Ekuacione pa zgjidhje. Zgjidhja e shembujve realë të ekuacioneve të thjeshta lineare

Ekuacionet lineare. Zgjidhje, shembuj.

Kujdes!
Ka shtesë
materiali në Seksionin Special 555.
Për ata që fort "jo shumë..."
Dhe për ata që "shumë...")

Ekuacionet lineare.

Ekuacionet lineare nuk janë tema më e vështirë në matematikën e shkollës. Por ka disa truke që mund të mashtrojnë edhe një student të trajnuar. A do ta kuptojmë?)

Një ekuacion linear zakonisht përkufizohet si një ekuacion i formës:

sëpatë + b = 0 ku a dhe b- çdo numër.

2x + 7 = 0. Këtu a=2, b=7

0.1x - 2.3 = 0 Këtu a=0.1, b=-2.3

12x + 1/2 = 0 Këtu a=12, b=1/2

Asgjë e komplikuar, apo jo? Sidomos nëse nuk i vëreni fjalët: "ku a dhe b janë çdo numër"... Dhe nëse e vëreni, por mendoni pa kujdes për këtë?) Në fund të fundit, nëse a=0, b=0(a është e mundur ndonjë numër?), atëherë marrim një shprehje qesharake:

Por kjo nuk është e gjitha! Nëse, të themi, a=0, a b=5, rezulton diçka absurde:

Çfarë tendos dhe minon besimin në matematikë, po ...) Sidomos në provime. Por nga këto shprehje të çuditshme, duhet të gjeni edhe X! E cila nuk ekziston fare. Dhe, çuditërisht, ky X është shumë i lehtë për t'u gjetur. Ne do të mësojmë se si ta bëjmë atë. Në këtë mësim.

Si të njohim një ekuacion linear në pamje? Varet nga pamja.) Truku është se ekuacionet lineare quhen jo vetëm ekuacione të formës sëpatë + b = 0 , por edhe çdo ekuacion që reduktohet në këtë formë nga shndërrimet dhe thjeshtimet. Dhe kush e di nëse është zvogëluar apo jo?)

Një ekuacion linear mund të njihet qartë në disa raste. Thuaj, nëse kemi një ekuacion në të cilin ka vetëm të panjohura në shkallën e parë, po numra. Dhe ekuacioni jo thyesat pjesëtuar me i panjohur , është e rëndësishme! Dhe ndarja sipas numri, ose një thyesë numerike - kjo është ajo! Për shembull:

Ky është një ekuacion linear. Këtu ka thyesa, por nuk ka x në katror, ​​në kub etj., dhe nuk ka x në emërues, d.m.th. Nr pjesëtimi me x. Dhe këtu është ekuacioni

nuk mund të quhet linear. Këtu x-të janë të gjitha në shkallën e parë, por ka pjesëtimi me shprehje me x. Pas thjeshtimeve dhe transformimeve, mund të merrni një ekuacion linear, një kuadratik dhe çdo gjë që ju pëlqen.

Rezulton se është e pamundur të gjesh një ekuacion linear në ndonjë shembull të ndërlikuar derisa pothuajse ta zgjidhësh atë. Është shqetësuese. Por në detyra, si rregull, ata nuk pyesin për formën e ekuacionit, apo jo? Në detyra, ekuacionet janë të renditura vendosin. Kjo më bën të lumtur.)

Zgjidhja e ekuacioneve lineare. Shembuj.

E gjithë zgjidhja e ekuacioneve lineare përbëhet nga transformime identike të ekuacioneve. Meqë ra fjala, këto transformime (sa dy!) qëndrojnë në themel të zgjidhjeve të gjitha ekuacionet e matematikës. Me fjalë të tjera, vendimi ndonjë Ekuacioni fillon me të njëjtat transformime. Në rastin e ekuacioneve lineare, ajo (zgjidhja) në këto shndërrime përfundon me një përgjigje të plotë. Ka kuptim të ndiqni lidhjen, apo jo?) Për më tepër, ka edhe shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve lineare.

Le të fillojmë me shembullin më të thjeshtë. Pa asnjë kurth. Le të themi se duhet të zgjidhim ekuacionin e mëposhtëm.

x - 3 = 2 - 4x

Ky është një ekuacion linear. X-të janë të gjitha në fuqinë e parë, nuk ka ndarje me X. Por, në fakt, ne nuk na intereson se cili është ekuacioni. Duhet ta zgjidhim. Skema këtu është e thjeshtë. Mblidhni gjithçka me x në anën e majtë të ekuacionit, gjithçka pa x (numra) në të djathtë.

Për ta bërë këtë, ju duhet të transferoni - 4x në anën e majtë, me një ndryshim të shenjës, natyrisht, por - 3 - në të djathtë. Nga rruga, kjo është transformimi i parë identik i ekuacioneve. I befasuar? Pra, ata nuk ndoqën lidhjen, por më kot ...) Ne marrim:

x + 4x = 2 + 3

Ne japim të ngjashme, ne konsiderojmë:

Çfarë na duhet për të qenë plotësisht të lumtur? Po, në mënyrë që të ketë një X të pastër në të majtë! Pesë i pengon. Hiqni qafe pesë me transformimi i dytë identik i ekuacioneve. Domethënë, ne i ndajmë të dy pjesët e ekuacionit me 5. Marrim një përgjigje të gatshme:

Një shembull elementar, sigurisht. Kjo është për një ngrohje.) Nuk është shumë e qartë pse kujtova transformime identike këtu? NE RREGULL. Ne e marrim demin nga brirët.) Le të vendosim diçka më mbresëlënëse.

Për shembull, këtu është ky ekuacion:

Ku të fillojmë? Me X - në të majtë, pa X - në të djathtë? Mund të jetë kështu. Hapa të vegjël përgjatë rrugës së gjatë. Dhe ju mundeni menjëherë, në një mënyrë universale dhe të fuqishme. Përveç nëse, sigurisht, në arsenalin tuaj ka transformime identike të ekuacioneve.

Unë ju bëj një pyetje kyçe: Çfarë nuk ju pëlqen më shumë në këtë ekuacion?

95 persona nga 100 do të përgjigjen: thyesat ! Përgjigja është e saktë. Pra, le të shpëtoj prej tyre. Kështu që ne fillojmë menjëherë me transformimi i dytë identik. Me çfarë ju nevojitet për të shumëzuar thyesën në të majtë në mënyrë që emëruesi të zvogëlohet plotësisht? Ashtu është, 3. Dhe në të djathtë? Me 4. Por matematika na lejon të shumëzojmë të dyja anët me të njëjtin numër. Si të dalim? Le të shumëzojmë të dyja anët me 12! Ato. në një emërues të përbashkët. Pastaj tre do të pakësohen dhe katër. Mos harroni se ju duhet të shumëzoni secilën pjesë tërësisht. Ja si duket hapi i parë:

Zgjerimi i kllapave:

Shënim! Numëruesi (x+2) Kam marrë në kllapa! Kjo sepse kur shumëzohen thyesat, numëruesi shumëzohet me të tërën, tërësisht! Dhe tani ju mund të zvogëloni fraksionet dhe të zvogëloni:

Hapja e kllapave të mbetura:

Jo një shembull, por kënaqësi e pastër!) Tani kujtojmë magjinë nga klasat e ulëta: me x - në të majtë, pa x - në të djathtë! Dhe aplikoni këtë transformim:

Këtu janë disa si:

Dhe ne i ndajmë të dyja pjesët me 25, d.m.th. aplikoni përsëri transformimin e dytë:

Kjo eshte e gjitha. Përgjigje: X=0,16

Kini parasysh: për ta sjellë ekuacionin fillestar konfuz në një formë të këndshme, ne përdorëm dy (vetëm dy!) transformime identike- përkthim majtas-djathtas me ndryshim të shenjës dhe shumëzim-pjestim të ekuacionit me të njëjtin numër. Kjo është mënyra universale! Ne do të punojmë në këtë mënyrë ndonjë ekuacionet! Absolutisht çdo. Kjo është arsyeja pse unë vazhdoj të përsëris këto transformime identike gjatë gjithë kohës.)

Siç mund ta shihni, parimi i zgjidhjes së ekuacioneve lineare është i thjeshtë. Marrim ekuacionin dhe e thjeshtojmë me ndihmën e shndërrimeve identike derisa të marrim përgjigjen. Problemet kryesore këtu janë në llogaritjet, dhe jo në parimin e zgjidhjes.

Por ... Ka surpriza të tilla në procesin e zgjidhjes së ekuacioneve lineare më elementare që ato mund të çojnë në një hutim të fortë ...) Për fat të mirë, mund të ketë vetëm dy surpriza të tilla. Le t'i quajmë raste të veçanta.

Raste të veçanta në zgjidhjen e ekuacioneve lineare.

Surpriza së pari.

Supozoni se hasni në një ekuacion elementar, diçka si:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Pak të mërzitur, ne transferojmë me X në të majtë, pa X - në të djathtë ... Me një ndryshim të shenjës, gjithçka është mjekër-chinar ... Marrim:

2x-5x+3x=5-2-3

Ne besojmë, dhe ... oh my! Ne marrim:

Në vetvete, kjo barazi nuk është e kundërshtueshme. Zero është me të vërtetë zero. Por X është zhdukur! Dhe ne duhet të shkruajmë në përgjigje, me çfarë është e barabartë x. Përndryshe, zgjidhja nuk llogaritet, po...) Një rrugë pa krye?

Qetë! Në raste të tilla të dyshimta, rregullat më të përgjithshme kursejnë. Si të zgjidhen ekuacionet? Çfarë do të thotë të zgjidhësh një ekuacion? Kjo do të thotë, gjeni të gjitha vlerat e x që, kur zëvendësohen në ekuacionin origjinal, do të na japin barazinë e saktë.

Por ne kemi barazinë e duhur tashmë ndodhi! 0=0, ku me të vërtetë?! Mbetet për të kuptuar se me çfarë x është marrë kjo. Në cilat vlera të x mund të zëvendësohen origjinale ekuacioni nëse këto x ende tkurret në zero? Eja?)

Po!!! X-të mund të zëvendësohen ndonjë! cfare deshironi. Të paktën 5, të paktën 0.05, të paktën -220. Ata ende do të tkurren. Nëse nuk më besoni, mund ta kontrolloni.) Zëvendësoni çdo vlerë x në origjinale ekuacion dhe njehso. Gjatë gjithë kohës do të merret e vërteta e pastër: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 e kështu me radhë.

Këtu është përgjigja juaj: x është çdo numër.

Përgjigja mund të shkruhet me simbole të ndryshme matematikore, thelbi nuk ndryshon. Kjo është një përgjigje plotësisht e saktë dhe e plotë.

Surpriza e dyta.

Le të marrim të njëjtin ekuacion linear elementar dhe të ndryshojmë vetëm një numër në të. Kjo është ajo që ne do të vendosim:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Pas të njëjtave transformime identike, marrim diçka intriguese:

Si kjo. Zgjidhi një ekuacion linear, mori një barazi të çuditshme. Duke folur matematikisht, ne kemi barazi e gabuar. Dhe me fjalë të thjeshta, kjo nuk është e vërtetë. Furi. Por megjithatë, kjo marrëzi është një arsye mjaft e mirë për zgjidhjen e saktë të ekuacionit.)

Përsëri, ne mendojmë në bazë të rregullave të përgjithshme. Çfarë do të na japë x, kur zëvendësohet në ekuacionin origjinal e saktë barazia? Po, asnjë! Nuk ka xese të tilla. Çfarëdo që të zëvendësoni, gjithçka do të reduktohet, marrëzitë do të mbeten.)

Këtu është përgjigja juaj: nuk ka zgjidhje.

Kjo është gjithashtu një përgjigje krejtësisht e vlefshme. Në matematikë, përgjigje të tilla ndodhin shpesh.

Si kjo. Tani, shpresoj, humbja e X-ve në procesin e zgjidhjes së ndonjë ekuacioni (jo vetëm linear) nuk do t'ju shqetësojë aspak. Çështja është e njohur.)

Tani që kemi trajtuar të gjitha kurthet në ekuacionet lineare, ka kuptim t'i zgjidhim ato.

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Mësimi - me interes!)

mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.

Në kursin e matematikës së klasës së 7-të, ata së pari takohen me ekuacionet me dy ndryshore, por ato studiohen vetëm në kuadrin e sistemeve të ekuacioneve me dy të panjohura. Kjo është arsyeja pse një sërë problemesh bien jashtë syve, në të cilat vendosen kushte të caktuara në koeficientët e ekuacionit që i kufizojnë ato. Përveç kësaj, metodat për zgjidhjen e problemeve si “Zgjidhja e një ekuacioni në numra natyrorë ose me numra të plotë” gjithashtu shpërfillen, ndonëse probleme të këtij lloji hasen gjithnjë e më shpesh në materialet e përdorimit dhe në provimet pranuese.

Cili ekuacion do të quhet ekuacion me dy ndryshore?

Kështu, për shembull, ekuacionet 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, ose xy = 12 janë ekuacione me dy ndryshore.

Konsideroni ekuacionin 2x - y = 1. Ai kthehet në një barazi të vërtetë në x = 2 dhe y = 3, kështu që ky çift vlerash të ndryshueshme është zgjidhja e ekuacionit në shqyrtim.

Kështu, zgjidhja e çdo ekuacioni me dy ndryshore është bashkësia e çifteve të renditura (x; y), vlerat e variablave që ky ekuacion i kthen në një barazi të vërtetë numerike.

Një ekuacion me dy të panjohura mund të:

a) kanë një zgjidhje. Për shembull, ekuacioni x 2 + 5y 2 = 0 ka një zgjidhje unike (0; 0);

b) kanë zgjidhje të shumta. Për shembull, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 ka 4 zgjidhje: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

në) nuk ka zgjidhje. Për shembull, ekuacioni x 2 + y 2 + 1 = 0 nuk ka zgjidhje;

G) kanë pafundësisht shumë zgjidhje. Për shembull, x + y = 3. Zgjidhjet e këtij ekuacioni do të jenë numra, shuma e të cilëve është 3. Bashkësia e zgjidhjeve të këtij ekuacioni mund të shkruhet si (k; 3 - k), ku k është çdo numër real.

Metodat kryesore për zgjidhjen e ekuacioneve me dy variabla janë metodat e bazuara në faktorizimin e shprehjeve, duke theksuar katrorin e plotë, duke përdorur vetitë e një ekuacioni kuadratik, shprehjet e kufizuara dhe metodat e vlerësimit. Ekuacioni, si rregull, shndërrohet në një formë nga e cila mund të merret një sistem për gjetjen e të panjohurave.

Faktorizimi

Shembulli 1

Zgjidheni ekuacionin: xy - 2 = 2x - y.

Vendimi.

Ne grupojmë termat për qëllimin e faktorizimit:

(xy + y) - (2x + 2) = 0. Hiq faktorin e përbashkët nga çdo kllapë:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y - 2) = 0. Kemi:

y = 2, x është çdo numër real ose x = -1, y është çdo numër real.

Kështu, përgjigja janë të gjitha çiftet e formës (x; 2), x € R dhe (-1; y), y € R.

Barazi me zero të numrave jonegativë

Shembulli 2

Zgjidheni ekuacionin: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Vendimi.

Grupimi:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. Tani çdo kllapa mund të shembet duke përdorur formulën e diferencës katrore.

(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0.

Shuma e dy shprehjeve jo negative është zero vetëm nëse 3x - 2 = 0 dhe 2y - 3 = 0.

Pra x = 2/3 dhe y = 3/2.

Përgjigje: (2/3; 3/2).

Metoda e Vlerësimit

Shembulli 3

Zgjidheni ekuacionin: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.

Vendimi.

Në çdo kllapa, zgjidhni katrorin e plotë:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Vlerësimi kuptimi i shprehjeve në kllapa.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 dhe (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, atëherë ana e majtë e ekuacionit është gjithmonë të paktën 2. Barazia është e mundur nëse:

(x + 1) 2 + 1 = 1 dhe (y - 2) 2 + 2 = 2, pra x = -1, y = 2.

Përgjigje: (-1; 2).

Le të njihemi me një metodë tjetër për zgjidhjen e ekuacioneve me dy ndryshore të shkallës së dytë. Kjo metodë është që ekuacioni konsiderohet si katror në lidhje me disa ndryshore.

Shembulli 4

Zgjidheni ekuacionin: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.

Vendimi.

E zgjidhim ekuacionin si kuadratik në lidhje me x. Le të gjejmë diskriminuesin:

D = 36 - 4(y - 4√y + 13) = -4y + 16√y - 16 = -4(√y - 2) 2 . Ekuacioni do të ketë zgjidhje vetëm kur D = 0, d.m.th., nëse y = 4. Ne e zëvendësojmë vlerën e y në ekuacionin origjinal dhe gjejmë se x = 3.

Përgjigje: (3; 4).

Shpesh në ekuacionet me dy të panjohura tregojnë kufizimet në variabla.

Shembulli 5

Zgjidheni ekuacionin në numra të plotë: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Vendimi.

Le ta rishkruajmë ekuacionin në formën x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Ana e djathtë e ekuacionit që rezulton, kur ndahet me 5, jep një mbetje prej 2. Prandaj, x 2 nuk pjesëtohet me 5. Por katrori i një numri që nuk pjesëtohet me 5 jep një mbetje prej 1 ose 4. Kështu barazia është e pamundur dhe nuk ka zgjidhje.

Përgjigje: pa rrënjë.

Shembulli 6

Zgjidheni ekuacionin: (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.

Vendimi.

Le të zgjedhim katrorët e plotë në çdo kllapa:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Ana e majtë e ekuacionit është gjithmonë më e madhe ose e barabartë me 3. Barazia është e mundur nëse |x| – 2 = 0 dhe y + 3 = 0. Kështu, x = ± 2, y = -3.

Përgjigje: (2; -3) dhe (-2; -3).

Shembulli 7

Për çdo çift numrash të plotë negativ (x; y) që plotëson ekuacionin
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, llogaritni shumën (x + y). Përgjigjuni sasisë më të vogël.

Vendimi.

Zgjidhni katrorët e plotë:

(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Meqenëse x dhe y janë numra të plotë, edhe katrorët e tyre janë numra të plotë. Shuma e katrorëve të dy numrave të plotë, të barabartë me 37, marrim nëse shtojmë 1 + 36. Prandaj:

(x - y) 2 = 36 dhe (y + 2) 2 = 1

(x - y) 2 = 1 dhe (y + 2) 2 = 36.

Duke zgjidhur këto sisteme dhe duke marrë parasysh se x dhe y janë negative, gjejmë zgjidhje: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Përgjigje: -17.

Mos u dëshpëroni nëse keni vështirësi në zgjidhjen e ekuacioneve me dy të panjohura. Me pak praktikë, do të mund të zotëroni çdo ekuacion.

A keni ndonjë pyetje? Nuk dini si të zgjidhni ekuacionet me dy ndryshore?
Për të marrë ndihmën e një tutori - regjistrohuni.
Mësimi i parë është falas!

faqe, me kopjim të plotë ose të pjesshëm të materialit, kërkohet një lidhje me burimin.

për të zgjidhur matematikën. Gjeni shpejt zgjidhje ekuacioni matematikor në modalitet online. Faqja e internetit www.site lejon zgjidhin ekuacionin pothuajse çdo e dhënë algjebrike, trigonometrike ose ekuacioni transcendental në internet. Kur studion pothuajse çdo seksion të matematikës në faza të ndryshme, duhet të vendosësh ekuacionet online. Për të marrë një përgjigje menjëherë, dhe më e rëndësishmja një përgjigje të saktë, ju duhet një burim që ju lejon ta bëni këtë. Falë www.site zgjidhni ekuacionet në internet do të duhen disa minuta. Avantazhi kryesor i www.site gjatë zgjidhjes së matematikës ekuacionet online- është shpejtësia dhe saktësia e përgjigjes së dhënë. Faqja është në gjendje të zgjidhë çdo ekuacionet algjebrike në internet, ekuacionet trigonometrike në internet, ekuacionet transcendentale në internet, si dhe ekuacionet me parametra të panjohur në modalitet online. Ekuacionet shërbejnë si një aparat i fuqishëm matematikor Zgjidhjet detyra praktike. Me ndihmë ekuacionet matematikoreështë e mundur të shprehen fakte dhe marrëdhënie që në pamje të parë mund të duken konfuze dhe komplekse. sasi të panjohura ekuacionet mund të gjendet duke formuluar problemin në matematikore gjuha në formë ekuacionet dhe zgjidhin detyrën e marrë në modalitet online në faqen e internetit www.site. Çdo ekuacioni algjebrik, ekuacioni trigonometrik ose ekuacionet që përmban transcendentale ju veçon lehtësisht vendosin online dhe merrni përgjigjen e duhur. Duke studiuar shkencat e natyrës, në mënyrë të pashmangshme ndeshet nevoja zgjidhjen e ekuacioneve. Në këtë rast, përgjigja duhet të jetë e saktë dhe duhet të merret menjëherë në modalitet online. Prandaj, për zgjidhni ekuacionet matematikore në internet ne rekomandojmë faqen www.site, e cila do të bëhet kalkulatori juaj i domosdoshëm zgjidhin ekuacionet algjebrike në internet, ekuacionet trigonometrike në internet, si dhe ekuacionet transcendentale në internet ose ekuacionet me parametra të panjohur. Për problemet praktike të gjetjes së rrënjëve të ndryshme ekuacionet matematikore burimi www.. Zgjidhja ekuacionet online vetë, është e dobishme të kontrolloni përgjigjen e marrë duke përdorur zgjidhje online të ekuacioneve në faqen e internetit www.site. Është e nevojshme të shkruhet saktë ekuacioni dhe të merret menjëherë zgjidhje online, pas së cilës mbetet vetëm të krahasoni përgjigjen me zgjidhjen tuaj të ekuacionit. Kontrollimi i përgjigjes do të zgjasë jo më shumë se një minutë, mjaftueshëm zgjidhni ekuacionin në internet dhe krahasoni përgjigjet. Kjo do t'ju ndihmojë të shmangni gabimet në vendim dhe korrigjoni përgjigjen me kohë zgjidhja e ekuacioneve në internet nëse algjebrike, trigonometrike, transcendent ose ekuacionin me parametra të panjohur.

Zgjidhja e ekuacioneve me thyesa le të shohim shembuj. Shembujt janë të thjeshtë dhe ilustrues. Me ndihmën e tyre, ju mund të kuptoni në mënyrën më të kuptueshme,.
Për shembull, ju duhet të zgjidhni një ekuacion të thjeshtë x/b + c = d.

Një ekuacion i këtij lloji quhet linear, sepse emëruesi përmban vetëm numra.

Zgjidhja kryhet duke shumëzuar të dyja anët e ekuacionit me b, atëherë ekuacioni merr formën x = b*(d – c), d.m.th. zvogëlohet emëruesi i thyesës në anën e majtë.

Për shembull, si të zgjidhim një ekuacion thyesor:
x/5+4=9
Të dyja pjesët i shumëzojmë me 5. Marrim:
x+20=45
x=45-20=25

Një shembull tjetër ku e panjohura është në emërues:

Ekuacionet e këtij lloji quhen racionale thyesore ose thjesht thyesore.

Një ekuacion thyesor do ta zgjidhnim duke hequr qafe thyesat, pas së cilës ky ekuacion, më së shpeshti, shndërrohet në një ekuacion linear ose kuadratik, i cili zgjidhet në mënyrën e zakonshme. Ju duhet të merrni parasysh vetëm pikat e mëposhtme:

• vlera e një ndryshoreje që e kthen emëruesin në 0 nuk mund të jetë rrënjë;
• nuk mund ta pjestosh apo shumëzosh ekuacionin me shprehjen =0.

Këtu hyn në fuqi një koncept i tillë si zona e vlerave të lejueshme (ODZ) - këto janë vlerat e rrënjëve të ekuacionit për të cilin ekuacioni ka kuptim.

Kështu, duke zgjidhur ekuacionin, është e nevojshme të gjenden rrënjët, dhe më pas t'i kontrolloni ato për pajtueshmërinë me ODZ. Ato rrënjë që nuk korrespondojnë me DHS-në tonë janë të përjashtuara nga përgjigja.

Për shembull, ju duhet të zgjidhni një ekuacion thyesor:

Bazuar në rregullin e mësipërm, x nuk mund të jetë = 0, d.m.th. ODZ në këtë rast: x - çdo vlerë tjetër nga zero.

Ne heqim qafe emëruesin duke shumëzuar të gjithë termat e ekuacionit me x

Dhe zgjidhni ekuacionin e zakonshëm

5x - 2x = 1
3x=1
x = 1/3

Përgjigje: x = 1/3

Le të zgjidhim ekuacionin më të ndërlikuar:

ODZ është gjithashtu i pranishëm këtu: x -2.

Duke zgjidhur këtë ekuacion, ne nuk do të transferojmë gjithçka në një drejtim dhe do t'i sjellim thyesat në një emërues të përbashkët. Ne i shumëzojmë menjëherë të dyja anët e ekuacionit me një shprehje që do të zvogëlojë të gjithë emëruesit menjëherë.

Për të zvogëluar emërtuesit, duhet të shumëzoni anën e majtë me x + 2, dhe anën e djathtë me 2. Pra, të dy anët e ekuacionit duhet të shumëzohen me 2 (x + 2):

Ky është shumëzimi më i zakonshëm i thyesave, të cilin e kemi diskutuar më lart.

Ne shkruajmë të njëjtin ekuacion, por në një mënyrë paksa të ndryshme.

Ana e majtë zvogëlohet me (x + 2), dhe ana e djathtë me 2. Pas zvogëlimit, marrim ekuacionin e zakonshëm linear:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, që korrespondon me ODZ-në tonë

Përgjigje: x = 2.

Zgjidhja e ekuacioneve me thyesa jo aq e vështirë sa mund të duket. Në këtë artikull, ne e kemi treguar këtë me shembuj. Nëse keni ndonjë vështirësi me si të zgjidhim ekuacionet me thyesa, pastaj çabonohuni në komente.

Ekuacionet kuadratike studiohen në klasën 8, kështu që nuk ka asgjë të komplikuar këtu. Aftësia për t'i zgjidhur ato është thelbësore.

Një ekuacion kuadratik është një ekuacion i formës ax 2 + bx + c = 0, ku koeficientët a , b dhe c janë numra arbitrarë dhe a ≠ 0.

Para se të studiojmë metoda specifike të zgjidhjes, vërejmë se të gjitha ekuacionet kuadratike mund të ndahen në tre klasa:

1. nuk kanë rrënjë;
2. Ata kanë saktësisht një rrënjë;
3. Ata kanë dy rrënjë të ndryshme.

Ky është një ndryshim i rëndësishëm midis ekuacioneve kuadratike dhe lineare, ku rrënja ekziston gjithmonë dhe është unike. Si të përcaktohet se sa rrënjë ka një ekuacion? Ka një gjë të mrekullueshme për këtë - diskriminuese.

Diskriminues

Le të jepet ekuacioni kuadratik ax 2 + bx + c = 0. Atëherë diskriminuesi është thjesht numri D = b 2 − 4ac .

Kjo formulë duhet të dihet përmendësh. Nga vjen nuk ka rëndësi tani. Një gjë tjetër është e rëndësishme: me shenjën e diskriminuesit, mund të përcaktoni se sa rrënjë ka një ekuacion kuadratik. Gjegjësisht:

1. Nëse D< 0, корней нет;
2. Nëse D = 0, ka saktësisht një rrënjë;
3. Nëse D > 0, do të ketë dy rrënjë.

Ju lutemi vini re: diskriminuesi tregon numrin e rrënjëve, dhe aspak shenjat e tyre, siç mendojnë për disa arsye shumë njerëz. Hidhini një sy shembujve dhe do të kuptoni gjithçka vetë:

Një detyrë. Sa rrënjë kanë ekuacionet kuadratike:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Shkruajmë koeficientët për ekuacionin e parë dhe gjejmë diskriminuesin:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Pra, diskriminuesi është pozitiv, pra ekuacioni ka dy rrënjë të ndryshme. Ne analizojmë ekuacionin e dytë në të njëjtën mënyrë:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminuesi është negativ, nuk ka rrënjë. Ekuacioni i fundit mbetet:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminuesi është i barabartë me zero - rrënja do të jetë një.

Vini re se koeficientët janë shkruar për çdo ekuacion. Po, është e gjatë, po, është e lodhshme - por nuk do t'i ngatërroni shanset dhe nuk do të bëni gabime të trashë. Zgjidhni vetë: shpejtësinë ose cilësinë.

Nga rruga, nëse "mbushni dorën", pas një kohe nuk do të keni më nevojë të shkruani të gjithë koeficientët. Ju do të kryeni operacione të tilla në kokën tuaj. Shumica e njerëzve fillojnë ta bëjnë këtë diku pas 50-70 ekuacioneve të zgjidhura - në përgjithësi, jo aq shumë.

Rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Tani le të kalojmë te zgjidhja. Nëse diskriminuesi D > 0, rrënjët mund të gjenden duke përdorur formulat:

Formula bazë për rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Kur D = 0, ju mund të përdorni ndonjë nga këto formula - ju merrni të njëjtin numër, i cili do të jetë përgjigja. Së fundi, nëse D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Ekuacioni i parë:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ ekuacioni ka dy rrënjë. Le t'i gjejmë ato:

Ekuacioni i dytë:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ ekuacioni ka përsëri dy rrënjë. Le t'i gjejmë ato

\[\fillo(rreshtoj) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \majtas(-1 \djathtas))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \majtas(-1 \djathtas))=3. \\ \fund (radhis)\]

Së fundi, ekuacioni i tretë:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ ekuacioni ka një rrënjë. Mund të përdoret çdo formulë. Për shembull, i pari:

Siç mund ta shihni nga shembujt, gjithçka është shumë e thjeshtë. Nëse i dini formulat dhe jeni në gjendje të numëroni, nuk do të ketë probleme. Më shpesh, gabimet ndodhin kur koeficientët negativë zëvendësohen në formulë. Këtu, përsëri, teknika e përshkruar më sipër do të ndihmojë: shikoni formulën fjalë për fjalë, pikturoni çdo hap - dhe hiqni qafe gabimet shumë shpejt.

Ekuacionet kuadratike jo të plota

Ndodh që ekuacioni kuadratik të jetë disi i ndryshëm nga ai që jepet në përkufizim. Për shembull:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Është e lehtë të shihet se një nga termat mungon në këto ekuacione. Ekuacione të tilla kuadratike janë edhe më të lehta për t'u zgjidhur se ato standarde: ato nuk kanë nevojë as të llogarisin diskriminuesin. Pra, le të prezantojmë një koncept të ri:

Ekuacioni ax 2 + bx + c = 0 quhet ekuacion kuadratik jo i plotë nëse b = 0 ose c = 0, d.m.th. koeficienti i ndryshores x ose i elementit të lirë është i barabartë me zero.

Sigurisht, një rast shumë i vështirë është i mundur kur të dy këta koeficientë janë të barabartë me zero: b \u003d c \u003d 0. Në këtë rast, ekuacioni merr formën sëpatë 2 \u003d 0. Natyrisht, një ekuacion i tillë ka një të vetme rrënja: x \u003d 0.

Le të shqyrtojmë raste të tjera. Le të b \u003d 0, atëherë marrim një ekuacion kuadratik jo të plotë të formës sëpatë 2 + c \u003d 0. Le ta transformojmë pak:

Meqenëse rrënja katrore aritmetike ekziston vetëm nga një numër jo negativ, barazia e fundit ka kuptim vetëm kur (−c / a ) ≥ 0. Përfundim:

1. Nëse një ekuacion kuadratik jo i plotë i formës ax 2 + c = 0 plotëson pabarazinë (−c / a ) ≥ 0, do të ketë dy rrënjë. Formula është dhënë më sipër;
2. Nëse (−c / a )< 0, корней нет.

Siç mund ta shihni, diskriminuesi nuk kërkohej - nuk ka fare llogaritje komplekse në ekuacionet kuadratike jo të plota. Në fakt, as nuk është e nevojshme të kujtojmë pabarazinë (−c / a ) ≥ 0. Mjafton të shprehim vlerën e x 2 dhe të shohim se çfarë është në anën tjetër të shenjës së barazimit. Nëse ka një numër pozitiv, do të ketë dy rrënjë. Nëse është negative, nuk do të ketë rrënjë fare.

Tani le të merremi me ekuacionet e formës ax 2 + bx = 0, në të cilat elementi i lirë është i barabartë me zero. Gjithçka është e thjeshtë këtu: gjithmonë do të ketë dy rrënjë. Mjafton të faktorizojmë polinomin:

Nxjerrja e faktorit të përbashkët nga kllapa

Produkti është i barabartë me zero kur të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero. Nga këtu vijnë rrënjët. Si përfundim, ne do të analizojmë disa nga këto ekuacione:

Një detyrë. Zgjidh ekuacionet kuadratike:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Nuk ka rrënjë, sepse katrori nuk mund të jetë i barabartë me një numër negativ.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

Artikulli i mëparshëm: Llojet e foljeve në Rusisht Artikulli vijues: Rregullat për përcaktimin e valencës dhe gjendjes së oksidimit