Cila është baza e një piramide të rregullt trekëndore. Piramida

Ky udhëzues video do t'i ndihmojë përdoruesit të kenë një ide për temën e Piramidës. Piramida e saktë. Në këtë mësim do të njihemi me konceptin e një piramide dhe do t'i japim një përkufizim. Le të shqyrtojmë se çfarë është një piramidë e rregullt dhe cilat veti ka. Pastaj vërtetojmë teoremën për sipërfaqen anësore të një piramide të rregullt.

Në këtë mësim do të njihemi me konceptin e një piramide dhe do t'i japim një përkufizim.

Konsideroni një shumëkëndësh A 1 A 2...Një n, e cila shtrihet në rrafshin α, dhe pika P, e cila nuk shtrihet në rrafshin α (Fig. 1). Le të lidhim pikat P me majat A 1, A 2, A 3, … Një n. marrim n trekëndëshat: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R e kështu me radhë.

Përkufizimi. Polyedron RA 1 A 2 ...A n, e përbërë nga n- katror A 1 A 2...Një n Dhe n trekëndëshat RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 quhet n-piramida e qymyrit. Oriz. 1.

Oriz. 1

Konsideroni një piramidë katërkëndore PABCD(Fig. 2).

R- maja e piramidës.

ABCD- baza e piramidës.

RA- brinjë anësore.

AB- brinjë bazë.

Nga pika R le të hedhim pingulën RN në rrafshin bazë ABCD. Vizatuar pingul është lartësia e piramidës.

Oriz. 2

Sipërfaqja e plotë e piramidës përbëhet nga sipërfaqja anësore, domethënë sipërfaqja e të gjitha faqeve anësore dhe sipërfaqja e bazës:

S e plotë = ana S + S kryesore

Një piramidë quhet e saktë nëse:

• baza e tij është një shumëkëndësh i rregullt;
• segmenti që lidh majën e piramidës me qendrën e bazës është lartësia e saj.

Shpjegim duke përdorur shembullin e një piramide të rregullt katërkëndore

Konsideroni një piramidë të rregullt katërkëndore PABCD(Fig. 3).

R- maja e piramidës. Baza e piramidës ABCD- një katërkëndësh i rregullt, domethënë një katror. Pika RRETH, pika e prerjes së diagonaleve, është qendra e katrorit. Do të thotë, ROështë lartësia e piramidës.

Oriz. 3

Shpjegim: në të saktë n Në një trekëndësh, qendra e rrethit të brendashkruar dhe qendra e rrethit përputhen. Kjo qendër quhet qendra e shumëkëndëshit. Ndonjëherë ata thonë se kulmi është projektuar në qendër.

Lartësia e faqes anësore të një piramide të rregullt të nxjerrë nga kulmi i saj quhet apotemë dhe është caktuar h a.

1. të gjitha skajet anësore të një piramide të rregullt janë të barabarta;

2. Faqet anësore janë trekëndësha të barabartë dykëndësh.

Ne do të japim një provë të këtyre vetive duke përdorur shembullin e një piramide të rregullt katërkëndore.

E dhënë: PABCD- piramida e rregullt katërkëndore,

ABCD- katror,

RO- lartësia e piramidës.

Provoj:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Shih Fig. 4.

Oriz. 4

Dëshmi.

RO- lartësia e piramidës. Domethënë drejt RO pingul me rrafshin ABC, dhe për këtë arsye e drejtpërdrejtë SHA, VO, SO Dhe BËJ i shtrirë në të. Pra trekëndëshat ROA, ROV, ROS, ROD- drejtkëndëshe.

Konsideroni një katror ABCD. Nga vetitë e një katrori rrjedh se AO = VO = CO = BËJ.

Pastaj trekëndëshat kënddrejtë ROA, ROV, ROS, ROD këmbën RO- të përgjithshme dhe këmbët SHA, VO, SO Dhe BËJ janë të barabartë, që do të thotë se këta trekëndësha janë të barabartë në dy brinjë. Nga barazia e trekëndëshave rrjedh barazia e segmenteve, RA = PB = RS = PD. Pika 1 është vërtetuar.

Segmentet AB Dhe dielli janë të barabarta sepse janë brinjë të të njëjtit katror, RA = PB = RS. Pra trekëndëshat AVR Dhe VSR - barazcelulare dhe të barabarta në tre anët.

Në mënyrë të ngjashme gjejmë se trekëndëshat ABP, VCP, CDP, DAP janë dykëndësh dhe të barabartë, siç kërkohet të vërtetohet në paragrafin 2.

Sipërfaqja e sipërfaqes anësore të një piramide të rregullt është e barabartë me gjysmën e produktit të perimetrit të bazës dhe apotemës:

Për ta vërtetuar këtë, le të zgjedhim një piramidë të rregullt trekëndore.

E dhënë: RAVS- piramidë e rregullt trekëndore.

AB = BC = AC.

RO- lartësia.

Provoj: . Shih Fig. 5.

Oriz. 5

Dëshmi.

RAVS- piramidë e rregullt trekëndore. Kjo eshte AB= AC = BC. Le RRETH- qendra e trekëndëshit ABC, Pastaj ROështë lartësia e piramidës. Në bazën e piramidës shtrihet një trekëndësh barabrinjës ABC. vini re, se .

Trekëndëshat RAV, RVS, RSA- trekëndësha të barabartë dykëndësh (sipas vetisë). Një piramidë trekëndore ka tre faqe anësore: RAV, RVS, RSA. Kjo do të thotë se sipërfaqja e sipërfaqes anësore të piramidës është:

Ana S = 3S RAW

Teorema është vërtetuar.

Rrezja e një rrethi të gdhendur në bazën e një piramide të rregullt katërkëndore është 3 m, lartësia e piramidës është 4 m. Gjeni sipërfaqen e sipërfaqes anësore të piramidës.

E dhënë: piramidë e rregullt katërkëndore ABCD,

ABCD- katror,

r= 3 m,

RO- lartësia e piramidës,

RO= 4 m.

Gjej: Ana S. Shih Fig. 6.

Oriz. 6

Zgjidhje.

Sipas teoremës së provuar,.

Le të gjejmë fillimisht anën e bazës AB. Ne e dimë se rrezja e një rrethi të gdhendur në bazën e një piramide të rregullt katërkëndore është 3 m.

Pastaj, m.

Gjeni perimetrin e katrorit ABCD me një anë prej 6 m:

Konsideroni një trekëndësh BCD. Le M- mesi i anës DC. Sepse RRETH- mes BD, Kjo (m).

Trekëndëshi DPC- izosceles. M- mes DC. Kjo eshte, RM- mesatare, dhe për rrjedhojë lartësia në trekëndësh DPC. Pastaj RM- apotema e piramidës.

RO- lartësia e piramidës. Pastaj, drejt RO pingul me rrafshin ABC, dhe për këtë arsye e drejtpërdrejtë OM, i shtrirë në të. Le të gjejmë apotemën RM nga një trekëndësh kënddrejtë ROM.

Tani mund të gjejmë sipërfaqen anësore të piramidës:

Përgjigju: 60 m2.

Rrezja e rrethit të rrethuar rreth bazës së një piramide të rregullt trekëndore është e barabartë me m. Sipërfaqja anësore është 18 m 2. Gjeni gjatësinë e apotemës.

E dhënë: ABCP- piramida e rregullt trekëndore,

AB = BC = SA,

R= m,

Ana S = 18 m2.

Gjej: . Shih Fig. 7.

Oriz. 7

Zgjidhje.

Në një trekëndësh kënddrejtë ABCËshtë dhënë rrezja e rrethit të rrethuar. Le të gjejmë një anë AB ky trekëndësh duke përdorur ligjin e sinusit.

Duke ditur brinjën e një trekëndëshi të rregullt (m), gjejmë perimetrin e tij.

Nga teorema mbi sipërfaqen anësore të një piramide të rregullt, ku h a- apotema e piramidës. Pastaj:

Përgjigju: 4 m.

Pra, ne shikuam se çfarë është një piramidë, çfarë është një piramidë e rregullt dhe vërtetuam teoremën për sipërfaqen anësore të një piramide të rregullt. Në mësimin e ardhshëm do të njihemi me piramidën e cunguar.

Bibliografi

1. Gjeometria. Klasat 10-11: tekst shkollor për studentët e institucioneve të arsimit të përgjithshëm (nivelet bazë dhe të specializuara) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - Botimi i 5-të, rev. dhe shtesë - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 f.: ill.
2. Gjeometria. Klasat 10-11: Libër mësuesi për institucionet e arsimit të përgjithshëm / Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 f.: ill.
3. Gjeometria. Klasa 10: Libër mësuesi për institucionet e arsimit të përgjithshëm me studim të thelluar dhe të specializuar të matematikës /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - Botimi i 6-të, stereotip. - M.: Bustard, 008. - 233 f.: ill.

1. Portali në internet "Yaklass" ()
2. Portali në internet "Festivali i ideve pedagogjike "Shtatori i Parë" ()
3. Portali i Internetit "Slideshare.net" ()

Detyre shtepie

1. A mund të jetë një shumëkëndësh i rregullt baza e një piramide të parregullt?
2. Vërtetoni se skajet e shkëputura të një piramide të rregullt janë pingule.
3. Gjeni vlerën e këndit dihedral në anën e bazës së një piramide të rregullt katërkëndore nëse apotema e piramidës është e barabartë me faqen e bazës së saj.
4. RAVS- piramidë e rregullt trekëndore. Ndërtoni këndin linear të këndit dihedral në bazën e piramidës.

Ne vazhdojmë të shqyrtojmë detyrat e përfshira në Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë. Ne kemi studiuar tashmë problemat ku jepet kushti dhe kërkohet të gjendet distanca midis dy pikave të dhëna ose një këndi.

Një piramidë është një shumëfaqësh, baza e së cilës është një shumëkëndësh, faqet e mbetura janë trekëndësha dhe ato kanë një kulm të përbashkët.

Një piramidë e rregullt është një piramidë në bazën e së cilës shtrihet një shumëkëndësh i rregullt dhe kulmi i saj është projektuar në qendër të bazës.

Një piramidë e rregullt katërkëndore - baza është një katror.Maja e piramidës është projektuar në pikën e kryqëzimit të diagonaleve të bazës (katrorit).

ML - apotemë
∠MLO - kënd dihedral në bazën e piramidës
∠MCO - këndi ndërmjet skajit anësor dhe rrafshit të bazës së piramidës

Në këtë artikull do të shqyrtojmë problemet për zgjidhjen e një piramide të rregullt. Ju duhet të gjeni disa elementë, sipërfaqe anësore, vëllim, lartësi. Sigurisht, duhet të dini teoremën e Pitagorës, formulën për sipërfaqen e sipërfaqes anësore të një piramide dhe formulën për gjetjen e vëllimit të një piramide.

Në artikull "" paraqet formulat që janë të nevojshme për zgjidhjen e problemeve në stereometri. Pra, detyrat:

SABCD pika O- qendra e bazës,S kulm, KËSHTU QË = 51, A.C.= 136. Gjeni skajin anësorS.C..

Në këtë rast, baza është një katror. Kjo do të thotë se diagonalet AC dhe BD janë të barabarta, ato kryqëzohen dhe përgjysmohen nga pika e kryqëzimit. Vini re se në një piramidë të rregullt lartësia e rënë nga maja e saj kalon përmes qendrës së bazës së piramidës. Pra SO është lartësia dhe trekëndëshiKOSdrejtkëndëshe. Pastaj sipas teoremës së Pitagorës:

Si të nxjerrim rrënjën e një numri të madh.

Përgjigje: 85

Vendosni vetë:

Në një piramidë të rregullt katërkëndore SABCD pika O- qendra e bazës, S kulm, KËSHTU QË = 4, A.C.= 6. Gjeni skajin anësor S.C..

Në një piramidë të rregullt katërkëndore SABCD pika O- qendra e bazës, S kulm, S.C. = 5, A.C.= 6. Gjeni gjatësinë e segmentit KËSHTU QË.

Në një piramidë të rregullt katërkëndore SABCD pika O- qendra e bazës, S kulm, KËSHTU QË = 4, S.C.= 5. Gjeni gjatësinë e segmentit A.C..

SABC R- mesi i brinjës B.C., S- lartë. Dihet se AB= 7, a S.R.= 16. Gjeni sipërfaqen anësore.

Sipërfaqja e sipërfaqes anësore të një piramide të rregullt trekëndore është e barabartë me gjysmën e produktit të perimetrit të bazës dhe apotemës (apotema është lartësia e faqes anësore të një piramide të rregullt të nxjerrë nga kulmi i saj):

Ose mund të themi këtë: sipërfaqja e sipërfaqes anësore të piramidës është e barabartë me shumën e sipërfaqeve të tre fytyrave anësore. Faqet anësore në një piramidë të rregullt trekëndore janë trekëndësha me sipërfaqe të barabartë. Në këtë rast:

Përgjigje: 168

Vendosni vetë:

Në një piramidë të rregullt trekëndore SABC R- mesi i brinjës B.C., S- lartë. Dihet se AB= 1, a S.R.= 2. Gjeni sipërfaqen anësore.

Në një piramidë të rregullt trekëndore SABC R- mesi i brinjës B.C., S- lartë. Dihet se AB= 1, dhe sipërfaqja e sipërfaqes anësore është 3. Gjeni gjatësinë e segmentit S.R..

Në një piramidë të rregullt trekëndore SABC L- mesi i brinjës B.C., S- lartë. Dihet se SL= 2, dhe sipërfaqja e sipërfaqes anësore është 3. Gjeni gjatësinë e segmentit AB.

Në një piramidë të rregullt trekëndore SABC M. Sipërfaqja e një trekëndëshi ABCështë 25, vëllimi i piramidës është 100. Gjeni gjatësinë e segmentit ZNJ.

Baza e piramidës është një trekëndësh barabrinjës. Kjo është arsyeja pse Mështë qendra e bazës, dheZNJ- lartësia e një piramide të rregulltSABC. Vëllimi i piramidës SABC barazohet: shikoni zgjidhjen

Në një piramidë të rregullt trekëndore SABC medianat e bazës kryqëzohen në pikë M. Sipërfaqja e një trekëndëshi ABCështë e barabartë me 3, ZNJ= 1. Gjeni vëllimin e piramidës.

Në një piramidë të rregullt trekëndore SABC medianat e bazës kryqëzohen në pikë M. Vëllimi i piramidës është 1, ZNJ= 1. Gjeni sipërfaqen e trekëndëshit ABC.

Le të përfundojmë këtu. Siç mund ta shihni, problemet zgjidhen në një ose dy hapa. Në të ardhmen do të shqyrtojmë edhe probleme të tjera nga kjo pjesë, ku jepen organet e revolucionit, mos e humbisni!

Ju uroj suksese!

Sinqerisht, Alexander Krutitskikh.

P.S: Do të isha mirënjohës nëse më tregoni për faqen në rrjetet sociale.

• apotemë- lartësia e faqes anësore të një piramide të rregullt, e cila është tërhequr nga kulmi i saj (përveç kësaj, apotema është gjatësia e pingules, e cila ulet nga mesi i shumëkëndëshit të rregullt në njërën nga anët e saj);
• fytyrat anësore (ASB, BSC, CSD, DSA) - trekëndëshat që takohen në kulm;
• brinjë anësore ( AS , B.S. , C.S. , D.S. ) — anët e përbashkëta të faqeve anësore;
• maja e piramidës (t. S) - një pikë që lidh brinjët anësore dhe që nuk shtrihet në rrafshin e bazës;
• lartësia ( KËSHTU QË ) - një segment pingul i tërhequr përmes majës së piramidës në rrafshin e bazës së saj (skajet e një segmenti të tillë do të jenë maja e piramidës dhe baza e pingules);
• seksioni diagonal i piramidës- një pjesë e piramidës që kalon nga maja dhe diagonalja e bazës;
• bazë (ABCD) - një shumëkëndësh që nuk i përket kulmit të piramidës.

Vetitë e piramidës.

1. Kur të gjitha skajet anësore kanë të njëjtën madhësi, atëherë:

• është e lehtë të përshkruhet një rreth afër bazës së piramidës, dhe maja e piramidës do të projektohet në qendër të këtij rrethi;
• brinjët anësore formojnë kënde të barabarta me rrafshin e bazës;
• Për më tepër, është e vërtetë edhe e kundërta, d.m.th. kur brinjët anësore formojnë kënde të barabarta me rrafshin e bazës, ose kur mund të përshkruhet një rreth rreth bazës së piramidës dhe maja e piramidës do të projektohet në qendër të këtij rrethi, kjo do të thotë se të gjitha skajet anësore të piramidës janë me të njëjtën madhësi.

2. Kur faqet anësore kanë një kënd të prirjes ndaj planit të bazës me të njëjtën vlerë, atëherë:

• është e lehtë të përshkruhet një rreth afër bazës së piramidës, dhe maja e piramidës do të projektohet në qendër të këtij rrethi;
• lartësitë e faqeve anësore janë me gjatësi të barabartë;
• sipërfaqja e sipërfaqes anësore është e barabartë me ½ produktin e perimetrit të bazës dhe lartësisë së faqes anësore.

3. Një sferë mund të përshkruhet rreth një piramide nëse në bazën e piramidës ka një shumëkëndësh rreth të cilit mund të përshkruhet një rreth (kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm). Qendra e sferës do të jetë pika e kryqëzimit të planeve që kalojnë nga mesi i skajeve të piramidës pingul me to. Nga kjo teoremë arrijmë në përfundimin se një sferë mund të përshkruhet si rreth çdo trekëndëshi ashtu edhe rreth çdo piramide të rregullt.

4. Një sferë mund të futet në një piramidë nëse rrafshet përgjysmuese të këndeve të brendshme diedrale të piramidës kryqëzohen në pikën 1 (kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm). Kjo pikë do të bëhet qendra e sferës.

Piramida më e thjeshtë.

Në bazë të numrit të këndeve, baza e piramidës ndahet në trekëndore, katërkëndore etj.

Do të ketë një piramidë trekëndësh, katërkëndëshe, dhe kështu me radhë, kur baza e piramidës është një trekëndësh, një katërkëndësh, e kështu me radhë. Një piramidë trekëndore është një tetrahedron - një tetrahedron. Katërkëndësh - pesëkëndësh dhe kështu me radhë.

Teksti i veprës është postuar pa imazhe dhe formula.
Versioni i plotë i veprës gjendet në skedën "Work Files" në format PDF

Prezantimi

Kur ndeshemi me fjalën "piramidë", kujtesa jonë shoqëruese na çon në Egjipt. Nëse flasim për monumente të hershme arkitekturore, mund të themi se numri i tyre është të paktën disa qindra. Një shkrimtar arab i shekullit të 13-të tha: "Çdo gjë në botë ka frikë nga koha dhe koha ka frikë nga piramidat". Piramidat janë e vetmja nga shtatë mrekullitë e botës që ka mbijetuar deri në kohën tonë, para epokës së teknologjisë kompjuterike. Megjithatë, studiuesit ende nuk kanë qenë në gjendje të gjejnë çelësat e të gjitha mistereve të tyre. Sa më shumë të mësojmë për piramidat, aq më shumë pyetje kemi. Piramidat u interesojnë historianëve, fizikanëve, biologëve, mjekëve, filozofëve etj. Ato ngjallin interes të madh dhe nxisin një studim më të thellë të vetive të tyre, si nga pikëpamja matematikore, ashtu edhe nga pikëpamja e tjera (historike, gjeografike, etj.).

Kjo është arsyeja pse qëllimi Hulumtimi ynë ishte të studionim vetitë e piramidës nga këndvështrime të ndryshme. Si qëllime të ndërmjetme kemi identifikuar: shqyrtimin e vetive të piramidës nga pikëpamja e matematikës, studimin e hipotezave për ekzistencën e sekreteve dhe mistereve të piramidës, si dhe mundësitë e zbatimit të saj.

Objekt Studimi në këtë vepër është një piramidë.

Artikulli Hulumtimi: veçoritë dhe vetitë e piramidës.

Detyrat hulumtim:

Studioni literaturën shkencore popullore mbi temën e kërkimit.

Konsideroni piramidën si një trup gjeometrik.

Përcaktoni vetitë dhe veçoritë e piramidës.

Gjeni material që konfirmon zbatimin e vetive të piramidës në fusha të ndryshme të shkencës dhe teknologjisë.

Metodat hulumtimi: analiza, sinteza, analogjia, modelimi mendor.

Rezultati i pritshëm i punës duhet të ketë informacion të strukturuar për piramidën, vetitë e saj dhe mundësitë e aplikimit.

Fazat e përgatitjes së projektit:

Përcaktimi i temës, qëllimeve dhe objektivave të projektit.

Studimi dhe mbledhja e materialit.

Hartimi i një plani projekti.

Formulimi i rezultatit të pritur të aktivitetit në projekt, duke përfshirë asimilimin e materialit të ri, formimin e njohurive, aftësive dhe aftësive në aktivitetin lëndor.

Prezantimi i rezultateve të hulumtimit.

Reflektimi

Piramida si trup gjeometrik

Le të shqyrtojmë origjinën e fjalës dhe termit " piramidale" Vlen të përmendet menjëherë se "piramida" ose " piramida"(anglisht), " piramida"(gjuhët frëngjisht, spanjisht dhe sllave), "piramida"(Gjermanisht) është një term perëndimor me origjinën e tij në Greqinë e lashtë. Në greqishten e vjetër πύραμίς ("P iramis"dhe shumë të tjera. h. Πύραμίδες « piramidat") ka disa kuptime. Grekët e lashtë thirrën piramidale» kek me grurë që i ngjante formës së ndërtesave egjiptiane. Më vonë fjala erdhi në kuptimin "një strukturë monumentale me një sipërfaqe katrore në bazë dhe anët e pjerrëta që takohen në majë. Fjalori etimologjik tregon se "piramida" greke vjen nga egjiptianja " pimar." Interpretimi i parë me shkrim i fjalës "piramida" gjetur në Evropë në 1555 dhe do të thotë: "një nga llojet e strukturave të lashta të mbretërve". Pas zbulimit të piramidave në Meksikë dhe me zhvillimin e shkencës në shekullin e 18-të, piramida u bë jo vetëm një monument i lashtë arkitekturor, por edhe një figurë e rregullt gjeometrike me katër anë simetrike (1716). Gjeometria piramidale filloi në Egjiptin e Lashtë dhe Babiloninë, por u zhvillua në mënyrë aktive në Greqinë e Lashtë. I pari që vendosi vëllimin e piramidës ishte Demokriti, dhe kjo u vërtetua nga Eudoksi i Knidit.

Përkufizimi i parë i përket matematikanit të lashtë grek, autorit të traktateve teorike mbi matematikën që kanë ardhur deri tek ne, Euklidit. Në vëllimin XII të "Parimeve" të tij ai e përcakton një piramidë si një figurë të fortë të kufizuar nga rrafshe që nga një rrafsh (bazë) konvergojnë në një pikë (majë). Por ky përkufizim u kritikua tashmë në kohët e lashta. Kështu Heron propozoi përkufizimin e mëposhtëm të një piramide: "Është një figurë e kufizuar nga trekëndësha që konvergojnë në një pikë dhe baza e së cilës është një shumëkëndësh".

Ekziston një përkufizim nga matematikani francez Adrien Marie Lezhandre, i cili në vitin 1794 në veprën e tij "Elementet e gjeometrisë" përcakton një piramidë si më poshtë: "Një piramidë është një figurë e ngurtë e formuar nga trekëndësha që konvergojnë në një pikë dhe përfundojnë në anët e ndryshme të një bazë e sheshtë.”

Fjalorët modernë e interpretojnë termin "piramidë" si më poshtë:

Duke analizuar përkufizimet e piramidës, mund të konkludojmë se të gjitha burimet kanë formulime të ngjashme:

Një piramidë është një shumëkëndësh baza e të cilit është një shumëkëndësh dhe faqet e mbetura janë trekëndësha që kanë një kulm të përbashkët. Në bazë të numrit të qosheve të bazës, piramidat klasifikohen në trekëndore, katërkëndore etj.

Poligoni A 1 A 2 A 3 ... An është baza e piramidës dhe trekëndëshat RA 1 A 2 , RA 2 A 3 , ..., RANA 1 janë faqet anësore të piramidës, P është maja e piramida, segmentet RA 1 , RA 2 , ..., RAN - brinjë anësore.

Perpendikularja e tërhequr nga maja e piramidës në rrafshin e bazës quhet lartësi piramidat.

Përveç një piramide arbitrare, ekziston një piramidë e rregullt, në bazën e së cilës ka një shumëkëndësh të rregullt dhe një piramidë të cunguar.

Zona Sipërfaqja e përgjithshme e një piramide është shuma e sipërfaqeve të të gjitha faqeve të saj. Sfull = ana S + S kryesore, ku ana S është shuma e sipërfaqeve të faqeve anësore.

Vëllimi piramida gjendet me formulën: V=1/3S kryesore.h, ku S kryesore. - zona e bazës, h - lartësia.

TE vetitë e piramidës lidhen:

Kur të gjitha skajet anësore janë të së njëjtës madhësi, atëherë është e lehtë të përshkruhet një rreth rreth bazës së piramidës, me majën e piramidës të projektuar në qendër të këtij rrethi; brinjët anësore formojnë kënde të barabarta me rrafshin e bazës; Për më tepër, është e vërtetë edhe e kundërta, d.m.th. kur brinjët anësore formojnë kënde të barabarta me rrafshin e bazës, ose kur mund të përshkruhet një rreth rreth bazës së piramidës dhe maja e piramidës do të projektohet në qendër të këtij rrethi, kjo do të thotë se të gjitha skajet anësore të piramidës janë me të njëjtën madhësi.

Kur faqet anësore kanë një kënd të prirjes ndaj planit të bazës me të njëjtën madhësi, atëherë është e lehtë të përshkruhet një rreth rreth bazës së piramidës, dhe maja e piramidës do të projektohet në qendër të këtij rrethi. ; lartësitë e faqeve anësore janë me gjatësi të barabartë; Sipërfaqja e sipërfaqes anësore është e barabartë me gjysmën e produktit të perimetrit të bazës dhe lartësisë së faqes anësore.

Piramida quhet korrekte, nëse baza e tij është një shumëkëndësh i rregullt dhe kulmi i tij është projektuar në qendër të bazës. Faqet anësore të një piramide të rregullt janë trekëndësha të barabartë, dykëndësh (Fig. 2a). Boshti e një piramide të rregullt është vija e drejtë që përmban lartësinë e saj. Apotema - lartësia e faqes anësore të një piramide të rregullt të nxjerrë nga kulmi i saj.

Sheshi faqja anësore e një piramide të rregullt shprehet si më poshtë: Ana. =1/2P h, ku P është perimetri i bazës, h është lartësia e faqes anësore (apotema e një piramide të rregullt). Nëse piramida është e prerë nga rrafshi A’B’C’D’, paralel me bazën, atëherë skajet anësore dhe lartësia ndahen nga ky rrafsh në pjesë proporcionale; në prerje tërthore fitohet një shumëkëndësh A’B’C’D’ i ngjashëm me bazën; Zonat dhe bazat e prerjes tërthore lidhen si katrorët e largësive të tyre nga kulmi.

Piramida e cunguar fitohet duke prerë pjesën e sipërme të saj nga piramida me një rrafsh paralel me bazën (Fig. 2b). Bazat e piramidës së cunguar janë shumëkëndësha të ngjashëm ABCD dhe A`B`C`D`, faqet anësore janë trapezoide. Lartësia e një piramide të cunguar është distanca midis bazave. Vëllimi i një piramide të cunguar gjendet me formulën: V = 1/3 h (S + + S'), ku S dhe S' janë sipërfaqet e bazave ABCD dhe A'B'C'D', h është lartësinë.

Bazat e një piramide të rregullt n-gonale të cunguar janë n-gonale të rregullta. Sipërfaqja anësore e një piramide të rregullt të cunguar shprehet si më poshtë: Ana. = ½(P+P’)h, ku P dhe P’ janë perimetrat e bazave, h është lartësia e faqes anësore (apotema e një piramide të rregullt të cunguar)

Seksionet e një piramide nga aeroplanët që kalojnë përmes majës së saj janë trekëndësha. Seksioni që kalon nëpër dy skajet anësore jo të afërta të piramidës quhet seksion diagonal. Nëse seksioni kalon nëpër një pikë në skajin anësor dhe anën e bazës, atëherë gjurma e saj në rrafshin e bazës së piramidës do të jetë kjo anë. Një seksion që kalon përmes një pike të shtrirë në faqen e piramidës dhe një gjurmë të seksionit të caktuar në rrafshin bazë, atëherë ndërtimi duhet të kryhet si më poshtë: gjeni pikën e kryqëzimit të rrafshit të faqes së dhënë dhe gjurmën e seksionit të piramidën dhe caktoje atë; ndërtoni një vijë të drejtë që kalon nëpër një pikë të caktuar dhe pikën e kryqëzimit që rezulton; përsëritni këto hapa për fytyrat e ardhshme.

Piramida drejtkëndore - Kjo është një piramidë në të cilën një nga skajet anësore është pingul me bazën. Në këtë rast, kjo skaj do të jetë lartësia e piramidës (Fig. 2c).

Piramida e rregullt trekëndoreështë një piramidë, baza e së cilës është një trekëndësh i rregullt, dhe kulmi është projektuar në qendër të bazës. Një rast i veçantë i një piramide të rregullt trekëndore është katërkëndësh. (Fig. 2a)

Le të shqyrtojmë teoremat që lidhin piramidën me trupa të tjerë gjeometrikë.

Sferë

Një sferë mund të përshkruhet rreth një piramide kur në bazën e piramidës ka një shumëkëndësh rreth të cilit mund të përshkruhet një rreth (një kusht i nevojshëm dhe i mjaftueshëm). Qendra e sferës do të jetë pika e kryqëzimit të rrafsheve që kalojnë përmes mesit të skajeve të piramidës pingul me to. Nga kjo teoremë del se një sferë mund të përshkruhet si rreth çdo trekëndëshi ashtu edhe rreth çdo piramide të rregullt; Një sferë mund të futet në një piramidë kur rrafshet përgjysmuese të këndeve të brendshme diedrale të piramidës kryqëzohen në një pikë (kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm). Kjo pikë do të jetë qendra e sferës.

Koni

Një kon thuhet se është i gdhendur në një piramidë nëse kulmet e tyre përkojnë dhe baza e tij është e gdhendur në bazën e piramidës. Për më tepër, është e mundur të vendoset një kon në një piramidë vetëm kur apotemat e piramidës janë të barabarta me njëra-tjetrën (kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm); Thuhet se një kon përshkruhet pranë një piramide kur kulmet e tyre përkojnë dhe baza e tij përshkruhet pranë bazës së piramidës. Për më tepër, është e mundur të përshkruhet një kon pranë një piramide vetëm kur të gjitha skajet anësore të piramidës janë të barabarta me njëra-tjetrën (një kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm); Lartësitë e konëve dhe piramidave të tilla janë të barabarta me njëra-tjetrën.

Cilindri

Një cilindër quhet i gdhendur në një piramidë nëse një nga bazat e tij përkon me një rreth të gdhendur në seksionin e piramidës nga një rrafsh paralel me bazën, dhe baza tjetër i përket bazës së piramidës. Një cilindër thuhet se përshkruhet pranë një piramide nëse kulmi i piramidës i përket njërës prej bazave të saj, dhe baza tjetër e tij përshkruhet afër bazës së piramidës. Për më tepër, është e mundur të përshkruhet një cilindër pranë një piramide vetëm nëse ka një poligon të brendashkruar në bazën e piramidës (një kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm).

Shumë shpesh në kërkimin e tyre shkencëtarët përdorin vetitë e piramidës me përmasa të raportit të artë. Se si janë përdorur raportet e raportit të artë gjatë ndërtimit të piramidave do të shikojmë në paragrafin tjetër dhe këtu do të ndalemi në përkufizimin e raportit të artë.

Fjalori enciklopedik matematikor jep përkufizimin e mëposhtëm Raporti i artë- kjo është ndarja e segmentit AB në dy pjesë në atë mënyrë që pjesa më e madhe e tij AC të jetë proporcionaliteti mesatar ndërmjet të gjithë segmentit AB dhe pjesës së tij më të vogël CD.

Përcaktimi algjebrik i seksionit të Artë të segmentit AB = a reduktohet në zgjidhjen e ekuacionit a:x = x:(a-x), nga i cili x është afërsisht i barabartë me 0,62a. Raporti x mund të shprehet si thyesa n/n+1= 0,618, ku n është numri i Fibonaçit me numër n.

Raporti i artë përdoret shpesh në veprat e artit, arkitekturës dhe gjendet në natyrë. Shembuj të gjallë janë skulptura e Apollo Belvedere dhe Partenoni. Gjatë ndërtimit të Partenonit është përdorur raporti i lartësisë së ndërtesës me gjatësinë e tij dhe ky raport është 0,618. Objektet rreth nesh japin gjithashtu shembuj të raportit të artë, për shembull, lidhjet e shumë librave kanë gjithashtu një raport gjerësi-gjatësi afër 0,618.

Kështu, pasi kemi studiuar literaturën shkencore popullore mbi problemin e kërkimit, arritëm në përfundimin se një piramidë është një shumëfaqësh, baza e së cilës është një shumëkëndësh, dhe faqet e mbetura janë trekëndësha me një kulm të përbashkët. Ne shqyrtuam elementet dhe vetitë e piramidës, llojet e saj dhe marrëdhëniet me përmasat e raportit të artë.

2. Veçoritë e piramidës

Pra, në Fjalorin e Madh Enciklopedik shkruhet se një piramidë është një strukturë monumentale që ka formën gjeometrike të një piramide (nganjëherë me shkallë ose në formë kulle). Piramida u quajtën varreve të faraonëve të lashtë egjiptianë të mijëvjeçarit 3 - 2 para Krishtit. e., si dhe piedestalet e tempujve në Amerikën Qendrore dhe Jugore të lidhur me kultet kozmologjike. Ndër piramidat madhështore të Egjiptit, një vend të veçantë zë Piramida e Madhe e Faraonit Keops. Para se të fillojmë të analizojmë formën dhe madhësinë e piramidës së Keopsit, duhet të kujtojmë se çfarë sistemi masash përdorën egjiptianët. Egjiptianët kishin tre njësi gjatësie: një "kubit" (466 mm), i cili ishte i barabartë me shtatë "pëllëmbë" (66.5 mm), i cili nga ana tjetër ishte i barabartë me katër "gishta" (16.6 mm).

Shumica e studiuesve pajtohen se gjatësia e anës së bazës së piramidës, për shembull, GF, është e barabartë me L = 233,16 m. Kjo vlerë korrespondon pothuajse saktësisht me 500 "kubitë". Pajtueshmëria e plotë me 500 "bërryla" do të ndodhë nëse gjatësia e "bërrylit" konsiderohet e barabartë me 0.4663 m.

Lartësia e piramidës (H) vlerësohet nga studiuesit në mënyra të ndryshme nga 146,6 në 148,2 m. Dhe në varësi të lartësisë së pranuar të piramidës, ndryshojnë të gjitha marrëdhëniet e elementeve të saj gjeometrike. Cila është arsyeja e dallimeve në vlerësimet e lartësisë së piramidës? Fakti është se piramida e Keopsit është e cunguar. Platforma e sipërme e saj sot ka përmasa afërsisht 10x10 m, por një shekull më parë ajo ishte 6x6 m. Natyrisht, maja e piramidës u çmontua dhe nuk korrespondon me atë origjinale. Kur vlerësohet lartësia e piramidës, është e nevojshme të merret parasysh një faktor i tillë fizik si vendosja e strukturës. Gjatë një periudhe të gjatë kohore, nën ndikimin e presionit kolosal (duke arritur 500 tonë për 1 m 2 të sipërfaqes së poshtme), lartësia e piramidës u ul në krahasim me lartësinë e saj origjinale. Lartësia origjinale e piramidës mund të rikrijohet duke gjetur një ide bazë gjeometrike.

Në vitin 1837, koloneli anglez G. Wise mati këndin e pjerrësisë së faqeve të piramidës: doli të jetë e barabartë me a = 51°51". Kjo vlerë njihet edhe sot nga shumica e studiuesve. Vlera e treguar e këndi korrespondon me një tangjente (tg a) të barabartë me 1.27306. Kjo vlerë korrespondon me raportin e lartësisë së piramidës AC me gjysmën e bazës së saj CB, domethënë AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.

Dhe këtu studiuesit ishin në një surprizë të madhe! Fakti është se nëse marrim rrënjën katrore të raportit të artë, marrim rezultatin e mëposhtëm = 1.272. Duke e krahasuar këtë vlerë me vlerën tg a = 1.27306, shohim se këto vlera janë shumë afër njëra-tjetrës. Nëse marrim këndin a = 51°50", pra e zvogëlojmë me vetëm një minutë hark, atëherë vlera e a do të bëhet e barabartë me 1.272, pra do të përputhet me vlerën. Duhet të theksohet se në 1840 G. Wise përsëriti matjet e tij dhe sqaroi se vlera e këndit a = 51°50".

Këto matje i çuan studiuesit në hipotezën e mëposhtme interesante: trekëndëshi ACB i piramidës Keops bazohej në raportin AC / CB = 1.272.

Le të shqyrtojmë tani një trekëndësh kënddrejtë ABC, në të cilin raporti i këmbëve AC / CB = . Nëse tani shënojmë gjatësitë e brinjëve të drejtkëndëshit ABC me x, y, z, dhe gjithashtu marrim parasysh se raporti y/x =, atëherë në përputhje me teoremën e Pitagorës, gjatësia z mund të llogaritet duke përdorur formulën:

Nëse pranojmë x = 1, y = , atëherë:

Trekëndëshi kënddrejtë në të cilin brinjët janë në raport t::1 quhet trekëndësh kënddrejtë "i artë".

Atëherë, nëse marrim si bazë hipotezën se "ideja gjeometrike" kryesore e piramidës së Keopsit është një trekëndësh kënddrejtë "i artë", atëherë nga këtu mund të llogarisim lehtësisht lartësinë "projektuese" të piramidës së Keopsit. Është e barabartë me:

H = (L/2)/= 148,28 m.

Le të nxjerrim tani disa marrëdhënie të tjera për piramidën e Keopsit, që dalin nga hipoteza "e artë". Në veçanti, do të gjejmë raportin e zonës së jashtme të piramidës me zonën e bazës së saj. Për ta bërë këtë, marrim gjatësinë e këmbës CB si një, domethënë: CB = 1. Por atëherë gjatësia e anës së bazës së piramidës është GF = 2, dhe sipërfaqja e bazës EFGH do të të jetë e barabartë me S EFGH = 4.

Tani le të llogarisim sipërfaqen e faqes anësore të piramidës së Keopsit S D. Meqenëse lartësia AB e trekëndëshit AEF është e barabartë me t, sipërfaqja e faqes anësore do të jetë e barabartë me S D = t. Atëherë sipërfaqja totale e të katër faqeve anësore të piramidës do të jetë e barabartë me 4t, dhe raporti i sipërfaqes totale të jashtme të piramidës me sipërfaqen e bazës do të jetë i barabartë me raportin e artë. Ky është misteri kryesor gjeometrik i piramidës së Keopsit.

Gjithashtu, gjatë ndërtimit të piramidave egjiptiane, u zbulua se një katror i ndërtuar në lartësinë e piramidës është saktësisht i barabartë me sipërfaqen e secilit prej trekëndëshave anësor. Këtë e vërtetojnë matjet e fundit.

Ne e dimë se marrëdhënia midis gjatësisë së një rrethi dhe diametrit të tij është një vlerë konstante, e njohur mirë për matematikanët dhe nxënësit e shkollave moderne - ky është numri "Pi" = 3.1416... Por nëse mbledhim katër anët e bazës nga piramida e Keopsit, fitojmë 931,22 m.Duke pjesëtuar këtë numër me dyfishin e lartësisë së piramidës (2x148,208) fitojmë 3,1416..., pra numrin “Pi”. Rrjedhimisht, piramida e Keopsit është një monument i veçantë që përfaqëson mishërimin material të numrit "Pi", i cili luan një rol të rëndësishëm në matematikë.

Pra, prania e raportit të artë në dimensionet e piramidës - raporti i anës së dyfishtë të piramidës me lartësinë e saj - është një numër shumë i afërt në vlerë me numrin π. Kjo është padyshim gjithashtu një veçori. Megjithëse shumë autorë besojnë se kjo rastësi është e rastësishme, pasi thyesa 14/11 është "një përafrim i mirë si për rrënjën katrore të raportit të artë, ashtu edhe për raportin e sipërfaqeve të një katrori dhe rrethit të gdhendur në të".

Megjithatë, është e gabuar të flasim këtu vetëm për piramidat egjiptiane. Nuk ka vetëm piramida egjiptiane, ka një rrjet të tërë piramidash në Tokë. Monumentet kryesore (piramidat egjiptiane dhe meksikane, ishulli i Pashkëve dhe kompleksi Stonehenge në Angli) në shikim të parë janë të shpërndara kuturu nëpër planetin tonë. Por nëse kompleksi tibetian i piramidave përfshihet në studim, atëherë shfaqet një sistem i rreptë matematikor i vendndodhjes së tyre në sipërfaqen e Tokës. Në sfondin e vargmalit Himalayan, dallohet qartë një formacion piramidal - mali Kailash. Vendndodhja e qytetit të Kailash, piramidave egjiptiane dhe meksikane është shumë interesante, domethënë - nëse e lidhni qytetin e Kailash me piramidat meksikane, atëherë linja që i lidh ato shkon në Ishullin e Pashkëve. Nëse e lidhni qytetin e Kailash me piramidat egjiptiane, atëherë linja e lidhjes së tyre përsëri shkon në ishullin e Pashkëve. Përshkruhej saktësisht një e katërta e globit. Nëse lidhim piramidat meksikane dhe egjiptiane, do të shohim dy trekëndësha të barabartë. Nëse gjeni zonat e tyre, atëherë shuma e tyre është e barabartë me një të katërtën e sipërfaqes së globit.

Është zbuluar një lidhje e padiskutueshme mes kompleksit piramidale tibetiane me struktura të tjera antikiteti - piramidat egjiptiane dhe meksikane, kolosët e ishullit të Pashkëve dhe kompleksi Stonehenge në Angli. Lartësia e piramidës kryesore të Tibetit - mali Kailash - është 6714 metra. Distanca nga Kailash në Polin e Veriut është 6714 kilometra, distanca nga Kailash në Stonehenge është 6714 kilometra Nëse këto i vendosim në glob nga Poli i Veriut 6714 kilometra, pastaj do të arrijmë te e ashtuquajtura Kulla e Djallit, e cila duket si një piramidë e cunguar. Dhe së fundi, saktësisht 6714 kilometra nga Stonehenge në Trekëndëshin e Bermudës.

Si rezultat i këtyre studimeve, mund të konkludojmë se ekziston një sistem piramidal-gjeografik në Tokë.

Kështu, veçoritë përfshijnë raporti i sipërfaqes totale të jashtme të piramidës me sipërfaqen e bazës do të jetë i barabartë me raportin e artë; prania në përmasat e piramidës së raportit të artë - raporti i anës së dyfishtë të piramidës me lartësinë e saj - është një numër shumë i afërt në vlerë me numrin π, d.m.th. piramida e Keopsit është një monument i veçantë që përfaqëson mishërimin material të numrit "Pi"; ekzistenca e një sistemi piramidal-gjeografik.

3. Veti dhe përdorime të tjera të piramidës.

Le të shqyrtojmë zbatimin praktik të kësaj figure gjeometrike. Për shembull, hologrami. Së pari, le të shohim se çfarë është holografia. Holografia - një grup teknologjish për regjistrimin, riprodhimin dhe riformësimin e saktë të fushave valore të rrezatimit elektromagnetik optik, një metodë e veçantë fotografike në të cilën, duke përdorur një lazer, regjistrohen imazhe të objekteve tredimensionale dhe më pas rindërtohen, shumë të ngjashme me ato reale. Një hologram është një produkt i holografisë, një imazh tredimensional i krijuar duke përdorur një lazer që riprodhon një imazh të një objekti tredimensional. Duke përdorur një piramidë të rregullt tetraedrale të cunguar, mund të rikrijoni një imazh - një hologram. Krijohet një skedar fotografie dhe një piramidë e rregullt tetraedrale e cunguar nga një material i tejdukshëm. Një dhëmbëzim i vogël bëhet nga pikeli më i poshtëm dhe ai i mesit në lidhje me boshtin e ordinatave. Kjo pikë do të jetë mesi i faqes së katrorit të formuar nga seksioni. Fotografia shumëzohet dhe kopjet e saj pozicionohen në të njëjtën mënyrë në raport me tre anët e tjera. Vendoseni piramidën në katror me seksionin e saj tërthor poshtë në mënyrë që të përputhet me katrorin. Monitori gjeneron një valë drite, secila nga katër fotografitë identike, duke qenë në një aeroplan që është një projeksion i fytyrës së piramidës, bie në vetë fytyrën. Si rezultat, në secilën nga katër fytyrat kemi imazhe identike dhe duke qenë se materiali nga i cili është bërë piramida ka vetinë e transparencës, valët duket se janë përthyer, duke u takuar në qendër. Si rezultat, marrim të njëjtin model ndërhyrjeje të një valë në këmbë, boshti qendror ose boshti i rrotullimit të së cilës është lartësia e një piramide të rregullt të cunguar. Kjo metodë funksionon edhe me imazhe video, pasi parimi i funksionimit mbetet i pandryshuar.

Duke marrë parasysh raste të veçanta, mund të shihni se piramida përdoret gjerësisht në jetën e përditshme, madje edhe në shtëpi. Forma piramidale gjendet shpesh, kryesisht në natyrë: bimë, kristale, molekula e metanit ka formën e një piramide të rregullt trekëndore - një tetraedron, Qeliza njësi e një kristali diamanti është gjithashtu një tetraedron, me atome karboni të vendosura në qendër dhe katër kulme. Piramidat gjenden në shtëpi dhe në lodrat e fëmijëve. Butonat dhe tastierat e kompjuterit janë shpesh si një piramidë e cunguar katërkëndëshe. Ato mund të shihen në formën e elementeve të ndërtesave ose vetë strukturave arkitekturore, si strukturat e tejdukshme të çatisë.

Le të shohim disa shembuj të tjerë të përdorimit të termit "piramidë"

Piramidat ekologjike- këto janë modele grafike (zakonisht në formën e trekëndëshave) që pasqyrojnë numrin e individëve (piramida e numrave), sasinë e biomasës së tyre (piramida e biomasës) ose energjinë që përmbahen në to (piramida e energjisë) në çdo nivel trofik dhe që tregon një ulje të të gjithë treguesve me rritjen e nivelit të nivelit trofik

Piramida e informacionit. Ai pasqyron hierarkinë e llojeve të ndryshme të informacionit. Sigurimi i informacionit është i strukturuar sipas skemës piramidale të mëposhtme: në krye janë treguesit kryesorë me të cilët mund të gjurmoni qartë ritmin e lëvizjes së ndërmarrjes drejt qëllimit të zgjedhur. Nëse diçka nuk është në rregull, atëherë mund të shkoni në nivelin e mesëm të piramidës - të dhëna të përgjithësuara. Ata qartësojnë figurën për secilin tregues individualisht ose në lidhje me njëri-tjetrin. Duke përdorur këto të dhëna, mund të përcaktoni vendndodhjen e mundshme të një dështimi ose problemi. Për informacion më të plotë, duhet t'i drejtoheni bazës së piramidës - një përshkrim i hollësishëm i gjendjes së të gjitha proceseve në formë numerike. Këto të dhëna ndihmojnë në identifikimin e shkakut të problemit në mënyrë që të korrigjohet dhe shmanget në të ardhmen.

Taksonomia e Blumit. Taksonomia e Bloom ofron një klasifikim të detyrave në formën e një piramide që mësuesit vendosin për studentët dhe, në përputhje me rrethanat, qëllimet e të mësuarit. Ajo i ndan qëllimet edukative në tre fusha: njohëse, afektive dhe psikomotore. Brenda çdo sfere individuale, për të kaluar në një nivel më të lartë, është e nevojshme përvoja e niveleve të mëparshme të dalluara në këtë sferë.

Piramida financiare- një fenomen specifik i zhvillimit ekonomik. Emri "piramidë" ilustron qartë situatën kur njerëzit "në fund" të piramidës i japin para majës së vogël. Për më tepër, çdo pjesëmarrës i ri paguan për të rritur mundësinë e promovimit të tij në majë të piramidës

Piramida e nevojave Maslow pasqyron një nga teoritë më të njohura dhe më të njohura të motivimit - teorinë e hierarkisë nevojave. Maslow shpërndau nevojat me rritjen e tyre, duke e shpjeguar këtë ndërtim me faktin se një person nuk mund të përjetojë nevoja të nivelit të lartë ndërsa ai ka nevojë për gjëra më primitive. Ndërsa nevojat e nivelit më të ulët plotësohen, nevojat e nivelit më të lartë bëhen gjithnjë e më të rëndësishme, por kjo nuk do të thotë që vendin e nevojës së mëparshme e zë një e re vetëm kur ajo e mëparshmja plotësohet plotësisht.

Një shembull tjetër i përdorimit të termit "piramidë" është Piramida ushqimore - një paraqitje skematike e parimeve të të ushqyerit të shëndetshëm të zhvilluar nga nutricionistët. Ushqimet që përbëjnë bazën e piramidës duhet të hahen sa më shpesh të jetë e mundur, ndërsa ushqimet në majë të piramidës duhet të shmangen ose të konsumohen në sasi të kufizuar.

Kështu, të gjitha sa më sipër tregojnë shumëllojshmërinë e përdorimeve të piramidës në jetën tonë. Ndoshta piramida ka një qëllim shumë më të lartë dhe është menduar për diçka më të madhe sesa përdorimet praktike që janë zbuluar tani.

konkluzioni

Ne vazhdimisht hasim piramida në jetën tonë - këto janë piramida dhe lodra të lashta egjiptiane me të cilat luajnë fëmijët; objekte të arkitekturës dhe dizajnit, kristale natyrore; viruse që mund të shihen vetëm me mikroskop elektronik. Gjatë shumë mijëvjeçarëve të ekzistencës së tyre, piramidat janë bërë një lloj simboli, duke personifikuar dëshirën e njeriut për të arritur majat e dijes.

Gjatë studimit, ne përcaktuam se piramidat janë një fenomen mjaft i zakonshëm në të gjithë globin.

Ne studiuam literaturën shkencore popullore për temën e kërkimit, shqyrtuam interpretime të ndryshme të termit "piramidë", përcaktuam se në kuptimin gjeometrik, një piramidë është një shumëkëndësh, baza e së cilës është një shumëkëndësh, dhe fytyrat e mbetura janë trekëndësha që kanë një kulm i përbashkët. Ne studiuam llojet e piramidave (të rregullta, të cunguara, drejtkëndëshe), elementet (apotema, faqet anësore, skajet anësore, kulmi, lartësia, bazamenti, seksioni diagonal) dhe vetitë e piramidave gjeometrike kur skajet anësore janë të barabarta dhe kur faqet anësore. janë të prirur në rrafshin e bazës në të njëjtin kënd. Ne shqyrtuam teoremat që lidhin piramidën me trupa të tjerë gjeometrikë (sferë, kon, cilindër).

Ne përfshimë karakteristikat e mëposhtme të piramidës:

raporti i sipërfaqes totale të jashtme të piramidës me sipërfaqen e bazës do të jetë i barabartë me raportin e artë;

prania në përmasat e piramidës së raportit të artë - raporti i anës së dyfishtë të piramidës me lartësinë e saj - është një numër shumë i afërt në vlerë me numrin π, d.m.th. piramida e Keopsit është një monument i veçantë që përfaqëson mishërimin material të numrit "Pi";

ekzistenca e një sistemi piramidal-gjeografik.

Ne studiuam përdorimin modern të kësaj figure gjeometrike. Ne shikuam se si janë të lidhura piramida dhe hologrami dhe vumë re se forma piramidale gjendet më shpesh në natyrë (bimë, kristale, molekulat e metanit, struktura e rrjetës së diamantit, etj.). Gjatë gjithë studimit kemi hasur në material që konfirmon përdorimin e vetive të piramidës në fusha të ndryshme të shkencës dhe teknologjisë, në jetën e përditshme të njerëzve, në analizën e informacionit, në ekonomi dhe në shumë fusha të tjera. Dhe ata arritën në përfundimin se ndoshta piramidat kanë një qëllim shumë më të lartë dhe janë të destinuara për diçka më të madhe se mënyrat praktike të përdorimit të tyre që tani janë zbuluar.

Bibliografi.

Van der Waerden, Bartel Leendert. Shkenca e zgjimit. Matematika e Egjiptit të Lashtë, Babilonisë dhe Greqisë. [Tekst]/ B. L. Van der Waerden - KomKniga, 2007

Voloshinov A.V. Matematikë dhe art. [Tekst]/ A.V. Voloshinov - Moskë: "Iluminizmi" 2000.

Historia Botërore (enciklopedi për fëmijë). [Tekst]/ - M.: “Avanta+”, 1993.

Halogrami . [Burimi elektronik] - https://hi-news.ru/tag/hologramma - artikull në internet

Gjeometria [Teksti]: Teksti mësimor. Klasat 10-11 për institucionet arsimore Atanasyan L.S., V.F. Butuzov dhe të tjerët - botimi i 22-të. - M.: Arsimi, 2013.

Coppens F. Epoka e re e piramidave. [Tekst]/ F. Coppens - Smolensk: Rusich, 2010

Fjalor enciklopedik matematikor. [Tekst]/ A. M. Prokhorov et al. - M.: Enciklopedia Sovjetike, 1988.

Muldashev E.R. Sistemi botëror i piramidave dhe monumenteve të antikitetit na shpëtoi nga fundi i botës, por ... [Tekst]/ E.R. Muldashev - M.: "AiF-Print"; M.: “OLMA-PRESS”; Shën Petersburg: Shtëpia Botuese "Neva"; 2003.

Perelman Ya. I. Aritmetikë argëtuese. [Tekst]/ Ya. I. Perelman - M.: Tsentrpoligraf, 2017

Reichard G. Piramidat. [Tekst]/ Hans Reichard - M.: Slovo, 1978

Terra-Leksikon. Fjalor enciklopedik i ilustruar. [Teksti]/ - M.: TERRA, 1998.

Tompkins P. Sekretet e Piramidës së Madhe të Keopsit. [Tekst]/ Peter Tompkins. - M.: “Centropoligraf”, 2008

Uvarov V. Vetitë magjike të piramidave. [Tekst]/ V. Uvarov - Lenizdat, 2006.

Sharygin I.F.. Gjeometria klasat 10-11. [Tekst]/ I.F. Sharygin:. - M: “Iluminizmi”, 2000

Yakovenko M. Çelësi për të kuptuar piramidën [Burimi elektronik] - http://world-pyramids.com/russia/pyramid.html - artikull në internet

Këtu mund të gjeni informacione bazë për piramidat dhe formulat dhe konceptet përkatëse. Të gjithë ata studiohen me një mësues matematike në përgatitje për Provimin e Unifikuar të Shtetit.

Konsideroni një plan, një shumëkëndësh , i shtrirë në të dhe një pikë S, jo e shtrirë në të. Le të lidhim S me të gjitha kulmet e shumëkëndëshit. Polyedroni që rezulton quhet piramidë. Segmentet quhen brinjë anësore. Shumëkëndëshi quhet bazë, dhe pika S është maja e piramidës. Në varësi të numrit n, piramida quhet trekëndore (n=3), katërkëndore (n=4), pesëkëndëshe (n=5) e kështu me radhë. Një emër alternativ për një piramidë trekëndore është katërkëndësh. Lartësia e një piramide është pingulja që zbret nga maja e saj në rrafshin e bazës.

Një piramidë quhet e rregullt nëse një shumëkëndësh i rregullt, dhe baza e lartësisë së piramidës (baza e pingules) është qendra e saj.

Komenti i tutorit:
Mos i ngatërroni konceptet e "piramidës së rregullt" dhe "tetraedrit të rregullt". Në një piramidë të rregullt, skajet anësore nuk janë domosdoshmërisht të barabarta me skajet e bazës, por në një katërkëndor të rregullt, të 6 skajet janë të barabarta. Ky është përkufizimi i tij. Është e lehtë të vërtetohet se barazia nënkupton që qendra P e poligonit përkon me një lartësi bazë, pra një tetraedron i rregullt është një piramidë e rregullt.

Çfarë është një apotemë?
Apotema e një piramide është lartësia e faqes anësore të saj. Nëse piramida është e rregullt, atëherë të gjitha apotemat e saj janë të barabarta. E kundërta nuk është e vërtetë.

Një mësues matematike për terminologjinë e tij: 80% e punës me piramida ndërtohet përmes dy llojeve të trekëndëshave:
1) Që përmban apotemën SK dhe lartësinë SP
2) Që përmban skajin anësor SA dhe PA të projeksionit të tij

Për të thjeshtuar referencat ndaj këtyre trekëndëshave, është më e përshtatshme që një mësues matematike të thërrasë të parin prej tyre apotemal, dhe e dyta bregdetare. Fatkeqësisht, këtë terminologji nuk do ta gjeni në asnjë nga tekstet shkollore dhe mësuesi duhet ta prezantojë atë në mënyrë të njëanshme.

Formula për vëllimin e një piramide:
1) , ku është sipërfaqja e bazës së piramidës dhe është lartësia e piramidës
2), ku është rrezja e sferës së gdhendur dhe është sipërfaqja e sipërfaqes totale të piramidës.
3) , ku MN është distanca midis çdo dy skajesh kryqëzuese dhe është zona e paralelogramit të formuar nga mesi i katër skajeve të mbetura.

Vetia e bazës së lartësisë së një piramide:

Pika P (shih figurën) përkon me qendrën e rrethit të brendashkruar në bazën e piramidës nëse plotësohet një nga kushtet e mëposhtme:
1) Të gjitha apotemat janë të barabarta
2) Të gjitha fytyrat anësore janë të prirura në mënyrë të barabartë nga baza
3) Të gjitha apotemat janë të prirura në mënyrë të barabartë në lartësinë e piramidës
4) Lartësia e piramidës është e prirur njësoj nga të gjitha faqet anësore

Komenti i mësuesit të matematikës: Ju lutemi vini re se të gjitha pikat janë të bashkuara nga një pronë e përbashkët: në një mënyrë ose në një tjetër, fytyrat anësore janë të përfshira kudo (apotemat janë elementët e tyre). Prandaj, mësuesi mund të ofrojë një formulim më pak të saktë, por më të përshtatshëm për të mësuar: pika P përkon me qendrën e rrethit të brendashkruar, bazën e piramidës, nëse ka ndonjë informacion të barabartë për faqet e saj anësore. Për ta vërtetuar atë, mjafton të tregojmë se të gjithë trekëndëshat e apotemës janë të barabartë.

Pika P përkon me qendrën e një rrethi të rrethuar pranë bazës së piramidës nëse një nga tre kushtet është e vërtetë:
1) Të gjitha skajet anësore janë të barabarta
2) Të gjitha brinjët anësore janë të prirura në mënyrë të barabartë me bazën
3) Të gjitha brinjët anësore janë të prirura në mënyrë të barabartë në lartësi