Metoda aksiomatike: përshkrimi, fazat e zhvillimit dhe shembujt.

12.9. Metoda aksiomatike Për grekët e lashtë, objektet e matematikës kishin një ekzistencë reale në "botën e ideve". Disa veti të këtyre objekteve dukeshin plotësisht të pamohueshme për syrin e mendjes dhe u shpallën aksioma, të tjera - jo të dukshme - duhet të

METODA AXIOMATIKE(Greqisht axioma - pozicion i pranuar) - një nga metodat e ndërtimit deduktiv (Zbritja)teoritë shkencore. Një teori e ndërtuar në mënyrë aksiomatike bazohet në aksioma, d.m.th., propozime të pranuara pa prova. Të gjitha propozimet e tjera të teorisë rrjedhin nga aksiomat (d.m.th., të vërtetuara) në bazë të rregullave logjike të konkluzionit dhe rregullave të përkufizimit të lejuara në këtë teori. Rregullat e mëposhtme përdoren si rregulla të tilla: logjika formale, duke përfshirë. logjika matematikore.

Për rrjedhojë, në rastin e aksiomatizimit të çdo teorie, është e nevojshme, së pari, të përcaktohet grupi i ligjeve të logjikës që do të përdoren në të ardhmen, së dyti, të përzgjidhen aksiomat dhe, së treti, të nxirren nga aksiomat, bazuar në rregullat e konkluzionit, të gjitha pohimet e tjera të vërteta të kësaj teorie. Idetë e para për AM lindën në Greqinë e Lashtë (Eleatics, Platoni, Aristoteli, Euklidi) dhe gjatë historisë së tyre ato pësuan një evolucion të rëndësishëm. Për një kohë të gjatë, gjatë kryerjes së aksiomatizimit, ata kërkonin zgjedhjen e aksiomave të dukshme, d.m.th., që nuk ngjallin asnjë dyshim. Duke filluar nga pjesa e dytë. Shekulli i 19 teoria aksiomatike filloi të shikohej si një sistem formal që lejon disa interpretime (modele). Në këtë drejtim, vëmendje e veçantë iu kushtua vërtetimit të konsistencës së teorisë formale aksiomatike (pamundësia e nxjerrjes së një propozimi të caktuar dhe mohimi i tij në të), plotësia e saj (një teori e tillë duhet të përmbajë të gjitha propozimet e vërteta që përshkruajnë një sistem të caktuar objektesh). , etj. Teoria aksiomatike në kohën e sotme kuptohet si një gjuhë e veçantë e formalizuar (sistemi i shenjave), duke përdorur vetëm teknikat e konkluzionit deduktiv dhe duke përmbushur disa kërkesa sintaksore dhe semantike; një gjuhë e tillë përshkruan çdo grup objektesh që e kënaqin atë. Aksiomatizimi është vetëm një nga metodat e ndërtimit të njohurive shkencore. Nga prova e Gödel-it për pamundësinë e aksiomatizimit të plotë të aritmetikës, rezulton se teoritë aksiomatike mund të ndërtohen vetëm për pjesë relativisht të vogla të njohurive shkencore. AM shpesh shfaqet në formën e një metode hipotetike-deduktive: një teori ndërtohet sipas parimeve të AM dhe propozimet e saj, duke përfshirë aksiomat, konsiderohen si hipoteza që duhen testuar empirikisht. Një verifikim i tillë kryhet duke përdorur një grup të veçantë deklaratash që lidhin propozime të caktuara të teorisë me fakte të vëzhguara empirikisht. Si rezultat, disa nga propozimet e sistemit teorik marrin verifikim të drejtpërdrejtë empirik, dhe pjesa tjetër - indirekte, përmes lidhjes së tyre me të parën. Parimet e metodës hipotetike-deduktive përdoren gjerësisht aktualisht në ndërtimin e shumë disiplinave shkencore.(seksione të caktuara të fizikës, biologjisë, psikologjisë, sociologjisë, gjuhësisë, etj.).

METODA AXIOMATIKE- një metodë e ndërtimit të teorive, sipas së cilës lejohet të përdoren vetëm aksiomat dhe pohimet e nxjerra më parë prej tyre në prova. Arsyet e përdorimit të metodës aksiomatike mund të jenë të ndryshme, gjë që zakonisht çon në një dallim midis aksiomave jo vetëm sipas formulimeve të tyre, por edhe sipas statusit të tyre metodologjik (pragmatik). Për shembull, një aksiomë mund të ketë statusin e një deklarate, ose statusin e një supozimi, ose statusin e një konvente gjuhësore për përdorimin e dëshiruar të termave. Ndonjëherë ky ndryshim në status pasqyrohet në emrat e aksiomave (në aksiomat moderne për teoritë empirike, midis të gjitha aksiomave, shpesh dallohen të ashtuquajturat postulate të kuptimit, duke shprehur konvencione gjuhësore, dhe grekët e lashtë i ndanë aksiomat gjeometrike në koncepte të përgjithshme dhe postulaton, duke besuar se të parat përshkruajnë, të dytat po ndërtohen). Në përgjithësi, marrja parasysh e statuseve të aksiomave është e detyrueshme, pasi është e mundur, për shembull, të ndryshohet përmbajtja teoria aksiomatike , pa ndryshuar as formulimin dhe as semantikën e aksiomave, por vetëm duke ndryshuar statusin e tyre, duke e shpallur, le të themi, njërën prej tyre një postulat të ri kuptimor. Metoda aksiomatike u demonstrua për herë të parë nga Euklidi në Elementet e tij, megjithëse konceptet e aksiomës, postulatit dhe përkufizimit ishin konsideruar tashmë nga Aristoteli. Në veçanti, interpretimi i aksiomave si parime të përgjithshme të nevojshme të provës kthehet në të. Kuptimi i aksiomave si të vërteta të vetëkuptueshme u zhvillua më vonë, duke u bërë themelor me ardhjen e shkollës Logjika Port-Royal , për autorët e të cilave dëshmi nënkupton aftësinë e veçantë të shpirtit për të realizuar të vërteta të caktuara drejtpërdrejt (në soditje të pastër, ose intuitë). Rastësisht, besimi i Kantit në karakterin apriori sintetik të gjeometrisë së Euklidit varet nga kjo traditë e mospërfilljes së aksiomave si konvencione ose supozime gjuhësore. Zbulimi i gjeometrisë jo-Euklidiane (Gauss, Lobachevsky, Bolyai); shfaqja në algjebër abstrakte e sistemeve të reja numerike dhe të gjithë familjeve të tyre njëherësh (për shembull, R-numrat adic); shfaqja e strukturave të ndryshueshme si grupet; më në fund, një diskutim i pyetjeve si "cila gjeometri është e vërtetë?" - e gjithë kjo kontribuoi në ndërgjegjësimin e dy statuseve të reja, krahasuar me ato të lashta, të aksiomave: aksiomat si përshkrime (klasat e universeve të mundshme të arsyetimit) dhe aksiomat si supozime, sesa pohime të vetëkuptueshme. Kështu u krijuan bazat e të kuptuarit modern të metodës aksiomatike. Ky zhvillim i metodës aksiomatike bëhet veçanërisht i qartë kur krahasohen Elementet e Euklidit me Bazat e Gjeometrisë D. Gilbert – aksiomatika e re e gjeometrisë, bazuar në arritjet më të larta të matematikës të shekullit të 19-të.

Nga fundi i atij shekulli J. Peano dha aksiomatikën e numrave natyrorë. Më tej, metoda aksiomatike u përdor për të ruajtur teorinë e grupeve pas gjetjes së paradokseve. Në të njëjtën kohë, metoda aksiomatike u përgjithësua në logjikë. Hilberti formuloi aksiomat dhe rregullat e derivimit të klasikes logjika propozicionale , dhe P. Bernays - logjika e kallëzuesit . Në ditët e sotme, detyra aksiomatike është një mënyrë standarde e përcaktimit të logjikave të reja dhe koncepteve të reja algjebrike. Në dekadat e fundit, me zhvillimin modele teorike Metoda aksiomatike filloi pothuajse domosdoshmërisht të plotësohej nga metoda model-teorike.

N.N.Nepeyvoda

Një aksiomë është pika e fillimit, origjinale një pozicion i një teorie që është baza e provave të dispozitave të tjera (për shembull, teoremave) të kësaj teorie, brenda së cilës ajo pranuar pa prova. Në vetëdijen dhe gjuhën e përditshme, një aksiomë është një e vërtetë e caktuar që është aq e padiskutueshme saqë nuk kërkon dëshmi.

Kështu që, metodë aksiomatike- kjo është një nga metodat e ndërtimit deduktiv të një teorie shkencore, në të cilën zgjidhet një grup i caktuar dispozitash të pranuara pa prova, të quajtura "parime", "postulate" ose "aksioma", dhe të gjitha propozimet e tjera të teorisë janë. të marra si pasojë logjike këto aksioma.

Metoda aksiomatike në matematikë e ka origjinën të paktën nga Euklidi, megjithëse termi "aksiomë" gjendet shpesh te Aristoteli: "... Sepse prova është e pamundur për çdo gjë: në fund të fundit, një provë duhet të jepet në bazë të diçkaje në lidhje me diçka dhe për të justifikuar diçka. Kështu, rezulton se gjithçka që vërtetohet duhet t'i përkasë të njëjtës gjini, pasi të gjitha shkencat provuese përdorin aksiomat në të njëjtën mënyrë.<…>Një aksiomë ka shkallën më të lartë të përgjithësimit dhe është thelbi i fillimit të gjithçkaje.<…>Unë i quaj parimet e provës dispozitat e pranuara përgjithësisht mbi bazën e të cilave secili ndërton provat e tij.<…>Nuk ka nevojë të pyesësh "pse" për parimet e dijes dhe secili prej këtyre parimeve në vetvete duhet të jetë i besueshëm. Ajo që është e besueshme është ajo që duket e drejtë për të gjithë ose për shumicën e njerëzve, ose për të mençurit, për të gjithë ose për shumicën prej tyre, ose për më të famshmit dhe më të lavdishmit." (Shih, për shembull, Aristoteli. Vepra në katër vëllime. T. 2. Topeka. M.: Mysl, 1978. F. 349).

Siç shihet nga fragmenti i fundit i Temave të Aristotelit, baza për të pranuar një aksiomë është një "besueshmëri" e caktuar dhe madje autoriteti njerëz "të famshëm dhe të famshëm". Por aktualisht kjo nuk konsiderohet një arsye e mjaftueshme. Shkencat ekzakte moderne, duke përfshirë vetë matematikën, nuk përdorin dukshmëria si argument i së vërtetës: aksioma thjesht futet dhe pranohet pa prova.

David Hilbert (1862-1943), matematikan dhe fizikan gjerman, vuri në dukje se termi aksiomatike herë përdoret në një kuptim më të gjerë e herë në një kuptim më të ngushtë të fjalës. Me kuptimin më të gjerë të këtij termi, ne e quajmë ndërtimin e një teorie "aksiomatike". Në këtë drejtim dallon D. Gilbert aksiomatika e përmbajtjes dhe aksiomatika formale.

I pari “... prezanton konceptet e tij bazë duke iu referuar përvojës sonë, dhe ose i konsideron dispozitat e tij kryesore si fakte të dukshme që mund të verifikohen drejtpërdrejt, ose i formulon ato si rezultat i një përvoje të caktuar dhe në këtë mënyrë shpreh besimin tonë se kemi pasur sukses. në sulmin në gjurmët e ligjeve të natyrës, dhe në të njëjtën kohë synimin tonë për të mbështetur këtë besim me suksesin e teorisë që po zhvillohet. Aksiomatika formale gjithashtu duhet të njohë provat e gjërave të një lloji të caktuar - kjo është e nevojshme si për zbatimin e deduksionit ashtu edhe për vendosjen e konsistencës së vetë aksiomatikës - megjithatë, me ndryshimin domethënës që ky lloj prove nuk bazohet në asnjë marrëdhënie e veçantë epistemologjike me fushën specifike të shkencës në shqyrtim, por mbetet e njëjtë në rastin e çdo aksiomatike: këtu nënkuptojmë një mënyrë kaq elementare të njohjes që në përgjithësi është një parakusht për çdo kërkim të saktë teorik.<…>Aksiomatizimi formal ka nevojë domosdoshmërisht një përmbajtësor si plotësues, pasi është ky i fundit që na drejton fillimisht në procesin e zgjedhjes së formalizmave të duhura dhe më pas, kur teoria formale është tashmë në dispozicionin tonë, na tregon se si duhet zbatuar kjo teori. në fushën në shqyrtim realitet. Nga ana tjetër, ne nuk mund të kufizohemi në aksiomatikë kuptimplote për arsyen e thjeshtë se në shkencë - nëse jo gjithmonë, atëherë kryesisht - kemi të bëjmë me teori që nuk riprodhojnë plotësisht gjendjen aktuale të punëve, por janë vetëm duke thjeshtuar idealizimin këtë pozicion, që është rëndësia e tyre. Kjo lloj teorie, natyrisht, nuk mund të justifikohet duke iu referuar dëshmive të aksiomave ose përvojës së saj. Për më tepër, justifikimi i tij mund të kryhet vetëm në kuptimin që do të vendoset qëndrueshmëria e idealizimit të prodhuar në të, d.m.th. atë ekstrapolim, si rezultat i të cilit konceptet e futura në këtë teori dhe dispozitat kryesore të saj tejkaloni kufijtë e të dukshmes vizualisht ose të dhënave të përvojës"(kursive i imi – Yu.E.). (Hilbert D., Bernays P. Themelet e Mathematics. M.: Nauka, 1979. F. 23.)

Kështu, metoda aksiomatike e kuptuar në mënyrë moderne zbret në sa vijon: a) zgjidhni një grup pranuar pa prova aksiomat; b) konceptet e përfshira në to nuk janë të përcaktuara qartë në kuadrin e kësaj teorie; c) rregullat e përkufizimit dhe rregullat e konkluzionit të një teorie të caktuar janë të fiksuara, duke e lejuar njeriun të nxjerrë logjikisht disa supozime nga të tjerët; d) të gjitha teoremat e tjera nxirren nga "a" në bazë të "c". Seksione të ndryshme janë ndërtuar aktualisht duke përdorur këtë metodë. matematikanët(gjeometria, teoria e probabilitetit, algjebra, etj.), fizikantët(mekanika, termodinamika); po bëhen përpjekje për të aksiomatizuar kimisë Dhe biologjisë. Gödel vërtetoi pamundësinë e aksiomatizimit të plotë të teorive shkencore mjaft të zhvilluara (për shembull, aritmetika e numrave natyrorë), që nënkupton pamundësinë e formalizimit të plotë të njohurive shkencore. Kur studion njohuritë e shkencave natyrore, metoda aksiomatike shfaqet në formë metoda hipotetike-deduktive. Përdorimi i konceptit "aksiomë" në të folurit e përditshëm si një lloj A priori dukshmëria nuk pasqyron më thelbin e këtij koncepti. Ky kuptim aristotelian i këtij termi në matematikë dhe shkenca natyrore tani është kapërcyer. Është e përshtatshme të shoqërojmë diskutimin e aksiomatikës me një fragment të veprës klasike të Karl Raymund Popper:

"Një sistem teorik mund të quhet i aksiomatizuar nëse formulohet një grup pohimesh aksiomash që plotësojnë katër kërkesat themelore të mëposhtme: (a) sistemi i aksiomave duhet të jetë konsistente(d.m.th., nuk duhet të përmbajë as aksioma vetëkontradiktore dhe as kontradikta ndërmjet aksiomave). Kjo është e barabartë me kërkesën që jo çdo deklaratë arbitrare të jetë e deduktueshme në një sistem të tillë. (b) Aksiomat e një sistemi të caktuar duhet të jenë të pavarura, domethënë, sistemi nuk duhet të përmbajë aksioma që mund të rrjedhin nga aksioma të tjera. (Me fjalë të tjera, një pohim i caktuar mund të quhet aksiomë vetëm nëse nuk është i deduktueshëm në pjesën e sistemit që mbetet pas heqjes së tij). Këto dy kushte lidhen me vetë sistemin e aksiomave. Sa i përket marrëdhënies së sistemit të aksiomave me pjesën kryesore të teorisë, aksiomat duhet të jenë: (c) mjaftueshëm për zbritjen e të gjitha pohimeve që i përkasin teorisë së aksiomatizuar, dhe d) e nevojshme në kuptimin që sistemi nuk duhet të përmbajë supozime të panevojshme.<…>Unë i konsideroj të pranueshme dy interpretime të ndryshme të çdo sistemi aksiomash. Aksiomat mund të konsiderohen ose (1) si konventës, ose (2) si empirike, ose shkencore hipoteza“(Popper K.R. Logic of Scientific Research. M.: Respublika, 2005. F. 65).

Në historinë e shkencës mund të gjejmë një sërë shembujsh të kalimit në një mënyrë aksiomatike të paraqitjes së një teorie. Për më tepër, aplikimi i vazhdueshëm i kësaj metode në logjikën e vërtetimit të teoremave në gjeometri bëri të mundur rimendimin e kësaj shkence të lashtë, duke hapur botën e "gjeometrive jo-Euklidiane" (A. I. Lobachevsky, J. Bolyai, K. Gauss, G. F. B. Riemann, etj). Kjo metodë doli të jetë e përshtatshme dhe produktive, duke lejuar që dikush të ndërtojë një teori shkencore fjalë për fjalë si një kristal i vetëm (kështu paraqitet, në veçanti, mekanika teorike dhe termodinamika klasike). Disi më vonë, tashmë në vitet '30 të shekullit të 20-të, matematikani vendas Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987) dha një justifikim aksiomatik për teorinë e probabilitetit, e cila, siç besojnë me besim historianët e shkencës, bazohej më parë në imazhe empirike të lojërave të fatit. ("hedhje", zare, letra). Në këtë drejtim, ka kuptim t'i ofrohen lexuesit dy fragmente nga tekstet e klasikëve të shkencës dhe pedagogjisë, të cilët dinin të shkruanin, siç tha Berdyaev, jo vetëm "për diçka", por edhe "diçka".

R. Courant dhe G. Robbins: "Ka një aksiomë në sistemin Euklidian, në lidhje me të cilën - në bazë të krahasimit me të dhënat empirike, duke përdorur fije të tendosura ose rreze drite - është e pamundur të thuhet nëse është "e vërtetë". Kjo është e famshme postulat për paralele, i cili thotë se përmes një pike të caktuar që ndodhet jashtë një vije të caktuar mund të vizatohet një dhe vetëm një vijë paralele me këtë. Një tipar i veçantë i kësaj aksiome është se pohimi i përfshirë në të ka të bëjë me vetitë e vijës së drejtë në të gjithë gjatësinë e saj, dhe vija supozohet se zgjatet pafundësisht në të dy drejtimet: të thuash se dy drejtëza janë paralele do të thotë të thuash se nuk mund të gjejnë një pikë të përbashkët, sado që të shtrihen, është mjaft e qartë se brenda një kufizuar pjesë e rrafshit, sado e gjerë të jetë kjo pjesë, përkundrazi, është e mundur të vizatohen përmes një pike të caktuar shumë drejtëza që nuk kryqëzohen me një drejtëz të caktuar. Meqenëse gjatësia maksimale e mundshme e një vizoreje, një filli, madje edhe një rreze drite e gjurmuar me teleskop është sigurisht e fundme, dhe meqenëse brenda një rrethi me rreze të fundme ka shumë vija të drejta që kalojnë nëpër një pikë të caktuar dhe nuk takohen me një vijë të drejtë të caktuar brenda rrethi, rrjedh se postulati i Euklidit nuk mund të verifikohet kurrë eksperimentalisht.<…>Matematikani hungarez Bolyai dhe matematikani rus Lobachevsky i dhanë fund dyshimeve duke ndërtuar në të gjitha detajet një sistem gjeometrik në të cilin aksioma e paralelizmit u refuzua. Kur Bolyai ia dërgoi veprën e tij "mbretit të matematikës" Gauss, nga i cili priste me padurim mbështetjen, ai mori si përgjigje një njoftim se vetë Gauss e kishte bërë zbulimin më herët, por ai nuk i publikonte rezultatet në atë kohë, nga frika. diskutime shumë të zhurmshme.

Le të shohim se çfarë do të thotë pavarësia e aksiomës së paralelizmit. Kjo pavarësi duhet kuptuar në kuptimin që është e mundur të ndërtohen fjali “gjeometrike” për pikat, vijat etj., pa kontradikta të brendshme, bazuar në një sistem aksiomash në të cilin aksioma e paralelizmit zëvendësohet me të kundërtën e saj. Ky ndërtim quhet gjeometri jo-Euklidiane(kursive i imi – Yu.E.). U desh patrembursia intelektuale e Gausit, Boljait dhe Lobachevskit për të kuptuar se gjeometria, jo e bazuar në sistemin Euklidian të aksiomave, mund të jetë plotësisht konsistente(kursive i imi – Yu.E.).<…>Tani jemi në gjendje të ndërtojmë “modele” të thjeshta të një gjeometrie të tillë që plotësojnë të gjitha aksiomat e Euklidit, përveç aksiomës së paralelizmit” (R. Kurant, G. Robbins. Çfarë është matematika? M.: Prosveshchenie, 1967. F. 250 ).

Versione të ndryshme të gjeometrive jo-Euklidiane (për shembull, gjeometria e Riemann-it, si dhe gjeometria në hapësirën me më shumë se tre dimensione) më vonë gjetën zbatim në ndërtimin e teorive që lidhen me mikrobotën (mekanika kuantike relativiste, fizika e grimcave) dhe, anasjelltas, te megabota (relativiteti i përgjithshëm) .

Së fundi, mendimi i matematikanit rus Andrei Nikolaevich Kolmogorov: "Teoria e probabilitetit ose një disiplinë matematikore mund dhe duhet të aksiomatizohet saktësisht në të njëjtin kuptim si gjeometria ose algjebra. Kjo do të thotë se, pasi të jepen emrat e objekteve në studim dhe marrëdhëniet e tyre themelore, si dhe aksiomat të cilave duhet t'u binden këto marrëdhënie, i gjithë prezantimi i mëtejshëm duhet të bazohet ekskluzivisht në këto aksioma. pa u mbështetur në kuptimin e zakonshëm konkret të këtyre objekteve dhe marrëdhënieve të tyre(kursive i imi – Yu.E.).<…>Çdo teori aksiomatike (abstrakte) lejon, siç dihet, një numër të pafund interpretimesh specifike. Kështu, teoria matematikore e probabilitetit lejon, së bashku me ato interpretime nga të cilat lindi, edhe shumë të tjera.<…>Aksiomatizimi i teorisë së probabilitetit mund të kryhet në mënyra të ndryshme, si në lidhje me zgjedhjen e aksiomave ashtu edhe me zgjedhjen e koncepteve bazë dhe marrëdhënieve themelore. Nëse ndjekim qëllimin e thjeshtësisë së mundshme si të vetë sistemit të aksiomave, ashtu edhe të ndërtimit të një teorie të mëtejshme prej tij, atëherë duket më e përshtatshme të aksiomatohen konceptet e një ngjarjeje të rastësishme dhe probabiliteti i saj. Ekzistojnë gjithashtu sisteme të tjera për ndërtimin aksiomatik të teorisë së probabilitetit, përkatësisht ato në të cilat koncepti i probabilitetit nuk është një nga konceptet bazë, por shprehet vetë përmes koncepteve të tjera [fusnota: Cf., për shembull, von Mises R. Wahrscheinlichkeitsrechnung , Leipzig u. Vjenë, Francë Deuticke, 1931; Bernstein S.N. Teoria e probabilitetit, botimi i dytë, Moskë, GTTI, 1934]. Në të njëjtën kohë, ata përpiqen, megjithatë, për një qëllim tjetër, domethënë, sa më afër lidhjes më të ngushtë midis teorisë matematikore dhe shfaqjes empirike të konceptit të probabilitetit” (Kolmogorov A.N. Konceptet themelore të teorisë së probabilitetit. M.: Nauka , 1974. F. 9).