Raporti i logaritmeve natyrore. Shprehje logaritmike

Sot do të flasim për formulat e logaritmit dhe japin tregues shembuj zgjidhjesh.

Ata vetë nënkuptojnë modele zgjidhjesh sipas vetive themelore të logaritmeve. Përpara se të aplikoni formulat e logaritmit për zgjidhje, le t'ju kujtojmë të gjitha vetitë:

Tani, bazuar në këto formula (veti), do të tregojmë shembuj të zgjidhjes së logaritmeve.

Shembuj të zgjidhjes së logaritmeve bazuar në formula.

Logaritmi një numër pozitiv b për bazën a (i shënuar me log a b) është një eksponent tek i cili duhet të rritet a për të marrë b, me b > 0, a > 0 dhe 1.

Sipas përkufizimit, log a b = x, që është ekuivalente me a x = b, pra log a a x = x.

Logaritmet, shembuj:

log 2 8 = 3, sepse 2 3 = 8

log 7 49 = 2, sepse 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, sepse 5 -1 = 1/5

Logaritmi dhjetor- ky është një logaritëm i zakonshëm, baza e të cilit është 10. Shënohet si lg.

log 10 100 = 2, sepse 10 2 = 100

Logaritmi natyror- gjithashtu një logaritëm i zakonshëm, një logaritëm, por me bazën e (e = 2,71828... - një numër irracional). Shënuar si ln.

Këshillohet që formulat ose vetitë e logaritmeve të mësohen përmendësh, sepse ato do të na duhen më vonë gjatë zgjidhjes së logaritmeve, ekuacioneve logaritmike dhe pabarazive. Le të shqyrtojmë secilën formulë përsëri me shembuj.

Identiteti bazë logaritmik
a log a b = b
8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
Logaritmi i produktit është i barabartë me shumën e logaritmeve
log a (bc) = log a b + log a c
log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4
Logaritmi i herësit është i barabartë me diferencën e logaritmeve
log a (b/c) = log a b - log a c
9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
Vetitë e fuqisë së një numri logaritmik dhe bazës së logaritmit
Eksponenti i numrit logaritmik log a b m = mlog a b

Eksponenti i bazës së logaritmit log a n b =1/n*log a b

log a n b m = m/n*log a b,

nëse m = n, marrim log a n b n = log a b

log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
Kalimi në një themel të ri
log a b = log c b/log c a,
nëse c = b, marrim log b b = 1

atëherë log a b = 1/log b a

log 0.8 3*log 3 1.25 = log 0.8 3*log 0.8 1.25/log 0.8 3 = log 0.8 1.25 = log 4/5 5/4 = -1

Siç mund ta shihni, formulat për logaritmet nuk janë aq të komplikuara sa duken. Tani, pasi kemi parë shembuj të zgjidhjes së logaritmeve, mund të kalojmë te ekuacionet logaritmike. Ne do të shikojmë shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve logaritmike në mënyrë më të detajuar në artikullin: "". Mos humbasë!

Nëse keni ende pyetje në lidhje me zgjidhjen, shkruajini ato në komentet e artikullit.

Shënim: ne vendosëm të merrnim një klasë tjetër arsimimi dhe të studionim jashtë vendit si opsion.

Pra, ne kemi fuqi prej dy. Nëse e merrni numrin nga fundi, mund të gjeni lehtësisht fuqinë në të cilën do t'ju duhet të ngrini dy për të marrë këtë numër. Për shembull, për të marrë 16, ju duhet të ngrini dy në fuqinë e katërt. Dhe për të marrë 64, ju duhet të ngrini dy në fuqinë e gjashtë. Kjo mund të shihet nga tabela.

Dhe tani - në fakt, përkufizimi i logaritmit:

Baza e një logaritmi të x është fuqia në të cilën duhet të rritet a për të marrë x.

Përcaktimi: log a x = b, ku a është baza, x është argumenti, b është ajo me çfarë logaritmi është në të vërtetë i barabartë.

Për shembull, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logaritmi bazë 2 i 8 është tre sepse 2 3 = 8). Me të njëjtin regjistër suksesi 2 64 = 6, pasi 2 6 = 64.

Veprimi i gjetjes së logaritmit të një numri në një bazë të caktuar quhet logaritmizim. Pra, le të shtojmë një rresht të ri në tabelën tonë:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
regjistri 2 2 = 1	regjistri 2 4 = 2	regjistri 2 8 = 3	regjistri 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Fatkeqësisht, jo të gjitha logaritmet llogariten kaq lehtë. Për shembull, provoni të gjeni regjistrin 2 5 . Numri 5 nuk është në tabelë, por logjika dikton që logaritmi do të shtrihet diku në segment. Sepse 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Numra të tillë quhen irracionalë: numrat pas presjes dhjetore mund të shkruhen pafundësisht dhe nuk përsëriten kurrë. Nëse logaritmi rezulton irracional, është më mirë ta lëmë kështu: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Është e rëndësishme të kuptohet se një logaritëm është një shprehje me dy ndryshore (bazën dhe argumentin). Në fillim, shumë njerëz ngatërrojnë se ku është baza dhe ku është argumenti. Për të shmangur keqkuptimet e bezdisshme, mjafton të shikoni foton:

Para nesh nuk është gjë tjetër veçse përkufizimi i një logaritmi. Mbani mend: logaritmi është një fuqi, në të cilën duhet të ndërtohet baza për të marrë një argument. Është baza që është ngritur në një fuqi - është e theksuar me të kuqe në foto. Rezulton se baza është gjithmonë në fund! Unë u them studentëve të mi këtë rregull të mrekullueshëm që në mësimin e parë - dhe nuk lind asnjë konfuzion.

Ne e kemi kuptuar përkufizimin - gjithçka që mbetet është të mësojmë se si të numërojmë logaritmet, d.m.th. hiqni qafe shenjën "log". Për të filluar, vërejmë se nga përkufizimi rrjedhin dy fakte të rëndësishme:

Argumenti dhe baza duhet të jenë gjithmonë më të mëdha se zero. Kjo rrjedh nga përkufizimi i një shkalle nga një eksponent racional, në të cilin reduktohet përkufizimi i një logaritmi.
Baza duhet të jetë e ndryshme nga një, pasi një në çdo shkallë mbetet ende një. Për shkak të kësaj, pyetja "në çfarë fuqie duhet të ngrihet për të marrë dy" është e pakuptimtë. Nuk ka një diplomë të tillë!

Kufizime të tilla quhen varg vlerash të pranueshme(ODZ). Rezulton se ODZ e logaritmit duket kështu: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Vini re se nuk ka kufizime në numrin b (vlera e logaritmit). Për shembull, logaritmi mund të jetë negativ: log 2 0.5 = -1, sepse 0,5 = 2 −1.

Megjithatë, tani po shqyrtojmë vetëm shprehjet numerike, ku nuk kërkohet të dihet VA e logaritmit. Të gjitha kufizimet tashmë janë marrë parasysh nga autorët e problemeve. Por kur ekuacionet logaritmike dhe pabarazitë hyjnë në lojë, kërkesat DL do të bëhen të detyrueshme. Në fund të fundit, baza dhe argumenti mund të përmbajnë ndërtime shumë të forta që nuk korrespondojnë domosdoshmërisht me kufizimet e mësipërme.

Tani le të shohim skemën e përgjithshme për llogaritjen e logaritmeve. Ai përbëhet nga tre hapa:

Shprehni bazën a dhe argumentin x si fuqi me bazën minimale të mundshme më të madhe se një. Gjatë rrugës, është më mirë të heqësh qafe numrat dhjetorë;
Zgjidheni ekuacionin për ndryshoren b: x = a b ;
Numri b që rezulton do të jetë përgjigja.

Kjo eshte e gjitha! Nëse logaritmi rezulton irracional, kjo do të jetë e dukshme që në hapin e parë. Kërkesa që baza të jetë më e madhe se një është shumë e rëndësishme: kjo zvogëlon gjasat e gabimit dhe thjeshton shumë llogaritjet. Është e njëjta gjë me thyesat dhjetore: nëse i shndërroni menjëherë në ato të zakonshme, do të ketë shumë më pak gabime.

Le të shohim se si funksionon kjo skemë duke përdorur shembuj specifikë:

Detyrë. Llogaritni logaritmin: log 5 25

Le të imagjinojmë bazën dhe argumentin si një fuqi prej pesë: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2;

Le të krijojmë dhe zgjidhim ekuacionin:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

Morëm përgjigjen: 2.

Detyrë. Llogaritni logaritmin:

Detyrë. Llogaritni logaritmin: log 4 64

Le të imagjinojmë bazën dhe argumentin si një fuqi prej dy: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
Le të krijojmë dhe zgjidhim ekuacionin:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
Morëm përgjigjen: 3.

Detyrë. Llogaritni logaritmin: log 16 1

Le të imagjinojmë bazën dhe argumentin si një fuqi prej dy: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
Le të krijojmë dhe zgjidhim ekuacionin:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
Morëm përgjigjen: 0.

Detyrë. Llogaritni logaritmin: log 7 14

Le të imagjinojmë bazën dhe argumentin si një fuqi prej shtatë: 7 = 7 1 ; 14 nuk mund të përfaqësohet si një fuqi e shtatë, pasi 7 1< 14 < 7 2 ;
Nga paragrafi i mëparshëm rezulton se logaritmi nuk llogaritet;
Përgjigja është pa ndryshim: log 7 14.

Një shënim i vogël në shembullin e fundit. Si mund të jeni i sigurt se një numër nuk është një fuqi e saktë e një numri tjetër? Është shumë e thjeshtë - thjesht vendoseni në faktorët kryesorë. Nëse zgjerimi ka të paktën dy faktorë të ndryshëm, numri nuk është një fuqi e saktë.

Detyrë. Zbuloni nëse numrat janë fuqi të sakta: 8; 48; 81; 35; 14 .

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - shkalla e saktë, sepse ka vetëm një shumëzues;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - nuk është një fuqi e saktë, pasi ekzistojnë dy faktorë: 3 dhe 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - shkalla e saktë;
35 = 7 · 5 - përsëri jo një fuqi e saktë;
14 = 7 · 2 - përsëri jo një shkallë e saktë;

Vini re gjithashtu se vetë numrat e thjeshtë janë gjithmonë fuqi të sakta të tyre.

Logaritmi dhjetor

Disa logaritme janë aq të zakonshme sa kanë një emër dhe simbol të veçantë.

Logaritmi dhjetor i x është logaritmi me bazën 10, d.m.th. Fuqia në të cilën duhet të rritet numri 10 për të marrë numrin x. Emërtimi: lg x.

Për shembull, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - etj.

Që tani e tutje, kur një frazë si "Gjeni lg 0.01" shfaqet në një libër shkollor, dijeni se kjo nuk është një gabim shtypi. Ky është një logaritëm dhjetor. Sidoqoftë, nëse nuk jeni të njohur me këtë shënim, gjithmonë mund ta rishkruani atë:
log x = log 10 x

Çdo gjë që është e vërtetë për logaritmet e zakonshme është gjithashtu e vërtetë për logaritmet dhjetore.

Logaritmi natyror

Ekziston një logaritëm tjetër që ka përcaktimin e vet. Në disa mënyra, është edhe më i rëndësishëm se dhjetori. Po flasim për logaritmin natyror.

Logaritmi natyror i x është logaritmi me bazën e, d.m.th. fuqia në të cilën duhet të rritet numri e për të marrë numrin x. Emërtimi: ln x.

Shumë do të pyesin: cili është numri e? Ky është një numër irracional, vlera e tij e saktë nuk mund të gjendet dhe të shkruhet. Unë do të jap vetëm shifrat e para:
e = 2.718281828459...

Ne nuk do të hyjmë në detaje se çfarë është ky numër dhe pse është i nevojshëm. Vetëm mos harroni se e është baza e logaritmit natyror:
ln x = log e x

Kështu ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - etj. Nga ana tjetër, ln 2 është një numër irracional. Në përgjithësi, logaritmi natyror i çdo numri racional është irracional. Përveç, natyrisht, për një: ln 1 = 0.

Për logaritmet natyrore, të gjitha rregullat që janë të vërteta për logaritmet e zakonshme janë të vlefshme.

Ne vazhdojmë të studiojmë logaritmet. Në këtë artikull do të flasim për llogaritja e logaritmeve, ky proces quhet logaritmi. Fillimisht do të kuptojmë llogaritjen e logaritmeve sipas definicionit. Më tej, le të shohim se si gjenden vlerat e logaritmeve duke përdorur vetitë e tyre. Pas kësaj, ne do të fokusohemi në llogaritjen e logaritmeve përmes vlerave të përcaktuara fillimisht të logaritmeve të tjera. Së fundi, le të mësojmë se si të përdorim tabelat logaritmike. E gjithë teoria jepet me shembuj me zgjidhje të detajuara.

Navigimi i faqes.

Llogaritja e logaritmeve sipas përkufizimit

Në rastet më të thjeshta është e mundur të kryhet mjaft shpejt dhe lehtë gjetja e logaritmit sipas definicionit. Le të hedhim një vështrim më të afërt se si ndodh ky proces.

Thelbi i tij është të përfaqësojë numrin b në formën a c, nga i cili, sipas përcaktimit të një logaritmi, numri c është vlera e logaritmit. Kjo do të thotë, sipas përkufizimit, zinxhiri i mëposhtëm i barazive korrespondon me gjetjen e logaritmit: log a b=log a a c =c.

Pra, llogaritja e një logaritmi sipas përkufizimit zbret në gjetjen e një numri c të tillë që a c = b, dhe vetë numri c është vlera e dëshiruar e logaritmit.

Duke marrë parasysh informacionin në paragrafët e mëparshëm, kur numri nën shenjën e logaritmit jepet nga një fuqi e caktuar e bazës së logaritmit, menjëherë mund të tregoni se me çfarë logaritmi është i barabartë - është i barabartë me eksponentin. Le të tregojmë zgjidhje për shembuj.

Shembull.

Gjeni log 2 2 −3, si dhe llogaritni logaritmin natyror të numrit e 5,3.

Zgjidhje.

Përkufizimi i logaritmit na lejon të themi menjëherë se log 2 2 −3 =−3. Në të vërtetë, numri nën shenjën e logaritmit është i barabartë me bazën 2 me fuqinë -3.

Në mënyrë të ngjashme, gjejmë logaritmin e dytë: lne 5.3 =5.3.

Përgjigje:

log 2 2 −3 =−3 dhe lne 5,3 =5,3.

Nëse numri b nën shenjën e logaritmit nuk është specifikuar si fuqi e bazës së logaritmit, atëherë duhet të shikoni me kujdes për të parë nëse është e mundur të dilni me një paraqitje të numrit b në formën a c. Shpesh kjo paraqitje është mjaft e dukshme, veçanërisht kur numri nën shenjën e logaritmit është i barabartë me bazën me fuqinë 1, ose 2, ose 3, ...

Shembull.

Llogaritni logaritmet log 5 25 , dhe .

Zgjidhje.

Është e lehtë të shihet se 25=5 2, kjo ju lejon të llogaritni logaritmin e parë: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Le të kalojmë në llogaritjen e logaritmit të dytë. Numri mund të përfaqësohet si një fuqi prej 7: (shiko nëse është e nevojshme). Prandaj, .

Le të rishkruajmë logaritmin e tretë në formën e mëposhtme. Tani mund ta shihni atë , nga ku konkludojmë se . Prandaj, sipas përkufizimit të logaritmit .

Shkurtimisht, zgjidhja mund të shkruhet si më poshtë: .

Përgjigje:

log 5 25=2 , Dhe .

Kur ka një numër mjaftueshëm të madh natyror nën shenjën e logaritmit, nuk është e dëmshme ta faktorizojmë atë në faktorët kryesorë. Shpesh ndihmon për të përfaqësuar një numër të tillë si një fuqi e bazës së logaritmit, dhe për këtë arsye llogaritja e këtij logaritmi sipas përkufizimit.

Shembull.

Gjeni vlerën e logaritmit.

Zgjidhje.

Disa veti të logaritmeve ju lejojnë të specifikoni menjëherë vlerën e logaritmeve. Këto veti përfshijnë vetinë e logaritmit të njës dhe vetinë e logaritmit të një numri të barabartë me bazën: log 1 1=log a a 0 =0 dhe log a a=log a 1 =1. Domethënë, kur nën shenjën e logaritmit është një numër 1 ose një numër a i barabartë me bazën e logaritmit, atëherë në këto raste logaritmet janë të barabartë me 0 dhe 1, përkatësisht.

Shembull.

Me çfarë barazohen logaritmet dhe log10?

Zgjidhje.

Meqenëse , atëherë nga përkufizimi i logaritmit rrjedh .

Në shembullin e dytë, numri 10 nën shenjën e logaritmit përkon me bazën e tij, pra logaritmi dhjetor i dhjetë është i barabartë me një, pra lg10=lg10 1 =1.

Përgjigje:

DHE lg10=1.

Vini re se llogaritja e logaritmeve sipas përkufizimit (që e diskutuam në paragrafin e mëparshëm) nënkupton përdorimin e barazisë log a a p =p, që është një nga vetitë e logaritmeve.

Në praktikë, kur një numër nën shenjën e logaritmit dhe bazën e logaritmit përfaqësohen lehtësisht si një fuqi e një numri të caktuar, është shumë e përshtatshme të përdoret formula , që korrespondon me një nga vetitë e logaritmeve. Le të shohim një shembull të gjetjes së një logaritmi që ilustron përdorimin e kësaj formule.

Shembull.

Llogaritni logaritmin.

Zgjidhje.

Përgjigje:

Vetitë e logaritmeve që nuk janë përmendur më sipër përdoren gjithashtu në llogaritjet, por ne do të flasim për këtë në paragrafët në vijim.

Gjetja e logaritmeve përmes logaritmeve të tjera të njohura

Informacioni në këtë paragraf vazhdon temën e përdorimit të vetive të logaritmeve gjatë llogaritjes së tyre. Por këtu ndryshimi kryesor është se vetitë e logaritmeve përdoren për të shprehur logaritmin origjinal në termat e një logaritmi tjetër, vlera e të cilit dihet. Le të japim një shembull për sqarim. Le të themi se e dimë se log 2 3≈1.584963, atëherë mund të gjejmë, për shembull, log 2 6 duke bërë një transformim të vogël duke përdorur vetitë e logaritmit: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Në shembullin e mësipërm, na mjaftoi të përdornim vetinë e logaritmit të një produkti. Sidoqoftë, shumë më shpesh është e nevojshme të përdoret një arsenal më i gjerë i vetive të logaritmeve për të llogaritur logaritmin origjinal përmes atyre të dhëna.

Shembull.

Llogaritni logaritmin e 27 në bazën 60 nëse e dini se log 60 2=a dhe log 60 5=b.

Zgjidhje.

Pra, ne duhet të gjejmë log 60 27 . Është e lehtë të shihet se 27 = 3 3, dhe logaritmi origjinal, për shkak të vetive të logaritmit të fuqisë, mund të rishkruhet si 3·log 60 3.

Tani le të shohim se si të shprehim log 60 3 në terma të logaritmeve të njohura. Vetia e logaritmit të një numri të barabartë me bazën na lejon të shkruajmë login e barazisë 60 60=1. Nga ana tjetër, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Kështu, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Prandaj, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Së fundi, ne llogarisim logaritmin origjinal: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Përgjigje:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Më vete, vlen të përmendet kuptimi i formulës për kalimin në një bazë të re të logaritmit të formës . Ju lejon të kaloni nga logaritmet me çdo bazë në logaritme me një bazë specifike, vlerat e të cilave dihen ose është e mundur t'i gjeni. Zakonisht, nga logaritmi origjinal, duke përdorur formulën e tranzicionit, ata kalojnë në logaritme në njërën nga bazat 2, e ose 10, pasi për këto baza ekzistojnë tabela logaritmesh që lejojnë që vlerat e tyre të llogariten me një shkallë të caktuar. saktësinë. Në paragrafin tjetër do të tregojmë se si bëhet kjo.

Tabelat e logaritmit dhe përdorimet e tyre

Për llogaritjen e përafërt të vlerave të logaritmit mund të përdoren tabelat e logaritmit. Tabela e logaritmit bazë 2 më e përdorur, tabela e logaritmit natyror dhe tabela e logaritmit dhjetor. Kur punoni në sistemin e numrave dhjetorë, është e përshtatshme të përdorni një tabelë logaritmesh bazuar në bazën dhjetë. Me ndihmën e tij do të mësojmë të gjejmë vlerat e logaritmeve.

Tabela e paraqitur ju lejon të gjeni vlerat e logaritmeve dhjetore të numrave nga 1000 në 9999 (me tre shifra dhjetore) me një saktësi prej një të dhjetëmijtë. Ne do të analizojmë parimin e gjetjes së vlerës së një logaritmi duke përdorur një tabelë logaritmesh dhjetore duke përdorur një shembull specifik - është më e qartë në këtë mënyrë. Le të gjejmë log1.256.

Në kolonën e majtë të tabelës së logaritmeve dhjetore gjejmë dy shifrat e para të numrit 1.256, domethënë gjejmë 1.2 (ky numër është rrethuar me blu për qartësi). Shifra e tretë e numrit 1.256 (shifra 5) gjendet në rreshtin e parë ose të fundit në të majtë të vijës dyshe (ky numër është i rrethuar me të kuqe). Shifra e katërt e numrit origjinal 1.256 (shifra 6) gjendet në rreshtin e parë ose të fundit në të djathtë të vijës së dyfishtë (ky numër është i rrethuar me një vijë të gjelbër). Tani i gjejmë numrat në qelizat e tabelës së logaritmit në kryqëzimin e rreshtit të shënuar dhe kolonave të shënuara (këta numra janë të theksuar në portokalli). Shuma e numrave të shënuar jep vlerën e dëshiruar të logaritmit dhjetor të saktë në numrin e katërt dhjetor, d.m.th. log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

A është e mundur, duke përdorur tabelën e mësipërme, të gjesh vlerat e logaritmeve dhjetore të numrave që kanë më shumë se tre shifra pas pikës dhjetore, si dhe ato që shkojnë përtej intervalit nga 1 në 9.999? Po ti mundesh. Le të tregojmë se si bëhet kjo me një shembull.

Le të llogarisim lg102.76332. Së pari ju duhet të shkruani numër në formë standarde: 102.76332=1.0276332·10 2. Pas kësaj, mantisa duhet të rrumbullakoset në numrin e tretë dhjetor, kemi 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, ndërsa logaritmi dhjetor origjinal është afërsisht i barabartë me logaritmin e numrit që rezulton, domethënë marrim lg102.76332≈lg1.028·10 2. Tani zbatojmë vetitë e logaritmit: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Së fundi, vlerën e logaritmit lg1.028 e gjejmë nga tabela e logaritmeve dhjetore lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Si rezultat, i gjithë procesi i llogaritjes së logaritmit duket si ky: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

Si përfundim, vlen të përmendet se duke përdorur një tabelë logaritme dhjetore mund të llogaritni vlerën e përafërt të çdo logaritmi. Për ta bërë këtë, mjafton të përdorni formulën e tranzicionit për të shkuar në logaritme dhjetore, për të gjetur vlerat e tyre në tabelë dhe për të kryer llogaritjet e mbetura.

Për shembull, le të llogarisim regjistrin 2 3 . Sipas formulës për kalimin në një bazë të re të logaritmit, kemi . Nga tabela e logaritmeve dhjetore gjejmë log3≈0.4771 dhe log2≈0.3010. Kështu, .

Bibliografi.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dhe të tjera Algjebra dhe fillimet e analizës: Libër mësuesi për klasat 10 - 11 të institucioneve të arsimit të përgjithshëm.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (një manual për ata që hyjnë në shkolla teknike).

Me këtë video unë filloj një seri të gjatë mësimesh rreth ekuacioneve logaritmike. Tani keni tre shembuj para jush, në bazë të të cilëve do të mësojmë të zgjidhim problemet më të thjeshta, të cilat quhen - protozoarët.

log 0,5 (3x − 1) = −3

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Më lejoni t'ju kujtoj se ekuacioni logaritmik më i thjeshtë është ky:

log a f(x) = b

Në këtë rast, është e rëndësishme që ndryshorja x të jetë e pranishme vetëm brenda argumentit, pra vetëm në funksionin f (x). Dhe numrat a dhe b janë vetëm numra, dhe në asnjë rast nuk janë funksione që përmbajnë ndryshoren x.

Metodat bazë të zgjidhjes

Ka shumë mënyra për të zgjidhur struktura të tilla. Për shembull, shumica e mësuesve në shkollë ofrojnë këtë metodë: Shprehni menjëherë funksionin f (x) duke përdorur formulën f ( x) = a b. Kjo do të thotë, kur hasni në ndërtimin më të thjeshtë, mund të kaloni menjëherë në zgjidhje pa veprime dhe ndërtime shtesë.

Po, sigurisht, vendimi do të jetë i saktë. Megjithatë, problemi me këtë formulë është se shumica e studentëve nuk kuptoj, nga vjen dhe pse e ngremë shkronjën a në shkronjën b.

Si rezultat, unë shpesh shoh gabime shumë të bezdisshme kur, për shembull, këto shkronja shkëmbehen. Kjo formulë ose duhet kuptuar ose e mbushur, dhe metoda e dytë çon në gabime në momentet më të papërshtatshme dhe më vendimtare: gjatë provimeve, testeve, etj.

Kjo është arsyeja pse unë u sugjeroj të gjithë nxënësve të mi të braktisin formulën standarde të shkollës dhe të përdorin qasjen e dytë për zgjidhjen e ekuacioneve logaritmike, e cila, siç me siguri e keni marrë me mend nga emri, quhet formë kanonike.

Ideja pas formës kanonike është e thjeshtë. Le të shohim problemin tonë përsëri: në të majtë kemi log a, dhe me shkronjën a nënkuptojmë një numër dhe në asnjë rast një funksion që përmban ndryshoren x. Për rrjedhojë, kjo shkronjë i nënshtrohet të gjitha kufizimeve që vendosen në bazë të logaritmit. gjegjësisht:

1 ≠ a > 0

Nga ana tjetër, nga i njëjti ekuacion shohim se logaritmi duhet të jetë i barabartë me numrin b, dhe nuk vendosen kufizime për këtë shkronjë, sepse mund të marrë çdo vlerë - pozitive dhe negative. E gjitha varet nga vlerat që merr funksioni f(x).

Dhe këtu kujtojmë rregullin tonë të mrekullueshëm që çdo numër b mund të përfaqësohet si një logaritëm në bazën a të a me fuqinë e b:

b = log a a b

Si ta mbani mend këtë formulë? Po, shumë e thjeshtë. Le të shkruajmë ndërtimin e mëposhtëm:

b = b 1 = b log a a

Sigurisht, në këtë rast lindin të gjitha kufizimet që shënuam në fillim. Tani le të përdorim vetinë bazë të logaritmit dhe të prezantojmë shumëzuesin b si fuqinë e a. Ne marrim:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Si rezultat, ekuacioni origjinal do të rishkruhet si më poshtë:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

Kjo eshte e gjitha. Funksioni i ri nuk përmban më një logaritëm dhe mund të zgjidhet duke përdorur teknika standarde algjebrike.

Sigurisht, dikush tani do të kundërshtojë: pse ishte e nevojshme të dilte fare me një lloj formule kanonike, pse të kryheshin dy hapa shtesë të panevojshëm nëse do të ishte e mundur të kalonte menjëherë nga modeli origjinal në formulën përfundimtare? Po, vetëm sepse shumica e studentëve nuk e kuptojnë se nga vjen kjo formulë dhe, si rezultat, rregullisht bëjnë gabime kur e zbatojnë atë.

Por kjo sekuencë veprimesh, e përbërë nga tre hapa, ju lejon të zgjidhni ekuacionin logaritmik origjinal, edhe nëse nuk e kuptoni se nga vjen formula përfundimtare. Nga rruga, kjo hyrje quhet formula kanonike:

log a f (x) = log a a b

Komoditeti i formës kanonike qëndron gjithashtu në faktin se ajo mund të përdoret për të zgjidhur një klasë shumë të gjerë ekuacionesh logaritmike, dhe jo vetëm ato më të thjeshtat që po shqyrtojmë sot.

Shembuj zgjidhjesh

Tani le të shohim shembuj realë. Pra, le të vendosim:

log 0,5 (3x − 1) = −3

Le ta rishkruajmë kështu:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Shumë studentë janë me nxitim dhe përpiqen të ngrenë menjëherë numrin 0.5 në fuqinë që na erdhi nga problemi origjinal. Në të vërtetë, kur tashmë jeni të trajnuar mirë në zgjidhjen e problemeve të tilla, mund ta kryeni menjëherë këtë hap.

Sidoqoftë, nëse tani sapo keni filluar të studioni këtë temë, është më mirë të mos nxitoni askund në mënyrë që të shmangni gabimet fyese. Pra, kemi formën kanonike. Ne kemi:

3x − 1 = 0,5 −3

Ky nuk është më një ekuacion logaritmik, por linear në lidhje me ndryshoren x. Për ta zgjidhur atë, le të shohim së pari numrin 0.5 në fuqinë −3. Vini re se 0.5 është 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Shndërroni të gjitha thyesat dhjetore në thyesa të zakonshme kur zgjidhni një ekuacion logaritmik.

Ne rishkruajmë dhe marrim:

3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3

Kaq, e morëm përgjigjen. Problemi i parë është zgjidhur.

Detyra e dytë

Le të kalojmë në detyrën e dytë:

Siç e shohim, ky ekuacion nuk është më më i thjeshti. Nëse vetëm sepse ka një ndryshim në të majtë, dhe jo një logaritëm të vetëm në një bazë.

Prandaj, ne duhet të heqim qafe disi këtë ndryshim. Në këtë rast, gjithçka është shumë e thjeshtë. Le t'i hedhim një vështrim më të afërt bazave: në të majtë është numri nën rrënjë:

Rekomandim i përgjithshëm: në të gjitha ekuacionet logaritmike, përpiquni të hiqni qafe radikalët, d.m.th., nga hyrjet me rrënjë dhe të kaloni te funksionet e fuqisë, thjesht sepse eksponentët e këtyre fuqive hiqen lehtësisht nga shenja e logaritmit dhe, në fund, të tilla një hyrje thjeshton dhe shpejton ndjeshëm llogaritjet. Le ta shkruajmë kështu:

Tani le të kujtojmë vetinë e jashtëzakonshme të logaritmit: fuqitë mund të nxirren nga argumenti, si dhe nga baza. Në rastin e bazave, ndodh si më poshtë:

log a k b = 1/k loga b

Me fjalë të tjera, numri që ishte në fuqinë bazë sillet përpara dhe në të njëjtën kohë përmbyset, domethënë bëhet një numër reciprok. Në rastin tonë, shkalla bazë ishte 1/2. Prandaj, ne mund ta nxjerrim atë si 2/1. Ne marrim:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Ju lutemi vini re: në asnjë rrethanë nuk duhet të hiqni qafe logaritmet në këtë hap. Mbani mend matematikën e klasës 4-5 dhe renditjen e veprimeve: fillimisht kryhet shumëzimi dhe vetëm më pas mbledhja dhe zbritja. Në këtë rast, ne zbresim një nga të njëjtët elementë nga 10 elementë:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Tani ekuacioni ynë duket ashtu siç duhet. Ky është ndërtimi më i thjeshtë, dhe ne e zgjidhim atë duke përdorur formën kanonike:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25

Kjo eshte e gjitha. Problemi i dytë është zgjidhur.

Shembulli i tretë

Le të kalojmë në detyrën e tretë:

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Më lejoni t'ju kujtoj formulën e mëposhtme:

log b = log 10 b

Nëse për ndonjë arsye jeni të hutuar nga shënimi log b, atëherë kur kryeni të gjitha llogaritjet thjesht mund të shkruani log 10 b. Ju mund të punoni me logaritme dhjetore në të njëjtën mënyrë si me të tjerët: merrni fuqi, shtoni dhe përfaqësoni çdo numër në formën lg 10.

Janë këto veti që tani do t'i përdorim për të zgjidhur problemin, pasi nuk është më e thjeshta që kemi shkruar në fillim të mësimit tonë.

Së pari, vini re se faktori 2 përballë lg 5 mund të shtohet dhe bëhet një fuqi e bazës 5. Përveç kësaj, termi i lirë 3 mund të përfaqësohet gjithashtu si një logaritëm - kjo është shumë e lehtë për t'u vëzhguar nga shënimi ynë.

Gjykoni vetë: çdo numër mund të përfaqësohet si regjistër në bazën 10:

3 = regjistri 10 10 3 = regjistri 10 3

Le të rishkruajmë problemin origjinal duke marrë parasysh ndryshimet e marra:

log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
log (x − 3) = log 25,000

Ne kemi përsëri para nesh formën kanonike dhe e kemi marrë pa kaluar në fazën e transformimit, pra ekuacioni më i thjeshtë logaritmik nuk u shfaq askund.

Pikërisht për këtë fola në fillim të mësimit. Forma kanonike ju lejon të zgjidhni një klasë më të gjerë problemesh sesa formula standarde e shkollës e dhënë nga shumica e mësuesve të shkollës.

Epo, kjo është ajo, ne heqim qafe shenjën e logaritmit dhjetor dhe marrim një ndërtim të thjeshtë linear:

x + 3 = 25,000
x = 24,997

Të gjitha! Problemi është zgjidhur.

Një shënim për qëllimin

Këtu do të doja të bëja një vërejtje të rëndësishme në lidhje me shtrirjen e përkufizimit. Me siguri tani do të ketë nxënës dhe mësues që do të thonë: "Kur zgjidhim shprehjet me logaritme, duhet të kujtojmë se argumenti f (x) duhet të jetë më i madh se zero!" Në këtë drejtim, lind një pyetje logjike: pse nuk kërkuam që kjo pabarazi të plotësohej në asnjë nga problemet e konsideruara?

Mos u shqeteso. Në këto raste, nuk do të shfaqen rrënjë shtesë. Dhe ky është një tjetër truk i shkëlqyeshëm që ju lejon të shpejtoni zgjidhjen. Vetëm dijeni se nëse në problem ndryshorja x shfaqet vetëm në një vend (ose më mirë, në një argument të vetëm të një logaritmi të vetëm), dhe askund tjetër në rastin tonë nuk shfaqet ndryshorja x, atëherë shkruani domenin e përkufizimit nuk ka nevojë, sepse do të ekzekutohet automatikisht.

Gjykoni vetë: në ekuacionin e parë kemi marrë se 3x − 1, pra argumenti duhet të jetë i barabartë me 8. Kjo automatikisht do të thotë se 3x − 1 do të jetë më i madh se zero.

Me të njëjtin sukses mund të shkruajmë se në rastin e dytë x duhet të jetë e barabartë me 5 2, pra është sigurisht më e madhe se zero. Dhe në rastin e tretë, ku x + 3 = 25,000, pra, përsëri, padyshim më i madh se zero. Me fjalë të tjera, shtrirja plotësohet automatikisht, por vetëm nëse x shfaqet vetëm në argumentin e vetëm një logaritmi.

Kjo është gjithçka që duhet të dini për të zgjidhur problemet më të thjeshta. Vetëm ky rregull, së bashku me rregullat e transformimit, do t'ju lejojë të zgjidhni një klasë shumë të gjerë problemesh.

Por le të jemi të sinqertë: për të kuptuar përfundimisht këtë teknikë, për të mësuar se si të aplikoni formën kanonike të ekuacionit logaritmik, nuk mjafton vetëm të shikoni një mësim video. Prandaj, tani shkarkoni opsionet për zgjidhje të pavarura që i janë bashkangjitur këtij mësimi video dhe filloni të zgjidhni të paktën një nga këto dy vepra të pavarura.

Do t'ju duhen fjalë për fjalë disa minuta. Por efekti i një trajnimi të tillë do të jetë shumë më i lartë sesa nëse thjesht e shikoni këtë mësim video.

Shpresoj se ky mësim do t'ju ndihmojë të kuptoni ekuacionet logaritmike. Përdorni formën kanonike, thjeshtoni shprehjet duke përdorur rregullat për të punuar me logaritme - dhe nuk do të keni frikë nga asnjë problem. Kjo është gjithçka që kam për sot.

Duke marrë parasysh fushën e përkufizimit

Tani le të flasim për domenin e përcaktimit të funksionit logaritmik dhe se si kjo ndikon në zgjidhjen e ekuacioneve logaritmike. Konsideroni një ndërtim të formës

log a f (x) = b

Një shprehje e tillë quhet më e thjeshta - përmban vetëm një funksion, dhe numrat a dhe b janë vetëm numra, dhe në asnjë rast funksion që varet nga ndryshorja x. Mund të zgjidhet shumë thjesht. Thjesht duhet të përdorni formulën:

b = log a a b

Kjo formulë është një nga vetitë kryesore të logaritmit, dhe kur zëvendësojmë në shprehjen tonë origjinale marrim sa vijon:

log a f (x) = log a a b

f (x) = a b

Kjo është një formulë e njohur nga tekstet shkollore. Shumë studentë ndoshta do të kenë një pyetje: meqenëse në shprehjen origjinale funksioni f (x) është nën shenjën e regjistrit, kufizimet e mëposhtme vendosen mbi të:

f(x) > 0

Ky kufizim vlen sepse logaritmi i numrave negativë nuk ekziston. Pra, ndoshta, si rezultat i këtij kufizimi, duhet të futet një kontroll mbi përgjigjet? Ndoshta ato duhet të futen në burim?

Jo, në ekuacionet më të thjeshta logaritmike kontrolli shtesë është i panevojshëm. Dhe kjo është arsyeja pse. Hidhini një sy formulës sonë përfundimtare:

f (x) = a b

Fakti është se numri a është në çdo rast më i madh se 0 - kjo kërkesë imponohet gjithashtu nga logaritmi. Numri a është baza. Në këtë rast nuk vendosen kufizime për numrin b. Por kjo nuk ka rëndësi, sepse pa marrë parasysh se në cilën fuqi e ngremë një numër pozitiv, ne do të marrim përsëri një numër pozitiv në dalje. Kështu, kërkesa f(x) > 0 plotësohet automatikisht.

Ajo që vërtet ia vlen të kontrollohet është domeni i funksionit nën shenjën e regjistrit. Mund të ketë struktura mjaft komplekse, dhe ju patjetër duhet t'i mbani një sy mbi to gjatë procesit të zgjidhjes. Le të hedhim një vështrim.

Detyra e parë:

Hapi i parë: konvertoni thyesën në të djathtë. Ne marrim:

Ne heqim qafe shenjën e logaritmit dhe marrim ekuacionin e zakonshëm irracional:

Nga rrënjët e marra na përshtatet vetëm e para, pasi rrënja e dytë është më e vogël se zero. Përgjigja e vetme do të jetë numri 9. Kjo është ajo, problemi është zgjidhur. Nuk kërkohen kontrolle shtesë për të siguruar që shprehja nën shenjën e logaritmit është më e madhe se 0, sepse ajo nuk është thjesht më e madhe se 0, por sipas kushtit të ekuacionit është e barabartë me 2. Prandaj, kërkesa “më e madhe se zero ” kënaqet automatikisht.

Le të kalojmë në detyrën e dytë:

Gjithçka është e njëjtë këtu. Ne rishkruajmë ndërtimin, duke zëvendësuar trefishin:

Ne heqim qafe shenjat e logaritmit dhe marrim një ekuacion irracional:

Ne sheshojmë të dy anët duke marrë parasysh kufizimet dhe marrim:

4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2

4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7x + 6 = 0

Ne e zgjidhim ekuacionin që rezulton përmes diskriminuesit:

D = 49 − 24 = 25

x 1 = −1

x 2 = −6

Por x = -6 nuk na përshtatet, sepse nëse e zëvendësojmë këtë numër në pabarazinë tonë, marrim:

−6 + 4 = −2 < 0

Në rastin tonë, kërkohet që ajo të jetë më e madhe se 0 ose, në raste ekstreme, e barabartë. Por x = −1 na përshtatet:

−1 + 4 = 3 > 0

Përgjigja e vetme në rastin tonë do të jetë x = −1. Kjo është zgjidhja. Le të kthehemi në fillimin e llogaritjeve tona.

Çështja kryesore nga ky mësim është se nuk keni nevojë të kontrolloni kufizimet në një funksion në ekuacione të thjeshta logaritmike. Sepse gjatë procesit të zgjidhjes të gjitha kufizimet plotësohen automatikisht.

Sidoqoftë, kjo në asnjë mënyrë nuk do të thotë që ju mund të harroni fare kontrollin. Në procesin e punës për një ekuacion logaritmik, ai mund të kthehet fare mirë në një ekuacion irracional, i cili do të ketë kufizimet dhe kërkesat e veta për anën e djathtë, gjë që e kemi parë sot në dy shembuj të ndryshëm.

Ndjehuni të lirë të zgjidhni probleme të tilla dhe jini veçanërisht të kujdesshëm nëse ka një rrënjë në argument.

Ekuacione logaritmike me baza të ndryshme

Ne vazhdojmë të studiojmë ekuacionet logaritmike dhe të shohim dy teknika të tjera mjaft interesante me të cilat është në modë të zgjidhen ndërtime më komplekse. Por së pari, le të kujtojmë se si zgjidhen problemet më të thjeshta:

log a f (x) = b

Në këtë hyrje, a dhe b janë numra, dhe në funksionin f (x) ndryshorja x duhet të jetë e pranishme dhe vetëm aty, domethënë x duhet të jetë vetëm në argument. Ne do të transformojmë ekuacione të tilla logaritmike duke përdorur formën kanonike. Për ta bërë këtë, vini re se

b = log a a b

Për më tepër, a b është pikërisht një argument. Le ta rishkruajmë këtë shprehje si më poshtë:

log a f (x) = log a a b

Kjo është pikërisht ajo që ne po përpiqemi të arrijmë, në mënyrë që të ketë një logaritëm për të bazuar a në të majtë dhe në të djathtë. Në këtë rast, në mënyrë figurative, mund të kryqëzojmë shenjat e regjistrit dhe nga pikëpamja matematikore mund të themi se thjesht po barazojmë argumentet:

f (x) = a b

Si rezultat, do të marrim një shprehje të re që do të jetë shumë më e lehtë për t'u zgjidhur. Le ta zbatojmë këtë rregull për problemet tona sot.

Pra, dizajni i parë:

Para së gjithash, vërej se në të djathtë është një thyesë, emëruesi i së cilës është log. Kur shihni një shprehje si kjo, është mirë të mbani mend një veti të mrekullueshme të logaritmeve:

E përkthyer në Rusisht, kjo do të thotë se çdo logaritëm mund të përfaqësohet si herësi i dy logaritmeve me çdo bazë c. Sigurisht 0< с ≠ 1.

Pra: kjo formulë ka një rast të mrekullueshëm të veçantë, kur ndryshorja c është e barabartë me variablin b. Në këtë rast marrim një ndërtim si:

Ky është pikërisht ndërtimi që shohim nga shenja në të djathtë në ekuacionin tonë. Le ta zëvendësojmë këtë ndërtim me log a b, marrim:

Me fjalë të tjera, në krahasim me detyrën origjinale, ne këmbyem argumentin dhe bazën e logaritmit. Në vend të kësaj, ne duhej të kthenim thyesën.

Kujtojmë se çdo shkallë mund të nxirret nga baza sipas rregullit të mëposhtëm:

Me fjalë të tjera, koeficienti k, i cili është fuqia e bazës, shprehet si një fraksion i përmbysur. Le ta përshkruajmë atë si një thyesë e përmbysur:

Faktori thyesor nuk mund të lihet përpara, sepse në këtë rast nuk do të mund ta paraqesim këtë shënim si një formë kanonik (në fund të fundit, në formën kanonik nuk ka faktor shtesë para logaritmit të dytë). Prandaj, le të shtojmë thyesën 1/4 në argument si fuqi:

Tani ne barazojmë argumentet, bazat e të cilave janë të njëjta (dhe bazat tona janë vërtet të njëjta), dhe shkruajmë:

x + 5 = 1

x = −4

Kjo eshte e gjitha. Ne morëm përgjigjen e ekuacionit të parë logaritmik. Ju lutemi vini re: në problemin origjinal, ndryshorja x shfaqet vetëm në një regjistër dhe shfaqet në argumentin e tij. Prandaj, nuk ka nevojë të kontrolloni domenin, dhe numri ynë x = -4 është me të vërtetë përgjigja.

Tani le të kalojmë te shprehja e dytë:

log 56 = log 2 log 2 7 − 3log (x + 4)

Këtu, përveç logaritmeve të zakonshme, do të duhet të punojmë me log f (x). Si të zgjidhet një ekuacion i tillë? Për një student të papërgatitur mund të duket sikur kjo është një lloj detyre e vështirë, por në fakt gjithçka mund të zgjidhet në një mënyrë elementare.

Hidhini një sy nga afër termit lg 2 log 2 7. Çfarë mund të themi për të? Bazat dhe argumentet e log dhe lg janë të njëjta, dhe kjo duhet të japë disa ide. Le të kujtojmë edhe një herë se si hiqen fuqitë nga nën shenjën e logaritmit:

log a b n = nlog a b

Me fjalë të tjera, ajo që ishte një fuqi e b në argument bëhet një faktor përballë vetë log-it. Le ta zbatojmë këtë formulë për shprehjen lg 2 log 2 7. Mos u trembni nga lg 2 - kjo është shprehja më e zakonshme. Mund ta rishkruani si më poshtë:

Të gjitha rregullat që zbatohen për çdo logaritëm tjetër janë të vlefshme për të. Në veçanti, faktori përpara mund t'i shtohet shkallës së argumentit. Le ta shkruajmë:

Shumë shpesh nxënësit nuk e shohin drejtpërdrejt këtë veprim, sepse nuk është mirë të futet një regjistër nën shenjën e një tjetri. Në fakt, nuk ka asgjë kriminale në këtë. Për më tepër, marrim një formulë që është e lehtë për t'u llogaritur nëse mbani mend një rregull të rëndësishëm:

Kjo formulë mund të konsiderohet edhe si përkufizim edhe si një nga vetitë e saj. Në çdo rast, nëse po konvertoni një ekuacion logaritmik, duhet ta dini këtë formulë ashtu si do të njihni paraqitjen e regjistrit të çdo numri.

Le të kthehemi në detyrën tonë. Ne e rishkruajmë atë duke marrë parasysh faktin se termi i parë në të djathtë të shenjës së barabartë do të jetë thjesht i barabartë me lg 7. Kemi:

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

Le të lëvizim lg 7 në të majtë, marrim:

lg 56 − log 7 = −3lg (x + 4)

Ne zbresim shprehjet në të majtë sepse ato kanë të njëjtën bazë:

lg (56/7) = -3lg (x + 4)

Tani le të hedhim një vështrim më të afërt në ekuacionin që morëm. Është praktikisht forma kanonike, por ka një faktor −3 në të djathtë. Le ta shtojmë atë në argumentin e duhur të lg:

log 8 = log (x + 4) −3

Para nesh është forma kanonike e ekuacionit logaritmik, kështu që kalojmë shenjat lg dhe barazojmë argumentet:

(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0,5

Kjo eshte e gjitha! Ne zgjidhëm ekuacionin e dytë logaritmik. Në këtë rast, nuk kërkohen kontrolle shtesë, sepse në problemin origjinal x ishte i pranishëm vetëm në një argument.

Më lejoni të rendis përsëri pikat kryesore të këtij mësimi.

Formula kryesore që mësohet në të gjitha mësimet në këtë faqe kushtuar zgjidhjes së ekuacioneve logaritmike është forma kanonike. Dhe mos u trembni nga fakti se shumica e teksteve shkollore ju mësojnë t'i zgjidhni problemet e tilla ndryshe. Ky mjet funksionon në mënyrë shumë efektive dhe ju lejon të zgjidhni një klasë shumë më të gjerë problemesh sesa ato më të thjeshtat që kemi studiuar në fillim të mësimit tonë.

Përveç kësaj, për të zgjidhur ekuacionet logaritmike do të jetë e dobishme të njihen vetitë themelore. Gjegjësisht:

Formula për kalimin në një bazë dhe rasti i veçantë kur ne reverse log (kjo ishte shumë e dobishme për ne në problemin e parë);
Formula për mbledhjen dhe zbritjen e fuqive nga shenja e logaritmit. Këtu, shumë studentë ngecin dhe nuk shohin që diploma e nxjerrë dhe e futur mund të përmbajë vetë log f (x). Nuk ka asgjë të keqe me këtë. Mund të prezantojmë një regjistër sipas shenjës së tjetrit dhe në të njëjtën kohë të thjeshtojmë ndjeshëm zgjidhjen e problemit, gjë që vërejmë në rastin e dytë.

Si përfundim, do të doja të shtoja se nuk është e nevojshme të kontrolloni domenin e përkufizimit në secilën prej këtyre rasteve, sepse kudo ndryshorja x është e pranishme vetëm në një shenjë log dhe në të njëjtën kohë është në argumentimin e saj. Si pasojë, të gjitha kërkesat e fushëveprimit përmbushen automatikisht.

Probleme me bazën e ndryshueshme

Sot do të shikojmë ekuacionet logaritmike, të cilat për shumë studentë duken jo standarde, nëse jo plotësisht të pazgjidhshme. Ne po flasim për shprehje të bazuara jo në numra, por në variabla dhe madje funksione. Ne do t'i zgjidhim ndërtime të tilla duke përdorur teknikën tonë standarde, përkatësisht përmes formës kanonike.

Së pari, le të kujtojmë se si zgjidhen problemet më të thjeshta, bazuar në numrat e zakonshëm. Pra, quhet ndërtimi më i thjeshtë

log a f (x) = b

Për të zgjidhur probleme të tilla mund të përdorim formulën e mëposhtme:

b = log a a b

Ne rishkruajmë shprehjen tonë origjinale dhe marrim:

log a f (x) = log a a b

Pastaj i barazojmë argumentet, pra shkruajmë:

f (x) = a b

Kështu, ne heqim qafe shenjën e regjistrit dhe zgjidhim problemin e zakonshëm. Në këtë rast, rrënjët e marra nga zgjidhja do të jenë rrënjët e ekuacionit logaritmik origjinal. Për më tepër, një rekord kur e majta dhe e djathta janë në të njëjtin logaritëm me të njëjtën bazë quhet saktësisht forma kanonike. Është një rekord i tillë që ne do të përpiqemi të reduktojmë dizajnet e sotme. Pra, le të shkojmë.

Detyra e parë:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

Zëvendësoni 1 me log x − 2 (x − 2) 1 . Shkalla që vërejmë në argument është në të vërtetë numri b që qëndronte në të djathtë të shenjës së barabartë. Kështu, le të rishkruajmë shprehjen tonë. Ne marrim:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)

Çfarë shohim? Para nesh është forma kanonike e ekuacionit logaritmik, kështu që ne mund të barazojmë me siguri argumentet. Ne marrim:

2x 2 − 13x + 18 = x − 2

Por zgjidhja nuk mbaron me kaq, sepse ky ekuacion nuk është i barabartë me atë origjinal. Në fund të fundit, ndërtimi që rezulton përbëhet nga funksione që përcaktohen në të gjithë vijën numerike, dhe logaritmet tona origjinale nuk janë të përcaktuara kudo dhe jo gjithmonë.

Prandaj, ne duhet të shkruajmë veçmas domenin e përkufizimit. Le të mos ndajmë qimet dhe fillimisht të shkruajmë të gjitha kërkesat:

Së pari, argumenti i secilit prej logaritmeve duhet të jetë më i madh se 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

Së dyti, baza jo vetëm që duhet të jetë më e madhe se 0, por edhe e ndryshme nga 1:

x − 2 ≠ 1

Si rezultat, marrim sistemin:

Por mos u shqetësoni: kur përpunoni ekuacione logaritmike, një sistem i tillë mund të thjeshtohet ndjeshëm.

Gjykoni vetë: nga njëra anë kërkohet që funksioni kuadratik të jetë më i madh se zero dhe nga ana tjetër ky funksion kuadratik barazohet me një shprehje të caktuar lineare, e cila gjithashtu kërkohet që të jetë më i madh se zero.

Në këtë rast, nëse kërkojmë që x − 2 > 0, atëherë kërkesa 2x 2 − 13x + 18 > 0 do të plotësohet automatikisht. Prandaj, ne mund të kalojmë me siguri pabarazinë që përmban funksionin kuadratik. Kështu, numri i shprehjeve të përfshira në sistemin tonë do të reduktohet në tre.

Natyrisht, me të njëjtin sukses mund të kapërcejmë pabarazinë lineare, d.m.th., të kalojmë x − 2 > 0 dhe të kërkojmë që 2x 2 − 13x + 18 > 0. Por do të pajtoheni që zgjidhja e pabarazisë më të thjeshtë lineare është shumë më e shpejtë dhe më e thjeshtë, se kuadratike, edhe me kusht që si rezultat i zgjidhjes së gjithë këtij sistemi të marrim të njëjtat rrënjë.

Në përgjithësi, përpiquni të optimizoni llogaritjet sa herë që është e mundur. Dhe në rastin e ekuacioneve logaritmike, kaloni pabarazitë më të vështira.

Le të rishkruajmë sistemin tonë:

Këtu është një sistem me tre shprehje, dy prej të cilave ne, në fakt, i kemi trajtuar tashmë. Le të shkruajmë veçmas ekuacionin kuadratik dhe ta zgjidhim atë:

2x 2 − 14x + 20 = 0

x 2 − 7x + 10 = 0

Ne kemi para nesh një trinom kuadratik të reduktuar dhe, për rrjedhojë, mund të përdorim formulat e Vieta-s. Ne marrim:

(x − 5) (x − 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

Tani kthehemi në sistemin tonë dhe zbulojmë se x = 2 nuk na përshtatet, sepse na kërkohet që x të jetë rreptësisht më i madh se 2.

Por x = 5 na përshtatet në mënyrë të përkryer: numri 5 është më i madh se 2, dhe në të njëjtën kohë 5 nuk është i barabartë me 3. Prandaj, zgjidhja e vetme për këtë sistem do të jetë x = 5.

Kjo është e gjitha, problemi është zgjidhur, duke përfshirë marrjen parasysh të ODZ. Le të kalojmë në ekuacionin e dytë. Llogaritjet më interesante dhe informuese na presin këtu:

Hapi i parë: si herën e kaluar, ne e sjellim të gjithë këtë çështje në formë kanonike. Për ta bërë këtë, ne mund të shkruajmë numrin 9 si më poshtë:

Baza rrënjë mund të lihet e paprekur, por është më mirë të transformohet argumenti. Le të kalojmë nga rrënja në fuqi me një eksponent racional. Le të shkruajmë:

Më lejoni të mos e rishkruaj të gjithë ekuacionin tonë të madh logaritmik, por thjesht të barazoj menjëherë argumentet:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Para nesh është një trinom kuadratik i reduktuar rishtazi, le të përdorim formulat e Vieta dhe të shkruajmë:

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

Pra, ne i morëm rrënjët, por askush nuk na garantoi se ato do të përshtateshin me ekuacionin logaritmik origjinal. Në fund të fundit, shenjat e regjistrit vendosin kufizime shtesë (këtu duhet të kishim shkruar sistemin, por për shkak të natyrës së rëndë të të gjithë strukturës, vendosa të llogaris domenin e përkufizimit veçmas).

Para së gjithash, mbani mend se argumentet duhet të jenë më të mëdha se 0, domethënë:

Këto janë kërkesat e vendosura nga qëllimi i përkufizimit.

Le të vërejmë menjëherë se duke qenë se dy shprehjet e para të sistemit i barazojmë me njëra-tjetrën, mund të kalojmë secilën prej tyre. Të kalojmë të parën sepse duket më kërcënues se i dyti.

Për më tepër, vini re se zgjidhja për pabarazitë e dytë dhe të tretë do të jenë të njëjtat grupe (kubi i një numri është më i madh se zero, nëse vetë ky numër është më i madh se zero; në mënyrë të ngjashme, me një rrënjë të shkallës së tretë - këto pabarazi janë krejtësisht analoge, kështu që ne mund ta kalojmë atë).

Por me pabarazinë e tretë kjo nuk do të funksionojë. Le të heqim qafe shenjën radikale në të majtë duke i ngritur të dyja pjesët në një kub. Ne marrim:

Pra, marrim kërkesat e mëposhtme:

− 2 ≠ x > −3

Cila nga rrënjët tona: x 1 = −3 ose x 2 = −1 i plotëson këto kërkesa? Natyrisht, vetëm x = −1, sepse x = −3 nuk e plotëson pabarazinë e parë (pasi pabarazia jonë është e rreptë). Pra, duke iu kthyer problemit tonë, marrim një rrënjë: x = −1. Kjo është ajo, problemi u zgjidh.

Edhe një herë, pikat kryesore të kësaj detyre:

Mos ngurroni të aplikoni dhe zgjidhni ekuacionet logaritmike duke përdorur formën kanonike. Nxënësit që bëjnë një shënim të tillë, në vend që të kalojnë drejtpërdrejt nga problemi origjinal në një ndërtim si log a f (x) = b, bëjnë shumë më pak gabime sesa ata që nxitojnë diku, duke anashkaluar hapat e ndërmjetëm të llogaritjeve;
Sapo një bazë e ndryshueshme shfaqet në një logaritëm, problemi pushon së qeni më i thjeshti. Prandaj, gjatë zgjidhjes së tij, është e nevojshme të merret parasysh fusha e përkufizimit: argumentet duhet të jenë më të mëdha se zero, dhe bazat duhet të jenë jo vetëm më të mëdha se 0, por ato gjithashtu nuk duhet të jenë të barabarta me 1.

Kërkesat përfundimtare mund të zbatohen për përgjigjet përfundimtare në mënyra të ndryshme. Për shembull, ju mund të zgjidhni një sistem të tërë që përmban të gjitha kërkesat për domenin e përkufizimit. Nga ana tjetër, së pari mund ta zgjidhni vetë problemin, dhe më pas të mbani mend domenin e përkufizimit, ta përpunoni veçmas në formën e një sistemi dhe ta aplikoni në rrënjët e marra.

Cila metodë të zgjidhni kur zgjidhni një ekuacion logaritmik të veçantë varet nga ju që të vendosni. Në çdo rast, përgjigja do të jetë e njëjtë.

Janë dhënë vetitë themelore të logaritmit, grafiku i logaritmit, fusha e përkufizimit, bashkësia e vlerave, formulat bazë, rritja dhe zvogëlimi. Konsiderohet gjetja e derivatit të një logaritmi. Si dhe zgjerimi dhe përfaqësimi integral i serive të fuqisë duke përdorur numra kompleksë.

Përkufizimi i logaritmit

Logaritmi me bazë aështë një funksion i y (x) = log a x, i anasjelltë me funksionin eksponencial me bazë a: x (y) = a y.

Logaritmi dhjetorështë logaritmi me bazën e një numri 10 : log x ≡ log 10 x.

Logaritmi natyrorështë logaritmi me bazën e e: ln x ≡ log e x.

2,718281828459045... ;
.

Grafiku i logaritmit merret nga grafiku i funksionit eksponencial duke e pasqyruar atë në lidhje me drejtëzën y = x. Në të majtë janë grafikët e funksionit y (x) = log a x për katër vlera bazat e logaritmit: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 dhe a = 1/8 . Grafiku tregon se kur një > 1 logaritmi rritet në mënyrë monotonike. Ndërsa x rritet, rritja ngadalësohet ndjeshëm. Në 0 < a < 1 logaritmi zvogëlohet në mënyrë monotonike.

Vetitë e logaritmit

Domeni, grup vlerash, në rritje, në rënie

Logaritmi është një funksion monoton, pra nuk ka ekstreme. Karakteristikat kryesore të logaritmit janë paraqitur në tabelë.


Domeni	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Gama e vlerave	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monotone	rritet në mënyrë monotone	zvogëlohet në mënyrë monotone
Zero, y = 0	x = 1	x = 1
Pikat e prerjes me boshtin e ordinatave, x = 0	Nr	Nr
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Vlerat private

Logaritmi i bazës 10 quhet logaritmi dhjetor dhe shënohet si më poshtë:

Logaritmi në bazë e thirrur logaritmi natyror:

Formulat bazë për logaritmet

Vetitë e logaritmit që dalin nga përkufizimi i funksionit të anasjelltë:

Vetia kryesore e logaritmeve dhe pasojat e saj

Formula e zëvendësimit të bazës

Logaritmiështë operacioni matematik i marrjes së një logaritmi. Kur merren logaritmet, produktet e faktorëve shndërrohen në shuma termash.

Potencimiështë veprim i anasjelltë matematikor i logaritmit. Gjatë fuqizimit, një bazë e caktuar ngrihet në shkallën e shprehjes mbi të cilën kryhet fuqizimi. Në këtë rast, shumat e termave shndërrohen në produkte faktorësh.

Vërtetimi i formulave bazë për logaritmet

Formulat e lidhura me logaritmet rrjedhin nga formulat për funksionet eksponenciale dhe nga përkufizimi i një funksioni të anasjelltë.

Merrni parasysh vetinë e funksionit eksponencial
.
Pastaj
.
Le të zbatojmë vetinë e funksionit eksponencial
:
.

Le të provojmë formulën e zëvendësimit të bazës.
;
.
Duke supozuar c = b, kemi:

Funksioni i anasjelltë

Anasjellta e një logaritmi me bazën a është një funksion eksponencial me eksponent a.

Nese atehere

Derivat i logaritmit

Derivati i logaritmit të modulit x:
.
Derivat i rendit të n-të:
.
Nxjerrja e formulave > > >

Për të gjetur derivatin e një logaritmi, ai duhet të reduktohet në bazë e.
;
.

Integrale

Integrali i logaritmit llogaritet duke integruar me pjesë: .
Kështu që,

Shprehje duke përdorur numra kompleks

Merrni parasysh funksionin e numrit kompleks z:
.
Le të shprehim një numër kompleks z nëpërmjet modulit r dhe argumenti φ :
.
Pastaj, duke përdorur vetitë e logaritmit, kemi:
.
Ose

Megjithatë, argumenti φ jo të përcaktuara në mënyrë unike. Nëse vendosni
, ku n është një numër i plotë,
atëherë do të jetë i njëjti numër për të ndryshme n.

Prandaj, logaritmi, si funksion i një ndryshoreje komplekse, nuk është një funksion me një vlerë të vetme.

Zgjerimi i serisë së energjisë

Kur bëhet zgjerimi:

Referencat:
NË. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual i matematikës për inxhinierë dhe studentë të kolegjit, "Lan", 2009.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Karakteristikat e elementit të karbonit dhe vetitë kimike