Rrënjët e një ekuacioni kuadratik jo të plotë. Rrënjët e një ekuacioni kuadratik
Shkolla e mesme rurale Kopyevskaya
10 mënyra për të zgjidhur ekuacionet kuadratike
Drejtues: Patrikeeva Galina Anatolyevna,
mësues i matematikës
s.Kopyevo, 2007
1. Historia e zhvillimit të ekuacioneve kuadratike
1.1 Ekuacionet kuadratike në Babiloninë e lashtë
1.2 Si përpiloi dhe zgjidh Diofanti ekuacionet kuadratike
1.3 Ekuacionet kuadratike në Indi
1.4 Ekuacionet kuadratike në el-Kuarizmi
1.5 Ekuacionet kuadratike në Evropë shekujt XIII - XVII
1.6 Rreth teoremës së Vietës
2. Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike
konkluzioni
Letërsia
1. Historia e zhvillimit të ekuacioneve kuadratike
1.1 Ekuacionet kuadratike në Babiloninë e lashtë
Nevoja për të zgjidhur ekuacionet jo vetëm të shkallës së parë, por edhe të shkallës së dytë në kohët e lashta u shkaktua nga nevoja për të zgjidhur problemet që lidhen me gjetjen e zonave të tokës dhe punimeve tokësore të natyrës ushtarake, si dhe zhvillimin e astronomisë dhe astronomisë dhe vetë matematika. Ekuacionet kuadratike ishin në gjendje të zgjidhnin rreth 2000 para Krishtit. e. babilonasit.
Duke aplikuar shënimet algjebrike moderne, mund të themi se në tekstet e tyre kuneiforme, përveç atyre jo të plota, ka, për shembull, ekuacione të plota kuadratike:
X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5
Rregulli për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve, i deklaruar në tekstet babilonase, në thelb përkon me atë modern, por nuk dihet se si babilonasit erdhën në këtë rregull. Pothuajse të gjitha tekstet kuneiforme të gjetura deri tani japin vetëm probleme me zgjidhjet e deklaruara në formën e recetave, pa asnjë tregues se si janë gjetur.
Megjithë nivelin e lartë të zhvillimit të algjebrës në Babiloni, teksteve kuneiforme u mungon koncepti i një numri negativ dhe metodat e përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.
1.2 Si përpiloi dhe zgjidh Diofanti ekuacionet kuadratike.
Aritmetika e Diofantit nuk përmban një paraqitje sistematike të algjebrës, por përmban një sërë problemesh sistematike, të shoqëruara me shpjegime dhe të zgjidhura duke hartuar ekuacione të shkallëve të ndryshme.
Gjatë përpilimit të ekuacioneve, Diofanti zgjedh me mjeshtëri të panjohurat për të thjeshtuar zgjidhjen.
Këtu, për shembull, është një nga detyrat e tij.
Detyra 11."Gjeni dy numra duke e ditur se shuma e tyre është 20 dhe prodhimi i tyre është 96"
Diofanti argumenton si më poshtë: nga kushti i problemit del se numrat e dëshiruar nuk janë të barabartë, pasi nëse do të ishin të barabartë, atëherë produkti i tyre nuk do të ishte 96, por 100. Kështu, njëri prej tyre do të jetë më shumë se gjysma e tyre. shuma, d.m.th. 10+x, tjetri është më i vogël, d.m.th. 10-ta. Dallimi mes tyre 2x .
Prandaj ekuacioni:
(10 + x) (10 - x) = 96
100 - x 2 = 96
x 2 - 4 = 0 (1)
Nga këtu x = 2. Një nga numrat e dëshiruar është 12 , të tjera 8 . Zgjidhje x = -2 sepse Diofanti nuk ekziston, pasi matematika greke dinte vetëm numra pozitivë.
Nëse e zgjidhim këtë problem duke zgjedhur një nga numrat e dëshiruar si të panjohur, atëherë do të vijmë në zgjidhjen e ekuacionit
y(20 - y) = 96,
y 2 - 20 y + 96 = 0. (2)
Është e qartë se Diofanti e thjeshton zgjidhjen duke zgjedhur gjysmëdiferencën e numrave të dëshiruar si të panjohur; ai arrin ta reduktojë problemin në zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik jo të plotë (1).
1.3 Ekuacionet kuadratike në Indi
Problemet për ekuacionet kuadratike gjenden tashmë në traktin astronomik "Aryabhattam", të përpiluar në vitin 499 nga matematikani dhe astronomi indian Aryabhatta. Një tjetër shkencëtar indian, Brahmagupta (shekulli VII), përshkroi rregullin e përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të reduktuara në një formë të vetme kanonike:
ah 2+ b x = c, a > 0. (1)
Në ekuacionin (1), koeficientët, përveç për A, gjithashtu mund të jetë negativ. Rregulli i Brahmagupta-s në thelb përkon me tonën.
Në Indinë e lashtë, konkurset publike në zgjidhjen e problemeve të vështira ishin të zakonshme. Në një nga librat e vjetër indian, thuhet si vijon për konkurse të tilla: "Ashtu si dielli i kalon yjet me shkëlqimin e tij, kështu një person i ditur do të shkëlqejë më shumë se lavdia e tjetrit në mbledhjet publike, duke propozuar dhe zgjidhur probleme algjebrike." Detyrat shpesh ishin të veshura në formë poetike.
Këtu është një nga problemet e matematikanit të famshëm indian të shekullit XII. Bhaskara.
Detyra 13.
"Një tufë e zjarrtë majmunësh dhe dymbëdhjetë në hardhi ...
Duke ngrënë pushtet, u argëtova. Ata filluan të kërcejnë, duke u varur ...
Pjesa e tetë e tyre në një shesh Sa majmunë ishin atje,
Duke u argëtuar në livadh. Më thua, në këtë tufë?
Zgjidhja e Bhaskara tregon se ai dinte për dyvlershmërinë e rrënjëve të ekuacioneve kuadratike (Fig. 3).
Ekuacioni që i korrespondon problemit 13 është:
( x /8) 2 + 12 = x
Bhaskara shkruan nën maskën e:
x 2 - 64x = -768
dhe, për të plotësuar anën e majtë të këtij ekuacioni në një katror, ai i shton të dyja anët 32 2 , duke marrë atëherë:
x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,
(x - 32) 2 = 256,
x - 32 = ± 16,
x 1 = 16, x 2 = 48.
1.4 Ekuacionet kuadratike në el-Khorezmi
Traktati algjebrik i Al-Khorezmi jep një klasifikim të ekuacioneve lineare dhe kuadratike. Autori rendit 6 lloje ekuacionesh, duke i shprehur ato si më poshtë:
1) "Katroret janë të barabartë me rrënjët", d.m.th. sëpatë 2 + c = b X.
2) "Katroret janë të barabartë me numrin", d.m.th. sëpatë 2 = s.
3) "Rrënjët janë të barabarta me numrin", d.m.th. ah = s.
4) "Katroret dhe numrat janë të barabartë me rrënjët", d.m.th. sëpatë 2 + c = b X.
5) "Katroret dhe rrënjët janë të barabarta me numrin", d.m.th. ah 2+ bx = s.
6) "Rrënjët dhe numrat janë të barabartë me katrorë", d.m.th. bx + c \u003d sëpatë 2.
Për el-Kuarizmin, i cili shmangi përdorimin e numrave negativë, termat e secilit prej këtyre ekuacioneve janë shtesa, jo zbritje. Në këtë rast, ekuacionet që nuk kanë zgjidhje pozitive padyshim që nuk merren parasysh. Autori përshkruan metodat për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve, duke përdorur metodat el-xhebr dhe el-muqabala. Vendimet e tij, natyrisht, nuk përkojnë plotësisht me tonat. Për të mos përmendur faktin që është thjesht retorik, duhet theksuar, për shembull, se kur zgjidhet një ekuacion kuadratik jo i plotë i llojit të parë
al-Khorezmi, si të gjithë matematikanët para shekullit të 17-të, nuk e merr parasysh zgjidhjen zero, ndoshta sepse nuk ka rëndësi në probleme specifike praktike. Kur zgjidh ekuacionet e plota kuadratike, al-Khorezmi përcakton rregullat për zgjidhjen, dhe më pas provat gjeometrike, duke përdorur shembuj të veçantë numerikë.
Detyra 14.“Katrori dhe numri 21 janë të barabartë me 10 rrënjë. Gjeni rrënjën" (duke supozuar rrënjën e ekuacionit x 2 + 21 = 10x).
Zgjidhja e autorit shkon diçka si kjo: ndani numrin e rrënjëve në gjysmë, merrni 5, shumëzoni 5 me vetveten, zbritni 21 nga prodhimi, 4 mbeten. Merreni rrënjën e 4, merrni 2. Zbrisni 2 nga 5, ju merrni 3, kjo do të jetë rrënja e dëshiruar. Ose shtoni 2 në 5, e cila do të japë 7, kjo është gjithashtu një rrënjë.
Traktati el-Khorezmi është libri i parë që na ka ardhur, në të cilin në mënyrë sistematike thuhet klasifikimi i ekuacioneve kuadratike dhe jepen formulat për zgjidhjen e tyre.
1.5 Ekuacionet kuadratike në Evropë XIII - XVII shekuj
Formulat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike sipas modelit të al-Khorezmi në Evropë u parashtruan për herë të parë në "Librin e Abacus", shkruar në 1202 nga matematikani italian Leonardo Fibonacci. Kjo vepër voluminoze, e cila pasqyron ndikimin e matematikës, si në vendet e Islamit, ashtu edhe në Greqinë e Lashtë, dallohet si për plotësinë, ashtu edhe për qartësinë e paraqitjes. Autori zhvilloi në mënyrë të pavarur disa shembuj të rinj algjebrikë të zgjidhjes së problemeve dhe ishte i pari në Evropë që iu afrua futjes së numrave negativë. Libri i tij kontribuoi në përhapjen e njohurive algjebrike jo vetëm në Itali, por edhe në Gjermani, Francë dhe vende të tjera evropiane. Shumë probleme nga Libri i Abacus kaluan pothuajse në të gjitha tekstet evropiane të shekujve 16-17. dhe pjesërisht XVIII.
Rregulli i përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike reduktuar në një formë të vetme kanonike:
x 2+ bx = me,
për të gjitha kombinimet e mundshme të shenjave të koeficientëve b , Me u formulua në Evropë vetëm në vitin 1544 nga M. Stiefel.
Vieta ka një derivim të përgjithshëm të formulës për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik, por Vieta njohu vetëm rrënjë pozitive. Matematikanët italianë Tartaglia, Cardano, Bombelli ishin ndër të parët në shekullin e 16-të. Merrni parasysh, përveç rrënjëve pozitive, dhe negative. Vetëm në shekullin XVII. Falë punës së Girardit, Dekartit, Njutonit dhe shkencëtarëve të tjerë, mënyra për të zgjidhur ekuacionet kuadratike merr një pamje moderne.
1.6 Rreth teoremës së Vietës
Teorema që shpreh marrëdhënien midis koeficientëve të një ekuacioni kuadratik dhe rrënjëve të tij, që mban emrin Vieta, u formulua prej tij për herë të parë në 1591 si më poshtë: "Nëse B + D shumëzuar me A - A 2 , e barabartë BD, Kjo A barazohet NË dhe të barabartë D ».
Për të kuptuar Vietën, duhet mbajtur mend këtë A, si çdo zanore, nënkuptonte për të të panjohurën (tonë X), zanoret NË, D- koeficientët për të panjohurën. Në gjuhën e algjebrës moderne, formulimi i Vietës më sipër do të thotë: nëse
(a + b )x - x 2 = ab ,
x 2 - (a + b )x + a b = 0,
x 1 = a, x 2 = b .
Duke shprehur marrëdhënien midis rrënjëve dhe koeficientëve të ekuacioneve me formula të përgjithshme të shkruara duke përdorur simbole, Viet vendosi uniformitet në metodat e zgjidhjes së ekuacioneve. Sidoqoftë, simbolika e Vieta është ende larg nga forma e saj moderne. Ai nuk i njihte numrat negativë, dhe për këtë arsye, kur zgjidhte ekuacionet, ai konsideroi vetëm rastet kur të gjitha rrënjët janë pozitive.
2. Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike
Ekuacionet kuadratike janë themeli mbi të cilin mbështetet ndërtesa madhështore e algjebrës. Ekuacionet kuadratike përdoren gjerësisht në zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive trigonometrike, eksponenciale, logaritmike, irracionale dhe transcendentale. Të gjithë e dimë se si të zgjidhim ekuacionet kuadratike nga shkolla (klasa 8) deri në diplomim.
Kjo temë mund të duket e ndërlikuar në fillim për shkak të shumë formulave jo shumë të thjeshta. Jo vetëm që vetë ekuacionet kuadratike kanë hyrje të gjata, por rrënjët gjenden edhe nëpërmjet diskriminuesit. Gjithsej janë tre formula të reja. Jo shumë e lehtë për t'u mbajtur mend. Kjo është e mundur vetëm pas zgjidhjes së shpeshtë të ekuacioneve të tilla. Atëherë të gjitha formulat do të mbahen mend vetë.
Pamje e përgjithshme e ekuacionit kuadratik
Këtu propozohet shënimi i tyre i qartë, kur së pari shkruhet shkalla më e madhe, dhe më pas - në rend zbritës. Shpesh ka situata kur termat qëndrojnë larg. Atëherë është më mirë të rishkruhet ekuacioni në rend zbritës të shkallës së ndryshores.
Le të prezantojmë shënimin. Ato janë paraqitur në tabelën e mëposhtme.
Nëse i pranojmë këto shënime, të gjitha ekuacionet kuadratike reduktohen në shënimin vijues.
Për më tepër, koeficienti a ≠ 0. Le të shënohet kjo formulë me numrin një.
Kur jepet ekuacioni, nuk është e qartë se sa rrënjë do të jenë në përgjigje. Sepse një nga tre opsionet është gjithmonë e mundur:
- zgjidhja do të ketë dy rrënjë;
- përgjigja do të jetë një numër;
- Ekuacioni nuk ka rrënjë fare.
Dhe ndërsa vendimi nuk është sjellë deri në fund, është e vështirë të kuptohet se cila nga opsionet do të bjerë jashtë në një rast të veçantë.
Llojet e regjistrimeve të ekuacioneve kuadratike
Detyrat mund të kenë hyrje të ndryshme. Ato nuk do të duken gjithmonë si formula e përgjithshme e një ekuacioni kuadratik. Ndonjëherë do t'i mungojnë disa terma. Ajo që u shkrua më lart është ekuacioni i plotë. Nëse hiqni termin e dytë ose të tretë në të, ju merrni diçka tjetër. Këto regjistrime quhen gjithashtu ekuacione kuadratike, vetëm të paplota.
Për më tepër, vetëm termat për të cilët koeficientët "b" dhe "c" mund të zhduken. Numri "a" nuk mund të jetë i barabartë me zero në asnjë rrethanë. Sepse në këtë rast formula kthehet në një ekuacion linear. Formulat për formën jo të plotë të ekuacioneve do të jenë si më poshtë:
Pra, ka vetëm dy lloje, përveç atyre të plota, ka edhe ekuacione kuadratike jo të plota. Formula e parë le të jetë numri dy, dhe e dyta numri tre.
Diskriminuesi dhe varësia e numrit të rrënjëve nga vlera e tij
Ky numër duhet të dihet për të llogaritur rrënjët e ekuacionit. Mund të llogaritet gjithmonë, pavarësisht se cila është formula e ekuacionit kuadratik. Për të llogaritur diskriminuesin, duhet të përdorni barazinë e shkruar më poshtë, e cila do të ketë numrin katër.
Pas zëvendësimit të vlerave të koeficientëve në këtë formulë, mund të merrni numra me shenja të ndryshme. Nëse përgjigja është po, atëherë përgjigja e ekuacionit do të jetë dy rrënjë të ndryshme. Me një numër negativ, rrënjët e ekuacionit kuadratik do të mungojnë. Nëse është e barabartë me zero, përgjigja do të jetë një.
Si zgjidhet një ekuacion i plotë kuadratik?
Në fakt, shqyrtimi i kësaj çështje tashmë ka filluar. Sepse së pari duhet të gjesh diskriminuesin. Pasi të sqarohet se ka rrënjë të ekuacionit kuadratik dhe numri i tyre dihet, duhet të përdorni formulat për variablat. Nëse ka dy rrënjë, atëherë duhet të aplikoni një formulë të tillë.
Meqenëse përmban shenjën "±", do të ketë dy vlera. Shprehja nën shenjën e rrënjës katrore është diskriminuese. Prandaj, formula mund të rishkruhet në një mënyrë tjetër.
Formula pesë. Nga i njëjti regjistrim mund të shihet se nëse diskriminuesi është zero, atëherë të dy rrënjët do të marrin të njëjtat vlera.
Nëse zgjidhja e ekuacioneve kuadratike nuk është përpunuar ende, atëherë është më mirë të shkruani vlerat e të gjithë koeficientëve përpara se të aplikoni formulat diskriminuese dhe të ndryshueshme. Më vonë ky moment nuk do të shkaktojë vështirësi. Por në fillim ka një konfuzion.
Si zgjidhet një ekuacion kuadratik jo i plotë?
Gjithçka është shumë më e thjeshtë këtu. Madje nuk ka nevojë për formula shtesë. Dhe nuk do t'ju duhen ato që tashmë janë shkruar për diskriminuesin dhe të panjohurin.
Së pari, merrni parasysh ekuacionin jo të plotë numër dy. Në këtë barazi, supozohet të merret vlera e panjohur nga kllapa dhe të zgjidhet ekuacioni linear, i cili do të mbetet në kllapa. Përgjigja do të ketë dy rrënjë. E para është domosdoshmërisht e barabartë me zero, sepse ekziston një faktor që përbëhet nga vetë ndryshorja. E dyta fitohet duke zgjidhur një ekuacion linear.
Ekuacioni jo i plotë në numrin tre zgjidhet duke transferuar numrin nga ana e majtë e ekuacionit në të djathtë. Pastaj ju duhet të pjesëtoni me koeficientin përpara të panjohurës. Mbetet vetëm për të nxjerrë rrënjën katrore dhe mos harroni ta shkruani dy herë me shenja të kundërta.
Më poshtë janë disa veprime që ju ndihmojnë të mësoni se si të zgjidhni të gjitha llojet e barazive që kthehen në ekuacione kuadratike. Ato do ta ndihmojnë nxënësin të shmangë gabimet për shkak të pavëmendjes. Këto mangësi janë shkaku i notave të dobëta gjatë studimit të temës së gjerë “Ekuacionet kuadrike (klasa 8)”. Më pas, këto veprime nuk do të kenë nevojë të kryhen vazhdimisht. Sepse do të ketë një zakon të qëndrueshëm.
- Së pari ju duhet të shkruani ekuacionin në formë standarde. Kjo do të thotë, së pari termi me shkallën më të madhe të ndryshores, dhe më pas - pa shkallën dhe i fundit - vetëm një numër.
- Nëse një minus shfaqet para koeficientit "a", atëherë mund të komplikojë punën për një fillestar për të studiuar ekuacionet kuadratike. Është më mirë ta heqësh qafe. Për këtë qëllim, e gjithë barazia duhet të shumëzohet me "-1". Kjo do të thotë që të gjithë termat do të ndryshojnë shenjën në të kundërtën.
- Në të njëjtën mënyrë, rekomandohet të hiqni qafe fraksionet. Thjesht shumëzojeni ekuacionin me faktorin e duhur në mënyrë që emëruesit të anulohen.
Shembuj
Kërkohet të zgjidhen ekuacionet e mëposhtme kuadratike:
x 2 - 7x \u003d 0;
15 - 2x - x 2 \u003d 0;
x 2 + 8 + 3x = 0;
12x + x 2 + 36 = 0;
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).
Ekuacioni i parë: x 2 - 7x \u003d 0. Është i paplotë, prandaj zgjidhet siç përshkruhet për formulën numër dy.
Pas kllapave, rezulton: x (x - 7) \u003d 0.
Rrënja e parë merr vlerën: x 1 \u003d 0. E dyta do të gjendet nga ekuacioni linear: x - 7 \u003d 0. Është e lehtë të shihet se x 2 \u003d 7.
Ekuacioni i dytë: 5x2 + 30 = 0. Përsëri i paplotë. Vetëm ajo zgjidhet siç përshkruhet për formulën e tretë.
Pas transferimit të 30 në anën e djathtë të ekuacionit: 5x 2 = 30. Tani ju duhet të ndani me 5. Rezulton: x 2 = 6. Përgjigjet do të jenë numra: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.
Ekuacioni i tretë: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Këtu dhe më poshtë, zgjidhja e ekuacioneve kuadratike do të fillojë duke i rishkruar ato në një formë standarde: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Tani është koha për të përdorur të dytën këshillë e dobishme dhe shumëzoni gjithçka me minus një. Rezulton x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Sipas formulës së katërt, duhet të llogaritni diskriminuesin: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Është një numër pozitiv. Nga sa u tha më sipër, rezulton se ekuacioni ka dy rrënjë. Ato duhet të llogariten sipas formulës së pestë. Sipas tij, rezulton se x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Pastaj x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.
Ekuacioni i katërt x 2 + 8 + 3x \u003d 0 konvertohet në këtë: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Diskriminuesi i tij është i barabartë me këtë vlerë: -23. Meqenëse ky numër është negativ, përgjigja për këtë detyrë do të jetë hyrja e mëposhtme: "Nuk ka rrënjë".
Ekuacioni i pestë 12x + x 2 + 36 = 0 duhet të rishkruhet si më poshtë: x 2 + 12x + 36 = 0. Pas zbatimit të formulës për diskriminuesin, fitohet numri zero. Kjo do të thotë që do të ketë një rrënjë, përkatësisht: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.
Ekuacioni i gjashtë (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) kërkon transformime, të cilat konsistojnë në faktin se duhet të sillni terma të ngjashëm, përpara se të hapni kllapat. Në vend të të parës do të ketë një shprehje të tillë: x 2 + 2x + 1. Pas barazisë, kjo hyrje do të shfaqet: x 2 + 3x + 2. Pasi të numërohen termat e ngjashëm, ekuacioni do të marrë formën: x 2 - x \u003d 0. Është bërë i paplotë. E ngjashme me të tashmë është konsideruar pak më e lartë. Rrënjët e kësaj do të jenë numrat 0 dhe 1.
Le të jepet ekuacioni kuadratik ax 2 + bx + c = 0.
Zbatojmë në boshtin e trinomit katror 2 + bx + c të njëjtat transformime që kemi kryer në § 13 kur vërtetuam teoremën se grafiku i funksionit y \u003d ax 2 + bx + c është një parabolë.
Ne kemi
Zakonisht, shprehja b 2 - 4ac shënohet me shkronjën D dhe quhet diskriminues i ekuacionit kuadratik ax 2 + bx + c \u003d 0 (ose diskriminuesi i sëpatës së trinomit katror + bx + c).
Kështu
Prandaj, ekuacioni kuadratik ax 2 + i tyre + c \u003d O mund të rishkruhet si
Çdo ekuacion kuadratik mund të shndërrohet në formën (1), e cila është e përshtatshme, siç do ta shohim tani, për të përcaktuar numrin e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik dhe për të gjetur këto rrënjë.
Dëshmi. Nëse D< 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время левая часть уравнения (1) при любых значениях х принимает неотрицательные значения. Значит, нет ни одного значения х, которое удовлетворяло бы уравнению (1), а потому уравнение (1) не имеет корней.
Shembulli 1 Zgjidheni ekuacionin 2x 2 + 4x + 7 = 0.
Zgjidhje. Këtu a = 2, b = 4, c = 7,
D \u003d b 2 -4ac \u003d 4 2 .
4.
2.
7 = 16-56 = -40.
Që nga D< 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.
Dëshmi. Nëse D = 0, atëherë ekuacioni (1) merr formën
është rrënja e vetme e ekuacionit.
Vërejtje 1.
A ju kujtohet se x \u003d - është abshisa e kulmit të parabolës, e cila shërben si grafiku i funksionit y \u003d ax 2 + ux + c? Pse eshte kjo
vlera doli të jetë rrënja e vetme e ekuacionit kuadratik sëpatë 2 + x + c - 0? "Arkivol" hapet thjesht: nëse D është 0, atëherë, siç kemi vendosur më parë,
Grafiku i të njëjtit funksion 
është një parabolë me kulm në një pikë (shih, për shembull, Fig. 98). Prandaj, abshisa e kulmit të parabolës dhe rrënja e vetme e ekuacionit kuadratik për D = 0 janë të njëjtin numër.
Shembulli 2 Zgjidheni ekuacionin 4x 2 - 20x + 25 = 0.
Zgjidhje. Këtu a \u003d 4, b \u003d -20, c \u003d 25, D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-20) 2 - 4. 4 . 25 = 400 - 400 = 0.
Meqenëse D = 0, atëherë nga teorema 2 ky ekuacion kuadratik ka një rrënjë. Kjo rrënjë gjendet nga formula
Përgjigje: 2.5.
Vërejtje 2.
Vini re se 4x2 - 20x +25 është një katror i përsosur: 4x2 - 20x + 25 = (2x - 5)2.
Nëse do ta vëmë re menjëherë këtë, do ta zgjidhnim ekuacionin si ky: (2x - 5) 2 \u003d 0, që do të thotë 2x - 5 \u003d 0, nga i cili marrim x \u003d 2.5. Në përgjithësi, nëse D = 0, atëherë
sëpatë 2 + bx + c = - e vumë re këtë më herët në vërejtjen 1.
Nëse D > 0, atëherë ekuacioni kuadratik ax 2 + bx + c \u003d 0 ka dy rrënjë, të cilat gjenden me formula
Dëshmi. Ekuacionin kuadratik ax 2 + b x + c = 0 e rishkruajmë në formën (1)
Le të vendosim 
Me supozim, D > 0, që do të thotë se ana e djathtë e ekuacionit është një numër pozitiv. Pastaj nga ekuacioni (2) marrim atë
Pra, ekuacioni i dhënë kuadratik ka dy rrënjë:
Vërejtje 3.
Në matematikë, rrallë ndodh që termi i futur të mos ketë, në mënyrë figurative, sfond të përditshëm. Le të marrim një të re
koncepti është diskriminues. Mos harroni fjalën "diskriminim". Çfarë do të thotë? Do të thotë poshtërim i disave dhe lartësim i të tjerëve, d.m.th. qëndrime të ndryshme
nie të pudya të ndryshme. Të dyja fjalët (si diskriminues ashtu edhe diskriminim) vijnë nga latinishtja discriminans - "dallues". Diskriminuesi dallon ekuacionet kuadratike sipas numrit të rrënjëve.
Shembulli 3 Zgjidheni ekuacionin 3x 2 + 8x - 11 = 0.
Zgjidhje. Këtu a = 3, b = 8, c = - 11,
D \u003d b 2 - 4ac \u003d 8 2 - 4. 3 . (-11) = 64 + 132 = 196.
Meqenëse D > 0, atëherë nga teorema 3 ky ekuacion kuadratik ka dy rrënjë. Këto rrënjë gjenden me formula (3)
Në fakt, ne kemi zhvilluar rregullin e mëposhtëm:
Rregulla për zgjidhjen e ekuacioneve
sëpatë 2 + bx + c = 0
Ky rregull është universal, ai zbatohet si për ekuacionet kuadratike të plota ashtu edhe për ato jo të plota. Sidoqoftë, ekuacionet kuadratike jo të plota zakonisht nuk zgjidhen sipas këtij rregulli; është më e përshtatshme t'i zgjidhni ato siç bëmë në paragrafin e mëparshëm.
Shembulli 4 Zgjidh ekuacionet:
a) x 2 + Zx - 5 \u003d 0; b) - 9x 2 + 6x - 1 = 0; c) 2x 2 -x + 3,5 = 0.
Zgjidhje a) Këtu a = 1, b = 3, c = -5,
D \u003d b 2 - 4ac \u003d Z 2 - 4. 1 . (- 5) = 9 + 20 = 29.
Meqenëse D > 0, ky ekuacion kuadratik ka dy rrënjë. Këto rrënjë gjenden me formula (3)
B) Siç tregon përvoja, është më e përshtatshme të trajtohen ekuacionet kuadratike në të cilat koeficienti kryesor është pozitiv. Prandaj, së pari shumëzojmë të dy anët e ekuacionit me -1, marrim
9x 2 - 6x + 1 = 0.
Këtu një \u003d 9, b \u003d -6, c \u003d 1, D \u003d b 2 - 4ac \u003d 36 - 36 \u003d 0.
Meqenëse D = 0, ky ekuacion kuadratik ka një rrënjë. Kjo rrënjë gjendet me formulën x \u003d -. Do të thotë,
Ky ekuacion mund të zgjidhej në një mënyrë tjetër: pasi
9x 2 - 6x + 1 \u003d (Zx - IJ, atëherë marrim ekuacionin (3x - I) 2 \u003d 0, nga i cili gjejmë Zx - 1 \u003d 0, d.m.th. x \u003d.
c) Këtu një \u003d 2, b \u003d - 1, c \u003d 3.5, D \u003d b 2 - 4ac \u003d 1 - 4. 2. 3.5= 1 - 28 = - 27. Meqenëse D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.
Matematikanët janë njerëz praktik, ekonomikë. Pse, thonë ata, përdorni një rregull kaq të gjatë për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik, është më mirë të shkruani menjëherë një formulë të përgjithshme:
Nëse rezulton se diskriminuesi D \u003d b 2 - 4ac është një numër negativ, atëherë formula e shkruar nuk ka kuptim (një numër negativ është nën shenjën e rrënjës katrore), që do të thotë se nuk ka rrënjë. Nëse rezulton se diskriminuesi është i barabartë me zero, atëherë marrim
Kjo është, një rrënjë (ata gjithashtu thonë se ekuacioni kuadratik në këtë rast ka dy rrënjë identike:
Së fundi, nëse rezulton se b 2 - 4ac > 0, atëherë fitohen dy rrënjë x 1 dhe x 2, të cilat llogariten duke përdorur të njëjtat formula (3) siç tregohet më sipër.
Vetë numri në këtë rast është pozitiv (si çdo rrënjë katrore e një numri pozitiv), dhe shenja e dyfishtë përpara tij do të thotë që në një rast (kur gjendet x 1) ky numër pozitiv i shtohet numrit - b, dhe në rastin tjetër (kur gjeni x 2) është një numër pozitiv ju-
lexo nga numri - b.
Ju keni lirinë e zgjedhjes. Nëse dëshironi, zgjidhni ekuacionin kuadratik në detaje duke përdorur rregullin e formuluar më sipër; nëse dëshironi, shkruani menjëherë formulën (4) dhe përdorni atë për të nxjerrë përfundimet e nevojshme.
Shembulli 5. Zgjidh ekuacionet:
Zgjidhja, a) Sigurisht, formulat (4) ose (3) mund të përdoren, duke pasur parasysh se në këtë rast 
Por pse të kryeni veprime me thyesa kur është më e lehtë dhe, më e rëndësishmja, më e këndshme të merreni me numra të plotë? Le të heqim qafe emëruesit. Për ta bërë këtë, ju duhet të shumëzoni të dy pjesët e ekuacionit me 12, domethënë me emëruesin më të vogël të përbashkët të fraksioneve që shërbejnë si koeficientë të ekuacionit. Marr
prej nga 8x 2 + 10x - 7 = 0.
Dhe tani ne përdorim formulën (4)
B) Ne kemi përsëri një ekuacion me koeficientë thyesorë: a \u003d 3, b \u003d - 0,2, c \u003d 2,77. Shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit me 100, atëherë marrim një ekuacion me koeficientë të plotë:
300x 2 - 20x + 277 = 0.
Më pas, ne përdorim formulën (4):
Një supozim i thjeshtë tregon se diskriminuesi (shprehja radikale) është një numër negativ. Pra, ekuacioni nuk ka rrënjë.
Shembulli 6 zgjidhin ekuacionin 
Zgjidhje. Këtu, ndryshe nga shembulli i mëparshëm, preferohet të veprohet sipas rregullit, dhe jo sipas formulës së reduktuar (4).
Ne kemi një \u003d 5, b \u003d -, c \u003d 1, D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-) 2 - 4. 5 . 1 = 60 - 20 = 40. Meqenëse D > 0, ekuacioni kuadratik ka dy rrënjë, të cilat do t'i kërkojmë duke përdorur formulat (3)
Shembulli 7 zgjidhin ekuacionin
x 2 - (2p + 1)x + (p 2 + p-2) = 0
Zgjidhje. Ky ekuacion kuadratik ndryshon nga të gjitha ekuacionet kuadratike të shqyrtuara deri më tani në atë që koeficientët nuk janë numra specifikë, por shprehje fjalë për fjalë. Ekuacione të tilla quhen ekuacione me koeficientë shkronjash ose ekuacione me parametra. Në këtë rast, parametri (shkronja) p përfshihet në koeficientin e dytë dhe termin e lirë të ekuacionit.
Le të gjejmë diskriminuesin:
Shembulli 8. Zgjidheni ekuacionin px 2 + (1 - p) x - 1 = 0.
Zgjidhje. Ky është gjithashtu një ekuacion me parametrin p, por, ndryshe nga shembulli i mëparshëm, ai nuk mund të zgjidhet menjëherë duke përdorur formulat (4) ose (3). Fakti është se këto formula janë të zbatueshme për ekuacionet kuadratike, por ne ende nuk mund ta themi këtë për një ekuacion të caktuar. Në të vërtetë, çka nëse p = 0? Pastaj
ekuacioni do të marrë formën 0 . x 2 + (1-0)x- 1 \u003d 0, d.m.th. x - 1 \u003d 0, nga e cila marrim x \u003d 1. Tani, nëse e dini me siguri këtë, atëherë mund të aplikoni formulat e rrënjëve të ekuacionit kuadratik:
Ekuacioni kuadratik - i lehtë për t'u zgjidhur! *Më tej në tekst “KU”. Miq, duket se në matematikë mund të jetë më e lehtë sesa zgjidhja e një ekuacioni të tillë. Por diçka më tha se shumë njerëz kanë probleme me të. Vendosa të shoh sa përshtypje jep Yandex për kërkesë në muaj. Ja çfarë ndodhi, hidhini një sy:
Çfarë do të thotë? Kjo do të thotë se rreth 70,000 njerëz në muaj kërkojnë këtë informacion, dhe kjo është verë, dhe çfarë do të ndodhë gjatë vitit shkollor - do të ketë dy herë më shumë kërkesa. Kjo nuk është për t'u habitur, sepse ata djem dhe vajza që kanë mbaruar prej kohësh shkollën dhe po përgatiten për provim, po kërkojnë këtë informacion, dhe nxënësit e shkollës gjithashtu po përpiqen të rifreskojnë kujtesën e tyre.
Përkundër faktit se ka shumë faqe që tregojnë se si të zgjidhet ky ekuacion, vendosa gjithashtu të kontribuoj dhe të publikoj materialin. Së pari, dua që vizitorët të vijnë në faqen time me këtë kërkesë; së dyti, në artikuj të tjerë, kur të dalë fjalimi "KU", do të jap një lidhje me këtë artikull; së treti, unë do t'ju tregoj pak më shumë për zgjidhjen e tij sesa thuhet zakonisht në faqet e tjera. Le të fillojmë! Përmbajtja e artikullit:
Një ekuacion kuadratik është një ekuacion i formës:
ku koeficientët a,bdhe me numra arbitrar, me a≠0.
Në kursin shkollor, materiali jepet në formën e mëposhtme - ndarja e ekuacioneve në tre klasa bëhet me kusht:
1. Kanë dy rrënjë.
2. * Kanë vetëm një rrënjë.
3. Nuk kanë rrënjë. Këtu vlen të theksohet se ato nuk kanë rrënjë të vërteta
Si llogariten rrënjët? Vetëm!
Ne llogarisim diskriminuesin. Nën këtë fjalë "të tmerrshme" qëndron një formulë shumë e thjeshtë:
Formulat e rrënjës janë si më poshtë:
*Këto formula duhet të njihen përmendësh.
Ju menjëherë mund të shkruani dhe zgjidhni:
Shembull:
1. Nëse D > 0, atëherë ekuacioni ka dy rrënjë.
2. Nëse D = 0, atëherë ekuacioni ka një rrënjë.
3. Nëse D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Le të shohim ekuacionin:
Me këtë rast, kur diskriminuesi është zero, kursi shkollor thotë se fitohet një rrënjë, këtu është e barabartë me nëntë. Është e drejtë, është, por ...
Ky përfaqësim është disi i pasaktë. Në fakt, ka dy rrënjë. Po, po, mos u habitni, rezulton dy rrënjë të barabarta, dhe për të qenë matematikisht e saktë, atëherë në përgjigje duhet të shkruhen dy rrënjë:
x 1 = 3 x 2 = 3
Por kjo është kështu - një digresion i vogël. Në shkollë, mund të shkruani dhe të thoni se ka vetëm një rrënjë.
Tani shembulli i mëposhtëm:
Siç e dimë, rrënja e një numri negativ nuk nxirret, kështu që nuk ka zgjidhje në këtë rast.
Ky është i gjithë procesi i vendimit.
Funksioni kuadratik.
Ja se si duket gjeometrikisht zgjidhja. Kjo është jashtëzakonisht e rëndësishme për t'u kuptuar (në të ardhmen, në një nga artikujt, do të analizojmë në detaje zgjidhjen e një pabarazie kuadratike).
Ky është një funksion i formës:
ku x dhe y janë variabla
a, b, c janë dhënë numra, ku a ≠ 0
Grafiku është një parabolë:
Domethënë, rezulton se duke zgjidhur një ekuacion kuadratik me "y" të barabartë me zero, gjejmë pikat e prerjes së parabolës me boshtin x. Mund të ketë dy nga këto pika (diskriminuesi është pozitiv), një (diskriminuesi është zero) ose asnjë (diskriminuesi është negativ). Më shumë rreth funksionit kuadratik Ju mund të shikoni artikull nga Inna Feldman.
Konsideroni shembuj:
Shembulli 1: Vendosni 2x 2 +8 x–192=0
a=2 b=8 c= -192
D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
Përgjigje: x 1 = 8 x 2 = -12
* Ju mund ta ndani menjëherë anën e majtë dhe të djathtë të ekuacionit me 2, domethënë ta thjeshtoni atë. Llogaritjet do të jenë më të lehta.
Shembulli 2: Vendosni x2–22 x+121 = 0
a=1 b=-22 c=121
D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0
Ne morëm atë x 1 \u003d 11 dhe x 2 \u003d 11
Në përgjigje, lejohet të shkruhet x = 11.
Përgjigje: x = 11
Shembulli 3: Vendosni x 2 –8x+72 = 0
a=1 b= -8 c=72
D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224
Diskriminuesi është negativ, nuk ka zgjidhje në numra realë.
Përgjigje: nuk ka zgjidhje
Diskriminuesi është negativ. Ka zgjidhje!
Këtu do të flasim për zgjidhjen e ekuacionit në rastin kur fitohet një diskriminues negativ. A dini ndonjë gjë për numrat kompleks? Nuk do të hyj në detaje këtu se pse dhe ku u ngritën dhe cili është roli dhe nevoja e tyre specifike në matematikë, kjo është një temë për një artikull të madh të veçantë.
Koncepti i një numri kompleks.
Pak teori.
Një numër kompleks z është një numër i formës
z = a + bi
ku a dhe b janë numra realë, i është e ashtuquajtura njësi imagjinare.
a+bi është një numër i vetëm, jo një shtesë.
Njësia imagjinare është e barabartë me rrënjën e minus një:
Tani merrni parasysh ekuacionin:
Merrni dy rrënjë të konjuguara.
Ekuacion kuadratik jo i plotë.
Konsideroni raste të veçanta, kjo është kur koeficienti "b" ose "c" është i barabartë me zero (ose të dy janë të barabartë me zero). Ato zgjidhen lehtësisht pa asnjë dallim.
Rasti 1. Koeficienti b = 0.
Ekuacioni merr formën:
Le të transformojmë:
Shembull:
4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2
Rasti 2. Koeficienti c = 0.
Ekuacioni merr formën:
Transformoni, faktorizoni:
*Produkti është i barabartë me zero kur të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero.
Shembull:
9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ose x–5 =0
x 1 = 0 x 2 = 5
Rasti 3. Koeficientët b = 0 dhe c = 0.
Këtu është e qartë se zgjidhja e ekuacionit do të jetë gjithmonë x = 0.
Vetitë e dobishme dhe modelet e koeficientëve.
Ka veti që lejojnë zgjidhjen e ekuacioneve me koeficientë të mëdhenj.
Ax 2 + bx+ c=0 barazisë
a + b+ c = 0, Se
- nëse për koeficientët e ekuacionit Ax 2 + bx+ c=0 barazisë
a+ me =b, Se
Këto veti ndihmojnë në zgjidhjen e një lloji të caktuar ekuacioni.
Shembulli 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0
Shuma e koeficientëve është 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, pra
Shembulli 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0
Barazia a+ me =b, Do të thotë
Rregullsitë e koeficientëve.
1. Nëse në ekuacionin ax 2 + bx + c \u003d 0 koeficienti "b" është (a 2 +1), dhe koeficienti "c" është numerikisht i barabartë me koeficientin "a", atëherë rrënjët e tij janë
sëpatë 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.
Shembull. Merrni parasysh ekuacionin 6x 2 +37x+6 = 0.
x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.
2. Nëse në ekuacionin ax 2 - bx + c \u003d 0, koeficienti "b" është (a 2 +1), dhe koeficienti "c" është numerikisht i barabartë me koeficientin "a", atëherë rrënjët e tij janë
sëpatë 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.
Shembull. Merrni parasysh ekuacionin 15x 2 –226x +15 = 0.
x 1 = 15 x 2 = 1/15.
3. Nëse në ekuacion sëpatë 2 + bx - c = 0 koeficienti "b" barazohet (a 2 – 1), dhe koeficienti “c” numerikisht i barabartë me koeficientin "a", atëherë rrënjët e tij janë të barabarta
sëpatë 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.
Shembull. Merrni parasysh ekuacionin 17x 2 + 288x - 17 = 0.
x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.
4. Nëse në ekuacionin ax 2 - bx - c \u003d 0, koeficienti "b" është i barabartë me (a 2 - 1), dhe koeficienti c është numerikisht i barabartë me koeficientin "a", atëherë rrënjët e tij janë
sëpatë 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.
Shembull. Merrni parasysh ekuacionin 10x2 - 99x -10 = 0.
x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10
Teorema e Vietës.
Teorema e Vieta është emëruar sipas matematikanit të famshëm francez Francois Vieta. Duke përdorur teoremën e Vietës, mund të shprehet shuma dhe prodhimi i rrënjëve të një KU arbitrare në termat e koeficientëve të saj.
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
Në total, numri 14 jep vetëm 5 dhe 9. Këto janë rrënjët. Me një aftësi të caktuar, duke përdorur teoremën e paraqitur, mund të zgjidhni shumë ekuacione kuadratike menjëherë me gojë.
Teorema e Vieta-s, për më tepër. i përshtatshëm sepse pas zgjidhjes së ekuacionit kuadratik në mënyrën e zakonshme (nëpërmjet diskriminuesit), mund të kontrollohen rrënjët që rezultojnë. Unë rekomandoj ta bëni këtë gjatë gjithë kohës.
METODA E TRANSFERIMIT
Me këtë metodë, koeficienti "a" shumëzohet me termin e lirë, sikur i "transferohet" atij, prandaj quhet mënyra e transferimit. Kjo metodë përdoret kur rrënjët e një ekuacioni mund të gjenden lehtësisht duke përdorur teoremën e Vieta-s dhe, më e rëndësishmja, kur diskriminuesi është një katror i saktë.
Nëse A± b+c≠ 0, atëherë përdoret teknika e transferimit, për shembull:
2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)
Sipas teoremës Vieta në ekuacionin (2), është e lehtë të përcaktohet se x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1
Rrënjët rezultuese të ekuacionit duhet të ndahen me 2 (pasi të dy u "hedhën" nga x 2), marrim
x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.
Cili është arsyetimi? Shihni se çfarë po ndodh.
Diskriminuesit e ekuacioneve (1) dhe (2) janë:
Nëse shikoni rrënjët e ekuacioneve, atëherë merren vetëm emërues të ndryshëm, dhe rezultati varet saktësisht nga koeficienti në x 2:
Rrënjët e dyta (të modifikuara) janë 2 herë më të mëdha.
Prandaj, rezultatin e ndajmë me 2.
*Nëse rrotullojmë tre të një lloji, atëherë rezultatin e ndajmë me 3, e kështu me radhë.
Përgjigje: x 1 = 5 x 2 = 0,5
sq. ur-dmth dhe provimi.
Do të them shkurt për rëndësinë e saj - DUHET TË MUND TË VENDOSHET shpejt dhe pa u menduar, duhet të dini përmendësh formulat e rrënjëve dhe diskriminuesin. Shumë nga detyrat që janë pjesë e detyrave USE zbresin në zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik (përfshirë ato gjeometrike).
Çfarë vlen të theksohet!
1. Forma e ekuacionit mund të jetë "implicit". Për shembull, hyrja e mëposhtme është e mundur:
15+ 9x 2 - 45x = 0 ose 15x+42+9x 2 - 45x=0 ose 15 -5x+10x 2 = 0.
Ju duhet ta sillni atë në një formë standarde (në mënyrë që të mos ngatërroheni gjatë zgjidhjes).
2. Mos harroni se x është një vlerë e panjohur dhe mund të shënohet me çdo shkronjë tjetër - t, q, p, h dhe të tjera.
Video mësimi 2: Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike
Ligjërata: Ekuacionet kuadratike
Ekuacioni
Ekuacioni- kjo është një lloj barazie, në shprehjet e së cilës ka një ndryshore.
zgjidhin ekuacionin- do të thotë të gjesh një numër të tillë në vend të një ndryshoreje që do ta çojë atë në barazinë e saktë.
Një ekuacion mund të ketë një zgjidhje, disa ose aspak.
Për të zgjidhur çdo ekuacion, ai duhet të thjeshtohet sa më shumë që të jetë e mundur në formën:
Linear: a*x = b;
Sheshi: a*x 2 + b*x + c = 0.
Kjo do të thotë, çdo ekuacion para zgjidhjes duhet të shndërrohet në një formë standarde.
Çdo ekuacion mund të zgjidhet në dy mënyra: analitike dhe grafike.
Në grafik, zgjidhja e ekuacionit konsiderohet të jenë pikat në të cilat grafiku pret boshtin x.
Ekuacionet kuadratike
Një ekuacion mund të quhet kuadratik nëse, kur thjeshtohet, merr formën:
a*x 2 + b*x + c = 0.
Ku a, b, c janë koeficientë të ekuacionit që ndryshojnë nga zero. A "X"- rrënja e ekuacionit. Besohet se një ekuacion kuadratik ka dy rrënjë ose mund të mos ketë fare një zgjidhje. Rrënjët që rezultojnë mund të jenë të njëjta.
"A"- koeficienti që qëndron përballë rrënjës në katror.
"b"- qëndron përpara të panjohurës në shkallën e parë.
"Me"- termi i lirë i ekuacionit.
Nëse, për shembull, kemi një ekuacion të formës:
2x 2 -5x+3=0
Në të, "2" është koeficienti në termin më të lartë të ekuacionit, "-5" është koeficienti i dytë dhe "3" është termi i lirë.
Zgjidhja e një ekuacioni kuadratik
Ka shumë mënyra për të zgjidhur një ekuacion kuadratik. Megjithatë, në lëndën e matematikës shkollore, zgjidhja studiohet duke përdorur teoremën Vieta, si dhe duke përdorur diskriminuesin.
Zgjidhje diskriminuese:
Kur zgjidhni duke përdorur këtë metodë, është e nevojshme të llogaritni diskriminuesin duke përdorur formulën:
Nëse gjatë llogaritjeve keni marrë se diskriminuesi është më i vogël se zero, kjo do të thotë se ky ekuacion nuk ka zgjidhje.
Nëse diskriminuesi është zero, atëherë ekuacioni ka dy zgjidhje identike. Në këtë rast, polinomi mund të shembet sipas formulës së shkurtuar të shumëzimit në katrorin e shumës ose diferencës. Pastaj zgjidhni atë si një ekuacion linear. Ose përdorni formulën:
Nëse diskriminuesi është më i madh se zero, atëherë duhet të përdoret metoda e mëposhtme:
Teorema e Vietës
Nëse ekuacioni zvogëlohet, domethënë, koeficienti në termin më të lartë është i barabartë me një, atëherë mund të përdorni Teorema e Vietës.
Pra, le të themi se ekuacioni është:
Rrënjët e ekuacionit gjenden si më poshtë:
Ekuacion kuadratik jo i plotë
Ekzistojnë disa opsione për marrjen e një ekuacioni kuadratik jo të plotë, forma e të cilit varet nga prania e koeficientëve.
1. Nëse koeficienti i dytë dhe i tretë janë të barabartë me zero (b=0, c=0), atëherë ekuacioni kuadratik do të duket si ky:
Ky ekuacion do të ketë një zgjidhje unike. Barazia do të jetë e vërtetë vetëm nëse zgjidhja e ekuacionit është zero.
Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Karakteristikat e elementit të karbonit dhe vetitë kimike