Shumëfishi i dy numrave. Shembull i jetës reale

Pjesëtuesi më i madh i përbashkët

Përkufizimi 2

Nëse një numër natyror a është i pjesëtueshëm me një numër natyror $b$, atëherë $b$ quhet pjesëtues i $a$ dhe $a$ quhet shumëfish i $b$.

Le të jenë numra natyrorë $a$ dhe $b$. Numri $c$ quhet pjesëtues i përbashkët i $a$ dhe $b$.

Bashkësia e pjesëtuesve të përbashkët të numrave $a$ dhe $b$ është e fundme, pasi asnjë nga këta pjesëtues nuk mund të jetë më i madh se $a$. Kjo do të thotë se midis këtyre pjesëtuesve ekziston një më i madhi, i cili quhet pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave $a$ dhe $b$ dhe shënohet me shënimin e mëposhtëm:

$GCD\(a;b)\ ose \D\(a;b)$

Për të gjetur pjesëtuesin më të madh të përbashkët të dy numrave ju nevojiten:

1. Gjeni prodhimin e numrave të gjetur në hapin 2. Numri që rezulton do të jetë pjesëtuesi më i madh i përbashkët i dëshiruar.

Shembulli 1

Gjeni gcd-në e numrave $121$ dhe $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Zgjidhni numrat që përfshihen në zgjerimin e këtyre numrave

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Gjeni prodhimin e numrave të gjetur në hapin 2. Numri që rezulton do të jetë pjesëtuesi më i madh i përbashkët i dëshiruar.

$GCD=2\cdot 11=22$

Shembulli 2

Gjeni gcd-në e monomëve $63$ dhe $81$.

Do të gjejmë sipas algoritmit të paraqitur. Për këtë:

Le t'i faktorizojmë numrat në faktorë të thjeshtë

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Ne zgjedhim numrat që përfshihen në zgjerimin e këtyre numrave

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Le të gjejmë prodhimin e numrave të gjetur në hapin 2. Numri që rezulton do të jetë pjesëtuesi më i madh i përbashkët i dëshiruar.

$GCD=3\cdot 3=9$

Ju mund ta gjeni gcd-në e dy numrave në një mënyrë tjetër, duke përdorur një grup pjesëtuesish numrash.

Shembulli 3

Gjeni gcd-në e numrave $48$ dhe $60$.

Zgjidhja:

Le të gjejmë bashkësinë e pjesëtuesve të numrit $48$: $\majtas\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\djathtas\)$

Tani le të gjejmë grupin e pjesëtuesve të numrit $60$:$\ \majtas\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\djathtas\) $

Le të gjejmë kryqëzimin e këtyre grupeve: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - ky grup do të përcaktojë grupin e pjesëtuesve të përbashkët të numrave $48$ dhe $60 $. Elementi më i madh në këtë grup do të jetë numri $12$. Kjo do të thotë se pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave $48$ dhe $60$ është $12$.

Përkufizimi i NPL

Përkufizimi 3

Shumëfisha të përbashkët të numrave natyrorë$a$ dhe $b$ është një numër natyror që është shumëfish i $a$ dhe $b$.

Shumëfishat e përbashkët të numrave janë numra që janë të pjesëtueshëm me numrat origjinalë pa mbetje Për shembull, për numrat 25$ dhe 50$, shumëfishat e përbashkët do të jenë numrat 50,100,150,200$, etj.

Shumëfishi më i vogël i përbashkët do të quhet shumëfishi më i vogël i përbashkët dhe do të shënohet LCM$(a;b)$ ose K$(a;b).$

Për të gjetur LCM-në e dy numrave, duhet:

1. Faktori i numrave në faktorë të thjeshtë
2. Shkruani faktorët që janë pjesë e numrit të parë dhe shtoni atyre faktorët që janë pjesë e të dytit dhe nuk janë pjesë e të parit.

Shembulli 4

Gjeni LCM-në e numrave $99$ dhe $77$.

Do të gjejmë sipas algoritmit të paraqitur. Për këtë

Faktori i numrave në faktorë të thjeshtë

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Shkruani faktorët e përfshirë në të parën

shtoni atyre shumëzues që janë pjesë e së dytës dhe jo pjesë e së parës

Gjeni prodhimin e numrave të gjetur në hapin 2. Numri që rezulton do të jetë shumëfishi më i vogël i zakonshëm i dëshiruar

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Përpilimi i listave të pjesëtuesve të numrave është shpesh një detyrë shumë e vështirë. Ekziston një mënyrë për të gjetur GCD që quhet algoritmi Euklidian.

Deklaratat në të cilat bazohet algoritmi Euklidian:

Nëse $a$ dhe $b$ janë numra natyrorë, dhe $a\vdots b$, atëherë $D(a;b)=b$

Nëse $a$ dhe $b$ janë numra natyrorë të tillë që $b

Duke përdorur $D(a;b)= D(a-b;b)$, ne mund të zvogëlojmë në mënyrë të njëpasnjëshme numrat në shqyrtim derisa të arrijmë një çift numrash të tillë që njëri prej tyre të jetë i pjesëtueshëm me tjetrin. Atëherë, më i vogli nga këta numra do të jetë pjesëtuesi më i madh i përbashkët i dëshiruar për numrat $a$ dhe $b$.

Vetitë e GCD dhe LCM

1. Çdo shumëfish i përbashkët i $a$ dhe $b$ është i pjesëtueshëm me K$(a;b)$
2. Nëse $a\vdots b$ , atëherë К$(a;b)=a$

Nëse K$(a;b)=k$ dhe $m$ është një numër natyror, atëherë K$(am;bm)=km$

Nëse $d$ është një pjesëtues i zakonshëm për $a$ dhe $b$, atëherë K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Nëse $a\vdots c$ dhe $b\vdots c$, atëherë $\frac(ab)(c)$ është shumëfishi i përbashkët i $a$ dhe $b$

Për çdo numër natyror $a$ dhe $b$ barazia vlen

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

Çdo pjesëtues i përbashkët i numrave $a$ dhe $b$ është pjesëtues i numrit $D(a;b)$

Për të kuptuar se si të llogaritni LCM, së pari duhet të përcaktoni kuptimin e termit "shumë".

Një shumëfish i A është një numër natyror që plotpjesëtohet me A pa mbetje Kështu, numrat që janë shumëfish të 5-ës mund të konsiderohen 15, 20, 25, e kështu me radhë.

Mund të ketë një numër të kufizuar pjesëtuesish të një numri të caktuar, por ka një numër të pafund shumëfishësh.

Një shumëfish i përbashkët i numrave natyrorë është një numër që pjesëtohet me ta pa lënë mbetje.

Si të gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave

Shumëfishi më i vogël i përbashkët (LCM) i numrave (dy, tre ose më shumë) është numri natyror më i vogël që është i pjesëtueshëm me të gjithë këta numra.

Për të gjetur LOC, mund të përdorni disa metoda.

Për numrat e vegjël, është e përshtatshme të shkruani të gjithë shumëfishat e këtyre numrave në një rresht derisa të gjeni diçka të përbashkët midis tyre. Shumëfishat shënohen me shkronjën e madhe K.

Për shembull, shumëfishat e 4 mund të shkruhen si kjo:

K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

Kështu, mund të shihni se shumëfishi më i vogël i përbashkët i numrave 4 dhe 6 është numri 24. Ky shënim bëhet si më poshtë:

LCM(4, 6) = 24

Nëse numrat janë të mëdhenj, gjeni shumëfishin e përbashkët të tre ose më shumë numrave, atëherë është më mirë të përdorni një metodë tjetër të llogaritjes së LCM.

Për të përfunduar detyrën, duhet të faktorizoni numrat e dhënë në faktorë të thjeshtë.

Së pari ju duhet të shkruani dekompozimin e numrit më të madh në një rresht, dhe nën të - pjesën tjetër.

Zbërthimi i çdo numri mund të përmbajë një numër të ndryshëm faktorësh.

Për shembull, le të faktorizojmë numrat 50 dhe 20 në faktorët kryesorë.

Në zgjerimin e numrit më të vogël, duhet të evidentoni faktorët që mungojnë në zgjerimin e numrit të parë më të madh dhe më pas t'i shtoni atij. Në shembullin e paraqitur, mungon një dy.

Tani mund të llogarisni shumëfishin më të vogël të përbashkët të 20 dhe 50.

LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Kështu, prodhimi i faktorëve të thjeshtë të numrit më të madh dhe faktorëve të numrit të dytë që nuk janë përfshirë në zgjerimin e numrit më të madh do të jetë shumëfishi më i vogël i përbashkët.

Për të gjetur LCM-në e tre ose më shumë numrave, duhet t'i faktorizoni të gjithë në faktorë të thjeshtë, si në rastin e mëparshëm.

Si shembull, mund të gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Kështu, vetëm dy dy nga zgjerimi i gjashtëmbëdhjetë nuk u përfshinë në faktorizimin e një numri më të madh (njëra është në zgjerimin e njëzet e katër).

Kështu, ato duhet të shtohen në zgjerimin e një numri më të madh.

LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Ka raste të veçanta të përcaktimit të shumëfishit më të vogël të përbashkët. Pra, nëse një nga numrat mund të ndahet pa mbetje me një tjetër, atëherë më i madhi nga këta numra do të jetë shumëfishi më i vogël i përbashkët.

Për shembull, LCM e dymbëdhjetë dhe njëzet e katër është njëzet e katër.

Nëse është e nevojshme të gjendet shumëfishi më i vogël i përbashkët i numrave të përbashkët që nuk kanë pjesëtues identikë, atëherë LCM e tyre do të jetë e barabartë me produktin e tyre.

Për shembull, LCM (10, 11) = 110.

Le të shqyrtojmë zgjidhjen e problemit të mëposhtëm. Hapi i djalit është 75 cm, dhe hapi i vajzës është 60 cm. Është e nevojshme të gjesh distancën më të vogël në të cilën ata të dy bëjnë një numër të plotë hapash.

Zgjidhje. E gjithë rruga nëpër të cilën do të kalojnë fëmijët duhet të ndahet me 60 dhe 70, pasi secili duhet të bëjë një numër të plotë hapash. Me fjalë të tjera, përgjigja duhet të jetë një shumëfish i 75 dhe 60.

Së pari, do të shkruajmë të gjitha shumëfishat e numrit 75. Marrim:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Tani le të shkruajmë numrat që do të jenë shumëfish të 60. Marrim:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Tani gjejmë numrat që janë në të dy rreshtat.

• Shumëfishat e zakonshëm të numrave do të ishin 300, 600, etj.

Më i vogli prej tyre është numri 300. Në këtë rast do të quhet shumëfishi më i vogël i përbashkët i numrave 75 dhe 60.

Duke u kthyer në gjendjen e problemit, distanca më e vogël në të cilën djemtë do të bëjnë një numër të plotë hapash do të jetë 300 cm. Djali do ta mbulojë këtë rrugë në 4 hapa, dhe vajza do të duhet të bëjë 5 hapa.

Përcaktimi i shumëfishit më të vogël të përbashkët

• Shumëfishi më i vogël i përbashkët i dy numrave natyrorë a dhe b është numri natyror më i vogël që është shumëfish i a dhe b.

Për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët të dy numrave, nuk është e nevojshme të shënohen të gjitha shumëfishat e këtyre numrave me radhë.

Ju mund të përdorni metodën e mëposhtme.

Si të gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët

Së pari ju duhet t'i faktorizoni këta numra në faktorët kryesorë.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Tani le të shkruajmë të gjithë faktorët që janë në zgjerimin e numrit të parë (2,2,3,5) dhe t'i shtojmë të gjithë faktorët që mungojnë nga zgjerimi i numrit të dytë (5).

Si rezultat, marrim një seri numrash të thjeshtë: 2,2,3,5,5. Prodhimi i këtyre numrave do të jetë faktori më pak i zakonshëm për këta numra. 2*2*3*5*5 = 300.

Skema e përgjithshme për gjetjen e shumëfishit më të vogël të përbashkët

• 1. Ndani numrat në faktorë të thjeshtë.
• 2. Shkruani faktorët kryesorë që bëjnë pjesë në njërin prej tyre.
• 3. Këtyre faktorëve shtojini të gjithë ata që janë në zgjerimin e të tjerëve, por jo në atë të përzgjedhurit.
• 4. Gjeni produktin e të gjithë faktorëve të shkruar.

Kjo metodë është universale. Mund të përdoret për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët të çdo numri numrash natyrorë.

Shumica e veprimeve me thyesa algjebrike, si mbledhja dhe zbritja, kërkojnë fillimisht reduktimin e këtyre thyesave në të njëjtët emërues. Emërues të tillë shpesh quhen edhe "emërues të përbashkët". Në këtë temë, ne do të shikojmë përkufizimin e koncepteve "emëruesi i përbashkët i thyesave algjebrike" dhe "emëruesi më i vogël i përbashkët i thyesave algjebrike (LCD)", shqyrtojmë algoritmin për gjetjen e emëruesit të përbashkët pikë për pikë dhe zgjidhim disa probleme në temë.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Emëruesi i përbashkët i thyesave algjebrike

Nëse flasim për thyesa të zakonshme, atëherë emëruesi i përbashkët është një numër që është i pjesëtueshëm me cilindo nga emëruesit e thyesave origjinale. Për fraksionet e zakonshme 1 2 Dhe 5 9 numri 36 mund të jetë një emërues i përbashkët, pasi ndahet me 2 dhe 9 pa mbetje.

Emëruesi i përbashkët i thyesave algjebrike përcaktohet në mënyrë të ngjashme, në vend të numrave përdoren vetëm polinomet, pasi ata janë numëruesit dhe emëruesit e thyesës algjebrike.

Përkufizimi 1

Emëruesi i përbashkët i një thyese algjebrikeështë një polinom që pjesëtohet me emëruesin e çdo thyese.

Për shkak të veçorive të thyesave algjebrike, të cilat do të diskutohen më poshtë, ne shpesh do të merremi me emërues të përbashkët të përfaqësuar si prodhim dhe jo si polinom standard.

Shembulli 1

Polinom i shkruar si produkt 3 x 2 (x + 1), korrespondon me një polinom të formës standarde 3 x 3 + 3 x 2. Ky polinom mund të jetë emëruesi i përbashkët i thyesave algjebrike 2 x, - 3 x y x 2 dhe y + 3 x + 1, për faktin se është i pjesëtueshëm me x, në x 2 dhe me radhë x+1. Informacioni mbi pjesëtueshmërinë e polinomeve është i disponueshëm në temën përkatëse të burimit tonë.

Emëruesi më i vogël i përbashkët (LCD)

Për thyesat e dhëna algjebrike, numri i emëruesve të përbashkët mund të jetë i pafund.

Shembulli 2

Le të marrim si shembull thyesat 1 2 x dhe x + 1 x 2 + 3. Emëruesi i përbashkët i tyre është 2 x (x 2 + 3), si dhe − 2 x (x 2 + 3), si dhe x (x 2 + 3), si dhe 6, 4 x (x 2 + 3) (y + y 4), si dhe − 31 x 5 (x 2 + 3) 3, dhe kështu me radhë.

Kur zgjidhni probleme, mund ta lehtësoni punën tuaj duke përdorur një emërues të përbashkët, i cili ka formën më të thjeshtë midis të gjithë grupit të emëruesve. Ky emërues shpesh përmendet si emëruesi më i ulët i përbashkët.

Përkufizimi 2

Emëruesi më i vogël i përbashkët i thyesave algjebrikeështë emëruesi i përbashkët i thyesave algjebrike, i cili ka formën më të thjeshtë.

Nga rruga, termi "emëruesi më i ulët i përbashkët" nuk pranohet përgjithësisht, kështu që është më mirë të kufizohemi në termin "emërues i përbashkët". Dhe kjo është arsyeja pse.

Më herët ne e përqendroëm vëmendjen tuaj në frazën "emëruesi i llojit më të thjeshtë". Kuptimi kryesor i kësaj fraze është si vijon: emëruesi i formës më të thjeshtë duhet të jetë i pjesëtueshëm me çdo emërues tjetër të përbashkët të të dhënave në kushtin e problemit të thyesave algjebrike. Në këtë rast, në produktin, i cili është emëruesi i përbashkët i thyesave, mund të përdoren koeficientë të ndryshëm numerikë.

Shembulli 3

Le të marrim thyesat 1 2 · x dhe x + 1 x 2 + 3 . Ne kemi zbuluar tashmë se do të jetë më e lehtë për ne të punojmë me një emërues të përbashkët të formës 2 · x · (x 2 + 3). Gjithashtu, emëruesi i përbashkët për këto dy thyesa mund të jetë x (x 2 + 3), i cili nuk përmban një koeficient numerik. Pyetja është se cili nga këta dy emërues të përbashkët konsiderohet si emëruesi më i vogël i përbashkët i thyesave. Nuk ka asnjë përgjigje të caktuar, prandaj është më e saktë të flasim thjesht për emëruesin e përbashkët dhe të punojmë me opsionin me të cilin do të jetë më i përshtatshëm për të punuar. Pra, ne mund të përdorim emërues të tillë të përbashkët si x 2 (x 2 + 3) (y + y 4) ose − 15 x 5 (x 2 + 3) 3, të cilat kanë një pamje më komplekse, por mund të jetë më e vështirë për të kryer veprime me to.

Gjetja e emëruesit të përbashkët të thyesave algjebrike: algoritmi i veprimeve

Supozoni se kemi disa thyesa algjebrike për të cilat duhet të gjejmë një emërues të përbashkët. Për të zgjidhur këtë problem mund të përdorim algoritmin e mëposhtëm të veprimeve. Së pari duhet të faktorizojmë emëruesit e thyesave origjinale. Më pas ne hartojmë një vepër në të cilën përfshijmë në mënyrë sekuenciale:

• të gjithë faktorët nga emëruesi i thyesës së parë së bashku me fuqitë;
• të gjithë faktorët e pranishëm në emëruesin e thyesës së dytë, por që nuk janë në prodhimin e shkruar ose shkalla e tyre është e pamjaftueshme;
• të gjithë faktorët që mungojnë nga emëruesi i thyesës së tretë, e kështu me radhë.

Produkti që rezulton do të jetë emëruesi i përbashkët i thyesave algjebrike.

Si faktorë të prodhimit, ne mund të marrim të gjithë emëruesit e thyesave të dhëna në deklaratën e problemit. Megjithatë, shumëzuesi që do të marrim në fund do të jetë larg NCD në kuptim dhe përdorimi i tij do të jetë irracional.

Shembulli 4

Përcaktoni emëruesin e përbashkët të thyesave 1 x 2 y, 5 x + 1 dhe y - 3 x 5 y.

Zgjidhje

Në këtë rast, nuk kemi nevojë të faktorizojmë emëruesit e thyesave origjinale. Prandaj, do të fillojmë të zbatojmë algoritmin duke kompozuar veprën.

Nga emëruesi i thyesës së parë marrim shumëzuesin x 2 v, nga emëruesi i thyesës së dytë shumëzuesi x+1. Ne marrim produktin x 2 y (x + 1).

Emëruesi i thyesës së tretë mund të na japë një shumëzues x 5 v, megjithatë, produkti që përpiluam më parë tashmë ka faktorë x 2 Dhe y. Prandaj, ne shtojmë më shumë x 5 − 2 = x 3. Ne marrim produktin x 2 y (x + 1) x 3, e cila mund të reduktohet në formë x 5 y (x + 1). Kjo do të jetë NOZ-ja jonë e thyesave algjebrike.

Përgjigje: x 5 · y · (x + 1) .

Tani le të shohim shembuj të problemeve ku emëruesit e thyesave algjebrike përmbajnë faktorë numerikë me numër të plotë. Në raste të tilla, ne ndjekim edhe algoritmin, duke i zbërthyer më parë faktorët numerikë të plotë në faktorë të thjeshtë.

Shembulli 5

Gjeni emëruesin e përbashkët të thyesave 1 12 x dhe 1 90 x 2.

Zgjidhje

Duke i ndarë numrat në emëruesit e thyesave në faktorë të thjeshtë, marrim 1 2 2 3 x dhe 1 2 3 2 5 x 2. Tani mund të kalojmë në përpilimin e një emëruesi të përbashkët. Për ta bërë këtë, nga emëruesi i fraksionit të parë marrim produktin 2 2 3 x dhe shtojini faktorët 3, 5 dhe x nga emëruesi i thyesës së dytë. marrim 2 2 3 x 3 5 x = 180 x 2. Ky është emëruesi ynë i përbashkët.

Përgjigje: 180 x 2.

Nëse shikoni me vëmendje rezultatet e dy shembujve të analizuar, do të vini re se emëruesit e përbashkët të thyesave përmbajnë të gjithë faktorët e pranishëm në zgjerimet e emëruesve, dhe nëse një faktor i caktuar është i pranishëm në disa emërues, atëherë merret me eksponentin më të madh në dispozicion. Dhe nëse emëruesit kanë koeficientë të plotë, atëherë emëruesi i përbashkët përmban një faktor numerik të barabartë me shumëfishin më të vogël të përbashkët të këtyre koeficientëve numerik.

Shembulli 6

Emëruesit e të dy thyesave algjebrike 1 12 x dhe 1 90 x 2 kanë një faktor x. Në rastin e dytë, faktori x është në katror. Për të krijuar një emërues të përbashkët, ne duhet ta marrim këtë faktor në masën më të madhe, d.m.th. x 2. Nuk ka shumëzues të tjerë me variabla. Koeficientët numerikë të plotë të thyesave origjinale 12 Dhe 90 , dhe shumëfishi i tyre më i vogël i përbashkët është 180 . Rezulton se emëruesi i përbashkët i dëshiruar ka formën 180 x 2.

Tani mund të shkruajmë një algoritëm tjetër për gjetjen e faktorit të përbashkët të thyesave algjebrike. Për këtë ne:

• faktorizoni emëruesit e të gjitha thyesave;
• ne hartojmë produktin e të gjithë faktorëve të shkronjave (nëse ka një faktor në disa zgjerime, marrim opsionin me eksponentin më të madh);
• produktit që rezulton i shtojmë LCM-në e koeficientëve numerikë të zgjerimeve.

Algoritmet e dhëna janë ekuivalente, kështu që secili prej tyre mund të përdoret për zgjidhjen e problemeve. Është e rëndësishme t'i kushtoni vëmendje detajeve.

Ka raste kur faktorët e përbashkët në emëruesit e thyesave mund të jenë të padukshëm pas koeficientëve numerikë. Këtu këshillohet që së pari të vendosen koeficientët numerikë në fuqi më të larta të variablave jashtë kllapave në secilin prej faktorëve të pranishëm në emërues.

Shembulli 7

Çfarë emëruesi të përbashkët kanë thyesat 3 5 - x dhe 5 - x · y 2 2 · x - 10?

Zgjidhje

Në rastin e parë, minus një duhet të hiqet nga kllapat. Ne marrim 3 - x - 5 . Ne shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin me - 1 për të hequr qafe minusin në emërues: - 3 x - 5.

Në rastin e dytë, ne i vendosim të dy jashtë kllapave. Kjo na lejon të marrim thyesën 5 - x · y 2 2 · x - 5.

Është e qartë se emëruesi i përbashkët i këtyre thyesave algjebrike - 3 x - 5 dhe 5 - x · y 2 2 · x - 5 është 2 (x − 5).

Përgjigje:2 (x − 5).

Të dhënat në kushtin e problemit të fraksionit mund të kenë koeficientë thyesorë. Në këto raste, së pari duhet të hiqni qafe koeficientët thyesorë duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin me një numër të caktuar.

Shembulli 8

Thjeshtoni thyesat algjebrike 1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 dhe - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 dhe më pas përcaktoni emëruesin e përbashkët të tyre.

Zgjidhje

Le të heqim qafe koeficientët thyesorë duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin në rastin e parë me 14, në rastin e dytë me 3. Ne marrim:

1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 = 14 1 2 x + 1 14 1 14 x 2 + 1 7 = 7 x + 1 x 2 + 2 dhe - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 = 3 · - 2 3 · 2 3 · x 2 + 4 3 = - 6 2 · x 2 + 4 = - 6 2 · x 2 + 2 .

Pas transformimeve, bëhet e qartë se emëruesi i përbashkët është 2 (x 2 + 2).

Përgjigje: 2 (x 2 + 2).

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Një shumëfish është një numër që pjesëtohet me një numër të caktuar pa mbetje. Shumëfishi më i vogël i përbashkët (LCM) i një grupi numrash është numri më i vogël që pjesëtohet me secilin numër në grup pa lënë mbetje. Për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët, duhet të gjeni faktorët kryesorë të numrave të dhënë. LCM gjithashtu mund të llogaritet duke përdorur një numër metodash të tjera që zbatohen për grupet me dy ose më shumë numra.

Hapat

Seri shumëfishësh

Shikoni këto numra. Metoda e përshkruar këtu përdoret më së miri kur jepen dy numra, secili prej të cilëve është më i vogël se 10. Nëse jepen numra më të mëdhenj, përdorni një metodë tjetër.

• Për shembull, gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të 5 dhe 8. Këta janë numra të vegjël, kështu që mund të përdorni këtë metodë.

1. Një shumëfish është një numër që pjesëtohet me një numër të caktuar pa mbetje. Shumëfishat mund të gjenden në tabelën e shumëzimit.

   • Për shembull, numrat që janë shumëfish të 5-ës janë: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Shkruani një seri numrash që janë shumëfish të numrit të parë. Bëni këtë nën shumëfishat e numrit të parë për të krahasuar dy grupe numrash.

   • Për shembull, numrat që janë shumëfish të 8-ës janë: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 dhe 64.

3. Gjeni numrin më të vogël që është i pranishëm në të dy grupet e shumëfishave. Mund t'ju duhet të shkruani seri të gjata shumëfishash për të gjetur numrin total. Numri më i vogël që është i pranishëm në të dy grupet e shumëfishave është shumëfishi më pak i zakonshëm.

   • Për shembull, numri më i vogël që shfaqet në serinë e shumëfishave të 5 dhe 8 është numri 40. Prandaj, 40 është shumëfishi më i vogël i përbashkët i 5 dhe 8.

   Faktorizimi kryesor

   1. Shikoni këto numra. Metoda e përshkruar këtu përdoret më së miri kur jepen dy numra, secili prej të cilëve është më i madh se 10. Nëse jepen numra më të vegjël, përdorni një metodë tjetër.

      • Për shembull, gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave 20 dhe 84. Secili nga numrat është më i madh se 10, kështu që mund të përdorni këtë metodë.

   2. Faktoroni numrin e parë në faktorët kryesorë. Kjo do të thotë, ju duhet të gjeni numra të tillë të thjeshtë që, kur shumëzohen, do të japin një numër të caktuar. Pasi të keni gjetur faktorët kryesorë, shkruajini si barazi.

      • Për shembull, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\herë 10=20) Dhe 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\herë (\mathbf (5) )=10). Kështu, faktorët e thjeshtë të numrit 20 janë numrat 2, 2 dhe 5. Shkruajini si shprehje: .

   3. Faktoroni numrin e dytë në faktorët kryesorë. Bëje këtë në të njëjtën mënyrë si faktorizoi numrin e parë, d.m.th., gjeni numra të tillë të thjeshtë që, kur shumëzohen, do të japin numrin e dhënë.

      • Për shembull, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\herë 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\herë 6=42) Dhe 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\herë (\mathbf (2) )=6). Kështu, faktorët e thjeshtë të numrit 84 janë numrat 2, 7, 3 dhe 2. Shkruajini si shprehje: .

   4. Shkruani faktorët e përbashkët për të dy numrat. Shkruani faktorë të tillë si një veprim shumëzimi. Ndërsa shkruani çdo faktor, kryqëzojeni atë në të dyja shprehjet (shprehje që përshkruajnë faktorizimin e numrave në faktorë të thjeshtë).

      • Për shembull, të dy numrat kanë një faktor të përbashkët prej 2, kështu që shkruani 2 × (\shfaqja 2\herë) dhe kaloni 2 në të dyja shprehjet.
      • Ajo që të dy numrat kanë të përbashkët është një faktor tjetër prej 2, kështu që shkruani 2 × 2 (\stil ekrani 2\herë 2) dhe shënoni 2 të dytën në të dyja shprehjet.

   5. Shtoni faktorët e mbetur në veprimin e shumëzimit. Këta janë faktorë që nuk janë të kryqëzuar në të dyja shprehjet, domethënë faktorë që nuk janë të përbashkët për të dy numrat.

      • Për shembull, në shprehje 20 = 2 × 2 × 5 (\stil ekrani 20=2\herë 2\herë 5) Të dy dy (2) janë të kryqëzuara sepse janë faktorë të përbashkët. Faktori 5 nuk është tejkaluar, kështu që shkruajeni operacionin e shumëzimit si kjo: 2 × 2 × 5 (\stil ekrani 2\herë 2\herë 5)
      • Në shprehje 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\herë 7\herë 3\herë 2) të dyja dyshe (2) janë gjithashtu të kryqëzuara. Faktorët 7 dhe 3 nuk janë të kryqëzuar, kështu që shkruajeni veprimin e shumëzimit kështu: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\stil ekrani 2\herë 2\herë 5\herë 7\herë 3).

   6. Llogaritni shumëfishin më të vogël të përbashkët. Për ta bërë këtë, shumëzoni numrat në operacionin e shkrimit të shumëzimit.

      • Për shembull, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\stil ekrani 2\herë 2\herë 5\herë 7\herë 3=420). Pra, shumëfishi më i vogël i përbashkët i 20 dhe 84 është 420.

   Gjetja e faktorëve të përbashkët

   1. Vizatoni një rrjet si për një lojë tik-tac-toe. Një rrjet i tillë përbëhet nga dy drejtëza paralele që kryqëzohen (në kënd të drejtë) me dy drejtëza të tjera paralele. Kjo do t'ju japë tre rreshta dhe tre kolona (rrjeti duket shumë si ikona #). Shkruani numrin e parë në rreshtin e parë dhe në kolonën e dytë. Shkruani numrin e dytë në rreshtin e parë dhe në kolonën e tretë.

      • Për shembull, gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave 18 dhe 30. Shkruani numrin 18 në rreshtin e parë dhe në kolonën e dytë dhe shkruani numrin 30 në rreshtin e parë dhe në kolonën e tretë.

   2. Gjeni pjesëtuesin e përbashkët për të dy numrat. Shkruajeni atë në rreshtin e parë dhe në kolonën e parë. Është më mirë të kërkosh për faktorët kryesorë, por kjo nuk është një kërkesë.

      • Për shembull, 18 dhe 30 janë numra çift, kështu që faktori i tyre i përbashkët është 2. Pra, shkruani 2 në rreshtin e parë dhe në kolonën e parë.

   3. Pjesëtoni çdo numër me pjesëtuesin e parë. Shkruani çdo herës nën numrin e duhur. Koeficienti është rezultat i pjesëtimit të dy numrave.

      • Për shembull, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), kështu që shkruani 9 nën 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), kështu që shkruani 15 nën 30.

   4. Gjeni pjesëtuesin e përbashkët për të dy herësit. Nëse nuk ka një pjesëtues të tillë, kaloni dy hapat e ardhshëm. Përndryshe, shkruani pjesëtuesin në rreshtin e dytë dhe në kolonën e parë.

      • Për shembull, 9 dhe 15 pjesëtohen me 3, kështu që shkruani 3 në rreshtin e dytë dhe kolonën e parë.

   5. Pjestoni çdo herës me pjesëtuesin e dytë. Shkruani çdo rezultat të pjesëtimit nën herësin përkatës.

      • Për shembull, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), kështu që shkruani 3 nën 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), kështu që shkruani 5 nën 15.

   6. Nëse është e nevojshme, shtoni qeliza shtesë në rrjet. Përsëritni hapat e përshkruar derisa herësorët të kenë një pjesëtues të përbashkët.

   7. Rrethoni numrat në kolonën e parë dhe në rreshtin e fundit të rrjetit. Më pas shkruajini numrat e zgjedhur si një veprim shumëzimi.

      • Për shembull, numrat 2 dhe 3 janë në kolonën e parë, dhe numrat 3 dhe 5 janë në rreshtin e fundit, kështu që shkruajeni veprimin e shumëzimit si kjo: 2 × 3 × 3 × 5 (\stil ekrani 2\herë 3\herë 3\herë 5).

   8. Gjeni rezultatin e shumëzimit të numrave. Kjo do të llogarisë shumëfishin më të vogël të përbashkët të dy numrave të dhënë.

      • Për shembull, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\shfaqja 2\herë 3\herë 3\herë 5=90). Pra, shumëfishi më i vogël i përbashkët i 18 dhe 30 është 90.

   Algoritmi i Euklidit

   1. Mos harroni terminologjinë e lidhur me operacionin e ndarjes. Dividenti është numri që po ndahet. Pjesëtuesi është numri me të cilin pjesëtohet. Koeficienti është rezultat i pjesëtimit të dy numrave. Një mbetje është numri i mbetur kur ndahen dy numra.

      • Për shembull, në shprehje 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
        15 është dividenti
        6 është një pjesëtues
        2 është herësi
        3 është pjesa e mbetur.