Vetitë e fuqive me baza formula të ndryshme. Vetitë themelore të shkallëve me eksponentë numër të plotë

qëllimi parësor

Të njohë nxënësit me vetitë e gradave me tregues natyrorë dhe t'i mësojë ata të kryejnë veprime me gradë.

Tema “Diploma dhe vetitë e saj” përfshin tre pyetje:

• Përcaktimi i shkallës me një tregues natyror.
• Shumëzimi dhe ndarja e fuqive.
• Përhapja e produktit dhe shkallës.

Pyetje kontrolli

1. Formuloni përkufizimin e një shkalle me një eksponent natyror më të madh se 1. Jepni një shembull.
2. Formuloni një përkufizim të shkallës me një tregues 1. Jepni një shembull.
3. Cila është rendi i veprimeve kur vlerësohet vlera e një shprehjeje që përmban fuqi?
4. Formuloni vetinë kryesore të gradës. Jep një shembull.
5. Formuloni një rregull për shumëzimin e fuqive me të njëjtën bazë. Jep një shembull.
6. Formuloni një rregull për ndarjen e fuqive me të njëjtat baza. Jep një shembull.
7. Formuloni rregullin për fuqizimin e një produkti. Jep një shembull. Vërtetoni identitetin (ab) n = a n b n .
8. Formuloni një rregull për ngritjen e një shkalle në një fuqi. Jep një shembull. Vërtetoni identitetin (a m) n = a m n .

Përkufizimi i gradës.

shkalla e numrit a me një tregues natyror n, më i madh se 1, quhet prodhim i n faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me A. shkalla e numrit A me eksponent 1 thirret vetë numri A.

Diplomë me bazë A dhe tregues nështë shkruar kështu: a n. lexohet " A në masën e n”; Fuqia n-të e një numri A ”.

Sipas përcaktimit të gradës:

a 4 = a a a a

. . . . . . . . . . . .

Gjetja e vlerës së gradës quhet fuqizimi .

1. Shembuj të fuqizimit:

3 3 = 3 3 3 = 27

0 4 = 0 0 0 0 = 0

(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125

25 ; 0,09 ;

25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .

27 ; 0,001 ; 8 .

27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .

4. Gjeni vlerat e shprehjes:

a) 3 10 3 = 3 10 10 10 = 3 1000 = 3000

b) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

opsioni 1

a) 0,3 0,3 0,3

c) b b b b b b b

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Katror numrat:

3. Kubike numrat:

4. Gjeni vlerat e shprehjes:

c) -1 4 + (-2) 3

d) -4 3 + (-3) 2

e) 100 - 5 2 4

Shumëzimi i fuqive.

Për çdo numër a dhe numra arbitrar m dhe n, sa vijon është e vërtetë:

a m a n = a m + n .

Dëshmi:

rregull : Kur shumëzohen fuqitë me të njëjtën bazë, bazat mbeten të njëjta dhe shtohen eksponentët.

a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k

a) x 5 x 4 = x 5 + 4 = x 9

b) y y 6 = y 1 y 6 = y 1 + 6 = y 7

c) b 2 b 5 b 4 \u003d b 2 + 5 + 4 \u003d b 11

d) 3 4 9 = 3 4 3 2 = 3 6

e) 0,01 0,1 3 = 0,1 2 0,1 3 = 0,1 5

a) 2 3 2 = 2 4 = 16

b) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187

opsioni 1

1. Paraqisni si diplomë:

a) x 3 x 4 e) x 2 x 3 x 4

b) a 6 a 2 g) 3 3 9

c) y 4 y h) 7 4 49

d) a a 8 i) 16 2 7

e) 2 3 2 4 j) 0,3 3 0,09

2. Paraqisni si gradë dhe gjeni vlerën në tabelë:

a) 2 2 2 3 c) 8 2 5

b) 3 4 3 2 d) 27 243

Ndarja e gradave.

Për çdo numër a0 dhe numra natyrorë arbitrarë m dhe n të tillë që m>n, vlen sa vijon:

a m: a n = a m - n

Dëshmi:

a m - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m

sipas përkufizimit të privatit:

a m: a n \u003d a m - n.

rregull: Kur pjesëtohen fuqitë me të njëjtën bazë, baza lihet e njëjtë dhe eksponenti i pjesëtuesit zbritet nga eksponenti i dividendit.

Përkufizimi: Shkalla e një numri jozero me një eksponent zero është e barabartë me një:

sepse a n: a n = 1 për a0 .

a) x 4: x 2 \u003d x 4 - 2 \u003d x 2

b) y 8: y 3 = y 8 - 3 = y 5

c) a 7: a \u003d a 7: a 1 \u003d a 7 - 1 \u003d a 6

d) s 5:s 0 = s 5:1 = s 5

a) 5 7:5 5 = 5 2 = 25

b) 10 20:10 17 = 10 3 = 1000

V)

G)

e)

opsioni 1

1. Shprehni herësin si fuqi:

2. Gjeni vlerat e shprehjeve:

Ngritja në fuqinë e një produkti.

Për çdo a dhe b dhe një numër natyror arbitrar n:

(ab) n = a n b n

Dëshmi:

Sipas përcaktimit të gradës

(ab) n =

Duke grupuar faktorët a dhe faktorët b veçmas, marrim:

=

Vetia e vërtetuar e shkallës së produktit shtrihet në shkallën e produktit të tre ose më shumë faktorëve.

Për shembull:

(a b c) n = a n b n c n ;

(a b c d) n = a n b n c n d n .

rregull: Kur rritet një produkt në një fuqi, çdo faktor ngrihet në atë fuqi dhe rezultati shumëzohet.

1. Ngritja në një fuqi:

a) (a b) 4 = a 4 b 4

b) (2 x y) 3 \u003d 2 3 x 3 y 3 \u003d 8 x 3 y 3

c) (3 a) 4 = 3 4 a 4 = 81 a 4

d) (-5 y) 3 \u003d (-5) 3 y 3 \u003d -125 y 3

e) (-0,2 x y) 2 \u003d (-0,2) 2 x 2 y 2 \u003d 0,04 x 2 y 2

f) (-3 a b c) 4 = (-3) 4 a 4 b 4 c 4 = 81 a 4 b 4 c 4

2. Gjeni vlerën e shprehjes:

a) (2 10) 4 = 2 4 10 4 = 16 1000 = 16000

b) (3 5 20) 2 = 3 2 100 2 = 9 10000 = 90000

c) 2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10000

d) 0,25 11 4 11 = (0,25 4) 11 = 1 11 = 1

e)

opsioni 1

1. Ngritja në një fuqi:

b) (2 a c) 4

e) (-0,1 x y) 3

2. Gjeni vlerën e shprehjes:

b) (5 7 20) 2

Eksponentimi.

Për çdo numër a dhe numra natyrorë arbitrar m dhe n:

(a m) n = a m n

Dëshmi:

Sipas përcaktimit të gradës

(a m) n =

Rregulli: Kur rritet një fuqi në një fuqi, baza lihet e njëjtë dhe eksponentët shumëzohen.

1. Ngritja në një fuqi:

(a 3) 2 = a 6 (x 5) 4 = x 20

(y 5) 2 = y 10 (b 3) 3 = b 9

2. Thjeshtoni shprehjet:

a) a 3 (a 2) 5 = a 3 a 10 = a 13

b) (b 3) 2 b 7 \u003d b 6 b 7 \u003d b 13

c) (x 3) 2 (x 2) 4 \u003d x 6 x 8 \u003d x 14

d) (y y 7) 3 = (y 8) 3 = y 24

A)

b)

opsioni 1

1. Ngritja në një fuqi:

a) (a 4) 2 b) (x 4) 5

c) (y 3) 2 d) (b 4) 4

2. Thjeshtoni shprehjet:

a) a 4 (a 3) 2

b) (b 4) 3 b 5+

c) (x 2) 4 (x 4) 3

d) (y y 9) 2

3. Gjeni kuptimin e shprehjeve:

Aplikacion

Përkufizimi i gradës.

Opsioni 2

1. Shkruani produktin në formën e një shkalle:

a) 0,4 0,4 ​​0,4

c) a a a a a a a a a a

d) (-y) (-y) (-y) (-y)

e) (bc) (bc) (bc)

2. Katror numrat:

3. Kubike numrat:

4. Gjeni vlerat e shprehjes:

c) -1 3 + (-2) 4

d) -6 2 + (-3) 2

e) 4 5 2 - 100

Opsioni 3

1. Shkruani produktin si një shkallë:

a) 0,5 0,5 0,5

c) c c c c c c c c c

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Paraqisni në formë katrori numrin: 100; 0,49; .

3. Kubike numrat:

4. Gjeni vlerat e shprehjes:

c) -1 5 + (-3) 2

d) -5 3 + (-4) 2

e) 5 4 2 - 100

Opsioni 4

1. Shkruani produktin si një shkallë:

a) 0,7 0,7 0,7

c) x x x x x x

d) (-а) (-а) (-а)

e) (bc) (bc) (bc) (bc)

2. Katror numrat:

3. Kubike numrat:

4. Gjeni vlerat e shprehjes:

c) -1 4 + (-3) 3

d) -3 4 + (-5) 2

e) 100 - 3 2 5

Shumëzimi i fuqive.

Opsioni 2

1. Paraqisni si diplomë:

a) x 4 x 5 e) x 3 x 4 x 5

b) a 7 a 3 g) 2 3 4

c) y 5 y h) 4 3 16

d) a 7 i) 4 2 5

e) 2 2 2 5 j) 0,2 3 0,04

2. Paraqisni si gradë dhe gjeni vlerën në tabelë:

a) 3 2 3 3 c) 16 2 3

b) 2 4 2 5 d) 9 81

Opsioni 3

1. Paraqisni si diplomë:

a) a 3 a 5 e) y 2 y 4 y 6

b) x 4 x 7 g) 3 5 9

c) b 6 b h) 5 3 25

d) y 8 i) 49 7 4

e) 2 3 2 6 j) 0,3 4 0,27

2. Paraqisni si gradë dhe gjeni vlerën në tabelë:

a) 3 3 3 4 c) 27 3 4

b) 2 4 2 6 d) 16 64

Opsioni 4

1. Paraqisni si diplomë:

a) a 6 a 2 e) x 4 x x 6

b) x 7 x 8 g) 3 4 27

c) y 6 y h) 4 3 16

d) x x 10 i) 36 6 3

e) 2 4 2 5 j) 0,2 2 0,008

2. Paraqisni si gradë dhe gjeni vlerën në tabelë:

a) 2 6 2 3 c) 64 2 4

b) 3 5 3 2 d) 81 27

Ndarja e gradave.

Opsioni 2

1. Shprehni herësin si fuqi:

2. Gjeni kuptimin e shprehjeve.

Koncepti i një diplome në matematikë është futur që në klasën e 7-të në një mësim algjebër. Dhe në të ardhmen, gjatë gjithë kursit të studimit të matematikës, ky koncept përdoret në mënyrë aktive në format e tij të ndryshme. Diplomat janë një temë mjaft e vështirë, që kërkon memorizimin e vlerave dhe aftësinë për të numëruar saktë dhe shpejt. Për punë më të shpejtë dhe më të mirë me diplomat e matematikës, ata dolën me vetitë e një diplome. Ato ndihmojnë për të zvogëluar llogaritjet e mëdha, për të kthyer një shembull të madh në një numër të vetëm në një farë mase. Nuk ka aq shumë prona, dhe të gjitha ato janë të lehta për t'u mbajtur mend dhe zbatuar në praktikë. Prandaj, artikulli diskuton vetitë kryesore të gradës, si dhe vendin ku ato aplikohen.

vetitë e shkallës

Ne do të shqyrtojmë 12 veti të një shkalle, duke përfshirë vetitë e fuqive me të njëjtën bazë, dhe do të japim një shembull për secilën pronë. Secila prej këtyre veçorive do t'ju ndihmojë të zgjidhni problemet me gradë më shpejt, si dhe do t'ju shpëtojë nga gabimet e shumta llogaritëse.

Prona e parë.

Shumë njerëz shpesh e harrojnë këtë pronë, bëjnë gabime, duke përfaqësuar një numër në shkallën zero si zero.

Prona e 2-të.

Prona e 3-të.

Duhet mbajtur mend se kjo veti mund të përdoret vetëm kur shumëzohen numrat, nuk funksionon me shumën! Dhe nuk duhet të harrojmë se kjo dhe vetitë e mëposhtme vlejnë vetëm për fuqitë me të njëjtën bazë.

Prona e 4-të.

Nëse numri në emërues rritet në një fuqi negative, atëherë kur zbritet, shkalla e emëruesit merret në kllapa për të zëvendësuar saktë shenjën në llogaritjet e mëtejshme.

Prona funksionon vetëm kur ndahet, jo kur zbritet!

Prona e 5-të.

Prona e 6-të.

Kjo veti mund të zbatohet edhe në të kundërt. Një njësi e ndarë me një numër në një farë mase është ai numër në një fuqi negative.

Prona e 7-të.

Kjo pronë nuk mund të zbatohet për shumën dhe diferencën! Kur rritet një shumë ose diferencë në një fuqi, përdoren formulat e shkurtuara të shumëzimit, jo vetitë e fuqisë.

Prona e 8-të.

Prona e 9-të.

Kjo veti funksionon për çdo shkallë thyesore me numërues të barabartë me një, formula do të jetë e njëjtë, vetëm shkalla e rrënjës do të ndryshojë në varësi të emëruesit të shkallës.

Gjithashtu, kjo pronë shpesh përdoret në rend të kundërt. Rrënja e çdo fuqie të një numri mund të përfaqësohet si ai numër në fuqinë e një të ndarë me fuqinë e rrënjës. Kjo veti është shumë e dobishme në rastet kur rrënja e numrit nuk është nxjerrë.

Prona e 10-të.

Kjo pronë funksionon jo vetëm me rrënjën katrore dhe shkallën e dytë. Nëse shkalla e rrënjës dhe shkalla në të cilën është ngritur kjo rrënjë janë të njëjta, atëherë përgjigja do të jetë një shprehje radikale.

Prona e 11-të.

Ju duhet të jeni në gjendje ta shihni këtë pronë në kohë kur e zgjidhni atë në mënyrë që të shpëtoni nga llogaritjet e mëdha.

Prona e 12-të.

Secila prej këtyre veçorive do t'ju takojë më shumë se një herë në detyra, mund të jepet në formën e saj të pastër ose mund të kërkojë disa transformime dhe përdorimin e formulave të tjera. Prandaj, për zgjidhjen e saktë nuk mjafton të njihni vetëm vetitë, duhet të praktikoni dhe lidhni pjesën tjetër të njohurive matematikore.

Zbatimi i gradave dhe vetitë e tyre

Ato përdoren në mënyrë aktive në algjebër dhe gjeometri. Diplomat në matematikë kanë një vend të veçantë, të rëndësishëm. Me ndihmën e tyre, zgjidhen ekuacionet eksponenciale dhe pabarazitë, si dhe fuqitë shpesh ndërlikojnë ekuacionet dhe shembujt që lidhen me seksionet e tjera të matematikës. Eksponentët ndihmojnë për të shmangur llogaritjet e mëdha dhe të gjata, është më e lehtë të zvogëlohen dhe llogariten eksponentët. Por për të punuar me fuqi të mëdha, ose me fuqi të numrave të mëdhenj, duhet të dini jo vetëm vetitë e shkallës, por edhe të punoni me kompetencë me bazat, të jeni në gjendje t'i zbërtheni ato në mënyrë që ta lehtësoni detyrën tuaj. Për lehtësi, duhet të dini gjithashtu kuptimin e numrave të ngritur në një fuqi. Kjo do të zvogëlojë kohën tuaj në zgjidhje duke eliminuar nevojën për llogaritje të gjata.

Koncepti i shkallës luan një rol të veçantë në logaritme. Meqenëse logaritmi, në thelb, është fuqia e një numri.

Formulat e shkurtuara të shumëzimit janë një shembull tjetër i përdorimit të fuqive. Ata nuk mund të përdorin vetitë e shkallëve, ato zbërthehen sipas rregullave të veçanta, por në secilën formulë të shkurtuar të shumëzimit ka pa ndryshim shkallë.

Diplomat përdoren gjithashtu në mënyrë aktive në fizikë dhe shkenca kompjuterike. Të gjitha përkthimet në sistemin SI bëhen duke përdorur shkallë, dhe në të ardhmen, kur zgjidhen problemet, zbatohen vetitë e shkallës. Në shkencën kompjuterike, fuqitë e dy përdoren në mënyrë aktive, për lehtësinë e numërimit dhe thjeshtimin e perceptimit të numrave. Llogaritjet e mëtejshme për shndërrimet e njësive matëse ose llogaritjet e problemeve, ashtu si në fizikë, ndodhin duke përdorur vetitë e shkallës.

Diplomat janë gjithashtu shumë të dobishme në astronomi, ku rrallë mund të gjesh përdorimin e vetive të një diplome, por vetë shkallët përdoren në mënyrë aktive për të shkurtuar regjistrimin e sasive dhe distancave të ndryshme.

Diplomat përdoren edhe në jetën e përditshme, kur llogariten sipërfaqet, vëllimet, distancat.

Me ndihmën e gradave, shkruhen vlera shumë të mëdha dhe shumë të vogla në çdo fushë të shkencës.

ekuacionet eksponenciale dhe pabarazitë

Vetitë e shkallës zënë një vend të veçantë pikërisht në ekuacionet dhe pabarazitë eksponenciale. Këto detyra janë shumë të zakonshme, si në kursin e shkollës ashtu edhe në provime. Të gjitha zgjidhen duke zbatuar vetitë e gradës. E panjohura është gjithmonë në vetë shkallën, prandaj, duke ditur të gjitha vetitë, nuk do të jetë e vështirë të zgjidhet një ekuacion ose pabarazi e tillë.

Pasi të jetë përcaktuar shkalla e, është logjike të flasim vetitë e shkallës. Në këtë artikull, ne do të japim vetitë themelore të shkallës së një numri, duke prekur të gjithë eksponentët e mundshëm. Këtu do të japim prova të të gjitha vetive të shkallës, dhe gjithashtu do të tregojmë se si zbatohen këto veti gjatë zgjidhjes së shembujve.

Navigimi i faqes.

Vetitë e gradave me tregues natyrorë

Nga përcaktimi i shkallës me një tregues natyror fuqia e një n është prodhimi i n faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me a. Bazuar në këtë përkufizim, dhe duke përdorur Vetitë e shumëzimit të numrit real, ne mund të marrim dhe justifikojmë sa vijon vetitë e shkallës me eksponent natyror:

1. vetia kryesore e shkallës a m ·a n =a m+n, përgjithësimi i saj;
2. vetia e fuqive të pjesshme me baza të njëjta a m:a n =a m−n ;
3. vetia e shkallës së produktit (a b) n =a n b n , shtrirja e saj ;
4. veti herës në lloj (a:b) n =a n:b n ;
5. fuqizimi (a m) n =a m n , përgjithësimi i tij ((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 n 2 ... n k;
6. duke krahasuar shkallën me zero:
   • nëse a>0, atëherë a n >0 për çdo n natyrale;
   • nëse a=0 , atëherë a n =0 ;
   • nese nje<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 nëse a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
7. nëse a dhe b janë numra pozitivë dhe a
8. nëse m dhe n janë numra natyrorë të tillë që m>n , atëherë në 0 0 pabarazia a m >a n është e vërtetë.

Vëmë re menjëherë se të gjitha barazitë e shkruara janë identike në kushtet e specifikuara, dhe pjesët e tyre të djathta dhe të majta mund të ndërrohen. Për shembull, vetia kryesore e thyesës a m a n = a m + n me thjeshtimi i shprehjeve përdoret shpesh në formën a m+n = a m a n.

Tani le të shohim secilën prej tyre në detaje.

Le të fillojmë me vetinë e prodhimit të dy fuqive me baza të njëjta, e cila quhet vetia kryesore e diplomës: për çdo numër real a dhe çdo numër natyror m dhe n, barazia a m ·a n =a m+n është e vërtetë.

Le të vërtetojmë vetinë kryesore të gradës. Me përcaktimin e një shkalle me një eksponent natyror, prodhimi i fuqive me baza të njëjta të formës a m a n mund të shkruhet si prodhim. Për shkak të vetive të shumëzimit, shprehja që rezulton mund të shkruhet si , dhe ky produkt është fuqia e a me eksponent natyror m+n , pra një m+n . Kjo plotëson provën.

Le të japim një shembull që konfirmon vetinë kryesore të gradës. Le të marrim gradë me të njëjtat baza 2 dhe fuqi natyrore 2 dhe 3, sipas vetive kryesore të shkallës, mund të shkruajmë barazinë 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Le të kontrollojmë vlefshmërinë e tij, për të cilën llogarisim vlerat e shprehjeve 2 2 · 2 3 dhe 2 5 . Përmbushja fuqizimi, ne kemi 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 dhe 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32, pasi fitohen vlera të barabarta, atëherë barazia 2 2 2 3 \u003d 2 5 është e saktë dhe konfirmon vetinë kryesore të shkallës.

Vetia kryesore e një shkalle bazuar në vetitë e shumëzimit mund të përgjithësohet në produktin e tre ose më shumë shkallëve me të njëjtat baza dhe eksponentë natyrorë. Pra, për çdo numër k të numrave natyrorë n 1 , n 2 , …, n k barazia a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Për shembull, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Mund të kaloni në pronën tjetër të shkallëve me një tregues natyror - pasuria e fuqive të pjesshme me baza të njëjta: për çdo numër real jozero a dhe numra natyrorë arbitrarë m dhe n që plotësojnë kushtin m>n , barazia a m:a n =a m−n është e vërtetë.

Përpara se të japim vërtetimin e kësaj vetie, le të diskutojmë kuptimin e kushteve shtesë në formulim. Kushti a≠0 është i nevojshëm për të shmangur pjesëtimin me zero, pasi 0 n =0, dhe kur u njohëm me pjesëtimin, ramë dakord që është e pamundur të pjesëtohet me zero. Parashtrohet kushti m>n që të mos shkojmë përtej eksponentëve natyrorë. Në të vërtetë, për m>n eksponenti a m−n është një numër natyror, përndryshe do të jetë ose zero (që ndodh për m−n ) ose një numër negativ (që ndodh për m

Dëshmi. Vetia kryesore e një thyese na lejon të shkruajmë barazinë a m−n a n =a (m−n)+n =a m. Nga barazia e fituar a m−n ·a n =a m dhe prej tij del se një m−n është një herës fuqish të a m dhe a n. Kjo dëshmon vetinë e fuqive të pjesshme me të njëjtat baza.

Le të marrim një shembull. Le të marrim dy gradë me të njëjtat baza π dhe eksponentë natyrorë 5 dhe 2, vetia e konsideruar e shkallës korrespondon me barazinë π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.

Tani merrni parasysh vetia e shkallës së produktit: shkalla natyrore n e prodhimit të çdo dy numrash realë a dhe b është e barabartë me prodhimin e shkallëve a n dhe b n , pra (a b) n =a n b n .

Në të vërtetë, sipas përkufizimit të një shkalle me një eksponent natyror, ne kemi . Prodhimi i fundit, bazuar në vetitë e shumëzimit, mund të rishkruhet si , e cila është e barabartë me një n b n.

Ja një shembull: .

Kjo veti shtrihet në shkallën e produktit të tre ose më shumë faktorëve. Kjo do të thotë, vetia e fuqisë natyrore n e prodhimit të k faktorëve shkruhet si (a 1 a 2 ... a k) n =a 1 n a 2 n ... a k n.

Për qartësi, ne e tregojmë këtë pronë me një shembull. Për produktin e tre faktorëve në fuqinë 7, kemi .

Prona tjetër është pasuri natyrore: herësi i numrave realë a dhe b , b≠0 ndaj fuqisë natyrore n është i barabartë me herësin e fuqive a n dhe b n , pra (a:b) n =a n:b n .

Prova mund të kryhet duke përdorur pronën e mëparshme. Kështu që (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, dhe barazia (a:b) n b n =a n nënkupton që (a:b) n është herësi i një n i pjesëtuar me b n .

Le ta shkruajmë këtë veti duke përdorur shembullin e numrave specifikë: .

Tani le të zëmë vetia e eksponencës: për çdo numër real a dhe çdo numër natyror m dhe n, fuqia e a m në fuqinë e n është e barabartë me fuqinë e a me eksponent m·n , pra (a m) n =a m·n .

Për shembull, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .

Vërtetimi i vetive të fuqisë në një shkallë është zinxhiri i mëposhtëm i barazive: .

Prona e konsideruar mund të zgjerohet në shkallë brenda shkallës, e kështu me radhë. Për shembull, për çdo numër natyror p, q, r dhe s, barazia . Për qartësi më të madhe, këtu është një shembull me numra specifikë: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Mbetet të ndalemi në vetitë e krahasimit të shkallëve me një eksponent natyror.

Le të fillojmë duke vërtetuar vetinë e krahasimit të zeros dhe shkallës me një eksponent natyror.

Së pari, le të justifikojmë se a n >0 për çdo a>0 .

Prodhimi i dy numrave pozitivë është një numër pozitiv, siç del nga përkufizimi i shumëzimit. Ky fakt dhe vetitë e shumëzimit na lejojnë të pohojmë se rezultati i shumëzimit të çdo numri numrash pozitivë do të jetë gjithashtu një numër pozitiv. Dhe fuqia e a me eksponent natyror n është, sipas përkufizimit, prodhimi i n faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me a. Këto argumente na lejojnë të pohojmë se për çdo bazë pozitive a, shkalla e a n është një numër pozitiv. Në bazë të pasurisë së provuar 3 5 >0 , (0.00201) 2 >0 dhe .

Është mjaft e qartë se për çdo n natyrore me a=0 shkalla e a n është zero. Në të vërtetë, 0 n =0·0·…·0=0 . Për shembull, 0 3 = 0 dhe 0 762 = 0 .

Le të kalojmë në baza negative.

Le të fillojmë me rastin kur eksponenti është numër çift, e shënojmë si 2 m , ku m është numër natyror. Pastaj . Për secilin prej produkteve të formës a·a është i barabartë me produktin e moduleve të numrave a dhe a, pra, është një numër pozitiv. Prandaj, produkti do të jetë gjithashtu pozitiv. dhe shkalla a 2 m . Këtu janë shembuj: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 dhe .

Së fundi, kur baza e a është një numër negativ dhe eksponenti është një numër tek 2 m−1, atëherë . Të gjithë prodhimet a·a janë numra pozitivë, prodhimi i këtyre numrave pozitivë është gjithashtu pozitiv dhe shumëzimi i tij me numrin e mbetur negativ a rezulton në një numër negativ. Për shkak të kësaj vetie (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Kthehemi te vetia e krahasimit të shkallëve me eksponentë të njëjtë natyrorë, e cila ka formulimin e mëposhtëm: prej dy gradësh me eksponentë të njëjtë natyrorë, n është më e vogël se ajo që ka bazën më të vogël dhe më shumë se ajo që ka bazën më të madhe. Le ta vërtetojmë.

Pabarazi a n vetitë e pabarazive pabarazia që vërtetohet e formës a n .

Mbetet për të vërtetuar të fundit nga vetitë e renditura të fuqive me eksponentë natyrorë. Le ta formulojmë. Nga dy shkallët me tregues natyrorë dhe me të njëjtat baza pozitive, më pak se një, shkalla është më e madhe, treguesi i së cilës është më i vogël; dhe prej dy shkallësh me tregues natyrorë dhe baza të njëjta më të mëdha se një, shkalla treguesi i së cilës është më i madh është më i madh. Ne i drejtohemi vërtetimit të kësaj prone.

Le të vërtetojmë se për m>n dhe 0 0 për shkak të kushtit fillestar m>n , nga ku rrjedh se në 0

Mbetet të vërtetohet pjesa e dytë e pasurisë. Le të vërtetojmë se për m>n dhe a>1, a m >a n është e vërtetë. Ndryshimi a m −a n pas nxjerrjes së një n nga kllapat merr formën a n ·(a m−n −1) . Ky produkt është pozitiv, pasi për a>1 shkalla e a n është një numër pozitiv, dhe ndryshimi a m−n −1 është një numër pozitiv, pasi m−n>0 për shkak të kushtit fillestar, dhe për a>1, shkalla e një m−n është më e madhe se një . Prandaj, a m − a n >0 dhe a m >a n, që duhej vërtetuar. Kjo veti ilustrohet nga pabarazia 3 7 >3 2 .

Vetitë e shkallëve me eksponentë numër të plotë

Meqenëse numrat e plotë pozitivë janë numra natyrorë, atëherë të gjitha vetitë e fuqive me eksponentë të numrave të plotë pozitivë përkojnë saktësisht me vetitë e fuqive me eksponentë natyrorë të renditur dhe vërtetuar në paragrafin e mëparshëm.

Shkallë me eksponent negativ numër të plotë, si dhe shkallën me eksponent zero, e përcaktuam në atë mënyrë që të gjitha vetitë e shkallëve me eksponentë natyrorë të shprehur me barazi të mbeten të vlefshme. Prandaj, të gjitha këto veti janë të vlefshme si për eksponentë zero ashtu edhe për eksponentë negativë, ndërsa, natyrisht, bazat e shkallëve janë jozero.

Pra, për çdo numër real dhe jozero a dhe b, si dhe për çdo numër të plotë m dhe n, sa vijon janë të vërteta vetitë e shkallëve me eksponentë të plotë:

1. a m a n \u003d a m + n;
2. a m: a n = a m−n ;
3. (a b) n = a n b n ;
4. (a:b) n =a n:b n ;
5. (a m) n = a m n;
6. nëse n është një numër i plotë pozitiv, a dhe b janë numra pozitivë dhe a b-n;
7. nëse m dhe n janë numra të plotë, dhe m>n, atëherë në 0 1 plotësohet pabarazia a m >a n.

Për a=0, fuqitë a m dhe a n kanë kuptim vetëm kur të dy m dhe n janë numra të plotë pozitivë, domethënë numra natyrorë. Kështu, vetitë e sapo shkruara vlejnë edhe për rastet kur a=0 dhe numrat m dhe n janë numra të plotë pozitiv.

Nuk është e vështirë të vërtetosh secilën nga këto veti, për këtë mjafton të përdoren përkufizimet e shkallës me një eksponent natyror dhe numër të plotë, si dhe vetitë e veprimeve me numra realë. Si shembull, le të vërtetojmë se vetia e fuqisë vlen si për numrat e plotë pozitivë ashtu edhe për ato jopozitive. Për ta bërë këtë, ne duhet të tregojmë se nëse p është zero ose një numër natyror dhe q është zero ose një numër natyror, atëherë barazitë (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) dhe (a−p)−q =a (−p) (−q). Le ta bejme.

Për p dhe q pozitive, barazia (a p) q =a p·q u vërtetua në nënseksionin e mëparshëm. Nëse p=0 , atëherë kemi (a 0) q =1 q =1 dhe a 0 q =a 0 =1 , prej nga (a 0) q =a 0 q . Në mënyrë të ngjashme, nëse q=0 , atëherë (a p) 0 =1 dhe a p 0 =a 0 =1 , prej nga (a p) 0 =a p 0 . Nëse edhe p=0 edhe q=0 , atëherë (a 0) 0 =1 0 =1 dhe a 0 0 =a 0 =1 , prej nga (a 0) 0 =a 0 0 .

Le të vërtetojmë tani se (a −p) q =a (−p) q . Sipas përkufizimit të një shkalle me një eksponent negativ të numrit të plotë, atëherë . Nga vetia e herësit në shkallë, kemi . Meqenëse 1 p =1·1·…·1=1 dhe , atëherë . Shprehja e fundit është, sipas përkufizimit, një fuqi e formës a −(p q) , e cila, në bazë të rregullave të shumëzimit, mund të shkruhet si a (−p) q .

Në mënyrë të ngjashme .

DHE .

Me të njëjtin parim, mund të vërtetohen të gjitha vetitë e tjera të një shkalle me një eksponent numër të plotë, të shkruar në formën e barazive.

Në të parafundit të vetive të regjistruara, vlen të ndalemi në vërtetimin e pabarazisë a −n >b −n , e cila është e vërtetë për çdo numër të plotë negativ −n dhe çdo pozitiv a dhe b për të cilin kushti a . Meqenëse nga kushti a 0 . Prodhimi a n ·b n është gjithashtu pozitiv si prodhimi i numrave pozitivë a n dhe b n . Atëherë thyesa që rezulton është pozitive si herës i numrave pozitivë b n − a n dhe a n b n . Prandaj, prej nga a −n >b −n , që duhej vërtetuar.

Vetia e fundit e shkallëve me eksponentë të plotë vërtetohet në të njëjtën mënyrë si vetia analoge e shkallëve me eksponentë natyrorë.

Vetitë e fuqive me eksponentë racional

Shkallë me një eksponent thyesor ne përcaktuam duke zgjeruar në të vetitë e një shkalle me një eksponent numër të plotë. Me fjalë të tjera, shkallët me eksponentë thyesorë kanë të njëjtat veti si shkallët me eksponentë të plotë. Gjegjësisht:

Vërtetimi i vetive të shkallëve me eksponentë thyesorë bazohet në përcaktimin e një shkalle me një eksponent thyesor, mbi dhe në vetitë e një shkalle me një eksponent numër të plotë. Le të japim prova.

Nga përkufizimi i shkallës me një eksponent thyesor dhe , atëherë . Vetitë e rrënjës aritmetike na lejojnë të shkruajmë barazitë e mëposhtme. Më tej, duke përdorur vetinë e shkallës me një eksponent numër të plotë, marrim , prej nga, me përcaktimin e një shkalle me një eksponent të pjesshëm, kemi , dhe eksponenti i shkallës së fituar mund të konvertohet si më poshtë: . Kjo plotëson provën.

Vetia e dytë e fuqive me eksponentë thyesorë vërtetohet saktësisht në të njëjtën mënyrë:

Pjesa tjetër e barazive vërtetohet nga parime të ngjashme:

I drejtohemi vërtetimit të pasurisë së radhës. Le të vërtetojmë se për çdo pozitiv a dhe b , a b p . Numrin racional p e shkruajmë si m/n , ku m është një numër i plotë dhe n është një numër natyror. Kushtet f<0 и p>0 në këtë rast do të jetë ekuivalente me kushtet m<0 и m>0 respektivisht. Për m>0 dhe a

Në mënyrë të ngjashme, për m<0 имеем a m >b m , prej nga , domethënë, dhe a p >b p .

Mbetet për të vërtetuar të fundit nga pronat e listuara. Le të vërtetojmë se për numrat racional p dhe q, p>q për 0 0 – pabarazi a p >a q . Ne gjithmonë mund t'i reduktojmë numrat racionalë p dhe q në një emërues të përbashkët, le të marrim thyesat e zakonshme dhe, ku m 1 dhe m 2 janë numra të plotë, dhe n është një numër natyror. Në këtë rast, kushti p>q do t'i korrespondojë kushtit m 1 >m 2, i cili rrjedh nga . Pastaj, nga vetia e krahasimit të fuqive me të njëjtat baza dhe eksponentë natyrorë në 0 1 – pabarazi a m 1 >a m 2 . Këto pabarazi për nga vetitë e rrënjëve mund të rishkruhen, përkatësisht, si Dhe . Dhe përcaktimi i një shkalle me një eksponent racional na lejon të kalojmë në pabarazitë dhe, përkatësisht. Nga kjo nxjerrim përfundimin përfundimtar: për p>q dhe 0 0 – pabarazi a p >a q .

Vetitë e shkallëve me eksponentë irracionalë

Nga mënyra se si është përcaktuar shkallë me një eksponent irracional, mund të konkludojmë se i ka të gjitha vetitë e fuqive me eksponentë racionalë. Pra, për çdo a>0 , b>0 dhe numra irracionalë p dhe q sa vijon janë të vërteta vetitë e shkallëve me eksponentë irracionalë:

1. a p a q = a p + q;
2. a p:a q = a p−q ;
3. (a b) p = a p b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q = a p q ;
6. për çdo numër pozitiv a dhe b , a 0 pabarazia a p b p ;
7. për numrat irracionalë p dhe q, p>q në 0 0 – pabarazi a p >a q .

Nga kjo mund të konkludojmë se fuqitë me çdo eksponent real p dhe q për a>0 kanë të njëjtat veti.

Bibliografi.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Teksti mësimor Matematika Zh për 5 qeliza. institucionet arsimore.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algjebra: një libër shkollor për 7 qeliza. institucionet arsimore.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algjebra: tekst shkollor për 8 qeliza. institucionet arsimore.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algjebra: një libër shkollor për 9 qeliza. institucionet arsimore.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dhe të tjera.Algjebra dhe fillimet e analizës: Libër mësuesi për klasat 10-11 të institucioneve të arsimit të përgjithshëm.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (një manual për aplikantët në shkollat ​​teknike).

Video mësimi 2: Diplomë me një tregues natyror dhe vetitë e tij

Ligjërata:

Diplomë me një tregues natyror

Nën shkallë ndonjë numër "A" me disa tregues "n" kuptojnë prodhimin e një numri "A" më vete "n" një herë.

Kur flasim për një diplomë me një tregues natyror, kjo do të thotë se numri "n" duhet të jetë numër i plotë dhe jo negativ.

A- baza e shkallës, e cila tregon se cili numër duhet të shumëzohet me vetveten,

n- eksponent - tregon sa herë baza duhet të shumëzohet në vetvete.

Për shembull:

8 4 = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.

Në këtë rast, baza e shkallës është numri "8", eksponenti është numri "4", vlera e shkallës është numri "4096".

Gabimi më i madh dhe më i zakonshëm në llogaritjen e shkallës është shumëzimi i eksponentit me bazën - KJO NUK ËSHTË E VËRTETË!

Kur bëhet fjalë për një shkallë me një eksponent natyror, do të thotë se vetëm eksponenti (n) duhet të jetë një numër natyror.

Çdo numër në vijën numerike mund të përdoret si bazë.

Për shembull,

(-0,1) 3 = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).

Veprimi matematik që kryhet mbi bazën dhe eksponentin quhet fuqizim.

Mbledhja / zbritja është operacioni matematikor i fazës së parë, shumëzimi / pjesëtimi është operacioni i fazës së dytë, eksponentimi është operacioni matematikor i fazës së tretë, domethënë një nga më të lartat.

Kjo hierarki e veprimeve matematikore përcakton rendin në llogaritje. Nëse ky veprim ndodh në detyrat midis dy të mëparshmeve, atëherë ai kryhet së pari.

Për shembull:

15 + 6 *2 2 = 39

Në këtë shembull, së pari duhet të ngrini 2 në fuqi, domethënë

pastaj shumëzojeni rezultatin me 6, domethënë

Një shkallë me një eksponent natyror përdoret jo vetëm për llogaritjet specifike, por edhe për lehtësinë e shkrimit të numrave të mëdhenj. Në këtë rast përdoret edhe koncepti "Formulari standard i numrave". Kjo hyrje nënkupton shumëzimin e një numri të caktuar nga 1 në 9 me një bazë fuqie të barabartë me 10 me disa eksponent.

Për shembull, për të shkruar rrezen e Tokës në formë standarde, përdorni shënimin e mëposhtëm:

6400000 m = 6.4 * 10 6 m,

dhe masa e Tokës, për shembull, shkruhet si më poshtë:

vetitë e shkallës

Për lehtësinë e zgjidhjes së shembujve me gradë, është e nevojshme të njihen vetitë e tyre kryesore:

1. Nëse keni nevojë të shumëzoni dy fuqi që kanë të njëjtën bazë, atëherë në këtë rast baza duhet të lihet e pandryshuar dhe treguesit të shtohen.

a n * a m = a n+m

Për shembull:

5 2 * 5 4 = 5 6 .

2. Nëse është e nevojshme të ndahen dy shkallë që kanë të njëjtën bazë, atëherë në këtë rast baza duhet të lihet e pandryshuar dhe treguesit të zbriten. Ju lutemi vini re se për veprimet me fuqi me një eksponent natyror, eksponenti i dividendit duhet të jetë më i madh se eksponenti i pjesëtuesit. Përndryshe, herësi i këtij veprimi do të jetë një numër me eksponent negativ.

a n / a m = a n-m

Për shembull,

5 4 * 5 2 = 5 2 .

3. Nëse është e nevojshme të rritet një fuqi në një tjetër, baza e rezultatit mbetet i njëjti numër dhe eksponentët shumëzohen.

(a n) m = a n*m

Për shembull,

4. Nëse është e nevojshme të ngrihet prodhimi i numrave arbitrar në një fuqi të caktuar, atëherë mund të përdorim një ligj të caktuar shpërndarjeje, në të cilin marrim produktin e bazave të ndryshme në të njëjtën shkallë.

(a * b) m = a m * b m

Për shembull,

(5 * 8) 2 = 5 2 * 8 2 .

5. Një pronë e ngjashme mund të përdoret për të ndarë fuqitë, me fjalë të tjera, për të ngritur një dyshe të zakonshme në një fuqi.

(a / b) m = a m / b m

6. Çdo numër që është ngritur në një eksponent të barabartë me një është i barabartë me numrin fillestar.

a 1 = a

Për shembull,

7. Kur ngrihet një numër në një fuqi me një eksponent zero, rezultati i kësaj llogaritjeje do të jetë gjithmonë një.

dhe 0 = 1

Për shembull,

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Karakteristikat e elementit të karbonit dhe vetitë kimike