Çfarë do të thotë sekuenca? Kufijtë e funksioneve monotonike

Teorema mbi kufirin e një funksioni monoton. Një vërtetim i teoremës jepet duke përdorur dy metoda. Janë dhënë edhe përkufizime të funksioneve rreptësisht në rritje, jozitëse, rreptësisht zvogëluese dhe jo-rritëse. Përkufizimi i një funksioni monoton.

Përkufizimet

Përkufizimet e funksioneve rritëse dhe zvogëluese
Le të jetë funksioni f (x)është përcaktuar në një grup numrash realë X.
Funksioni thirret rreptësisht në rritje (rreptësisht në rënie), nëse për të gjitha x′, x′′ ∈ X e tille qe x'< x′′ выполняется неравенство:
f (x′)< f(x′′) (f (x′) > f(x′′) ) .
Funksioni thirret jo në rënie (jo në rritje), nëse për të gjitha x′, x′′ ∈ X e tille qe x'< x′′ выполняется неравенство:
f (x′) ≤ f(x′′)(f (x′) ≥ f(x′′) ) .

Nga kjo rrjedh se një funksion rreptësisht në rritje është gjithashtu jozvogëlues. Një funksion rreptësisht në rënie është gjithashtu jo-rritës.

Përkufizimi i një funksioni monoton
Funksioni thirret monotone, nëse nuk është në rënie ose jo në rritje.

Për të studiuar monotoninë e një funksioni në një grup të caktuar X, duhet të gjeni ndryshimin e vlerave të tij në dy pika arbitrare që i përkasin këtij grupi. Nëse , atëherë funksioni po rritet rreptësisht; nëse , atëherë funksioni nuk zvogëlohet; nëse , atëherë zvogëlohet rreptësisht; nëse , atëherë nuk rritet.

Nëse në një grup të caktuar funksioni është pozitiv: , atëherë për të përcaktuar monotoninë, mund të studioni koeficientin e ndarjes së vlerave të tij në dy pika arbitrare të këtij grupi. Nëse , atëherë funksioni po rritet rreptësisht; nëse , atëherë funksioni nuk zvogëlohet; nëse , atëherë zvogëlohet rreptësisht; nëse , atëherë nuk rritet.

Teorema
Le të jetë funksioni f (x) nuk zvogëlohet në interval (a, b), Ku.
Nëse kufizohet sipër me numrin M:, atëherë ka një kufi të fundëm majtas në pikën b:. Nëse f (x) nuk kufizohet nga lart, atëherë .
Nëse f (x) kufizohet më poshtë me numrin m : , atëherë ka një kufi të drejtë të fundëm në pikën a : . Nëse f (x) nuk kufizohet më poshtë, atëherë .

Nëse pikat a dhe b janë në pafundësi, atëherë në shprehjet shenjat kufitare nënkuptojnë se .
Kjo teoremë mund të formulohet në mënyrë më kompakte.

Le të jetë funksioni f (x) nuk zvogëlohet në interval (a, b), Ku.
;
.

Pastaj ka kufij të njëanshëm në pikat a dhe b:

Një teoremë e ngjashme për një funksion jo-rritës.
;
.

Le të mos rritet funksioni në intervalin ku . Pastaj ka kufij të njëanshëm:
Pasoja
Le të jetë funksioni monoton në interval. Atëherë, në çdo pikë nga ky interval, ka kufij të fundëm të njëanshëm të funksionit:

Dhe .

Vërtetimi i teoremës

Funksioni nuk po zvogëlohet

b - numri përfundimtar

Funksioni është i kufizuar nga lart

.
;
.

Meqenëse funksioni nuk zvogëlohet, atëherë kur . Pastaj
në .
Le të transformojmë pabarazinë e fundit:
;
;
.
Sepse, atëherë. Pastaj
në .

në .
"Përkufizimet e kufijve të njëanshëm të një funksioni në një pikë fundore").

Funksioni nuk është i kufizuar nga lart

1. Le të mos ulet funksioni në interval.
1.1. Le të jetë numri b i fundëm: .
1.1.2. Le të mos kufizohet funksioni më sipër.
Le të vërtetojmë se në këtë rast ka një kufi.

.

në .

Le të shënojmë. Pastaj për këdo që ka, kështu
në .
Kjo do të thotë se kufiri në të majtë në pikën b është (shih "Përkufizimet e kufijve të pafundëm të njëanshëm të një funksioni në një pikë fundore").

b hershme plus pafundësi

b - numri përfundimtar

1. Le të mos ulet funksioni në interval.
1.2.1. Le të kufizohet funksioni nga lart me numrin M: për .
Le të vërtetojmë se në këtë rast ka një kufi.

Meqenëse funksioni është i kufizuar më lart, ekziston një suprem i kufizuar
.
Sipas përkufizimit të një kufiri të sipërm të saktë, plotësohen kushtet e mëposhtme:
;
për çdo pozitiv ka një argument për të cilin
.

Meqenëse funksioni nuk zvogëlohet, atëherë kur . Pastaj në. Ose
në .

Pra, kemi gjetur se për këdo ka një numër, pra
në .
"Përkufizimet e kufijve të njëanshëm në pafundësi").

Funksioni nuk është i kufizuar nga lart

1. Le të mos ulet funksioni në interval.
1.2. Le të jetë numri b i barabartë me plus pafundësinë: .
1.2.2. Le të mos kufizohet funksioni më sipër.
Le të vërtetojmë se në këtë rast ka një kufi.

Meqenëse funksioni nuk është i kufizuar më lart, atëherë për çdo numër M ekziston një argument për të cilin
.

Meqenëse funksioni nuk zvogëlohet, atëherë kur . Pastaj në.

Pra, për çdo ka një numër, kështu
në .
Kjo do të thotë se kufiri në është i barabartë me (shih "Përkufizimet e kufijve të pafundëm të njëanshëm në pafundësi").

Funksioni nuk po rritet

Tani merrni parasysh rastin kur funksioni nuk rritet. Ju mund, si më sipër, të konsideroni secilin opsion veç e veç. Por ne do t'i mbulojmë ato menjëherë. Për këtë ne përdorim. Le të vërtetojmë se në këtë rast ka një kufi.

Merrni parasysh infimumin e fundëm të grupit të vlerave të funksionit:
.
Këtu B mund të jetë ose një numër i kufizuar ose një pikë në pafundësi. Sipas përkufizimit të një kufiri të saktë të poshtëm, plotësohen kushtet e mëposhtme:
;
për çdo fqinjësi të pikës B ka një argument për të cilin
.
Sipas kushteve të teoremës, . Kjo është arsyeja pse.

Meqenëse funksioni nuk rritet, atëherë kur . Që atëherë
në .
Ose
në .
Më pas, vërejmë se pabarazia përcakton lagjen e shpuar të majtë të pikës b.

Pra, kemi gjetur se për çdo lagje të pikës, ka një lagje të majtë të shpuar të pikës b e tillë që
në .
Kjo do të thotë se kufiri në të majtë në pikën b është:

(shih përkufizimin universal të kufirit të një funksioni sipas Cauchy).

Kufiri në pikën a

Tani do të tregojmë se ka një kufi në pikën a dhe do të gjejmë vlerën e tij.

Le të shqyrtojmë funksionin. Sipas kushteve të teoremës, funksioni është monoton për . Le të zëvendësojmë ndryshoren x me - x (ose të bëjmë një zëvendësim dhe më pas të zëvendësojmë ndryshoren t me x). Atëherë funksioni është monoton për . Shumëzimi i pabarazive me -1 dhe duke ndryshuar rendin e tyre arrijmë në përfundimin se funksioni është monoton për .

Në mënyrë të ngjashme është e lehtë të tregohet se nëse nuk zvogëlohet, atëherë nuk rritet. Pastaj, sipas asaj që u vërtetua më lart, ka një kufi
.
Nëse nuk rritet, nuk ulet. Në këtë rast ka një kufi
.

Tani mbetet të tregojmë se nëse ekziston një kufi i një funksioni në , atëherë ekziston një kufi i funksionit në , dhe këto kufij janë të barabartë:
.

Le të prezantojmë shënimin:
(1) .
Le ta shprehim f në terma g:
.
Le të marrim një numër pozitiv arbitrar. Le të ketë një lagje epsilon të pikës A. Lagjja e epsilon përcaktohet si për vlerat e fundme ashtu edhe për ato të pafundme të A-së (shih "Lagjenia e një pike"). Meqenëse ekziston një kufi (1), atëherë, sipas përcaktimit të një kufiri, për cilindo ekziston i tillë që
në .

Le të jetë një numër i kufizuar. Le të shprehim lagjen e shpuar të majtë të pikës -a duke përdorur pabarazitë:
në .
Le të zëvendësojmë x me -x dhe të marrim parasysh se:
në .
Dy pabarazitë e fundit përcaktojnë lagjen e djathtë të shpuar të pikës a. Pastaj
në .

Le të jetë një numër i pafund, . Ne e përsërisim arsyetimin.
në ;
në ;
në ;
në .

Pra, ne zbuluam se për këdo ekziston një gjë e tillë
në .
Do të thotë se
.

Teorema është vërtetuar.

Ju lutemi vini re: të gjitha përkufizimet përfshijnë një grup numerik X, i cili është pjesë e domenit të funksionit: X me D(f). Në praktikë, më shpesh ka raste kur X është një interval numerik (segment, interval, rreze, etj.).

Përkufizimi 1.

Një funksion y = f(x) thuhet se po rritet në një bashkësi X me D(f) nëse për çdo dy pika x 1 dhe x 2 të grupit X të tillë që x 1< х 2 , выполняется неравенство f(х 1 < f(х 2).

Përkufizimi 2.

Një funksion y = f(x) thuhet se zvogëlohet në një bashkësi X me D(f) nëse për çdo dy pika x 1 dhe x 2 të bashkësisë X të tillë që x 1< х 2 , функции выполняется неравенство f(x 1) >f (x 2).

Në praktikë, është më i përshtatshëm të përdoren formulimet e mëposhtme: një funksion rritet nëse një vlerë më e madhe e argumentit korrespondon me një vlerë më të madhe të funksionit; një funksion zvogëlohet nëse një vlerë më e madhe e argumentit korrespondon me një vlerë më të vogël të funksionit.

Në klasat e 7-ta dhe të 8-ta kemi përdorur interpretimin gjeometrik të mëposhtëm të koncepteve të rritjes ose zvogëlimit të një funksioni: duke lëvizur përgjatë grafikut të një funksioni rritës nga e majta në të djathtë, duket se po ngjitemi në një kodër (Fig. 55); duke lëvizur përgjatë grafikut të një funksioni në rënie nga e majta në të djathtë, është sikur po zbresim një kodër (Fig. 56).
Zakonisht termat "funksion në rritje" dhe "funksion zvogëlues" kombinohen nën emrin e përgjithshëm funksion monoton, dhe studimi i një funksioni për rritje ose ulje quhet studimi i një funksioni për monotoni.

Le të vërejmë një rrethanë tjetër: nëse një funksion rritet (ose zvogëlohet) në domenin e tij natyror të përkufizimit, atëherë zakonisht themi se funksioni rritet (ose zvogëlohet) - pa treguar grupin numerik X.

Shembulli 1.

Shqyrtoni funksionin për monotoninë:

A) y = x 3 + 2; b) y = 5 - 2x.

Zgjidhja:

a) Merrni vlera arbitrare të argumentit x 1 dhe x 2 dhe leni x 1<х 2 . Тогда, по свойствам числовых неравенств (мы с вами изучали их в курсе алгебры 8-го класса), будем иметь:

Pabarazia e fundit do të thotë se f(x 1)< f(х 2). Итак, из х 1 < х 2 следует f{х 1) < f(х 2), а это означает, что заданная функция возрастает (на всей числовой прямой).

Pra nga x 1< х 2 следует f(х 1) >f(x 2), që do të thotë se funksioni i dhënë është në rënie (në të gjithë vijën numerike).

Përkufizimi 3.

Një funksion y - f(x) thuhet se është i kufizuar nga poshtë në një grup X me D(f) nëse të gjitha vlerat e funksionit në bashkësinë X janë më të mëdha se një numër i caktuar (me fjalë të tjera, nëse ka një numër m i tillë që për çdo vlerë x є X mosbarazimi f( x) >m).

Përkufizimi 4.

Një funksion y = f(x) thuhet se është i kufizuar nga lart në një grup X me D(f) nëse të gjitha vlerat e funksionit janë më të vogla se një numër i caktuar (me fjalë të tjera, nëse ka një numër M i tillë që për çdo vlerë x є X vlen pabarazia f(x).< М).

Nëse bashkësia X nuk është e specifikuar, atëherë kuptohet që bëhet fjalë për funksionin të kufizuar nga poshtë ose nga lart në të gjithë domenin e përkufizimit.

Nëse një funksion është i kufizuar si poshtë ashtu edhe sipër, atëherë ai quhet i kufizuar.

Kufizimi i një funksioni lexohet lehtësisht nga grafiku i tij: nëse një funksion është i kufizuar nga poshtë, atëherë grafiku i tij ndodhet tërësisht mbi një vijë të caktuar horizontale y = m (Fig. 57); nëse një funksion është i kufizuar nga lart, atëherë grafiku i tij ndodhet tërësisht nën një vijë horizontale y = M (Fig. 58).

Shembulli 2. Shqyrtoni për kufirin e një funksioni
Zgjidhje. Nga njëra anë, pabarazia është mjaft e dukshme (me përcaktimin e rrënjës katrore, kjo do të thotë se funksioni është i kufizuar më poshtë. Nga ana tjetër, kemi dhe për këtë arsye
Kjo do të thotë që funksioni është i kufirit të sipërm. Tani shikoni grafikun e funksionit të dhënë (Fig. 52 nga paragrafi i mëparshëm). Kufizimi i funksionit si sipër ashtu edhe poshtë mund të lexohet mjaft lehtë nga grafiku.

Përkufizimi 5.

Numri m quhet vlera më e vogël e funksionit y = f(x) në bashkësinë X C D(f) nëse:

1) në X ka një pikë x 0 të tillë që f(x 0) = m;

2) për të gjitha x nga X vlen pabarazia m>f(x 0).

Përkufizimi 6.

Numri M quhet vlera më e madhe e funksionit y = f(x) në bashkësinë X C D(f), nëse:
1) në X ka një pikë x 0 të tillë që f(x 0) = M;
2) për të gjitha x nga X pabarazia
Vlerën më të vogël të një funksioni në klasën e 7-të dhe të 8-të e shënuam me simbolin y dhe më të madhen me simbolin y.

Nëse bashkësia X nuk është e specifikuar, atëherë supozohet se po flasim për gjetjen e vlerës më të vogël ose më të madhe të funksionit në të gjithë domenin e përkufizimit.

Deklaratat e mëposhtme të dobishme janë mjaft të dukshme:

1) Nëse një funksion ka Y, atëherë ai kufizohet më poshtë.
2) Nëse një funksion ka Y, atëherë ai është i kufizuar më lart.
3) Nëse funksioni nuk është i kufizuar më poshtë, atëherë Y nuk ekziston.
4) Nëse funksioni nuk është i kufizuar më lart, atëherë Y nuk ekziston.

Shembulli 3.

Gjeni vlerat më të vogla dhe më të mëdha të një funksioni
Zgjidhje.

Është mjaft e qartë, veçanërisht nëse përdorni grafikun e funksionit (Fig. 52), që = 0 (funksioni e arrin këtë vlerë në pikat x = -3 dhe x = 3), a = 3 (funksioni e arrin këtë vlerë në x = 0.
Në klasat e 7-ta dhe të 8-ta përmendëm edhe dy veti të funksioneve. E para quhej vetia e konveksitetit të një funksioni. Një funksion konsiderohet të jetë konveks poshtë në një interval X nëse, duke lidhur çdo dy pika të grafikut të tij (me abshisa nga X) me një segment të drejtë, gjejmë se pjesa përkatëse e grafikut shtrihet poshtë segmentit të vizatuar (Fig. 59). vazhdimësia Një funksion është konveks lart në një interval X nëse, duke lidhur çdo dy pika të grafikut të tij (me abshisa nga X) të funksionit me një segment të drejtë, gjejmë se pjesa përkatëse e grafikut shtrihet mbi segmentin e vizatuar ( Fig. 60).

Vetia e dytë - vazhdimësia e një funksioni në intervalin X - do të thotë se grafiku i funksionit në intervalin X është i vazhdueshëm, d.m.th. nuk ka shpime apo kërcime.

Komentoni.

Në fakt, në matematikë gjithçka është, siç thonë ata, "pikërisht e kundërta": grafiku i një funksioni përshkruhet si një vijë e fortë (pa shpime ose kërcime) vetëm kur vërtetohet vazhdimësia e funksionit. Por një përkufizim formal i vazhdimësisë së një funksioni, i cili është mjaft kompleks dhe delikat, nuk është ende brenda mundësive tona. E njëjta gjë mund të thuhet për konveksitetin e një funksioni. Kur diskutojmë këto dy veti të funksioneve, ne do të vazhdojmë të mbështetemi në konceptet vizuale dhe intuitive.

Tani le të rishikojmë njohuritë tona. Duke kujtuar funksionet që kemi studiuar në klasat e 7-ta dhe të 8-ta, le të sqarojmë se si duken grafikët e tyre dhe të rendisim vetitë e funksionit, duke iu përmbajtur një renditjeje të caktuar, për shembull: fusha e përkufizimit; monotone; kufizim; , ; vazhdimësi; varg; konveks.

Më pas, do të shfaqen vetitë e reja të funksioneve dhe lista e vetive do të ndryshojë në përputhje me rrethanat.

1. Funksioni konstant y = C

Grafiku i funksionit y = C është paraqitur në Fig. 61 - vijë e drejtë, paralele me boshtin x. Ky është një tipar kaq jo interesant saqë nuk ka kuptim të rendisim pronat e tij.

Grafiku i funksionit y = kx + m është drejtëz (Fig. 62, 63).

Vetitë e funksionit y = kx + m:

1)
2) rritet nëse k > 0 (Fig. 62), zvogëlohet nëse k< 0 (рис. 63);

4) nuk ka as vlerën më të madhe dhe as më të vogël;
5) funksioni është i vazhdueshëm;
6)
7) nuk ka kuptim të flasim për konveksitet.

Grafiku i funksionit y = kx 2 është një parabolë me kulm në origjinë dhe me degë të drejtuara lart nëse k > O (Fig. 64), dhe poshtë nëse k< 0 (рис. 65). Прямая х = 0 (ось у) является осью параболы.

Vetitë e funksionit y - kx 2:

Për rastin k> 0 (Fig. 64):

1) D(f) = (-oo,+oo);


4) = nuk ekziston;
5) e vazhdueshme;
6) E(f) = funksioni zvogëlohet, dhe në interval, zvogëlohet në rreze;
7) konveks lart.

Grafiku i funksionit y = f(x) paraqitet pikë për pikë; Sa më shumë pikë të formës (x; f(x)) të marrim, aq më e saktë do të kemi një ide të grafikut. Nëse merrni shumë nga këto pika, atëherë do të merrni një pamje më të plotë të grafikut. Është në këtë rast që intuita na thotë se grafiku duhet të përshkruhet si një vijë e fortë (në këtë rast, në formën e një parabole). Dhe më pas, duke lexuar grafikun, nxjerrim përfundime për vazhdimësinë e funksionit, për konveksitetin e tij poshtë ose lart, për gamën e vlerave të funksionit. Ju duhet të kuptoni se nga shtatë pronat e listuara, vetëm pronat 1), 2), 3), 4) janë "legjitime" - "legjitime" në kuptimin që ne jemi në gjendje t'i justifikojmë ato duke iu referuar përkufizimeve të sakta. Ne kemi vetëm ide vizuale dhe intuitive për pronat e mbetura. Nga rruga, nuk ka asgjë të keqe me këtë. Nga historia e zhvillimit të matematikës dihet se njerëzimi shpesh dhe për një kohë të gjatë ka përdorur veti të ndryshme të objekteve të caktuara, pa i ditur përkufizimet e sakta. Pastaj, kur mund të formuloheshin përkufizime të tilla, gjithçka ra në vend.

Grafiku i funksionit është hiperbolë, boshtet e koordinatave shërbejnë si asimptota të hiperbolës (Fig. 66, 67).

1) D(f) = (-00,0)1U (0,+oo);
2) nëse k > 0, atëherë funksioni zvogëlohet në rreze të hapur (-oo, 0) dhe në rreze të hapur (0, +oo) (Fig. 66); nëse të< 0, то функция возрастает на (-оо, 0) и на (0, +оо) (рис. 67);
3) nuk kufizohet as nga poshtë as nga lart;
4) nuk ka as vlerën më të vogël e as më të madhe;
5) funksioni është i vazhdueshëm në rreze të hapur (-oo, 0) dhe në rreze të hapur (0, +oo);
6) E(f) = (-oo,0) U (0,+oo);
7) nëse k > 0, atëherë funksioni është konveks lart në x< 0, т.е. на открытом луче (-оо, 0), и выпукла вниз при х >0, d.m.th. në traun e hapur (0, +oo) (Fig. 66). Nëse për të< 0, то функция выпукла вверх при х >O dhe konveks poshtë në x< О (рис. 67).
Grafiku i funksionit është një degë e një parabole (Fig. 68). Karakteristikat e funksionit:
1) D(f) = , rritet në rreze dhe është i diferencueshëm në intervalin ( a;b), atëherë ka një pikë të tillë që

Teorema e Cauchy-t.

Nëse funksionet f(x) dhe g(x) janë të vazhdueshëm në interval dhe të diferencueshëm në intervalin (a, b) dhe g¢(x) ¹ 0 në intervalin (a, b), atëherë ka të paktën një pika e, a< e < b, такая, что

ato. raporti i rritjes së funksioneve në një segment të caktuar është i barabartë me raportin e derivateve në pikën e. Shembuj të kursit të leksioneve për zgjidhjen e problemeve Llogaritja e vëllimit të një trupi nga zona të njohura të seksioneve të tij paralele Njehsimi integral

Shembuj të lëndëve inxhinieri elektrike

Për të vërtetuar këtë teoremë, në shikim të parë është shumë e përshtatshme të përdoret teorema e Lagranzhit. Shkruani një formulë të diferencës së fundme për secilin funksion dhe më pas ndajini ato me njëri-tjetrin. Megjithatë, kjo ide është e gabuar, sepse pika e për çdo funksion është përgjithësisht e ndryshme. Sigurisht, në disa raste të veçanta kjo pikë intervali mund të rezultojë e njëjtë për të dy funksionet, por kjo është një rastësi shumë e rrallë, dhe jo një rregull, dhe për këtë arsye nuk mund të përdoret për të vërtetuar teoremën.

Dëshmi. Merrni parasysh funksionin ndihmës

Si x→x 0, vlera e c gjithashtu tenton në x 0; Le të shkojmë në kufirin në barazinë e mëparshme:

Sepse , Kjo .

Kjo është arsyeja pse

(kufiri i raportit të dy infinitezimaleve është i barabartë me kufirin e raportit të derivateve të tyre, nëse ky i fundit ekziston)

Rregulli i L'Hopital, në ∞/∞.

Ne do ta quajmë funksionin y=f(x) TË KUFIZUAR SIPËR (POSHT) në bashkësinë A nga fusha e përkufizimit D(f) nëse ekziston një numër i tillë. M , që për çdo x nga kjo bashkësi kushti është i plotësuar

Duke përdorur simbole logjike, përkufizimi mund të shkruhet si:

f(x) – kufizohet sipër në set

(f(x) – i kufizuar nga poshtë në set

Funksionet e kufizuara në modul ose thjesht të kufizuara janë futur në konsideratë.

Ne do të quajmë një funksion BOUNDED në bashkësinë A nga fusha e përkufizimit nëse ka një numër pozitiv M të tillë që

Në gjuhën e simboleve logjike

f(x) – kufizuar në set

Një funksion që nuk është i kufizuar quhet i pakufizuar. Ne e dimë se përkufizimet e dhëna nëpërmjet mohimit kanë pak përmbajtje. Për të formuluar këtë deklaratë si përkufizim, ne përdorim vetitë e operacioneve të sasisë (3.6) dhe (3.7). Atëherë, mohimi i kufijve të një funksioni në gjuhën e simboleve logjike do të japë:

f(x) – kufizuar në set

Rezultati i marrë na lejon të formulojmë përkufizimin e mëposhtëm.

Funksioni quhet I PAKUFIZUAR në një bashkësi A që i përket fushës së përcaktimit të funksionit nëse në këtë bashkësi për çdo numër pozitiv M ka një vlerë të tillë të argumentit x. , se vlera do të vazhdojë të kalojë vlerën e M, d.m.th.

Si shembull, merrni parasysh funksionin

Përcaktohet në të gjithë boshtin real. Nëse marrim segmentin [–2;1] (bashkësia A), atëherë mbi të do të kufizohet si sipër ashtu edhe poshtë.

Në të vërtetë, për të treguar se ai është i kufizuar nga lart, duhet të marrim parasysh kallëzuesin

dhe tregoni se ekziston (ekziston) M i tillë që për të gjitha x të marra në intervalin [–2;1], do të jetë e vërtetë

Gjetja e një M të tillë nuk është e vështirë. Mund të supozojmë M = 7, sasia e ekzistencës përfshin gjetjen e të paktën një vlere të M. Prania e një M të tillë konfirmon faktin se funksioni në intervalin [–2;1] është i kufizuar nga lart.

Për të vërtetuar se është i kufizuar nga poshtë, duhet të marrim parasysh kallëzuesin

Vlera e M që siguron vërtetësinë e një kallëzuesi të caktuar është, për shembull, M = –100.

Mund të vërtetohet se funksioni do të jetë gjithashtu i kufizuar në modul: për të gjitha x nga intervali [–2;1], vlerat e funksionit përkojnë me vlerat e , kështu që si M mund të marrim, për shembull, vlera e mëparshme M = 7.

Le të tregojmë se i njëjti funksion, por në intervalin , do të jetë i pakufizuar, domethënë

Për të treguar se ekziston një x i tillë, merrni parasysh deklaratën

Duke kërkuar vlerat e kërkuara të x midis vlerave pozitive të argumentit, marrim

Kjo do të thotë se pavarësisht se çfarë M pozitive marrim, vlerat e x që sigurojnë përmbushjen e pabarazisë

përftohen nga relacioni .

Duke shqyrtuar një funksion në të gjithë boshtin real, mund të tregohet se ai është i pakufizuar në vlerë absolute.

Në të vërtetë, nga pabarazia

Kjo do të thotë, sado i madh të jetë M pozitiv, ose do të sigurojë përmbushjen e pabarazisë.

FUNKSIONI EKSTREM.

Funksioni ka në pikë Me maksimumi lokal (minimumi), nëse ka një lagje të tillë të kësaj pike që për x¹ Me nga kjo lagje mban pabarazia

veçanërisht se pika ekstreme mund të jetë vetëm një pikë e brendshme e intervalit dhe f(x) në të duhet domosdoshmërisht të përcaktohet. Rastet e mundshme të mungesës së një ekstremi janë paraqitur në Fig. 8.8.

Nëse një funksion rritet (zvogëlohet) në një interval të caktuar dhe zvogëlohet (rritet) në një interval të caktuar, atëherë pika Me është një pikë maksimale (minimale) lokale.

Mungesa e një maksimumi të funksionit f(x) në pikë Me mund të formulohet kështu:

_______________________

f(x) ka një maksimum në pikën c

Kjo do të thotë që nëse pika c nuk është një pikë maksimale lokale, atëherë cilado qoftë fqinjësia që përfshin pikën c si të brendshme, do të ketë të paktën një vlerë x jo të barabartë me c për të cilën . Kështu, nëse nuk ka maksimum në pikën c, atëherë në këtë pikë mund të mos ketë fare ekstrem, ose mund të jetë një pikë minimale (Fig. 8.9).

Koncepti i ekstremit jep një vlerësim krahasues të vlerës së një funksioni në çdo pikë në lidhje me ato të afërta. Një krahasim i ngjashëm i vlerave të funksionit mund të kryhet për të gjitha pikat e një intervali të caktuar.

Vlera MAKSIMA (ME E VOGLA) e një funksioni në një grup është vlera e tij në një pikë nga kjo bashkësi e tillë që – në . Vlera më e madhe e funksionit arrihet në pikën e brendshme të segmentit, dhe më e vogla – në skajin e majtë të saj.

Për të përcaktuar vlerën më të madhe (më të vogël) të një funksioni të specifikuar në një interval, është e nevojshme të zgjidhni numrin më të madh (më të vogël) midis të gjitha vlerave të maksimumeve (minimumeve) të tij, si dhe vlerave të pranuara. në skajet e intervalit. Kjo do të jetë vlera më e madhe (më e vogël) e funksionit. Ky rregull do të sqarohet më vonë.

Problemi i gjetjes së vlerave më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni në një interval të hapur nuk është gjithmonë i lehtë për t'u zgjidhur. Për shembull, funksioni

në intervalin (Fig. 8.11) nuk i ka.

Le të sigurohemi, për shembull, që ky funksion të mos ketë rëndësinë më të madhe. Në fakt, duke marrë parasysh monotoninë e funksionit, mund të argumentohet se sado afër vendosim vlerat e x në të majtë të unitetit, do të ketë x të tjera në të cilat vlerat e funksionit do të të jetë më e madhe se vlerat e saj në pikat fikse të dhëna, por gjithsesi më e vogël se një.

Mësim dhe prezantim me temën: "Vetitë e një funksioni. Funksionet rritëse dhe zvogëluese"

Materiale shtesë
Të dashur përdorues, mos harroni të lini komentet, komentet, dëshirat tuaja! Të gjitha materialet janë kontrolluar nga një program antivirus.

Ndihma edukative dhe simulatorë në dyqanin online Integral për klasën 9
Libër mësimi interaktiv për klasën 9 "Rregullat dhe ushtrimet në gjeometri"
Teksti elektronik “Gjeometria e kuptueshme” për klasat 7-9

Djema, ne vazhdojmë të studiojmë funksionet numerike. Sot do të fokusohemi në një temë të tillë si vetitë e funksionit. Funksionet kanë shumë veti. Mos harroni se cilat prona kemi studiuar kohët e fundit. Ashtu është, fusha e përkufizimit dhe fusha e vlerave, ato janë një nga vetitë kryesore. Mos harroni kurrë për to dhe mbani mend se një funksion i ka gjithmonë këto veti.

Në këtë seksion, ne do të përcaktojmë disa veti të funksioneve. Unë rekomandoj të ndiqni rendin në të cilin do t'i përcaktojmë kur zgjidhim problemet.

Funksionet rritëse dhe pakësuese

Vetia e parë që do të përcaktojmë është funksioni rritës dhe zvogëlues.

Një funksion thuhet se po rritet në bashkësinë X⊂D(f) nëse për ndonjë x1 dhe x2 të tillë që x1< x2 - выполняется неравенство f(x1) < f(x2). То есть большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.
Një funksion thuhet se është në rënie në bashkësinë X⊂D(f) nëse për ndonjë x1 dhe x2 të tillë që x1< x2 - выполняется неравенство f(x1)>f(x2). Kjo do të thotë, një vlerë më e madhe e argumentit korrespondon me një vlerë më të vogël të funksionit.

Konceptet e "rritjes" dhe "zvogëlimit" të një funksioni janë shumë të lehta për t'u kuptuar nëse shikoni me kujdes grafikët e funksionit. Për një funksion në rritje: ne duket se po ngjitemi në një kodër, për një funksion në rënie, ne po zbresim në përputhje me rrethanat. Pamja e përgjithshme e funksioneve rritëse dhe zvogëluese është paraqitur në grafikët e mëposhtëm.

Funksionet rritëse dhe zvogëluese quhen përgjithësisht monotoni. Kjo do të thotë, detyra jonë është të gjejmë intervalet e uljes dhe rritjes së funksionit. Në rastin e përgjithshëm, kjo formulohet si më poshtë: gjeni intervalet e monotonitetit ose ekzaminoni një funksion për monotoni.

Shqyrtoni monotoninë e funksionit $y=3x+2$.
Zgjidhja: Le të kontrollojmë funksionin për çdo x1 dhe x2 dhe le të x1< x2.
$f(x1)=3x1+2$
$f(x2)=3x2+2$
Meqenëse, x1< x2, то f(x1) < f(x2), т. е. большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.

Funksion i kufizuar

Një funksion $y=f(x)$ thuhet se është i kufizuar nga poshtë në bashkësinë X⊂D(f) nëse ekziston një numër a i tillë që për çdo хϵХ vlen pabarazia f(x).< a.

Një funksion $y=f(x)$ thuhet se është i kufizuar nga lart në bashkësinë X⊂D(f) nëse ka një numër a të tillë që për çdo хϵХ vlen pabarazia f(x).< a.

Nëse intervali X nuk është i specifikuar, atëherë funksioni konsiderohet i kufizuar në të gjithë domenin e përkufizimit. Një funksion që është i kufizuar si sipër ashtu edhe poshtë quhet i kufizuar.

Kufizimi i funksionit është i lehtë për t'u lexuar nga grafiku. Është e mundur të vizatoni një vijë të drejtë
$у=а$, dhe nëse funksioni është më i lartë se kjo linjë, atëherë ai kufizohet nga poshtë. Nëse më poshtë, atëherë në përputhje me rrethanat më lart. Më poshtë është një grafik i një funksioni të kufizuar më poshtë. Djema, përpiquni të vizatoni vetë një grafik të një funksioni të kufizuar.

Shqyrtoni kufirin e funksionit $y=\sqrt(16-x^2)$.
Zgjidhje: Rrënja katrore e një numri të caktuar është më e madhe ose e barabartë me zero. Natyrisht, funksioni ynë është gjithashtu më i madh ose i barabartë me zero, domethënë i kufizuar nga poshtë.
Mund ta nxjerrim rrënjën katrore vetëm nga një numër jo negativ, pastaj $16-x^2≥0$.
Zgjidhja e pabarazisë sonë do të jetë intervali [-4;4]. Në këtë segment $16-x^2≤16$ ose $\sqrt(16-x^2)≤4$, por kjo do të thotë i kufizuar nga lart.
Përgjigje: funksioni ynë është i kufizuar në dy vija të drejta $y=0$ dhe $y=4$.

Vlera më e lartë dhe më e ulët

Vlera më e vogël e funksionit y= f(x) në bashkësinë X⊂D(f) është një numër m i tillë që:

b) Për çdo хϵХ, vlen $f(x)≥f(x0)$.

Vlera më e madhe e funksionit y=f(x) në bashkësinë X⊂D(f) është një numër m i tillë që:
a) Ka disa x0 të tillë që $f(x0)=m$.
b) Për çdo хϵХ, vlen $f(x)≤f(x0)$.

Vlerat më të mëdha dhe më të vogla zakonisht shënohen me y max. dhe emri .

Konceptet e kufizueshmërisë dhe më e madhja me vlerën më të vogël të një funksioni janë të lidhura ngushtë. Deklaratat e mëposhtme janë të vërteta:
a) Nëse ka një vlerë minimale për një funksion, atëherë ai kufizohet më poshtë.
b) Nëse ka një vlerë maksimale për një funksion, atëherë ai kufizohet më lart.
c) Nëse funksioni nuk është i kufizuar më lart, atëherë vlera më e madhe nuk ekziston.
d) Nëse funksioni nuk është i kufizuar më poshtë, atëherë vlera më e vogël nuk ekziston.

Gjeni vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit $y=\sqrt(9-4x^2+16x)$.
Zgjidhja: $f(x)=y=\sqrt(9-4x^2+16x)=\sqrt(9-(x-4)^2+16)=\sqrt(25-(x-4)^2 )≤5$.
Për $х=4$ $f(4)=5$, për të gjitha vlerat e tjera funksioni merr vlera më të vogla ose nuk ekziston, domethënë kjo është vlera më e madhe e funksionit.
Sipas përkufizimit: $9-4x^2+16x≥0$. Le të gjejmë rrënjët e trinomit kuadratik $(2x+1)(2x-9)≥0$. Në $x=-0.5$ dhe $x=4.5$ funksioni zhduket në të gjitha pikat e tjera është më i madh se zero. Atëherë, sipas përkufizimit, vlera më e vogël e funksionit është e barabartë me zero.
Përgjigje: y max. =5 dhe emri y. =0.

Djema, ne kemi studiuar edhe konceptin e konveksitetit të një funksioni. Kur zgjidhim disa probleme, mund të na duhet kjo pronë. Kjo veti gjithashtu përcaktohet lehtësisht duke përdorur grafikët.

Një funksion është konveks poshtë nëse çdo dy pika në grafikun e funksionit origjinal janë të lidhura dhe grafiku i funksionit është nën vijën e lidhjes së pikave.

Një funksion është konveks lart nëse çdo dy pika në grafikun e funksionit origjinal janë të lidhura dhe grafiku i funksionit është mbi vijën e lidhjes së pikave.

Një funksion është i vazhdueshëm nëse grafiku i funksionit tonë nuk ka ndërprerje, për shembull, si grafiku i funksionit të mësipërm.

Nëse keni nevojë të gjeni vetitë e një funksioni, atëherë sekuenca e kërkimit të vetive është si më poshtë:
a) Fusha e përkufizimit.
b) Monotonia.
c) Kufizimi.
d) Vlera më e madhe dhe më e vogël.
d) Vazhdimësia.
e) Gama e vlerave.

Gjeni vetitë e funksionit $y=-2x+5$.
Zgjidhje.
a) Domeni i përkufizimit D(y)=(-∞;+∞).
b) Monotonia. Le të kontrollojmë për çdo vlerë x1 dhe x2 dhe le të x1< x2.
$f(x1)=-2x1+2$.
$f(x2)=-2x2+2$.
Që nga x1< x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
c) Kufizimi. Është e qartë se funksioni nuk është i kufizuar.
d) Vlera më e madhe dhe më e vogël. Meqenëse funksioni është i pakufizuar, nuk ka vlerë maksimale ose minimale.
d) Vazhdimësia. Grafiku i funksionit tonë nuk ka ndërprerje, atëherë funksioni është i vazhdueshëm.
e) Gama e vlerave. E(y)=(-∞;+∞).

Probleme mbi vetitë e një funksioni për zgjidhje të pavarur

Gjeni vetitë e funksionit:
a) $y=2x+7$,
b) $y=3x^2$,
c) $y=\frac(4)(x)$.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Karakteristikat e elementit të karbonit dhe vetitë kimike