Lojë matematikore "Beteja detare". a) plane në të cilat shtrihen drejtëzat PE, MK, DB, AB, EC
PREZANTIMI
1862-1943 ) në fund të shekullit CIC.
– – për të matur.
Skema e ndërtimit të gjeometrisë
Janë renditur konceptet kryesore të papërcaktuara.
Formulohen vetitë e koncepteve bazë - aksiomat.
Përcaktohen koncepte të tjera gjeometrike.
Formulohen dhe vërtetohen vetitë e koncepteve gjeometrike - teorema.
AXIOMAT E STEREOMETRISË. PASOJAT NGA AXIOMAT
Konceptet bazë të stereometrisë: pika, drejtëza, plani, largësia.
Përkufizimi: Një aksiomë është një propozim që nuk kërkon provë .
Vetitë themelore të pikave, drejtëzave dhe rrafsheve në lidhje me pozicionet e tyre relative shprehen në aksioma. I gjithë sistemi i aksiomave të stereometrisë përbëhet nga një numër aksiomash të njohura për ne nga kursi i planimetrisë, dhe aksioma për pozicionet relative të pikave, vijave dhe planeve në hapësirë.
AXIOMAT E STEREOMETRISË
I. Aksiomat e përkatësisë
Unë 1. Ekziston të paktën një vijë e drejtë dhe të paktën një rrafsh. Çdo vijë e drejtë dhe çdo rrafsh është një grup pikash jo bosh që nuk përputhet me hapësirën.
Emërtimi:
A, B, C, D - pika;
a, b, c - drejt;
a, b, g - aeroplanë;
A Î A– pika A i përket drejtëzës a, drejtëza a kalon në pikën A;
E Ï A –pika E nuk i përket drejtëzës a;
S Î a– pika C i përket rrafshit a, rrafshi a kalon në pikën C;
E Ï a –pika E nuk i përket rrafshit a.
konkluzioni: Ka pika që i përkasin një drejtëze dhe ato që nuk i përkasin një drejtëze; ka pika që i përkasin një rrafshi dhe që nuk i përkasin një rrafshi.
Unë 2. Nëpër dy pika të ndryshme kalon një dhe vetëm një vijë e drejtë.
Emërtimi:
dhe М a –rrafshi a kalon nëpër drejtëzën a;
b Ë a–rrafshi a nuk kalon në vijën b.
Unë 4. Nëpër tre pika që nuk i përkasin të njëjtës vijë, kalon një dhe vetëm një rrafsh.
Emërtimi: a = ABC
konkluzioni:
Planet që kanë tre pika të ndryshme të përbashkëta përkojnë.
Unë 5. Nëse dy plane të ndryshme kanë një pikë të përbashkët, atëherë kryqëzimi i tyre është një vijë e drejtë.
Emërtimi: M Î jamÎ b, a ¹ b, aìü b = l.
II. Aksiomat e distancës
II 1. Për çdo dy pikë A Dhe NË ekziston një sasi jo negative që quhet distanca nga A përpara NË. Largësia AB barazohet me zero nëse dhe vetëm nëse pikat A Dhe NË përputhen.
 |
Emërtimi: AB³ 0.
II 2. Largësia nga A përpara NË e barabartë me distancën nga NË përpara A.
Emërtimi: AB = BA.
II 3. Për çdo tre pikë A, NË, ME distancë nga A përpara ME jo më shumë se shuma e largësive nga A përpara NË dhe nga NË përpara ME.
Emërtimi: AC £ AB + BC.
III. Aksiomat e rendit
III 1. Çdo pikë RRETH drejt R ndan grupin e të gjitha gjërave të dallueshme nga një pikë RRETH pikat e një vije të drejtë R në dy grupe jo bosh në mënyrë që për çdo dy pikë A Dhe NË, që i përket grupeve të ndryshme, pikë RRETH shtrihet midis pikave A Dhe NË; nëse pikë A Dhe NË i përkasin të njëjtit grup, atëherë njëri prej tyre shtrihet midis tjetrit dhe pikës RRETH.
III 3. Nëse pika ME shtrihet midis pikave A Dhe NË, pastaj pikat A, NË, ME i përkasin të njëjtës linjë.
III 4. Çdo vijë e drejtë R, i shtrirë në aeroplan a R R.
IV. Aksioma e lëvizshmërisë së avionit
Nëse pikë A, NË, A 1, NË 1 shtrihu në një avion a, dhe AB > 0 Dhe AB= A 1 B 1, atëherë ka dy dhe vetëm dy lëvizje të këtij rrafshi, secila prej të cilave shfaq një pikë A për pikë A 1 dhe pikë NË për pikë NË 1.
V. Aksioma e paraleles
Përmes pikës A ka më së shumti një drejtëz paralele me një drejtëz të caktuar R.
PASOJAT NGA AXIOMAT
Përfundimi 1: Nëpër një vijë të drejtë dhe një pikë që nuk i përket, mund të vizatohet një dhe vetëm një rrafsh.
 |
E dhënë: M, a, M Ï A
Provoj:
2. .
Dëshmi:
1. Le të zgjedhim pikat A dhe B në rreshtin a (aksioma I 1 ): AÎ a, BÎ A.
): a = MAV.
Meqenëse pikat A, B i përkasin rrafshit a, atëherë drejtëza a i përket rrafshit a (aksioma I 3 ): AÌ a.
Rrjedhimisht, ka një rrafsh a që kalon në drejtëzën a dhe një pikë M që nuk i përket asaj: .
2. Plani a përmban drejtëzën a dhe pikën M, domethënë kalon nëpër pikat M, A, B. Nëpër tre pika që nuk i përkasin të njëjtës drejtëz, ekziston një rrafsh i vetëm (aksioma Unë 4 ).
Përfundimi 2: Nëpër dy drejtëza të kryqëzuara mund të vizatohet një dhe vetëm një rrafsh.
 |
E dhënë: a, b, a ' b
Provoj:
2. .
Dëshmi:
1. Të shënojmë pikën e prerjes së drejtëzave a dhe b: .
Le të zgjedhim pikën A në rreshtin a dhe pikën B në rreshtin b (aksioma I 1 ): AÎ a, BÎ b.
Rrafshi a kalon nëpër pikat M, A, B (aksioma I 4 ): a = MAV.
Meqenëse pikat A, M i përkasin rrafshit a, atëherë drejtëza a i përket rrafshit a (aksioma I 3 ): AM = aÌ a.
Meqenëse pikat B, M i përkasin planit a, atëherë drejtëza b i përket rrafshit a (aksioma I 3 ): VM = b Ì a.
Rrjedhimisht, ekziston një rrafsh a që kalon nëpër dy drejtëza të kryqëzuara a dhe b: .
2. Plani a përmban drejtëza a dhe b, pra kalon nëpër pikat M, A, B. Nëpër tre pika që nuk i përkasin të njëjtës drejtëz, kalon një rrafsh të vetëm (aksioma I 4 ).
Përkufizimi:
Drejtëzat quhen paralele nëse shtrihen në të njëjtin rrafsh dhe nuk kanë pika të përbashkëta ose përkojnë.
Përfundimi 3:
Përmes dy drejtëzave paralele mund të vizatohet një dhe vetëm një rrafsh.
E dhënë: a, b,
Provoj:
2. .
Dëshmi:
1. Ekzistenca e një rrafshi a që kalon nëpër dy drejtëza paralele a dhe b rrjedh nga përkufizimi i drejtëzave paralele.
2. Supozojmë se ekziston një plan tjetër që përmban drejtëzat a dhe b. Le të zgjedhim pikën A në rreshtin a dhe pikat B dhe M në rreshtin b (aksioma I 1 ): AÎ a, BÎ b, MÎ b. Ne zbuluam se dy rrafshe kalojnë nëpër pikat A, B, M, gjë që bie në kundërshtim me aksiomën Unë 4. Prandaj, supozimi nuk është i vërtetë, plani a–i vetmi.
Ushtrime:
c) 
;
2. Emri nga fotografia:
a) rrafshet në të cilat shtrihen drejtëzat PE, MK, DB, AB, EC;
b) pikat e prerjes së drejtëzës DK me rrafshin ABC, drejtëzës CE me rrafshin ADV;
c) pikat që shtrihen në rrafshet ADB dhe DBC;
d) 
vijat e drejta përgjatë të cilave kryqëzohen rrafshet ABC dhe DCB, ABD dhe CDA, PDC dhe ABC.
3. Emri nga fotografia:
a) pikat që shtrihen në aeroplanët DCC 1 dhe BQC;
b) rrafshet në të cilat shtrihet drejtëza AA 1;
c) pikat e prerjes së drejtëzës MK me rrafshin ABD, drejtëzat DK dhe BP me rrafshin A 1 B 1 C 1;
d) vijat e drejta përgjatë të cilave kryqëzohen rrafshet AA 1 B 1 dhe ACD, PB 1 C 1 dhe ABC;
e) pikat e prerjes së drejtëzave MK dhe DC, B 1 C 1 dhe BP, C 1 M dhe DC.
3. POZICIONI RELATIV I DY VIJAT E DREJTA NË HAPËSIRË
SHENJË E KALIMIT TË DREJTAVE
Oriz. 1. Fig. 2. Fig. 3.
Përkufizimi: Planet janë paralele nëse nuk kanë pika të përbashkëta ose përkojnë.
TETRAHEDRON. PARALELEPIPED
Në temën “Trupat gjeometrikë, sipërfaqet dhe vëllimet e tyre” do të studiojmë poliedra - trupa gjeometrikë, sipërfaqet e të cilëve përbëhen nga shumëkëndësha. Për të ilustruar konceptet që lidhen me pozicionin relativ të vijave dhe planeve në hapësirë, le të njihemi me dy poliedra - një tetraedron dhe një paralelepiped.
Konsideroni një trekëndësh arbitrar ABC dhe periudha D , jo i shtrirë në rrafshin e këtij trekëndëshi. Lidhja e pikës D segmente me kulme trekëndëshi ABC , marrim trekëndësha DAB , DBC ,DCA .
Sipërfaqja e përbërë nga katër trekëndësha ABC , DAB , DBC ,DCA , thirri katërkëndësh dhe është caktuar DABC .
Trekëndëshat që përbëjnë një katërkëndësh quhen skajet, anët e tyre - brinjët, dhe kulmet janë kulmet e një katërkëndëshi. Një katërkëndor ka katër fytyra, gjashtë skaje dhe katër kulme.
Quhen dy skaje të katërkëndëshit që nuk kanë kulme të përbashkëta e kundërt. Në katërkëndësh DABC brinjët janë përballë pas Krishtit Dhe dielli , VD Dhe AC , CD Dhe AB . Shpesh quhet një nga fytyrat e një tetraedri bazë dhe tre të tjerë - fytyrat anësore.
Konsideroni dy paralelogramë të barabartë ABCD Dhe A 1 B 1 C 1 D 1 , të vendosura në plane paralele në mënyrë që segmentet AA 1 , BB 1 , SS 1 Dhe DD 1 paralele. Katërkëndëshat АВВ 1 А 1 , VSS 1 NË 1 , СDD 1 С 1 ,DAA 1 D 1 janë edhe paralelograme, pasi secila prej tyre ka çifte brinjësh të kundërta paralele.
Sipërfaqja e përbërë nga dy paralelogramë të barabartë ABCD Dhe A 1 B 1 C 1 D 1 dhe katër paralelograme АВВ 1 А 1 , VSS 1 NË 1 , СDD 1 С 1 ,DA A 1 D 1 , quhet paralelepiped dhe shënohet ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .
Paralelogramet që përbëjnë një paralelopiped quhen skajet, anët e tyre - brinjët, dhe kulmet e paralelogrameve janë kulmet e një paralelepipedi. Parallelepipedi ka gjashtë faqe, dymbëdhjetë skaje dhe tetë kulme. Quhen dy faqe të një paralelipipedi që kanë një skaj të përbashkët ngjitur, dhe duke mos pasur skaje të përbashkëta - e kundërt. Quhen dy kulme që nuk i përkasin të njëjtës faqe e kundërt. Një segment vijash që lidh kulme të kundërta quhet diagonale paralelipiped. Çdo paralelipiped ka katër diagonale.
Diagonalet e një paralelipipedi ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 janë segmente AC 1 , DD 1 , CA 1 , DV 1 .
Shpesh identifikohen dhe thirren nja dy fytyra të kundërta arsye, dhe fytyrat e mbetura janë faqet anësore të paralelopipedit. Skajet e një paralelipipedi që nuk i përkasin bazave quhen brinjë anësore.
Nëse si bazat e një paralelepipedi ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 zgjidhni fytyrat ABCD Dhe A 1 B 1 C 1 D 1 , atëherë faqet anësore do të jenë paralelograme АВВ 1 А 1 , VSS 1 NË 1 , СDD 1 С 1 ,DA A 1 D 1 , dhe skajet anësore janë segmente AA 1 , BB 1 , SS 1 Dhe DD 1 .
Ushtrime:
1. Në tetraedrin DABC pikat M, N, Q, P janë pikat e mesit të segmenteve ВD, DC, AC, AB. Gjeni perimetrin e katërkëndëshit MNQP nëse AD = 12 cm, BC = 14 cm.
KËNDI MIDIS TË DREJTAVE
Përkufizimi: Këndi ndërmjet drejtëzave jo paralele T Dhe Pështë më i vogli nga këndet ngjitur të formuar nga drejtëza të kryqëzuara T" Dhe P", Ku T"|| T,P"|| P.
, , .
Koment: Këndi midis drejtëzave paralele konsiderohet i barabartë me zero.
Përkufizimi: Dy drejtëza në hapësirë quhen pingul nëse këndi ndërmjet tyre është i barabartë .
Emërtimi:
Vijat pingule mund të kryqëzohen dhe mund të jenë të zhdrejtë.
Detyrë: Jepet një kub ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.
Gjej: 
; 
; .
Zgjidhja:
Bazuar në paralelizmin e dy drejtëzave:
dhe për këtë arsye . 
.
. 
, pasi CDD 1 C 1 është një katror.
Në bazë të vijave të kryqëzuara:
, prandaj, · .
, prandaj, .
konkluzioni: 
Nga qendra O e një rrethi me rreze 3 dm, rikthehet një OB pingul me rrafshin e tij. Një tangjente tërhiqet në rrethin në pikën A dhe në këtë tangjente është hequr një segment AC i barabartë me 2 dm nga pika e tangjences. Gjeni gjatësinë e BC-së së pjerrët nëse gjatësia e OB pingul është 6 dm.
5. Nga kulmi D i drejtkëndëshit ABCD, brinjët e të cilit janë AB = 9 cm dhe BC = 8 cm, rikthehet një DF = 12 cm pingul në rrafshin e drejtkëndëshit. Gjeni distancat nga pika F në kulmet të drejtkëndëshit.
8. KËNDI DIHEDRAL. KËND LINEAR KËNDI DIHEDRAL
III 4.Çdo vijë e drejtë R
, i shtrirë në aeroplan a
, e ndan grupin e pikave të këtij rrafshi që nuk i përkasin atij në dy grupe jo bosh në mënyrë që çdo dy pika që i përket grupeve të ndryshme të ndahen me një vijë të drejtë. R
; çdo dy pika që i përkasin të njëjtit grup nuk ndahen me një vijë R
.
Komplete në të cilat ka një linjë të drejtpërdrejtë R ndan një grup pikash në rrafsh që nuk i përkasin a, quhen gjysmërrafshe të hapura me kufi R.
Ana BC e drejtkëndëshit ABCD shërben si brinjë e trekëndëshit BCF, me kulmin F të projektuar në DC. Emërtoni këndin linear të këndit dihedral të formuar nga rrafshet ABC dhe BCF (Fig. 1.).
 |
|||
Oriz. 1. Fig. 2.
Jepet një imazh i një trapezi ABCD dykëndësh dhe një trekëndëshi ABM. Segmenti MC është pingul me rrafshin ABC. Ndërtoni një kënd linear të këndit dihedral të formuar nga rrafshet ABC dhe ВСМ në mënyrë që njëra anë e tij të kalojë nëpër pikën M (Fig. 2.).
3. Në faqen e një këndi dykëndor të barabartë me 45°, jepet një pikë që është 4 cm larg buzës Gjeni distancën nga kjo pikë në faqen tjetër.
Shumëkëndëshi ndahet me diagonale të tërhequra nga një kulm në një numër të kufizuar trekëndëshash, për secilin prej të cilëve teorema është e vërtetë. Prandaj, teorema do të jetë e vërtetë edhe për shumën e sipërfaqeve të të gjithë trekëndëshave, rrafshet e të cilëve formojnë të njëjtin kënd me rrafshin e projeksionit.
Koment: Teorema e vërtetuar është e vlefshme për çdo figurë të rrafshët të kufizuar nga një kurbë e mbyllur.
Ushtrime:
1. Gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi, rrafshi i të cilit është i prirur nga rrafshi i projektimit në një kënd, nëse projeksioni i tij është një trekëndësh i rregullt me brinjë a.
2. Gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi, rrafshi i të cilit është i prirur nga rrafshi i projektimit në një kënd, nëse projeksioni i tij është një trekëndësh dykëndësh me brinjë 10 cm dhe një bazë 12 cm.
3. Gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi, rrafshi i të cilit është i prirur nga rrafshi i projektimit në një kënd, nëse projeksioni i tij është një trekëndësh me brinjë 9, 10 dhe 17 cm.
4. Llogaritni sipërfaqen e një trapezi, rrafshi i të cilit është i prirur me rrafshin e projeksionit në një kënd, nëse projeksioni i tij është një trapezoid isoscelular, baza më e madhe e të cilit është 44 cm, ana është 17 cm dhe diagonalja është 39 cm.
5. Llogaritni zonën e projeksionit të një gjashtëkëndëshi të rregullt me anë 8 cm, rrafshi i të cilit është i prirur në rrafshin e projeksionit në një kënd.
6. Rombi me brinjë 12 cm dhe kënd i mprehtë formon një kënd me një rrafsh të caktuar. Llogaritni sipërfaqen e projeksionit të rombit në këtë rrafsh.
7. Rombi me brinjë 20 cm dhe diagonale 32 cm formon kënd me një rrafsh të caktuar. Llogaritni sipërfaqen e projeksionit të rombit në këtë rrafsh.
8. Projeksioni i një tende mbi një plan horizontal është një drejtkëndësh me brinjë dhe . Gjeni sipërfaqen e tendës nëse faqet anësore janë drejtkëndësha të barabarta të prirur në rrafshin horizontal në një kënd, dhe pjesa e mesme e tendës është një katror paralel me rrafshin e projektimit.
11. Ushtrime me temën “Vijat dhe rrafshet në hapësirë”:
Brinjët e trekëndëshit janë të barabarta me 20 cm, 65 cm, 75 cm Nga kulmi i këndit më të madh të trekëndëshit tërhiqet një pingul e barabartë me 60 cm me rrafshin e tij Gjeni distancën nga skajet e pingulit në anën më të madhe të trekëndëshit.
2. Nga një pikë e vendosur në një distancë prej cm nga rrafshi, vizatohen dy të pjerrëta, duke formuar kënde me rrafshin të barabartë me , dhe një kënd të drejtë midis tyre. Gjeni distancën midis pikave të kryqëzimit të planeve të pjerrëta.
3. Brinja e trekëndëshit të rregullt është 12 cm. Pika M zgjidhet në mënyrë që segmentet që lidhin pikën M me të gjitha kulmet e trekëndëshit të formojnë kënde me rrafshin e tij. Gjeni distancën nga pika M në kulmet dhe brinjët e trekëndëshit.
4. Një rrafsh vizatohet përmes faqes së katrorit në një kënd me diagonalen e katrorit. Gjeni këndet në të cilat dy brinjët e katrorit janë të prirura nga rrafshi.
5. Këmba e një trekëndëshi kënddrejtë dykëndësh është e prirur nga rrafshi a që kalon nëpër hipotenuzë në një kënd . Vërtetoni se këndi ndërmjet planit a dhe rrafshit të trekëndëshit është i barabartë me .
6. Këndi dihedral ndërmjet rrafsheve të trekëndëshave ABC dhe DBC është i barabartë me . Gjeni AD nëse AB = AC = 5 cm, BC = 6 cm, BD = DC = cm.
Pyetje testimi me temën "Linjat dhe rrafshet në hapësirë"
1. Renditni konceptet bazë të stereometrisë. Formuloni aksiomat e stereometrisë.
2. Vërtetoni pasoja nga aksiomat.
3. Cili është pozicioni relativ i dy drejtëzave në hapësirë? Jepni përkufizime të drejtëzave të kryqëzuara, paralele dhe anore.
4. Vërtetoni shenjën e vijave të anuar.
5. Cili është pozicioni relativ i drejtëzës dhe rrafshit? Jepni përkufizime të drejtëzave dhe rrafsheve të kryqëzuara, paralele.
6. Vërtetoni shenjën e paralelizmit ndërmjet drejtëzës dhe rrafshit.
7. Cili është pozicioni relativ i dy planeve?
8. Përcaktoni plane paralele. Vërtetoni një shenjë se dy rrafshe janë paralele. Tregoni teorema rreth planeve paralele.
9. Përcaktoni këndin ndërmjet vijave të drejta.
10. Vërtetoni shenjën e pingulitetit të drejtëzës dhe rrafshit.
11. Përcaktoni bazën e një pingule, bazën e një të pjerrët, projeksionin e një të pjerrët në një rrafsh. Formuloni vetitë e një vije pingule dhe të pjerrët të rënë në një plan nga një pikë.
12. Përcaktoni këndin midis një drejtëze dhe një rrafshi.
13. Vërtetoni teoremën rreth tre pingulave.
14. Jepni përkufizime të këndit dihedral, këndit linear të këndit dihedral.
15. Vërtetoni shenjën e pingulitetit të dy rrafsheve.
16. Përcaktoni distancën midis dy pikave të ndryshme.
17. Përcaktoni distancën nga një pikë në një vijë.
18. Përcaktoni distancën nga një pikë në një plan.
19. Përcaktoni distancën midis një drejtëze dhe një rrafshi paralel me të.
20. Përcaktoni distancën ndërmjet rrafsheve paralele.
21. Përcaktoni distancën midis drejtëzave të kryqëzuara.
22. Përcaktoni projeksionin ortogonal të një pike në një rrafsh.
23. Përcaktoni projeksionin ortogonal të një figure në një rrafsh.
24. Formuloni vetitë e projeksioneve në një rrafsh.
25. Formuloni dhe vërtetoni një teoremë mbi sipërfaqen e projeksionit të një shumëkëndëshi të rrafshët.
PREZANTIMI
Paraqitja e parë shkencore e gjeometrisë që ka ardhur tek ne gjendet në veprën "Elementet", e përpiluar nga shkencëtari i lashtë grek Euklidi, i cili jetoi në shekullin III para Krishtit në qytetin e Aleksandrisë. Ishte Euklidi ai që bëri përpjekjen e parë për të dhënë një paraqitje aksiomatike të gjeometrisë. Për herë të parë, sistemi shkencor i aksiomave të Euklidit u formulua nga D. Hilbert ( 1862-1943 ) në fund të shekullit CIC.
Kursi i gjeometrisë shkollore përbëhet nga dy pjesë: planimetria dhe stereometria. Në planimetri studiohen vetitë e figurave gjeometrike në rrafsh.
Stereometria është një degë e gjeometrisë që studion vetitë e figurave në hapësirë.
Fjala "stereometri" vjen nga fjalët greke "stereos". – vëllimore, hapësinore dhe "metreo" – për të matur.
Ideja e trupave gjeometrikë të studiuar në stereometri jepet nga objektet përreth nesh. Ndryshe nga objektet reale, trupat gjeometrikë janë objekte imagjinare. Duke studiuar vetitë e trupave gjeometrikë, ne fitojmë një kuptim të vetive gjeometrike të objekteve reale dhe mund t'i përdorim këto veti në aktivitete praktike. Gjeometria, në veçanti stereometria, përdoret gjerësisht në ndërtim, arkitekturë, inxhinieri mekanike, gjeodezi dhe në shumë fusha të tjera të shkencës dhe teknologjisë.
Skema e ndërtimit të gjeometrisë
Gjatë orëve të mësimit në Junior Academy më kërkuan të zbuloja se çfarë studion gjeometria dhe sa shpesh e hasim atë në jetën e përditshme.
Lexova një libër shkollor për gjeometrinë, një enciklopedi, u njoha me përkufizimet e figurave gjeometrike, i hodha një vështrim më të afërt objekteve që më rrethonin dhe kuptova se gjeometrinë e hasim në çdo hap, ndonjëherë edhe pa e menduar. Më dukej shumë interesant ky vëzhgim dhe fillova ta hulumtoj këtë temë në mënyrë më të detajuar.
I vendosa vetes një qëllim: të zbuloja se sa shpesh një person ndeshet me gjeometrinë në botën përreth nesh dhe cilat figura gjeometrike gjenden më shpesh se të tjerët.
Fazat e hulumtimit:
Faza e parë e studimit është gjeometria në banesën time.
Faza e dytë e kërkimit është gjeometria në rrugën time nga shtëpia në lice.
Faza e tretë e studimit është gjeometria në lice.
Faza e katërt është gjeometria në makro-mikrobotën.
Çfarë studion gjeometria?
Gjeometria u ngrit shumë kohë më parë; ajo është një nga shkencat më të lashta. E përkthyer nga greqishtja, fjala "gjeometri" do të thotë "anketim i tokës" ("geo" do të thotë tokë në greqisht dhe "metrio" do të thotë të matësh).
Ky emër shpjegohet me faktin se origjina e gjeometrisë lidhej me punë të ndryshme matëse që duheshin kryer gjatë shënimit të parcelave, shtrimit të rrugëve, ndërtimit të ndërtesave dhe strukturave të tjera. Si rezultat i këtij aktiviteti, u shfaqën dhe u grumbulluan gradualisht rregulla të ndryshme që lidhen me matjet dhe ndërtimet gjeometrike.
Gjeometria u ngrit në bazë të veprimtarisë praktike njerëzore dhe u shërbeu qëllimeve praktike. Më pas u formua gjeometria si shkencë e pavarur që merret me studimin e figurave gjeometrike.
Format gjeometrike janë shumë të ndryshme. Ne e dimë se çfarë është një pikë, një drejtëz, një segment, një rreze, një kënd.
Ne jemi të njohur me trekëndëshin, drejtkëndëshin, rrethin dhe forma të tjera.
Gjeometria që studiohet në shkollë quhet Euklidiane, e emërtuar sipas shkencëtarit të lashtë grek Euklidi, i cili krijoi një manual për matematikën të quajtur FILLIMI. Për një kohë të gjatë, gjeometria u studiua duke përdorur këtë libër.
Gjeometria mund të ndahet në dy pjesë: planimetria dhe stereometria.
Planimetria merret me figurat në një rrafsh. Shembuj të formave të tilla janë segmentet, trekëndëshat dhe drejtkëndëshat.
Në stereometri studiohen vetitë e figurave në hapësirë, të tilla si një top dhe një cilindër.
Gjeometria në shtëpi.
Të gjitha objektet në shtëpinë tonë ngjajnë me forma të ndryshme gjeometrike. Le të shqyrtojmë dhe përshkruajmë disa prej tyre.
Për shembull, një glob - i ngjan një topi. Përkufizimi shkencor i një topi është si vijon: Një top është një trup që përbëhet nga të gjitha pikat në hapësirë të vendosura në një distancë jo më të madhe se një e dhënë nga një pikë e caktuar. Kjo pikë quhet qendra e topit, dhe kjo distancë është rrezja e topit.
Globi, siç e dimë, është një model i globit. Dhe ashtu si toka, një glob mund të rrotullohet rreth boshtit të tij.
Një top, si një cilindër dhe një kon, është një trup rrotullues. Përftohet duke rrotulluar një gjysmërreth rreth diametrit të tij si një bosht.
Një libër i trashë duket si një paralelipiped. Sepse, si një paralelipiped, të gjitha faqet dhe anët e tij të kundërta janë paralele. Kutia me ushqim të konservuar në kuzhinë ka formën e një cilindër. Dhe në të vërtetë, ai ka dy rrathë të shtrirë në plane paralele dhe një mur, i cili mund të përfaqësohet si një grup segmentesh që lidhin pikat përkatëse në këto rrathë. Dollapët, raftet dhe komodina janë të njëjtat paralelopipedë. Dyert janë në formë drejtkëndëshe. Muret, tavani, dritaret gjithashtu i ngjajnë drejtkëndëshave.
Disa artikuj kanë formën e formave më komplekse - për shembull, një komodinë gjysmërrethore e këndit i ngjan një sektori rrethi. Nëse e shikojmë nga lart, shohim dy segmente që janë me rreze dhe një hark rrethi që lidh skajet e këtyre rrezeve.
Vazoja me lule në dritare i ngjan një koni të cunguar, sepse mund të imagjinohet si një rreth i lidhur me shumë segmente me një pikë që nuk shtrihet në këtë rreth, dhe është i cunguar sepse mungon pjesa e sipërme e konit, duket se të priten me aeroplan. Një tenxhere tjetër lulesh ka formën e një hemisfere. Nëse bashkoni dy nga këto tenxhere, ju merrni një sferë (sipërfaqja e një topi)
Nëse shikojmë kthesën e perdes në dritare, do të shohim se ajo përshkruan një vijë të lakuar të quajtur valë sinus.
Ndër shumëllojshmërinë e objekteve që ngjajnë me çdo formë gjeometrike, në shtëpinë tonë mbizotërojnë segmentet dhe figurat drejtkëndëshe.
Gjeometria në rrugën time nga shtëpia në lice.
Në rrugë shohim objekte të bëra nga njeriu dhe objekte me origjinë natyrore. Për shembull: një ndërtesë banimi e ndërtuar nga një person. Ky është një paralelipiped.
Shtyllat e dritave përgjatë rrugës ngjajnë me vija të drejta.
Kulmi i nënstacionit të transformatorit është një prizëm trekëndor. Ka dy faqe trekëndore të shtrira në plane paralele dhe sipërfaqe anësore, të cilat formojnë një prizëm.
Dhe binarët e tramvajit mund të mendohen si vija të drejta paralele. Telat e trolejbusit janë gjithashtu vija të drejta paralele.
Një objekt me origjinë natyrore është shtrati i lumit. Mund të konsiderohet si një vijë e lakuar.
Gjeometria në Lice.
Në Lice gjejmë një mbizotërim të figurave drejtkëndëshe, segmenteve dhe rrafsheve të ndryshme.
Kulla e liceut me një shkallë spirale brenda ngjan me një cilindër. Maja e kullës i ngjan një koni.
Vetë forma e shkallës spirale është një spirale, një spirale tredimensionale me një rreze konstante.
Kolonat në hyrje të Liceut janë gjithashtu cilindra. Hapat në sallë janë në formë trapezoidi. Ata kanë dy brinjë që janë paralele dhe janë bazat e trapezit, dhe dy të tjerat janë anët e trapezit.
Hapat në shkallët, portat, muret e korridoreve dhe klasave ngjajnë me drejtkëndësha.
Në lice, me gjithë larminë e objekteve, mbizotërojnë format drejtkëndëshe dhe drejtkëndëshe.
Gjeometria nën një mikroskop.
Meqenëse objektet që na rrethojnë mund të jenë shumë të vogla, le të përdorim një mikroskop dhe të shohim kristalet e kripës së tryezës dhe sheqerit.
Kur u zmadhua, një kokërr kripe doli të kishte formën e një kubi. Një kokërr sheqeri ka formën e një drejtkëndëshi, dhe këto drejtkëndësha ndonjëherë rezultojnë të shkrihen në një figurë me formë të parregullt.
Gjeometria në hapësirë.
Kërkimi i figurave gjeometrike në objektet që na rrethojnë nuk do të ishte i plotë nëse nuk do t'i drejtoheshim objekteve hapësinore dhe nuk do të përcaktonim se çfarë formash kanë. Le të shqyrtojmë formën e planetëve, yjeve, galaktikave dhe trajektoret e lëvizjes së tyre në hapësirë.
Ata kanë një formë sferike. Është vërtetuar se të gjithë planetët e sistemit diellor janë në formë sferike.
Duke qenë objekte kozmike, yjet, si planetët, kanë formën e një topi. Dielli i ngjan një topi të madh.
Galaktikat:
Shkencëtarët kanë zbuluar se galaktikat shumë shpesh kanë formën e një figure gjeometrike të quajtur spirale.
Orbitat planetare:
Planetët lëvizin rreth diellit përgjatë trajektoreve në formë elipse. Dihet se ndryshimi i stinëve në Tokë ndodh pikërisht sepse orbita e Tokës është një elips.
Përfundim: në hapësirën e jashtme ka vetëm objekte me forma të rrumbullakëta ose forma të tjera të lakuara dhe nuk ka objekte drejtvizore.
Rreth nesh ka një numër të madh objektesh që kanë formën e formave të ndryshme gjeometrike. Në të njëjtën kohë, figurat me elemente drejtvizore, kënde, segmente dhe plane janë objekte me origjinë artificiale dhe të bëra nga njeriu. Objektet me origjinë natyrore kanë forma të rrumbullakosura, të tilla si një top, elips, hark. Përjashtim bëjnë kristalet që kanë forma drejtkëndore.
"Shkenca e gjeometrisë" - shekulli VI para Krishtit. Format gjeometrike janë gjithandej rreth nesh. 4. Të katër vendet kanë formë trekëndëshi. Çfarë mjetesh do të na duhen në klasë? Studion vetitë e figurave në një rrafsh. Çfarë do të thotë fjala "gjeometri"? Ankand për shitjen e pesëshe. Planimetria. Piktura nga Victor Vasarely. Studion vetitë e figurave në hapësirë.
“Pozicioni relativ i vijave në hapësirë” - a. ??? a? b. Kalimi i vijave të drejta. b. Prezantoni përkufizimin e vijave të animuara. ?. Prezantoni formulimet dhe provoni shenjën dhe vetinë e vijave të animuara. Vendndodhja e vijave të drejta në hapësirë: Ato shtrihen në të njëjtin rrafsh! Pse? Jepet: AB?, CD? ? = C, C AB.
“Krahasimi i segmenteve” - Krahasimi i segmenteve dhe këndeve. ©Maksimovskaya M.A., 2009. Krahasimi i segmenteve. A. B. Përkufizim. C.
"Manifolds" - Prezanton metrikën natyrore Sasaki. . 21. 19. Fig.8. 7. Fig.9. Hamendësimi i Poincaré është si më poshtë. Ricci rrjedhin. Oriz. 14. Fig. 5. 25. 22. Fig. 18. 26. 24. Hipoteza gjeometrike e Thurston-it. Manifoldet tredimensionale. Oriz. 19. Fig. 10. 15. 9. Gjeometri tredimensionale homogjene. Oriz. 6. Manifoldet dydimensionale.
“Libër mësuesi për gjeometrinë” - Polyedra e përshkruar rreth një sfere 34. Vija e mesme e një trekëndëshi 33. 3. Përfshirja e materialit historik në përmbajtje. Ngjashmëria e figurave. Paralelogramet 30. Detyra krijuese individuale. Përdorimi i vizatimeve nga artistët: S. Dali, A. Durer, O. Rutersward, M. Escher dhe të tjerë. Udhëzues për përgatitjen për Provimin e Unifikuar të Shtetit.
“Formula e segmenteve” - Detyra 3. Rezultati: x Shumë objekte rreth nesh kanë një formë të ngjashme me format gjeometrike. Fleta e albumit ka formën e një drejtkëndëshi. Nëse vendosni një gotë të rrumbullakët në një copë letre dhe e gjurmoni me laps, do të merrni një vijë që përshkruan një rreth. Një unazë ose rrathë i ngjan një rrethi në formë, ndërsa një arenë cirku, fundi i një gote ose një pjatë kanë formën e një rrethi. Një portokall, një top futbolli dhe një shalqi duken si një top. Një laps gjashtëkëndor dhe piramidat egjiptiane janë gjithashtu forma gjeometrike. Gjeometria është shkenca e vetive të figurave gjeometrike: trekëndëshi, katrori, rrethi, piramida, sfera etj. Fjala "gjeometri" është greke dhe e përkthyer në rusisht do të thotë "anketim i tokës". Në përgjithësi pranohet se gjeometria e ka origjinën në Greqinë e Lashtë. Por grekët morën bazat e rilevimit të tokës nga egjiptianët dhe e kthyen atë në një disiplinë shkencore duke vendosur ligje të përgjithshme. Puna kryesore mbi gjeometrinë është "Elementet" e shkencëtarit të lashtë grek Euklidi, të përpiluar rreth 300 para Krishtit. Kjo vepër u konsiderua shembullore për një kohë të gjatë. Gjeometria Euklidiane studion format më të thjeshta gjeometrike: pikat, drejtëzat, segmentet, poligonet, topat, piramidat etj. Është ky seksion i gjeometrisë që studiohet në shkollë. Në vitin 1877, matematikani gjerman Felix Klein, në programin e tij Erlanger, propozoi një klasifikim të degëve të ndryshme të gjeometrisë, i cili përdoret edhe sot: gjeometria Euklidiane, projektive, afine, përshkruese, shumëdimensionale, Riemanniane, gjeometria jo-Euklidiane e gjeometrisë së vjetër të njeriut. , topologji. Gjeometria Euklidiane përbëhet nga dy pjesë: planimetria dhe stereometria. Planimetria është një degë e gjeometrisë në të cilën studiohen figurat gjeometrike në një rrafsh. Stereometria është një degë e gjeometrisë që studion figurat në hapësirë. Gjeometria projektive studion vetitë e figurave që ruhen kur ato projektohen (zëvendësohen me figura të ngjashme me madhësi të ndryshme). Gjeometria afine studion vetitë konstante të figurave nën ndryshime të ndryshme në plan dhe hapësirë. Disiplina inxhinierike - gjeometria përshkruese përdor disa projeksione për të përshkruar një objekt, i cili ju lejon të bëni një imazh tredimensional të objektit. Gjeometria shumëdimensionale eksploron ekzistencën alternative të dimensionit të katërt. Ekzistojnë nënseksione të veçanta instrumentale: gjeometria analitike, e cila përdor metoda algjebrike për të përshkruar figurat gjeometrike, dhe gjeometria diferenciale, e cila studion grafikët e funksioneve të ndryshme. blog.site, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin origjinal.
Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës
Artikulli vijues: Karakteristikat e elementit të karbonit dhe vetitë kimike