Llogaritja e rrënjëve të numrave të mëdhenj. Numërimi pa kalkulator

Udhëzimet

Zgjidhni një shumëzues për numrin radikal, heqja e të cilit nga poshtë rrënjëështë me të vërtetë një shprehje - përndryshe operacioni do të humbasë. Për shembull, nëse nën shenjën rrënjë me një eksponent të barabartë me tre (rrënjë kubike), kushton numri 128, atëherë nga poshtë shenjës mund të nxirrni, për shembull, numri 5. Në të njëjtën kohë, radikali numri 128 do të duhet të ndahet me 5 kube: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1.024. Nëse prania e një numri thyesor nën shenjën rrënjë nuk bie ndesh me kushtet e problemit, atëherë është e mundur në këtë formë. Nëse keni nevojë për një opsion më të thjeshtë, atëherë së pari thyeni shprehjen radikale në faktorë të tillë të plotë, rrënja kubike e njërit prej të cilëve do të jetë një numër i plotë numri m Për shembull: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.

Përdoreni për të zgjedhur faktorët e një numri radikal nëse nuk është e mundur të llogaritni fuqitë e një numri në kokën tuaj. Kjo është veçanërisht e vërtetë për rrënjë m me një eksponent më të madh se dy. Nëse keni akses në internet, mund të kryeni llogaritjet duke përdorur kalkulatorët e integruar në motorët e kërkimit Google dhe Nigma. Për shembull, nëse keni nevojë të gjeni faktorin më të madh të numrit të plotë që mund të hiqet nën shenjën kub rrënjë për numrin 250, më pas shkoni në faqen e internetit të Google dhe shkruani pyetjen "6^3" për të kontrolluar nëse është e mundur ta hiqni atë nga poshtë shenjës rrënjë gjashtë. Motori i kërkimit do të tregojë një rezultat të barabartë me 216. Mjerisht, 250 nuk mund të ndahet pa një mbetje me këtë numri. Pastaj shkruani pyetjen 5^3. Rezultati do të jetë 125, dhe kjo ju lejon të ndani 250 në faktorët 125 dhe 2, që do të thotë ta hiqni atë nga shenja rrënjë numri 5, duke u larguar atje numri 2.

Burimet:

• si ta nxjerrim nga nën rrënjë
• Rrënja katrore e produktit

Hiqeni nga poshtë rrënjë një nga faktorët është i nevojshëm në situatat kur duhet të thjeshtoni një shprehje matematikore. Ka raste kur është e pamundur të kryhen llogaritjet e nevojshme duke përdorur një kalkulator. Për shembull, nëse përcaktimet e shkronjave për variablat përdoren në vend të numrave.

Udhëzimet

Zbërtheni shprehjen radikale në faktorë të thjeshtë. Shihni se cili nga faktorët përsëritet të njëjtin numër herë, të treguar në tregues rrënjë, ose më shumë. Për shembull, ju duhet të merrni rrënjën e katërt të a. Në këtë rast, numri mund të përfaqësohet si a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3. Treguesi rrënjë në këtë rast do të korrespondojë me faktor a3. Duhet të hiqet nga shenja.

Nxjerrni rrënjën e radikalëve që rezultojnë veçmas kur është e mundur. Nxjerrja rrënjëështë operacioni algjebrik i anasjelltë me fuqinë. Nxjerrja rrënjë të një fuqie arbitrare, gjeni një numër nga një numër që, kur të rritet në këtë fuqi arbitrare, do të rezultojë në numrin e dhënë. Nëse nxjerrja rrënjë nuk mund të prodhohet, lëreni shprehjen radikale nën shenjë rrënjë ashtu siç është. Si rezultat i veprimeve të mësipërme, ju do të hiqeni nga poshtë shenjë rrënjë.

Video mbi temën

shënim

Kini kujdes kur shkruani shprehje radikale në formën e faktorëve - një gabim në këtë fazë do të çojë në rezultate të pasakta.

Këshilla të dobishme

Kur nxjerrni rrënjët, është e përshtatshme të përdorni tabela të veçanta ose tabela të rrënjëve logaritmike - kjo do të zvogëlojë ndjeshëm kohën që duhet për të gjetur zgjidhjen e duhur.

Burimet:

• Shenja e nxjerrjes së rrënjëve në 2019

Thjeshtimi i shprehjeve algjebrike kërkohet në shumë fusha të matematikës, duke përfshirë zgjidhjen e ekuacioneve të rendit më të lartë, diferencimin dhe integrimin. Përdoren disa metoda, duke përfshirë faktorizimin. Për të aplikuar këtë metodë, duhet të gjeni dhe të bëni një gjeneral faktor mbrapa kllapa.

Udhëzimet

Kryerja e shumëzuesit total kllapa- një nga metodat më të zakonshme të dekompozimit. Kjo teknikë përdoret për të thjeshtuar strukturën e shprehjeve të gjata algjebrike, d.m.th. polinomet. Numri i përgjithshëm mund të jetë një numër, një monom ose një binom, dhe për të gjetur atë, përdoret vetia shpërndarëse e shumëzimit.

Numri Shikoni me kujdes koeficientët e secilit polinom për të parë nëse ata mund të pjesëtohen me të njëjtin numër. Për shembull, në shprehjen 12 z³ + 16 z² – 4 është e qartë faktor 4. Pas transformimit, ju merrni 4 (3 z³ + 4 z² - 1). Me fjalë të tjera, ky numër është pjesëtuesi i plotë më pak i zakonshëm i të gjithë koeficientëve.

Përcaktoni nëse e njëjta ndryshore është në secilin prej termave të polinomit. Duke supozuar se është kështu, tani shikoni koeficientët si në rastin e mëparshëm. Shembull: 9 z^4 – 6 z³ + 15 z² – 3 z.

Çdo element i këtij polinomi përmban një ndryshore z. Përveç kësaj, të gjithë koeficientët janë numra që janë shumëfish të 3. Prandaj, faktori i përbashkët do të jetë monomi 3 z:3 z (3 z³ – 2 z² + 5 z - 1).

Binomi.Për kllapa të përgjithshme faktor prej dy, një ndryshore dhe një numër, i cili është një polinom i zakonshëm. Prandaj, nëse faktor-Binomi nuk është i dukshëm, atëherë duhet të gjesh të paktën një rrënjë. Zgjidhni termin e lirë të polinomit, ky është një koeficient pa ndryshore. Tani aplikoni metodën e zëvendësimit në shprehjen e përgjithshme të të gjithë pjesëtuesve të numrave të plotë të termit të lirë.

Merrni parasysh: z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. Kontrolloni nëse ndonjë nga faktorët e plotë të 4 është z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0. Me zëvendësim të thjeshtë, gjeni z1 = 1 dhe z2 = 2, që do të thotë për kllapa mund të heqim binomet (z - 1) dhe (z - 2). Për të gjetur shprehjen e mbetur, përdorni ndarjen e gjatë të njëpasnjëshme.

Ka disa metoda për llogaritjen e rrënjës katrore pa një kalkulator.

Si të gjeni rrënjën e një numri - 1 mënyrë

• Një metodë është faktorizimi i numrit nën rrënjë. Këta përbërës, kur shumëzohen, formojnë një vlerë radikale. Saktësia e rezultatit varet nga numri nën rrënjë.
• Për shembull, nëse merrni numrin 1600 dhe filloni ta faktorizoni, arsyetimi do të strukturohet si më poshtë: ky numër është shumëfish i 100, që do të thotë se mund të ndahet me 25; meqenëse është marrë rrënja e numrit 25, numri është katror dhe i përshtatshëm për llogaritjet e mëtejshme; kur pjesëtojmë, marrim një numër tjetër - 64. Ky numër është gjithashtu katror, ​​kështu që rrënja mund të nxirret mirë; Pas këtyre llogaritjeve, nën rrënjë, mund të shkruani numrin 1600 si prodhim i 25 dhe 64.

• Një nga rregullat për nxjerrjen e rrënjës thotë se rrënja e produktit të faktorëve është e barabartë me numrin që fitohet duke shumëzuar rrënjët e secilit faktor. Kjo do të thotë se: √(25*64) = √25 * √64. Nëse marrim rrënjët nga 25 dhe 64, marrim shprehjen e mëposhtme: 5 * 8 = 40. Pra, rrënja katrore e numrit 1600 është 40.
• Por ndodh që numri nën rrënjë nuk mund të zbërthehet në dy faktorë, nga të cilët nxirret e gjithë rrënja. Zakonisht kjo mund të bëhet vetëm për një nga shumëzuesit. Prandaj, më shpesh nuk është e mundur të gjesh një përgjigje absolutisht të saktë në një ekuacion të tillë.
• Në këtë rast, mund të llogaritet vetëm një vlerë e përafërt. Prandaj, duhet të merrni rrënjën e shumëzuesit, që është një numër katror. Kjo vlerë shumëzohet më pas me rrënjën e numrit të dytë që nuk është termi katror i ekuacionit.
• Duket kështu, për shembull, le të marrim numrin 320. Mund të zbërthehet në 64 dhe 5. Ju mund ta nxirrni të gjithë rrënjën nga 64, por jo nga 5. Prandaj, shprehja do të duket kështu: √320 = √(64*5) = √64*√5 = 8√5.
• Nëse është e nevojshme, mund të gjeni vlerën e përafërt të këtij rezultati duke llogaritur
  √5 ≈ 2,236, pra √320 = 8 * 2,236 = 17,88 ≈ 18.
• Gjithashtu, numri nën rrënjë mund të zbërthehet në disa faktorë kryesorë dhe të njëjtët mund të hiqen nga poshtë tij. Shembull: √75 = √(5*5*3) ​​= 5√3 ≈ 8,66 ≈ 9.

Si të gjeni rrënjën e një numri - metoda 2

• Një mënyrë tjetër është të bëni ndarje të gjatë. Ndarja ndodh në një mënyrë të ngjashme, por thjesht duhet të kërkoni numra katrorë, nga të cilët më pas mund të nxirrni rrënjën.
• Në këtë rast, ne shkruajmë numrin katror sipër dhe e zbresim atë në anën e majtë, dhe rrënjën e nxjerrë nga poshtë.
• Tani vlera e dytë duhet të dyfishohet dhe të shkruhet nga poshtë djathtas në formën: numër_x_=. Boshllëqet duhet të plotësohen me një numër që është më i vogël ose i barabartë me vlerën e kërkuar në të majtë - ashtu si në ndarjen normale.
• Nëse është e nevojshme, ky rezultat zbritet përsëri nga e majta. Llogaritjet e tilla vazhdojnë derisa të arrihet rezultati. Ju gjithashtu mund të shtoni zero derisa të arrini numrin e dëshiruar të numrave dhjetorë.

Rrënja n-fuqia e një numri natyror a ky numër quhet n fuqia e së cilës është e barabartë me a. Rrënja caktohet si më poshtë: . Simboli √ quhet shenjë rrënjë ose shenjë radikale, numri a - numër radikal, n - eksponent rrënjë.

Veprimi me të cilin gjendet rrënja e një shkalle të caktuar quhet nxjerrja e rrënjës.

Meqenëse, sipas përkufizimit të konceptit të një rrënjë n shkalla e th

Se nxjerrja e rrënjës- një veprim i kundërt me ngritjen në një fuqi, me ndihmën e të cilit gjendet baza e shkallës nga një shkallë e caktuar dhe nga një eksponent i caktuar.

Rrenja katrore

Rrënja katrore e një numri aështë numri katrori i të cilit është i barabartë me a.

Veprimi me të cilin llogaritet rrënja katrore quhet rrënjë katrore.

Rrenja katrore- veprimi i kundërt i katrorimit (ose ngritja e një numri në fuqinë e dytë). Kur katrorizon një numër, duhet të gjesh katrorin e tij. Kur nxjerrni rrënjën katrore, dihet katrori i numrit, duhet ta përdorni për të gjetur vetë numrin;

Prandaj, për të kontrolluar korrektësinë e veprimit, mund ta ngrini rrënjën e gjetur në fuqinë e dytë dhe, nëse shkalla është e barabartë me numrin radikal, atëherë rrënja u gjet saktë.

Le të shohim nxjerrjen e rrënjës katrore dhe kontrollimin e saj duke përdorur një shembull. Le të llogarisim ose (eksponenti i rrënjës me vlerë 2 zakonisht nuk shkruhet, pasi 2 është eksponenti më i vogël dhe duhet mbajtur mend se nëse nuk ka eksponent mbi shenjën e rrënjës, atëherë nënkuptohet eksponenti 2), për këtë ne duhet të gjesh numrin, kur të ngrihet në të dytën shkalla do të jetë 49. Është e qartë se një numër i tillë është 7, pasi

7 7 = 7 2 = 49.

Llogaritja e rrënjës katrore

Nëse një numër i dhënë është 100 ose më pak, atëherë rrënja katrore e tij mund të llogaritet duke përdorur tabelën e shumëzimit. Për shembull, rrënja katrore e 25 është 5, sepse 5 5 = 25.

Tani le të shohim një mënyrë për të gjetur rrënjën katrore të çdo numri pa përdorur një kalkulator. Për shembull, le të marrim numrin 4489 dhe të fillojmë ta llogarisim atë hap pas hapi.

1. Le të përcaktojmë se nga cilat shifra duhet të përbëhet rrënja e kërkuar. Meqenëse 10 2 = 10 · 10 = 100, dhe 100 2 = 100 · 100 = 10000, bëhet e qartë se rrënja e dëshiruar duhet të jetë më e madhe se 10 dhe më e vogël se 100, d.m.th. përbëhet nga dhjetëshe dhe njëshe.
2. Gjeni numrin e dhjetësheve të rrënjës. Shumëzimi i dhjetësheve jep qindra, dhe në numrin tonë janë 44, kështu që rrënja duhet të përmbajë aq dhjetëshe sa katrori i dhjetësheve të japë afërsisht 44 qindra. Prandaj, rrënja duhet të ketë 6 dhjetëshe, sepse 60 2 = 3600, dhe 70 2 = 4900 (kjo është shumë). Kështu, zbuluam se rrënja jonë përmban 6 dhjetëra dhe disa, pasi është në rangun nga 60 në 70.
3. Tabela e shumëzimit do t'ju ndihmojë të përcaktoni numrin e njësive në rrënjë. Duke parë numrin 4489, shohim se shifra e fundit në të është 9. Tani shikojmë tabelën e shumëzimit dhe shohim se 9 njësi mund të fitohen vetëm duke i vendosur në katror numrat 3 dhe 7. Kjo do të thotë se rrënja e numrit do të jetë e barabartë me 63 ose 67.
4. Ne kontrollojmë numrat që kemi marrë, 63 dhe 67, duke i ndarë në katror: 63 2 = 3969, 67 2 = 4489.

Si të nxjerrim rrënjën nga numri. Në këtë artikull do të mësojmë se si të marrim rrënjën katrore të numrave katër dhe pesë shifrorë.

Le të marrim si shembull rrënjën katrore të vitit 1936.

Prandaj, .

Shifra e fundit në numrin 1936 është numri 6. Katrori i numrit 4 dhe numrit 6 përfundon me 6. Prandaj, 1936 mund të jetë katrori i numrit 44 ose numri 46. Mbetet të kontrollohet duke përdorur shumëzimin.

Do të thotë,

Le të marrim rrënjën katrore të numrit 15129.

Prandaj, .

Shifra e fundit në numrin 15129 është numri 9. Katrori i numrit 3 dhe numrit 7 përfundon me 9. Prandaj, 15129 mund të jetë katrori i numrit 123 ose numri 127. Le të kontrollojmë duke përdorur shumëzimin.

Do të thotë,

Si të nxjerrim rrënjën - video

Dhe tani ju sugjeroj të shikoni videon e Anna Denisova - "Si të nxjerrim rrënjën ", autori i faqes" Fizika e thjeshtë", në të cilën ajo shpjegon se si të gjeni rrënjë katrore dhe kubike pa një makinë llogaritëse.

Videoja diskuton disa mënyra për të nxjerrë rrënjët:

1. Mënyra më e lehtë për të nxjerrë rrënjën katrore.

2. Me përzgjedhje duke përdorur katrorin e shumës.

3. Metoda babilonase.

4. Metoda e nxjerrjes së rrënjës katrore të një kolone.

5. Një mënyrë e shpejtë për të nxjerrë rrënjën e kubit.

6. Metoda e nxjerrjes së rrënjës së kubit në një kolonë.

Formulat rrënjësore. Vetitë e rrënjëve katrore.

Kujdes!
Ka shtesë
materialet në Seksionin Special 555.
Për ata që janë shumë "jo shumë..."
Dhe për ata që "shumë ...")

Në mësimin e mëparshëm ne kuptuam se çfarë është rrënja katrore. Është koha për të kuptuar se cilat ekzistojnë formula për rrënjët cfare jane vetitë e rrënjëve, dhe çfarë mund të bëhet me gjithë këtë.

Formulat e rrënjëve, vetitë e rrënjëve dhe rregullat për të punuar me rrënjët- kjo është në thelb e njëjta gjë. Ka çuditërisht pak formula për rrënjët katrore. E cila sigurisht më bën të lumtur! Ose më mirë, mund të shkruani shumë formula të ndryshme, por për punë praktike dhe të sigurt me rrënjët, mjaftojnë vetëm tre. Gjithçka tjetër rrjedh nga këto të treja. Edhe pse shumë njerëz ngatërrohen në tre formulat rrënjësore, po...

Le të fillojmë me më të thjeshtën. Këtu është ajo:

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Le të mësojmë - me interes!)

Mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.