Pothuajse të gjithë kanë dëgjuar për vrimat e zeza sot. Për to shkruhen vepra fantazi, realizohen filma artistikë dhe shkencorë, madje kjo shprehje përdoret në kuptimin figurativ, si simbol i një vendi ku diçka zhduket përgjithmonë. Dhe kjo është përgjithësisht e vërtetë.

Por pse zhduket dhe pse në mënyrë të pakthyeshme? Për t'iu përgjigjur pyetjes, na duhet një nga konceptet kryesore të teorisë së vrimave të zeza - koncepti i rrezes Schwarzschild. Kjo është një madhësi kritike për çdo objekt që ka masë, thjesht duhet ta shtrydhni këtë masë në këtë madhësi dhe ajo do të ndahet fort nga bota e jashtme nga horizonti i ngjarjeve.

Si të bëni një vrimë të zezë

Marrja e vrimës së zezë më të thjeshtë nuk është e vështirë - mendërisht, natyrisht. Ju duhet të merrni një yll (ose ndonjë trup tjetër - për shembull, një planet ose një kalldrëm) dhe ta ngjeshni atë, duke zvogëluar rrezen e tij duke ruajtur masën. Imagjinoni veten në një yll ose planet të tillë: kur ngjeshet, bëhet më i dendur, distanca midis të gjitha grimcave të substancës së tij zvogëlohet, prandaj, forca e tërheqjes midis tyre rritet - në përputhje të plotë me ligjin e gravitetit universal. Ne gjithashtu do të shtypemi në sipërfaqe - në fund të fundit, të gjitha grimcat e yllit po na afrohen.

Do të jetë gjithnjë e më e vështirë të largohemi nga trupi qiellor fatkeq, dhe pas një kohe ne jo vetëm që do të jemi në gjendje të fluturojmë larg tij, por gjithashtu do të dërgojmë një sinjal SOS - nëse presim deri në momentin kur shpejtësia e dytë kozmike (ikja shpejtësia) në sipërfaqe nuk arrin shpejtësinë e dritës. Kjo do të ndodhë kur ylli të arrijë një madhësi të caktuar kritike.

Disa llogaritje

Llogaritja e rrezes Schwarzschild (rrezja gravitacionale) për çdo trup është shumë e thjeshtë. Është e nevojshme të merret formula për llogaritjen e shpejtësisë së dytë kozmike v 2 =√(2GM/r) , ku v 2 është shpejtësia e ikjes, M është masa, r është rrezja, G është konstanta gravitacionale, koeficienti i proporcionalitetit themeluar eksperimentalisht. Kuptimi i tij po përpunohet vazhdimisht; tani është marrë e barabartë me 6,67408 × 10 -11 m 3 kg -1 s -2.

Le të v=c. Bëjmë zëvendësimin e nevojshëm në ekuacion dhe marrim: r g =2GM/c 2 , ku r g është rrezja gravitacionale.

Në anën e djathtë të ekuacionit, kemi dy konstante - konstanten gravitacionale dhe shpejtësinë e dritës. Pra, rrezja e Schwarzschild-it është një sasi që varet vetëm nga masa e trupit dhe është drejtpërdrejt proporcionale me të.

Pasi të keni bërë llogaritje të thjeshta, është e lehtë të zbuloni se cila është rrezja Schwarzschild, për shembull, për Tokën: 8.86 mm. Shtrydhni masën e planetit në një top me një diametër prej pak më shumë se një centimetër e gjysmë - dhe ju merrni një vrimë të zezë. Për Jupiterin, rrezja gravitacionale do të jetë 2.82 m, për Diellin - 2.95 km. Ju mund të luani me çdo gjë, i vetmi kufizim në kushtet për gjetjen e rrezes Schwarzschild është masa minimale e mundshme e një vrime të zezë 2,176 × 10 -8 kg (masa Planck).

Vrimat e zeza duhet të jenë

Ideja se duhet të ketë objekte me një raport të tillë të masës dhe rrezes që as drita nuk mund të shpëtojë nga ky "kurth" gravitacional është mjaft e vjetër. Ai daton në fund të shekullit të 18-të, në veprat e J. Mitchell dhe P. Laplace, dhe tani është me interes, më tepër, për historinë e shkencës. Dhe kuptimi modern i thelbit të vrimave të zeza e ka origjinën në vitin 1916, kur fizikani dhe astronomi gjerman Karl Schwarzschild aplikoi për herë të parë teorinë e përgjithshme të relativitetit për të zgjidhur një problem astrofizik.

Kërkohej të përshkruhej fusha gravitacionale e një trupi të vetëm sferik jo rrotullues në vakum. Zgjidhja e problemit ishte e ashtuquajtura metrikë Schwarzschild, në të cilën ekziston një parametër tashmë i njohur për ne, i barabartë me 2GM / c 2 - rrezja gravitacionale (shkencëtari e caktoi atë si r S).

Pranë vijës së rrezikut

Llogaritjet e Schwarzschild tregojnë se nëse madhësia e një objekti është shumë më e madhe se kjo vlerë kritike për masën M, atëherë struktura e hapësirë-kohës nuk është shumë e shtrembëruar nga graviteti i saj: në fakt, në këtë rast, mund të përdoret përshkrimi Njutonian. të gravitetit dhe neglizhoni korrigjimet e GTR. Këto të fundit bëhen thelbësore si r → r S. Për shembull, zgjerimi i kohës dhe efekti shoqërues i zhvendosjes gravitacionale në të kuqe. Graviteti përkul hapësirë-kohën në atë mënyrë që për një vëzhgues të largët, koha pranë trupit gravitant ngadalësohet, dhe për këtë arsye frekuenca e lëkundjeve elektromagnetike zvogëlohet. Duke vëzhguar një yll në tkurrje, ne do të rregullojmë "skuqjen" e tij të shpejtë (në këtë efekt kontribuon edhe zhvendosja Doppler, pasi sipërfaqja e yllit do të largohet nga ne).

Cila është rrezja e Schwarzschild dhe horizonti i ngjarjeve

Sapo rrezja e yllit të arrijë vlerën r S, koha në sipërfaqen e tij do të ndalet dhe frekuenca e rrezatimit do të jetë e barabartë me zero. Asnjë sinjal nuk del nga nën sipërfaqen e rrezes Schwarzschild - horizonti i ngjarjeve - duke u ngrirë nga graviteti. Me fjalë të tjera, ngjarjet (pikat e hapësirë-kohës në kuptimin e relativitetit të përgjithshëm) në anët e kundërta të sferës Schwarzschild nuk mund të lidhen në asnjë mënyrë, dhe një vëzhguesi i jashtëm privohet nga mundësia për të mësuar ndonjë gjë rreth ngjarjeve brenda.

Pra, rrezja e Schwarzschild është një parametër i sipërfaqes në të cilën do të vendosej horizonti i ngjarjeve, i krijuar nga masa e një trupi jo rrotullues sferikisht simetrik, nëse kjo masë do të përmbahej tërësisht brenda kësaj sfere.

Pasi të ketë rrëshqitur, trupi kontraktues nuk do të ndalet - kolapsi pas këtij kufiri do të bëhet i pakthyeshëm dhe do të shembet në "varrin" gravitacional të singularitetit. Ne kemi vërtet një vrimë të zezë.

Drita sillet në mënyrë interesante pranë horizontit të ngjarjes: në hapësirën fort të lakuar, rrezet e saj kapen në orbita rrethore. Grupi i orbitave të tilla kaotike të paqëndrueshme formon një sferë fotonike.

Gjithçka është më e vështirë

Vrima e zezë Schwarzschild është rasti më i thjeshtë, vështirë se mund të realizohet në Univers, pasi është e vështirë të gjesh një trup kozmik jo rrotullues, dhe në formimin e vrimave të zeza reale, momenti këndor duhet të ruhet. Një vrimë e zezë rrotulluese mund të humbasë gradualisht energjinë, duke iu afruar gjendjes Schwarzschild. Shpejtësia e rrotullimit të tij do të priret në zero, por nuk do ta arrijë atë.

Llogaritjet e rrezes së një vrime të zezë Schwarzschild janë bërë në kuadrin e relativitetit të përgjithshëm dhe janë klasike. Sidoqoftë, ne nuk do të prekim efektet e imponuara në modelet moderne të vrimave të zeza nga mekanika kuantike, pasi thjesht numërimi i tyre do të na largonte nga tema.

Le të bëjmë vetëm një vërejtje: teoria klasike thotë se vëzhgimi i drejtpërdrejtë i horizontit të ngjarjeve është i pamundur. Sidoqoftë, në historinë e shkencës, ajo që shpesh konsiderohej e pamundur u zbatua me sukses dhe në këtë kuptim, studimet teorike të fenomeneve mekanike kuantike në vrimat e zeza sigurisht që do të sjellin shumë gjëra më të papritura dhe interesante. Në kuadrin e klasikëve, fizika e vrimave të zeza është një shembull i një teorie të zhvilluar në mënyrë të përsosur, të bukur dhe baza e saj historike është vepra e Schwarzschild.

Cili është ndryshimi midis teorisë së gravitetit të Ajnshtajnit dhe teorisë së Njutonit? Le të fillojmë me rastin më të thjeshtë. Supozoni se jemi në sipërfaqen e një planeti sferik jo rrotullues dhe matim forcën e tërheqjes së një trupi nga ky planet me ndihmën e balancave të pranverës. Ne e dimë se sipas ligjit të Njutonit, kjo forcë është proporcionale me produktin e masës së planetit dhe masës së trupit dhe është në përpjesëtim të zhdrejtë me katrorin e rrezes së planetit. Rrezja e një planeti: mund të përcaktohet, për shembull, duke matur gjatësinë e ekuatorit të tij dhe duke e ndarë me 2n.

Çfarë thotë teoria e Ajnshtajnit për forcën e tërheqjes? Sipas saj, forca do të jetë pak më shumë se ajo e llogaritur nga formula e Njutonit. Më vonë do të sqarojmë se çfarë do të thotë kjo "pak më shumë".

Imagjinoni tani që ne mund të zvogëlojmë gradualisht rrezen e planetit, duke e shtrydhur atë duke ruajtur masën e tij totale. Forca gravitacionale do të rritet (në fund të fundit, rrezja zvogëlohet). Sipas Njutonit, kur dyfishoni forcën, forca katërfishohet. Sipas Ajnshtajnit, rritja e forcës do të ndodhë përsëri pak më shpejt. Sa më e vogël të jetë rrezja e planetit, aq më i madh është ky ndryshim.

Nëse e ngjeshim planetin aq shumë sa fusha gravitacionale të bëhet super e fortë, atëherë diferenca midis madhësisë së forcës së llogaritur sipas teorisë së Njutonit dhe vlerës së saj të vërtetë, të dhënë nga teoria e Ajnshtajnit, rritet jashtëzakonisht shumë. Sipas Njutonit, forca e gravitetit tenton në pafundësi kur ngjeshim një trup në një pikë (rrezja është afër zeros). Sipas Ajnshtajnit, përfundimi është krejtësisht i ndryshëm: forca priret në pafundësi kur rrezja e trupit bëhet e barabartë me të ashtuquajturën rreze gravitacionale. Kjo rreze gravitacionale përcaktohet nga masa e trupit qiellor. Sa më e vogël, aq më e vogël është masa. Por edhe për masat gjigante është shumë i vogël. Pra, për Tokën është e barabartë me vetëm një centimetër! Edhe për Diellin, rrezja gravitacionale është vetëm 3 kilometra. Dimensionet e trupave qiellorë janë zakonisht shumë më të mëdha se rrezet e tyre gravitacionale.

bufat. Për shembull, rrezja mesatare e Tokës është 6400 kilometra, rrezja e Diellit është 700 mijë kilometra. Nëse rrezet e vërteta të trupave janë shumë më të mëdha se ato gravitacionale të tyre, atëherë ndryshimi midis forcave të llogaritura sipas teorisë së Ajnshtajnit dhe teorisë së Njutonit është jashtëzakonisht i vogël. Pra, në sipërfaqen e Tokës, kjo ndryshim është një e miliarda e madhësisë së vetë forcës.

Vetëm kur rrezja e trupit gjatë ngjeshjes së tij i afrohet rrezes gravitacionale, në një fushë kaq të fortë cha Në të njëjtën kohë, dallimet rriten dukshëm, dhe, siç u përmend tashmë, kur rrezja e trupit është e barabartë me atë gravitacionale, vlera e vërtetë e forcës së fushës gravitacionale bëhet e pafundme.

Përpara se të diskutojmë në çfarë pasojash çon kjo, le të shohim disa implikime të tjera të teorisë së Ajnshtajnit.

Thelbi i saj qëndron në faktin se ai lidhi pazgjidhshmërisht vetitë gjeometrike të hapësirës dhe kalimin e kohës me forcat e gravitetit. Këto marrëdhënie janë komplekse dhe të ndryshme. Le të vëmë re vetëm dy fakte të rëndësishme.

Sipas teorisë së Ajnshtajnit, koha në një fushë të fortë gravitacionale rrjedh më ngadalë se koha e matur larg masave gravituese (ku graviteti është i dobët). Fakti që koha mund të rrjedhë në mënyra të ndryshme, lexuesi modern, natyrisht, e ka dëgjuar. E megjithatë është e vështirë të mësohesh me këtë fakt. Si mund të rrjedhë koha ndryshe? Në fund të fundit, sipas ideve tona intuitive, koha është kohëzgjatje, diçka e zakonshme që është e natyrshme në të gjitha proceset. Është si një lumë që rrjedh pandryshuar. Proceset e veçanta mund të rrjedhin më shpejt dhe më ngadalë, ne mund të ndikojmë në to duke i vendosur në kushte të ndryshme. Për shembull, është e mundur të përshpejtohet rrjedha e një reaksioni kimik duke u ngrohur ose të ngadalësohet aktiviteti jetësor i një organizmi duke ngrirë, por lëvizja e elektroneve në atome do të vazhdojë me të njëjtin ritëm. Të gjitha proceset, siç na duket, janë zhytur në lumin e kohës absolute, e cila, me sa duket, nuk mund të ndikohet nga asgjë. Është e mundur, sipas ideve tona, të largohen të gjitha proceset nga ky lumë në përgjithësi, dhe prapë koha do të rrjedhë si një kohëzgjatje boshe.

Pra, ajo u konsiderua në shkencë si në kohën e Aristotelit, ashtu edhe në kohën e I. Njutonit, dhe më vonë - deri në A. Ajnshtajni. Ja çfarë shkruan Aristoteli në librin e tij “Fizika”: “Koha që kalon në dy lëvizje të ngjashme dhe të njëkohshme është një dhe e njëjta. Nëse të dyja periudhat kohore nuk do të rridhnin njëkohësisht, ato do të ishin përsëri të njëjta ... Për rrjedhojë, lëvizjet mund të jenë të ndryshme dhe të pavarura nga njëra-tjetra. Në të dyja rastet, koha është saktësisht e njëjtë.”

I. Njutoni shkroi edhe më shprehimisht, duke besuar se ai po fliste për të dukshmen: "Koha absolute, e vërtetë, matematikore, e marrë në vetvete, pa lidhje me asnjë trup, rrjedh në mënyrë të njëtrajtshme, në përputhje me natyrën e vet".

Supozimet se idetë për kohën absolute nuk janë aspak aq të dukshme, ndonjëherë u shprehën edhe në kohët e lashta. Pra, Lucretius Kar në shekullin I p.e.s. shkruante në poezinë "Për natyrën e gjërave": "Koha nuk ekziston vetvetiu ... Nuk mund ta kuptosh vetë kohën, pavarësisht gjendjes së pushimit dhe lëvizjes së trupave. ”

Por vetëm A. Ajnshtajni vërtetoi se nuk ka kohë absolute. Kalimi i kohës varet nga lëvizja dhe, ajo që është veçanërisht e rëndësishme për ne tani, nga fusha gravitacionale. Në një fushë të fortë gravitacionale, të gjitha proceset, absolutisht gjithçka, duke qenë të një natyre shumë të ndryshme, ngadalësohen për një vëzhgues të jashtëm. Kjo do të thotë se koha - domethënë ajo që është e përbashkët për të gjitha proceset - ngadalësohet.

Vonesa është zakonisht e vogël. Kështu, në sipërfaqen e Tokës, koha kalon më ngadalë se në hapësirën e thellë, me vetëm një pjesë në miliard, si në rastin e llogaritjes së forcës së gravitetit.

Dua të theksoj veçanërisht se një zgjerim kohor kaq i parëndësishëm në fushën gravitacionale të Tokës është matur drejtpërdrejt. Zgjerimi i kohës është matur edhe në fushën gravitacionale të yjeve, megjithëse zakonisht është gjithashtu jashtëzakonisht i vogël. Në një fushë gravitacionale shumë të fortë, ngadalësimi është dukshëm më i madh dhe bëhet pafundësisht më i madh kur rrezja e trupit bëhet e barabartë me atë gravitacionale.

Përfundimi i dytë i rëndësishëm i teorisë së Ajnshtajnit është se vetitë gjeometrike të hapësirës ndryshojnë në fushën e fortë të gravitetit.Gjeometria Euklidiane, kaq e njohur për ne, rezulton të jetë tashmë e padrejtë. Kjo do të thotë, për shembull, se shuma e këndeve në një trekëndësh nuk është e barabartë me dy kënde të drejta, dhe perimetri i një rrethi nuk është i barabartë me distancën e tij nga qendra shumëzuar me 2 pi. Vetitë e figurave të zakonshme gjeometrike bëhen të njëjta sikur të vizatoheshin jo në një plan, por në një sipërfaqe të lakuar. Prandaj thonë se hapësira

"lakore" në fushën gravitacionale. Natyrisht, kjo lakim vërehet vetëm në një fushë të fortë gravitacionale, nëse madhësia e trupit i afrohet rrezes së tij gravitacionale.

Natyrisht, vetë nocioni i lakimit të hapësirës është po aq i papajtueshëm me intuitat tona të rrënjosura thellë sa nocioni i rrjedhës së ndryshme të kohës.

Njëlloj si për kohën, I. Njutoni shkroi për hapësirën: "Hapësira absolute, për nga natyra e saj, e pavarur nga çdo lidhje me objektet e jashtme, mbetet e pandryshuar dhe e palëvizshme". Hapësira iu paraqit si një lloj “skene” e pafund në të cilën luhen “ngjarje” që nuk e prekin aspak këtë “skenë”.

Edhe zbuluesi i gjeometrisë jo-Euklidiane, "të lakuar" - N. Lobachevsky shprehu idenë se në disa situata fizike mund të shfaqet gjeometria e tij - N. Lobachevsky - dhe jo gjeometria e Euklidit. A. Ajnshtajni tregoi me llogaritjet e tij se hapësira me të vërtetë "lakohet" në një fushë të fortë gravitacionale.

Ky përfundim i teorisë konfirmohet edhe nga eksperimentet e drejtpërdrejta.

Pse e kemi kaq të vështirë të pranojmë përfundimet e teorisë së përgjithshme të relativitetit për hapësirën dhe kohën?

Po, sepse përvoja e përditshme e njerëzimit, madje edhe përvoja e shkencës ekzakte, gjatë shekujve ka trajtuar vetëm kushtet kur ndryshimet në vetitë e kohës dhe hapësirës janë krejtësisht të padukshme dhe për këtë arsye tërësisht të neglizhuara. Të gjitha njohuritë tona bazohen në përvojën e përditshme. Këtu jemi mësuar me dogmën mijëravjeçare për hapësirën dhe kohën absolutisht të pandryshueshme.

Epoka jonë ka ardhur. Njerëzimi në njohuritë e tij ka hasur në kushte kur nuk mund të neglizhohet ndikimi i materies në vetitë e hapësirës dhe kohës. Pavarësisht nga inercia e të menduarit tonë, ne duhet të mësohemi me një pazakontësi të tillë. Dhe tani një brez i ri njerëzish tashmë i percepton të vërtetat e teorisë së relativitetit shumë më lehtë (bazat e teorisë speciale të relativitetit tani po studiohen në shkollë!), sesa ishte disa dekada më parë, kur edhe mendjet më të përparuara mundën. vështirë se e perceptojnë teorinë e Ajnshtajnit

Le të bëjmë edhe një vërejtje për përfundimet e teorisë së relativitetit. Autori i tij tregoi se vetitë e hapësirës dhe kohës jo vetëm që mund të ndryshojnë, por se hapësira dhe koha bashkohen së bashku në një tërësi të vetme - një "hapësirë-kohë" katërdimensionale Është kjo shumëllojshmëri e vetme që përkulet. Natyrisht, paraqitjet vizuale në një supergjeometri të tillë katërdimensionale janë edhe më të vështira dhe ne nuk do të ndalemi në to këtu.

Le të kthehemi në fushën gravitacionale rreth një mase sferike. Meqenëse gjeometria në një fushë të fortë gravitacionale është jo-Euklidiane, e lakuar, është e nevojshme të sqarohet se cila është rrezja e një rrethi, për shembull, ekuatori i planetit. Në gjeometrinë e zakonshme, rrezja mund të përcaktohet në dy mënyra: së pari, është distanca e pikave të rrethit nga qendra, dhe së dyti, është perimetri i ndarë me 2 pi. Por në gjeometrinë jo-Euklidiane, këto dy sasi nuk përkojnë për shkak të "lakimit" të hapësirës.

Përdorimi i metodës së dytë për përcaktimin e rrezes së një trupi gravitues (dhe jo distancën nga qendra në vetë rrethin) ka një sërë përparësish. Për të matur një rreze të tillë, nuk është e nevojshme t'i afrohemi qendrës së masave gravituese. Kjo e fundit është shumë e rëndësishme, për shembull, për të matur rrezen e Tokës do të ishte shumë e vështirë për të depërtuar në qendër të saj, por nuk është shumë e vështirë për të matur gjatësinë e ekuatorit.

Për Tokën, nuk ka nevojë të matet drejtpërdrejt distancën nga qendra, sepse fusha gravitacionale e Tokës është e vogël, dhe gjeometria e Euklidit është e vlefshme për ne me saktësi më të madhe, dhe gjatësia e ekuatorit pjesëtohet me 2pi, e barabartë me distancën nga qendra. Në yjet super të dendur me një fushë të fortë gravitacionale, megjithatë, kjo nuk është kështu:

diferenca në “rrezet” e përcaktuara në mënyra të ndryshme mund të jetë mjaft e dukshme. Për më tepër, siç do të shohim më poshtë, në disa raste është thelbësisht e pamundur të arrihet qendra e gravitetit. Prandaj, rrezen e një rrethi gjithmonë do ta kuptojmë si gjatësia e saj pjesëtuar me 2 pi.

Fusha gravitacionale që po shqyrtojmë rreth një trupi sferik jo rrotullues quhet fusha Schwarzschild, sipas shkencëtarit i cili, menjëherë pasi Ajnshtajni krijoi teorinë e relativitetit, zgjidhi ekuacionet e saj për këtë rast.

Astronomi gjerman K Schwarzschild ishte një nga krijuesit e astrofizikës moderne teorike, ai kreu një sërë veprash të vlefshme në fushën e astrofizikës praktike dhe degëve të tjera të astronomisë në një takim të Akademisë së Shkencave Prusiane kushtuar kujtimit të K. Schwarz.

Schild, i cili vdiq në moshën vetëm 42 vjeç, A. Einstein e vlerësoi kontributin e tij në shkencë si më poshtë:

“Në veprat teorike të Schwarzschild, ajo që bie veçanërisht në sy është zotërimi i sigurt i metodave matematikore të kërkimit dhe lehtësia me të cilën ai kupton thelbin e një problemi astronomik ose fizik. Rrallëherë mund të gjesh njohuri kaq të thella matematikore të kombinuara me sens të përbashkët dhe një fleksibilitet të tillë të të menduarit si ai. Ishin këto talente që e lejuan atë të kryente punë të rëndësishme teorike në ato fusha që i trembën studiuesit e tjerë me vështirësi matematikore. Motivi i krijimtarisë së tij të pashtershme, me sa duket, mund të konsiderohet në një masë shumë më të madhe gëzimi i artistit, i cili zbulon lidhjen delikate të koncepteve matematikore, sesa dëshira për të njohur varësitë e fshehura në natyrë.

K. Schwarzschild mori zgjidhjen e ekuacioneve të Ajnshtajnit për fushën gravitacionale të një trupi sferik në dhjetor 1915, një muaj pasi A. Ajnshtajni përfundoi botimin e teorisë së tij. Siç kemi thënë tashmë, kjo teori është shumë komplekse për shkak të koncepteve krejtësisht të reja, revolucionare, por rezulton se ekuacionet e saj janë ende shumë komplekse, si të thuash, thjesht teknikisht. Nëse formula e ligjit të gravitetit të I. Njutonit është e famshme për thjeshtësinë dhe shkurtësinë e saj klasike, atëherë në rastin e një teorie të re, për të përcaktuar fushën gravitacionale, është e nevojshme të zgjidhet një sistem prej dhjetë ekuacionesh, secila prej të cilave përmban qindra (!) Termat Dhe këto nuk janë vetëm ekuacione algjebrike, por ekuacione diferenciale në derivate të pjesshme të rendit të dytë

Në kohën tonë për të operuar me detyra të tilla përdoret i gjithë arsenali i kompjuterëve elektronikë.Në kohën e K. Schwarzschild sigurisht që nuk kishte asgjë të tillë dhe mjetet e vetme ishin stilolapsi dhe letra.

Por duhet thënë se edhe sot puna në fushën e teorisë së relativitetit kërkon ndonjëherë transformime të gjata dhe të mundimshme matematikore me dorë (pa një makinë elektronike), të cilat shpesh janë të lodhshme dhe monotone për shkak të numrit të madh të termave në formula. Por nuk mund të bësh pa punë të vështirë. Unë shpesh u sugjeroj studentëve (dhe ndonjëherë studentëve të diplomuar dhe shkencëtarëve), të cilët janë të mahnitur nga natyra fantastike e teorisë së përgjithshme të relativitetit, të cilët e kanë njohur atë nga tekstet shkollore dhe dëshirojnë të punojnë në të, të llogarisin konkretisht me duart e tyre në të paktën një sasi relativisht e thjeshtë në problemet e kësaj teorie. Jo të gjithë, pas shumë ditësh (dhe ndonjëherë edhe shumë më të gjata!) llogaritjeve, vazhdojnë të përpiqen me kaq zjarr për t'ia kushtuar jetën kësaj shkence.

Për të justifikuar një test kaq "të vështirë" dashurie, do të them se edhe unë vetë kalova një provë të ngjashme. (Meqë ra fjala, sipas legjendave në kohët e vjetra, edhe dashuria e zakonshme njerëzore u testua nga bëmat.) Në vitet e mia studentore, mësuesi im në teorinë e relativitetit ishte një specialist i njohur dhe një person shumë modest A. Zelmanov . Për tezën time, ai më vendosi një detyrë në lidhje me vetinë e mahnitshme të fushës gravitacionale - aftësinë për ta "shkatërruar" atë kudo që dëshironi. "Si? do të bërtasë lexuesi. "Në fund të fundit, tekstet shkollore thonë se, në parim, asnjë ekran nuk mund të rrethohet nga graviteti, se substanca "kyç-vorit" e shpikur nga shkrimtari i trillimeve shkencore G. Wells është trillim i pastër, i pamundur në realitet!"

E gjithë kjo është e vërtetë, dhe nëse qëndroni të palëvizshëm, për shembull, në lidhje me Tokën, atëherë forca e saj gravitacionale nuk mund të shkatërrohet. Por veprimi i kësaj force mund të eliminohet plotësisht duke filluar të bjerë lirisht! Pastaj fillon mungesa e peshës. Nuk ka gravitacion në kabinën e një anije kozmike me motorët e saj të fikur, duke fluturuar në orbitë rreth Tokës, gjërat dhe vetë astronautët notojnë në kabinë pa ndier gravitet. Të gjithë e kemi parë këtë në ekranet televizive shumë herë në raporte nga orbita. Vini re se asnjë fushë tjetër, përveç fushës gravitacionale, nuk lejon një "asgjësim" kaq të thjeshtë. Fusha elektromagnetike, për shembull, nuk mund të hiqet në këtë mënyrë.

Vetia e "lëvizshmërisë" së gravitetit është e lidhur me problemin më të vështirë të teorisë - problemin e energjisë së fushës gravitacionale. Ajo, sipas disa fizikanëve, nuk është zgjidhur deri më sot. Formulat e teorisë bëjnë të mundur llogaritjen për çdo masë të energjisë totale të fushës së saj gravitacionale në të gjithë hapësirën. Por është e pamundur të tregohet saktësisht se ku ndodhet kjo energji, sa është në një ose një vend tjetër në hapësirë. Siç thonë fizikanët, nuk ka asnjë koncept të densitetit të energjisë gravitacionale në pikat e hapësirës.

Në tezën time, më duhej të tregoja me llogaritje të drejtpërdrejtë se shprehjet matematikore të njohura në atë kohë për densitetin e energjisë së fushës gravitacionale janë të pakuptimta edhe për vëzhguesit, jo

duke përjetuar rënie të lirë, le të themi, për vëzhguesit që qëndrojnë në Tokë dhe duke ndjerë qartë forcën me të cilën planeti i tërheq ata. Shprehjet matematikore me të cilat duhej të punoja ishin edhe më të rënda se ekuacionet e fushës gravitacionale, për të cilat folëm më sipër. Madje i kërkova A. Zelmanovit që të më ndihmonte dikë tjetër që do të bënte të njëjtat llogaritje paralelisht, sepse mund të bëja një gabim. A. Zelmanov më refuzoi plotësisht. “Duhet ta bësh vetë”, ishte përgjigja e tij.

Kur gjithçka mbaroi, pashë se kisha shpenzuar disa qindra orë në këtë punë rutinë. Pothuajse të gjitha llogaritjet duhej të bëheshin dy herë, dhe disa më shumë. Deri në ditën e diplomimit, ritmi i punës u rrit me shpejtësi, si shpejtësia e një trupi që bie lirshëm në një fushë gravitacionale. Vërtetë, duhet të theksohet se thelbi i punës konsistonte jo vetëm në llogaritjet e drejtpërdrejta. Gjatë rrugës, ishte ende e nevojshme të mendohej dhe të zgjidheshin çështje themelore.

Ky ishte botimi im i parë mbi relativitetin e përgjithshëm.

Por përsëri te vepra e K. Schwarzschild. Me ndihmën e analizës matematikore elegante, ai zgjidhi problemin për një trup sferik dhe ia dërgoi A. Ajnshtajnit për transferim në Akademinë e Berlinit. Zgjidhja e goditi A. Ajnshtajnin, pasi deri në atë kohë ai vetë kishte marrë vetëm një zgjidhje të përafërt, e vlefshme vetëm në një fushë të dobët gravitacionale. Zgjidhja e K. Schwarzschild ishte e saktë, domethënë e drejtë për një fushë gravitacionale arbitrarisht të fortë rreth një mase sferike; kjo ishte rëndësia e saj. Por as A. Einstein dhe as vetë K. Schwarzschild nuk e dinin atëherë se kjo zgjidhje përmbante diçka shumë më tepër. Më vonë doli se përmbante një përshkrim të një vrime të zezë.

Dhe tani le të vazhdojmë të flasim për shpejtësinë e dytë kozmike. Çfarë shpejtësie, sipas ekuacioneve të Ajnshtajnit, duhet t'i jepet një rakete që nis nga sipërfaqja e planetit në mënyrë që ajo, pasi ka kapërcyer forcën e gravitetit, të fluturojë në hapësirë?

Përgjigja doli të ishte jashtëzakonisht e thjeshtë. Këtu vlen e njëjta formulë si në teorinë e Njutonit. Kjo do të thotë se përfundimi i P. Laplace për pamundësinë që drita të shpëtojë nga një masë gravitacionale kompakte u konfirmua nga teoria e gravitetit të Ajnshtajnit, sipas së cilës shpejtësia e dytë hapësinore duhet të jetë e barabartë me shpejtësinë e dritës pikërisht në rrezen gravitacionale.

Një sferë me rreze të barabartë me atë gravitacionale quhet sfera Schwarzschild.

PREZANTIMI

Vrimat e zeza janë objekte absolutisht fantastike në vetitë e tyre. “Nga të gjitha shpikjet e mendjes njerëzore, nga njëbrirëshët dhe kimerat e deri te bomba me hidrogjen, ndoshta më fantastika është imazhi i një vrime të zezë, e ndarë nga pjesa tjetër e hapësirës nga një kufi i caktuar që asgjë nuk mund ta kalojë; një vrimë me një fushë gravitacionale aq të fortë sa që edhe drita pengohet nga kapaku i saj; një vrimë që përkul hapësirën dhe ngadalëson kohën. Ashtu si njëbrirëshët dhe kimerat, një vrimë e zezë duket më e përshtatshme në romanet fantazi ose mitet e lashta sesa në universin e vërtetë. E megjithatë, ligjet e fizikës moderne në fakt kërkojnë që vrimat e zeza të ekzistojnë. Ndoshta vetëm Galaktika jonë i përmban ato”, tha fizikani amerikan K. Thorn për vrimat e zeza.

Kësaj duhet shtuar se brenda vrimës së zezë, vetitë e hapësirës dhe kohës ndryshojnë në mënyrë të mahnitshme, duke u përdredhur në një lloj hinke, dhe në thellësi ka një kufi përtej të cilit koha dhe hapësira kalbet në kuante ... Brenda vrimës së zezë, përtej skajit të kësaj humnere të veçantë gravitacionale, nga ku nuk ka dalje, rrjedhin procese fizike mahnitëse, manifestohen ligje të reja të natyrës.

Vrimat e zeza janë burimet më madhështore të energjisë në univers. Ndoshta i shohim në kuazarët e largët, në bërthamat galaktike që shpërthejnë. Ata gjithashtu lindin pas vdekjes së yjeve të mëdhenj. Ndoshta vrimat e zeza në të ardhmen do të bëhen burime energjie për njerëzimin.

FORMIMI I VRIMAVE TË ZEZA. KOLAPS GRAVITACIONAL. RREZE E GRAVITETIT

Shkencëtarët kanë zbuluar se vrimat e zeza duhet të lindin si rezultat i një ngjeshjeje shumë të fortë të çdo mase, në të cilën fusha gravitacionale rritet aq shumë sa nuk lëshon asnjë dritë apo asnjë rrezatim, sinjale apo trupa tjetër.

Në vitin 1798, P. Laplace, duke studiuar përhapjen e dritës në fushën gravitacionale të një objekti, një masë e madhe e të cilit është e përqendruar brenda një zone të vogël të hapësirës, ​​arriti në përfundimin se trupat absolutisht të zinj për një vëzhgues të jashtëm mund të ndodhin në natyrës. Fusha gravitacionale e trupave të tillë është aq e madhe sa nuk lëshon rreze drite (në gjuhën e astronautikës, kjo do të thotë se shpejtësia e dytë hapësinore do të ishte më e madhe se shpejtësia e dritës c). Për këtë, është e nevojshme vetëm që masa e objektit M të përqendrohet në një rajon me një rreze më të vogël se e ashtuquajtura. rrezja e gravitetit trupi R g. Rrezja

R g \u003d 2GM / cІ1,5 * 10 -28 M, ku G është konstanta e gravitetit;

M-masa (e matur në gram),

R g - në centimetra.

Përfundimi i Laplace u bazua në mekanikën klasike dhe teorinë e gravitetit të Njutonit.

Prandaj, për shfaqjen e një vrime të zezë, është e nevojshme që masa të tkurret në një madhësi të tillë që shpejtësia e dytë kozmike të bëhet e barabartë me shpejtësinë e dritës. Kjo madhësi quhet rrezja gravitacionale dhe varet nga masa e trupit. Vlera e tij është shumë e vogël edhe për masat e trupave qiellorë. Pra, për Tokën, rrezja gravitacionale është afërsisht e barabartë me 1 cm, për Diellin - 3 km.

Për të kapërcyer gravitetin dhe për të shpëtuar nga një vrimë e zezë, do të kërkohej një shpejtësi e dytë kozmike, më e madhe se shpejtësia e dritës. Sipas teorisë së relativitetit, asnjë trup nuk mund të përshpejtohet më shpejt se shpejtësia e dritës. Kjo është arsyeja pse asgjë nuk mund të fluturojë nga një vrimë e zezë, asnjë informacion nuk mund të dalë. Pasi çdo trup, ndonjë substancë ose rrezatim bie nën ndikimin e gravitetit në një vrimë të zezë, vëzhguesi nuk do ta dijë kurrë se çfarë u ndodhi atyre në të ardhmen. Pranë vrimave të zeza, sipas shkencëtarëve, vetitë e hapësirës dhe kohës duhet të ndryshojnë në mënyrë dramatike.

Nëse një vrimë e zezë lind si rezultat i ngjeshjes së një trupi rrotullues, atëherë afër kufirit të saj të gjithë trupat përfshihen në lëvizje rrotulluese rreth tij.

Shkencëtarët besojnë se vrimat e zeza mund të shfaqen në fund të evolucionit të yjeve mjaft masiv. Pas shterimit të rezervave të karburantit bërthamor, ylli humbet stabilitetin e tij dhe nën ndikimin e gravitetit të tij fillon të tkurret me shpejtësi. I ashtuquajturi kolapsi gravitacional(një proces i tillë kompresimi në të cilin forcat e gravitetit rriten në mënyrë të pakontrolluar).

Domethënë, deri në fund të jetës së tyre, yjet humbasin masën si rezultat i një sërë procesesh: era yjore, transferimi i masës në sistemet binare, shpërthimet e supernovës etj.; megjithatë, dihet se ka shumë yje me masë 10, 20 dhe madje 50 herë më të madhe se dielli. Nuk ka gjasa që të gjithë këta yje të shpëtojnë disi nga masa "e tepërt" për të hyrë në kufijtë e treguar (2-3M). Sipas teorisë, nëse një yll ose bërthama e tij me një masë mbi kufirin e specifikuar fillon të shembet nën ndikimin e gravitetit të tij, atëherë asgjë nuk është në gjendje të ndalojë shembjen e tij. Lënda e yllit do të tkurret pafundësisht, në parim, derisa të zvogëlohet në një pikë. Gjatë ngjeshjes, forca e gravitetit në sipërfaqe rritet në mënyrë të qëndrueshme - më në fund, vjen një moment kur edhe drita nuk mund të kapërcejë pengesën gravitacionale. Ylli zhduket: formohet ajo që ne e quajmë Vrimë e Zezë.

Nëse do të shpërndahej në mënyrë sferike në mënyrë simetrike, do të ishte i palëvizshëm (në veçanti, nuk do të rrotullohej, por lejohen lëvizjet radiale) dhe do të shtrihej tërësisht brenda kësaj sfere.

Rrezja gravitacionale është proporcionale me masën e trupit m dhe e barabartë me , ku G- konstante gravitacionale, Meështë shpejtësia e dritës në vakum. Kjo shprehje mund të shkruhet si , ku matet në metra, dhe - në kilogramë. Për astrofizikën, është e përshtatshme të shkruhet km, ku është masa e Diellit.

Për nga madhësia, rrezja gravitacionale përkon me rrezen e një trupi sferikisht simetrik, për të cilin, në mekanikën klasike, shpejtësia e dytë kozmike në sipërfaqe do të ishte e barabartë me shpejtësinë e dritës. John Michell së pari tërhoqi vëmendjen për rëndësinë e kësaj sasie në letrën e tij drejtuar Henry Cavendish, botuar në 1784. Brenda kuadrit të teorisë së përgjithshme të relativitetit, rrezja gravitacionale (në koordinata të tjera) u llogarit për herë të parë në 1916 nga Karl Schwarzschild (shih metrikën Schwarzschild).

Rrezja gravitacionale e objekteve të zakonshme astrofizike është e papërfillshme në krahasim me madhësinë e tyre aktuale: për shembull, për Tokën = 0,884 cm, për Diellin = 2,95 km. Përjashtim bëjnë yjet neutron dhe yjet hipotetikë bosonikë dhe kuarkë. Për shembull, për një yll tipik neutron, rrezja e Schwarzschild është rreth 1/3 e rrezes së vet. Kjo përcakton rëndësinë e efekteve të teorisë së përgjithshme të relativitetit në studimin e objekteve të tilla.

Nëse trupi është i ngjeshur në madhësinë e rrezes gravitacionale, atëherë asnjë forcë nuk mund të ndalojë ngjeshjen e tij të mëtejshme nën ndikimin e forcave gravitacionale. Një proces i tillë, i quajtur kolaps gravitacional relativist, mund të ndodhë me yje mjaft masive (siç tregon llogaritja, me një masë prej më shumë se dy ose tre masa diellore) në fund të evolucionit të tyre: nëse, pasi të kenë shteruar "karburantin" bërthamor, ylli nuk shpërthen dhe nuk humb masën, atëherë, duke u tkurrur në madhësinë e rrezes gravitacionale, ai duhet të përjetojë një kolaps gravitacional relativist. Gjatë kolapsit gravitacional, asnjë rrezatim, asnjë grimcë nuk mund të shpëtojë nga nën sferën e rrezes. Nga këndvështrimi i një vëzhguesi të jashtëm, i vendosur larg yllit, ndërsa madhësia e yllit i afrohet kohës së duhur të grimcave të yllit, shpejtësia e rrjedhës së tij ngadalësohet pafundësisht. Prandaj, për një vëzhgues të tillë, rrezja e yllit në kolaps i afrohet rrezes gravitacionale në mënyrë asimptotike, duke mos u bërë kurrë më e vogël se ajo.

Një trup fizik që ka përjetuar kolaps gravitacional, si një trup rrezja e të cilit është më e vogël se rrezja e tij gravitacionale, quhet vrimë e zezë. Rrezja e sferës r g përkon me horizontin e ngjarjeve të një vrime të zezë që nuk rrotullohet. Për një vrimë të zezë rrotulluese, horizonti i ngjarjeve është elipsoidal dhe rrezja gravitacionale jep një vlerësim të madhësisë së saj. Rrezja e Schwarzschild për një vrimë të zezë supermasive në qendër të galaktikës është rreth 16 milionë kilometra. Rrezja e Schwarzschild e një sfere të mbushur në mënyrë uniforme me lëndë me një densitet të barabartë me densitetin kritik përkon me rrezen e Universit të vëzhgueshëm [ jo në burim] .

Letërsia

• Mizner C., Thorne K., Wheeler J. Graviteti. - M .: Mir, 1977. - T. 1-3.
• Shapiro S.L., Tjukolsky S.A. Vrimat e zeza, xhuxhët e bardhë dhe yjet neutronike / Per. nga anglishtja. ed. Ya. A. Smorodinsky. - M .: Mir, 1985. - T. 1-2. - 656 f.

Shiko gjithashtu

Lidhjet

Fondacioni Wikimedia. 2010 .

Shihni se çfarë është "Rrezja e gravitetit" në fjalorë të tjerë:

Në teorinë e përgjithshme të relativitetit (shih GRAVITATION), rrezja e një sfere, për të cilën forca gravitacionale e krijuar nga një masë sferike, jo rrotulluese m, e shtrirë tërësisht brenda kësaj sfere, priret drejt pafundësisë. G. fq. (rg) përcaktohet nga pesha trupore: rg= 2Gm/c2… Enciklopedia Fizike

Në teorinë e gravitetit, rrezja rgr e një sfere mbi të cilën forca gravitacionale e krijuar nga masa m që ndodhet brenda kësaj sfere tenton në pafundësi; rgr = 2mG/c2, ku G është konstanta gravitacionale, c është shpejtësia e dritës në vakum. Rrezet gravitacionale të zakonshme ... ... Fjalori i madh enciklopedik

Në teorinë e gravitetit, rrezja rgr e një sfere mbi të cilën forca gravitacionale e krijuar nga masa m që ndodhet brenda kësaj sfere tenton në pafundësi; rgr=2mG/c2, ku G është konstanta gravitacionale, c është shpejtësia e dritës në vakum. Rrezet gravitacionale të zakonshme ... ... fjalor enciklopedik

rrezja e gravitetit- gravitacini spindulys statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. rrezja gravitacionale vok. Rrezja e gravitacionit, m rus. rrezja e gravitetit, m pranc. gravitacion prej fije artificiale, m … Fizikos fundų žodynas

Në teorinë e përgjithshme të relativitetit (shih. Gravitacioni) rrezja e sferës mbi të cilën forca gravitacionale e krijuar nga masa m, e cila shtrihet tërësisht brenda kësaj sfere, priret në pafundësi. G. r. përcaktohet nga masa e trupit m dhe është e barabartë me rg = 2G m/c2, ku G… … Enciklopedia e Madhe Sovjetike

Në teorinë e gravitetit, rrezja rgr e një sfere, mbi të cilën forca gravitacionale e krijuar nga masa m që ndodhet brenda kësaj sfere tenton në pafundësi; rgr = 2mG/c2, ku G është gravitacionale. konstante, me shpejtësinë e dritës në vakum. G. r. trupat e zakonshëm qiellorë janë të papërfillshëm ... ... Shkenca natyrore. fjalor enciklopedik

Rrezja e gravitetit- (shih Graviteti) rrezja në të cilën një trup qiellor (zakonisht një yll) mund të tkurret si rezultat i kolapsit gravitacional. Pra, për Diellin është 1.48 km, për Tokën 0.443 cm ... Fillimet e shkencës moderne natyrore

Rrathët Ky term ka kuptime të tjera, shih Radius (shqarim). Radius (lat. ... Wikipedia

Rrezja gravitacionale (ose rrezja e Schwarzschild) në Teorinë e Përgjithshme të Relativitetit (GR) është një rreze karakteristike e përcaktuar për çdo trup fizik me masë: kjo është rrezja e sferës në të cilën do të vendosej horizonti i ngjarjeve, ... .. Wikipedia

E krijuar nga kjo masë (nga pikëpamja e relativitetit të përgjithshëm), nëse do të shpërndahej në mënyrë sferike në mënyrë simetrike, do të ishte e palëvizshme (në veçanti, nuk do të rrotullohej, por lëvizjet radiale lejohen) dhe do të shtrihej tërësisht brenda kësaj sfere. Futur në përdorim shkencor nga shkencëtari gjerman Karl Schwarzschild në 1916.

Rrezja gravitacionale është proporcionale me masën e trupit M dhe është e barabartë me r g = 2 G M / c 2 , (\displaystyle r_(g)=2GM/c^(2),) Ku G- konstante gravitacionale, Meështë shpejtësia e dritës në vakum. Kjo shprehje mund të rishkruhet si r g≈ 1,48 10 −25 cm ( M/ 1 kg). Për astrofizikanët është i përshtatshëm për të shkruar r g ≈ 2 ,95 (M / M ⊙) (\style ekrani r_(g)\afërsisht 2(,)95(M/M_(\odot ))) km, ku M ⊙ (\displaystyle M_(\odot ))është masa e diellit.

Rrezja gravitacionale e objekteve të zakonshme astrofizike është e papërfillshme në krahasim me madhësinë e tyre aktuale: për shembull, për Tokën r g≈ 0,887 cm, për Diellin r g≈ 2,95 km. Përjashtim bëjnë yjet neutron dhe yjet hipotetikë bosonikë dhe kuarkë. Për shembull, për një yll tipik neutron, rrezja e Schwarzschild është rreth 1/3 e rrezes së vet. Kjo përcakton rëndësinë e efekteve të teorisë së përgjithshme të relativitetit në studimin e objekteve të tilla. Rrezja gravitacionale e një objekti me masën e universit të vëzhgueshëm do të ishte rreth 10 miliardë vite dritë.

Me yje mjaftueshëm masivë (siç tregon llogaritja, me një masë më shumë se dy ose tre masa diellore), në fund të evolucionit të tyre, mund të ndodhë një proces i quajtur kolapsi gravitacional relativist: nëse, pasi të ketë shteruar "karburantin" bërthamor, ylli nuk shpërthen dhe nuk humb masën, atëherë, duke përjetuar një kolaps gravitacional relativist, ai mund të tkurret në madhësinë e një rreze gravitacionale. Gjatë kolapsit gravitacional të një ylli në një sferë, asnjë rrezatim, asnjë grimcë nuk mund të shpëtojë. Nga pikëpamja e një vëzhguesi të jashtëm që ndodhet larg yllit, me afrimin e madhësisë së yllit r g (\displaystyle r_(g)) koha e duhur e grimcave të një ylli ngadalëson shpejtësinë e rrjedhjes së tij për një kohë të pacaktuar. Prandaj, për një vëzhgues të tillë, rrezja e yllit në kolaps i afrohet rrezes gravitacionale në mënyrë asimptotike, duke mos u bërë kurrë e barabartë me të. Por është e mundur, megjithatë, të tregohet momenti nga i cili një vëzhgues i jashtëm nuk do ta shohë më yllin dhe nuk do të jetë në gjendje të gjejë ndonjë informacion rreth tij. Kështu që tani e tutje, i gjithë informacioni që përmban ylli në fakt do të humbasë për një vëzhgues të jashtëm.

Një trup fizik që ka përjetuar kolaps gravitacional dhe ka arritur një rreze gravitacionale quhet një vrimë e zezë. Rrezja e sferës r g përkon me horizontin e ngjarjeve të një vrime të zezë që nuk rrotullohet. Për një vrimë të zezë rrotulluese, horizonti i ngjarjeve është elipsoidal dhe rrezja gravitacionale jep një vlerësim të madhësisë së saj. Rrezja e Schwarzschild për vrimën e zezë supermasive në qendër të galaktikës sonë është rreth 16 milionë kilometra.

Rrezja Schwarzschild e një objekti me satelitë në shumë raste mund të matet me saktësi shumë më të madhe se masa e atij objekti. Ky fakt disi paradoksal lidhet me faktin se kur kalon nga periudha e matur e revolucionit të satelitit T dhe gjysmëboshti kryesor i orbitës së tij a(këto sasi mund të maten me saktësi shumë të lartë) në masën e trupit qendror Mështë e nevojshme të veçohet parametri gravitacional i objektit μ = GM= 4π 2 a 3 /T 2 te konstanta gravitacionale G, e cila njihet me një saktësi shumë më të keqe (rreth 1 në 7000 që nga viti 2018) sesa saktësia e shumicës së konstantave të tjera themelore. Në të njëjtën kohë, rrezja e Schwarzschild është deri në koeficientin 2/ Me 2 , parametri gravitacional i objektit.