egymást, akkor az azonos nevű vetületeik egy olyan pontban metszik egymást, amely ezen egyenesek metszéspontjának vetülete.
Valóban (82. ábra), ha a K pont mind az AB, mind a CD egyeneshez tartozik, akkor ennek a pontnak a vetülete kell, hogy legyen ezen egyenesek vetületeinek metszéspontja.
Az a következtetés, hogy az egyenesek a rajzon metszik egymást, mindig levonható közvetlen általános álláspont, függetlenül attól, hogy a vetületek három vagy két vetületi síkon vannak megadva. Szükséges és elégséges állapot csak az, hogy a metszéspontok névrokon
a vetületek a megfelelő vetületi tengelyre azonos merőlegesen (83. ábra) vagy a vetületi tengely nélküli rajzon (84. ábra) ezek a pontok a számára megállapított irány csatlakozási vonalán lennének.. De ha ezen egyenesek valamelyike párhuzamos bármelyik vetületi síkkal, és a rajz nem mutat vetületeket ezen a síkon, akkor nem lehet vitatkozni azzal, hogy ezek az egyenesek metszik egymást, még akkor sem, ha a fenti feltétel teljesül. ábrán látható esetben például. 85, az AB és CD egyenesek, amelyek közül a CD egyenes párhuzamos a π 3 négyzettel, nem metszik egymást; ezt megerősíthetjük profilvetületek készítésével vagy a szegmensek felosztásának szabályának alkalmazásával.
ábrán látható. 84 metsző vonal található benne általános nap nekik a négyzetre merőleges vetületi síkot. π 2. Ezért ezen vonalak frontális vetületei ugyanazon a vonalon helyezkednek el.
Keresztező vonalak. A keresztező egyenesek nem metszik egymást és nem párhuzamosak egymással. ábrán. A 86. ábra két általános helyzetet metsző vonalat mutat: bár az azonos nevű vetületek metszik egymást, metszéspontjaik nem köthetők össze összekötő vonallal, párhuzamos a vonalakkal L"L" és M"M" kapcsolatok, azaz ezek a vonalak nem metszik egymást. ábrán látható egyenes vonalak. 79, 80 és 85, szintén keresztezve.
Hogyan tekintsük a metsző egyenesek azonos vetületeinek metszéspontját? Két pont vetületét ábrázolja, amelyek közül az egyik
az elsőhöz, a másik pedig a másodikhoz tartozik ezen metsző egyenesek közül. Például az ábrán. A 87. ábrán a K” és K" vetületű pont az AB egyeneshez, az L" és L" vetületű pont pedig a CD egyeneshez tartozik. Ezek a pontok egyenlő távolságra vannak a π 2 területtől, de távolságuk a területtől π 1 különbözőek: az L "és L" vetületű pont távolabb van π 1-től, mint a K" és K" vetületű pont (88. ábra).
Az M", M" és N", N" vetületű pontok egyenlő távolságra vannak a π 1 területtől, de ezeknek a pontoknak a távolsága a π 2 területtől eltérő.
A CD egyeneshez tartozó L" és L" vetületű pont lefedi az AB egyenes K" és K" vetületű pontját a négyzethez képest. π 1; a megfelelő látóirányt egy nyíl mutatja az L vetületnél". A π 2 négyzethez viszonyítva a CD egyenes N" és N" vetületű pontja lefedi az M" és M" vetületű pontot. az AB egyenest az alábbi nyíl jelzi az N" vetületnél.
A „zárt” pontok vetületeinek megjelölése zárójelben 1).
Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete