Shembuj të identiteteve trigonometrike. Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike

Identitetet bazë trigonometrike.

secα lexohet: "alfa sekant". Ky është reciproku i kosinusit alfa.

cosecα lexoi: "alfa kosekant". Kjo është reciproke e alfa sinusit.

Shembuj. Thjeshtoni shprehjen:

A) 1 – mëkat 2 α; b) cos 2 α – 1; V)(1 – cosα)(1+cosα); G) sin 2 αcosα – cosα; d) sin 2 α+1+cos 2 α;

e) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α; dhe) tg 2 α – sin 2 αtg 2 α; h) ctg 2 αcos 2 α – ctg 2 α; Dhe) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α.

A) 1 – sin 2 α = cos 2 α sipas formulës 1) ;

b) cos 2 α – 1 =- (1 – cos 2 α) = -sin 2 α aplikoi gjithashtu formulën 1) ;

V)(1 – cosα)(1+cosα) = 1 – cos 2 α = sin 2 α. Fillimisht aplikuam formulën për diferencën e katrorëve të dy shprehjeve: (a – b)(a+b) = a 2 – b 2 dhe më pas formulën 1) ;

G) sin 2 αcosα – cosα. Le të heqim faktorin e përbashkët jashtë kllapave.

sin 2 αcosα – cosα = cosα(sin 2 α – 1) = -cosα(1 – sin 2 α) = -cosα ∙ cos 2 α = -cos 3 α. Ju, sigurisht, tashmë keni vënë re se meqenëse 1 – sin 2 α = cos 2 α, atëherë sin 2 α – 1 = -cos 2 α. Në të njëjtën mënyrë, nëse 1 – cos 2 α = sin 2 α, atëherë cos 2 α – 1 = -sin 2 α.

d) sin 2 α+1+cos 2 α = (sin 2 α+cos 2 α)+1 = 1+1 = 2;

e) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α. Kemi: katrorin e shprehjes sin 2 α plus produktin e dyfishtë të sin 2 α me cos 2 α dhe plus katrorin e shprehjes së dytë cos 2 α. Le të zbatojmë formulën për katrorin e shumës së dy shprehjeve: a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2. Më pas aplikojmë formulën 1) . Marrim: sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α = (sin 2 α+cos 2 α) 2 = 1 2 = 1;

dhe) tg 2 α – sin 2 αtg 2 α = tg 2 α(1 – sin 2 α) = tg 2 α ∙ cos 2 α = mëkat 2 α. Zbatoni formulën 1) , dhe më pas formula 2) .

Mbani mend: tgα ∙ cosα = mëkatα.

Në mënyrë të ngjashme, duke përdorur formulën 3) në dispozicion: ctgα ∙ mëkatα = cosα. Mbani mend!

h) ctg 2 αcos 2 α – ctg 2 α = ctg 2 α(cos 2 α – 1) = ctg 2 α ∙ (-sin 2 α) = -cos 2 α.

Dhe) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α = cos 2 α(1+tg 2 α) = 1. Ne fillimisht hoqëm faktorin e përbashkët nga kllapat dhe thjeshtuam përmbajtjen e kllapave duke përdorur formulën 7).

Konvertoni shprehjen:

Funksionet trigonometrike- Kërkesa "mëkat" ridrejtohet këtu; shih edhe kuptime të tjera. Kërkesa "sek" ridrejtohet këtu; shih edhe kuptime të tjera. Kërkesa "Sine" ridrejtohet këtu; shih edhe kuptime të tjera... Wikipedia

Tan

Oriz. 1 Grafikët e funksioneve trigonometrike: sinus, kosinus, tangent, sekant, kosekant, kotangjent Funksionet trigonometrike janë një lloj funksionesh elementare. Zakonisht këto përfshijnë sinus (sin x), kosinus (cos x), tangjentë (tg x), kotangjent (ctg x), ... ... Wikipedia

Kosinusi- Oriz. 1 Grafikët e funksioneve trigonometrike: sinus, kosinus, tangent, sekant, kosekant, kotangjent Funksionet trigonometrike janë një lloj funksionesh elementare. Zakonisht këto përfshijnë sinusin (sin x), kosinusin (cos x), tangjentën (tg x), kotangjentën (ctg x), ... ... Wikipedia

Kotangjente- Oriz. 1 Grafikët e funksioneve trigonometrike: sinus, kosinus, tangent, sekant, kosekant, kotangjent Funksionet trigonometrike janë një lloj funksionesh elementare. Zakonisht këto përfshijnë sinusin (sin x), kosinusin (cos x), tangjentën (tg x), kotangjentën (ctg x), ... ... Wikipedia

Sekant- Oriz. 1 Grafikët e funksioneve trigonometrike: sinus, kosinus, tangent, sekant, kosekant, kotangjent Funksionet trigonometrike janë një lloj funksionesh elementare. Zakonisht këto përfshijnë sinusin (sin x), kosinusin (cos x), tangjentën (tg x), kotangjentën (ctg x), ... ... Wikipedia

Historia e trigonometrisë- Matjet gjeodezike (shek. XVII) ... Wikipedia

Tangjentja e formulës së gjysmëkëndit- Në trigonometri, formula tan e një gjysmë këndi lidh tangjentën e një gjysmë këndi me funksionet trigonometrike të një këndi të plotë: Variacionet e kësaj formule janë si më poshtë... Wikipedia

Trigonometria- (nga greqishtja τρίγονο (trekëndësh) dhe greqishtja μετρειν (masë), domethënë matja e trekëndëshave) një degë e matematikës në të cilën studiohen funksionet trigonometrike dhe aplikimet e tyre në gjeometri. Ky term u shfaq për herë të parë në 1595 si... ... Wikipedia

Zgjidhja e trekëndëshave- (lat. solutio triangulorum) term historik që nënkupton zgjidhjen e problemit kryesor trigonometrik: duke përdorur të dhëna të njohura për një trekëndësh (brinjët, këndet, etj.) gjeni karakteristikat e tij të mbetura. Trekëndëshi mund të gjendet në... ... Wikipedia

libra

• Set tavolinash. Algjebra dhe fillimet e analizës. Klasa 10. 17 tabela + metodologji, . Tabelat janë të printuara në karton të trashë të printuar me përmasa 680 x 980 mm. Kompleti përfshin një broshurë me udhëzime mësimore për mësuesit. Album edukativ 17 fletësh... Blini 3944 RUR
• Tabelat e integraleve dhe formula të tjera matematikore, Dwight G.B.. Edicioni i dhjetë i librit të famshëm të referencës përmban tabela shumë të detajuara të integraleve të pacaktuara dhe të përcaktuara, si dhe një numër të madh formulash të tjera matematikore: zgjerimet e serive, ...

Identitete trigonometrike- këto janë barazi që vendosin një marrëdhënie midis sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së një këndi, i cili ju lejon të gjeni ndonjë nga këto funksione, me kusht që të dihet ndonjë tjetër.

tg \alfa = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alfa = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alfa \cdot ctg \alfa = 1

Ky identitet thotë se shuma e katrorit të sinusit të një këndi dhe katrorit të kosinusit të një këndi është e barabartë me një, gjë që në praktikë bën të mundur llogaritjen e sinusit të një këndi kur dihet kosinusi i tij dhe anasjelltas. .

Gjatë konvertimit të shprehjeve trigonometrike, ky identitet përdoret shumë shpesh, i cili ju lejon të zëvendësoni shumën e katrorëve të kosinusit dhe sinusit të një këndi me një dhe gjithashtu të kryeni operacionin e zëvendësimit në rend të kundërt.

Gjetja e tangjentes dhe kotangjentes duke përdorur sinusin dhe kosinusin

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Këto identitete janë formuar nga përkufizimet e sinusit, kosinusit, tangjentit dhe kotangjentit. Në fund të fundit, nëse e shikoni, atëherë me përkufizim ordinata y është një sinus, dhe abshisa x është një kosinus. Atëherë tangjentja do të jetë e barabartë me raportin \frac(y)(x)=\frac(\sin \alfa)(\cos \alfa), dhe raporti \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- do të jetë një kotangjent.

Le të shtojmë se vetëm për kënde të tilla \alfa në të cilat funksionet trigonometrike të përfshira në to kanë kuptim, identitetet do të qëndrojnë, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Për shembull: tg \alfa = \frac(\sin \alfa)(\cos \alfa)është e vlefshme për këndet \alfa që janë të ndryshme nga \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- për një kënd \alfa të ndryshëm nga \pi z, z është një numër i plotë.

Marrëdhënia midis tangjentes dhe kotangjentes

tg \alpha \cdot ctg \alfa=1

Ky identitet është i vlefshëm vetëm për këndet \alpha që janë të ndryshme nga \frac(\pi)(2) z. Përndryshe, as kotangjentja ose tangjenta nuk do të përcaktohet.

Bazuar në pikat e mësipërme, marrim se tg \alfa = \frac(y)(x), A ctg \alfa=\frac(x)(y). Nga kjo rrjedh se tg \alfa \cdot ctg \alfa = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Kështu, tangjentja dhe kotangjentja e të njëjtit kënd në të cilin kanë kuptim janë numra reciprokisht të anasjelltë.

Marrëdhëniet ndërmjet tangjentës dhe kosinusit, kotangjentës dhe sinusit

tg^(2) \alfa + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alfa)- shuma e katrorit të tangjentes së këndit \alfa dhe 1 është e barabartë me katrorin e anasjelltë të kosinusit të këtij këndi. Ky identitet është i vlefshëm për të gjithë \alfat përveç \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alfa=\frac(1)(\sin^(2)\alfa)- shuma e 1 dhe katrorit të kotangjentes së këndit \alfa është e barabartë me katrorin e anasjelltë të sinusit të këndit të dhënë. Ky identitet është i vlefshëm për çdo \alfa të ndryshme nga \pi z.

Shembuj me zgjidhje të problemeve duke përdorur identitete trigonometrike

Shembulli 1

Gjeni \sin \alpha dhe tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 Dhe \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Trego zgjidhje

Zgjidhje

Funksionet \sin \alpha dhe \cos \alpha lidhen me formulën \sin^(2)\alfa + \cos^(2) \alfa = 1. Zëvendësimi në këtë formulë \cos \alfa = -\frac12, marrim:

\sin^(2)\alfa + \majtas (-\frac12 \djathtas)^2 = 1

Ky ekuacion ka 2 zgjidhje:

\sin \alfa = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Sipas kushteve \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Në tremujorin e dytë sinusi është pozitiv, pra \sin \alfa = \frac(\sqrt 3)(2).

Për të gjetur tan \alpha, ne përdorim formulën tg \alfa = \frac(\sin \alfa)(\cos \alfa)

tg \alfa = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Shembulli 2

Gjeni \cos \alpha dhe ctg \alpha nëse dhe \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Trego zgjidhje

Zgjidhje

Zëvendësimi në formulë \sin^(2)\alfa + \cos^(2) \alfa = 1 numri i dhënë \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), marrim \majtas (\frac(\sqrt3)(2)\djathtas)^(2) + \cos^(2) \alfa = 1. Ky ekuacion ka dy zgjidhje \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Sipas kushteve \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Në tremujorin e dytë kosinusi është negativ, pra \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Për të gjetur ctg \alpha, ne përdorim formulën ctg \alfa = \frac(\cos \alfa)(\sin \alfa). Ne i dimë vlerat përkatëse.

ctg \alfa = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

Identitetet bazë trigonometrike.

secα lexohet: "alfa sekant". Ky është reciproku i kosinusit alfa.

cosecα lexoi: "alfa kosekant". Kjo është reciproke e alfa sinusit.

Shembuj. Thjeshtoni shprehjen:

A) 1 – mëkat 2 α; b) cos 2 α – 1; V)(1 – cosα)(1+cosα); G) sin 2 αcosα – cosα; d) sin 2 α+1+cos 2 α;

e) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α; dhe) tg 2 α – sin 2 αtg 2 α; h) ctg 2 αcos 2 α – ctg 2 α; Dhe) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α.

A) 1 – sin 2 α = cos 2 α sipas formulës 1) ;

b) cos 2 α – 1 =- (1 – cos 2 α) = -sin 2 α aplikoi gjithashtu formulën 1) ;

V)(1 – cosα)(1+cosα) = 1 – cos 2 α = sin 2 α. Fillimisht aplikuam formulën për diferencën e katrorëve të dy shprehjeve: (a – b)(a+b) = a 2 – b 2 dhe më pas formulën 1) ;

G) sin 2 αcosα – cosα. Le të heqim faktorin e përbashkët jashtë kllapave.

sin 2 αcosα – cosα = cosα(sin 2 α – 1) = -cosα(1 – sin 2 α) = -cosα ∙ cos 2 α = -cos 3 α. Ju, sigurisht, tashmë keni vënë re se meqenëse 1 – sin 2 α = cos 2 α, atëherë sin 2 α – 1 = -cos 2 α. Në të njëjtën mënyrë, nëse 1 – cos 2 α = sin 2 α, atëherë cos 2 α – 1 = -sin 2 α.

d) sin 2 α+1+cos 2 α = (sin 2 α+cos 2 α)+1 = 1+1 = 2;

e) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α. Kemi: katrorin e shprehjes sin 2 α plus produktin e dyfishtë të sin 2 α me cos 2 α dhe plus katrorin e shprehjes së dytë cos 2 α. Le të zbatojmë formulën për katrorin e shumës së dy shprehjeve: a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2. Më pas aplikojmë formulën 1) . Marrim: sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α = (sin 2 α+cos 2 α) 2 = 1 2 = 1;

dhe) tg 2 α – sin 2 αtg 2 α = tg 2 α(1 – sin 2 α) = tg 2 α ∙ cos 2 α = mëkat 2 α. Zbatoni formulën 1) , dhe më pas formula 2) .

Mbani mend: tgα ∙ cosα = mëkatα.

Në mënyrë të ngjashme, duke përdorur formulën 3) në dispozicion: ctgα ∙ mëkatα = cosα. Mbani mend!

h) ctg 2 αcos 2 α – ctg 2 α = ctg 2 α(cos 2 α – 1) = ctg 2 α ∙ (-sin 2 α) = -cos 2 α.

Dhe) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α = cos 2 α(1+tg 2 α) = 1. Ne fillimisht hoqëm faktorin e përbashkët nga kllapat dhe thjeshtuam përmbajtjen e kllapave duke përdorur formulën 7).

Konvertoni shprehjen:

Ne aplikuam formulën 7) dhe është marrë prodhimi i shumës së dy shprehjeve me katrorin jo të plotë të diferencës së këtyre shprehjeve - formula për shumën e kubeve të dy shprehjeve.