Aplikacion

Zgjidhja e derivatit në faqe për të konsoliduar materialin e mbuluar nga studentët dhe nxënësit e shkollës. Llogaritja e derivatit të një funksioni në pak sekonda nuk duket e vështirë nëse përdorni shërbimin tonë të zgjidhjes së problemeve në internet. Çdo student i tretë do të jetë në gjendje të ofrojë një analizë të detajuar për një studim të plotë gjatë një mësimi praktik. Shpesh na kontaktojnë departamenti i drejtorisë përkatëse për promovimin e matematikës në institucionet arsimore të vendit. Në këtë rast, si mund të mos përmendim zgjidhjen e derivatit në internet për një hapësirë ​​të mbyllur të sekuencave të numrave? Shumë individë të pasur lejohen të shprehin hutimin e tyre. Por ndërkohë, matematikanët nuk rrinë ulur dhe punojnë shumë. Llogaritësi i derivateve do të pranojë ndryshime në parametrat e hyrjes bazuar në karakteristikat lineare kryesisht për shkak të supremit të pozicioneve zbritëse të kubeve. Rezultati është po aq i pashmangshëm sa sipërfaqja. Si të dhëna fillestare, derivati ​​online eliminon nevojën për të ndërmarrë hapa të panevojshëm. Përveç punëve të trilluara të shtëpisë. Përveç faktit që zgjidhja e derivateve në internet është një aspekt i domosdoshëm dhe i rëndësishëm i mësimit të matematikës, nxënësit shpesh nuk mbajnë mend probleme në të kaluarën. Studenti, duke qenë një krijesë dembel, e kupton këtë. Por studentët janë njerëz qesharak! Ose bëjeni atë sipas rregullave, ose derivati ​​i një funksioni në një plan të pjerrët mund t'i japë nxitim një pike materiale. Le ta drejtojmë diku vektorin e rrezes hapësinore në rënie. Në përgjigjen e kërkuar, gjetja e derivatit duket të jetë një drejtim teorik abstrakt për shkak të paqëndrueshmërisë së sistemit matematikor. Le të mendojmë për një lidhje numerike si një sekuencë opsionesh të papërdorura. Kanali i komunikimit u plotësua me një vijë të pestë përgjatë një vektori në rënie nga pika e bifurkacionit të mbyllur të kubit. Në rrafshin e hapësirave të lakuara, zgjidhja e derivatit në internet na çon në një përfundim që bëri që mendjet më të mëdha të planetit të mendojnë për të në shekullin e kaluar. Në rrjedhën e ngjarjeve në fushën e matematikës, pesë faktorë thelbësorë të rëndësishëm u sollën në diskutim publik që kontribuojnë në përmirësimin e pozicionit të përzgjedhjes së variablave. Pra, ligji për pikët thotë se derivati ​​online nuk llogaritet në detaje në çdo rast, i vetmi përjashtim është një moment progresiv besnik. Parashikimi na solli në një fazë të re zhvillimi. Ne kemi nevojë për rezultate. Në vijën e pjerrësisë matematikore të kaluar nën sipërfaqe, llogaritësi i derivatit të modalitetit ndodhet në zonën e kryqëzimit të produkteve në grupin e përkuljes. Mbetet të analizohet diferencimi i funksionit në pikën e tij të pavarur pranë lagjes epsilon. Të gjithë mund ta verifikojnë këtë në praktikë. Si rezultat, do të ketë diçka për të vendosur në fazën tjetër të programimit. Studenti ka nevojë për derivatin online si gjithmonë, pavarësisht nga kërkimi imagjinar që praktikohet. Rezulton se zgjidhja e derivatit në linjë e shumëzuar me një konstante nuk ndryshon drejtimin e përgjithshëm të lëvizjes së pikës materiale, por karakterizon rritjen e shpejtësisë përgjatë një vije të drejtë. Në këtë kuptim, do të jetë e dobishme të përdorim kalkulatorin tonë të derivateve dhe të llogarisim të gjitha vlerat e funksionit në të gjithë grupin e përkufizimit të tij. Nuk ka nevojë të studiohen valët e forcës të fushës gravitacionale. Në asnjë rast zgjidhja e derivateve në internet nuk do të tregojë prirjen e rrezes dalëse, por vetëm në raste të rralla, kur kjo është vërtet e nevojshme, studentët e universitetit mund ta imagjinojnë këtë. Le të hetojmë drejtorin. Vlera e rotorit më të vogël është e parashikueshme. Aplikoni në rezultatin e linjave që shikojnë djathtas, përgjatë të cilave përshkruhet topi, por llogaritësi i derivatit në internet është baza për shifrat me forcë të veçantë dhe varësi jolineare. Raporti i projektit të matematikës është gati. Karakteristikat personale: ndryshimi midis numrave më të vegjël dhe derivatit të një funksioni përgjatë boshtit të ordinatave do të sjellë konkavitetin e të njëjtit funksion në lartësi. Ka një drejtim - ka një përfundim. Është më e lehtë për të vënë në praktikë teorinë. Studentët kanë një propozim në lidhje me kohën e fillimit të studimit. Duhet një përgjigje e mësuesit. Përsëri, si me pozicionin e mëparshëm, sistemi matematikor nuk është i rregulluar mbi bazën e një veprimi që do të ndihmojë në gjetjen e derivatit.Ashtu si versioni më i ulët gjysmë-linear, derivati ​​online do të tregojë në detaje identifikimin e zgjidhjes sipas ligji i kushtëzuar i degjeneruar. Ideja e llogaritjes së formulave sapo është paraqitur. Diferencimi linear i një funksioni e devijon të vërtetën e zgjidhjes në paraqitjen thjesht të variacioneve pozitive të parëndësishme. Rëndësia e shenjave të krahasimit do të konsiderohet si një ndërprerje e vazhdueshme në funksion përgjatë boshtit. Kjo është rëndësia e përfundimit më të vetëdijshëm, sipas studentit, në të cilin derivati ​​online është diçka tjetër veçse një shembull besnik i analizës matematikore. Rrezja e një rrethi të lakuar në hapësirën Euklidiane, përkundrazi, i dha kalkulatorit të derivateve një paraqitje natyrale të shkëmbimit të problemeve vendimtare për stabilitetin. Është gjetur metoda më e mirë. Ishte më e lehtë për ta ngritur detyrën në një nivel. Lëreni zbatueshmërinë e proporcionit të diferencës së pavarur të çojë në zgjidhjen e derivateve në internet. Zgjidhja rrotullohet rreth boshtit të abshisës, duke përshkruar figurën e një rrethi. Ka një rrugëdalje dhe bazohet në kërkime të mbështetura teorikisht nga studentët e universitetit, nga të cilët studiojnë të gjithë, madje në ato momente të kohës ekziston një derivat i funksionit. Ne gjetëm një mënyrë për përparim dhe studentët e konfirmuan atë. Ne mund të përballojmë të gjejmë derivatin pa shkuar përtej qasjes së panatyrshme të transformimit të sistemit matematik. Shenja e proporcionalitetit të majtë rritet me sekuencën gjeometrike si një paraqitje matematikore e një kalkulatori të derivatit në internet për shkak të rrethanave të panjohura të faktorëve linearë në boshtin e pafundëm y. Matematikanët në mbarë botën kanë vërtetuar natyrën e jashtëzakonshme të procesit të prodhimit. Ekziston një katror më i vogël brenda një rrethi sipas përshkrimit të teorisë. Përsëri, derivati ​​online do të shprehë në detaje supozimin tonë për atë që mund të ndikojë në fillim të opinionit të rafinuar teorikisht. Ka pasur opinione të një natyre të ndryshme nga raporti i analizuar që kemi dhënë. Vëmendje e veçantë mund të mos ndodhë për studentët e fakulteteve tona, por jo për matematikanët e zgjuar dhe teknologjikisht të avancuar, për të cilët diferencimi i një funksioni është thjesht një justifikim. Kuptimi mekanik i derivatit është shumë i thjeshtë. Forca ngritëse llogaritet si derivat në linjë për hapsirat e qëndrueshme zbritëse në kohë. Llogaritësi i dukshëm derivat është një proces rigoroz për të përshkruar problemin e degjenerimit të një transformimi artificial si një trup amorf. Derivati ​​i parë tregon një ndryshim në lëvizjen e një pike materiale. Hapësira tredimensionale vërehet padyshim në kontekstin e teknologjive të trajnuara posaçërisht për zgjidhjen e derivateve në internet; në fakt, kjo është në çdo kolokium me temën e një disipline matematikore. Derivati ​​i dytë karakterizon ndryshimin e shpejtësisë së një pike materiale dhe përcakton nxitimin. Qasja meridiane e bazuar në përdorimin e transformimit afinal merr derivatin e një funksioni në një pikë nga fusha e përkufizimit të këtij funksioni në një nivel të ri. Një kalkulator i derivateve në internet nuk mund të ekzistojë pa numra dhe shënime simbolike në disa raste për momentin e duhur të ekzekutueshëm, përveç rregullimit të transformueshëm të gjërave në detyrë. Çuditërisht, ka një nxitim të dytë të pikës materiale; kjo karakterizon ndryshimin e nxitimit. Në një kohë të shkurtër, ne do të fillojmë të studiojmë zgjidhjen e derivatit në internet, por sapo të arrihet një moment historik i caktuar në njohuri, studenti ynë do ta ndalojë këtë proces. Mënyra më e mirë për të vendosur kontakte është të komunikoni drejtpërdrejt në një temë matematikore. Ka parime që nuk mund të shkelen në asnjë rrethanë, sado e vështirë të jetë detyra. Është e dobishme të gjesh derivatin në internet në kohë dhe pa gabime. Kjo do të çojë në një pozicion të ri të shprehjes matematikore. Sistemi është i qëndrueshëm. Kuptimi fizik i derivatit nuk është aq popullor sa ai mekanik. Nuk ka gjasa që dikush të kujtojë se si derivati ​​në internet shfaqi në detaje në plan skicën e linjave të funksionit në normale nga trekëndëshi ngjitur me boshtin e abshisë. Njeriu meriton një rol të madh në kërkimet e shekullit të kaluar. Le të dallojmë funksionin në pika si nga fusha e përkufizimit ashtu edhe në pafundësi në tre faza elementare. Do të jetë në formë të shkruar vetëm në fushën e kërkimit, por mund të zërë vendin e vektorit kryesor në matematikë dhe teorinë e numrave, sapo ajo që ndodh të lidhë kalkulatorin e derivateve online me problemin. Nëse do të kishte një arsye, do të kishte një arsye për të krijuar një ekuacion. Është shumë e rëndësishme të mbani parasysh të gjithë parametrat e hyrjes. Më e mira nuk pranohet gjithmonë kokë më kokë; pas kësaj qëndron një numër kolosal i mendjeve më të mira të punës që e dinin se si llogaritet derivati ​​online në hapësirë. Që atëherë, konveksiteti është konsideruar si një veti e një funksioni të vazhdueshëm. Megjithatë, është më mirë që fillimisht të vendosni detyrën e zgjidhjes së derivateve në internet në kohën më të shkurtër të mundshme. Kështu zgjidhja do të jetë e plotë. Përveç standardeve të paplotësuara, kjo nuk konsiderohet e mjaftueshme. Fillimisht, pothuajse çdo student propozon të parashtrojë një metodë të thjeshtë se si derivati ​​i një funksioni shkakton një algoritëm të diskutueshëm shtimi. Në drejtim të rrezes ngjitëse. Kjo ka kuptim si një propozim i përgjithshëm. Më parë, ne shënuam fillimin e përfundimit të një operacioni specifik matematikor, por sot do të jetë e kundërta. Ndoshta zgjidhja e derivatit online do ta ngrejë sërish çështjen dhe do të miratojmë një mendim të përbashkët për ta ruajtur gjatë diskutimit në mbledhjen e mësuesve. Shpresojmë për mirëkuptim nga të gjitha anët e pjesëmarrësve të takimit. Kuptimi logjik qëndron në përshkrimin e kalkulatorit të derivatit në rezonancën e numrave për sekuencën e paraqitjes së mendimit të problemit, të cilit iu përgjigjën në shekullin e kaluar shkencëtarët e mëdhenj të botës. Do t'ju ndihmojë të nxirrni një ndryshore komplekse nga një shprehje e transformuar dhe të gjeni derivatin në internet për të kryer një veprim masiv të të njëjtit lloj. E vërteta është shumë herë më e mirë se supozimet. Vlera më e ulët në trend. Rezultati nuk do të vonojë shumë kur përdorni një shërbim unik për përcaktimin e saktë, për të cilin ekziston në detaje thelbi i derivatit në internet. Në mënyrë indirekte, por deri në atë pikë, siç tha një njeri i mençur, një kalkulator i derivateve në internet u krijua me kërkesë të shumë studentëve nga qytete të ndryshme të sindikatës. Nëse ka një ndryshim, atëherë pse të vendosni dy herë. Vektori i dhënë shtrihet në të njëjtën anë me normalin. Në mesin e shekullit të kaluar, diferencimi i funksionit nuk perceptohej fare si sot. Falë zhvillimeve në progres, u shfaq matematika në internet. Me kalimin e kohës, studentët harrojnë të japin kreditet e duhura për lëndët e matematikës. Zgjidhja e derivatit në internet do të sfidojë tezën tonë me të drejtë bazuar në zbatimin e teorisë të mbështetur nga njohuritë praktike. Do të shkojë përtej vlerës ekzistuese të faktorit të prezantimit dhe ne do ta shkruajmë formulën në një formë të qartë për funksionin. Ndodh që ju duhet të gjeni menjëherë një derivat në internet pa përdorur ndonjë kalkulator, megjithatë, gjithmonë mund t'i drejtoheni mashtrimit të një studenti dhe ende të përdorni një shërbim të tillë si një faqe interneti. Kështu, studenti do të kursejë shumë kohë në kopjimin e shembujve nga fletorja e përafërt në formën përfundimtare. Nëse nuk ka kontradikta, atëherë përdorni shërbimin hap pas hapi për zgjidhjen e shembujve të tillë kompleks.

Nëse ndiqni përkufizimin, atëherë derivati ​​i një funksioni në një pikë është kufiri i raportit të rritjes së funksionit Δ y tek rritja e argumentit Δ x:

Gjithçka duket se është e qartë. Por provoni të përdorni këtë formulë për të llogaritur, të themi, derivatin e funksionit f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x mëkat x. Nëse bëni gjithçka sipas definicionit, atëherë pas nja dy faqesh llogaritje thjesht do të bini në gjumë. Prandaj, ka mënyra më të thjeshta dhe më efektive.

Për të filluar, vërejmë se nga e gjithë shumëllojshmëria e funksioneve mund të dallojmë të ashtuquajturat funksione elementare. Këto janë shprehje relativisht të thjeshta, derivatet e të cilave janë llogaritur dhe renditur prej kohësh. Funksione të tilla janë mjaft të lehta për t'u mbajtur mend - së bashku me derivatet e tyre.

Derivatet e funksioneve elementare

Funksionet elementare janë të gjitha ato të listuara më poshtë. Derivatet e këtyre funksioneve duhet të njihen përmendësh. Për më tepër, nuk është aspak e vështirë t'i mësosh përmendësh - kjo është arsyeja pse ato janë elementare.

Pra, derivatet e funksioneve elementare:

Emri	Funksioni	Derivat
Konstante	f(x) = C, C ∈ R	0 (po, zero!)
Fuqia me eksponent racional	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = mëkat x	cos x
Kosinusi	f(x) = cos x	−mëkat x(minus sinus)
Tangjente	f(x) = tg x	1/ko 2 x
Kotangjente	f(x) = ctg x	− 1/mëkati 2 x
Logaritmi natyror	f(x) = log x	1/x
Logaritmi arbitrar	f(x) = log a x	1/(x ln a)
Funksioni eksponencial	f(x) = e x	e x(asgje nuk ka ndryshuar)

Nëse një funksion elementar shumëzohet me një konstante arbitrare, atëherë derivati ​​i funksionit të ri gjithashtu llogaritet lehtësisht:

(C · f)’ = C · f ’.

Në përgjithësi, konstantet mund të hiqen nga shenja e derivatit. Për shembull:

(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Natyrisht, funksionet elementare mund t'i shtohen njëri-tjetrit, të shumëzohen, të ndahen - dhe shumë më tepër. Kështu do të shfaqen funksione të reja, jo më veçanërisht elementare, por edhe të diferencuara sipas rregullave të caktuara. Këto rregulla diskutohen më poshtë.

Derivati ​​i shumës dhe diferencës

Le të jepen funksionet f(x) Dhe g(x), derivatet e të cilave janë të njohura për ne. Për shembull, mund të merrni funksionet elementare të diskutuara më sipër. Atëherë mund të gjeni derivatin e shumës dhe ndryshimit të këtyre funksioneve:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Pra, derivati ​​i shumës (diferencës) i dy funksioneve është i barabartë me shumën (diferencën) e derivateve. Mund të ketë më shumë terma. Për shembull, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Në mënyrë të rreptë, nuk ka asnjë koncept të "zbritjes" në algjebër. Ekziston një koncept i "elementit negativ". Prandaj dallimi f − g mund të rishkruhet si shumë f+ (−1) g, dhe pastaj mbetet vetëm një formulë - derivati ​​i shumës.

f(x) = x 2 + mëkat x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funksioni f(x) është shuma e dy funksioneve elementare, pra:

f ’(x) = (x 2 + mëkat x)’ = (x 2)’ + (mëkat x)’ = 2x+ cos x;

Ne arsyetojmë në mënyrë të ngjashme për funksionin g(x). Vetëm ka tashmë tre terma (nga pikëpamja e algjebrës):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Përgjigje:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivat i produktit

Matematika është një shkencë logjike, kështu që shumë njerëz besojnë se nëse derivati ​​i një shume është i barabartë me shumën e derivateve, atëherë derivati ​​i produktit grevë">i barabartë me produktin e derivateve. Por vidhosni! Derivati ​​i një produkti llogaritet duke përdorur një formulë krejtësisht të ndryshme. Domethënë:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula është e thjeshtë, por shpesh harrohet. Dhe jo vetëm nxënësit e shkollës, por edhe studentët. Rezultati është problemet e zgjidhura gabimisht.

Detyrë. Gjeni derivatet e funksioneve: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funksioni f(x) është produkt i dy funksioneve elementare, kështu që gjithçka është e thjeshtë:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) 'cos x + x 3 (ko x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (− mëkat x) = x 2 (3 koz x − x mëkat x)

Funksioni g(x) shumëzuesi i parë është pak më i ndërlikuar, por skema e përgjithshme nuk ndryshon. Natyrisht, faktori i parë i funksionit g(x) është një polinom dhe derivati ​​i tij është derivati ​​i shumës. Ne kemi:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Përgjigje:
f ’(x) = x 2 (3 koz x − x mëkat x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Ju lutemi vini re se në hapin e fundit derivati ​​faktorizohet. Formalisht, kjo nuk ka nevojë të bëhet, por shumica e derivateve nuk llogariten më vete, por për të ekzaminuar funksionin. Kjo do të thotë që më tej derivati ​​do të barazohet me zero, do të përcaktohen shenjat e tij etj. Për një rast të tillë, është më mirë të faktorizohet një shprehje.

Nëse ka dy funksione f(x) Dhe g(x), dhe g(x) ≠ 0 në grupin që na intereson, mund të përcaktojmë një funksion të ri h(x) = f(x)/g(x). Për një funksion të tillë mund të gjeni edhe derivatin:

Jo i dobët, a? Nga erdhi minusi? Pse g 2? Dhe si kjo! Kjo është një nga formulat më komplekse - nuk mund ta kuptoni pa një shishe. Prandaj, është më mirë ta studiojmë atë me shembuj specifik.

Detyrë. Gjeni derivatet e funksioneve:

Numëruesi dhe emëruesi i çdo thyese përmbajnë funksione elementare, kështu që gjithçka që na nevojitet është formula për derivatin e herësit:

Sipas traditës, le të faktorizojmë numëruesin - kjo do ta thjeshtojë shumë përgjigjen:

Një funksion kompleks nuk është domosdoshmërisht një formulë gjysmë kilometër e gjatë. Për shembull, mjafton të marrësh funksionin f(x) = mëkat x dhe zëvendësoni variablin x, të themi, në x 2 + ln x. Do të funksionojë f(x) = mëkat ( x 2 + ln x) - ky është një funksion kompleks. Ai gjithashtu ka një derivat, por nuk do të jetë e mundur ta gjesh atë duke përdorur rregullat e diskutuara më sipër.

Cfare duhet te bej? Në raste të tilla, zëvendësimi i një ndryshoreje dhe formule për derivatin e një funksioni kompleks ndihmon:

f ’(x) = f ’(t) · t', Nëse x zëvendësohet nga t(x).

Si rregull, situata me të kuptuarit e kësaj formule është edhe më e trishtuar sesa me derivatin e herësit. Prandaj, është gjithashtu më mirë të shpjegohet duke përdorur shembuj specifikë, me një përshkrim të detajuar të secilit hap.

Detyrë. Gjeni derivatet e funksioneve: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = mëkat ( x 2 + ln x)

Vini re se nëse në funksion f(x) në vend të shprehjes 2 x+ 3 do të jetë e lehtë x, atëherë marrim një funksion elementar f(x) = e x. Prandaj, ne bëjmë një zëvendësim: le 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Ne kërkojmë derivatin e një funksioni kompleks duke përdorur formulën:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Dhe tani - vëmendje! Ne kryejmë zëvendësimin e kundërt: t = 2x+ 3. Ne marrim:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Tani le të shohim funksionin g(x). Është e qartë se ajo duhet të zëvendësohet x 2 + ln x = t. Ne kemi:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (mëkat t)’ · t’ = cos t · t ’

Zëvendësimi i kundërt: t = x 2 + ln x. Pastaj:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = kosto ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Kjo eshte e gjitha! Siç shihet nga shprehja e fundit, i gjithë problemi është reduktuar në llogaritjen e shumës derivative.

Përgjigje:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) si ( x 2 + ln x).

Shumë shpesh në mësimet e mia, në vend të termit "derivativ", përdor fjalën "prim". Për shembull, goditja e shumës është e barabartë me shumën e goditjeve. A është kjo më e qartë? Epo, kjo është mirë.

Kështu, llogaritja e derivatit zbret në heqjen e të njëjtave goditje sipas rregullave të diskutuara më sipër. Si shembull i fundit, le të kthehemi te fuqia derivatore me një eksponent racional:

(x n)’ = n · x n − 1

Pak njerëz e dinë këtë në rol n mund të jetë një numër thyesor. Për shembull, rrënja është x 0.5. Po sikur të ketë diçka të zbukuruar nën rrënjë? Përsëri, rezultati do të jetë një funksion kompleks - atyre u pëlqen të japin ndërtime të tilla në teste dhe provime.

Detyrë. Gjeni derivatin e funksionit:

Së pari, le të rishkruajmë rrënjën si një fuqi me një eksponent racional:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Tani bëjmë një zëvendësim: le x 2 + 8x − 7 = t. Derivatin e gjejmë duke përdorur formulën:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' · t’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Le të bëjmë zëvendësimin e kundërt: t = x 2 + 8x− 7. Kemi:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Më në fund, kthehemi te rrënjët:

Zgjidhja e problemeve fizike ose shembujve në matematikë është plotësisht e pamundur pa njohuri për derivatin dhe metodat e llogaritjes së tij. Derivati ​​është një nga konceptet më të rëndësishme në analizën matematikore. Ne vendosëm t'i kushtojmë artikullin e sotëm kësaj teme themelore. Çfarë është derivati, cili është kuptimi fizik dhe gjeometrik i tij, si të llogaritet derivati ​​i një funksioni? Të gjitha këto pyetje mund të kombinohen në një: si ta kuptojmë derivatin?

Kuptimi gjeometrik dhe fizik i derivatit

Le të ketë një funksion f(x) , të specifikuara në një interval të caktuar (a, b) . Pikat x dhe x0 i përkasin këtij intervali. Kur x ndryshon, vetë funksioni ndryshon. Ndryshimi i argumentit - ndryshimi në vlerat e tij x-x0 . Ky ndryshim shkruhet si delta x dhe quhet rritje e argumentit. Një ndryshim ose rritje e një funksioni është diferenca midis vlerave të një funksioni në dy pika. Përkufizimi i derivatit:

Derivati ​​i një funksioni në një pikë është kufiri i raportit të rritjes së funksionit në një pikë të caktuar me rritjen e argumentit kur ky i fundit tenton në zero.

Përndryshe mund të shkruhet kështu:

Çfarë kuptimi ka të gjesh një kufi të tillë? Dhe ja çfarë është:

derivati ​​i një funksioni në një pikë është i barabartë me tangjenten e këndit ndërmjet boshtit OX dhe tangjentes me grafikun e funksionit në një pikë të caktuar.

Kuptimi fizik i derivatit: derivati ​​i shtegut në lidhje me kohën është i barabartë me shpejtësinë e lëvizjes drejtvizore.

Në të vërtetë, që nga ditët e shkollës, të gjithë e dinë se shpejtësia është një rrugë e veçantë x=f(t) dhe koha t . Shpejtësia mesatare për një periudhë të caktuar kohore:

Për të gjetur shpejtësinë e lëvizjes në një moment në kohë t0 ju duhet të llogarisni kufirin:

Rregulli i parë: vendosni një konstante

Konstanta mund të hiqet nga shenja derivatore. Për më tepër, kjo duhet bërë. Kur zgjidhni shembuj në matematikë, merrni atë si rregull - Nëse mund të thjeshtoni një shprehje, sigurohuni që ta thjeshtoni atë .

Shembull. Le të llogarisim derivatin:

Rregulli i dytë: derivat i shumës së funksioneve

Derivati ​​i shumës së dy funksioneve është i barabartë me shumën e derivateve të këtyre funksioneve. E njëjta gjë vlen edhe për derivatin e diferencës së funksioneve.

Ne nuk do të japim një provë të kësaj teoreme, por do të shqyrtojmë një shembull praktik.

Gjeni derivatin e funksionit:

Rregulli i tretë: derivati ​​i produktit të funksioneve

Derivati ​​i produktit të dy funksioneve të diferencueshëm llogaritet me formulën:

Shembull: gjeni derivatin e një funksioni:

Zgjidhja:

Është e rëndësishme të flasim këtu për llogaritjen e derivateve të funksioneve komplekse. Derivati ​​i një funksioni kompleks është i barabartë me produktin e derivatit të këtij funksioni në lidhje me argumentin e ndërmjetëm dhe derivatin e argumentit të ndërmjetëm në lidhje me variablin e pavarur.

Në shembullin e mësipërm hasim shprehjen:

Në këtë rast, argumenti i ndërmjetëm është 8x me fuqinë e pestë. Për të llogaritur derivatin e një shprehjeje të tillë, së pari llogarisim derivatin e funksionit të jashtëm në lidhje me argumentin e ndërmjetëm dhe më pas shumëzojmë me derivatin e vetë argumentit të ndërmjetëm në lidhje me variablin e pavarur.

Rregulli i katërt: derivat i herësit të dy funksioneve

Formula për përcaktimin e derivatit të herësit të dy funksioneve:

Ne u përpoqëm të flisnim për derivatet për dummies nga e para. Kjo temë nuk është aq e thjeshtë sa duket, prandaj kini kujdes: shpesh ka gracka në shembuj, ndaj bëni kujdes kur llogaritni derivatet.

Për çdo pyetje mbi këtë dhe tema të tjera, mund të kontaktoni shërbimin e studentëve. Në një kohë të shkurtër, ne do t'ju ndihmojmë të zgjidhni testin më të vështirë dhe të kuptoni detyrat, edhe nëse nuk keni bërë kurrë më parë llogaritjet e derivateve.

Veprimi i gjetjes së derivatit quhet diferencim.

Si rezultat i zgjidhjes së problemeve të gjetjes së derivateve të funksioneve më të thjeshta (dhe jo shumë të thjeshta) duke përcaktuar derivatin si kufi të raportit të rritjes me rritjen e argumentit, u shfaq një tabelë e derivateve dhe rregulla të përcaktuara saktësisht të diferencimit. . Të parët që punuan në fushën e gjetjes së derivateve ishin Isak Njutoni (1643-1727) dhe Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Prandaj, në kohën tonë, për të gjetur derivatin e ndonjë funksioni, nuk keni nevojë të llogaritni kufirin e lartpërmendur të raportit të rritjes së funksionit me rritjen e argumentit, por duhet të përdorni vetëm tabelën e derivatet dhe rregullat e diferencimit. Algoritmi i mëposhtëm është i përshtatshëm për gjetjen e derivatit.

Për të gjetur derivatin, ju duhet një shprehje nën shenjën kryesore zbërthejnë funksionet e thjeshta në komponentë dhe përcaktoni se çfarë veprimesh (produkti, shuma, koeficienti) këto funksione janë të lidhura. Më pas, derivatet e funksioneve elementare i gjejmë në tabelën e derivateve, dhe formulat për derivatet e produktit, shumës dhe koeficientit - në rregullat e diferencimit. Tabela e derivateve dhe rregullat e diferencimit jepen pas dy shembujve të parë.

Shembulli 1. Gjeni derivatin e një funksioni

Zgjidhje. Nga rregullat e diferencimit zbulojmë se derivati ​​i një shume funksionesh është shuma e derivateve të funksioneve, d.m.th.

Nga tabela e derivateve zbulojmë se derivati ​​i "x" është i barabartë me një, dhe derivati ​​i sinusit është i barabartë me kosinusin. Ne i zëvendësojmë këto vlera në shumën e derivateve dhe gjejmë derivatin e kërkuar nga kushti i problemit:

Shembulli 2. Gjeni derivatin e një funksioni

Zgjidhje. Dallojmë si derivat të një shume në të cilën termi i dytë ka një faktor konstant; ai mund të hiqet nga shenja e derivatit:

Nëse ende lindin pyetje se nga vjen diçka, ato zakonisht zgjidhen pasi të njiheni me tabelën e derivateve dhe rregullat më të thjeshta të diferencimit. Ne po kalojmë drejt tyre tani.

Tabela e derivateve të funksioneve të thjeshta

1. Derivat i një konstante (numri). Çdo numër (1, 2, 5, 200...) që është në shprehjen e funksionit. Gjithmonë e barabartë me zero. Kjo është shumë e rëndësishme të mbahet mend, pasi kërkohet shumë shpesh
2. Derivat i ndryshores së pavarur. Më shpesh "X". Gjithmonë e barabartë me një. Kjo është gjithashtu e rëndësishme të mbahet mend për një kohë të gjatë
3. Derivat i gradës. Kur zgjidhni problemet, duhet të shndërroni rrënjët jo katrore në fuqi.
4. Derivati ​​i një ndryshoreje në fuqinë -1
5. Derivat i rrënjës katrore
6. Derivat i sinusit
7. Derivat i kosinusit
8. Derivat i tangjentes
9. Derivat i kotangjentes
10. Derivat i arksinës
11. Derivat i arkkosinës
12. Derivat i arktangjentit
13. Derivat i kotangjentes harkore
14. Derivat i logaritmit natyror
15. Derivat i një funksioni logaritmik
16. Derivati ​​i eksponentit
17. Derivat i një funksioni eksponencial

Rregullat e diferencimit

1. Derivat i një shume ose ndryshimi
2. Derivat i produktit
2a. Derivat i një shprehjeje të shumëzuar me një faktor konstant
3. Derivati ​​i herësit
4. Derivat i një funksioni kompleks

Rregulli 1.Nëse funksionet

janë të diferencueshëm në një moment, atëherë funksionet janë të diferencueshëm në të njëjtën pikë

dhe

ato. derivati ​​i shumës algjebrike të funksioneve është i barabartë me shumën algjebrike të derivateve të këtyre funksioneve.

Pasoja. Nëse dy funksione të diferencueshëm ndryshojnë nga një term konstant, atëherë derivatet e tyre janë të barabartë, d.m.th.

Rregulli 2.Nëse funksionet

janë të diferencueshëm në një moment, atëherë produkti i tyre është i diferencueshëm në të njëjtën pikë

dhe

ato. Derivati ​​i prodhimit të dy funksioneve është i barabartë me shumën e produkteve të secilit prej këtyre funksioneve dhe derivatin e tjetrit.

Përfundimi 1. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e derivatit:

Përfundimi 2. Derivati ​​i produktit të disa funksioneve të diferencueshëm është i barabartë me shumën e produkteve të derivatit të secilit faktor dhe të gjithë të tjerëve.

Për shembull, për tre shumëzues:

Rregulli 3.Nëse funksionet

të diferencueshme në një moment Dhe , atëherë në këtë pikë herësi i tyre është gjithashtu i diferencueshëmu/v , dhe

ato. derivati ​​i herësit të dy funksioneve është i barabartë me një thyesë, numëruesi i së cilës është diferenca midis produkteve të emëruesit dhe derivatit të numëruesit dhe numëruesit dhe derivatit të emëruesit, dhe emëruesi është katrori i numëruesi i mëparshëm.

Ku të kërkoni gjëra në faqet e tjera

Kur gjeni derivatin e një produkti dhe një herës në problemet reale, është gjithmonë e nevojshme të zbatohen disa rregulla diferencimi në të njëjtën kohë, kështu që ka më shumë shembuj për këto derivate në artikull."Derivati ​​i produktit dhe koeficienti i funksioneve".

Koment. Ju nuk duhet të ngatërroni një konstante (domethënë një numër) si një term në një shumë dhe si një faktor konstant! Në rastin e një termi, derivati ​​i tij është i barabartë me zero, dhe në rastin e një faktori konstant, ai hiqet nga shenja e derivateve. Ky është një gabim tipik që ndodh në fazën fillestare të studimit të derivateve, por ndërsa studenti mesatar zgjidh disa shembuj një dhe dypjesësh, ai nuk e bën më këtë gabim.

Dhe nëse, kur diferenconi një produkt ose koeficient, keni një term u"v, në të cilën u- një numër, për shembull, 2 ose 5, domethënë një konstante, atëherë derivati ​​i këtij numri do të jetë i barabartë me zero dhe, për rrjedhojë, i gjithë termi do të jetë i barabartë me zero (ky rast diskutohet në shembullin 10).

Një gabim tjetër i zakonshëm është zgjidhja mekanike e derivatit të një funksioni kompleks si derivat i një funksioni të thjeshtë. Kjo është arsyeja pse derivat i një funksioni kompleks i kushtohet një artikull i veçantë. Por së pari do të mësojmë të gjejmë derivate të funksioneve të thjeshta.

Gjatë rrugës, nuk mund të bësh pa transformuar shprehjet. Për ta bërë këtë, mund t'ju duhet të hapni manualin në dritare të reja. Veprimet me fuqi dhe rrënjë Dhe Veprimet me thyesa .

Nëse jeni duke kërkuar zgjidhje për derivatet e thyesave me fuqi dhe rrënjë, domethënë kur funksioni duket si , më pas ndiqni mësimin “Derivati ​​i shumave të thyesave me fuqi dhe rrënjë”.

Nëse keni një detyrë si , më pas do të merrni mësimin “Derivatet e funksioneve të thjeshta trigonometrike”.

Shembuj hap pas hapi - si të gjeni derivatin

Shembulli 3. Gjeni derivatin e një funksioni

Zgjidhje. Përcaktojmë pjesët e shprehjes së funksionit: e gjithë shprehja përfaqëson një produkt, dhe faktorët e saj janë shuma, në të dytin prej të cilëve njëri prej termave përmban një faktor konstant. Ne zbatojmë rregullin e diferencimit të produktit: derivati ​​i produktit të dy funksioneve është i barabartë me shumën e produkteve të secilit prej këtyre funksioneve nga derivati ​​i tjetrit:

Më pas, zbatojmë rregullin e diferencimit të shumës: derivati ​​i shumës algjebrike të funksioneve është i barabartë me shumën algjebrike të derivateve të këtyre funksioneve. Në rastin tonë, në çdo shumë, termi i dytë ka një shenjë minus. Në çdo shumë shohim një variabël të pavarur, derivati ​​i së cilës është i barabartë me një, dhe një konstante (numër), derivati ​​i së cilës është i barabartë me zero. Pra, "X" kthehet në një, dhe minus 5 kthehet në zero. Në shprehjen e dytë, "x" shumëzohet me 2, kështu që ne shumëzojmë dy me të njëjtën njësi si derivati ​​i "x". Ne marrim vlerat e derivateve të mëposhtme:

Ne i zëvendësojmë derivatet e gjetura në shumën e produkteve dhe marrim derivatin e të gjithë funksionit të kërkuar nga kushti i problemit:

Shembulli 4. Gjeni derivatin e një funksioni

Zgjidhje. Na kërkohet të gjejmë derivatin e herësit. Zbatojmë formulën për diferencimin e herësit: derivati ​​i herësit të dy funksioneve është i barabartë me një fraksion, numëruesi i së cilës është diferenca midis produkteve të emëruesit dhe derivatit të numëruesit dhe numëruesit dhe derivatit të emërues, dhe emëruesi është katrori i numëruesit të mëparshëm. Ne marrim:

Ne kemi gjetur tashmë derivatin e faktorëve në numërues në shembullin 2. Le të mos harrojmë gjithashtu se produkti, i cili është faktori i dytë në numërues në shembullin aktual, merret me një shenjë minus:

Nëse jeni duke kërkuar zgjidhje për problemet në të cilat ju duhet të gjeni derivatin e një funksioni, ku ka një grumbull të vazhdueshëm rrënjësh dhe fuqish, si p.sh. , atëherë mirë se vini në klasë "Derivati ​​i shumave të thyesave me fuqi dhe rrënjë" .

Nëse keni nevojë të mësoni më shumë rreth derivateve të sinuseve, kosinuseve, tangjentëve dhe funksioneve të tjera trigonometrike, domethënë kur funksioni duket si , pastaj një mësim për ju "Derivatet e funksioneve të thjeshta trigonometrike" .

Shembulli 5. Gjeni derivatin e një funksioni

Zgjidhje. Në këtë funksion shohim një produkt, një nga faktorët e të cilit është rrënja katrore e ndryshores së pavarur, derivatin e së cilës e kemi njohur në tabelën e derivateve. Duke përdorur rregullin për diferencimin e produktit dhe vlerën tabelare të derivatit të rrënjës katrore, marrim:

Shembulli 6. Gjeni derivatin e një funksioni

Zgjidhje. Në këtë funksion shohim një herës, dividenda e të cilit është rrënja katrore e ndryshores së pavarur. Duke përdorur rregullin e diferencimit të herësve, të cilin e përsëritëm dhe e zbatuam në shembullin 4, dhe vlerën në tabelë të derivatit të rrënjës katrore, marrim:

Për të hequr qafe një thyesë në numërues, shumëzojeni numëruesin dhe emëruesin me .

Niveli i parë

Derivat i një funksioni. Udhëzuesi i fundit (2019)

Le të imagjinojmë një rrugë të drejtë që kalon nëpër një zonë kodrinore. Kjo do të thotë, shkon lart e poshtë, por nuk kthehet djathtas ose majtas. Nëse aksi drejtohet horizontalisht përgjatë rrugës dhe vertikalisht, atëherë vija e rrugës do të jetë shumë e ngjashme me grafikun e ndonjë funksioni të vazhdueshëm:

Aksi është një nivel i caktuar i lartësisë zero; në jetë ne përdorim nivelin e detit si ai.

Ndërsa ecim përpara përgjatë një rruge të tillë, ne gjithashtu lëvizim lart ose poshtë. Mund të themi gjithashtu: kur ndryshon argumenti (lëvizja përgjatë boshtit të abshisës), vlera e funksionit ndryshon (lëvizja përgjatë boshtit të ordinatave). Tani le të mendojmë se si të përcaktojmë "pjerrësinë" e rrugës sonë? Çfarë lloj vlere mund të jetë kjo? Është shumë e thjeshtë: sa do të ndryshojë lartësia kur lëvizni përpara një distancë të caktuar. Në të vërtetë, në seksione të ndryshme të rrugës, duke lëvizur përpara (përgjatë boshtit x) me një kilometër, ne do të ngrihemi ose do të zbresim me një numër të ndryshëm metrash në krahasim me nivelin e detit (përgjatë boshtit y).

Le të shënojmë përparimin (lexoni "delta x").

Shkronja greke (delta) përdoret zakonisht në matematikë si parashtesë që do të thotë "ndryshim". Kjo është - ky është një ndryshim në sasi, - një ndryshim; atëherë çfarë është ajo? Kjo është e drejtë, një ndryshim në madhësi.

E rëndësishme: një shprehje është një tërësi e vetme, një ndryshore. Asnjëherë mos e ndani "deltën" nga "x" ose ndonjë shkronjë tjetër! Kjo është, për shembull,.

Pra, ne kemi ecur përpara, horizontalisht, nga. Nëse krahasojmë vijën e rrugës me grafikun e funksionit, atëherë si e shënojmë ngritjen? Sigurisht,. Domethënë, ndërsa ecim përpara, ngrihemi më lart.

Vlera është e lehtë për t'u llogaritur: nëse në fillim ishim në një lartësi, dhe pas lëvizjes e gjetëm veten në një lartësi, atëherë. Nëse pika e fundit është më e ulët se pika e fillimit, ajo do të jetë negative - kjo do të thotë që ne nuk jemi duke u ngjitur, por duke zbritur.

Le të kthehemi te "pjerrësia": kjo është një vlerë që tregon se sa (pjerrët) rritet lartësia kur lëvizni përpara një njësi distancë:

Le të supozojmë se në një pjesë të rrugës, kur ecim përpara me një kilometër, rruga ngrihet për një kilometër. Atëherë pjerrësia në këtë vend është e barabartë. Dhe nëse rruga, duke ecur përpara me m, ka rënë me km? Atëherë pjerrësia është e barabartë.

Tani le të shohim majën e një kodre. Nëse e merrni fillimin e seksionit gjysmë kilometër përpara majës, dhe fundin gjysmë kilometër pas tij, mund të shihni se lartësia është pothuajse e njëjtë.

Kjo do të thotë, sipas logjikës sonë, rezulton se pjerrësia këtu është pothuajse e barabartë me zero, gjë që nuk është qartë e vërtetë. Pak më shumë se një distancë prej kilometrash shumë mund të ndryshojnë. Është e nevojshme të merren parasysh zona më të vogla për një vlerësim më adekuat dhe më të saktë të pjerrësisë. Për shembull, nëse matni ndryshimin në lartësi ndërsa lëvizni një metër, rezultati do të jetë shumë më i saktë. Por edhe kjo saktësi mund të mos jetë e mjaftueshme për ne - në fund të fundit, nëse ka një shtyllë në mes të rrugës, ne thjesht mund ta kalojmë atë. Çfarë distancë duhet të zgjedhim atëherë? Centimetri? Milimetri? Më pak është më mirë!

Në jetën reale, matja e distancave në milimetrin më të afërt është më se e mjaftueshme. Por matematikanët gjithmonë përpiqen për përsosmëri. Prandaj, koncepti u shpik pafundësisht i vogël, domethënë, vlera absolute është më e vogël se çdo numër që mund të emërtojmë. Për shembull, ju thoni: një triliontë! Sa më pak? Dhe ju e ndani këtë numër me - dhe do të jetë edhe më pak. Dhe kështu me radhë. Nëse duam të shkruajmë se një sasi është e pafundme, shkruajmë kështu: (lexojmë “x tenton në zero”). Është shumë e rëndësishme të kuptohet se ky numër nuk është zero! Por shumë afër saj. Kjo do të thotë që ju mund të ndani me të.

Koncepti i kundërt me infinitimalin është pafundësisht i madh (). Me siguri e keni hasur tashmë kur po punonit për pabarazitë: ky numër është modulo më i madh se çdo numër që mund të mendoni. Nëse arrini numrin më të madh të mundshëm, thjesht shumëzojeni atë me dy dhe do të merrni një numër edhe më të madh. Dhe pafundësia është edhe më e madhe se ajo që ndodh. Në fakt, pafundësisht i madhi dhe pafundësisht i vogël janë anasjellta e njëra-tjetrës, pra në, dhe anasjelltas: në.

Tani le të kthehemi në rrugën tonë. Pjerrësia e llogaritur në mënyrë ideale është pjerrësia e llogaritur për një segment pafundësisht të vogël të shtegut, domethënë:

Vërej se me një zhvendosje pafundësisht, ndryshimi në lartësi do të jetë gjithashtu pafundësisht i vogël. Por më lejoni t'ju kujtoj se infinite vogël nuk do të thotë e barabartë me zero. Nëse ndani numra pafundësisht të vegjël me njëri-tjetrin, mund të merrni një numër krejtësisht të zakonshëm, për shembull, . Kjo do të thotë, një vlerë e vogël mund të jetë saktësisht herë më e madhe se një tjetër.

Për çfarë është e gjithë kjo? Rruga, pjerrësia... Ne nuk do të shkojmë në një miting makinash, por po mësojmë matematikë. Dhe në matematikë gjithçka është saktësisht e njëjtë, vetëm quhet ndryshe.

Koncepti i derivatit

Derivati ​​i një funksioni është raporti i rritjes së funksionit ndaj rritjes së argumentit për një rritje infiniteminale të argumentit.

Në mënyrë incrementale në matematikë e quajnë ndryshim. Shkalla në të cilën argumenti () ndryshon ndërsa lëviz përgjatë boshtit quhet rritje argumenti dhe është caktuar.Sa ka ndryshuar funksioni (lartësia) kur lëvizim përpara përgjatë boshtit me një distancë quhet rritja e funksionit dhe është caktuar.

Pra, derivati ​​i një funksioni është raporti me kur. Derivatin e shënojmë me të njëjtën shkronjë si funksioni, vetëm me një kryeministër lart djathtas: ose thjesht. Pra, le të shkruajmë formulën e derivatit duke përdorur këto shënime:

Ashtu si në analogjinë me rrugën, edhe këtu kur funksioni rritet, derivati ​​është pozitiv dhe kur zvogëlohet është negativ.

A mund të jetë derivati ​​i barabartë me zero? Sigurisht. Për shembull, nëse jemi duke vozitur në një rrugë të sheshtë horizontale, pjerrësia është zero. Dhe është e vërtetë, lartësia nuk ndryshon fare. Kështu është me derivatin: derivati ​​i një funksioni konstant (konstante) është i barabartë me zero:

pasi rritja e një funksioni të tillë është e barabartë me zero për çdo.

Le të kujtojmë shembullin në majë të kodrës. Doli se ishte e mundur të rregulloheshin skajet e segmentit në anët e kundërta të kulmit në atë mënyrë që lartësia në skajet të rezultojë e njëjtë, domethënë segmenti të jetë paralel me boshtin:

Por segmentet e mëdha janë një shenjë e matjes së pasaktë. Ne do ta ngremë segmentin tonë paralelisht me vetveten, atëherë gjatësia e tij do të ulet.

Përfundimisht, kur jemi pafundësisht afër majës, gjatësia e segmentit do të bëhet pafundësisht e vogël. Por në të njëjtën kohë, ai mbeti paralel me boshtin, domethënë, ndryshimi në lartësi në skajet e tij është i barabartë me zero (nuk ka tendencë, por është i barabartë me). Pra derivati

Kjo mund të kuptohet në këtë mënyrë: kur qëndrojmë në majë, një zhvendosje e vogël majtas ose djathtas ndryshon lartësinë tonë në mënyrë të papërfillshme.

Ekziston gjithashtu një shpjegim thjesht algjebrik: në të majtë të kulmit funksioni rritet, dhe në të djathtë zvogëlohet. Siç kuptuam më herët, kur një funksion rritet, derivati ​​është pozitiv, dhe kur zvogëlohet, është negativ. Por ndryshon pa probleme, pa kërcime (pasi rruga nuk e ndryshon ndjeshëm pjerrësinë askund). Prandaj, duhet të ketë midis vlerave negative dhe pozitive. Do të jetë aty ku funksioni as nuk rritet e as nuk zvogëlohet - në pikën e kulmit.

E njëjta gjë vlen edhe për luginën (zona ku funksioni në të majtë zvogëlohet dhe në të djathtë rritet):

Pak më shumë rreth rritjeve.

Pra, ne e ndryshojmë argumentin në madhësi. Nga çfarë vlere ndryshojmë? Çfarë është bërë (argumenti) tani? Ne mund të zgjedhim çdo pikë, dhe tani do të kërcejmë prej saj.

Konsideroni një pikë me një koordinatë. Vlera e funksionit në të është e barabartë. Pastaj bëjmë të njëjtën rritje: e rrisim koordinatën me. Cili është argumenti tani? Shumë e lehtë: . Cila është vlera e funksionit tani? Aty ku shkon argumenti, shkon edhe funksioni: . Po në lidhje me rritjen e funksionit? Asgjë e re: kjo është ende shuma me të cilën funksioni ka ndryshuar:

Praktikoni gjetjen e rritjeve:

1. Gjeni rritjen e funksionit në një pikë kur rritja e argumentit është e barabartë me.
2. E njëjta gjë vlen edhe për funksionin në një pikë.

Zgjidhjet:

Në pika të ndryshme me të njëjtin rritje argumenti, rritja e funksionit do të jetë e ndryshme. Kjo do të thotë që derivati ​​në secilën pikë është i ndryshëm (e diskutuam që në fillim - pjerrësia e rrugës është e ndryshme në pika të ndryshme). Prandaj, kur shkruajmë një derivat, duhet të tregojmë se në cilën pikë:

Funksioni i fuqisë.

Një funksion fuqie është një funksion ku argumenti është në një farë mase (logjik, apo jo?).

Për më tepër - në çdo masë: .

Rasti më i thjeshtë është kur eksponenti është:

Le të gjejmë derivatin e tij në një pikë. Le të kujtojmë përkufizimin e një derivati:

Pra, argumenti ndryshon nga në. Sa është rritja e funksionit?

Rritja është kjo. Por një funksion në çdo pikë është i barabartë me argumentin e tij. Kjo është arsyeja pse:

Derivati ​​është i barabartë me:

Derivati ​​i është i barabartë me:

b) Tani merrni parasysh funksionin kuadratik (): .

Tani le ta kujtojmë atë. Kjo do të thotë që vlera e rritjes mund të neglizhohet, pasi ajo është infinite e vogël, dhe për këtë arsye e parëndësishme në sfondin e termit tjetër:

Pra, ne dolëm me një rregull tjetër:

c) Vazhdojmë serinë logjike: .

Kjo shprehje mund të thjeshtohet në mënyra të ndryshme: hapni kllapin e parë duke përdorur formulën për shumëzimin e shkurtuar të kubit të shumës, ose faktorizoni të gjithë shprehjen duke përdorur formulën e diferencës së kubeve. Mundohuni ta bëni vetë duke përdorur ndonjë nga metodat e sugjeruara.

Pra, mora sa vijon:

Dhe përsëri le ta kujtojmë atë. Kjo do të thotë që ne mund të neglizhojmë të gjitha termat që përmbajnë:

Ne marrim:.

d) Rregulla të ngjashme mund të merren për fuqitë e mëdha:

e) Rezulton se ky rregull mund të përgjithësohet për një funksion fuqie me një eksponent arbitrar, madje as një numër të plotë:

(2)

Rregulli mund të formulohet me fjalët: "shkalla paraqitet si koeficient, dhe më pas zvogëlohet me ."

Këtë rregull do ta vërtetojmë më vonë (pothuajse në fund). Tani le të shohim disa shembuj. Gjeni derivatin e funksioneve:

1. (në dy mënyra: me formulë dhe duke përdorur përkufizimin e derivatit - duke llogaritur rritjen e funksionit);

1. . Besoni apo jo, ky është një funksion i fuqisë. Nëse keni pyetje si "Si është kjo? Ku është diploma?”, mbani mend temën “”!
   Po, po, edhe rrënja është shkallë, vetëm thyesore: .
   Kjo do të thotë që rrënja jonë katrore është vetëm një fuqi me një eksponent:
   .
   Ne kërkojmë derivatin duke përdorur formulën e mësuar së fundmi:

   Nëse në këtë pikë bëhet përsëri e paqartë, përsërisni temën ""!!! (rreth një shkallë me një eksponent negativ)

2. . Tani eksponenti:

   Dhe tani përmes përkufizimit (e keni harruar akoma?):
   ;
   .
   Tani, si zakonisht, ne e neglizhojmë termin që përmban:
   .

3. . Kombinimi i rasteve të mëparshme: .

Funksionet trigonometrike.

Këtu do të përdorim një fakt nga matematika e lartë:

Me shprehje.

Provën do ta mësoni në vitin e parë të institutit (dhe për të arritur atje, duhet të kaloni mirë Provimin e Shtetit të Unifikuar). Tani do ta tregoj vetëm grafikisht:

Ne shohim se kur funksioni nuk ekziston - pika në grafik është prerë. Por sa më afër vlerës, aq më afër është funksioni. Kjo është ajo që "synon".

Për më tepër, mund ta kontrolloni këtë rregull duke përdorur një kalkulator. Po, po, mos ki turp, merr një kalkulator, nuk jemi ende në Provimin e Unifikuar të Shtetit.

Pra, le të provojmë: ;

Mos harroni të kaloni kalkulatorin tuaj në modalitetin Radians!

etj. Shohim se sa më i vogël, aq më afër është vlera e raportit.

a) Merrni parasysh funksionin. Si zakonisht, le të gjejmë rritjen e tij:

Le ta kthejmë diferencën e sinuseve në produkt. Për ta bërë këtë, ne përdorim formulën (kujtoni temën ""): .

Tani derivati:

Le të bëjmë një zëvendësim: . Atëherë për infinitevogël është edhe infinite vogël: . Shprehja për merr formën:

Dhe tani e kujtojmë këtë me shprehjen. Dhe gjithashtu, çka nëse një sasi infinitimale mund të neglizhohet në shumë (që është, në).

Pra, marrim rregullin e mëposhtëm: derivati ​​i sinusit është i barabartë me kosinusin:

Këto janë derivate bazë ("tabelore"). Këtu ato janë në një listë:

Më vonë do t'u shtojmë disa të tjera, por këto janë më të rëndësishmet, pasi ato përdoren më shpesh.

Praktikoni:

1. Gjeni derivatin e funksionit në një pikë;
2. Gjeni derivatin e funksionit.

Zgjidhjet:

1. Së pari, le të gjejmë derivatin në formën e përgjithshme dhe më pas të zëvendësojmë vlerën e tij:
   ;
   .
2. Këtu kemi diçka të ngjashme me një funksion fuqie. Le të përpiqemi ta sjellim atë
   pamje normale:
   .
   E shkëlqyeshme, tani mund të përdorni formulën:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. cfare eshte kjo????

Mirë, ke të drejtë, ne nuk dimë ende si të gjejmë derivate të tillë. Këtu kemi një kombinim të disa llojeve të funksioneve. Për të punuar me ta, duhet të mësoni disa rregulla të tjera:

Logaritmi eksponent dhe natyror.

Ekziston një funksion në matematikë, derivati ​​i të cilit për çdo vlerë është i barabartë me vlerën e vetë funksionit në të njëjtën kohë. Ai quhet "eksponent" dhe është një funksion eksponencial

Baza e këtij funksioni - një konstante - është një thyesë dhjetore e pafundme, domethënë një numër irracional (si p.sh.). Quhet "numri Euler", prandaj shënohet me një shkronjë.

Pra, rregulli:

Shumë e lehtë për t'u mbajtur mend.

Epo, le të mos shkojmë larg, le të shqyrtojmë menjëherë funksionin e anasjelltë. Cili funksion është inversi i funksionit eksponencial? Logaritmi:

Në rastin tonë, baza është numri:

Një logaritëm i tillë (d.m.th., një logaritëm me bazë) quhet "natyror" dhe ne përdorim një shënim të veçantë për të: ne shkruajmë në vend të tij.

Me çfarë është e barabartë? Sigurisht, .

Derivati ​​i logaritmit natyror është gjithashtu shumë i thjeshtë:

Shembuj:

1. Gjeni derivatin e funksionit.
2. Cili është derivati ​​i funksionit?

Përgjigjet: Logaritmi eksponencial dhe natyror janë funksione unike të thjeshta nga një këndvështrim derivat. Funksionet eksponenciale dhe logaritmike me çdo bazë tjetër do të kenë një derivat të ndryshëm, të cilin do ta analizojmë më vonë, pasi të kalojmë rregullat e diferencimit.

Rregullat e diferencimit

Rregullat e çfarë? Sërish një mandat i ri, sërish?!...

Diferencimiështë procesi i gjetjes së derivatit.

Kjo eshte e gjitha. Çfarë tjetër mund ta quani këtë proces me një fjalë? Jo derivat... Matematikanët e quajnë diferencialin të njëjtën rritje të një funksioni në. Ky term vjen nga latinishtja diferencia - dallim. Këtu.

Kur nxjerrim të gjitha këto rregulla, ne do të përdorim dy funksione, për shembull, dhe. Do të na duhen gjithashtu formula për shtimet e tyre:

Gjithsej janë 5 rregulla.

Konstanta hiqet nga shenja derivatore.

Nëse - një numër konstant (konstant), atëherë.

Natyrisht, ky rregull funksionon edhe për ndryshimin: .

Le ta vërtetojmë. Le të jetë, ose më e thjeshtë.

Shembuj.

Gjeni derivatet e funksioneve:

1. në një pikë;
2. në një pikë;
3. në një pikë;
4. në pikën.

Zgjidhjet:

1. (derivati ​​është i njëjtë në të gjitha pikat, pasi është funksion linear, mbani mend?);

Derivat i produktit

Gjithçka është e ngjashme këtu: le të prezantojmë një funksion të ri dhe të gjejmë rritjen e tij:

Derivat:

Shembuj:

1. Gjeni derivatet e funksioneve dhe;
2. Gjeni derivatin e funksionit në një pikë.

Zgjidhjet:

Derivat i një funksioni eksponencial

Tani njohuritë tuaja janë të mjaftueshme për të mësuar se si të gjeni derivatin e çdo funksioni eksponencial, dhe jo vetëm eksponentë (e keni harruar akoma se çfarë është?).

Pra, ku është një numër.

Ne tashmë e dimë derivatin e funksionit, kështu që le të përpiqemi ta reduktojmë funksionin tonë në një bazë të re:

Për ta bërë këtë, ne do të përdorim një rregull të thjeshtë: . Pastaj:

Epo, funksionoi. Tani përpiquni të gjeni derivatin dhe mos harroni se ky funksion është kompleks.

Ka ndodhur?

Këtu, kontrolloni veten:

Formula doli të ishte shumë e ngjashme me derivatin e një eksponenti: siç ishte, ajo mbetet e njëjtë, u shfaq vetëm një faktor, i cili është vetëm një numër, por jo një ndryshore.

Shembuj:
Gjeni derivatet e funksioneve:

Përgjigjet:

Ky është vetëm një numër që nuk mund të llogaritet pa një kalkulator, domethënë nuk mund të shkruhet në një formë më të thjeshtë. Prandaj, e lëmë në këtë formë në përgjigje.

Derivat i një funksioni logaritmik

Është e ngjashme këtu: ju tashmë e dini derivatin e logaritmit natyror:

Prandaj, për të gjetur një logaritëm arbitrar me një bazë të ndryshme, për shembull:

Duhet ta zvogëlojmë këtë logaritëm në bazë. Si të ndryshoni bazën e një logaritmi? Shpresoj ta mbani mend këtë formulë:

Vetëm tani do të shkruajmë në vend të kësaj:

Emëruesi është thjesht një konstante (një numër konstant, pa një ndryshore). Derivati ​​merret shumë thjesht:

Derivatet e funksioneve eksponenciale dhe logaritmike nuk gjenden pothuajse kurrë në Provimin e Unifikuar të Shtetit, por nuk do të jetë e tepërt t'i njihni ato.

Derivat i një funksioni kompleks.

Çfarë është një "funksion kompleks"? Jo, ky nuk është një logaritëm dhe as një arktangjent. Këto funksione mund të jenë të vështira për t'u kuptuar (edhe pse nëse logaritmi ju duket i vështirë, lexoni temën "Logaritmet" dhe do të jeni mirë), por nga pikëpamja matematikore, fjala "kompleks" nuk do të thotë "e vështirë".

Imagjinoni një rrip të vogël transportues: dy persona janë ulur dhe bëjnë disa veprime me disa objekte. Për shembull, i pari mbështjell një çokollatë me një mbështjellës dhe i dyti e lidh me një fjongo. Rezultati është një objekt i përbërë: një çokollatë e mbështjellë dhe e lidhur me një fjongo. Për të ngrënë një çokollatë, duhet të bëni hapat e kundërt në rend të kundërt.

Le të krijojmë një tubacion të ngjashëm matematikor: së pari do të gjejmë kosinusin e një numri, dhe më pas do të vendosim në katror numrin që rezulton. Pra, na jepet një numër (çokollatë), unë gjej kosinusin e saj (mbështjellësin) dhe pastaj ju katrore atë që kam marrë (lidheni me një fjongo). Cfare ndodhi? Funksioni. Ky është një shembull i një funksioni kompleks: kur, për të gjetur vlerën e tij, ne kryejmë veprimin e parë drejtpërdrejt me variablin, dhe më pas një veprim të dytë me atë që rezultoi nga i pari.

Ne mund t'i bëjmë lehtësisht të njëjtat hapa në rend të kundërt: fillimisht ju e vendosni në katror dhe unë më pas kërkoj kosinusin e numrit që rezulton: . Është e lehtë të merret me mend se rezultati pothuajse gjithmonë do të jetë i ndryshëm. Një tipar i rëndësishëm i funksioneve komplekse: kur ndryshon rendi i veprimeve, funksioni ndryshon.

Me fjale te tjera, një funksion kompleks është një funksion, argumenti i të cilit është një funksion tjetër: .

Për shembullin e parë,.

Shembulli i dytë: (e njëjta gjë). .

Veprimi që bëjmë i fundit do të quhet funksioni "i jashtëm"., dhe veprimi i kryer së pari - në përputhje me rrethanat funksioni "i brendshëm".(këto janë emra joformalë, i përdor vetëm për të shpjeguar materialin në gjuhë të thjeshtë).

Mundohuni të përcaktoni vetë se cili funksion është i jashtëm dhe cili i brendshëm:

Përgjigjet: Ndarja e funksioneve të brendshme dhe të jashtme është shumë e ngjashme me ndryshimin e variablave: për shembull, në një funksion

1. Çfarë veprimi do të kryejmë së pari? Së pari, le të llogarisim sinusin, dhe vetëm pastaj ta kubikeojmë atë. Kjo do të thotë se është një funksion i brendshëm, por i jashtëm.
   Dhe funksioni origjinal është përbërja e tyre: .
2. E brendshme: ; e jashtme: .
   Ekzaminimi: .
3. E brendshme: ; e jashtme: .
   Ekzaminimi: .
4. E brendshme: ; e jashtme: .
   Ekzaminimi: .
5. E brendshme: ; e jashtme: .
   Ekzaminimi: .

Ne ndryshojmë variablat dhe marrim një funksion.

Epo, tani do të nxjerrim shiritin tonë të çokollatës dhe do të kërkojmë derivatin. Procedura është gjithmonë e kundërt: fillimisht kërkojmë derivatin e funksionit të jashtëm, pastaj shumëzojmë rezultatin me derivatin e funksionit të brendshëm. Në lidhje me shembullin origjinal, duket kështu:

Një shembull tjetër:

Pra, le të formulojmë më në fund rregullin zyrtar:

Algoritmi për gjetjen e derivatit të një funksioni kompleks:

Duket e thjeshtë, apo jo?

Le të kontrollojmë me shembuj:

Zgjidhjet:

1) E brendshme: ;

E jashtme: ;

2) E brendshme: ;

(Vetëm mos u përpiqni ta shkurtoni deri tani! Asgjë nuk del nga kosinusi, mbani mend?)

3) E brendshme: ;

E jashtme: ;

Është menjëherë e qartë se ky është një funksion kompleks me tre nivele: në fund të fundit, ky tashmë është një funksion kompleks në vetvete, dhe ne gjithashtu nxjerrim rrënjën prej tij, domethënë kryejmë veprimin e tretë (e vendosim çokollatën në një mbështjellës dhe me një fjongo në çantë). Por nuk ka asnjë arsye për t'u frikësuar: ne ende do ta "zhpaketojmë" këtë funksion në të njëjtin rend si zakonisht: nga fundi.

Domethënë, së pari dallojmë rrënjën, pastaj kosinusin dhe vetëm më pas shprehjen në kllapa. Dhe pastaj ne i shumëzojmë të gjitha.

Në raste të tilla, është e përshtatshme të numërohen veprimet. Kjo do të thotë, le të imagjinojmë atë që dimë. Me çfarë radhe do të kryejmë veprimet për të llogaritur vlerën e kësaj shprehjeje? Le të shohim një shembull:

Sa më vonë të kryhet veprimi, aq më "i jashtëm" do të jetë funksioni përkatës. Sekuenca e veprimeve është e njëjtë si më parë:

Këtu foleja është përgjithësisht me 4 nivele. Le të përcaktojmë rrjedhën e veprimit.

1. Shprehje radikale. .

2. Rrënja. .

3. Sinus. .

4. Sheshi. .

5. Duke i bashkuar të gjitha:

DERIVATIV. SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE

Derivat i një funksioni- raporti i rritjes së funksionit ndaj rritjes së argumentit për një rritje infinite të vogël të argumentit:

Derivatet bazë:

Rregullat e diferencimit:

Konstanta hiqet nga shenja derivatore:

Derivati ​​i shumës:

Derivati ​​i produktit:

Derivati ​​i herësit:

Derivati ​​i një funksioni kompleks:

Algoritmi për gjetjen e derivatit të një funksioni kompleks:

1. Përcaktojmë funksionin "të brendshëm" dhe gjejmë derivatin e tij.
2. Përcaktojmë funksionin "të jashtëm" dhe gjejmë derivatin e tij.
3. Ne shumëzojmë rezultatet e pikës së parë dhe të dytë.

Epo, tema mbaroi. Nëse po i lexoni këto rreshta, do të thotë se jeni shumë i lezetshëm.

Sepse vetëm 5% e njerëzve janë në gjendje të zotërojnë diçka vetë. Dhe nëse lexoni deri në fund, atëherë jeni në këtë 5%!

Tani gjëja më e rëndësishme.

Ju e keni kuptuar teorinë për këtë temë. Dhe, e përsëris, kjo... kjo është thjesht super! Ju jeni tashmë më mirë se shumica dërrmuese e bashkëmoshatarëve tuaj.

Problemi është se kjo mund të mos jetë e mjaftueshme ...

Per cfare?

Për dhënien me sukses të Provimit të Unifikuar të Shtetit, për hyrjen në kolegj me buxhet dhe, MË E RËNDËSISHME, për jetën.

Unë nuk do t'ju bind për asgjë, do të them vetëm një gjë ...

Njerëzit që kanë marrë një arsim të mirë fitojnë shumë më tepër se ata që nuk e kanë marrë atë. Kjo është statistika.

Por kjo nuk është gjëja kryesore.

Kryesorja është se ata janë MË TË LËZUAR (ka studime të tilla). Ndoshta sepse shumë më tepër mundësi hapen para tyre dhe jeta bëhet më e ndritshme? nuk e di...

Por mendoni vetë...

Çfarë duhet për t'u siguruar që të jesh më i mirë se të tjerët në Provimin e Unifikuar të Shtetit dhe në fund të fundit të jesh... më i lumtur?

FITO DORA TUAJ DUKE ZGJIDHUR PROBLEMET NË KËTË TEMË.

Nuk do t'ju kërkohet teoria gjatë provimit.

Do t'ju duhet zgjidh problemet me kohën.

Dhe, nëse nuk i keni zgjidhur ato (SHUME!), patjetër që do të bëni një gabim budalla diku ose thjesht nuk do të keni kohë.

Është si në sport - duhet ta përsërisni shumë herë për të fituar me siguri.

Gjeni koleksionin ku të dëshironi, detyrimisht me zgjidhje, analiza të hollësishme dhe vendosni, vendosni, vendosni!

Ju mund të përdorni detyrat tona (opsionale) dhe ne, natyrisht, i rekomandojmë ato.

Në mënyrë që të përmirësoheni në përdorimin e detyrave tona, ju duhet të ndihmoni për të zgjatur jetën e librit shkollor YouClever që po lexoni aktualisht.

Si? Ka dy opsione:

1. Zhbllokoni të gjitha detyrat e fshehura në këtë artikull - 299 fshij.
2. Zhbllokoni aksesin në të gjitha detyrat e fshehura në të 99 artikujt e librit shkollor - 999 fshij.

Po, ne kemi 99 artikuj të tillë në librin tonë shkollor dhe qasja në të gjitha detyrat dhe të gjitha tekstet e fshehura në to mund të hapen menjëherë.

Në rastin e dytë ne do t'ju japim simulator "6000 probleme me zgjidhje dhe përgjigje, për secilën temë, në të gjitha nivelet e kompleksitetit." Do të jetë padyshim e mjaftueshme për të marrë duart për zgjidhjen e problemeve për çdo temë.

Në fakt, ky është shumë më tepër sesa thjesht një imitues - një program i tërë trajnimi. Nëse është e nevojshme, mund ta përdorni edhe FALAS.

Qasja në të gjitha tekstet dhe programet ofrohet për TË GJITHË periudhën e ekzistencës së sajtit.

Në përfundim...

Nëse nuk ju pëlqejnë detyrat tona, gjeni të tjera. Vetëm mos u ndalni në teori.

"Kuptuar" dhe "Unë mund të zgjidh" janë aftësi krejtësisht të ndryshme. Ju duhen të dyja.

Gjeni problemet dhe zgjidhni ato!

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Karakteristikat e elementit të karbonit dhe vetitë kimike