Integral i caktuar. Si të llogarisni sipërfaqen e një figure

Le të vazhdojmë të shqyrtojmë aplikimet e llogaritjes integrale. Në këtë mësim do të analizojmë detyrën tipike dhe më të zakonshme - si të përdorni një integral të caktuar për të llogaritur sipërfaqen e një figure të rrafshët. Më në fund, ata që kërkojnë kuptim në matematikën e lartë - le ta gjejnë atë. Ju kurrë nuk e dini. Në jetën reale, do t'ju duhet të përafroni një komplot dacha duke përdorur funksione elementare dhe të gjeni zonën e saj duke përdorur një integral të caktuar.

Për të zotëruar me sukses materialin, duhet:

1) Kuptoni integralin e pacaktuar të paktën në një nivel të ndërmjetëm. Kështu, dummies duhet së pari të lexojnë mësimin Jo.

2) Të jetë në gjendje të zbatojë formulën Njuton-Leibniz dhe të llogarisë integralin e caktuar. Mund të krijoni marrëdhënie të ngrohta miqësore me integrale të caktuara në faqe Integral i caktuar. Shembuj zgjidhjesh.

Në fakt, për të gjetur sipërfaqen e një figure, nuk ju nevojitet aq shumë njohuri për integralin e pacaktuar dhe të caktuar. Detyra "llogaritja e zonës duke përdorur një integral të caktuar" përfshin gjithmonë ndërtimin e një vizatimi, kështu që njohuritë tuaja dhe aftësitë e vizatimit do të jenë një çështje shumë më e ngutshme. Në këtë drejtim, është e dobishme të rifreskoni kujtesën tuaj për grafikët e funksioneve themelore elementare dhe, së paku, të jeni në gjendje të ndërtoni një vijë të drejtë, parabolë dhe hiperbolë. Kjo mund të bëhet (për shumë është e nevojshme) me ndihmën e materialit metodologjik dhe një artikulli mbi transformimet gjeometrike të grafikëve.

Në fakt, të gjithë kanë qenë të njohur me detyrën e gjetjes së zonës duke përdorur një integral të caktuar që në shkollë, dhe ne nuk do të shkojmë shumë më larg se programi shkollor. Ky artikull mund të mos kishte ekzistuar fare, por fakti është se problemi shfaqet në 99 raste nga 100, kur një student vuan nga një shkollë e urryer dhe zotëron me entuziazëm një kurs për matematikën e lartë.

Materialet e këtij seminari janë paraqitur thjesht, në detaje dhe me një minimum teorie.

Le të fillojmë me një trapezoid të lakuar.

Trapezoid lakorështë një figurë e sheshtë e kufizuar nga një bosht, vija të drejta dhe grafiku i një funksioni të vazhdueshëm në një interval që nuk ndryshon shenjë në këtë interval. Le të gjendet kjo shifër jo më pak boshti x:

Pastaj sipërfaqja e një trapezi lakor është numerikisht e barabartë me një integral të caktuar. Çdo integral i caktuar (që ekziston) ka një kuptim shumë të mirë gjeometrik. Në mësim Integral i caktuar. Shembuj zgjidhjesh Thashë se një integral i caktuar është një numër. Dhe tani është koha për të theksuar një tjetër fakt të dobishëm. Nga pikëpamja e gjeometrisë, integrali i caktuar është SIPËRMARRJA.

Kjo eshte, integrali i caktuar (nëse ekziston) korrespondon gjeometrikisht me sipërfaqen e një figure të caktuar. Për shembull, merrni parasysh integralin e caktuar. Integrandi përcakton një kurbë në rrafshin e vendosur mbi bosht (ata që dëshirojnë mund të bëjnë një vizatim), dhe vetë integrali i caktuar është numerikisht i barabartë me sipërfaqen e trapezoidit lakor përkatës.

Shembulli 1

Kjo është një deklaratë tipike e detyrës. Pika e parë dhe më e rëndësishme në vendim është ndërtimi i një vizatimi. Për më tepër, vizatimi duhet të ndërtohet E DREJTË.

Kur ndërtoni një vizatim, unë rekomandoj rendin e mëposhtëm: ne fillimështë më mirë të ndërtohen të gjitha vijat e drejta (nëse ekzistojnë) dhe vetëm Pastaj– parabolat, hiperbolat, grafikët e funksioneve të tjera. Është më fitimprurëse të ndërtosh grafikët e funksioneve pikë për pikë, teknika e ndërtimit pikë për pikë mund të gjendet në materialin referues Grafikët dhe vetitë e funksioneve elementare. Aty mund të gjeni gjithashtu material shumë të dobishëm për mësimin tonë - si të ndërtoni shpejt një parabolë.

Në këtë problem, zgjidhja mund të duket kështu.
Le të vizatojmë vizatimin (vini re se ekuacioni përcakton boshtin):

Unë nuk do të hijesh trapezin e lakuar, këtu është e qartë se për cilën zonë po flasim. Zgjidhja vazhdon kështu:

Në segment ndodhet grafiku i funksionit mbi bosht, Kjo është arsyeja pse:

Përgjigje:

Kush ka vështirësi në llogaritjen e integralit të caktuar dhe zbatimin e formulës Njuton-Leibniz , referojuni ligjëratës Integral i caktuar. Shembuj zgjidhjesh.

Pas përfundimit të detyrës, është gjithmonë e dobishme të shikoni vizatimin dhe të kuptoni nëse përgjigja është e vërtetë. Në këtë rast, ne numërojmë numrin e qelizave në vizatim "me sy" - mirë, do të jenë rreth 9, duket të jetë e vërtetë. Është absolutisht e qartë se nëse marrim, të themi, përgjigjen: 20 njësi katrore, atëherë është e qartë se diku është bërë një gabim - 20 qeliza padyshim nuk përshtaten në figurën në fjalë, më së shumti një duzinë. Nëse përgjigja është negative, atëherë edhe detyra është zgjidhur gabimisht.

Shembulli 2

Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija, , dhe bosht

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit.

Çfarë duhet të bëni nëse ndodhet trapezi i lakuar nën bosht?

Shembulli 3

Llogaritni sipërfaqen e figurës të kufizuar nga vijat dhe boshtet e koordinatave.

Zgjidhje: Le të bëjmë një vizatim:

Nëse gjendet një trapez i lakuar nën bosht(ose të paktën jo me lart boshti i dhënë), atëherë zona e saj mund të gjendet duke përdorur formulën:
Në këtë rast:

Kujdes! Të dy llojet e detyrave nuk duhet të ngatërrohen:

1) Nëse ju kërkohet të zgjidhni thjesht një integral të caktuar pa ndonjë kuptim gjeometrik, atëherë ai mund të jetë negativ.

2) Nëse ju kërkohet të gjeni sipërfaqen e një figure duke përdorur një integral të caktuar, atëherë zona është gjithmonë pozitive! Kjo është arsyeja pse minus shfaqet në formulën e sapo diskutuar.

Në praktikë, më shpesh figura është e vendosur në gjysmë rrafshin e sipërm dhe të poshtëm, dhe për këtë arsye, nga problemet më të thjeshta të shkollës kalojmë në shembuj më kuptimplotë.

Shembulli 4

Gjeni sipërfaqen e një figure të rrafshët të kufizuar nga vijat, .

Zgjidhje: Së pari ju duhet të plotësoni vizatimin. Në përgjithësi, kur ndërtojmë një vizatim në problemet e zonës, ne jemi më të interesuar në pikat e kryqëzimit të vijave. Le të gjejmë pikat e kryqëzimit të parabolës dhe vijës së drejtë. Kjo mund të bëhet në dy mënyra. Metoda e parë është analitike. Ne zgjidhim ekuacionin:

Kjo do të thotë se kufiri i poshtëm i integrimit është, kufiri i sipërm i integrimit është.
Nëse është e mundur, është më mirë të mos përdorni këtë metodë..

Është shumë më fitimprurëse dhe më e shpejtë të ndërtosh linja pikë për pikë, dhe kufijtë e integrimit bëhen të qarta “vetëvetiu”. Teknika e ndërtimit pikë për pikë për grafikë të ndryshëm është diskutuar në detaje në ndihmë Grafikët dhe vetitë e funksioneve elementare. Sidoqoftë, metoda analitike e gjetjes së kufijve ende ndonjëherë duhet të përdoret nëse, për shembull, grafiku është mjaft i madh, ose ndërtimi i detajuar nuk zbulon kufijtë e integrimit (ato mund të jenë të pjesshëm ose të paarsyeshëm). Dhe ne gjithashtu do të shqyrtojmë një shembull të tillë.

Le t'i kthehemi detyrës sonë: është më racionale të ndërtojmë fillimisht një vijë të drejtë dhe vetëm më pas një parabolë. Le të bëjmë vizatimin:

E përsëris që kur ndërtohet në drejtim të pikës, kufijtë e integrimit më së shpeshti zbulohen "automatikisht".

Dhe tani formula e punës: Nëse ka ndonjë funksion të vazhdueshëm në segment më i madh ose i barabartë me disa funksione të vazhdueshme, atëherë zona e figurës e kufizuar nga grafikët e këtyre funksioneve dhe linjat , , mund të gjendet duke përdorur formulën:

Këtu nuk keni më nevojë të mendoni se ku ndodhet figura - mbi bosht ose nën bosht, dhe, përafërsisht, ka rëndësi se cili grafik është MË I LARTË(në lidhje me një grafik tjetër), dhe cila është POSHTË.

Në shembullin në shqyrtim, është e qartë se në segment parabola ndodhet mbi vijën e drejtë, dhe për këtë arsye është e nevojshme të zbritet nga

Zgjidhja e përfunduar mund të duket si kjo:

Shifra e dëshiruar kufizohet nga një parabolë sipër dhe një vijë e drejtë poshtë.
Në segment, sipas formulës përkatëse:

Përgjigje:

Në fakt, formula e shkollës për sipërfaqen e një trapezi lakor në gjysmëplanin e poshtëm (shih shembullin e thjeshtë nr. 3) është një rast i veçantë i formulës . Meqenëse boshti specifikohet nga ekuacioni, dhe grafiku i funksionit është i vendosur jo me lart sëpata, atëherë

Dhe tani disa shembuj për zgjidhjen tuaj

Shembulli 5

Shembulli 6

Gjeni sipërfaqen e figurës të kufizuar nga vijat, .

Kur zgjidhni probleme që përfshijnë llogaritjen e sipërfaqes duke përdorur një integral të caktuar, ndonjëherë ndodh një incident qesharak. Vizatimi është bërë saktë, llogaritjet kanë qenë të sakta, por nga pakujdesia... u gjet zona e figurës së gabuar, kjo është pikërisht mënyra se si shërbëtori yt i përulur e ka prishur disa herë. Këtu është një rast real:

Shembulli 7

Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat , , , .

Zgjidhje: Së pari, le të bëjmë një vizatim:

...Eh, vizatimi doli katrahurë, por gjithçka duket se është e lexueshme.

Figura, zona e së cilës duhet të gjejmë është e hijezuar në blu(Shikoni me kujdes gjendjen - si është e kufizuar shifra!). Por në praktikë, për shkak të pavëmendjes, shpesh ndodh një "gabim" që ju duhet të gjeni zonën e një figure që është e hijezuar në të gjelbër!

Ky shembull është gjithashtu i dobishëm në atë që llogarit sipërfaqen e një figure duke përdorur dy integrale të përcaktuara. Vërtet:

1) Në segmentin mbi bosht ka një grafik të një vije të drejtë;

2) Në segmentin mbi bosht ka një grafik të një hiperbole.

Është mjaft e qartë se zonat mund (dhe duhet) të shtohen, prandaj:

Përgjigje:

Le të kalojmë në një detyrë tjetër kuptimplote.

Shembulli 8

Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija,
Le t'i paraqesim ekuacionet në formën "shkollë" dhe të bëjmë një vizatim pikë për pikë:

Nga vizatimi duket qartë se kufiri ynë i sipërm është "i mirë": .
Por cili është kufiri i poshtëm?! Është e qartë se ky nuk është një numër i plotë, por çfarë është? Ndoshta ? Por ku është garancia që vizatimi të jetë bërë me saktësi të përsosur, mund të rezultojë se... Ose rrënjën. Po sikur ta ndërtojmë grafikun gabimisht?

Në raste të tilla, duhet të shpenzoni kohë shtesë dhe të sqaroni kufijtë e integrimit në mënyrë analitike.

Le të gjejmë pikat e kryqëzimit të një drejtëze dhe një parabole.
Për ta bërë këtë, ne zgjidhim ekuacionin:

,

Vërtet,.

Zgjidhja e mëtejshme është e parëndësishme, gjëja kryesore është të mos ngatërroheni në zëvendësime dhe shenja, llogaritjet këtu nuk janë më të thjeshtat.

Në segment , sipas formulës përkatëse:

Përgjigje:

Epo, për të përfunduar mësimin, le të shohim dy detyra më të vështira.

Shembulli 9

Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat, ,

Zgjidhje: Le ta përshkruajmë këtë figurë në vizatim.

Dreqin, harrova të firmosa orarin dhe, më falni, nuk doja ta ribëja foton. Jo një ditë vizatimi, me pak fjalë, sot është dita =)

Për ndërtimin pikë për pikë, është e nevojshme të dihet pamja e një sinusoidi (dhe në përgjithësi është e dobishme të dihet grafikët e të gjitha funksioneve elementare), si dhe disa vlera sinus, ato mund të gjenden në tabelë trigonometrike. Në disa raste (si në këtë rast), është e mundur të ndërtohet një vizatim skematik, mbi të cilin grafikët dhe kufijtë e integrimit duhet të shfaqen në themel të saktë.

Këtu nuk ka probleme me kufijtë e integrimit, ato rrjedhin drejtpërdrejt nga kushti: "x" ndryshon nga zero në "pi". Le të marrim një vendim të mëtejshëm:

Në segment, grafiku i funksionit ndodhet mbi bosht, prandaj:

Problemi 1(në lidhje me llogaritjen e sipërfaqes së një trapezi të lakuar).

Në sistemin koordinativ drejtkëndor kartezian xOy, jepet një figurë (shih figurën) e kufizuar nga boshti x, drejtëza x = a, x = b (a nga një trapez lakor. Kërkohet të llogaritet sipërfaqja e një lakor trapezoid.
Zgjidhje. Gjeometria na jep receta për llogaritjen e sipërfaqeve të shumëkëndëshave dhe të disa pjesëve të rrethit (sektori, segmenti). Duke përdorur konsiderata gjeometrike, ne mund të gjejmë vetëm një vlerë të përafërt të zonës së kërkuar, duke arsyetuar si më poshtë.

Le të ndajmë segmentin [a; b] (baza e një trapezi të lakuar) në n pjesë të barabarta; kjo ndarje kryhet duke përdorur pikat x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Le të vizatojmë vija të drejta nëpër këto pika paralele me boshtin y. Atëherë trapezi lakor i dhënë do të ndahet në n pjesë, në n kolona të ngushta. Sipërfaqja e të gjithë trapezit është e barabartë me shumën e sipërfaqeve të kolonave.

Le të shqyrtojmë kolonën k-të veçmas, d.m.th. një trapez i lakuar, baza e të cilit është një segment. Le ta zëvendësojmë me një drejtkëndësh me të njëjtën bazë dhe lartësi të barabartë me f(x k) (shih figurën). Sipërfaqja e drejtkëndëshit është e barabartë me $f(x_k) \cdot \Delta x_k $, ku $\Delta x_k $ është gjatësia e segmentit; Është e natyrshme të konsiderohet produkti që rezulton si një vlerë e përafërt e sipërfaqes së kolonës k-të.

Nëse tani bëjmë të njëjtën gjë me të gjitha kolonat e tjera, do të arrijmë në rezultatin e mëposhtëm: sipërfaqja S e një trapezi të caktuar lakor është afërsisht e barabartë me sipërfaqen S n të një figure me shkallë të përbërë nga n drejtkëndësha (shih figurën):
$S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \pika + f(x_k)\Delta x_k + \pika + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $
Këtu, për hir të uniformitetit të shënimit, supozojmë se a = x 0, b = x n; $\Delta x_0 $ - gjatësia e segmentit, $\Delta x_1 $ - gjatësia e segmentit, etj.; në këtë rast, siç ramë dakord më lart, $\Delta x_0 = \pika = \Delta x_(n-1) $

Pra, $S \përafërsisht S_n $, dhe kjo barazi e përafërt është më e saktë, sa më e madhe n.
Sipas përkufizimit, besohet se zona e kërkuar e një trapezi lakor është e barabartë me kufirin e sekuencës (S n):
$$ S = \lim_(n \në \infty) S_n $$

Problemi 2(në lidhje me lëvizjen e një pike)
Një pikë materiale lëviz në një vijë të drejtë. Varësia e shpejtësisë nga koha shprehet me formulën v = v(t). Gjeni lëvizjen e një pike gjatë një periudhe kohe [a; b].
Zgjidhje. Nëse lëvizja do të ishte uniforme, atëherë problemi do të zgjidhej shumë thjesht: s = vt, d.m.th. s = v(b-a). Për lëvizje të pabarabartë, duhet të përdorni të njëjtat ide mbi të cilat bazohej zgjidhja e problemit të mëparshëm.
1) Ndani intervalin kohor [a; b] në n pjesë të barabarta.
2) Konsideroni një periudhë kohore dhe supozoni se gjatë kësaj periudhe kohore shpejtësia ishte konstante, e njëjtë si në kohën t k. Pra supozojmë se v = v(t k).
3) Le të gjejmë vlerën e përafërt të lëvizjes së pikës gjatë një periudhe kohe, ne do ta shënojmë këtë vlerë të përafërt si s k
$s_k = v(t_k) \Delta t_k $
4) Gjeni vlerën e përafërt të zhvendosjes s:
$s \përafërsisht S_n $ ku
$S_n = s_0 + \pika + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \pika + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) $
5) Zhvendosja e kërkuar është e barabartë me kufirin e sekuencës (S n):
$$ s = \lim_(n \në \infty) S_n $$

Le të përmbledhim. Zgjidhjet e problemeve të ndryshme u reduktuan në të njëjtin model matematikor. Shumë probleme nga fusha të ndryshme të shkencës dhe teknologjisë çojnë në të njëjtin model në procesin e zgjidhjes. Kjo do të thotë se ky model matematikor duhet studiuar posaçërisht.

Koncepti i një integrali të caktuar

Le të japim një përshkrim matematikor të modelit që u ndërtua në tre problemet e konsideruara për funksionin y = f(x), i vazhdueshëm (por jo domosdoshmërisht jo negativ, siç u supozua në problemat e shqyrtuara) në intervalin [a; b]:
1) ndani segmentin [a; b] në n pjesë të barabarta;
2) përbëjnë shumën $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \pika + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) llogarit $$ \lim_(n \në \infty) S_n $$

Gjatë analizës matematikore u vërtetua se ky kufi ekziston në rastin e një funksioni të vazhdueshëm (ose pjesërisht të vazhdueshëm). Ai quhet një integral i caktuar i funksionit y = f(x) mbi segmentin [a; b] dhe shënohet si më poshtë:
$\int\limits_a^b f(x) dx $
Numrat a dhe b quhen kufijtë e integrimit (përkatësisht i poshtëm dhe i sipërm).

Le të kthehemi te detyrat e diskutuara më sipër. Përkufizimi i zonës i dhënë në problemin 1 tani mund të rishkruhet si më poshtë:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx $
këtu S është zona e trapezit të lakuar të treguar në figurën e mësipërme. Kjo është kuptimi gjeometrik i një integrali të caktuar.

Përkufizimi i zhvendosjes s të një pike që lëviz në një vijë të drejtë me një shpejtësi v = v(t) gjatë periudhës kohore nga t = a në t = b, të dhëna në problemin 2, mund të rishkruhet si më poshtë:

Formula Njuton-Leibniz

Së pari, le t'i përgjigjemi pyetjes: cila është lidhja midis integralit të caktuar dhe antiderivativit?

Përgjigja gjendet në problemin 2. Nga njëra anë, zhvendosja s e një pike që lëviz në vijë të drejtë me shpejtësi v = v(t) gjatë periudhës kohore nga t = a në t = b llogaritet me formulën
$S = \int\limits_a^b v(t) dt $

Nga ana tjetër, koordinata e një pike lëvizëse është një antiderivativ për shpejtësinë - le ta shënojmë atë s(t); kjo do të thotë se zhvendosja s shprehet me formulën s = s(b) - s(a). Si rezultat marrim:
$S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
ku s(t) është antiderivativ i v(t).

Teorema e mëposhtme u vërtetua gjatë analizës matematikore.
Teorema. Nëse funksioni y = f(x) është i vazhdueshëm në intervalin [a; b], atëherë formula është e vlefshme
$S = \int\ limitet_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
ku F(x) është antiderivati i f(x).

Formula e dhënë zakonisht quhet Formula Njuton-Leibniz për nder të fizikanit anglez Isaac Newton (1643-1727) dhe filozofit gjerman Gottfried Leibniz (1646-1716), të cilët e morën atë në mënyrë të pavarur nga njëri-tjetri dhe pothuajse njëkohësisht.

Në praktikë, në vend që të shkruajnë F(b) - F(a), ata përdorin shënimin $\left. F(x)\right|_a^b $ (nganjëherë quhet zëvendësim i dyfishtë) dhe, në përputhje me rrethanat, rishkruani formulën Newton-Leibniz në këtë formë:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = \majtas. F(x)\djathtas|_a^b $

Kur llogaritni një integral të caktuar, së pari gjeni antiderivativin dhe më pas kryeni një zëvendësim të dyfishtë.

Bazuar në formulën Njuton-Leibniz, mund të marrim dy veti të integralit të caktuar.

Prona 1. Integrali i shumës së funksioneve është i barabartë me shumën e integraleve:
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

Prona 2. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja integrale:
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

Llogaritja e sipërfaqeve të figurave të rrafshët duke përdorur një integral të caktuar

Duke përdorur integralin, mund të llogaritni zonat jo vetëm të trapezoidëve të lakuar, por edhe të figurave të rrafshët të një lloji më kompleks, për shembull, ai i treguar në figurë. Figura P kufizohet nga drejtëza x = a, x = b dhe grafikët e funksioneve të vazhdueshme y = f(x), y = g(x), dhe në segmentin [a; b] vlen pabarazia $g(x) \leq f(x) $. Për të llogaritur sipërfaqen S të një figure të tillë, do të veprojmë si më poshtë:
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = $
$= \int\ limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Pra, zona S e një figure të kufizuar nga drejtëza x = a, x = b dhe grafikët e funksioneve y = f(x), y = g(x), e vazhdueshme në segment dhe e tillë që për çdo x nga segmenti [a; b] pabarazia $g(x) \leq f(x) $ është e plotësuar, e llogaritur me formulën
$S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Tabela e integraleve (antiderivativëve) të pacaktuar të disa funksioneve

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \tekst(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\tekst(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \tekst(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

Shembull 1 . Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat: x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3 dhe x = 2

Le të ndërtojmë një figurë (shih figurën) Ndërtojmë një drejtëz x + 2y – 4 = 0 duke përdorur dy pika A(4;0) dhe B(0;2). Duke shprehur y përmes x, marrim y = -0.5x + 2. Duke përdorur formulën (1), ku f(x) = -0.5x + 2, a = -3, b = 2, gjejmë

S = = [-0,25=11,25 sq. njësi

Shembulli 2. Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat: x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 dhe y = 0.

Zgjidhje. Le të ndërtojmë figurën.

Le të ndërtojmë një drejtëz x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Le të ndërtojmë një drejtëz x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Le të gjejmë pikën e prerjes së drejtëzave duke zgjidhur sistemin e ekuacioneve:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

Për të llogaritur sipërfaqen e kërkuar, ne e ndajmë trekëndëshin AMC në dy trekëndësha AMN dhe NMC, pasi kur x ndryshon nga A në N, zona kufizohet nga një vijë e drejtë dhe kur x ndryshon nga N në C - me një vijë të drejtë.

Për trekëndëshin AMN kemi: ; y = 0,5x + 2, pra f(x) = 0,5x + 2, a = - 4, b = 2.

Për trekëndëshin NMC kemi: y = - x + 5, pra f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Duke llogaritur sipërfaqen e secilit trekëndësh dhe duke shtuar rezultatet, gjejmë:

sq. njësi

9 + 4, 5 = 13,5 sq. njësi Kontrollo: = 0,5AC = 0,5 sq. njësi

Shembulli 3. Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

Në këtë rast, ju duhet të llogaritni sipërfaqen e një trapezi të lakuar të kufizuar nga parabola y = x 2 , vijat e drejta x = 2 dhe x = 3 dhe boshti Ox (shih figurën) Duke përdorur formulën (1) gjejmë sipërfaqen e trapezit lakor

= = 6 sq. njësi

Shembulli 4. Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat: y = - x 2 + 4 dhe y = 0

Le të ndërtojmë figurën. Zona e kërkuar është e mbyllur midis parabolës y = - x 2 + 4 dhe boshti Ox.

Le të gjejmë pikat e kryqëzimit të parabolës me boshtin Ox. Duke supozuar y = 0, gjejmë x = Meqenëse kjo shifër është simetrike në lidhje me boshtin Oy, ne llogarisim sipërfaqen e figurës që ndodhet në të djathtë të boshtit Oy dhe dyfishojmë rezultatin e marrë: = +4x]sq. njësi 2 = 2 sq. njësi

Shembulli 5. Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Këtu ju duhet të llogaritni sipërfaqen e një trapezi lakor të kufizuar nga dega e sipërme e parabolës 2 = x, boshti Ox dhe drejtëza x = 1 dhe x = 4 (shih figurën)

Sipas formulës (1), ku f(x) = a = 1 dhe b = 4, kemi = (= njësi katrore.

Shembulli 6 . Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Zona e kërkuar është e kufizuar nga gjysma e valës së sinusoidit dhe boshtit Ox (shih figurën).

Kemi - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 sq. njësi

Shembulli 7. Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat: y = - 6x, y = 0 dhe x = 4.

Figura ndodhet nën boshtin Ox (shih figurën).

Prandaj, ne gjejmë zonën e saj duke përdorur formulën (3)

= =

Shembulli 8. Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat: y = dhe x = 2. Ndërtoni lakoren y = sipas pikave (shih figurën). Kështu, ne gjejmë sipërfaqen e figurës duke përdorur formulën (4)

Shembulli 9 .

X 2 + y 2 = r 2 .

Këtu ju duhet të llogarisni zonën e mbyllur nga rrethi x 2 + y 2 = r 2 , pra zona e një rrethi me rreze r me qendër në origjinë. Le të gjejmë pjesën e katërt të kësaj zone duke marrë kufijtë e integrimit nga 0

përpara; ne kemi: 1 = = [

Prandaj, 1 =

Shembulli 10. Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija: y= x 2 dhe y = 2x

Kjo shifër kufizohet nga parabola y = x 2 dhe drejtëza y = 2x (shih figurën) Për të përcaktuar pikat e prerjes së drejtëzave të dhëna, zgjidhim sistemin e ekuacioneve: x 2 – 2x = 0 x = 0 dhe x = 2

Duke përdorur formulën (5) për të gjetur zonën, marrim

= = [zëvendësim:

] =

Kjo do të thotë që integrali i papërshtatshëm konvergjon dhe vlera e tij është e barabartë me .

Tema: Llogaritja e sipërfaqes së një figure të rrafshët duke përdorur një integral të caktuar

Objektivat: mësoni përkufizimin dhe formulat për gjetjen e zonës së një trapezi lakor;

shqyrtoni raste të ndryshme të gjetjes së zonës së një trapezi lakor;

Të jetë në gjendje të llogarisë sipërfaqen e një trapezi të lakuar.

Plani:

Trapezoid lakor.

Formulat për llogaritjen e sipërfaqes së një trapezi të lakuar.

Trapezoid lakorështë një figurë që kufizohet nga grafiku i një funksioni të vazhdueshëm, jo negativ f(x) në intervalin, segmentet e drejtëzës x=a dhe x=b, si dhe një segment i boshtit x ndërmjet pikave a dhe b. .

Imazhet e trapezoidëve të lakuar:

Tani le të kalojmë në opsionet e mundshme për rregullimin e figurave, zona e së cilës duhet të llogaritet në planin koordinativ.

Së pari do të jetë opsioni më i thjeshtë (fotografia e parë), e zakonshme trapezoid i lakuar, si në përkufizim. Nuk ka nevojë të shpikni asgjë këtu, thjesht merrni integralin e a përpara b nga funksioni f(x). Nëse gjejmë integralin, do të njohim edhe sipërfaqen e këtij trapezi.

Në e dyta opsioni, figura jonë do të kufizohet jo nga boshti x, por nga një funksion tjetër g(x). Prandaj, për të gjetur zonën CEFD, fillimisht duhet të gjejmë zonën AEFB(duke përdorur integralin e f(x)), më pas gjeni zonën ACDB(duke përdorur integralin e g(x)). Dhe zona e kërkuar e figurës CEFD, do të ketë një ndryshim midis zonës së parë dhe të dytë të trapezit të lakuar. Meqenëse kufijtë e integrimit këtu janë të njëjtë, e gjithë kjo mund të shkruhet nën një integral (shih formulat më poshtë në figurë), gjithçka varet nga kompleksiteti i funksioneve, në këtë rast do të jetë më e lehtë për të gjetur integralin.

Së treti shumë e ngjashme me të parën, por vetëm trapezi ynë është vendosur, jo sipër boshti x, dhe nën të. Prandaj, këtu duhet të marrim të njëjtin integral, vetëm me shenjën minus, sepse vlera e integralit do të jetë negative, dhe vlera e sipërfaqes duhet të jetë pozitive. Nëse në vend të një funksioni f(x) marrin funksionin –f(x), atëherë grafiku i tij do të jetë i njëjtë, thjesht i shfaqur në mënyrë simetrike në lidhje me boshtin x.

DHE e katërta opsion kur një pjesë e figurës sonë është mbi boshtin x dhe një pjesë poshtë tij. Prandaj, së pari duhet të gjejmë zonën e figurës AEFB, si në opsionin e parë, dhe më pas zona e figurës ABCD, si në opsionin e tretë dhe më pas palosni ato. Si rezultat, marrim sipërfaqen e figurës DEFC. Meqenëse kufijtë e integrimit këtu janë të njëjtë, e gjithë kjo mund të shkruhet nën një integral (shih formulat më poshtë në figurë), gjithçka varet nga kompleksiteti i funksioneve, në këtë rast do të jetë më e lehtë për të gjetur integralin.