Duke përdorur këtë program matematikor, ju mund të zgjidhni një sistem me dy ekuacione lineare me dy ndryshore duke përdorur metodën e zëvendësimit dhe metodën e mbledhjes.

Programi jo vetëm që i jep përgjigje problemit, por gjithashtu ofron një zgjidhje të detajuar me shpjegime të hapave të zgjidhjes në dy mënyra: metoda e zëvendësimit dhe metoda e mbledhjes.

Ky program mund të jetë i dobishëm për nxënësit e shkollave të mesme në shkollat ​​e arsimit të përgjithshëm kur përgatiten për teste dhe provime, kur testojnë njohuritë para Provimit të Unifikuar të Shtetit dhe për prindërit për të kontrolluar zgjidhjen e shumë problemeve në matematikë dhe algjebër. Apo ndoshta është shumë e shtrenjtë për ju të punësoni një mësues ose të blini tekste të reja shkollore? Apo thjesht dëshironi t'i kryeni detyrat e shtëpisë tuaj të matematikës ose algjebrës sa më shpejt që të jetë e mundur? Në këtë rast, ju gjithashtu mund të përdorni programet tona me zgjidhje të detajuara.

Në këtë mënyrë ju mund të kryeni trajnimin tuaj dhe/ose trajnimin e vëllezërve ose motrave tuaja më të vogla, ndërkohë që rritet niveli i arsimimit në fushën e zgjidhjes së problemeve.

Rregullat për futjen e ekuacioneve

Çdo shkronjë latine mund të veprojë si një ndryshore.
Për shembull: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etj.

Kur futen ekuacionet mund të përdorni kllapa. Në këtë rast, ekuacionet thjeshtohen fillimisht. Ekuacionet pas thjeshtimeve duhet të jenë lineare, d.m.th. të formës ax+nga+c=0 me saktësinë e renditjes së elementeve.
Për shembull: 6x+1 = 5(x+y)+2

Në ekuacione, ju mund të përdorni jo vetëm numra të plotë, por edhe thyesa në formën e dhjetoreve dhe thyesave të zakonshme.

Rregullat për futjen e thyesave dhjetore.
Pjesët e plota dhe thyesore në thyesat dhjetore mund të ndahen ose me pikë ose me presje.
Për shembull: 2.1n + 3.5m = 55

Rregullat për futjen e thyesave të zakonshme.
Vetëm një numër i plotë mund të veprojë si numërues, emërues dhe pjesë e plotë e një thyese.
Emëruesi nuk mund të jetë negativ.
Kur futni një thyesë numerike, numëruesi ndahet nga emëruesi me një shenjë pjesëtimi: /
E gjithë pjesa ndahet nga thyesa me shenjën ampersand: &

Shembuj.
-1&2/3v + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

Zgjidh sistemin e ekuacioneve

U zbulua se disa skripta të nevojshëm për të zgjidhur këtë problem nuk u ngarkuan dhe programi mund të mos funksionojë.
Mund ta keni të aktivizuar AdBlock.
Në këtë rast, çaktivizoni atë dhe rifreskoni faqen.

JavaScript është çaktivizuar në shfletuesin tuaj.
Që zgjidhja të shfaqet, duhet të aktivizoni JavaScript.
Këtu janë udhëzimet se si të aktivizoni JavaScript në shfletuesin tuaj.

Sepse Ka shumë njerëz të gatshëm për të zgjidhur problemin, kërkesa juaj është në radhë.
Në pak sekonda zgjidhja do të shfaqet më poshtë.
Te lutem prit sekondë...

nëse ti vuri re një gabim në zgjidhje, atëherë mund të shkruani për këtë në Formularin e Feedback-ut.
Mos harro tregoni se cila detyrë ju vendosni se çfarë futni në fusha.

Lojërat tona, enigmat, emulatorët:

Pak teori.

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare. Metoda e zëvendësimit

Sekuenca e veprimeve kur zgjidhet një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur metodën e zëvendësimit:
1) shpreh një variabël nga disa ekuacione të sistemit në terma të një tjetri;
2) zëvendësoni shprehjen që rezulton në një ekuacion tjetër të sistemit në vend të kësaj ndryshoreje;

$$ \majtas\( \fillimi(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \djathtas. $$

Le ta shprehim y në terma x nga ekuacioni i parë: y = 7-3x. Duke zëvendësuar shprehjen 7-3x në ekuacionin e dytë në vend të y, marrim sistemin:
$$ \majtas\( \fillimi(grupi)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \djathtas. $$

Është e lehtë të tregohet se sistemi i parë dhe i dytë kanë të njëjtat zgjidhje. Në sistemin e dytë, ekuacioni i dytë përmban vetëm një ndryshore. Le të zgjidhim këtë ekuacion:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Shigjeta djathtas -5x+14-6x=3 \Shigjeta djathtas -11x=-11 \Shigjeta djathtas x=1 $$

Duke zëvendësuar numrin 1 në vend të x në barazinë y=7-3x, gjejmë vlerën përkatëse të y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Djathtas y=4 $$

Çifti (1;4) - zgjidhje e sistemit

Quhen sisteme ekuacionesh në dy ndryshore që kanë zgjidhje të njëjta ekuivalente. Sistemet që nuk kanë zgjidhje konsiderohen gjithashtu ekuivalente.

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare me mbledhje

Le të shqyrtojmë një mënyrë tjetër për të zgjidhur sistemet e ekuacioneve lineare - metodën e mbledhjes. Kur zgjidhim sistemet në këtë mënyrë, si dhe kur zgjidhim me zëvendësim, kalojmë nga ky sistem në një sistem tjetër ekuivalent, në të cilin njëri prej ekuacioneve përmban vetëm një ndryshore.

Sekuenca e veprimeve kur zgjidhet një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur metodën e mbledhjes:
1) shumëzoni ekuacionet e sistemit term me term, duke zgjedhur faktorët në mënyrë që koeficientët e njërës prej variablave të bëhen numra të kundërt;
2) shtoni anët e majta dhe të djathta të ekuacioneve të sistemit term pas termi;
3) zgjidh ekuacionin që rezulton me një ndryshore;
4) gjeni vlerën përkatëse të ndryshores së dytë.

Shembull. Le të zgjidhim sistemin e ekuacioneve:
$$ \left\( \fillimi(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \djathtas. $$

Në ekuacionet e këtij sistemi, koeficientët e y janë numra të kundërt. Duke mbledhur anën e majtë dhe të djathtë të ekuacioneve term pas termi, fitojmë një ekuacion me një ndryshore 3x=33. Le të zëvendësojmë një nga ekuacionet e sistemit, për shembull të parin, me ekuacionin 3x=33. Le të marrim sistemin
$$ \left\( \fillimi(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \djathtas. $$

Nga ekuacioni 3x=33 gjejmë se x=11. Duke e zëvendësuar këtë vlerë x në ekuacionin \(x-3y=38\) marrim një ekuacion me variablin y: \(11-3y=38\). Le të zgjidhim këtë ekuacion:
\(-3y=27 \Djathtas y=-9 \)

Kështu, ne gjetëm zgjidhjen e sistemit të ekuacioneve me mbledhje: \(x=11; y=-9\) ose \((11;-9)\)

Duke përfituar nga fakti se në ekuacionet e sistemit koeficientët për y janë numra të kundërt, zgjidhjen e tij e reduktuam në zgjidhjen e një sistemi ekuivalent (duke mbledhur të dyja anët e secilit prej ekuacioneve të sistemit origjinal), në të cilin një e ekuacioneve përmban vetëm një ndryshore.

Libra (tekste shkollore) Abstrakte të Provimit të Unifikuar të Shtetit dhe testeve të Provimit të Unifikuar të Shtetit në internet Lojëra, enigma Komplot grafikët e funksioneve Fjalori drejtshkrimor i gjuhës ruse Fjalori i zhargonit të të rinjve Katalogu i shkollave ruse Katalogu i institucioneve arsimore të mesme të Rusisë Katalogu i universiteteve ruse Lista të detyrave

Shumica e problemeve në matematikë përqendrohen në zgjidhjen e ekuacioneve standarde që përmbajnë një ndryshore. Ndonjëherë përdoret një sistem prej dy ose më shumë ekuacionesh, i cili mund të përfshijë, përkatësisht, dy ose më shumë ndryshore.

Megjithatë, le të studiojmë një ekuacion të veçantë që përmban, përveç shprehjeve numerike, dy shprehje abstrakte të panjohura. Për shembull:

Çdo ekuacion i tillë quhet ekuacion me dy ndryshore. Zgjidhja e një ekuacioni të tillë është një çift vlerash x dhe y të tilla që e gjithë shprehja të shndërrohet në një barazi të saktë ekuivalente. Ne përdorim vlerat e mëposhtme për variablat:

Duke zëvendësuar në ekuacionin tonë, marrim barazinë e saktë:

(2) 2 + 2(1) = 6

Kështu, çifti i numrave (2, 1) janë një zgjidhje e ekuacionit.

x2 + 2y = 6. Vini re se kur shkruani një zgjidhje, është e nevojshme të tregoni vlerat e variablave në kllapa, të ndara me presje, duke shkruar së pari vlerën x (kjo nuk është e rreptë, por e miratuar).

Duke zgjidhur shembullin e parë duke përdorur metodën e përzgjedhjes, është e lehtë të gjesh një palë zgjidhje tjetër - për shembull, ne do të përdorim vlerat (4, -5):

(4) 2 + 2(-5) = 6

Çifti i numrave e ktheu ekuacionin në një barazi të saktë, që do të thotë se ai gjithashtu korrespondon me zgjidhjen e këtij ekuacioni.

Siç mund ta kuptoni nga video mësimi, një ekuacion me dy ndryshore ka shumë zgjidhje, ose më saktë, shumë çifte numrash që do të plotësojnë kriteret për përgjigjen e saktë. Le të transformojmë ekuacionin e parë si më poshtë. Le t'i ndajmë të gjitha anët e ekuacionit me 2:

0,5x 2 + y = 3

y = 3 - 0,5x 2

Shprehja që rezulton y = 3 - 0.5x2 nuk është gjë tjetër veçse një funksion - varësia e njërës ndryshore nga e dyta. Me fjale te tjera:

y = 3 - 0,5x 2

f(x) = 3 - 0,5x 2

Siç kujtojmë nga mësimet e videos mbi bazat e funksioneve, çdo varësi karakterizohet nga tre elementë: një grup argumentesh fillestare të caktuara, një formulë konvertimi dhe një grup vlerash të marra. Në ekuacionin tonë, grupi i të gjitha zgjidhjeve reale përfaqësohet nga çifte vlerash x dhe y - domethënë, elementë të çiftuar të të dy grupeve të funksionit. Në këtë rast, vetë ekuacioni është një shprehje e marrëdhënies midis variablave të parë dhe të dytë.
Përveç kësaj, shprehja y = 3 - 0,5x 2 ka saktësisht të njëjtat çifte zgjidhjesh si x 2 + 2y = 6 - prandaj, këto ekuacione quhen ekuivalente. Ekuacionet ekuivalente merren në rastet e mëposhtme:

1. Kur kryeni transferimin e kushteve (duke marrë parasysh përmbysjen e shenjës) nga një pjesë e barazisë në tjetrën;
2. Nën transformime të ndryshme identike që nuk e ndryshojnë kuptimin e barazisë;
3. Kur shumëzoni ose pjesëtoni të dyja anët e një ekuacioni në të njëjtën kohë me të njëjtin koeficient;

Është e rëndësishme të kuptohet se kur kryeni transformime të ndryshme në ekuacion, nuk mund të shtrembëroni domenin e përkufizimit të ndonjë prej variablave. Shumica e transformimeve të identitetit e mbajnë grupin x ose y të pandryshuar, por ka përjashtime të pakëndshme. Merrni parasysh këtë shembull:

y = x(2/(x) + 4)

Për të zgjidhur këtë ekuacion, do të ishte më logjike të hapeshin kllapat: të kryhet një transformim plotësisht identik, i cili pothuajse kurrë nuk ndikon në domenin e përkufizimit të variablave. Por në këtë rast, hapja e kllapave nuk do të jetë një fenomen identik. Në versionin origjinal, ekuacioni i paraqitur ka shumë zgjidhje x, duke përjashtuar x = 0, pasi me këtë vlerë monomi 2/x do të humbasë kuptimin së bashku me të gjithë ekuacionin. Nëse hapim kllapat, marrim sa vijon:

y = x(2/(x) + 4) = 2x/x + 4x = 2 + 4x

Siç mund të shihet lehtë, në ekuacionin e ri domeni i përkufizimit të x është i pafund, duke përfshirë x = 0. Kjo do të thotë, grupi i vlerave të x ka ndryshuar, ekuacioni nuk është i barabartë me shembullin e dhënë. Sidoqoftë, ushtrime të tilla shpesh zgjidhen me transformime të zakonshme. Thjesht duhet të kryeni një kontroll zëvendësimi për të eliminuar zgjidhjet e pavlefshme të ekuacionit.

Shumica dërrmuese e ekuacioneve me dy variabla shndërrohen në varësi analitike, pas së cilës zëvendësohen çdo dy vlera të x dhe, kështu, llogaritet një palë zgjidhje x dhe y. Në të njëjtën kohë, vetë zgjidhjet janë, si rregull, të pafundme në numër. Por ka edhe përjashtime të vogla - kur një pikë del jashtë fushëveprimit të përkufizimit të një ndryshoreje. Disa ekuacione me dy të panjohura kanë vetëm një zgjidhje, për shembull, shprehja x 2 + y 2 = 0 ka vetëm një palë rrënjë - (0, 0). Dhe një ekuacion i formës x 2 + y 2 = -1 nuk ka fare zgjidhje reale. E njëjta gjë është e vërtetë për çdo ekuacion të ngjashëm që është i barabartë me numra negativë - në fund të fundit, katrorët, si shumat e tyre, në parim nuk mund të japin vlera negative.

Një sistem ekuacionesh lineare është një grup ekuacionesh lineare të konsideruara së bashku.

Një sistem mund të ketë çdo numër ekuacionesh me çdo numër të panjohurash.

Një zgjidhje për një sistem ekuacionesh është një grup vlerash të panjohurash që plotëson të gjitha ekuacionet e sistemit, domethënë, duke i kthyer ato në identitete.

Një sistem që ka një zgjidhje quhet konsistent, ndryshe quhet i paqëndrueshëm.

Për zgjidhjen e sistemit përdoren metoda të ndryshme.

Le
(numri i ekuacioneve është i barabartë me numrin e të panjohurave).

Metoda Cramer

Le të shqyrtojmë zgjidhjen e një sistemi prej tre ekuacionesh lineare me tre të panjohura:

(7)

Për të gjetur të panjohurat
Le të zbatojmë formulën e Cramer:

(8)

Ku - përcaktor i sistemit, elementet e të cilit janë koeficientët e të panjohurave:

.

përftohet duke zëvendësuar kolonën e parë të përcaktorit kolona e anëtarëve të lirë:

.

Po kështu:

;
.

Shembulli 1. Zgjidheni sistemin duke përdorur formulën e Cramer:

.

Zgjidhja: Le të përdorim formulat (8):

;

;

;

;

Përgjigje:
.

Për çdo sistem ekuacionet lineare me të panjohurat mund të shprehen:

Zgjidhja e matricës

Le të shqyrtojmë zgjidhjen e sistemit (7) të tre ekuacioneve lineare me tre të panjohura duke përdorur metodën e matricës.

Duke përdorur rregullat e shumëzimit të matricës, ky sistem ekuacionesh mund të shkruhet si:
, Ku

.

Lëreni matricën jo i degjeneruar, d.m.th.
. Duke shumëzuar të dyja anët e ekuacionit të matricës në të majtë me matricën
, inversi i matricës , marrim:
.

Duke marrë parasysh atë
, ne kemi

(9)

Shembulli 2. Zgjidheni sistemin duke përdorur metodën e matricës:

.

Zgjidhja: Le të prezantojmë matricat:

- nga koeficientët e të panjohurave;

- kolona e anëtarëve të lirë.

Atëherë sistemi mund të shkruhet si një ekuacion matricë:
.

Le të përdorim formulën (9). Le të gjejmë matricën e anasjelltë
sipas formulës (6):

;

.

Prandaj,

Mora:

.

Përgjigje:
.

Metoda e eliminimit sekuencial të të panjohurave (metoda Gauss)

Ideja kryesore e metodës së përdorur është të eliminojë në mënyrë sekuenciale të panjohurat. Le të shpjegojmë kuptimin e kësaj metode duke përdorur një sistem prej tre ekuacionesh me tre të panjohura:

.

Le të supozojmë se
(Nëse
, atëherë ndryshojmë rendin e ekuacioneve, duke zgjedhur si ekuacion të parë atë në të cilin koeficienti në jo e barabartë me zero).

Hapi i parë: a) pjesëtoni ekuacionin
në
; b) shumëzojeni ekuacionin që rezulton me
dhe zbres nga
; c) pastaj shumëzojeni rezultatin me
dhe zbres nga
. Si rezultat i hapit të parë do të kemi sistemin:

,

Hapi i dytë: kemi të bëjmë me ekuacionin
Dhe
saktësisht e njëjtë si me ekuacionet
.

Si rezultat, sistemi origjinal shndërrohet në të ashtuquajturën formë hap pas hapi:

Nga sistemi i transformuar, të gjitha të panjohurat përcaktohen në mënyrë sekuenciale pa vështirësi.

Komentoni. Në praktikë, është më e përshtatshme të reduktohet në një formë hap pas hapi jo vetë sistemi i ekuacioneve, por një matricë e koeficientëve, të panjohurave dhe termave të lirë.

Shembulli 3. Zgjidheni sistemin duke përdorur metodën Gaussian:

.

Ne do të shkruajmë kalimin nga një matricë në tjetrën duke përdorur shenjën e ekuivalencës ~.

~
~
~
~

~
.

Duke përdorur matricën që rezulton, ne shkruajmë sistemin e transformuar:

.

Përgjigje:
.

Shënim: Nëse sistemi ka një zgjidhje unike, atëherë sistemi i hapave reduktohet në një trekëndësh, domethënë në atë në të cilin ekuacioni i fundit do të përmbajë një të panjohur. Në rastin e një sistemi të pasigurt, d.m.th., ai në të cilin numri i të panjohurave është më i madh se numri i ekuacioneve lineare të pavarura, nuk do të ketë sistem trekëndor, pasi ekuacioni i fundit do të përmbajë më shumë se një të panjohur (sistemi ka një numër i pafund zgjidhjesh). Kur sistemi është i paqëndrueshëm, atëherë, pas reduktimit të tij në formë hap pas hapi, ai do të përmbajë të paktën një vlera e formës
, domethënë një ekuacion në të cilin të gjitha të panjohurat kanë koeficientë zero dhe ana e djathtë është jozero (sistemi nuk ka zgjidhje). Metoda e Gausit është e zbatueshme për një sistem arbitrar ekuacionesh lineare (për çdo
Dhe ).

Teorema e ekzistencës për një zgjidhje të një sistemi ekuacionesh lineare

Kur zgjidhet një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur metodën Gaussian, përgjigja në pyetjen nëse ky sistem është i pajtueshëm apo jo konsistent mund të jepet vetëm në fund të llogaritjeve. Sidoqoftë, shpesh është e rëndësishme të zgjidhet çështja e përputhshmërisë ose papajtueshmërisë së një sistemi ekuacionesh pa gjetur vetë zgjidhjet. Përgjigja për këtë pyetje jepet nga teorema e mëposhtme Kronecker-Capelli.

Le të jepet sistemi
ekuacionet lineare me i panjohur:

(10)

Në mënyrë që sistemi (10) të jetë konsistent, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që rangu i matricës së sistemit

.

ishte e barabartë me gradën e matricës së saj të zgjeruar

.

Për më tepër, nëse
, atëherë sistemi (10) ka një zgjidhje unike; nëse
, atëherë sistemi ka një numër të pafund zgjidhjesh.

Konsideroni një sistem homogjen (të gjithë termat e lirë janë të barabartë me zero) ekuacionesh lineare:

.

Ky sistem është gjithmonë konsistent pasi ka një zgjidhje zero.

Teorema e mëposhtme jep kushtet në të cilat sistemi gjithashtu ka zgjidhje të ndryshme nga zero.

Terema. Në mënyrë që një sistem homogjen ekuacionesh të vijës të ketë një zgjidhje zero, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që përcaktori i tij ishte e barabartë me zero:

.

Kështu, nëse
, atëherë zgjidhja është e vetmja. Nëse
, atëherë ka një numër të pafund zgjidhjesh të tjera jo zero. Le të tregojmë një nga mënyrat për të gjetur zgjidhje për një sistem homogjen të tre ekuacioneve lineare me tre të panjohura në rastin
.

Mund të vërtetohet se nëse
, dhe ekuacioni i parë dhe i dytë janë joproporcionalë (linearisht të pavarur), atëherë ekuacioni i tretë është pasojë e dy të parëve. Zgjidhja e një sistemi homogjen prej tre ekuacionesh me tre të panjohura reduktohet në zgjidhjen e dy ekuacioneve me tre të panjohura. Shfaqet një e ashtuquajtur e panjohur e lirë, së cilës mund t'i caktohen vlera arbitrare.

Shembulli 4. Gjeni të gjitha zgjidhjet e sistemit:

.

Zgjidhje. Përcaktues i këtij sistemi

.

Prandaj, sistemi ka zero zgjidhje. Ju mund të vini re se dy ekuacionet e para, për shembull, nuk janë proporcionale, prandaj, ato janë linearisht të pavarura. E treta është pasojë e dy të parave (rezulton nëse i shtojmë dy herë të dytën ekuacionit të parë). Duke e refuzuar atë, marrim një sistem prej dy ekuacionesh me tre të panjohura:

.

Duke supozuar, për shembull,
, marrim

.

Duke zgjidhur një sistem me dy ekuacione lineare, shprehemi Dhe përmes :
. Prandaj, zgjidhja e sistemit mund të shkruhet si:
, Ku - numër arbitrar.

Shembulli 5. Gjeni të gjitha zgjidhjet e sistemit:

.

Zgjidhje. Është e lehtë të shihet se në këtë sistem ekziston vetëm një ekuacion i pavarur (dy të tjerët janë në përpjesëtim me të). Një sistem prej tre ekuacionesh me tre të panjohura është reduktuar në një ekuacion me tre të panjohura. Shfaqen dy të panjohura të lira. Gjetja, për shembull, nga ekuacioni i parë
për arbitrare Dhe , ne marrim zgjidhje për këtë sistem. Forma e përgjithshme e zgjidhjes mund të shkruhet, ku Dhe - numra arbitrar.

Pyetje vetë-testimi

Formuloni rregullin e Cramer-it për zgjidhjen e sistemit ekuacionet lineare me i panjohur.

Cili është thelbi i metodës matricore të zgjidhjes së sistemeve?

Cila është metoda e Gausit për zgjidhjen e një sistemi ekuacionesh lineare?

Tregoni teoremën Kronecker-Capelli.

Formuloni një kusht të domosdoshëm dhe të mjaftueshëm për ekzistencën e zgjidhjeve jozero në një sistem homogjen ekuacionesh lineare.

Shembuj për vetë-zgjidhje

Gjeni të gjitha zgjidhjet e sistemeve:

1.
; 2.
;

3.
; 4.
;

5.
; 6.
;

7.
; 8.
;

9.
; 10.
;

11.
; 12.
;

13.
; 14.
;

15.
.

Përcaktoni në çfarë vlerash Dhe sistemi i ekuacioneve

a) ka një zgjidhje unike;

b) nuk ka zgjidhje;

c) ka pafundësisht shumë zgjidhje.

16.
; 17.
;

Gjeni të gjitha zgjidhjet e sistemeve homogjene të mëposhtme:

18.
; 19.
;

20.
; 21.
;

22.
; 23.
;

Përgjigjet e shembujve

1.
; 2.
; 3. Ǿ; 4. Ǿ;

5.
- numër arbitrar.

6.
, Ku - numër arbitrar.

7.
; 8.
; 9. Ǿ; 10. Ǿ;

11.
, Ku - numër arbitrar.

12. , ku Dhe - numra arbitrar.

13.
; 14.
Ku Dhe - numra arbitrar.

15. Ǿ; 16. a)
; b)
; V)
.

17. a)
; b)
; V)
;

18.
; 19.
; 20., ku - numër arbitrar.

21. , ku - numër arbitrar.

22. , ku - numër arbitrar.

23. , ku Dhe - numra arbitrar.

Udhëzimet

Metoda e shtimit.
Ju duhet të shkruani dy rreptësisht poshtë njëri-tjetrit:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
Në një ekuacion të zgjedhur në mënyrë arbitrare (nga sistemi), futni numrin 11 në vend të "lojës" së gjetur tashmë dhe llogaritni të panjohurën e dytë:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Përgjigja për këtë sistem ekuacionesh është x=116, y=11.

Metoda grafike.
Ai konsiston në gjetjen praktike të koordinatave të pikës në të cilën vijat shkruhen matematikisht në një sistem ekuacionesh. Grafikët e të dy vijave duhet të vizatohen veçmas në të njëjtin sistem koordinativ. Pamje e përgjithshme: – y=khx+b. Për të ndërtuar një vijë të drejtë, mjafton të gjesh koordinatat e dy pikave dhe x zgjidhet në mënyrë arbitrare.
Le të jepet sistemi: 2x – y=4

Y=-3x+1.
Një vijë e drejtë ndërtohet duke përdorur të parën, për lehtësi duhet të shkruhet: y=2x-4. Dilni me vlera (më të lehta) për x, duke e zëvendësuar atë në ekuacion, duke e zgjidhur atë dhe duke gjetur y. Marrim dy pika përgjatë të cilave ndërtohet një vijë e drejtë. (shiko foton)
x 0 1

y -4 -2
Një drejtëz ndërtohet duke përdorur ekuacionin e dytë: y=-3x+1.
Ndërtoni gjithashtu një vijë të drejtë. (shiko foton)

y 1 -5
Gjeni në grafik koordinatat e pikës së kryqëzimit të dy drejtëzave të ndërtuara (nëse vijat nuk kryqëzohen, atëherë sistemi i ekuacioneve nuk ka - pra).

Video mbi temën

Këshilla të dobishme

Nëse zgjidhni të njëjtin sistem ekuacionesh në tre mënyra të ndryshme, përgjigja do të jetë e njëjtë (nëse zgjidhja është e saktë).

Burimet:

• Algjebra e klasës së 8-të
• zgjidhni një ekuacion me dy të panjohura në internet
• Shembuj të zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve lineare me dy

Sistemi ekuacionetështë një koleksion të dhënash matematikore, secila prej të cilave përmban një numër variablash. Ka disa mënyra për t'i zgjidhur ato.

Do t'ju duhet

• -Vizore dhe laps;
• - kalkulator.

Udhëzimet

Le të shqyrtojmë sekuencën e zgjidhjes së sistemit, i cili përbëhet nga ekuacione lineare që kanë formën: a1x + b1y = c1 dhe a2x + b2y = c2. Ku x dhe y janë variabla të panjohur, dhe b,c janë terma të lirë. Kur aplikohet kjo metodë, çdo sistem përfaqëson koordinatat e pikave që i korrespondojnë secilit ekuacion. Për të filluar, në çdo rast, shprehni një variabël në terma të një tjetri. Pastaj vendosni ndryshoren x në çdo numër vlerash. Dy janë të mjaftueshme. Zëvendësojeni në ekuacion dhe gjeni y. Ndërtoni një sistem koordinativ, shënoni pikat që rezultojnë në të dhe vizatoni një vijë përmes tyre. Llogaritje të ngjashme duhet të kryhen për pjesët e tjera të sistemit.

Sistemi ka një zgjidhje unike nëse linjat e ndërtuara kryqëzohen dhe kanë një pikë të përbashkët. Është i papajtueshëm nëse janë paralel me njëri-tjetrin. Dhe ka pafundësisht shumë zgjidhje kur linjat bashkohen me njëra-tjetrën.

Kjo metodë konsiderohet shumë vizuale. Disavantazhi kryesor është se të panjohurat e llogaritura kanë vlera të përafërta. Rezultate më të sakta jepen nga të ashtuquajturat metoda algjebrike.

Çdo zgjidhje për një sistem ekuacionesh ia vlen të kontrollohet. Për ta bërë këtë, zëvendësoni vlerat që rezultojnë për variablat. Ju gjithashtu mund të gjeni zgjidhjen e tij duke përdorur disa metoda. Nëse zgjidhja e sistemit është e saktë, atëherë të gjithë duhet të dalin njësoj.

Shpesh ka ekuacione në të cilat një nga termat është i panjohur. Për të zgjidhur një ekuacion, duhet të mbani mend dhe të kryeni një grup të caktuar veprimesh me këta numra.

Do t'ju duhet

• - letër;
• - stilolaps ose laps.

Udhëzimet

Imagjinoni që ka 8 lepuj para jush, dhe ju keni vetëm 5 karota. Mendoni për këtë, ju ende duhet të blini më shumë karota në mënyrë që çdo lepur të marrë një.

Le ta paraqesim këtë problem në formën e një ekuacioni: 5 + x = 8. Le të zëvendësojmë numrin 3 në vend të x.

Kur zëvendësonit një numër me x, keni bërë të njëjtën gjë si kur zbritët 5 nga 8. Pra, për të gjetur i panjohur term, zbrit termin e njohur nga shuma.

Le të themi se keni 20 lepuj dhe vetëm 5 karota. Le ta rregullojmë. Një ekuacion është një barazi që vlen vetëm për vlera të caktuara të shkronjave të përfshira në të. Shkronjat, kuptimet e të cilave duhet gjetur quhen . Shkruani një ekuacion me një të panjohur, quajini x. Kur zgjidhim problemin tonë të lepurit, marrim ekuacionin e mëposhtëm: 5 + x = 20.

Le të gjejmë ndryshimin midis 20 dhe 5. Gjatë zbritjes, numri nga i cili zbritet është ai që zvogëlohet. Numri që zbritet quhet , dhe rezultati përfundimtar quhet diferencë. Pra x = 20 – 5; x = 15. Ju duhet të blini 15 karota për lepujt.

Kontrollo: 5 + 15 = 20. Ekuacioni është zgjidhur saktë. Sigurisht, kur bëhet fjalë për të tilla të thjeshta, kontrolli nuk është i nevojshëm. Megjithatë, kur keni ekuacione me numra treshifrorë, katërshifrorë etj., duhet patjetër të kontrolloni për të qenë absolutisht i sigurt për rezultatin e punës suaj.

Video mbi temën

Këshilla të dobishme

Për të gjetur minuendin e panjohur, duhet t'i shtoni ndryshimit subtrahend.

Për të gjetur subtrahendin e panjohur, duhet të zbrisni ndryshimin nga minuend.

Këshilla 4: Si të zgjidhni një sistem prej tre ekuacionesh me tre të panjohura

Një sistem prej tre ekuacionesh me tre të panjohura mund të mos ketë zgjidhje, pavarësisht nga një numër i mjaftueshëm ekuacionesh. Mund të përpiqeni ta zgjidhni atë duke përdorur metodën e zëvendësimit ose duke përdorur metodën e Cramer. Metoda e Cramer, përveç zgjidhjes së sistemit, ju lejon të vlerësoni nëse sistemi është i zgjidhshëm përpara se të gjeni vlerat e të panjohurave.

Udhëzimet

Metoda e zëvendësimit përbëhet nga një e panjohur në mënyrë sekuenciale përmes dy të tjerave dhe zëvendësimi i rezultatit që rezulton në ekuacionet e sistemit. Le të jepet një sistem prej tre ekuacionesh në formë të përgjithshme:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Shprehni x nga ekuacioni i parë: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - dhe zëvendësojeni në ekuacionin e dytë dhe të tretë, pastaj shprehni y nga ekuacioni i dytë dhe zëvendësojeni në ekuacionin e tretë. Ju do të merrni një shprehje lineare për z përmes koeficientëve të ekuacioneve të sistemit. Tani shkoni "prapa": zëvendësoni z në ekuacionin e dytë dhe gjeni y, dhe më pas zëvendësoni z dhe y në të parën dhe zgjidhni x. Procesi përgjithësisht tregohet në figurë përpara gjetjes së z. Shkrimi i mëtejshëm në formë të përgjithshme do të jetë shumë i rëndë në praktikë, duke zëvendësuar , ju mund t'i gjeni fare lehtë të tre të panjohurat.

Metoda e Cramer konsiston në ndërtimin e një matrice të sistemit dhe llogaritjen e përcaktorit të kësaj matrice, si dhe në tre matrica të tjera ndihmëse. Matrica e sistemit është e përbërë nga koeficientë për termat e panjohur të ekuacioneve. Një kolonë që përmban numrat në anët e djathta të ekuacioneve, një kolonë e anëve të djathta. Nuk përdoret në sistem, por përdoret gjatë zgjidhjes së sistemit.

Video mbi temën

shënim

Të gjitha ekuacionet në sistem duhet të ofrojnë informacion shtesë të pavarur nga ekuacionet e tjera. Përndryshe, sistemi do të jetë i nënpërcaktuar dhe nuk do të jetë e mundur të gjendet një zgjidhje e qartë.

Këshilla të dobishme

Pas zgjidhjes së sistemit të ekuacioneve, zëvendësoni vlerat e gjetura në sistemin origjinal dhe kontrolloni që ato të përmbushin të gjitha ekuacionet.

Vetvetiu ekuacionin me tre i panjohur ka shumë zgjidhje, kështu që më së shpeshti plotësohet me dy ekuacione ose kushte të tjera. Varësisht se cilat janë të dhënat fillestare, rrjedha e vendimit do të varet në masë të madhe.

Do t'ju duhet

• - një sistem prej tre ekuacionesh me tre të panjohura.

Udhëzimet

Nëse dy nga tre sistemet kanë vetëm dy nga tre të panjohurat, përpiquni të shprehni disa variabla në terma të të tjerëve dhe t'i zëvendësoni në ekuacionin me tre i panjohur. Qëllimi juaj në këtë rast është ta ktheni atë në normale ekuacionin me një person të panjohur. Nëse kjo është , zgjidhja e mëtejshme është mjaft e thjeshtë - zëvendësoni vlerën e gjetur në ekuacione të tjera dhe gjeni të gjitha të panjohurat e tjera.

Disa sisteme ekuacionesh mund të zbriten nga një ekuacion nga një tjetër. Shihni nëse është e mundur të shumëzoni një nga ose një ndryshore në mënyrë që dy të panjohura të anulohen menjëherë. Nëse ekziston një mundësi e tillë, përfitoni nga ajo, zgjidhja e mëvonshme nuk do të jetë e vështirë. Mos harroni se kur shumëzoni me një numër, duhet të shumëzoni si anën e majtë ashtu edhe anën e djathtë. Po kështu, kur zbritni ekuacionet, duhet të mbani mend se edhe ana e djathtë duhet të zbritet.

Nëse metodat e mëparshme nuk ndihmuan, përdorni metodën e përgjithshme të zgjidhjes së çdo ekuacioni me tre i panjohur. Për ta bërë këtë, rishkruani ekuacionet në formën a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Tani krijoni një matricë koeficientësh për x (A), një matricë të panjohurash (X) dhe një matricë të atyre të lira (B). Ju lutemi vini re se duke shumëzuar matricën e koeficientëve me matricën e të panjohurave, do të merrni një matricë të termave të lirë, domethënë A*X=B.

Gjeni matricën A me fuqinë (-1) duke gjetur fillimisht , vini re se ajo nuk duhet të jetë e barabartë me zero. Pas kësaj, shumëzoni matricën që rezulton me matricën B, si rezultat do të merrni matricën e dëshiruar X, duke treguar të gjitha vlerat.

Ju gjithashtu mund të gjeni një zgjidhje për një sistem prej tre ekuacionesh duke përdorur metodën e Cramer. Për ta bërë këtë, gjeni përcaktorin e rendit të tretë ∆ që korrespondon me matricën e sistemit. Pastaj gjeni me radhë tre përcaktues të tjerë ∆1, ∆2 dhe ∆3, duke zëvendësuar vlerat e termave të lirë në vend të vlerave të kolonave përkatëse. Tani gjeni x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Burimet:

• zgjidhjet e ekuacioneve me tre të panjohura

Kur filloni të zgjidhni një sistem ekuacionesh, kuptoni se çfarë lloj ekuacionesh janë. Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve lineare janë studiuar mjaft mirë. Ekuacionet jolineare më shpesh nuk zgjidhen. Ka vetëm një rast të veçantë, secila prej të cilave është praktikisht individuale. Prandaj, studimi i teknikave të zgjidhjes duhet të fillojë me ekuacione lineare. Ekuacione të tilla mund të zgjidhen edhe thjesht algoritmikisht.

emëruesit e të panjohurave të gjetura janë saktësisht të njëjtë. Po, dhe numëruesit tregojnë disa modele në ndërtimin e tyre. Nëse dimensioni i sistemit të ekuacioneve do të ishte më i madh se dy, atëherë metoda e eliminimit do të çonte në llogaritje shumë të vështira. Për t'i shmangur ato, janë zhvilluar zgjidhje thjesht algoritmike. Më i thjeshti prej tyre është algoritmi i Cramer-it (formulat e Cramer-it). Sepse ju duhet të gjeni sistemin e përgjithshëm të ekuacioneve të n ekuacioneve.

Një sistem prej n ekuacionesh algjebrike lineare me n të panjohura ka formën (shih Fig. 1a). Në të, aij janë koeficientët e sistemit,
xj – të panjohura, bi – terma të lirë (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Një sistem i tillë mund të shkruhet kompakt në formën e matricës AX=B. Këtu A është matrica e koeficientëve të sistemit, X është matrica e kolonës së të panjohurave, B është matrica e kolonës së termave të lirë (shih Figurën 1b). Sipas metodës së Cramer-it, çdo e panjohur xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Përcaktori Δ i matricës së koeficientit quhet ai kryesor, dhe ∆i ai ndihmës. Për çdo të panjohur, përcaktori ndihmës gjendet duke zëvendësuar kolonën i-të të përcaktorit kryesor me një kolonë me terma të lirë. Metoda Cramer për rastin e sistemeve të rendit të dytë dhe të tretë është paraqitur në detaje në Fig. 2.

Sistemi është një kombinim i dy ose më shumë barazive, secila prej të cilave përmban dy ose më shumë të panjohura. Ekzistojnë dy mënyra kryesore për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare që përdoren në kurrikulën shkollore. Njëra prej tyre quhet metoda, tjetra - metoda e shtimit.

Forma standarde e një sistemi me dy ekuacione

Në formën standarde, ekuacioni i parë ka formën a1*x+b1*y=c1, ekuacioni i dytë ka formën a2*x+b2*y=c2, e kështu me radhë. Për shembull, në rastin e dy pjesëve të sistemit, të dyja të dhëna a1, a2, b1, b2, c1, c2 janë disa koeficientë numerikë të paraqitur në ekuacione specifike. Nga ana tjetër, x dhe y përfaqësojnë të panjohura, vlerat e të cilave duhet të përcaktohen. Vlerat e kërkuara i kthejnë të dy ekuacionet njëkohësisht në barazi të vërteta.

Zgjidhja e sistemit duke përdorur metodën e mbledhjes

Për të zgjidhur sistemin, domethënë për të gjetur ato vlera të x dhe y që do t'i kthejnë ato në barazi të vërteta, duhet të ndërmerrni disa hapa të thjeshtë. E para prej tyre është transformimi i secilit prej ekuacioneve në mënyrë që koeficientët numerikë për ndryshoren x ose y në të dy ekuacionet të jenë të njëjtë në madhësi, por të ndryshëm në shenjë.

Për shembull, le të jepet një sistem i përbërë nga dy ekuacione. E para prej tyre ka formën 2x+4y=8, e dyta ka formën 6x+2y=6. Një nga opsionet për plotësimin e detyrës është shumëzimi i ekuacionit të dytë me një koeficient prej -2, i cili do ta çojë atë në formën -12x-4y=-12. Zgjedhja e saktë e koeficientit është një nga detyrat kryesore në procesin e zgjidhjes së një sistemi duke përdorur metodën e mbledhjes, pasi përcakton të gjithë rrjedhën e mëtejshme të procedurës për gjetjen e të panjohurave.

Tani është e nevojshme të shtohen dy ekuacionet e sistemit. Natyrisht, shkatërrimi i ndërsjellë i variablave me koeficientë të barabartë në vlerë por të kundërt në shenjë do të çojë në formën -10x=-4. Pas kësaj, është e nevojshme të zgjidhet ky ekuacion i thjeshtë, nga i cili del qartë se x = 0.4.

Hapi i fundit në procesin e zgjidhjes është zëvendësimi i vlerës së gjetur të njërit prej variablave në cilindo nga barazitë origjinale të disponueshme në sistem. Për shembull, duke zëvendësuar x=0.4 në ekuacionin e parë, mund të merrni shprehjen 2*0.4+4y=8, nga e cila y=1.8. Kështu, x=0.4 dhe y=1.8 janë rrënjët e sistemit shembull.

Për t'u siguruar që rrënjët janë gjetur saktë, është e dobishme të kontrolloni duke zëvendësuar vlerat e gjetura në ekuacionin e dytë të sistemit. Për shembull, në këtë rast marrim një barazi të formës 0.4*6+1.8*2=6, që është e saktë.

Video mbi temën

Ky kapitull përmban materiale mbështetëse në lidhje me zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare (d.m.th., ekuacioneve të shkallës së parë). Për të studiuar sisteme të tilla, prezantohet koncepti i rëndësishëm i një përcaktori. Rezultatet e këtij kapitulli, interesante si në vetvete ashtu edhe në aplikimet në gjeometrinë analitike, janë të nevojshme për të kuptuar kapitujt e mëtejshëm të librit,

§ 1. Sisteme ekuacionesh me dy dhe tre të panjohura

Kur zgjidh një ekuacion të shkallës së parë me një të panjohur

tre raste janë të mundshme:

1. Nëse , ekuacioni ka një zgjidhje unike

2. Nëse ekuacioni ka një numër të pafund zgjidhjesh; çdo numër x plotëson ekuacionin (pasi ) dhe, për rrjedhojë, është zgjidhja e tij.

3. Nëse por ekuacioni nuk ka zgjidhje, pasi kur zëvendësohet x me ndonjë numër në anën e majtë, rezultati është zero, ndërsa ana e djathtë është e ndryshme nga zero.

Nga sa vijon do të jetë e qartë se tre raste të ngjashme ndodhin edhe kur zgjidhet një sistem arbitrar ekuacionesh lineare.

Konsideroni një sistem prej dy ekuacionesh me dy të panjohura:

Zgjidhja e një sistemi të tillë është çdo çift vlerash, zëvendësimi i të cilave në vend të x dhe y i kthen të dy ekuacionet në identitete. Për të zgjidhur këtë sistem, ne e shumëzojmë ekuacionin e parë me të dytin - me dhe i mbledhim ato; do të marrim

Nga këtu, nëse , kemi

Në mënyrë të ngjashme e gjejmë atë

Kështu, në rastin kur sistemi (1) ka një zgjidhje unike.

Shprehjet në numëruesit dhe emëruesit e anëve të djathtë të barazive (2) dhe (3) janë ndërtuar në të njëjtën mënyrë. Gjegjësisht, merrni parasysh një tabelë katrore të numrave

Tabelat e tilla quhen matrica. Rreshtat horizontale të numrave që formojnë një matricë quhen rreshtat e saj, ato vertikale quhen kolona. Numrat që përbëjnë një matricë quhen elementë të saj. Në shembullin tonë, ne kemi një matricë katrore të rendit të dytë. Diagonalja që shkon nga këndi i sipërm i majtë i matricës në të djathtën e poshtme quhet diagonalja e saj kryesore. Emëruesit e thyesave në anën e djathtë të barazive (2) dhe (3) janë rregulluar si më poshtë: nga prodhimi i elementeve të vendosura në diagonalen kryesore të matricës A, produkti i elementeve të vendosura në të dytën, ose dytësore, diagonalja zbritet:

Shprehja që rezulton quhet përcaktor i matricës A (përcaktor i rendit të dytë) dhe shënohet si më poshtë:

Në këtë shënim, numëruesi i thyesës në pjesën e parë të barazisë (2) është përcaktor

përftohet nga emëruesi duke zëvendësuar kolonën e parë me një kolonë me terma të lirë, dhe numëruesi i thyesës në anën e djathtë të barazisë është përcaktor

marrë nga emëruesi duke zëvendësuar kolonën e dytë me një kolonë me terma të lirë të ekuacioneve të sistemit (1),

Pra, ne zbuluam se nëse atëherë

Këto janë formulat e Cramer për zgjidhjen e një sistemi me dy ekuacione me dy të panjohura.

Shembull. Duke përdorur formulat e Cramer-it, zgjidhni sistemin e ekuacioneve

Le të shqyrtojmë tani rastin kur

Barazia (4) mund të rishkruhet si më poshtë:

pra në këtë rast koeficientët e të panjohurave janë proporcionale. Nëse, përveç kësaj,

atëherë termat e lirë janë në përpjesëtim me koeficientët e të panjohurave, dhe ne në fakt kemi një ekuacion me dy të panjohura - lejon një numër të pafund zgjidhjesh,

Së fundi, nëse

dmth nëse

atëherë ekuacionet padyshim kundërshtojnë njëra-tjetrën dhe sistemi nuk ka një zgjidhje të vetme.

Le të shqyrtojmë tani një sistem prej tre ekuacionesh lineare me tre të panjohura:

Zgjidhja e këtij sistemi quhet secila treshe e tillë e numrave, me zëvendësimin e të cilave të tre ekuacionet kthehen në identitete. Shumëzimi i ekuacionit të parë me të dytin - me të tretën - me

dhe duke i shtuar të gjitha marrim

(koeficientët për y dhe z, siç shihet lehtë, do të jenë të barabartë me zero). Prandaj, nëse koeficienti i x është i ndryshëm nga zero, marrim

Le të shohim se si funksionon shprehja në emëruesin e anës së djathtë të barazisë (6). Për ta bërë këtë, merrni parasysh një tabelë katrore (matricë e rendit të tretë)

Ne përsëri do ta quajmë diagonalen kryesore diagonalen që shkon nga këndi i sipërm i majtë i kësaj matrice në të djathtën e poshtme, dhe diagonalen dytësore diagonalen që shkon nga këndi i poshtëm i majtë në të djathtën e sipërme.

Emëruesi në formulën (6) është shuma algjebrike e gjashtë termave, secili prej të cilëve është prodhim i tre elementeve, të marra nga një nga çdo rresht dhe secila kolonë e matricës A, dhe shenja plus është prodhimi i elementeve,

që i përkasin diagonales kryesore, dhe dy produkte të elementeve që formojnë trekëndësha (izosceles) në matricë me baza paralele me diagonalen kryesore (Fig. 1, a), dhe shenja minus ka produktin e elementeve që i përkasin diagonales dytësore, dhe dy produkte të elementeve që formojnë trekëndësha me baza , paralel me diagonalen anësore (Fig. 1, b).

Një shprehje e tillë quhet përcaktor i përbërë nga matrica A (përcaktor i rendit të tretë), dhe shënohet si më poshtë:

Kështu, sipas përkufizimit,

Shprehja në numëruesin e anës së djathtë të formulës (6) merret nga emëruesi nëse çdo shkronjë a zëvendësohet me një shkronjë me të njëjtin numër, d.m.th.

Në mënyrë të ngjashme, mund të tregohet se kur sistemi (5) nënkupton barazitë

ku merret përcaktorja nga përcaktorja duke e zëvendësuar kolonën me një kolonë të lirë

anëtarët. Këto janë formulat e Cramer për një sistem prej tre ekuacionesh me tre të panjohura.

Shembull. Zgjidheni sistemin e ekuacioneve duke përdorur formulat e Cramer-it

Prandaj,

Për të kuptuar se çfarë është një përcaktues i rendit, merrni parasysh përsëri përcaktuesit e rendit të dytë dhe të tretë:

Shohim se përcaktor është shuma algjebrike e të gjitha prodhimeve të mundshme të elementeve të saj, të marra një nga çdo rresht dhe çdo kolonë.

Çdo produkt i tillë quhet term i përcaktorit. Në çdo term të përcaktorit të rendit të dytë, ne i rregullojmë faktorët sipas renditjes së kolonave:

dhe merrni parasysh rregullimet (permutacionet) përkatëse të nënshkrimeve (duke treguar numrat e rreshtave):

Në produktin e parë, këta indekse janë renditur në rend rritës, dhe produkti përkatës përfshihet në përcaktorin me një shenjë plus; në të dytën thuhet se formojnë një çrregullim ose përmbysje të 2, 1 dhe termi përkatës hyn në përcaktor me shenjën minus.

Përcaktori i rendit të tretë ka gjashtë terma. Nëse në secilën prej tyre faktorët janë renditur sipas renditjes së kolonave, atëherë në termat e përfshirë me një shenjë plus, nënshkrimet formojnë permutacione

Konsideroni tre çifte indeksesh 1, 2; 1, 3 dhe 2, 3 nga ndërrimi i parë 1, 2, 3; numrat e çdo çifti janë renditur në rend rritës - ka zero përmbysje në këtë ndërrim. Në ndërrimin e dytë 2, 3, 1 ka tre palë indeksesh: 2, 3; 2, 1 dhe 3, 1, dy prej të cilave dhe 3,1, formojnë përmbysje. Në ndërrimin e tretë 3, 1, 2 - tre palë indeksesh 3, 1; 1, 2 dhe 3, 2, nga të cilat dy dhe 3, 2 formojnë përmbysje.

Produktet e përfshira me një shenjë minus korrespondojnë me tre permutacione të indekseve

dhe në të parën, siç shihet lehtë, ka tre përmbysje:

3, 2; 3, 1 dhe 2, 1, dhe në të dytën dhe të tretën - nga një; përkatësisht 2, 1 dhe 3, 2. Pra, në shenjën plus përfshihen ato terma që kanë numër çift inversionesh në ndërrimin e indekseve dhe në shenjën minus ato që kanë numër tek.

Për sa vijon, do të jetë e përshtatshme për ne të prezantojmë shënime të reja për përcaktuesit e rendit të dytë dhe të tretë:

ku të gjithë elementët e përcaktorit përcaktohen me të njëjtën shkronjë a me dy indekse, i pari prej të cilëve tregon numrin e rreshtit në të cilin shfaqet ky element, dhe i dyti - numrin e kolonës përkatëse. (Elementet,

Për shembull, përcaktorja e parë lexohet kështu: një është një, dhe një është dy, dhe dy është një, dhe dy janë dy.) Pastaj

ku shenja plus është përpara atyre produkteve në të cilat ndërrimi është çift (d.m.th., ka një numër çift inversionesh), dhe shenja minus është përpara atyre ku është tek. Kjo mund të shkruhet edhe kështu:

ku a është numri i përmbysjeve në ndërrimin e indekseve të parë (indekset e dyta janë renditur në rend rritës), dhe shuma shtrihet në të gjashtë permutacionet e tre numrave 1, 2, 3.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Karakteristikat e elementit të karbonit dhe vetitë kimike