Si të shpëtojmë nga shenja rrënjësore në një ekuacion. Ekuacionet irracionale dhe metodat për zgjidhjen e tyre

Disa nxënës me të vërtetë nuk i pëlqejnë ekuacionet dhe problemet në të cilat shfaqet shenja rrënjësore. Por zgjidhja e një shembulli nga rrënja nuk është aq e vështirë të dihet se nga cila anë t'i qasemi problemit. Vetë ikona, e cila tregon nxjerrjen e rrënjës, quhet radikal. Si të zgjidhni rrënjët? Të nxjerrësh rrënjën katrore të një numri do të thotë të zgjedhësh një numër që, kur të vendoset në katror, ​​do të japë të njëjtën vlerë nën shenjën radikale.

Pra, si të zgjidhni rrënjët katrore

Zgjidhja e rrënjëve katrore është e lehtë. Për shembull, duhet të kuptoni se cila është rrënja e 16-ës Për të zgjidhur këtë shembull të thjeshtë, duhet të mbani mend se sa është 2 në katror - 2 2, pastaj 3 2 dhe në fund 4 2. Vetëm tani do të shohim që rezultati (16) përputhet me kërkesën. Kjo do të thotë, për të nxjerrë rrënjën, duhej të zgjidhnim vlerat e mundshme. Rezulton se nuk ka një algoritëm të saktë dhe të provuar për zgjidhjen e rrënjëve. Për ta bërë më të lehtë punën e "zgjidhësit", matematikanët rekomandojnë të mësoni përmendësh (pikërisht përmendësh, si një tabelë shumëzimi) vlerat e katrorëve të numrave deri në njëzet. Atëherë do të jetë e mundur të nxirret lehtësisht rrënja e numrave që janë më shumë se njëqind. Dhe, përkundrazi, mund të shihni menjëherë se rrënja nuk mund të nxirret nga ky numër, domethënë, përgjigja nuk do të jetë një numër i plotë.

Ne kuptuam se si të zgjidhim rrënjët katrore. Tani le të kuptojmë se cilat rrënjë katrore nuk kanë zgjidhje. Për shembull, numrat negativë. Këtu është e qartë se nëse shumëzohen dy numra negativë, përgjigja do të jetë me një shenjë plus. Ja çfarë duhet të dini: Rrënja mund të nxirret nga çdo numër (përveç negativit, siç u përmend më lart). Përgjigja mund të rezultojë thjesht të jetë një thyesë dhjetore. Kjo do të thotë, përmban një numër të caktuar shifrash pas pikës dhjetore. Për shembull, rrënja e dy ka vlerën 1.41421 dhe nuk janë të gjithë numrat pas presjes dhjetore. Vlera të tilla janë të rrumbullakosura për të lehtësuar llogaritjet, ndonjëherë në shifrën e dytë dhjetore, ndonjëherë në të tretën ose të katërtin. Përveç kësaj, shpesh praktikohet të lini numrin nën rrënjë si përgjigje nëse duket mirë dhe kompakt. Është tashmë e qartë se çfarë do të thotë.

Si të zgjidhim ekuacionet me rrënjë?

Për të zgjidhur ekuacionet me rrënjë, duhet të përdorni një nga metodat që nuk kemi shpikur. Për shembull, katrore të dyja anët e një ekuacioni të tillë. Për shembull:

Rrënja e X+3=5

Le të vendosim në katror anën e majtë dhe të djathtë të ekuacionit:

Tani mund të shihni se si ta zgjidhni këtë ekuacion. Së pari, le të zbulojmë se me çfarë është e barabartë X 2 (dhe është e barabartë me 16), dhe më pas të marrim rrënjën e saj. Përgjigje: 4. Megjithatë, këtu vlen të thuhet se ky ekuacion ka në fakt dy zgjidhje, dy rrënjë: 4 dhe -4. Në fund të fundit, -4 në katror jep gjithashtu 16.

Përveç kësaj metode, ndonjëherë është më tërheqëse dhe më e përshtatshme për të zëvendësuar variablin që ndodhet nën rrënjë me një variabël tjetër për të hequr qafe këtë rrënjë.

Y = rrënja e X.

Më pas, pasi kemi zgjidhur ekuacionin, kthehemi në zëvendësim dhe përfundojmë llogaritjet me rrënjë.

Kjo do të thotë, marrim X = Y 2. Dhe kjo do të jetë zgjidhja.

Duhet thënë se ka disa teknika të tjera për zgjidhjen e ekuacioneve me rrënjë.

Si të zgjidhni rrënjët në pushtet?

Një radikal, i cili nuk ka fuqi në bazën e tij, do të thotë që ju duhet të merrni rrënjën katrore të një shprehjeje ose numri, domethënë fuqinë katrore në të kundërt. Është e thjeshtë dhe e qartë. Për shembull: rrënja e 9 = 3, (dhe 3 2 = 9), rrënja e 16 = 4 (4 2 = 16) dhe gjithçka në të njëjtën frymë. Por çfarë do të thotë nëse rrënja ka një shkallë? Kjo do të thotë se është e nevojshme, përsëri, të kryhet veprimi i kundërt me ngritjen e tij në këtë fuqi. Për shembull, duhet të zbuloni vlerën e rrënjës së kubit të 27.
Për ta bërë këtë, ju duhet të zgjidhni një numër që, kur kubohet, do të japë 27. Ky është 3 (3*3*3=27).

rrënja 3 nga 27 = 3

Veprime të ngjashme duhen kryer nëse shkalla e rrënjës është 4, 5. Vetëm në këtë rast është e nevojshme të zgjidhet një numër që, kur të ngrihet në fuqi n do të japë vlerën nën rrënjë n-shkalla e saj.

Këtu duhet thënë se shkallët e rrënjëve dhe shkallët e shprehjeve radikale mund të zvogëlohen. Megjithatë, sipas rregullave. Nëse numri ose ndryshorja nën rrënjë ka një shkallë që është shumëfish i rrënjës, ato mund të reduktohen. Për shembull:

rrënja 3 e X 6 = X 2

Këto rregulla për trajtimin e rrënjëve dhe fuqive janë të thjeshta, ju duhet t'i njihni ato qartë, dhe atëherë llogaritja do të jetë e thjeshtë. Ne kuptuam se si t'i zgjidhnim rrënjët në një farë mase, tani vazhdojmë.

Si të zgjidhni rrënjën nën rrënjë?

Kjo shprehje e tmerrshme është rrënjë për rrënjë dhe në shikim të parë nuk mund të zgjidhet. Por për të llogaritur saktë vlerën e një shprehjeje të tillë, duhet të dini vetitë e rrënjëve. Në këtë rast, ju vetëm duhet të zëvendësoni dy rrënjë me një. Për ta bërë këtë, gradat e këtyre radikalëve thjesht duhet të shumëzohen. Për shembull:

rrënja 3 e rrënjës 729 = (rrënja 3 * rrënja 2) e 729

Kjo do të thotë, këtu kemi shumëzuar rrënjën e kubit me rrënjën katrore. Si rezultat, morëm rrënjën e gjashtë:

rrënja 6 nga 729 = 3

Rrënjët e tjera të ngjashme nën rrënjë duhet të trajtohen në të njëjtën mënyrë.

Duke marrë parasysh të gjithë shembujt e propozuar, është e lehtë të pajtohemi se zgjidhja e rrënjëve nuk është një detyrë aq e vështirë. Sigurisht, kur bëhet fjalë për aritmetikë të thjeshtë, banale, ndonjëherë është më e lehtë të përdorësh një kalkulator të njohur. Sidoqoftë, para se të bëni llogaritjet, duhet të bëni gjithçka që është e mundur për të thjeshtuar detyrën për veten tuaj, duke zvogëluar numrin dhe kompleksitetin e llogaritjeve aritmetike sa më shumë që të jetë e mundur. Atëherë zgjidhja do të bëhet e thjeshtë dhe, më e rëndësishmja, interesante.

Gjatë studimit të algjebrës, nxënësit e shkollave përballen me shumë lloje ekuacionesh. Ndër ato që janë më të thjeshtat janë ato lineare, që përmbajnë një të panjohur. Nëse një variabël në një shprehje matematikore është ngritur në një fuqi të caktuar, atëherë ekuacioni quhet kuadratik, kub, bikuadratik, e kështu me radhë. Këto shprehje mund të përmbajnë numra racionalë. Por ka edhe ekuacione irracionale. Ato ndryshojnë nga të tjerët nga prania e një funksioni ku e panjohura është nën shenjën radikale (d.m.th., thjesht nga jashtë, ndryshorja këtu mund të shihet e shkruar nën rrënjën katrore). Zgjidhja e ekuacioneve irracionale ka veçoritë e veta karakteristike. Gjatë llogaritjes së vlerës së një variabli për të marrë përgjigjen e saktë, ato duhet të merren parasysh.

"E pashprehur me fjale"

Nuk është sekret që matematikanët e lashtë vepronin kryesisht me numra racionalë. Këto përfshijnë, siç dihet, numra të plotë të shprehur përmes thyesave periodike të zakonshme dhe dhjetore, përfaqësues të një bashkësie të caktuar. Sidoqoftë, shkencëtarët e Lindjes së Mesme dhe të Afërt, si dhe Indisë, duke zhvilluar trigonometrinë, astronominë dhe algjebrën, mësuan gjithashtu të zgjidhin ekuacionet irracionale. Për shembull, grekët dinin sasi të ngjashme, por duke i vënë ato në formë verbale, ata përdorën konceptin "alogos", që do të thoshte "i pashprehur". Disi më vonë, evropianët, duke i imituar ata, i quajtën numra të tillë "të shurdhër". Ato ndryshojnë nga të gjithë të tjerët në atë që mund të përfaqësohen vetëm në formën e një fraksioni të pafundëm jo periodik, shprehja numerike përfundimtare e së cilës është thjesht e pamundur të merret. Prandaj, më shpesh përfaqësues të tillë të mbretërisë së numrave shkruhen në formën e numrave dhe shenjave si një shprehje e vendosur nën rrënjën e shkallës së dytë ose më të lartë.

Bazuar në sa më sipër, le të përpiqemi të përcaktojmë një ekuacion irracional. Shprehje të tilla përmbajnë të ashtuquajturat "numra të pashprehur", të shkruar duke përdorur shenjën e rrënjës katrore. Ato mund të jenë të gjitha llojet e opsioneve mjaft komplekse, por në formën e tyre më të thjeshtë duken si ajo në foton më poshtë.

Kur filloni të zgjidhni ekuacionet irracionale, para së gjithash është e nevojshme të llogaritet diapazoni i vlerave të lejueshme të ndryshores.

A ka kuptim shprehja?

Nevoja për të kontrolluar vlerat e marra rrjedh nga vetitë, siç dihet, një shprehje e tillë është e pranueshme dhe ka ndonjë kuptim vetëm në kushte të caktuara. Në rastet e rrënjëve me gradë çift, të gjitha shprehjet radikale duhet të jenë pozitive ose të barabarta me zero. Nëse ky kusht nuk plotësohet, atëherë shënimi matematikor i paraqitur nuk mund të konsiderohet kuptimplotë.

Le të japim një shembull specifik se si të zgjidhim ekuacionet irracionale (foto më poshtë).

Në këtë rast, është e qartë se kushtet e specifikuara nuk mund të plotësohen për asnjë vlerë të pranuar nga vlera e dëshiruar, pasi rezulton se 11 ≤ x ≤ 4. Kjo do të thotë se vetëm Ø mund të jetë zgjidhja.

Metoda e analizës

Nga sa më sipër, bëhet e qartë se si të zgjidhen disa lloje ekuacionesh irracionale. Këtu një analizë e thjeshtë mund të jetë një mënyrë efektive.

Le të japim një numër shembujsh që përsëri do ta demonstrojnë qartë këtë (foto më poshtë).

Në rastin e parë, pas shqyrtimit të kujdesshëm të shprehjes, menjëherë rezulton të jetë jashtëzakonisht e qartë se ajo nuk mund të jetë e vërtetë. Në të vërtetë, ana e majtë e barazisë duhet të rezultojë në një numër pozitiv, i cili nuk mund të jetë i barabartë me -1.

Në rastin e dytë, shuma e dy shprehjeve pozitive mund të konsiderohet e barabartë me zero vetëm kur x - 3 = 0 dhe x + 3 = 0 në të njëjtën kohë. Dhe kjo është përsëri e pamundur. Dhe kjo do të thotë se përgjigja duhet të shkruhet përsëri Ø.

Shembulli i tretë është shumë i ngjashëm me atë të diskutuar më parë. Në të vërtetë, këtu kushtet e ODZ-së kërkojnë që të plotësohet pabarazia absurde e mëposhtme: 5 ≤ x ≤ 2. Dhe një ekuacion i tillë në të njëjtën mënyrë nuk mund të ketë zgjidhje të arsyeshme.

Zmadhimi i pakufizuar

Natyra e irracionales mund të shpjegohet dhe njihet më qartë dhe plotësisht vetëm përmes serive të pafundme të numrave dhjetorë. Një shembull specifik, i mrekullueshëm i anëtarëve të kësaj familjeje është pi. Jo pa arsye kjo konstante matematikore ka qenë e njohur që nga kohërat e lashta, duke u përdorur në llogaritjen e perimetrit dhe sipërfaqes së një rrethi. Por në mesin e evropianëve për herë të parë u zbatua nga anglezi William Jones dhe zvicerani Leonard Euler.

Kjo konstante lind si më poshtë. Nëse krahasojmë rrathë me perimetra të ndryshme, atëherë raporti i gjatësisë dhe diametrit të tyre është domosdoshmërisht i barabartë me të njëjtin numër. Ky është pi. Nëse e shprehim përmes një thyese të zakonshme, përafërsisht marrim 22/7. Kjo u bë për herë të parë nga Arkimedi i madh, portreti i të cilit është paraqitur në figurën e mësipërme. Kjo është arsyeja pse një numër i tillë mori emrin e tij. Por kjo nuk është një vlerë e qartë, por një vlerë e përafërt e ndoshta më e mahnitshme e numrave. Një shkencëtar brilant gjeti vlerën e dëshiruar me një saktësi prej 0.02, por, në fakt, kjo konstante nuk ka asnjë kuptim real, por shprehet si 3.1415926535... Është një seri e pafund numrash, që i afrohen pafundësisht një vlere mitike.

katrore

Por le të kthehemi te ekuacionet irracionale. Për të gjetur të panjohurën, në këtë rast ata shpesh përdorin një metodë të thjeshtë: katrorin e të dy anëve të barazisë ekzistuese. Kjo metodë zakonisht jep rezultate të mira. Por duhet të merret parasysh tinëzari i sasive irracionale. Të gjitha rrënjët e marra si rezultat i kësaj duhet të kontrollohen, sepse ato mund të mos jenë të përshtatshme.

Por le të vazhdojmë të shikojmë shembujt dhe të përpiqemi të gjejmë variablat duke përdorur metodën e propozuar rishtazi.

Nuk është aspak e vështirë, duke përdorur teoremën e Vietës, të gjejmë vlerat e dëshiruara të sasive pasi, si rezultat i veprimeve të caktuara, të kemi formuar një ekuacion kuadratik. Këtu rezulton se midis rrënjëve do të ketë 2 dhe -19. Sidoqoftë, kur kontrolloni, zëvendësoni vlerat që rezultojnë në shprehjen origjinale, mund të siguroheni që asnjë nga këto rrënjë nuk është e përshtatshme. Kjo është një dukuri e zakonshme në ekuacionet irracionale. Kjo do të thotë që dilema jonë përsëri nuk ka zgjidhje dhe përgjigja duhet të tregojë një grup bosh.

Shembuj më kompleks

Në disa raste, është e nevojshme që të dy anët e një shprehje të vendosen në katror jo një herë, por disa herë. Le të shohim shembuj ku kjo kërkohet. Ato mund të shihen më poshtë.

Pasi të keni marrë rrënjët, mos harroni t'i kontrolloni ato, sepse mund të shfaqen ato shtesë. Duhet shpjeguar pse kjo është e mundur. Gjatë zbatimit të kësaj metode, ekuacioni është disi i racionalizuar. Por duke hequr qafe rrënjët që nuk na pëlqejnë, të cilat na pengojnë të kryejmë veprime aritmetike, ne duket se zgjerojmë gamën ekzistuese të kuptimeve, e cila është e mbushur (siç mund të kuptohet) me pasoja. Duke parashikuar këtë, ne kryejmë një kontroll. Në këtë rast, ekziston një shans për t'u siguruar që vetëm njëra prej rrënjëve është e përshtatshme: x = 0.

Sistemet

Çfarë duhet të bëjmë në rastet kur duhet të zgjidhim sisteme ekuacionesh irracionale dhe nuk kemi një, por dy të panjohura? Këtu veprojmë në të njëjtën mënyrë si në rastet e zakonshme, por duke marrë parasysh vetitë e mësipërme të këtyre shprehjeve matematikore. Dhe në çdo detyrë të re, natyrisht, duhet të përdorni një qasje krijuese. Por, përsëri, është më mirë të shqyrtojmë gjithçka duke përdorur shembullin specifik të paraqitur më poshtë. Këtu jo vetëm që duhet të gjeni variablat x dhe y, por gjithashtu të tregoni shumën e tyre në përgjigje. Pra, ekziston një sistem që përmban sasi joracionale (shih foton më poshtë).

Siç mund ta shihni, një detyrë e tillë nuk paraqet asgjë të mbinatyrshme të vështirë. Thjesht duhet të jeni të zgjuar dhe të merrni me mend se ana e majtë e ekuacionit të parë është katrori i shumës. Detyra të ngjashme gjenden në Provimin e Unifikuar të Shtetit.

Irracional në matematikë

Çdo herë, nevoja për të krijuar lloje të reja numrash lindi midis njerëzimit kur nuk kishte "hapësirë" të mjaftueshme për të zgjidhur disa ekuacione. Numrat irracionalë nuk bëjnë përjashtim. Siç dëshmojnë faktet nga historia, urtët e mëdhenj i kushtuan vëmendje kësaj edhe para erës sonë, në shekullin e VII. Kjo u bë nga një matematikan nga India i njohur si Manava. Ai e kuptoi qartë se ishte e pamundur të nxirrej një rrënjë nga disa numra natyrorë. Për shembull, këto përfshijnë 2; 17 ose 61, si dhe shumë të tjerë.

Një nga pitagorianët, një mendimtar i quajtur Hippasus, arriti në të njëjtin përfundim duke u përpjekur të bënte llogaritje duke përdorur shprehje numerike të anëve të pentagramit. Duke zbuluar elemente matematikore që nuk mund të shprehen me vlera numerike dhe nuk kanë vetitë e numrave të zakonshëm, ai zemëroi aq shumë kolegët e tij sa u hodh në det në anije. Fakti është se pitagorianë të tjerë e konsideruan arsyetimin e tij një rebelim kundër ligjeve të universit.

Shenja e Radikalit: Evolucioni

Shenja rrënjësore për shprehjen e vlerës numerike të numrave "të shurdhër" nuk filloi të përdoret menjëherë në zgjidhjen e pabarazive dhe ekuacioneve irracionale. Matematikanë evropianë, në veçanti italianë, filluan të mendojnë për radikalin rreth shekullit të 13-të. Në të njëjtën kohë, ata dolën me idenë e përdorimit të R latinisht për përcaktimin, por matematikanët gjermanë vepruan ndryshe në veprat e tyre. Atyre u pëlqeu më shumë shkronja V Në Gjermani u përhap shumë shpejt emërtimi V(2), V(3), i cili synonte të shprehte rrënjën katrore të 2, 3 etj. Më vonë, holandezët ndërhynë dhe modifikuan shenjën e radikalit. Dhe Rene Descartes përfundoi evolucionin, duke e çuar shenjën e rrënjës katrore në përsosmërinë moderne.

Duke hequr qafe të paarsyeshmen

Ekuacionet dhe pabarazitë irracionale mund të përfshijnë një ndryshore jo vetëm nën shenjën e rrënjës katrore. Mund të jetë e çdo shkalle. Mënyra më e zakonshme për ta hequr qafe atë është ngritja e të dy anëve të ekuacionit në fuqinë e duhur. Ky është veprimi kryesor që ndihmon në operacionet me irracionalen. Veprimet në rastet çift nuk janë veçanërisht të ndryshme nga ato që kemi diskutuar më parë. Këtu duhet të merren parasysh kushtet për mos-negativitetin e shprehjes radikale, dhe në fund të zgjidhjes është e nevojshme të filtroni vlerat e jashtme të variablave në të njëjtën mënyrë siç u tregua në shembujt e konsideruar tashmë. .

Ndër transformimet shtesë që ndihmojnë në gjetjen e përgjigjes së saktë, shpesh përdoret shumëzimi i shprehjes me konjugatin e saj, dhe gjithashtu shpesh është e nevojshme të futet një ndryshore e re, e cila e bën zgjidhjen më të lehtë. Në disa raste, këshillohet përdorimi i grafikëve për të gjetur vlerën e të panjohurave.

Përmbledhja e mësimit

"Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve irracionale"

Profili i klasës së 11-të fizikë matematikë.

Rrethi komunal Zelenodolsk i Republikës së Tatarstanit"

Valieva S.Z.

Tema e mësimit: Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve irracionale

Qëllimi i mësimit: 1.Studioni mënyra të ndryshme për zgjidhjen e ekuacioneve irracionale.

1. 
   Zhvilloni aftësinë për të përgjithësuar dhe zgjedhur saktë metodat për zgjidhjen e ekuacioneve irracionale.
2. 
   Zhvilloni pavarësinë, përmirësoni shkrim-leximin e të folurit

Lloji i mësimit: seminar.
Plani i mësimit:

1. 
   Koha e organizimit
2. 
   Mësimi i materialit të ri
3. 
   Konsolidimi
4. 
   Detyre shtepie
5. 
   Përmbledhja e mësimit

Gjatë orëve të mësimit
I. Koha e organizimit: mesazhi i temës së mësimit, qëllimi i orës së mësimit.

Në mësimin e mëparshëm, ne shikuam zgjidhjen e ekuacioneve irracionale që përmbajnë rrënjë katrore duke i katrorizuar ato. Në këtë rast, marrim një ekuacion përfundues, i cili ndonjëherë çon në shfaqjen e rrënjëve të jashtme. Dhe pastaj një pjesë e detyrueshme e zgjidhjes së ekuacionit është kontrollimi i rrënjëve. Ne shikuam gjithashtu zgjidhjen e ekuacioneve duke përdorur përkufizimin e rrënjëve katrore. Në këtë rast, kontrolli mund të mos kryhet. Sidoqoftë, kur zgjidhni ekuacione, jo gjithmonë duhet të filloni menjëherë "verbërisht" të aplikoni algoritme për zgjidhjen e ekuacionit. Në detyrat e Provimit të Unifikuar të Shtetit ka mjaft ekuacione, gjatë zgjidhjes së të cilave është e nevojshme të zgjidhni një metodë zgjidhjeje që ju lejon të zgjidhni ekuacionet më lehtë dhe më shpejt. Prandaj, është e nevojshme të njihen metoda të tjera për zgjidhjen e ekuacioneve irracionale, me të cilat do të njihemi sot. Më parë, klasa ishte e ndarë në 8 grupe krijuese, dhe atyre iu dhanë shembuj specifikë për të zbuluar thelbin e një metode të caktuar. Ne u japim fjalën.

II. Mësimi i materialit të ri.

Nga secili grup, 1 nxënës u shpjegon fëmijëve se si të zgjidhin ekuacionet irracionale. E gjithë klasa dëgjon dhe mban shënime për historinë e tyre.

1 mënyrë. Prezantimi i një ndryshoreje të re.

Zgjidheni ekuacionin: (2x + 3) 2 - 3

4x 2 + 12x + 9 - 3

4x 2 - 8x - 51 - 3

, t ≥0

x 2 – 2x – 6 = t 2;

4t 2 – 3t – 27 = 0

x 2 – 2x – 15 =0

x 2 – 2x – 6 =9;

Përgjigje: -3; 5.

Metoda 2. Hulumtimi DL.

Zgjidhe ekuacionin

ODZ:


x = 2. Duke kontrolluar jemi të bindur se x = 2 është rrënja e ekuacionit.

3 mënyra. Duke shumëzuar të dyja anët e ekuacionit me faktorin e konjuguar.

+
(shumohen të dyja anët me -
)

x + 3 – x – 8 = 5(-)

2=4, pra x=1. Duke kontrolluar jemi të bindur se x = 1 është rrënja e këtij ekuacioni.

4 mënyra. Reduktimi i një ekuacioni në një sistem duke futur një ndryshore.

Zgjidhe ekuacionin

Le = ju,
=v.

Ne marrim sistemin:

Le të zgjidhim me metodën e zëvendësimit. Marrim u = 2, v = 2. Kjo do të thotë

marrim x = 1.

Përgjigje: x = 1.

5 mënyra. Zgjedhja e një katrori të plotë.

Zgjidhe ekuacionin

Le të zgjerojmë modulet. Sepse -1≤сos0.5x≤1, pastaj -4≤сos0.5x-3≤-2, që do të thotë . Po kështu,

Pastaj marrim ekuacionin

x = 4πn, nZ.

Përgjigje: 4πn, nZ.

6 mënyra. Metoda e vlerësimit

Zgjidhe ekuacionin

ODZ: x 3 - 2x 2 - 4x + 8 ≥ 0, sipas përkufizimit, ana e djathtë është -x 3 + 2x 2 + 4x - 8 ≥ 0

marrim
ato. x 3 - 2x 2 - 4x + 8 = 0. Duke zgjidhur ekuacionin duke faktorizuar, marrim x = 2, x = -2

Metoda 7: Përdorimi i vetive të monotonitetit të funksioneve.

Zgjidhe ekuacionin. Funksionet po rriten rreptësisht. Shuma e funksioneve në rritje është në rritje dhe ky ekuacion ka më së shumti një rrënjë. Me zgjedhje gjejmë x = 1.

8 mënyra. Përdorimi i vektorëve.

Zgjidhe ekuacionin. ODZ: -1≤х≤3.

Lëreni vektorin
. Produkti skalar i vektorëve është ana e majtë. Le të gjejmë produktin e gjatësisë së tyre. Kjo është ana e duhur. Mora
, d.m.th. vektorët a dhe b janë kolinearë. Nga këtu
. Le të sheshojmë të dyja anët. Duke zgjidhur ekuacionin, marrim x = 1 dhe x =
.

1. 
   Konsolidimi.(çdo studenti i jepen fletë pune)

Punë gojore ballore

Gjeni një ide për zgjidhjen e ekuacioneve (1-10)

1.
(ODZ - )

2.
x = 2

3. x 2 – 3x +
(zëvendësim)

4. (zgjedhja e një katrori të plotë)

5.
(Reduktimi i një ekuacioni në një sistem duke futur një ndryshore.)

6.
(duke shumëzuar me shprehjen e konjuguar)

7.
sepse
. Atëherë ky ekuacion nuk ka rrënjë.

8. Sepse Çdo term është jo-negativ, i barazojmë me zero dhe zgjidhim sistemin.

9. 3

10. Gjeni rrënjën e ekuacionit (ose produktin e rrënjëve, nëse ka disa) të ekuacionit.

Punë e pavarur me shkrim e ndjekur nga testimi

zgjidhni ekuacionet me numër 11,13,17,19

Zgjidh ekuacionet:

12. (x + 6) 2 -

14.

Metoda e vlerësimit

Përdorimi i vetive të monotonitetit të funksioneve.

Përdorimi i vektorëve.

1. 
   Cila nga këto metoda përdoret për zgjidhjen e llojeve të tjera të ekuacioneve?
2. 
   Cila nga këto metoda ju pëlqeu më shumë dhe pse?

1. 
   Detyrë shtëpie: Zgjidh ekuacionet e mbetura.

Bibliografi:

1. 
   Algjebra dhe fillimet e analizës matematikore: tekst shkollor. për klasën e 11-të arsimi i përgjithshëm institucionet / S.M.Nikolsky, M.K.Potapov, N.N.Reshetnikov, A.V.Shevkin. M: Prsveshchenie, 2009

1. 
   Materiale didaktike mbi algjebrën dhe fillimet e analizës për klasën 11 / B.M. Ivlev, S.M. Sahakyan, S.I. Schwartzburd. – M.: Arsimi, 2003.
2. 
   Mordkovich A. G. Algjebra dhe fillimet e analizës. Klasat 10 – 11: Libër me probleme për arsimin e përgjithshëm. institucionet. - M.: Mnemosyne, 2000.
3. 
   Ershova A.P., Goloborodko V.V. Punë e pavarur dhe testuese për algjebër dhe fillimet e analizës për klasat 10 - 11. – M.: Ilexa, 2004
4. 
   Provimi i Unifikuar Shtetëror KIM 2002 – 2010

6. Simulator algjebrik. A.G.Merzlyak, V.B.Polonsky, M.S. Yakir. Një manual për nxënësit e shkollave dhe aplikantët. Moskë: "Ilexa" 2001.
7. Ekuacionet dhe pabarazitë. Metodat jo standarde të zgjidhjes. Manual edukativo-metodologjik. Klasat 10-11. S.N. Oleinik, M.K. Potapov, P.I. Pasichenko. Moska. "Bustard". 2001

Edhe pse pamja frikësuese e simbolit të rrënjës katrore mund të bëjë që dikush që nuk është i mirë në matematikë të tkurret, problemet e rrënjës katrore nuk janë aq të vështira sa mund të duken në fillim. Problemet e thjeshta me rrënjë katrore shpesh mund të zgjidhen aq lehtë sa problemet e zakonshme të shumëzimit ose pjesëtimit. Nga ana tjetër, detyrat më komplekse mund të kërkojnë disa përpjekje, por me qasjen e duhur, edhe këto nuk do të jenë të vështira për ju. Filloni të zgjidhni problemet në rrënjët e tyre sot për të mësuar këtë aftësi të re radikale matematikore!

Hapat

Pjesa 1

Kuptimi i katrorëve të numrave dhe i rrënjëve katrore

1. Në katrorë numrin duke e shumëzuar me vete. Për të kuptuar rrënjët katrore, është mirë të filloni me katrorët e numrave. Katroret e numrave janë mjaft të thjeshtë: katrori i një numri do të thotë ta shumëzosh atë në vetvete. Për shembull, 3 në katror është i njëjtë me 3 × 3 = 9, dhe 9 në katror është i njëjtë me 9 × 9 = 81. Sheshet shënohen duke shkruar një "2" të vogël në të djathtë mbi numrin katror. Shembull: 3 2, 9 2, 100 2 e kështu me radhë.

   • Provoni të kuadroni vetë disa numra të tjerë për të provuar konceptin. Mbani mend, katrori i një numri do të thotë të shumëzoni atë numër me vetveten. Kjo mund të bëhet edhe për numra negativë. Në këtë rast, rezultati do të jetë gjithmonë pozitiv. Për shembull: -8 2 = -8 × -8 = 64 .

2. Kur bëhet fjalë për rrënjët katrore, procesi është i kundërt i katrorit. Simboli i rrënjës (√, i quajtur edhe radikal) në thelb do të thotë e kundërta e simbolit 2. Kur shihni një radikal, duhet të pyesni veten: "Cili numër mund të shumëzohet në vetvete për të bërë numrin nën rrënjë?" Për shembull, nëse shihni √(9), atëherë duhet të gjeni një numër që, kur në katror, ​​jep numrin nëntë. Në rastin tonë, ky numër do të jetë tre, sepse 3 2 = 9.

   • Le të shohim një shembull tjetër dhe të gjejmë rrënjën e 25 (√(25)). Kjo do të thotë se duhet të gjejmë një numër që në katror na jep 25. Meqenëse 5 2 = 5 × 5 = 25, mund të themi se √(25) = 5.
   • Ju gjithashtu mund ta mendoni atë si "zhbërje" katrore. Për shembull, nëse duhet të gjejmë √(64), rrënjën katrore të 64, atëherë le të mendojmë për këtë numër si 8 2 . Meqenëse simboli i rrënjës "anulon" katrorin, mund të themi se √(64) = √(8 2) = 8.

3. Njihni ndryshimin midis katrorit ideal dhe jo ideal. Deri më tani, përgjigjet për problemet tona rrënjësore kanë qenë numra të mirë dhe të rrumbullakët, por nuk është gjithmonë kështu. Përgjigjet për problemet me rrënjë katrore mund të jenë numra dhjetorë shumë të gjatë dhe të vështirë. Numrat rrënjët e të cilëve janë numra të plotë (me fjalë të tjera, numrat që nuk janë thyesa) quhen katrorë të përsosur. Të gjithë shembujt e mësipërm (9, 25 dhe 64) janë katrorë të përsosur, sepse rrënja e tyre do të jetë një numër i plotë (3.5 dhe 8).

   • Nga ana tjetër, numrat që, kur merren në rrënjë, nuk japin një numër të plotë quhen katrorë të paplotë. Nëse vendosni një nga këta numra nën rrënjë, do të merrni një numër me një thyesë dhjetore. Ndonjëherë ky numër mund të jetë mjaft i gjatë. Për shembull, √(13) = 3.605551275464...

4. Mësoni përmendësh 1-12 katrorët e parë të plotë. Siç e keni vënë re ndoshta, gjetja e rrënjës së një katrori të përsosur është mjaft e lehtë! Për shkak se këto probleme janë kaq të thjeshta, ia vlen të kujtoni rrënjët e dhjetëra katrorëve të parë të plotë. Këta numra do t'i hasni më shumë se një herë, ndaj merrni pak kohë për t'i mësuar përmendësh herët dhe kurseni kohë në të ardhmen.

   • 1 2 = 1 × 1 = 1
   • 2 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 2 = 3 × 3 = 9
   • 4 2 = 4 × 4 = 16
   • 5 2 = 5 × 5 = 25
   • 6 2 = 6 × 6 = 36
   • 7 2 = 7 × 7 = 49
   • 8 2 = 8 × 8 = 64
   • 9 2 = 9 × 9 = 81
   • 10 2 = 10 × 10 = 100
   • 11 2 = 11 × 11 = 121
   • 12 2 = 12 × 12 = 144

5. Thjeshtoni rrënjët duke eliminuar katrorët e plotë nëse është e mundur. Gjetja e rrënjës së një katrori të pjesshëm ndonjëherë mund të jetë e vështirë, veçanërisht nëse nuk përdorni një kalkulator (shih seksionin më poshtë për disa truke për ta bërë këtë proces më të lehtë). Sidoqoftë, shpesh mund ta thjeshtoni numrin nën rrënjë për ta bërë më të lehtë punën me të. Për ta bërë këtë, ju thjesht duhet të ndani numrin nën rrënjë në faktorë, dhe më pas të gjeni rrënjën e faktorit, i cili është një katror i përsosur, dhe ta shkruani atë jashtë rrënjës. Është më e lehtë se sa duket. Lexoni për të marrë më shumë informacion.

   • Le të supozojmë se duhet të gjejmë rrënjën katrore të 900. Në pamje të parë, kjo duket si një detyrë mjaft e vështirë! Megjithatë, nuk do të jetë aq e vështirë nëse e ndajmë numrin 900 në faktorë. Faktorët janë numra që shumëzohen me njëri-tjetrin për të prodhuar një numër të ri. Për shembull, numri 6 mund të merret duke shumëzuar 1 × 6 dhe 2 × 3, ku faktorët e tij janë numrat 1, 2, 3 dhe 6.
   • Në vend që të gjejmë rrënjën e 900, e cila është pak e ndërlikuar, le të shkruajmë 900 si 9 x 100. Tani që 9, që është një katror i përsosur, është ndarë nga 100, ne mund të gjejmë rrënjën e saj. √(9 × 100) = √(9) × √(100) = 3 × √(100). Me fjalë të tjera, √(900) = 3√(100).
   • Mund të shkojmë edhe më tej duke e ndarë 100 në dy faktorë, 25 dhe 4. √(100) = √(25 × 4) = √(25) × √(4) = 5 × 2 = 10. Pra, mund të themi, √(900) = 3(10) = 30

6. Përdorni numra imagjinarë për të gjetur rrënjën e një numri negativ. Pyesni veten, cili numër kur shumëzohet me vetveten do të japë -16? Nuk është 4 ose -4, sepse kuadrimi i këtyre numrave na jep një numër pozitiv prej 16. A keni hequr dorë? Në fakt nuk ka asnjë mënyrë për të shkruar rrënjën e -16 ose ndonjë numër tjetër negativ në numra të rregullt. Në këtë rast, ne duhet të zëvendësojmë numrat imagjinarë (zakonisht në formën e shkronjave ose simboleve) për të zëvendësuar rrënjën e numrit negativ. Për shembull, ndryshorja "i" zakonisht përdoret për të marrë rrënjën e -1. Si rregull, rrënja e një numri negativ do të jetë gjithmonë një numër imagjinar (ose i përfshirë në të).

   • Dije se megjithëse numrat imagjinarë nuk mund të përfaqësohen me numra të zakonshëm, ata përsëri mund të trajtohen si të tillë. Për shembull, rrënja katrore e një numri negativ mund të vendoset në katror për t'u dhënë këtyre numrave negativë, si çdo tjetër, një rrënjë katrore. Për shembull, i 2 = -1

   Pjesa 2

   Duke përdorur algoritmin e ndarjes

   1. Shkruajeni problemën rrënjësore si problem me ndarje të gjatë. Edhe pse kjo mund të marrë mjaft kohë, në këtë mënyrë ju mund të zgjidhni problemin e pjesshëm të rrënjëve katrore pa përdorur një kalkulator. Për ta bërë këtë, ne do të përdorim një metodë zgjidhjeje (ose algoritëm) që është e ngjashme (por jo saktësisht e njëjtë) me ndarjen e rregullt të gjatë.

      • Së pari, shkruani problemin me rrënjën në të njëjtën formë si për ndarjen e gjatë. Le të themi se duam të gjejmë rrënjën katrore të 6.45, që nuk është padyshim një katror i përsosur. Fillimisht do të shkruajmë simbolin e zakonshëm katror dhe më pas poshtë tij do të shkruajmë një numër. Më pas, do të vizatojmë një vijë sipër numrit në mënyrë që të përfundojë në një "kuti" të vogël, ashtu si kur pjesëtohet me një kolonë. Pas kësaj do të kemi një rrënjë me bisht të gjatë dhe numrin 6.45 poshtë saj.
      • Ne do të shkruajmë numra mbi rrënjë, prandaj sigurohuni që të lini pak hapësirë ​​atje.

   2. Gruponi numrat në dyshe. Për të filluar zgjidhjen e problemit, duhet të gruponi shifrat e numrit nën radikal në çifte, duke filluar me pikën në thyesën dhjetore. Nëse dëshironi, mund të bëni shenja të vogla (si pika, prerje, etj.) midis çifteve për të shmangur konfuzionin.

      • Në shembullin tonë, ne duhet ta ndajmë numrin 6.45 në çifte si më poshtë: 6-.45-00. Ju lutemi vini re se ka një numër "të mbetur" në të majtë - kjo është normale.

   3. Gjeni numrin më të madh, katrori i të cilit është më i vogël ose i barabartë me "grupin" e parë. Filloni me numrin ose çiftin e parë në të majtë. Zgjidhni numrin më të madh, katrori i të cilit është më i vogël ose i barabartë me "grupin" e mbetur. Për shembull, nëse grupi ishte 37, do të zgjidhnit numrin 6 sepse 6 2 = 36< 37, а 7 2 = 49 >37. Shkruaje këtë numër mbi grupin e parë. Kjo do të jetë shifra e parë e përgjigjes suaj.

      • Në shembullin tonë, grupi i parë në 6-,45-00 do të jetë numri 6. Numri më i madh që do të jetë më i vogël ose i barabartë me 6 në katror është 2 2 = 4. Shkruani numrin 2 mbi numrin 6, i cili është nën rrënjë.

   4. Dyfishoni numrin që sapo keni shkruar, më pas uleni në rrënjë dhe zbrisni atë. Merrni shifrën e parë të përgjigjes suaj (numrin që sapo gjetët) dhe dyfishoni atë. Shkruani rezultatin nën grupin tuaj të parë dhe zbritni për të gjetur ndryshimin. Vendosni çiftin tjetër të numrave pranë përgjigjes suaj. Së fundi, shkruani shifrën e fundit të dyfishit të shifrës së parë të përgjigjes suaj në të majtë dhe lini një hapësirë ​​pranë saj.

      • Në shembullin tonë, do të fillojmë duke dyfishuar numrin 2, që është shifra e parë e përgjigjes sonë. 2 × 2 = 4. Më pas zbresim 4 nga 6 ("grupi" ynë i parë), duke lënë një hapësirë ​​të vogël në fund, si kjo: 4_

   5. Ploteso vendin bosh. Pastaj duhet të shtoni shifrën në anën e djathtë të numrit të shkruar që është në të majtë. Zgjidhni një numër që, kur shumëzohet me numrin tuaj të ri, do t'ju jepte rezultatin më të madh të mundshëm që do të ishte më i vogël ose i barabartë me numrin "të hequr". Për shembull, nëse numri juaj "i hequr" është 1700, dhe numri juaj i majtë është 40_, duhet të shkruani numrin 4 në hapësirë, pasi 404 × 4 = 1616< 1700, в то время как 405 × 5 = 2025. Найденная в этом шаге цифра и будет второй цифрой вашего ответа, так вы можете записать ее над знаком корня.

      • Në shembullin tonë, ne duhet të gjejmë një numër dhe ta shkruajmë në hapësirat 4_ × _, gjë që do ta bëjë përgjigjen sa më të madhe të jetë e mundur, por gjithsesi më e vogël ose e barabartë me 245. Në rastin tonë, ky është numri 5. 45 × 5 = 225, ndërsa 46 × 6 = 276

   6. Vazhdoni të përdorni numrat "bosh" për të gjetur përgjigjen. Vazhdoni të zgjidhni këtë ndarje të gjatë të modifikuar derisa të filloni të merrni zero kur zbritni numrin "të hequr" ose derisa të arrini nivelin e dëshiruar të saktësisë në përgjigje. Kur të keni mbaruar, numrat që keni përdorur për të plotësuar vendet bosh në çdo hap (plus numrin e parë) do të përbëjnë numrin tuaj të përgjigjes.

      • Duke vazhduar me shembullin tonë, ne zbresim 225 nga 245 për të marrë 20. Më pas, hedhim çiftin tjetër të numrave, 00, për të marrë 2000. Dyfishojmë numrin mbi shenjën e rrënjës. Marrim 25 × 2 = 50. Zgjidhja e shembullit me hapësira, 50_ × _ =/< 2,000, мы получим 3. На этом этапе над радикалом у нас будет написано 253, а повторив этот процесс снова, следующим нашим числом будет цифра 9.

   7. Zhvendoseni pikën dhjetore përpara nga numri origjinal i "dividendit". Për të plotësuar përgjigjen tuaj, duhet të vendosni pikën dhjetore në vendin e duhur. Për fat të mirë, kjo është mjaft e lehtë për t'u bërë. Gjithçka që duhet të bëni është ta përafroni me pikën e numrit origjinal. Për shembull, nëse numri 49.8 është nën rrënjë, do t'ju duhet të vendosni një pikë midis dy numrave mbi nëntë dhe tetë.

      • Në shembullin tonë, numri nën radikal është 6.45, kështu që ne thjesht do të lëvizim pikën dhe do ta vendosim atë midis numrave 2 dhe 5 në përgjigjen tonë, duke dhënë përgjigjen e barabartë me 2.539.

   Pjesa 3

   Numëroni shpejt katrorët e pjesshëm

   1. Gjeni katrorët jo të plotë duke i numëruar. Pasi të keni memorizuar katrorët e përsosur, gjetja e rrënjës së katrorëve të papërsosur do të bëhet shumë më e lehtë. Meqenëse tashmë njihni një duzinë katrorësh të përsosur, çdo numër që bie në zonën midis këtyre dy katrorëve të përsosur mund të gjendet duke reduktuar gjithçka në një numërim të përafërt midis atyre vlerave. Filloni duke gjetur dy katrorë të përsosur ndërmjet të cilëve është numri juaj. Më pas përcaktoni se cilit prej këtyre numrave është më afër numri juaj.

      • Për shembull, supozojmë se duhet të gjejmë rrënjën katrore të numrit 40. Meqenëse kemi mësuar përmendësh katrorë të përsosur, mund të themi se numri 40 është midis 6 2 dhe 7 2 ose numrave 36 dhe 49. Meqenëse 40 është më i madh se 6 2, rrënja e saj do të jetë është më e madhe se 6, dhe duke qenë se është më e vogël se 7 2 , rrënja e saj do të jetë gjithashtu më e vogël se 7. 40 është pak më afër 36 se 49, kështu që përgjigja ka të ngjarë të jetë pak më afër 6 Ne do ta kufizojmë përgjigjen tonë në hapat e ardhshëm.
      Gjëja tjetër që duhet të bëni është katrori i numrit të përafërt. Me shumë mundësi do të jeni të pafat dhe nuk do të merrni numrin origjinal. Do të jetë ose pak më e madhe ose pak më e vogël. Nëse rezultati juaj është shumë i lartë, atëherë provoni përsëri, por me një numër pak më të ulët ballpark (dhe anasjelltas nëse rezultati është shumë i ulët).
      • Shumëzoni 6.4 në vetvete dhe merrni 6.4 x 6.4 = 40.96, që është pak më shumë se numri origjinal.
      • Meqenëse përgjigja jonë ishte më e madhe, duhet ta shumëzojmë numrin me një të dhjetën më pak si përafërsi dhe të marrim sa vijon: 6,3 × 6,3 = 39,69. Ky është pak më pak se numri origjinal. Kjo do të thotë se rrënja katrore e 40 është midis 6.3 dhe 6.4. Përsëri, meqenëse 39.69 është më afër 40 se 40.96, ne e dimë se rrënja katrore do të jetë më afër 6.3 sesa 6.4.

   2. Vazhdoni llogaritjen. Në këtë pikë, nëse jeni të kënaqur me përgjigjen tuaj, thjesht mund të merrni supozimin e parë të supozuar. Megjithatë, nëse doni një përgjigje më të saktë, gjithçka që duhet të bëni është të zgjidhni një vlerë të përafërt me dy shifra dhjetore që vendos atë vlerë të përafërt midis dy numrave të parë. Nëse vazhdoni këtë llogaritje, do të jeni në gjendje të merrni tre, katër ose më shumë shifra dhjetore për përgjigjen tuaj. E gjitha varet nga sa larg dëshironi të shkoni.

      • Për shembullin tonë, le të zgjedhim 6.33 si një vlerë të përafërt me dy shifra dhjetore. Shumëzoni 6,33 me vete për të marrë 6,33 x 6,33 = 40,0689. meqenëse ky është pak më i lartë se numri ynë, do të marrim një numër më të vogël, për shembull 6.32. 6,32 × 6,32 = 39,9424. Kjo përgjigje është pak më e vogël se numri ynë, kështu që ne e dimë se rrënja e saktë katror është midis 6.32 dhe 6.33. Nëse do të dëshironim të vazhdonim, do të vazhdonim të përdornim të njëjtën qasje për të marrë një përgjigje që do të bëhej gjithnjë e më e saktë.
   • Për të gjetur shpejt një zgjidhje, përdorni kalkulatorin. Shumica e makinave llogaritëse moderne mund të gjejnë menjëherë rrënjën katrore të një numri. Gjithçka që duhet të bëni është të shkruani numrin tuaj dhe më pas të klikoni në butonin e shenjës së rrënjës. Për shembull, për të gjetur rrënjën e 841, duhet të shtypni 8, 4, 1 dhe (√). Si rezultat, ju do të merrni përgjigjen 39.

Institucion arsimor komunal

"Shkolla e mesme Kuedino nr. 2"

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve irracionale

Plotësuar nga: Olga Egorova,

Mbikëqyrësi:

Mësues

matematikë,

kualifikimi me i larte

Prezantimi....……………………………………………………………………………………… 3

Seksioni 1. Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve irracionale…………………………………6

1.1 Zgjidhja e ekuacioneve irracionale të pjesës C……….…….……………………………

Seksioni 2. Detyrat individuale…………………………………………….....………...24

Përgjigjet………………………………………………………………………………………….25

Bibliografi…….…………………………………………………………………….26

Prezantimi

Edukimi matematikor i marrë në një shkollë gjithëpërfshirëse është një komponent thelbësor i arsimit të përgjithshëm dhe kulturës së përgjithshme të njeriut modern. Pothuajse gjithçka që rrethon njeriun modern është e gjitha e lidhur disi me matematikën. Dhe përparimet e fundit në fizikë, inxhinieri dhe teknologjinë e informacionit nuk lënë asnjë dyshim se në të ardhmen gjendja e punëve do të mbetet e njëjtë. Prandaj, zgjidhja e shumë problemeve praktike zbret në zgjidhjen e llojeve të ndryshme të ekuacioneve që duhet të mësoni se si t'i zgjidhni. Një nga këto lloje janë ekuacionet irracionale.

Ekuacionet irracionale

Një ekuacion që përmban një të panjohur (ose një shprehje racionale algjebrike për një të panjohur) nën shenjën radikale quhet ekuacioni irracional. Në matematikën elementare, zgjidhjet e ekuacioneve irracionale gjenden në bashkësinë e numrave realë.

Çdo ekuacion irracional mund të reduktohet në një ekuacion racional algjebrik duke përdorur veprime elementare algjebrike (shumëzimi, pjesëtimi, ngritja e të dy anëve të ekuacionit në një fuqi numër të plotë). Duhet të kihet parasysh se ekuacioni racional algjebrik që rezulton mund të rezultojë të jetë jo ekuivalent me ekuacionin fillestar irracional, domethënë, ai mund të përmbajë rrënjë "ekstra" që nuk do të jenë rrënjë të ekuacionit origjinal irracional. Prandaj, pasi të keni gjetur rrënjët e ekuacionit racional algjebrik që rezulton, është e nevojshme të kontrolloni nëse të gjitha rrënjët e ekuacionit racional do të jenë rrënjët e ekuacionit irracional.

Në rastin e përgjithshëm, është e vështirë të tregohet ndonjë metodë universale për zgjidhjen e ndonjë ekuacioni irracional, pasi është e dëshirueshme që, si rezultat i transformimeve të ekuacionit fillestar irracional, rezultati të mos jetë vetëm një ekuacion racional algjebrik, ndër rrënjët e të cilat do të jenë rrënjët e ekuacionit të dhënë irracional, por një ekuacion racional algjebrik i formuar nga polinomet e shkallës më të vogël të mundshme. Dëshira për të marrë atë ekuacion racional algjebrik të formuar nga polinome me një shkallë sa më të vogël të jetë e mundur është krejt e natyrshme, pasi gjetja e të gjitha rrënjëve të një ekuacioni racional algjebrik në vetvete mund të rezultojë të jetë një detyrë mjaft e vështirë, të cilën ne mund ta zgjidhim plotësisht vetëm në një numër shumë të kufizuar rastesh.

Llojet e ekuacioneve irracionale

Zgjidhja e ekuacioneve irracionale të shkallës çift gjithmonë shkakton më shumë probleme sesa zgjidhja e ekuacioneve irracionale të shkallës tek. Kur zgjidhen ekuacionet irracionale të shkallës tek, OD nuk ndryshon. Prandaj, më poshtë do të shqyrtojmë ekuacionet irracionale, shkalla e të cilave është çift. Ekzistojnë dy lloje ekuacionesh irracionale:

2..

Le të shqyrtojmë të parën prej tyre.

Ekuacionet ODZ: f(x)≥ 0. Në ODZ, ana e majtë e ekuacionit është gjithmonë jo negative - prandaj, një zgjidhje mund të ekzistojë vetëm kur g(x)≥ 0. Në këtë rast, të dyja anët e ekuacionit janë jonegative, dhe fuqia 2 n jep një ekuacion të barabartë. Ne e kuptojmë atë

Le t'i kushtojmë vëmendje faktit se në këtë rast ODZ kryhet automatikisht dhe nuk duhet ta shkruani atë, por kushting(x) ≥ 0 duhet të kontrollohet.

Shënim: Ky është një kusht shumë i rëndësishëm i ekuivalencës. Së pari, e çliron nxënësin nga nevoja për të hetuar dhe pasi të gjejë zgjidhjet, kontrolloni kushtin f(x) ≥ 0 – mosnegativiteti i shprehjes radikale. Së dyti, fokusohet në kontrollimin e gjendjesg(x) ≥ 0 – jonegativiteti i anës së djathtë. Në fund të fundit, pas katrorit, ekuacioni zgjidhet d.m.th., dy ekuacione zgjidhen njëherësh (por në intervale të ndryshme të boshtit numerik!):

1. - ku g(x)≥ 0 dhe

2. - ku g(x) ≤ 0.

Ndërkohë, shumë, jashtë zakonit shkollor për të gjetur ODZ, veprojnë pikërisht të kundërtën kur zgjidhin ekuacione të tilla:

a) pasi gjejnë zgjidhje kontrollojnë kushtin f(x) ≥ 0 (që plotësohet automatikisht), duke bërë gabime aritmetike dhe duke marrë një rezultat të pasaktë;

b) injoroni kushting(x) ≥ 0 - dhe përsëri përgjigja mund të rezultojë e pasaktë.

Shënim: Kushti i ekuivalencës është veçanërisht i dobishëm kur zgjidhen ekuacionet trigonometrike, në të cilat gjetja e ODZ përfshin zgjidhjen e pabarazive trigonometrike, e cila është shumë më e vështirë se zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike. Kontrollimi i kushteve çift në ekuacionet trigonometrike g(x)≥ 0 nuk është gjithmonë e lehtë për t'u bërë.

Le të shqyrtojmë llojin e dytë të ekuacioneve irracionale.

. Le të jepet ekuacioni . ODZ e tij:

Në ODZ të dyja anët janë jo negative, dhe katrori jep ekuacionin ekuivalent f(x) =g(x). Prandaj, në ODZ ose

Me këtë metodë zgjidhjeje, mjafton të kontrolloni jonegativitetin e njërit prej funksioneve - mund të zgjidhni një më të thjeshtë.

Seksioni 1. Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve irracionale

1 metodë. Largimi i radikalëve duke ngritur në mënyrë të njëpasnjëshme të dyja anët e ekuacionit në fuqinë përkatëse natyrore

Metoda më e përdorur për zgjidhjen e ekuacioneve irracionale është metoda e eliminimit të radikalëve duke ngritur në mënyrë të njëpasnjëshme të dyja anët e ekuacionit në fuqinë e duhur natyrore. Duhet të kihet parasysh se kur të dyja anët e ekuacionit janë ngritur në një fuqi tek, ekuacioni që rezulton është i barabartë me atë origjinal dhe kur të dyja anët e ekuacionit janë ngritur në një fuqi çift, ekuacioni që rezulton, në përgjithësi, do të duke folur, të jetë jo ekuivalent me ekuacionin origjinal. Kjo mund të verifikohet lehtësisht duke ngritur të dyja anët e ekuacionit në çdo fuqi të barabartë. Rezultati i këtij operacioni është ekuacioni , grupi i zgjidhjeve të të cilave është një bashkim grupesh zgjidhjesh: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. Megjithatë , megjithë këtë pengesë, është procedura e ngritjes së të dy anëve të ekuacionit në disa fuqi (shpesh madje edhe) ajo që është procedura më e zakonshme për reduktimin e një ekuacioni irracional në një ekuacion racional.

Zgjidhe ekuacionin:

Ku - disa polinome. Për shkak të përcaktimit të operacionit të nxjerrjes së rrënjës në grupin e numrave realë, vlerat e lejuara të të panjohurës janë https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width="123 lartësi =21" height="21">..gif " width="243" height="28 src=">.

Meqenëse të dyja anët e ekuacionit 1 ishin në katror, ​​mund të rezultojë se jo të gjitha rrënjët e ekuacionit 2 do të jenë zgjidhje për ekuacionin origjinal, kontrollimi i rrënjëve është i nevojshëm.

Zgjidhe ekuacionin:

https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" width="137" height="25">

Kube të dyja anët e ekuacionit, ne marrim

Duke marrë parasysh që https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(Ekuacioni i fundit mund të ketë rrënjë që, në përgjithësi, nuk janë rrënjë të ekuacioni ).

Le të kubiket të dyja anët e këtij ekuacioni: . E rishkruajmë ekuacionin në formën x3 – x2 = 0 ↔ x1 = 0, x2 = 1. Duke kontrolluar konstatojmë se x1 = 0 është një rrënjë e jashtme e ekuacionit (-2 ≠ 1), dhe x2 = 1 plotëson origjinalin ekuacioni.

Përgjigje: x = 1.

Metoda 2. Zëvendësimi i një sistemi të kushteve ngjitur

Kur zgjidhen ekuacionet irracionale që përmbajnë radikale të rendit të barabartë, në përgjigje mund të shfaqen rrënjë të jashtme, të cilat nuk janë gjithmonë të lehta për t'u identifikuar. Për ta bërë më të lehtë identifikimin dhe heqjen e rrënjëve të jashtme, kur zgjidhen ekuacionet irracionale, ai zëvendësohet menjëherë nga një sistem kushtesh ngjitur. Pabarazitë shtesë në sistem në fakt marrin parasysh ODZ-në e ekuacionit që zgjidhet. Ju mund ta gjeni ODZ-në veçmas dhe ta merrni parasysh më vonë, por preferohet të përdorni sisteme të përziera të kushteve: ka më pak rrezik të harrohet diçka ose të mos merret parasysh në procesin e zgjidhjes së ekuacionit. Prandaj, në disa raste është më racionale të përdoret metoda e kalimit në sisteme të përziera.

Zgjidhe ekuacionin:

Përgjigje: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width="109 height=27" height="27">

Ky ekuacion është ekuivalent me sistemin

Përgjigje: ekuacioni nuk ka zgjidhje.

Metoda 3. Përdorimi i vetive të rrënjës së n-të

Gjatë zgjidhjes së ekuacioneve irracionale, përdoren vetitë e rrënjës së n-të. Rrënja aritmetike n- th gradë nga mesi A telefononi një numër jo negativ n- i fuqia e të cilit është e barabartë me A. Nëse n - edhe( 2n), atëherë a ≥ 0, përndryshe rrënja nuk ekziston. Nëse n - i rastësishëm ( 2 n+1), atëherë a është çdo dhe = - ..gif" width="45" height="19"> Pastaj:

2.

3.

4.

5.

Kur aplikoni ndonjë nga këto formula, zyrtarisht (pa marrë parasysh kufizimet e specifikuara), duhet të kihet parasysh se VA e pjesëve të majta dhe të djathta të secilës prej tyre mund të jetë e ndryshme. Për shembull, shprehja përcaktohet me f ≥ 0 Dhe g ≥ 0, dhe shprehja është sikur f ≥ 0 Dhe g ≥ 0, dhe me f ≤ 0 Dhe g ≤ 0.

Për secilën nga formulat 1-5 (pa marrë parasysh kufizimet e specifikuara), ODZ e anës së djathtë të saj mund të jetë më e gjerë se ODZ e së majtës. Nga kjo rrjedh se transformimet e ekuacionit me përdorimin formal të formulave 1-5 "nga e majta në të djathtë" (siç janë shkruar) çojnë në një ekuacion që është pasojë e atij origjinal. Në këtë rast, rrënjët e jashtme të ekuacionit origjinal mund të shfaqen, kështu që verifikimi është një hap i detyrueshëm në zgjidhjen e ekuacionit origjinal.

Transformimet e ekuacioneve me përdorimin zyrtar të formulave 1-5 "nga e djathta në të majtë" janë të papranueshme, pasi është e mundur të gjykohet OD e ekuacionit origjinal, dhe rrjedhimisht, humbja e rrënjëve.

https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width="247" height="61 src=">,

që është pasojë e origjinalit. Zgjidhja e këtij ekuacioni reduktohet në zgjidhjen e një grupi ekuacionesh .

Nga ekuacioni i parë i këtij grupi gjejmë https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" height="27"> nga ku gjejmë. Kështu, rrënjët e ky ekuacion mund të jetë vetëm numrat (-1) dhe (-2). Kontrolli tregon se të dyja rrënjët e gjetura plotësojnë këtë ekuacion.

Përgjigje: -1,-2.

Zgjidheni ekuacionin: .

Zgjidhje: në bazë të identiteteve, termi i parë zëvendësohet me . Vini re se si shuma e dy numrave jonegativë në anën e majtë. “Hiqni” modulin dhe, pasi të keni sjellë terma të ngjashëm, zgjidhni ekuacionin. Meqenëse , marrim ekuacionin . Që nga viti , pastaj https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src= " >.gif" width="145" height="21 src=">

Përgjigje: x = 4,25.

Metoda 4 Prezantimi i variablave të rinj

Një shembull tjetër i zgjidhjes së ekuacioneve irracionale është metoda e prezantimit të variablave të rinj, në lidhje me të cilat fitohet ose një ekuacion iracional më i thjeshtë ose një ekuacion racional.

Zgjidhja e ekuacioneve irracionale duke e zëvendësuar ekuacionin me pasojën e tij (e ndjekur nga kontrollimi i rrënjëve) mund të bëhet si më poshtë:

1. Gjeni ODZ-në e ekuacionit origjinal.

2. Kaloni nga ekuacioni në pasojat e tij.

3. Gjeni rrënjët e ekuacionit që rezulton.

4. Kontrolloni nëse rrënjët e gjetura janë rrënjët e ekuacionit origjinal.

Kontrolli është si më poshtë:

A) kontrollohet përkatësia e secilës rrënjë të gjetur në ekuacionin origjinal. Ato rrënjë që nuk i përkasin ODZ janë të jashtme për ekuacionin origjinal.

B) për çdo rrënjë të përfshirë në ODZ të ekuacionit origjinal, kontrollohet nëse ana e majtë dhe e djathtë e secilit prej ekuacioneve që lindin në procesin e zgjidhjes së ekuacionit origjinal dhe të ngritur në një fuqi çift, kanë të njëjtat shenja. Ato rrënjë për të cilat pjesët e çdo ekuacioni të ngritur në një fuqi të barabartë kanë shenja të ndryshme janë të jashtme për ekuacionin origjinal.

C) vetëm ato rrënjë që i përkasin ODZ-së së ekuacionit origjinal dhe për të cilat të dyja anët e secilit prej ekuacioneve që lindin në procesin e zgjidhjes së ekuacionit origjinal dhe të ngritura në një fuqi çift, kontrollohen me të njëjtat shenja me zëvendësim të drejtpërdrejtë në ekuacioni origjinal.

Kjo metodë e zgjidhjes me metodën e specifikuar të verifikimit lejon që njeriu të shmangë llogaritjet e rënda në rastin e zëvendësimit të drejtpërdrejtë të secilës prej rrënjëve të gjetura të ekuacionit të fundit në atë origjinal.

Zgjidheni ekuacionin irracional:

.

Seti i vlerave të vlefshme për këtë ekuacion është:

Duke vënë , pas zëvendësimit marrim ekuacionin

ose ekuacion ekuivalent

i cili mund të konsiderohet si një ekuacion kuadratik në lidhje me. Duke zgjidhur këtë ekuacion, marrim

.

Prandaj, bashkësia e zgjidhjeve të ekuacionit origjinal irracional është bashkimi i bashkësive të zgjidhjeve të dy ekuacioneve të mëposhtme:

, .

Duke ngritur të dyja anët e secilit prej këtyre ekuacioneve në një kub, marrim dy ekuacione racionale algjebrike:

, .

Duke zgjidhur këto ekuacione, gjejmë se ky ekuacion irracional ka një rrënjë të vetme x = 2 (nuk kërkohet verifikim, pasi të gjitha transformimet janë ekuivalente).

Përgjigje: x = 2.

Zgjidheni ekuacionin irracional:

Le të shënojmë 2x2 + 5x – 2 = t. Atëherë ekuacioni origjinal do të marrë formën . Duke vendosur në katror të dy anët e ekuacionit që rezulton dhe duke sjellë terma të ngjashëm, marrim një ekuacion që është pasojë e ekuacionit të mëparshëm. Prej saj gjejmë t=16.

Duke u kthyer te e panjohura x, marrim ekuacionin 2x2 + 5x – 2 = 16, i cili është pasojë e atij origjinal. Duke kontrolluar jemi të bindur se rrënjët e tij x1 = 2 dhe x2 = - 9/2 janë rrënjët e ekuacionit origjinal.

Përgjigje: x1 = 2, x2 = -9/2.

Metoda 5. Shndërrim identik i ekuacionit

Kur zgjidhni ekuacione irracionale, nuk duhet të filloni zgjidhjen e ekuacionit duke ngritur të dyja anët e ekuacioneve në një fuqi natyrore, duke u përpjekur të reduktoni zgjidhjen e ekuacionit irracional në zgjidhjen e një ekuacioni racional algjebrik. Së pari duhet të shohim nëse është e mundur të bëjmë ndonjë transformim identik të ekuacionit që mund të thjeshtojë ndjeshëm zgjidhjen e tij.

Zgjidhe ekuacionin:

Seti i vlerave të pranueshme për këtë ekuacion: https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> Le ta ndajmë këtë ekuacion me .

.

Ne marrim:

Kur a = 0, ekuacioni nuk do të ketë zgjidhje; kur ekuacioni mund të shkruhet si

për këtë ekuacion nuk ka zgjidhje, pasi për asnjë X, që i përket grupit të vlerave të pranueshme të ekuacionit, shprehja në anën e majtë të ekuacionit është pozitive;

kur ekuacioni ka një zgjidhje

Duke marrë parasysh që grupi i zgjidhjeve të pranueshme të ekuacionit përcaktohet nga kushti, përfundimisht marrim:

Kur zgjidhni këtë ekuacion irracional, https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> zgjidhja e ekuacionit do të jetë. Për të gjitha vlerat e tjera X ekuacioni nuk ka zgjidhje.

SHEMBULL 10:

Zgjidheni ekuacionin irracional: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width="381" height="51">

Zgjidhja e ekuacionit kuadratik të sistemit jep dy rrënjë: x1 = 1 dhe x2 = 4. E para nga rrënjët që rezultojnë nuk plotëson pabarazinë e sistemit, prandaj x = 4.

Shënime.

1) Kryerja e transformimeve identike ju lejon të bëni pa kontrolluar.

2) Pabarazia x – 3 ≥0 i referohet transformimeve të identitetit, dhe jo fushës së përkufizimit të ekuacionit.

3) Në anën e majtë të ekuacionit ka një funksion zbritës, dhe në anën e djathtë të këtij ekuacioni ka një funksion rritës. Grafikët e funksioneve zvogëluese dhe rritëse në kryqëzimin e domeneve të tyre të përkufizimit nuk mund të kenë më shumë se një pikë të përbashkët. Natyrisht, në rastin tonë x = 4 është abshisa e pikës së kryqëzimit të grafikëve.

Përgjigje: x = 4.

Metoda 6. Përdorimi i fushës së funksioneve për zgjidhjen e ekuacioneve

Kjo metodë është më efektive kur zgjidhni ekuacione që përfshijnë funksione https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> dhe gjeni përkufizimet e zonës së saj (f)..gif" width="53" height="21"> .gif" width="88" height="21 src=">, atëherë duhet të kontrolloni nëse ekuacioni është i saktë në skajet e intervalit, dhe nëse një< 0, а b >0, atëherë kontrollimi në intervale është i nevojshëm (a;0) Dhe . Numri më i vogël i plotë në E(y) është 3.

Përgjigju: x = 3.

Metoda 8. Zbatimi i derivatit në zgjidhjen e ekuacioneve irracionale

Metoda më e zakonshme e përdorur për zgjidhjen e ekuacioneve duke përdorur metodën e derivatit është metoda e vlerësimit.

SHEMBULL 15:

Zgjidheni ekuacionin: (1)

Zgjidhja: Që nga https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29">, ose (2). Konsideroni funksionin ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> fare dhe prandaj rritet. Prandaj ekuacioni është ekuivalente me një ekuacion që ka një rrënjë që është rrënja e ekuacionit origjinal.

Përgjigje:

SHEMBULL 16:

Zgjidheni ekuacionin irracional:

Domeni i një funksioni është një segment. Le të gjejmë vlerat më të mëdha dhe më të vogla të këtij funksioni në segment. Për ta bërë këtë, gjejmë derivatin e funksionit f(x): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. Le të gjejmë vlerat e funksionit f(x) në skajet e segmentit dhe në pikën: Pra, por dhe, prandaj, barazia është e mundur vetëm nëse https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height= "19 src=" > Kontrollimi tregon se numri 3 është rrënja e këtij ekuacioni.

Përgjigje: x = 3.

Metoda 9. Funksionale

Në provime, ndonjëherë ata ju kërkojnë të zgjidhni ekuacione që mund të shkruhen në formën , ku është një funksion.

Për shembull, disa ekuacione: 1) 2) . Në fakt, në rastin e parë , në rastin e dytë . Prandaj, zgjidhni ekuacionet irracionale duke përdorur pohimin e mëposhtëm: nëse një funksion është rreptësisht në rritje në grup X dhe për çdo , atëherë ekuacionet, etj. janë ekuivalente në grup X .

Zgjidheni ekuacionin irracional: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> rritet rreptësisht në grup R, dhe https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > e cila ka një rrënjë të vetme Prandaj, ekuacioni (1) i barabartë me të ka gjithashtu një rrënjë të vetme

Përgjigje: x = 3.

SHEMBULL 18:

Zgjidheni ekuacionin irracional: (1)

Në bazë të përkufizimit të rrënjës katrore, marrim se nëse ekuacioni (1) ka rrënjë, atëherë ato i përkasin grupit https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif" width=" 163" height="47" >.(2)

Konsideroni funksionin https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> rritet rreptësisht në këtë grup për çdo ..gif" width="100" height = "41"> e cila ka një rrënjë të vetme Prandaj, dhe ekuivalentin e saj në grup X ekuacioni (1) ka një rrënjë të vetme

Përgjigje: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

Zgjidhje: Ky ekuacion është i barabartë me një sistem të përzier

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Karakteristikat e elementit të karbonit dhe vetitë kimike