6 Funksioni i fuqisë vetitë dhe grafiku i tij. Funksioni

1. Funksioni i fuqisë, vetitë dhe grafiku i tij;

2. Transformimet:

Transferimi paralel;

Simetria rreth boshteve të koordinatave;

Simetria rreth origjinës;

Simetria rreth drejtëzës y = x;

Shtrirja dhe tkurrja përgjatë boshteve koordinative.

3. Një funksion eksponencial, vetitë dhe grafiku i tij, shndërrime të ngjashme;

4. Funksioni logaritmik, vetitë dhe grafiku i tij;

5. Funksioni trigonometrik, vetitë dhe grafiku i tij, shndërrime të ngjashme (y = sin x; y = cos x; y = tg x);

Funksioni: y = x\n - vetitë dhe grafiku i tij.

Funksioni i fuqisë, vetitë dhe grafiku i tij

y \u003d x, y \u003d x 2, y \u003d x 3, y \u003d 1 / x etj. Të gjitha këto funksione janë raste të veçanta të funksionit të fuqisë, d.m.th., funksionit y = xp, ku p është një numër real i dhënë.
Vetitë dhe grafiku i një funksioni fuqie në thelb varen nga vetitë e një fuqie me një eksponent real, dhe në veçanti nga vlerat për të cilat x Dhe fq ka kuptim xp. Le të vazhdojmë me një shqyrtim të ngjashëm të rasteve të ndryshme, në varësi të
eksponent fq.

1. Indeksi p = 2nështë numër natyror çift.

y=x2n, Ku nështë një numër natyror dhe ka këto veti:

• fusha e përkufizimit është të gjithë numrat realë, d.m.th., bashkësia R;
• grup vlerash - numra jonegativë, d.m.th. y është më i madh ose i barabartë me 0;
• funksionin y=x2n madje, sepse x 2n = (-x) 2n
• funksioni zvogëlohet në interval x< 0 dhe duke u rritur në interval x > 0.

Grafiku i funksionit y=x2n ka të njëjtën formë si, për shembull, grafiku i një funksioni y=x4.

2. Treguesi p = 2n - 1- numër natyror tek

Në këtë rast, funksioni i fuqisë y=x2n-1, ku është një numër natyror, ka vetitë e mëposhtme:

• domeni i përkufizimit - grupi R;
• grup vlerash - grup R;
• funksionin y=x2n-1 e çuditshme sepse (- x) 2n-1= x 2n-1;
• funksioni po rritet në të gjithë boshtin real.

Grafiku i funksionit y=x2n-1 y=x3.

3. Treguesi p=-2n, Ku n- numri natyror.

Në këtë rast, funksioni i fuqisë y=x-2n=1/x2n ka vetitë e mëposhtme:

• grup vlerash - numra pozitivë y>0;
• funksioni y = 1/x2n madje, sepse 1/(-x) 2n= 1/x2n;
• funksioni rritet në intervalin x0.

Grafiku i funksionit y = 1/x2n ka të njëjtën formë si, për shembull, grafiku i funksionit y = 1/x2.

4. Treguesi p = -(2n-1), Ku n- numri natyror.
Në këtë rast, funksioni i fuqisë y=x-(2n-1) ka vetitë e mëposhtme:

• domeni i përkufizimit është bashkësia R, me përjashtim të x = 0;
• grup vlerash - grup R, përveç y = 0;
• funksionin y=x-(2n-1) e çuditshme sepse (- x)-(2n-1) = -x-(2n-1);
• funksioni zvogëlohet në intervale x< 0 Dhe x > 0.

Grafiku i funksionit y=x-(2n-1) ka të njëjtën formë si, për shembull, grafiku i funksionit y = 1/x3.

Kujtoni vetitë dhe grafikët e funksioneve të fuqisë me një eksponent negativ të numrit të plotë.

Edhe për n, :

Shembull funksioni:

Të gjithë grafikët e funksioneve të tilla kalojnë nëpër dy pika fikse: (1;1), (-1;1). Një tipar i funksioneve të këtij lloji është barazia e tyre, grafikët janë simetrik në lidhje me boshtin op-y.

Oriz. 1. Grafiku i një funksioni

Për n tek, :

Shembull funksioni:

Të gjithë grafikët e funksioneve të tilla kalojnë nëpër dy pika fikse: (1;1), (-1;-1). Një tipar i funksioneve të këtij lloji është çuditshmëria e tyre, grafikët janë simetrikë në lidhje me origjinën.

Oriz. 2. Grafiku i funksionit

Le të kujtojmë përkufizimin kryesor.

Shkalla e një numri jonegativ a me një eksponent pozitiv racional quhet numër.

Shkalla e një numri pozitiv a me një eksponent negativ racional quhet numër.

Për barazinë e mëposhtme vlen:

Për shembull: ; - shprehja nuk ekziston sipas përkufizimit të një shkalle me eksponent racional negativ; ekziston, pasi eksponenti është një numër i plotë,

Le të kthehemi në shqyrtimin e funksioneve të fuqisë me një eksponent negativ racional.

Për shembull:

Për të hartuar këtë funksion, mund të bëni një tabelë. Ne do të bëjmë ndryshe: së pari, do të ndërtojmë dhe studiojmë grafikun e emëruesit - ne e dimë atë (Figura 3).

Oriz. 3. Grafiku i një funksioni

Grafiku i funksionit të emëruesit kalon në një pikë fikse (1;1). Kur ndërtohet një grafik i funksionit origjinal, kjo pikë mbetet, kur edhe rrënja tenton në zero, funksioni tenton në pafundësi. Dhe, anasjelltas, ndërsa x tenton në pafundësi, funksioni tenton në zero (Figura 4).

Oriz. 4. Grafiku i funksionit

Konsideroni një funksion tjetër nga familja e funksioneve në studim.

Është e rëndësishme që sipas përkufizimit

Konsideroni grafikun e funksionit në emërues: , ne e njohim grafikun e këtij funksioni, ai rritet në domenin e tij të përkufizimit dhe kalon nëpër pikën (1; 1) (Figura 5).

Oriz. 5. Grafiku i funksionit

Kur ndërtohet një grafik i funksionit origjinal, pika (1; 1) mbetet, kur edhe rrënja tenton në zero, funksioni tenton në pafundësi. Dhe, anasjelltas, ndërsa x tenton në pafundësi, funksioni tenton në zero (Figura 6).

Oriz. 6. Grafiku i funksionit

Shembujt e shqyrtuar ndihmojnë për të kuptuar se si shkon grafiku dhe cilat janë vetitë e funksionit në studim - një funksion me një eksponent racional negativ.

Grafikët e funksioneve të kësaj familjeje kalojnë në pikën (1;1), funksioni zvogëlohet në të gjithë domenin e përkufizimit.

Shtrirja e funksionit:

Funksioni nuk është i kufizuar nga lart, por i kufizuar nga poshtë. Funksioni nuk ka as vlerë maksimale dhe as minimale.

Funksioni është i vazhdueshëm, merr të gjitha vlerat pozitive nga zero në plus pafundësi.

Funksioni konveks poshtë (Figura 15.7)

Pikat A dhe B merren në kurbë, përmes tyre tërhiqet një segment, e gjithë kurba është poshtë segmentit, ky kusht plotësohet për dy pika arbitrare të lakores, prandaj funksioni është konveks poshtë. Oriz. 7.

Oriz. 7. Konveksiteti i një funksioni

Është e rëndësishme të kuptohet se funksionet e kësaj familjeje janë të kufizuara nga poshtë me zero, por ato nuk kanë vlerën më të vogël.

Shembulli 1 - gjeni maksimumin dhe minimumin e funksionit në interval )

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Karakteristikat e elementit të karbonit dhe vetitë kimike