Pamje e përgjithshme e matricave trekëndore:

Vini re se në mesin e elementeve diagonale mund të ketë elementë të barabartë me zero. Matricë quhet trapezi i sipërm nëse plotësohen tre kushtet e mëposhtme:

1. për i>j;

2. Ekziston një numër natyror r që plotëson pabarazitë , Çfarë .

3. Nëse ndonjë element diagonal është , atëherë të gjithë elementët e rreshtit të i-të dhe të gjitha rreshtat pasardhës janë të barabartë me zero.

Pamje e përgjithshme e matricave trapezoidale të sipërme:

në .

në .

në r=n

në r=m=n.

Vini re se kur r=m=n, matrica e sipërme trapezoidale është një matricë trekëndore me elemente diagonale jo zero.

27) Veprimet me matrica

Shtimi i matricës

Matricat me të njëjtën madhësi mund të grumbullohen.

Shuma e dy matricave të tilla A dhe B quhet matrica C, elementet e së cilës janë të barabartë me shumën e elementeve përkatëse të matricave A dhe B. Në mënyrë simbolike do ta shkruajmë kështu: A+B=C.

Është e lehtë të shihet se shtimi i matricave i bindet ligjeve komutative dhe kombinuese:

(A+B)+C=A+(B+C).

Gjatë mbledhjes së matricave, matrica zero luan rolin e një zero të zakonshme kur mblidhen numrat: A+0=A.

Zbritja e matricave.

Dallimi midis dy matricave A dhe B me të njëjtën madhësi është një matricë C e tillë që

Nga ky përkufizim rezulton se elementët e matricës C janë të barabartë me diferencën e elementeve përkatëse të matricës A dhe B.

Diferenca ndërmjet matricave A dhe B shënohet si më poshtë: C=A – B.

3. Shumëzimi i matricës

Merrni parasysh rregullin për shumëzimin e dy matricave katrore të rendit të dytë.

Prodhimi i matricës A dhe matricës B quhet matricë C=AB.

Rregullat për shumëzimin e matricave drejtkëndore:

Shumëzimi i matricës A me matricën B ka kuptim në rastin kur numri i kolonave të matricës A përkon me numrin e rreshtave në matricën B.

Si rezultat i shumëzimit të dy matricave drejtkëndore, fitohet një matricë që përmban po aq rreshta sa kishte rreshta në matricën e parë dhe aq kolona sa kishte kolona në matricën e dytë.

4. Shumëzimi i një matrice me një numër

Kur matrica A shumëzohet me numrin , të gjithë numrat që përbëjnë matricën A shumëzohen me numrin . Për shembull, le të shumëzojmë matricën me numrin 2. Marrim, d.m.th. Kur shumëzoni një matricë me një numër, faktori "futet" nën shenjën e matricës.

Transpozimi i matricës

Matrica e transpozuar është një matricë AT e marrë nga matrica origjinale A duke zëvendësuar rreshtat me kolona.

Formalisht, matrica e transpozuar për një matricë A me dimensione m*n është një matricë AT e dimensioneve n*m, e përcaktuar si AT = A .

Për shembull,

Vetitë e matricave të transpozuara

2. (A + B)T = AT + BT

28) Koncepti i përcaktorit të rendit të n-të

Le të na jepet një tabelë katrore e përbërë nga numra të renditur në n rreshta horizontale dhe n vertikale. Duke përdorur këta numra, sipas rregullave të caktuara, llogaritet një numër i caktuar, i cili quhet përcaktor i rendit të n-të dhe shënohet si më poshtë:

(1)

Rreshtat horizontale në përcaktorin (1) quhen rreshta, rreshtat vertikal quhen kolona, ​​numrat janë elementë të përcaktorit (indeksi i parë nënkupton numrin e rreshtit, i dyti - numri i kolonës në kryqëzimin e së cilës qëndron elementi i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., n). Rendi i një përcaktori është numri i rreshtave dhe kolonave të tij.

Një vijë e drejtë imagjinare që lidh elementet e përcaktorit për të cilin të dy indekset janë të njëjtë, d.m.th. elementet

quhet diagonalja kryesore, diagonalja tjetër quhet diagonale dytësore.

Një përcaktues i rendit të n-të është një numër që është shuma algjebrike e n! terma, secila prej të cilave është prodhimi i n prej elementeve të tij, i marrë vetëm një nga çdo n rresht dhe nga secila n kolona e një tabele katrore me numra, me gjysmën e termave (të caktuar) të marrë me shenjat e tyre, dhe pjesa tjetër me shenja të kundërta.

Le të tregojmë se si llogariten përcaktorët e tre renditjeve të para.

Përcaktori i rendit të parë është vetë elementi, d.m.th.

Përcaktori i rendit të dytë është numri i marrë si më poshtë:

(2)

Formula (3) tregon se termat e marra me shenjat e tyre janë prodhim i elementeve të diagonales kryesore, si dhe elementeve të vendosura në kulmet e dy trekëndëshave, bazat e të cilëve janë paralele me të; me të kundërta - terma që janë produkte të elementeve të diagonales anësore, si dhe elementë të vendosur në kulmet e dy trekëndëshave që janë paralel me të.

Shembulli 2. Llogaritni përcaktorin e rendit të tretë:

Zgjidhje. Duke përdorur rregullin e trekëndëshit, marrim

Llogaritja e përcaktorëve të rendit të katërt dhe të mëpasshëm mund të reduktohet në llogaritjen e përcaktorëve të rendit të dytë dhe të tretë. Kjo mund të bëhet duke përdorur vetitë e përcaktorëve. Tani kalojmë në shqyrtimin e tyre.

Vetitë e përcaktorit të rendit të n-të

Vetia 1. Me rastin e zëvendësimit të rreshtave me kolona (transpozimi), vlera e përcaktorit nuk do të ndryshojë, d.m.th.

Vetia 2. Nëse të paktën një rresht (rresht ose kolonë) përbëhet nga zero, atëherë përcaktorja është e barabartë me zero. Prova është e qartë.

Në fakt, atëherë në çdo term të përcaktorit një nga faktorët do të jetë zero.

Vetia 3. Nëse në përcaktor ndërrohen dy rreshta paralele ngjitur (rreshta ose kolona), atëherë përcaktorja do ta ndryshojë shenjën e saj në të kundërtën, d.m.th.

Vetia 4. Nëse përcaktorja përmban dy seri paralele identike, atëherë përcaktorja është e barabartë me zero:

Vetia 5. Nëse dy seri paralele në përcaktor janë proporcionale, atëherë përcaktorja është e barabartë me zero:

Vetia 6. Nëse të gjithë elementët e përcaktorit që janë në të njëjtën rresht shumëzohen me të njëjtin numër, atëherë vlera e përcaktorit do të ndryshojë me këtë numër herë:

Pasoja. Faktori i përbashkët i përfshirë në të gjithë elementët e një rreshti mund të hiqet nga shenja përcaktuese, për shembull:

Vetia 7. Nëse në një përcaktor të gjithë elementët e një serie paraqiten si shumë e dy termave, atëherë ajo është e barabartë me shumën e dy përcaktorëve:

Vetia 8. Nëse produkti i elementeve përkatëse të një serie paralele me një faktor konstant u shtohet elementeve të çdo serie, atëherë vlera e përcaktorit nuk do të ndryshojë:

Vetia 9. Nëse elementeve të serisë së i-të u shtohet një kombinim linear i elementeve përkatëse të disa serive paralele, atëherë vlera e përcaktorit nuk do të ndryshojë:

Kurbat e rendit të dytë në një rrafsh janë vija të përcaktuara nga ekuacionet në të cilat variabla koordinon x Dhe y përfshihen në shkallën e dytë. Këto përfshijnë elipsin, hiperbolën dhe parabolën.

Forma e përgjithshme e ekuacionit të kurbës së rendit të dytë është si më poshtë:

Ku A, B, C, D, E, F- numrat dhe të paktën një nga koeficientët A, B, C jo e barabartë me zero.

Gjatë zgjidhjes së problemeve me kthesa të rendit të dytë, më së shpeshti merren parasysh ekuacionet kanonike të elipsës, hiperbolës dhe parabolës. Është e lehtë të kalosh tek ata nga ekuacionet e përgjithshme; shembulli 1 i problemeve me elipsat do t'i kushtohet kësaj.

Elipsa e dhënë nga ekuacioni kanonik

Përkufizimi i një elipsi. Një elipsë është bashkësia e të gjitha pikave të rrafshit për të cilat shuma e distancave në pikat e quajtura vatra është një vlerë konstante më e madhe se distanca ndërmjet vatërve.

Fokuset tregohen si në figurën më poshtë.

Ekuacioni kanonik i një elipsi ka formën:

Ku a Dhe b (a > b) - gjatësitë e gjysmëboshteve, d.m.th., gjysma e gjatësisë së segmenteve të prera nga elipsi në boshtet koordinative.

Vija e drejtë që kalon nëpër vatrat e elipsës është boshti i saj i simetrisë. Një bosht tjetër i simetrisë së një elipsi është një vijë e drejtë që kalon nga mesi i një segmenti pingul me këtë segment. Pika RRETH kryqëzimi i këtyre vijave shërben si qendër simetrie e elipsës ose thjesht qendër e elipsës.

Boshti i abshisës i elipsës kryqëzohet në pikat ( a, RRETH) Dhe (- a, RRETH), dhe boshti i ordinatave është në pika ( b, RRETH) Dhe (- b, RRETH). Këto katër pika quhen kulme të elipsës. Segmenti midis kulmeve të elipsës në boshtin x quhet boshti i tij kryesor, dhe në boshtin e ordinatave - boshti i tij i vogël. Segmentet e tyre nga maja në qendër të elipsës quhen gjysmë boshte.

Nëse a = b, atëherë ekuacioni i elipsës merr formën . Ky është ekuacioni i një rrethi me rreze a, dhe një rreth është një rast i veçantë i një elipsi. Një elipsë mund të merret nga një rreth me rreze a, nëse e ngjesh në a/b herë përgjatë boshtit Oy .

Shembulli 1. Kontrolloni nëse një vijë e dhënë nga një ekuacion i përgjithshëm është , elips.

Zgjidhje. Ne transformojmë ekuacionin e përgjithshëm. Ne përdorim transferimin e termit të lirë në anën e djathtë, ndarjen term pas termi të ekuacionit me të njëjtin numër dhe reduktimin e thyesave:

Përgjigju. Ekuacioni i marrë si rezultat i shndërrimeve është ekuacioni kanonik i elipsës. Prandaj, kjo linjë është një elips.

Shembulli 2. Hartoni ekuacionin kanonik të një elipse nëse gjysmëboshtet e saj janë përkatësisht 5 dhe 4.

Zgjidhje. Ne shikojmë formulën për ekuacionin kanonik të një elipse dhe zëvendësojmë: boshti gjysmë i madh është a= 5, boshti gjysëmminor është b= 4. Ne marrim ekuacionin kanonik të elipsës:

Pikat dhe , të treguara me të gjelbër në boshtin kryesor, ku

quhen truket.

thirrur ekscentricitet elips.

Qëndrimi b/a karakterizon "shtresën" e elipsës. Sa më i vogël ky raport, aq më shumë zgjatet elipsa përgjatë boshtit kryesor. Megjithatë, shkalla e zgjatjes së një elipsi shprehet më shpesh përmes ekscentricitetit, formula për të cilën është dhënë më sipër. Për elipsa të ndryshme, ekscentriciteti varion nga 0 në 1, duke mbetur gjithmonë më pak se uniteti.

Shembulli 3. Hartoni ekuacionin kanonik të elipsës nëse distanca midis vatrave është 8 dhe boshtit kryesor është 10.

Zgjidhje. Le të bëjmë disa përfundime të thjeshta:

Nëse boshti kryesor është i barabartë me 10, atëherë gjysma e tij, d.m.th., gjysmë-boshti a = 5 ,

Nëse distanca midis vatrave është 8, atëherë numri c e koordinatave fokale është e barabartë me 4.

Zëvendësojmë dhe llogarisim:

Rezultati është ekuacioni kanonik i elipsës:

Shembulli 4. Hartoni ekuacionin kanonik të një elipsi nëse boshti i saj kryesor është 26 dhe ekscentriciteti i tij është .

Zgjidhje. Siç del si nga madhësia e boshtit kryesor ashtu edhe nga ekuacioni i ekscentricitetit, boshti gjysmë i madh i elipsit a= 13. Nga ekuacioni i ekscentricitetit shprehim numrin c, e nevojshme për të llogaritur gjatësinë e gjysmë-boshtit të vogël:

.

Ne llogarisim katrorin e gjatësisë së gjysmëboshtit të vogël:

Ne hartojmë ekuacionin kanonik të elipsës:

Shembulli 5. Përcaktoni vatrat e elipsës të dhëna nga ekuacioni kanonik.

Zgjidhje. Gjeni numrin c, i cili përcakton koordinatat e para të vatrave të elipsës:

.

Ne marrim fokuset e elipsit:

Shembulli 6. Fokuset e elipsës janë të vendosura në bosht kau në mënyrë simetrike për origjinën. Hartoni ekuacionin kanonik të elipsës nëse:

1) distanca midis fokuseve është 30, dhe boshti kryesor është 34

2) boshti i vogël 24, dhe një nga fokuset është në pikën (-5; 0)

3) ekscentriciteti, dhe një nga fokuset është në pikën (6; 0)

Le të vazhdojmë të zgjidhim problemet e elipsit së bashku

Nëse është një pikë arbitrare e elipsës (e treguar me ngjyrë të gjelbër në pjesën e sipërme djathtas të elipsës në vizatim) dhe është distanca deri në këtë pikë nga vatrat, atëherë formulat për distancat janë si më poshtë:

Për çdo pikë që i përket elipsit, shuma e distancave nga vatrat është një vlerë konstante e barabartë me 2 a.

Linjat e përcaktuara me ekuacione

quhen drejtoresha elips (në vizatim ka vija të kuqe përgjatë skajeve).

Nga dy ekuacionet e mësipërme rezulton se për çdo pikë të elipsës

,

ku dhe janë distancat e kësaj pike me drejtimet dhe .

Shembulli 7. Jepet një elips. Shkruani një ekuacion për drejtimet e tij.

Zgjidhje. Ne shikojmë ekuacionin direktriks dhe zbulojmë se duhet të gjejmë ekscentricitetin e elipsës, d.m.th. Ne kemi të gjitha të dhënat për këtë. Ne llogarisim:

.

Marrim ekuacionin e drejtimeve të elipsës:

Shembulli 8. Hartoni ekuacionin kanonik të një elipsi nëse vatra të saj janë pika dhe drejtimet janë vija.

Ekuacioni kanonik i elipsës ka formën

ku a është boshti gjysmë i madh; b – bosht gjysmë i vogël. Quhen pikat F1(c,0) dhe F2(-c,0) − c

a, b - gjysmë boshtet e elipsës.

Gjetja e vatrave, ekscentricitetit, drejtimeve të një elipsi, nëse dihet ekuacioni kanonik i saj.

Përkufizimi i hiperbolës. Truket hiperbolike.

Përkufizimi. Një hiperbolë është një grup pikash në një rrafsh për të cilat moduli i diferencës në distancë nga dy pika të dhëna, të quajtura vatra, është një vlerë konstante më e vogël se distanca midis vatrave.

Sipas përkufizimit |r1 – r2|= 2a. F1, F2 - fokuset e hiperbolës. F1F2 = 2c.

Ekuacioni kanonik i një hiperbole. Gjysmë boshtet e një hiperbole. Ndërtimi i një hiperbole nëse dihet ekuacioni i saj kanonik.

Ekuacioni kanonik:

Boshti gjysëm i madh i një hiperbole është gjysma e distancës minimale midis dy degëve të hiperbolës, në anët pozitive dhe negative të boshtit (majtas dhe djathtas në lidhje me origjinën). Për një degë të vendosur në anën pozitive, gjysmë-boshti do të jetë i barabartë me:

Nëse e shprehim atë përmes seksionit konik dhe ekscentricitetit, atëherë shprehja do të marrë formën:

Gjetja e vatrave, ekscentricitetit, drejtimeve të hiperbolës, nëse dihet ekuacioni kanonik i saj.

Ekscentriciteti i hiperbolës

Përkufizimi. Raporti quhet ekscentricitet i hiperbolës, ku c –

gjysma e distancës midis vatrave, dhe është gjysmë-boshti real.

Duke marrë parasysh faktin se c2 – a2 = b2:

Nëse a = b, e = , atëherë hiperbola quhet barabrinjës (barabrinjës).

Drejtorët e një hiperbole

Përkufizimi. Dy drejtëza pingul me boshtin real të hiperbolës dhe të vendosura në mënyrë simetrike në raport me qendrën në një distancë a/e prej saj quhen direktrika të hiperbolës. Ekuacionet e tyre janë: .

Teorema. Nëse r është distanca nga një pikë arbitrare M e hiperbolës në çdo fokus, d është distanca nga e njëjta pikë në drejtimin që i korrespondon këtij fokusi, atëherë raporti r/d është një vlerë konstante e barabartë me ekscentricitetin.

Përkufizimi i një parabole. Fokusi dhe drejtimi i një parabole.

Parabola. Një parabolë është vendndodhja e pikave, secila prej të cilave është po aq e largët nga një pikë e caktuar fikse dhe nga një vijë e caktuar fikse. Pika e përmendur në përkufizim quhet fokusi i parabolës, dhe vija e drejtë është drejtimi i saj.

Ekuacioni kanonik i një parabole. Parametri i parabolës. Ndërtimi i një parabole.

Ekuacioni kanonik i një parabole në një sistem koordinativ drejtkëndor: (ose, nëse akset ndërrohen).

Ndërtimi i një parabole për një vlerë të caktuar të parametrit p kryhet në sekuencën vijuese:

Vizatoni boshtin e simetrisë së parabolës dhe vizatoni mbi të segmentin KF=p;

Drejtorksi DD1 vizatohet përmes pikës K pingul me boshtin e simetrisë;

Segmenti KF ndahet në gjysmë për të marrë kulmin 0 të parabolës;

Një seri pikash arbitrare 1, 2, 3, 5, 6 maten nga lart me një distancë gradualisht në rritje midis tyre;

Nëpër këto pika, vizatoni drejtëza ndihmëse pingul me boshtin e parabolës;

Në linjat ndihmëse, serifet bëhen me një rreze të barabartë me distancën nga vija e drejtë në drejtim;

Pikat që rezultojnë janë të lidhura me një kurbë të lëmuar.

Linjat e rendit të dytë.
Elipsa dhe ekuacioni i saj kanonik. Rretho

Pas një studimi të plotë vijat e drejta në aeroplan Ne vazhdojmë të studiojmë gjeometrinë e botës dy-dimensionale. Aksionet janë dyfishuar dhe ju ftoj të vizitoni një galeri piktoreske elipsash, hiperbolash, parabolash, të cilat janë përfaqësuese tipike linjat e rendit të dytë. Ekskursioni tashmë ka filluar, dhe së pari një informacion i shkurtër për të gjithë ekspozitën në kate të ndryshme të muzeut:

Koncepti i një linje algjebrike dhe renditja e saj

Një vijë në një aeroplan quhet algjebrike, nëse në sistemi i koordinatave afinale ekuacioni i tij ka formën , ku është një polinom i përbërë nga termat e formës ( – numër real, – numra të plotë jo negativë).

Siç mund ta shihni, ekuacioni i një linje algjebrike nuk përmban sinus, kosinus, logaritme dhe beau monde të tjera funksionale. Vetëm X dhe Y janë brenda numra të plotë jo negativë gradë.

Rendi i linjës e barabartë me vlerën maksimale të termave të përfshirë në të.

Sipas teoremës përkatëse, koncepti i një linje algjebrike, si dhe rendi i saj, nuk varen nga zgjedhja sistemi i koordinatave afinale , prandaj, për lehtësinë e ekzistencës, supozojmë se të gjitha llogaritjet e mëvonshme bëhen në Koordinatat karteziane .

Ekuacioni i përgjithshëm rreshti i rendit të dytë ka formën , ku – numra realë arbitrarë (Është zakon ta shkruajmë me një faktor dy), dhe koeficientët nuk janë të barabartë me zero në të njëjtën kohë.

Nëse , atëherë ekuacioni thjeshtohet në , dhe nëse koeficientët nuk janë të barabartë me zero në të njëjtën kohë, atëherë kjo është saktësisht ekuacioni i përgjithshëm i një vije "të sheshtë". , që përfaqëson linjë e rendit të parë.

Shumë e kanë kuptuar kuptimin e termave të rinj, por, megjithatë, për të zotëruar 100% materialin, ne i fusim gishtat në prizë. Për të përcaktuar rendin e rreshtit, duhet të përsërisni të gjitha kushtet ekuacionet e tij dhe gjeni për secilën prej tyre shuma e gradave variablat hyrëse.

Për shembull:

termi përmban "x" në fuqinë 1;
termi përmban "Y" në fuqinë e parë;
Nuk ka variabla në term, kështu që shuma e fuqive të tyre është zero.

Tani le të kuptojmë pse ekuacioni përcakton vijën e dyta porosit:

termi përmban "x" deri në fuqinë e 2-të;
mbledhja ka shumën e fuqive të ndryshoreve: 1 + 1 = 2;
termi përmban "Y" në fuqinë e dytë;
të gjitha kushtet e tjera - më pak gradë.

Vlera maksimale: 2

Nëse shtojmë shtesë, të themi, në ekuacionin tonë, atëherë ai tashmë do të përcaktojë linjë e rendit të tretë. Është e qartë se forma e përgjithshme e ekuacionit të linjës së rendit të tretë përmban një "bashkësi të plotë" termash, shuma e fuqive të ndryshoreve në të cilat është e barabartë me tre:
, ku koeficientët nuk janë të barabartë me zero në të njëjtën kohë.

Në rast se shtoni një ose më shumë terma të përshtatshëm që përmbajnë , atëherë do të flasim tashmë Linjat e rendit të 4-të, etj.

Do të duhet të hasim linja algjebrike të rendit të tretë, të katërt dhe më të lartë më shumë se një herë, veçanërisht kur të njihemi me sistemi i koordinatave polar .

Megjithatë, le të kthehemi te ekuacioni i përgjithshëm dhe të kujtojmë variacionet e tij më të thjeshta shkollore. Si shembuj, lind një parabolë, ekuacioni i së cilës mund të reduktohet lehtësisht në një formë të përgjithshme, dhe një hiperbolë me një ekuacion ekuivalent. Megjithatë, jo gjithçka është aq e qetë ...

Një pengesë e rëndësishme e ekuacionit të përgjithshëm është se pothuajse gjithmonë nuk është e qartë se cilën linjë përcakton. Edhe në rastin më të thjeshtë, nuk do ta kuptoni menjëherë se kjo është një hiperbolë. Paraqitjet e tilla janë të mira vetëm në një maskaradë, kështu që një problem tipik konsiderohet në rrjedhën e gjeometrisë analitike duke sjellë ekuacionin e vijës së rendit të dytë në formën kanonike .

Cila është forma kanonike e një ekuacioni?

Kjo është forma standarde e pranuar përgjithësisht e një ekuacioni, kur brenda pak sekondash bëhet e qartë se çfarë objekti gjeometrik përcakton. Për më tepër, forma kanonike është shumë e përshtatshme për zgjidhjen e shumë detyrave praktike. Kështu, për shembull, sipas ekuacionit kanonik "i sheshtë" drejt , së pari, është menjëherë e qartë se kjo është një vijë e drejtë, dhe së dyti, pika që i përket dhe vektori i drejtimit janë lehtësisht të dukshëm.

Është e qartë se çdo Linja e rendit të parëështë një vijë e drejtë. Në katin e dytë, nuk është më roja që na pret, por një shoqëri shumë më e larmishme prej nëntë statujash:

Klasifikimi i linjave të rendit të dytë

Duke përdorur një grup të veçantë veprimesh, çdo ekuacion i një rreshti të rendit të dytë reduktohet në një nga format e mëposhtme:

(dhe janë numra realë pozitivë)

1) – ekuacioni kanonik i elipsës;

2) – ekuacioni kanonik i hiperbolës;

3) – ekuacioni kanonik i një parabole;

4) – imagjinare elips;

5) - një palë vija të kryqëzuara;

6) – çift imagjinare vija kryqëzuese (me një pikë të vetme të vlefshme kryqëzimi në origjinë);

7) - një palë vija paralele;

8) – çift imagjinare vija paralele;

9) - një palë vijash që përputhen.

Disa lexues mund të kenë përshtypjen se lista nuk është e plotë. Për shembull, në pikën nr. 7, ekuacioni specifikon çiftin e drejtpërdrejtë , paralel me boshtin dhe lind pyetja: ku ndodhet ekuacioni që përcakton drejtëzat paralele me boshtin e ordinatës? Përgjigje: ajo nuk konsiderohet kanonike. Vijat e drejta përfaqësojnë të njëjtin rast standard, të rrotulluar me 90 gradë, dhe futja shtesë në klasifikim është e tepërt, pasi nuk sjell asgjë thelbësisht të re.

Kështu, ekzistojnë nëntë dhe vetëm nëntë lloje të ndryshme të linjave të rendit të dytë, por në praktikë janë më të zakonshmet elips, hiperbola dhe parabola .

Le të shohim së pari elipsin. Si zakonisht, përqendrohem në ato pika që kanë një rëndësi të madhe për zgjidhjen e problemeve, dhe nëse keni nevojë për një derivim të detajuar të formulave, vërtetimeve të teoremave, ju lutemi referojuni, për shembull, tekstit shkollor nga Bazylev/Atanasyan ose Aleksandrov.

Elipsa dhe ekuacioni i saj kanonik

Drejtshkrimi... ju lutemi mos përsëritni gabimet e disa përdoruesve të Yandex të cilët janë të interesuar "si të ndërtoni një elipsë", "dallimi midis një elipsi dhe një ovale" dhe "ekscentriciteti i një elipsi".

Ekuacioni kanonik i një elipsi ka formën , ku janë numra realë pozitivë dhe . Do të formuloj vetë përkufizimin e një elipsi më vonë, por tani për tani është koha për të marrë një pushim nga dyqani që flet dhe për të zgjidhur një problem të zakonshëm:

Si të ndërtoni një elips?

Po, thjesht merre dhe thjesht vizato. Detyra ndodh shpesh dhe një pjesë e konsiderueshme e studentëve nuk e përballojnë saktë vizatimin:

Shembulli 1

Ndërtoni elipsin e dhënë nga ekuacioni

Zgjidhje: Së pari, le ta sjellim ekuacionin në formën kanonike:

Pse të sjellë? Një nga avantazhet e ekuacionit kanonik është se ju lejon të përcaktoni menjëherë kulmet e elipsës, të cilat ndodhen në pika. Është e lehtë të shihet se koordinatat e secilës prej këtyre pikave plotësojnë ekuacionin.

Në këtë rast :


Segmenti i linjës thirrur boshti kryesor elips;
segmenti i linjës – aks i vogël;
numri thirrur bosht gjysmë i madh elips;
numri – aks i vogël.
në shembullin tonë: .

Për të imagjinuar shpejt se si duket një elips i veçantë, thjesht shikoni vlerat e "a" dhe "be" të ekuacionit të saj kanonik.

Gjithçka është në rregull, e qetë dhe e bukur, por ka një nuancë: Unë e përfundova vizatimin duke përdorur programin. Dhe mund ta bëni vizatimin duke përdorur çdo aplikacion. Sidoqoftë, në realitetin e ashpër, ka një copë letre me kuadrate në tryezë dhe minjtë kërcejnë në rrathë në duart tona. Njerëzit me talent artistik, natyrisht, mund të debatojnë, por ju keni edhe minj (ndonëse më të vegjël). Nuk është e kotë që njerëzimi shpiku sundimtarin, busullën, raportin dhe pajisje të tjera të thjeshta për vizatim.

Për këtë arsye, nuk ka gjasa të jemi në gjendje të vizatojmë me saktësi një elips duke ditur vetëm kulmet. Është në rregull nëse elipsa është e vogël, për shembull, me gjysmë akse. Përndryshe, ju mund të zvogëloni shkallën dhe, në përputhje me rrethanat, dimensionet e vizatimit. Por në përgjithësi, është shumë e dëshirueshme të gjesh pika shtesë.

Ekzistojnë dy qasje për ndërtimin e një elipsi - gjeometrike dhe algjebrike. Nuk më pëlqen ndërtimi duke përdorur një busull dhe vizore, sepse algoritmi nuk është më i shkurtër dhe vizatimi është shumë i rrëmujshëm. Në rast urgjence, ju lutemi referojuni tekstit shkollor, por në realitet është shumë më racionale të përdoren mjetet e algjebrës. Nga ekuacioni i elipsës në draft shprehim shpejt:

Më pas ekuacioni ndahet në dy funksione:
– përcakton harkun e sipërm të elipsës;
– përcakton harkun e poshtëm të elipsës.

Elipsa e përcaktuar nga ekuacioni kanonik është simetrik në lidhje me boshtet koordinative, si dhe në lidhje me origjinën. Dhe kjo është e shkëlqyeshme - simetria është pothuajse gjithmonë një pararojë e lirive. Natyrisht, mjafton të merremi me tremujorin e 1-rë të koordinatave, ndaj na duhet funksioni . Kërkon të gjenden pikë shtesë me abshisa . Le të prekim tre mesazhe SMS në kalkulator:

Sigurisht, është gjithashtu mirë që nëse bëhet një gabim serioz në llogaritjet, do të bëhet menjëherë e qartë gjatë ndërtimit.

Le të shënojmë pikat në vizatim (e kuqe), pikat simetrike në harqet e mbetura (blu) dhe të lidhim me kujdes të gjithë kompaninë me një vijë:


Është më mirë të vizatoni skicën fillestare shumë hollë, dhe vetëm atëherë të bëni presion me laps. Rezultati duhet të jetë një elips mjaft i mirë. Nga rruga, do të dëshironit të dini se çfarë është kjo kurbë?

Përkufizimi i një elipsi. Vatra elipsore dhe ekscentriciteti i elipseve

Një elipsë është një rast i veçantë i një ovali. Fjala "ovale" nuk duhet kuptuar në kuptimin filistin ("fëmija vizatoi një ovale", etj.). Ky është një term matematikor që ka një formulim të detajuar. Qëllimi i këtij mësimi nuk është të merret në konsideratë teoria e ovaleve dhe llojet e tyre të ndryshme, të cilave praktikisht nuk u kushtohet vëmendje në kursin standard të gjeometrisë analitike. Dhe, në përputhje me nevojat më aktuale, ne kalojmë menjëherë në përkufizimin e rreptë të një elipsi:

Elipsaështë bashkësia e të gjitha pikave të rrafshit, shuma e largësive në secilën prej të cilave nga dy pika të dhëna, të quajtura truket elipsa, është një sasi konstante, numerikisht e barabartë me gjatësinë e boshtit kryesor të kësaj elipse: .
Në këtë rast, distancat ndërmjet fokuseve janë më të vogla se kjo vlerë: .

Tani gjithçka do të bëhet më e qartë:

Imagjinoni që pika blu "udhëton" përgjatë një elipsi. Pra, pavarësisht nga pika e elipsës që marrim, shuma e gjatësive të segmenteve do të jetë gjithmonë e njëjtë:

Le të sigurohemi që në shembullin tonë vlera e shumës të jetë vërtet e barabartë me tetë. Vendosni mendërisht pikën "um" në kulmin e djathtë të elipsës, pastaj: , që është ajo që duhet të kontrollohet.

Një metodë tjetër e vizatimit të saj bazohet në përkufizimin e një elipsi. Matematika e lartë ndonjëherë është shkaku i tensionit dhe stresit, kështu që është koha për të pasur një seancë tjetër shkarkimi. Ju lutemi merrni letrën whatman ose një fletë të madhe kartoni dhe ngjiteni në tryezë me dy gozhdë. Këto do të jenë truket. Lidhni një fije jeshile në kokat e thonjve të dalë dhe tërhiqeni deri në fund me një laps. Plumbi i lapsit do të përfundojë në një pikë të caktuar që i përket elipsit. Tani filloni të lëvizni lapsin përgjatë fletës së letrës, duke e mbajtur fillin e gjelbër fort të tendosur. Vazhdoni procesin derisa të ktheheni në pikën fillestare... shumë mirë... vizatimi mund të kontrollohet nga mjeku dhe mësuesi =)

Si të gjeni vatrat e një elipsi?

Në shembullin e mësipërm, unë përshkrova pika fokale "të gatshme", dhe tani do të mësojmë se si t'i nxjerrim ato nga thellësitë e gjeometrisë.

Nëse një elipsë jepet nga një ekuacion kanonik, atëherë vatrat e saj kanë koordinata , ku eshte distanca nga çdo fokus në qendrën e simetrisë së elipsës.

Llogaritjet janë më të thjeshta se të thjeshta:

! Koordinatat specifike të vatrave nuk mund të identifikohen me kuptimin e "tse"! E përsëris se kjo është DISTANCA nga çdo fokus në qendër(që në rastin e përgjithshëm nuk ka pse të gjendet pikërisht në origjinë).
Dhe, prandaj, distanca midis vatrave gjithashtu nuk mund të lidhet me pozicionin kanonik të elipsit. Me fjalë të tjera, elipsa mund të zhvendoset në një vend tjetër dhe vlera do të mbetet e pandryshuar, ndërsa vatrat natyrisht do të ndryshojnë koordinatat e tyre. Ju lutemi, merrni parasysh këtë ndërsa eksploroni më tej temën.

Ekscentriciteti i elipsit dhe kuptimi i tij gjeometrik

Ekscentriciteti i një elipsi është një raport që mund të marrë vlera brenda intervalit.

Në rastin tonë:

Le të zbulojmë se si forma e një elipsi varet nga ekscentriciteti i saj. Për këtë rregulloni kulmet majtas dhe djathtas e elipsës në shqyrtim, pra vlera e boshtit gjysmë të madh do të mbetet konstante. Atëherë formula e ekscentricitetit do të marrë formën: .

Le të fillojmë ta afrojmë vlerën e ekscentricitetit më pranë unitetit. Kjo është e mundur vetëm nëse. Çfarë do të thotë? ...kujtoni truket . Kjo do të thotë që vatrat e elipsës do të "lëvizin larg" përgjatë boshtit të abshisës në kulmet anësore. Dhe, meqenëse "segmentet e gjelbra nuk janë gome", elipsa në mënyrë të pashmangshme do të fillojë të rrafshohet, duke u shndërruar në një sallam më të hollë dhe më të hollë të lidhur në një bosht.

Kështu, sa më afër unitetit të jetë vlera e ekcentricitetit të elipsit, aq më e zgjatur është elipsa.

Tani le të modelojmë procesin e kundërt: vatrat e elipsës ecën drejt njëri-tjetrit, duke iu afruar qendrës. Kjo do të thotë që vlera e "ce" bëhet gjithnjë e më pak dhe, në përputhje me rrethanat, ekscentriciteti tenton në zero: .
Në këtë rast, "segmentet e gjelbra", përkundrazi, "do të bëhen të mbushura me njerëz" dhe ata do të fillojnë të "shtyjnë" vijën e elipsit lart e poshtë.

Kështu, Sa më afër zeros të jetë vlera e ekscentricitetit, aq më e ngjashme është elipsa... shikoni rastin kufizues kur vatrat ribashkohen me sukses në origjinë:

Një rreth është një rast i veçantë i një elipsi

Në të vërtetë, në rastin e barazisë së gjysmëboshteve, ekuacioni kanonik i elipsës merr formën , i cili në mënyrë refleksive shndërrohet në ekuacionin e një rrethi me qendër në origjinën e rrezes "a", i njohur mirë nga shkolla.

Në praktikë më shpesh përdoret shënimi me shkronjën “e folur” “er”: . Rrezja është gjatësia e një segmenti, me secilën pikë të rrethit të hequr nga qendra me një distancë rreze.

Vini re se përkufizimi i një elipsi mbetet plotësisht i saktë: vatrat përkojnë dhe shuma e gjatësive të segmenteve që përputhen për secilën pikë në rreth është një konstante. Meqenëse distanca midis vatrave është , atëherë ekscentriciteti i çdo rrethi është zero.

Ndërtimi i një rrethi është i lehtë dhe i shpejtë, thjesht përdorni një busull. Sidoqoftë, ndonjëherë është e nevojshme të zbuloni koordinatat e disa pikave të tij, në këtë rast ne shkojmë në mënyrën e njohur - e sjellim ekuacionin në formën e gëzuar Matanov:

– funksioni i gjysmërrethit të sipërm;
– funksioni i gjysmërrethit të poshtëm.

Pastaj gjejmë vlerat e kërkuara, dallojnë , integrohen dhe bëni gjëra të tjera të mira.

Artikulli, natyrisht, është vetëm për referencë, por si mund të jetoni në botë pa dashuri? Detyrë krijuese për zgjidhje të pavarur

Shembulli 2

Hartoni ekuacionin kanonik të një elipse nëse dihet një nga vatra dhe boshti gjysmë i vogël (qendra është në origjinë). Gjeni kulme, pika shtesë dhe vizatoni një vijë në vizatim. Llogaritni ekscentricitetin.

Zgjidhje dhe vizatim në fund të orës së mësimit

Le të shtojmë një veprim:

Rrotulloni dhe përktheni paralelisht një elips

Le të kthehemi te ekuacioni kanonik i elipsës, përkatësisht te kushti, misteri i së cilës ka munduar mendjet kureshtare që nga përmendja e parë e kësaj kurbë. Kështu që ne shikuam elipsin , por a nuk është e mundur në praktikë të përmbushet ekuacioni ? Në fund të fundit, megjithatë, edhe këtu duket se është një elips!

Ky lloj ekuacioni është i rrallë, por haset. Dhe në fakt përcakton një elips. Le të çmitizojmë:

Si rezultat i ndërtimit, u përftua elipsa jonë amtare, e rrotulluar me 90 gradë. Kjo eshte, - Kjo hyrje jokanonike elips . Regjistro!- ekuacioni nuk përcakton asnjë elipsë tjetër, pasi nuk ka pika (vatra) në bosht që do të kënaqnin përkufizimin e një elipsi.