Transformimi i Furierit përcaktohet nga shprehja e mëposhtme. Transformimi i Furierit

Pasi kemi mësuar se si të llogarisim dendësinë spektrale të sinjaleve pulsi mjaft të thjeshta, por që hasen shpesh, le të kalojmë në një studim sistematik të vetive të transformimit Furier.

Lineariteti i transformimit të Furierit.

Kjo veti më e rëndësishme formulohet si më poshtë: nëse ekziston një grup i caktuar sinjalesh, atëherë shuma e ponderuar e sinjaleve transformohet Fourier si më poshtë:

Këtu janë koeficientët numerikë arbitrarë.

Për të vërtetuar formulën (2.26), duhet zëvendësuar shuma e sinjaleve në transformimin Furier (2.16).

Vetitë e pjesëve reale dhe imagjinare të dendësisë spektrale.

Le të jetë një sinjal që merr vlera reale. Dendësia e tij spektrale në rastin e përgjithshëm është komplekse:

Ne e zëvendësojmë këtë shprehje në formulën e transformimit të anasjelltë të Furierit (2.18):

Në mënyrë që sinjali i marrë nga një transformim i tillë i dyfishtë të mbetet real, është e nevojshme të kërkohet kjo

Kjo është e mundur vetëm nëse pjesa reale e densitetit spektral të sinjalit është çift, dhe pjesa imagjinare është një funksion tek i frekuencës:

Dendësia spektrale e një sinjali të zhvendosur në kohë.

Le të supozojmë se korrespondenca është e njohur për sinjalin Le të shqyrtojmë të njëjtin sinjal, por që ndodh disa sekonda më vonë. Duke marrë pikën si origjinë të re të kohës, ne e shënojmë këtë sinjal të zhvendosur si Le ta tregojmë atë

Prova është shumë e thjeshtë. Vërtet,

Moduli i një numri kompleks është i barabartë me një për çdo vlerë, prandaj amplituda e përbërësve elementar harmonikë që përbëjnë sinjalin nuk varen nga pozicioni i tij në boshtin kohor. Informacioni në lidhje me këtë karakteristikë të sinjalit përmbahet në varësinë e frekuencës së argumentit të densitetit të tij spektral (spektri fazor).

Varësia e densitetit spektral të sinjalit nga zgjedhja e shkallës së matjes së kohës.

Le të supozojmë se sinjali origjinal i nënshtrohet një ndryshimi të shkallës kohore. Kjo do të thotë se roli i kohës t luhet nga një ndryshore e re e pavarur (k është një numër real). Nëse kjo ndodh, ndodh "ngjeshja" e sinjalit origjinal; nëse sinjali është “shtrirë” në kohë.

Rezulton se nëse atëherë

Vërtet,

prej nga vijon formula (2.29).

Pra, në mënyrë që, për shembull, të kompresohet një sinjal në kohë duke ruajtur formën e tij, është e nevojshme të shpërndahen të njëjtat përbërës spektralë në një gamë më të gjerë frekuencash me një ulje proporcionale përkatëse në amplituda e tyre.

Problemi i mëposhtëm është i lidhur ngushtë me çështjen e shqyrtuar këtu.

Duke pasur parasysh një impuls që është i ndryshëm nga zero në një segment dhe karakterizohet nga dendësia spektrale Kërkohet të gjendet dendësia spektrale e një sinjali "të kthyer në kohë", i cili është një "kopje pasqyre" e lëkundjes origjinale të pulsit. Sepse është e qartë se

Pas kryerjes së një ndryshimi të ndryshores, gjejmë se

Dendësia spektrale e derivatit dhe integralit të pacaktuar.

Le të jepet sinjali s(t) dhe dendësia e tij spektrale. Ne do të studiojmë sinjalin e ri dhe do të vendosim një qëllim për të gjetur densitetin e tij spektral - .

A-parësore,

Transformimi Furier është një veprim linear, që do të thotë se barazia (2.31) është gjithashtu e vërtetë në lidhje me dendësinë spektrale. Duke marrë parasysh (2.28), marrim

Duke përfaqësuar funksionin eksponencial nga një seri Taylor: duke zëvendësuar këtë seri në (2.32) dhe duke u kufizuar në dy termat e parë, gjejmë

Me diferencim, shkalla e ndryshimit të sinjalit me kalimin e kohës rritet. Si pasojë, moduli i spektrit të derivatit ka vlera më të mëdha në rajonin me frekuencë të lartë në krahasim me modulin e spektrit të sinjalit origjinal.

Formula (2.33) përgjithësohet në rastin e spektrit të derivativit të rendit. Është e lehtë të vërtetosh se nëse , atëherë

Pra, diferencimi i një sinjali në lidhje me kohën është ekuivalent me një operacion të thjeshtë algjebrik të shumëzimit të densitetit spektral me një faktor. Prandaj, është zakon të thuhet se një numër imagjinar është një operator diferencimi që vepron në domenin e frekuencës.

Funksioni i konsideruar është një antiderivativ (integral i pacaktuar) në lidhje me funksionin nga (2.33) formalisht rezulton se spektri i antiderivativit

Kështu, shumëzuesi shërben si një operator integrues në domenin e frekuencës.

Dendësia spektrale e sinjalit në daljen e integratorit.

Në shumë pajisje radio-inxhinierike përdoren të ashtuquajturat integrues - sisteme fizike, sinjali i daljes së të cilave është proporcional me integralin e veprimit të hyrjes. Le të shqyrtojmë në mënyrë specifike një integrues që konverton sinjalin e hyrjes në një sinjal dalës sipas ligjit të mëposhtëm:

Këtu është një parametër fiks.

Integrali i caktuar i përfshirë në (2.36) është padyshim i barabartë me diferencën midis dy vlerave të antiderivativit të sinjalit, njëra prej të cilave llogaritet me argumentin t dhe tjetra me argumentin . Duke përdorur marrëdhëniet (2.28) dhe (2.35), marrim formulën për marrëdhënien midis densitetit spektral të sinjaleve në hyrje dhe dalje:

Faktori në kllapa është i kufizuar në çdo frekuencë, ndërsa madhësia e emëruesit rritet në mënyrë lineare me rritjen e frekuencës. Kjo tregon se integruesi në fjalë vepron si një filtër me kalim të ulët, duke dobësuar komponentët spektralë me frekuencë të lartë të sinjalit hyrës.

Shumë libra janë shkruar për transformimin e Furierit, kuptimin, vetitë dhe aplikimet e tij, kështu që vetëm karakteristikat e tij më të rëndësishme do të përshkruhen këtu. Ky artikull është një lloj përmbledhje teorike dhe për ta kuptuar atë duhet të keni tashmë njohuri bazë në këtë fushë. Nuk është një tekst shkollor për transformimin e Furierit (tekste të tillë tashmë ekzistojnë, të shkruar nga profesionistë të fushës së tyre). Përkundrazi, ky artikull do t'ju ndihmojë të rifreskoni kujtesën tuaj për njohuritë që keni marrë tashmë në këtë fushë, dhe gjithashtu do t'ju ndihmojë të mbani mend formula të dobishme që shumë njerëz zhduken shpejt nga kokat e tyre (unë i përkas këtij grupi :)).

Para fillimit të prezantimit, dëshiroj të shpreh mirënjohjen time për Oleg Krasnoyarov për letrën që ai dërgoi, në të cilën u diskutuan shkurtimisht algoritmet alternative FFT, më pak të njohura se opsioni i përdorur gjerësisht. Pothuajse tërësisht kjo letër formoi bazën e nënseksionit.

Transformimi Furier

Pra, ekzistojnë dy lloje të transformimit të Furierit: diskrete dhe e vazhdueshme. Continuous përdoret nga matematikanët në kërkimet analitike, diskrete përdoret në të gjitha rastet e tjera.

Transformimi i vazhdueshëm i Furierit është një transformim që zbatohet në një funksion h(t), e specifikuar në interval. Rezultati është një funksion H(f):

Ekziston edhe një transformim invers që lejon H(f) rivendosni funksionin origjinal h(t):

Është e qartë se imazhi H(f)është një funksion kompleks i argumentit real, por edhe h(t) mund të marrë jo vetëm vlera reale, por edhe komplekse.

Zbatimi i transformimit Furier është një temë kaq e gjerë sa nuk do të diskutohet në këtë artikull. Mund të rendisim vetëm disa fusha: analiza e sinjalit, filtrimi, llogaritja e përshpejtuar e korrelacionit dhe konvolucionit, përdorimi në algoritmet e shumëzimit të shpejtë të numrave dhe në shumë raste të tjera gjen edhe aplikimin e tij.

Vetitë e transformimit të Furierit të vazhdueshëm

Tabela më poshtë përshkruan marrëdhënien midis vetive të prototipit h dhe imazh H.

Tabela e mëposhtme tregon se si ndryshon imazhi kur ndryshon prototipi. Le të tregojë shënimi atë H(f)është një imazh h(t). Atëherë ekzistojnë marrëdhëniet e mëposhtme:

Seti i mëposhtëm i vetive lidhet me operacionet e konvolucionit dhe korrelacionit. Funksioni i palosjes g Dhe h përcaktuar si . Korrelacioni i funksionit g Dhe h përcaktuar si . Në këtë rast, ndodhin marrëdhëniet e mëposhtme:

Transformimi i Furierit diskret

Transformimi i vazhdueshëm i Furierit është i përshtatshëm për të punuar në teori, por në praktikë zakonisht kemi të bëjmë me të dhëna diskrete. Shumë shpesh na jepet jo një shprehje analitike e funksionit që transformohet, por vetëm një grup vlerash të tij në ndonjë rrjet (zakonisht një uniformë). Në këtë rast, duhet të supozojmë se jashtë këtij rrjeti funksioni është i barabartë me zero, dhe të përafrojmë integralin me shumën integrale:

Në rastin e një rrjetë uniforme, kjo formulë është thjeshtuar. Gjithashtu, në një rrjet uniform, hapi zakonisht eliminohet për të marrë një formulë pa dimensione:

Transformimi i anasjelltë në këtë rast do të ketë formën

Pas ekzaminimit të kujdesshëm, do të vini re se indeksi në Hn pranon N+1 vlerë, ndërsa në h k- vetëm N vlerat. Kështu, duket se funksioni H përmban më shumë informacion se h. Në fakt nuk është kështu, pasi vlerat H -N/2 Dhe H N/2 përputhen.

I përcaktuar në këtë mënyrë, transformimi diskrete i Furierit ruan pothuajse të gjitha vetitë e atij të vazhdueshëm (natyrisht, duke marrë parasysh kalimin në një grup diskrete).

Transformimi i shpejtë i Furierit

Sa operacione nevojiten për të kryer një transformim diskret të Furierit? Llogaritja sipas përkufizimit ( N përmbledh herë N terma), marrim një vlerë të rendit të N 2. Megjithatë, ju mund të kaloni me një numër dukshëm më të vogël operacionesh.

Më i popullarizuari nga algoritmet për llogaritjet e përshpejtuara të DFT është i ashtuquajturi. Metoda Cooley-Tukey, e cila ju lejon të llogaritni DFT për numrin e mostrave N=2k gjatë porosisë Nlog 2 N(prandaj emri - transformimi i shpejtë i Furierit, FFT). Kjo metodë të kujton disi me delikatesë llojin e shpejtë. Gjatë funksionimit të algoritmit, grupi i numrave ndahet gjithashtu në mënyrë rekursive në dy nënvargje dhe llogaritja e DFT nga i gjithë grupi reduktohet në llogaritjen e DFT nga nëngarkesat veç e veç.

Shpikja e FFT çoi në një rritje mahnitëse të popullaritetit të transformimit Fourier. Një sërë problemesh të rëndësishme janë zgjidhur më parë brenda kornizës kohore N 2, por pas kryerjes së transformimit Fourier në të dhënat origjinale (në një kohë të rendit Nlog 2 N) zgjidhet pothuajse menjëherë. Transformimi Fourier qëndron në themel të korrelatorëve dixhitalë dhe metodave të konvolucionit, përdoret në mënyrë aktive në analizën spektrale (pothuajse në formën e tij të pastër) dhe përdoret kur punoni me numra të gjatë.

Ekziston një keqkuptim i përhapur se metoda Cooley-Tukey është e vetmja metodë ekzistuese e kryerjes së FFT-së dhe se vetë FFT ekziston vetëm për këtë rast. N=2k. Në fakt, kjo nuk është e vërtetë - ekzistojnë algoritme FFT për çdo numër mostrash. Në rastin njëdimensional të konsideruar në këtë artikull, metoda Winograd na lejon të zgjidhim problemin për një numër të thjeshtë mostrash N. I njëjti algoritëm mund të përgjithësohet lehtësisht në rastin kur Nështë një fuqi e një numri të thjeshtë arbitrar (dhe jo vetëm dy), dhe gjithashtu në rastin kur numri Nështë prodhim i fuqive të numrave të thjeshtë - d.m.th. Nështë një numër arbitrar, faktorizimi i të cilit në faktorët kryesorë është i njohur për ne.

Në rastin dydimensional, mund të përdoret metoda Nussbaumer. Ka algoritme të tjera, si për rastet njëdimensionale, ashtu edhe dydimensionale, por shqyrtimi i këtyre çështjeve është përtej qëllimit të artikullit (më rekomandoi burimin e mëposhtëm - Bleihut, "Algoritme të shpejta për përpunimin e sinjalit dixhital").

Siç u përmend më lart, ekzistojnë algoritme FFT për një numër arbitrar mostrash, por algoritmi më i përdorur është vetëm për rastin N=2k, që është një kufizim domethënës. Pse ndodhi kjo?

Arsyeja për këtë është se algoritmi i ndërtuar duke përdorur metodën Cooley-Tukey ka një sërë veçorish shumë të mira teknologjike. Struktura e algoritmit dhe veprimet e tij themelore nuk varen nga numri i mostrave (ndryshon vetëm numri i ekzekutimeve të operacionit bazë të fluturës). Algoritmi paralelizohet lehtësisht duke përdorur një operacion bazë dhe tubacion, dhe gjithashtu kaskadohet lehtësisht (koeficientët FFT për mostrat 2N mund të merren lehtësisht duke konvertuar koeficientët e dy FFT-ve mbi mostrat N, të marra nga "decimation" përmes një prej mostrave origjinale 2N ). Algoritmi është i thjeshtë dhe kompakt, nuk kërkon RAM shtesë dhe lejon përpunimin e të dhënave "në vend". Ekzistojnë një numër i përpunuesve DSP të optimizuar posaçërisht për këtë algoritëm (ky është edhe shkak dhe pasojë).

E gjithë kjo përcaktoi popullaritetin e këtij algoritmi të veçantë në mjedisin inxhinierik/programues dhe, në përputhje me rrethanat, zgjedhjen 2k mostrat kur përdorni FFT. Vërtetë, gjatë rrugës, kjo çoi në harrimin e pamerituar të algoritmeve alternative nga masat e gjera, disa prej të cilave (të cilat duhet theksuar) kërkojnë më pak operacione reale për mostër sesa algoritmi Cooley-Tukey. Për shembull, pata mundësinë të lexoja një përshkrim të një algoritmi që ishte 20-40% më i lartë se algoritmi Cooley-Tukey për sa i përket këtij treguesi (në varësi të numrit të mostrave).

© Sergej Boçkanov, Oleg Krasnoyarov

Një nga mjetet e fuqishme për studimin e problemeve në fizikën matematikore është metoda e transformimeve integrale. Le të jepet funksioni f(x) në një interval (a, 6), të fundëm ose të pafund. Një transformim integral i një funksioni f(x) është një funksion ku K(x, w) është një funksion i fiksuar për një transformim të caktuar, i quajtur bërthama e transformimit (supozohet se integrali (*) ekziston në të vërtetën e tij ose kuptim jo i duhur). §1. Integral Furier Çdo funksion f(x), i cili në intervalin [-f, I] plotëson kushtet e zgjerimit në një seri Furier, mund të përfaqësohet në këtë interval nga një seri trigonometrike a* dhe 6" e serisë (. 1) përcaktohen nga formulat Euler-Fourier: TRANSFORMI FOURIER integral Furier Forma komplekse e transformimit integral Furier Transformimi i kosinusit dhe sinusit Amplituda dhe spektri fazor Vetitë Aplikimet Seria në anën e djathtë të barazisë (1) mund të shkruhet në një formë tjetër . Për këtë qëllim, ne futim në të nga formula (2) vlerat e koeficientëve a" dhe op, vendosim cos ^ x dhe sin x nën shenjat e integraleve (gjë që është e mundur, pasi ndryshorja e integrimit është m) O) dhe përdorni formulën për kosinusin e diferencës. Do të kemi nëse funksioni /(x) fillimisht është përcaktuar në një interval të boshtit numerik më të madh se segmenti [-1,1] (për shembull, në të gjithë boshtin), atëherë zgjerimi (3) do të riprodhojë vlerat ​i këtij funksioni vetëm në segmentin [-1, 1] dhe do të vazhdojë në të gjithë boshtin numerik si një funksion periodik me një periudhë 21 (Fig. 1). Prandaj, nëse funksioni f(x) (në përgjithësi, jo periodik) përcaktohet në të gjithë vijën numerike, në formulën (3) mund të përpiqemi të shkojmë në kufirin në I +oo. Në këtë rast, është e natyrshme të kërkohet që të plotësohen kushtet e mëposhtme: 1. f(x) plotëson kushtet e zgjerimit në një seri Furier në çdo segment të fundëm të boshtit Ox\ 2. funksioni f(x) është absolutisht i integrueshëm në të gjithë vijën numerike reale Nëse plotësohet kushti 2, termi i parë në anën e djathtë të barazisë (3) pasi I -* +oo tenton në zero. Në fakt, le të përpiqemi të përcaktojmë se në çfarë shndërrohet shuma në anën e djathtë të (3) në kufirin në I +oo. Le të supozojmë se atëherë shuma në anën e djathtë të (3) merr formën Për shkak të konvergjencës absolute të integralit, kjo shumë për I madh ndryshon pak nga shprehja që i ngjan shumës integrale për një funksion të ndryshores £ e përpiluar. për intervalin (0, +oo) të ndryshimit Prandaj, është e natyrshme të pritet që për shumën (5) të kalojë në integral barazia Kushti i mjaftueshëm për vlefshmërinë e formulës (7) shprehet me teoremën e mëposhtme. Teorema 1. Nëse funksioni f(x) është absolutisht i integrueshëm në të gjithë drejtëzën e numrave realë dhe ka, së bashku me derivatin e tij, një numër të kufizuar pikash ndërprerjeje të llojit të parë në çdo interval [a, 6], atëherë barazia vlen : Për më tepër, në çdo pikë xq që është një funksion i pikës së ndërprerjes 1 f(x) i llojit të th, vlera e integralit në anën e djathtë të (7) është e barabartë me Formulën (7) quhet formula integrale e Furierit, dhe integrali në anën e djathtë të tij quhet integrali Furier. Nëse përdorim formulën për kosinusin e diferencës, atëherë formula (7) mund të shkruhet në formën. Funksionet a(ξ), b(ζ) janë analoge të koeficientëve përkatës Furier an dhe bn të një funksioni periodik 2m. , por këto të fundit përcaktohen për vlera diskrete të n, ndërsa dhe, padyshim, një funksion tek i Por atëherë, nga ana tjetër, integrali është një funksion çift i ndryshores, kështu që formula integrale e Furierit mund të jetë shkruhet si më poshtë: Shumëzoni barazinë me njësinë imagjinare i dhe shtoni barazisë (10) Ne marrim nga ku, në bazë të formulës së Euler-it, kjo është forma komplekse e integralit të Furierit Kuptohet në kuptimin e vlerës kryesore të Cauchy: §2 Transformimi i Furierit Kosinusi dhe sinusi Lëreni funksionin f(x) të jetë i qetë në çdo segment të fundëm të boshtit Ox. Përkufizimi. Funksioni nga i cili, në bazë të formulës së Euler-it, do të kemi quhet transformimi Furier i funksionit /(r) (funksioni spektral). Ky është transformimi integral i funksionit f(r) në intervalin (-oo,+oo) me bërthamën Duke përdorur formulën integrale të Furierit, ky është i ashtuquajturi transformim i anasjelltë i Furierit, i cili jep kalimin nga F. (t) në f(x). Ndonjëherë transformimi i drejtpërdrejtë i Furierit përcaktohet si më poshtë: Pastaj transformimi i anasjelltë i Furierit përcaktohet me formulën Transformimi Furier i funksionit /(x) përcaktohet gjithashtu si më poshtë: TRANSFORMA FURIERE Integral Furier Forma komplekse e transformimit integral të Furierit Kosinus dhe sinus. transformon spektrin e amplitudës dhe fazës Vetitë e aplikimit Pastaj, nga ana tjetër, Në këtë rast, pozicioni i faktorit ^ është mjaft arbitrar: ai mund të përfshihet ose në formulën (1") ose në formulën (2"). Shembulli 1. Gjeni transformimin Furier të funksionit -4 Kemi Kjo barazi lejon diferencimin në lidhje me £ nën shenjën integrale (integrali i marrë pas diferencimit konvergon në mënyrë të njëtrajtshme kur ( i përket ndonjë segmenti të fundëm): Duke integruar sipas pjesëve, do të kemi Termi jashtë integral zhduket, dhe ne arrijmë nga ku (C është konstanta e integrimit). Duke vendosur £ = 0 në (4), gjejmë C = F(0). Në bazë të (3), ne kemi Dihet se në veçanti, për) marrim atë Shembullin 2 (shkarkimi i kokdemsetorit përmes kopropilenit). Le të shqyrtojmë funksionin 4 Për spektrat e funksionit F(ξ), marrim Prandaj (Fig. 2). Kushti për integrueshmërinë absolute të funksionit f(x) në të gjithë boshtin numerik është shumë i rreptë. Ai përjashton, për shembull, funksione të tilla elementare si) = cos x, f(x) = e1, për të cilat transformimi Furier (në formën klasike të konsideruar këtu) nuk ekziston. Vetëm ato funksione që tentojnë shpejt në zero si |x| kanë një transformim Furier. -+ +oo (si në shembujt 1 dhe 2). 2.1. Transformimet e kosinusit dhe sinusit të Furierit Duke përdorur formulën e kosinusit dhe diferencës, ne rishkruajmë formulën integrale të Furierit në formën e mëposhtme: Le të jetë f(x) një funksion çift. Atëherë kemi barazinë (5) Në rastin e f(x) tek, marrim në mënyrë të ngjashme nëse f(x) jepet vetëm në (0, -foo), atëherë formula (6) shtrihet f(x) në të gjithë. Boshti i kaut në mënyrë çift, dhe formula (7) - tek. (7) Përkufizim. Funksioni quhet transformimi i kosinusit Furier i f(x). Nga (6) rrjedh se për një funksion çift f(x) Kjo do të thotë se f(x), nga ana tjetër, është një transformim kosinus për Fc(£). Me fjalë të tjera, funksionet / dhe Fc janë transformime të ndërsjella kosinus. Përkufizimi. Funksioni quhet transformimi i sinusit Furier i f(x). Nga (7) marrim se për një funksion tek f(x), d.m.th. f dhe Fs janë shndërrime të ndërsjella sinus. Shembulli 3 (pulsi drejtkëndor). Le të jetë f(t) një funksion çift i përcaktuar si më poshtë: (Fig. 3). Le të përdorim rezultatin e marrë për të llogaritur integralin Në bazë të formulës (9), kemi Fig. 3 0 0 Në pikën t = 0, funksioni f(t) është i vazhdueshëm dhe i barabartë me njësinë. Prandaj, nga (12") marrim 2.2. Spektrat e amplitudës dhe fazeve të integralit Furier Le të zgjerohet funksioni periodik /(x) me një periodë prej 2m në një seri Furier.Kjo barazi mund të shkruhet në formën ku është amplituda e lëkundjes me frekuencë n, është faza Në këtë rrugë vijmë te konceptet e amplitudës dhe spektrit fazor të një funksioni periodik, të dhënë në (-oo, +oo ), në kushte të caktuara rezulton të jetë e mundur të përfaqësohet me një integral Furier që zgjeron këtë funksion mbi të gjitha frekuencat (zgjerimi mbi një spektër të vazhdueshëm të frekuencës Përkufizimi i funksionit spektral, ose densiteti spektral i integralit Furier). shprehja (transformimi i drejtpërdrejtë i Furierit i funksionit f quhet spektër amplitudë, dhe funksioni Ф«) = -аggSfc) është spektri fazor i funksionit f(«). Spektri i amplitudës A(ξ) shërben si masë e kontributit të frekuencës ζ në funksionin f(x). Shembulli 4. Gjeni spektrin e amplitudës dhe fazës së funksionit 4 Gjeni funksionin spektral Nga këtu Grafikët e këtyre funksioneve janë paraqitur në Fig. 4. §3. Vetitë e transformimit të Furierit 1. Lineariteti. Nëse dhe G(0) janë transformimet Furiere të funksioneve f(x) dhe d(x), përkatësisht, atëherë për çdo konstante a dhe p transformimi Furier i funksionit a f(x) + p d(x) do të jetë Funksioni a Duke përdorur vetinë e linearitetit të integralit, kemi Pra, transformimi i Furierit është një operator linear në të gjithë boshtin numerik, atëherë F(()) është i kufizuar për të gjithë Përkufizimi i transformimit të Furierit, tregoni se funksioni f(z) të ketë transformimin Furier F(0> h - një numër real.Tregoni se 3. Ekuacionet e transformimit dhe diferencimit të Furierit. Le të jetë f një funksion absolutisht i integrueshëm. (x) ka një derivat f"(x), i cili është gjithashtu absolutisht i integrueshëm në të gjithë boshtin Ox, kështu që f(x) tenton në zero si |x| -" +oo. Duke e konsideruar f"(x) si një funksion të qetë, shkruajmë Integrimi me pjesë, do të kemi termin jashtëintegral zhduket (pasi, dhe marrim Kështu, diferencimi i funksionit /(x) korrespondon me shumëzimin e tij Imazhi Furier ^Π/] nga faktori Nëse funksioni f (x) ka derivate të qetë, absolutisht të paqartë deri në rendin m përfshirës, ​​dhe të gjithë, si vetë funksioni f(x), priren në zero, ndërsa integrohen sipas pjesëve numrin e kërkuar të herëve, marrim Transformimi Furier është shumë i dobishëm pikërisht sepse zëvendëson veprimin e diferencimit me veprimin e shumëzimit me një vlerë dhe në këtë mënyrë thjeshton problemin e integrimit të disa llojeve të ekuacioneve diferenciale që nga transformimi i një absolutisht Funksioni i integrueshëm f^k\x) është një funksion i kufizuar i (vetia 2), atëherë nga relacioni (2) marrim vlerësimin e mëposhtëm për: TRANSFORMA FURIERE integrale Forma komplekse e transformimit integral të Furierit Transformimi i kosinusit dhe sinusit Amplituda dhe faza. Vetitë e spektrit Aplikime Nga ky vlerësim rrjedh: sa më shumë funksioni f(x) të ketë derivate absolutisht të integrueshëm, aq më shpejt transformimi i tij Furier tenton në zero në. Komentoni. Gjendja është krejt e natyrshme, pasi teoria e zakonshme e integraleve të Furierit merret me procese që në një kuptim ose në një tjetër kanë një fillim dhe mbarim, por nuk vazhdojnë pafundësisht me përafërsisht të njëjtin intensitet. 4. Lidhja ndërmjet shkallës së zvogëlimit të funksionit f(x) si |z| -» -f oo dhe butësia e transformimit të saj Fourm. Le të supozojmë se jo vetëm f(x), por edhe produkti i tij xf(x) është një funksion absolutisht i integrueshëm në të gjithë boshtin Ox. Atëherë transformimi Furier) do të jetë një funksion i diferencueshëm. Në të vërtetë, diferencimi formal në lidhje me parametrin £ të integrandit çon në një integral që është absolutisht dhe uniformisht në lidhje me parametrin, prandaj, diferencimi është i mundur, dhe kështu, d.m.th., veprimi i shumëzimit të f(x) me argumenti x shkon pas transformimit të Furierit në operacionin t. Nëse së bashku me funksionin f(x), funksionet janë absolutisht të integrueshëm në të gjithë boshtin Ox, atëherë procesi i diferencimit mund të vazhdohet. Ne marrim se funksioni ka derivate deri në rendin m përfshirës, ​​dhe kështu, sa më shpejt të zvogëlohet funksioni f(x), aq më i butë bëhet teorema 2 (rreth stërvitjes). Le të jenë transformimet Furiere të funksioneve f,(x) dhe f2(x), përkatësisht. Atëherë ku integrali i dyfishtë në anën e djathtë konvergon absolutisht. Le të vendosim - x. Atëherë do të kemi ose, duke ndryshuar rendin e integrimit, Funksioni quhet konvolucioni i funksioneve dhe shënohet me simbolin Formula (1) tani mund të shkruhet si më poshtë: Kjo tregon se transformimi Furier i konvolucionit të funksioneve f. \(x) dhe f2(x) është e barabartë me y/2x shumëzuar me produktin e transformimeve të Furierit të funksioneve të ndërlidhura. Nuk është e vështirë të përcaktohen vetitë e mëposhtme të konvolucionit: 1) lineariteti: 2) komutativiteti: §4. Zbatimet e transformimit Furier 1. Le të jetë P(^) një operator diferencial linear i rendit m me koeficientë konstante Duke përdorur formulën për transformimin Furier të derivateve të funksionit y(x), gjejmë "Shqyrtoni ekuacionin diferencial ku P. është operatori diferencial i prezantuar më sipër Supozojmë se zgjidhja e dëshiruar y(x) ka transformimin Furier y (O. dhe funksioni f(x) ka transformimin /(£) Duke zbatuar transformimin Furier në ekuacionin (1). në vend të një ekuacioni algjebrik diferencial në boshtin në lidhje me ku, kështu që formalisht ku simboli shënon transformimin e anasjelltë të Furierit Kufizimi kryesor i zbatueshmërisë së kësaj metode është për faktin e mëposhtëm: zgjidhja e një ekuacioni diferencial të zakonshëm me koeficientë konstante përmban funksionet e formës eL*, eaz cos fix, eax sin рх Ato nuk janë absolutisht të integrueshme në boshtin -oo.< х < 4-оо, и преобразование Фурье для них не определено, так что, строго говоря, применятьданный метод нельзя. Это ограничение можно обойти, если ввести в рассмотрение так называемые обобщенные функции. Однако в ряде случаев преобразование Фурье все же применимо в своей классической форме. Пример. Найти решение а = а(х, t) уравнения (а = const), при начальных условиях Это - задача о свободных колебаниях бесконечной однородной струны, когда задано начальное отклонение <р(х) точек сгруны, а начальные скорости отсутствуют. 4 Поскольку пространственная переменная х изменяется в пределах от -оо до +оо, подвергнем уравнение и начальные условия преобразованию Фурье по переменной х. Будем предполагать, что 1) функции и(х, t) и

Unë besoj se të gjithë janë përgjithësisht të vetëdijshëm për ekzistencën e një mjeti kaq të mrekullueshëm matematikor si transformimi i Furierit. Megjithatë, për disa arsye mësohet aq dobët në universitete sa që relativisht pak njerëz e kuptojnë se si funksionon ky transformim dhe si duhet përdorur në mënyrë korrekte. Ndërkohë, matematika e këtij transformimi është çuditërisht e bukur, e thjeshtë dhe elegante. I ftoj të gjithë të mësojnë pak më shumë rreth transformimit Fourier dhe temës përkatëse se si sinjalet analoge mund të shndërrohen në mënyrë efektive në sinjale dixhitale për përpunimin llogaritës.

Pa përdorur formula komplekse dhe Matlab, do të përpiqem t'u përgjigjem pyetjeve të mëposhtme:

• FT, DTF, DTFT - cilat janë ndryshimet dhe si formulat në dukje krejtësisht të ndryshme japin rezultate të tilla konceptualisht të ngjashme?
• Si të interpretoni saktë rezultatet e transformimit të shpejtë të Furierit (FFT).
• Çfarë duhet të bëni nëse ju jepet një sinjal prej 179 mostrash dhe FFT kërkon një sekuencë hyrëse me gjatësi të barabartë me një fuqi prej dy
• Pse, kur përpiqeni të merrni spektrin e një sinusoidi duke përdorur Furierin, në vend të "shkopit" të vetëm të pritshëm, shfaqet në grafik një shtrëngim i çuditshëm dhe çfarë mund të bëhet për të
• Pse vendosen filtrat analogë para ADC dhe pas DAC?
• A është e mundur të dixhitalizohet një sinjal ADC me një frekuencë më të madhe se gjysma e frekuencës së kampionimit (përgjigja e shkollës është e pasaktë, përgjigjja e saktë është e mundur)
• Si të rivendosni sinjalin origjinal duke përdorur një sekuencë dixhitale

Unë do të vazhdoj nga supozimi se lexuesi kupton se çfarë është një integral, një numër kompleks (si dhe moduli dhe argumenti i tij), konvolucioni i funksioneve, plus të paktën një ide "praktike" se çfarë funksioni delta e Diracit është. Nëse nuk e dini, nuk ka problem, lexoni lidhjet e mësipërme. Gjatë gjithë këtij teksti, me "produkt i funksioneve" do të nënkuptoj "shumëzimin në pikë"

Ndoshta duhet të fillojmë me faktin se transformimi i zakonshëm i Furierit është një lloj gjëje që, siç mund ta merrni me mend nga emri, transformon një funksion në një tjetër, domethënë, lidh çdo funksion të një ndryshoreje reale x(t) me spektri ose imazhi Furier y (w):

Nëse japim analogji, atëherë një shembull i një transformimi të ngjashëm në kuptim mund të jetë, për shembull, diferencimi, duke e kthyer një funksion në derivatin e tij. Kjo do të thotë, transformimi Furier është në thelb i njëjti veprim si marrja e derivatit, dhe shpesh shënohet në një mënyrë të ngjashme duke vizatuar një "kapakë" trekëndore mbi funksion. Vetëm në ndryshim nga diferencimi, i cili mund të përcaktohet edhe për numrat realë, transformimi Furier "punon" gjithmonë me numra komplekse më të përgjithshëm. Për shkak të kësaj, vazhdimisht lindin probleme me shfaqjen e rezultateve të këtij transformimi, pasi numrat kompleks përcaktohen jo nga një, por nga dy koordinata në një grafik që vepron me numra realë. Mënyra më e përshtatshme, si rregull, është të paraqisni numrat kompleks në formën e një moduli dhe një argumenti dhe t'i vizatoni ato veçmas si dy grafikë të veçantë:

Grafiku i argumentit të vlerës komplekse shpesh quhet në këtë rast "spektri i fazës", dhe grafiku i modulit shpesh quhet "spektri i amplitudës". Spektri i amplitudës është zakonisht me interes shumë më të madh, dhe për këtë arsye pjesa "fazore" e spektrit shpesh anashkalohet. Në këtë artikull do të përqendrohemi edhe në gjërat e "amplitudës", por nuk duhet të harrojmë ekzistencën e pjesës së fazës që mungon në grafik. Përveç kësaj, në vend të modulit të zakonshëm të një vlere komplekse, logaritmi i tij dhjetor i shumëzuar me 10 vizatohet shpesh. Rezultati është një grafik logaritmik, vlerat e të cilit shfaqen në decibel (dB).

Ju lutemi vini re se numrat jo shumë negativë në grafikun logaritmik (-20 dB ose më pak) korrespondojnë me pothuajse zero numra në grafikun "normal". Prandaj, "bishtet" e gjata dhe të gjera të spektrave të ndryshëm në grafikë të tillë, kur shfaqen në koordinata "të zakonshme", si rregull, praktikisht zhduken. Komoditeti i një përfaqësimi kaq të çuditshëm në shikim të parë lind nga fakti se imazhet Furier të funksioneve të ndryshme shpesh duhet të shumëfishohen mes tyre. Me një shumëzim të tillë pikësor të imazheve Furier me vlerë komplekse, spektrat e tyre fazor shtohen dhe spektri i amplitudës së tyre shumëzohet. E para është e lehtë për t'u bërë, ndërsa e dyta është relativisht e vështirë. Megjithatë, logaritmet e amplitudës mblidhen kur shumëzohen amplituda, kështu që grafikët e amplitudës logaritmike mund të shtohen, si grafikët e fazës, thjesht në drejtim të pikës. Për më tepër, në problemet praktike shpesh është më i përshtatshëm të operohet jo me "amplitudën" e sinjalit, por me "fuqinë" e tij (katrori i amplitudës). Në një shkallë logaritmike, të dy grafikët (amplituda dhe fuqia) duken identike dhe ndryshojnë vetëm në koeficient - të gjitha vlerat në grafikun e fuqisë janë saktësisht dy herë më të mëdha se në shkallën e amplitudës. Prandaj, për të vizatuar një grafik të shpërndarjes së energjisë sipas frekuencës (në decibel), nuk mund të vendosni asgjë në katror, ​​por të llogaritni logaritmin dhjetor dhe ta shumëzoni atë me 20.

A je i mërzitur? Vetëm prisni edhe pak, së shpejti do të mbarojmë me pjesën e mërzitshme të artikullit që shpjegon se si të interpretoni grafikët :). Por para kësaj, ka një gjë jashtëzakonisht të rëndësishme për t'u kuptuar: megjithëse të gjithë grafikët e spektrit të mësipërm janë tërhequr për disa vargje të kufizuara vlerash (në veçanti numrat pozitivë), të gjithë këta grafikë në të vërtetë vazhdojnë në pafundësi plus dhe minus. Grafikët thjesht përshkruajnë një pjesë "më kuptimplote" të grafikut, e cila zakonisht pasqyrohet për vlerat negative të parametrit dhe shpesh përsëritet periodikisht me një hap të caktuar kur shihet në një shkallë më të madhe.

Pasi të kemi vendosur se çfarë vizatohet në grafikë, le të kthehemi te transformimi i Furierit dhe vetitë e tij. Ka disa mënyra të ndryshme për të përcaktuar këtë transformim, që ndryshojnë në detaje të vogla (normalizime të ndryshme). Për shembull, në universitetet tona, për disa arsye, ata shpesh përdorin normalizimin e transformimit Fourier, i cili përcakton spektrin në terma të frekuencës këndore (radianët për sekondë). Unë do të përdor një formulim perëndimor më të përshtatshëm që përcakton spektrin në terma të frekuencës së zakonshme (herc). Transformimet e drejtpërdrejta dhe të anasjellta të Furierit në këtë rast përcaktohen nga formulat në të majtë, dhe disa veti të këtij transformimi që do të na duhen përcaktohen nga një listë me shtatë pika në të djathtë:

E para nga këto veti është lineariteti. Nëse marrim një kombinim linear funksionesh, atëherë transformimi Furier i këtij kombinimi do të jetë i njëjti kombinim linear i imazheve Furier të këtyre funksioneve. Kjo veti lejon që funksionet komplekse dhe imazhet e tyre Furier të reduktohen në më të thjeshta. Për shembull, transformimi Furier i një funksioni sinusoidal me frekuencë f dhe amplitudë a është një kombinim i dy funksioneve delta të vendosura në pikat f dhe -f dhe me koeficientin a/2:

Nëse marrim një funksion të përbërë nga shuma e një grupi sinusoidësh me frekuenca të ndryshme, atëherë sipas vetive të linearitetit, transformimi Furier i këtij funksioni do të përbëhet nga një bashkësi përkatëse funksionesh delta. Kjo na lejon të japim një interpretim naiv, por vizual të spektrit sipas parimit "nëse në spektrin e një funksioni frekuenca f korrespondon me amplituda a, atëherë funksioni origjinal mund të përfaqësohet si një shumë e sinusoideve, njëri prej të cilëve do të jetë një sinusoid me frekuencë f dhe amplitudë 2a. Në mënyrë të rreptë, ky interpretim është i pasaktë, pasi funksioni delta dhe pika në grafik janë gjëra krejtësisht të ndryshme, por siç do të shohim më vonë, për transformimet diskrete të Furierit nuk do të jetë aq larg nga e vërteta.

Vetia e dytë e transformimit Furier është pavarësia e spektrit të amplitudës nga zhvendosja kohore e sinjalit. Nëse lëvizim një funksion majtas ose djathtas përgjatë boshtit x, atëherë vetëm spektri i tij fazor do të ndryshojë.

Vetia e tretë është se shtrirja (ngjeshja) e funksionit origjinal përgjatë boshtit të kohës (x) ngjesh në mënyrë proporcionale (zgjat) imazhin e tij Furier përgjatë shkallës së frekuencës (w). Në veçanti, spektri i një sinjali me kohëzgjatje të kufizuar është gjithmonë pafundësisht i gjerë dhe, anasjelltas, spektri i gjerësisë së fundme korrespondon gjithmonë me një sinjal me kohëzgjatje të pakufizuar.

Karakteristikat e katërt dhe të pestë janë ndoshta më të dobishmet nga të gjitha. Ato bëjnë të mundur reduktimin e konvolucionit të funksioneve në një shumëzim pikësor të imazheve të tyre Furier, dhe anasjelltas - shumëzimin pikësor të funksioneve në konvolucionin e imazheve të tyre Furier. Pak më tej do të tregoj se sa i përshtatshëm është kjo.

Vetia e gjashtë flet për simetrinë e imazheve të Furierit. Në veçanti, nga kjo veti rrjedh se në transformimin Furier të një funksioni me vlerë reale (d.m.th., çdo sinjal "real"), spektri i amplitudës është gjithmonë një funksion i barabartë, dhe spektri i fazës (nëse sillet në intervalin -pi ...pi) është një tek . Është për këtë arsye që pjesa negative e spektrit pothuajse kurrë nuk vizatohet në grafikët e spektrit - për sinjalet me vlerë reale nuk jep ndonjë informacion të ri (por, e përsëris, nuk është as zero).

Së fundi, vetia e fundit, e shtatë, thotë se transformimi Furier ruan "energjinë" e sinjalit. Është kuptimplotë vetëm për sinjalet me kohëzgjatje të kufizuar, energjia e të cilave është e fundme, dhe sugjeron që spektri i sinjaleve të tilla në pafundësi i afrohet shpejt zeros. Është pikërisht për shkak të kësaj vetie që grafikët e spektrit zakonisht përshkruajnë vetëm pjesën "kryesore" të sinjalit, e cila mbart pjesën e luanit të energjisë - pjesa tjetër e grafikut thjesht tenton në zero (por, përsëri, nuk është zero).

Të armatosur me këto 7 veti, le të shohim matematikën e "dixhitalizimit" të sinjalit, e cila ju lejon të shndërroni një sinjal të vazhdueshëm në një sekuencë numrash. Për ta bërë këtë, ne duhet të marrim një funksion të njohur si "krehja Dirac":

Një krehër Dirac është thjesht një sekuencë periodike funksionesh delta me koeficient uniteti, duke filluar nga zero dhe duke vazhduar me hapin T. Për të dixhitalizuar sinjalet, T zgjidhet një numër sa më i vogël që të jetë e mundur, T<<1. Фурье-образ этой функции - тоже гребенка Дирака, только с гораздо большим шагом 1/T и несколько меньшим коэффициентом (1/T). С математической точки зрения, дискретизация сигнала по времени - это просто поточечное умножение исходного сигнала на гребенку Дирака. Значение 1/T при этом называют частотой дискретизации:

Në vend të një funksioni të vazhdueshëm, pas shumëzimit të tillë, fitohet një sekuencë pulsesh delta me një lartësi të caktuar. Për më tepër, sipas vetive 5 të transformimit Furier, spektri i sinjalit diskret që rezulton është një konvolucion i spektrit origjinal me krehën përkatëse të Dirakut. Është e lehtë të kuptohet se, bazuar në vetitë e konvolucionit, spektri i sinjalit origjinal "kopjohet" një numër i pafundëm herë përgjatë boshtit të frekuencës me një hap 1/T, dhe më pas përmblidhet.

Vini re se nëse spektri origjinal kishte një gjerësi të kufizuar dhe ne kemi përdorur një frekuencë mjaft të lartë të marrjes së mostrave, atëherë kopjet e spektrit origjinal nuk do të mbivendosen dhe për këtë arsye nuk do të përmblidhen me njëra-tjetrën. Shtë e lehtë të kuptohet se nga një spektër i tillë "i shembur" do të jetë e lehtë të rivendosni origjinalin - do të mjaftojë thjesht të merrni përbërësin e spektrit në rajonin zero, duke "prerë" kopjet shtesë që shkojnë në pafundësi. Mënyra më e thjeshtë për ta bërë këtë është të shumëzoni spektrin me një funksion drejtkëndor të barabartë me T në intervalin -1/2T...1/2T dhe zero jashtë këtij diapazoni. Një transformim i tillë i Furierit korrespondon me funksionin sinc(Tx) dhe sipas vetive 4, një shumëzim i tillë është ekuivalent me konvolucionin e sekuencës origjinale të funksioneve delta me funksionin sinc(Tx)

Kjo do të thotë, duke përdorur transformimin Fourier, ne kemi një mënyrë për të rindërtuar lehtësisht sinjalin origjinal nga ai i kampionuar me kohë, duke punuar me kusht që të përdorim një frekuencë kampionimi që është të paktën dy herë (për shkak të pranisë së frekuencave negative në spektër) më e lartë se frekuenca maksimale e pranishme në sinjalin origjinal. Ky rezultat është i njohur gjerësisht dhe quhet "teorema Kotelnikov/Shannon-Nyquist". Megjithatë, siç është e lehtë të vërehet tani (duke kuptuar provën), ky rezultat, në kundërshtim me keqkuptimin e përhapur, përcakton mjaftueshëm, por jo e nevojshme kusht për rivendosjen e sinjalit origjinal. Gjithçka që na duhet është të sigurohemi që pjesa e spektrit që na intereson pas marrjes së mostrave të sinjalit të mos mbivendoset me njëra-tjetrën, dhe nëse sinjali është mjaft i ngushtë (ka një "gjerësi" të vogël të pjesës jozero të spektrit), atëherë ky rezultat shpesh mund të arrihet në një frekuencë kampionimi shumë më të ulët se dyfishi i frekuencës maksimale të sinjalit. Kjo teknikë quhet "nënmostrim" (nën-kampionimi, kampionimi i brezit) dhe përdoret mjaft gjerësisht në përpunimin e të gjitha llojeve të sinjaleve radio. Për shembull, nëse marrim një radio FM që funksionon në brezin e frekuencave nga 88 në 108 MHz, atëherë për ta dixhitalizuar atë mund të përdorim një ADC me një frekuencë prej vetëm 43,5 MHz në vend të 216 MHz të supozuar nga teorema e Kotelnikov. Sidoqoftë, në këtë rast, do t'ju duhet një ADC me cilësi të lartë dhe një filtër i mirë.

Më lejoni të vërej se "dyfishimi" i frekuencave të larta me frekuencat e rendit më të ulët (aliasing) është një veti e menjëhershme e kampionimit të sinjalit që "prish" në mënyrë të pakthyeshme rezultatin. Prandaj, nëse sinjali, në parim, mund të përmbajë frekuenca të rendit të lartë (domethënë pothuajse gjithmonë), një filtër analog vendoset përpara ADC, duke "prerë" gjithçka të panevojshme drejtpërdrejt në sinjalin origjinal (që pas marrjes së mostrës së tij do të jetë shumë vonë për ta bërë këtë). Karakteristikat e këtyre filtrave, si pajisje analoge, nuk janë ideale, kështu që ende ndodh një "dëmtim" i sinjalit, dhe në praktikë rrjedh se frekuencat më të larta në spektër janë, si rregull, jo të besueshme. Për të reduktuar këtë problem, sinjali shpesh ekzaminohet, duke vendosur filtrin analog të hyrjes në një gjerësi bande më të ulët dhe duke përdorur vetëm pjesën e poshtme të diapazonit të frekuencës teorikisht të disponueshme të ADC.

Një tjetër keqkuptim i zakonshëm, nga rruga, është kur sinjali në daljen DAC tërhiqet në "hapa". "Hapat" korrespondojnë me konvolucionin e një sekuence sinjali të mostrës me një funksion drejtkëndor të gjerësisë T dhe lartësisë 1:

Spektri i sinjalit me këtë transformim shumëzohet me imazhin Furier të këtij funksioni drejtkëndor, dhe për një funksion të ngjashëm drejtkëndor ai përsëri është sinc(w), "shtrihet" sa më shumë, aq më e vogël është gjerësia e drejtkëndëshit përkatës. Spektri i sinjalit të kampionuar me një "DAC" të tillë shumëzohet pikë për pikë me këtë spektër. Në këtë rast, frekuencat e panevojshme të larta me "kopje shtesë" të spektrit nuk janë prerë plotësisht, por pjesa e sipërme e pjesës "të dobishme" të spektrit, përkundrazi, zbutet.

Në praktikë, natyrisht, askush nuk e bën këtë. Ka shumë qasje të ndryshme për ndërtimin e një DAC, por edhe në DAC-të më të afërta të tipit të peshimit, impulset drejtkëndëshe në DAC, përkundrazi, zgjidhen të jenë sa më të shkurtër që të jetë e mundur (duke iu afruar sekuencës reale të funksioneve delta) sipas rendit për të shmangur shtypjen e tepërt të pjesës së dobishme të spektrit. Frekuencat "shtesë" në sinjalin broadband që rezulton anulohen pothuajse gjithmonë duke kaluar sinjalin përmes një filtri analog me kalim të ulët, në mënyrë që të mos ketë "hapa dixhitalë" as "brenda" konvertuesit ose, veçanërisht, në daljen e tij.

Megjithatë, le të kthehemi te transformimi Fourier. Transformimi i Furierit i përshkruar më sipër i aplikuar në një sekuencë sinjali të para-kampionuar quhet Transformimi i Furierit në Kohë Diskrete (DTFT). Spektri i marrë nga një transformim i tillë është gjithmonë 1/T-periodik, prandaj spektri DTFT përcaktohet plotësisht nga vlerat e tij në intervalin dt =

= (1/2p)s(t)H(w") exp(-j(w-w")t) dw"dt =

(1/2p)H(w") dw"s(t) exp(-j(w-w")t) dt =

= (1/2p)H(w") S(w-w") dw" = (1/2p) H(w) * S(w) (4.29)

Kështu, produkti i funksioneve në formë koordinative shfaqet në paraqitjen e frekuencës me anë të konvolucionit të imazheve Furier të këtyre funksioneve, me një faktor normalizues (1/2p), duke marrë parasysh asimetrinë e transformimeve të drejtpërdrejta dhe të anasjellta të Furierit të funksioneve s(t) dhe h(t) kur përdoren frekuenca këndore .

9. Derivati ​​i konvolucionit dy funksione s"(t) = d/dt.

Duke përdorur shprehjet (4.26) dhe (4.28), marrim:

s"(t) = jw = (jw X(w)) Y(w) = X(w) (jw Y(w).

s"(t) = x"(t) * y(t) = x(t) * y"(t).

Kjo shprehje ju lejon të llogaritni derivatin e një sinjali duke e zbutur njëkohësisht atë me një funksion peshimi që është derivati ​​i një funksioni zbutës (për shembull, një Gaussian).

10. Spektrat e fuqisë. Funksioni kohor i fuqisë së sinjalit në formë të përgjithshme përcaktohet nga shprehja:

w(t) = s(t) s * (t) = |s(t)| 2.

Dendësia e fuqisë spektrale, në përputhje me rrethanat, është e barabartë me transformimin Furier të produktit s(t) s * (t), i cili do të shfaqet në paraqitjen spektrale me konvolucionin e imazheve Furier të këtyre funksioneve:

W(f) = S(f) * S * (f) =S(f) S * (f-v) dv. (4.30)

Por për të gjitha vlerat aktuale të frekuencës f, integrali në anën e djathtë të kësaj shprehjeje është i barabartë me produktin S(f)·S * (f), pasi për të gjitha vlerat e zhvendosjes v ≠ 0, për shkak ndaj ortogonalitetit të harmonikave S(f) dhe S * (f-v), vlerat prodhimet e tyre janë të barabarta me zero. Nga këtu:

W(f) = S(f) * S * (f) = |S(f)| 2. (4.31)

Spektri i fuqisë është një funksion real, madje jo negativ, i cili shpesh quhet spektri i energjisë. Spektri i fuqisë, si katrori i modulit të spektrit të sinjalit, nuk përmban informacione fazore në lidhje me komponentët e frekuencës, dhe, për rrjedhojë, rindërtimi i sinjalit nga spektri i fuqisë është i pamundur. Kjo gjithashtu do të thotë se sinjalet me karakteristika të ndryshme fazore mund të kenë të njëjtat spektra të fuqisë. Në veçanti, zhvendosja e sinjalit nuk ndikon në spektrin e tij të fuqisë.

Për funksionet e fuqisë së ndërveprimit të sinjalit në domenin e frekuencës, kemi përkatësisht spektrat e frekuencës së fuqisë së ndërveprimit të sinjalit:

W xy (f) = X(f) Y*(f),

W yx (f) = Y(f) X*(f),

W xy (f) = W* yx (f).

Funksionet e fuqisë së ndërveprimit të sinjalit janë komplekse, edhe nëse të dy funksionet x(t) dhe y(t) janë realë, ku Re është një funksion çift dhe Im është një tek. Prandaj, energjia totale e ndërveprimit të sinjalit kur integrohen funksionet e fuqisë së ndërveprimit përcaktohet vetëm nga pjesa reale e spektrit:

X(f) Y*(f) df.

Nga barazia e Parseval-it rezulton se produkti skalar i sinjaleve dhe normës në lidhje me transformimin Furier është i pandryshueshëm:

áx(t),y(t)ñ = áX(f),Y(f)ñ, ||x(t)|| 2 = ||X(f)|| 2.

Nuk duhet të harrojmë se kur përfaqësojmë spektrat në frekuenca rrethore (në w), ana e djathtë e barazive të dhëna duhet të përmbajë faktorin 1/2p.