Shifra e kufizuar me vija gjen vëllimin e trupit të revolucionit. Zona e një figure të sheshtë

figurë e sheshtë rreth një boshti

Shembulli 3

Jepet një figurë e sheshtë e kufizuar me vija , , .

1) Gjeni sipërfaqen e një figure të sheshtë të kufizuar nga këto vija.

2) Gjeni vëllimin e trupit të marrë duke rrotulluar një figurë të sheshtë të kufizuar nga këto vija rreth boshtit.

Kujdes! Edhe nëse dëshironi të lexoni vetëm paragrafin e dytë, së pari Domosdoshmërisht lexo të parën!

Zgjidhje: Detyra përbëhet nga dy pjesë. Le të fillojmë me sheshin.

1) Le të ekzekutojmë vizatimin:

Është e lehtë të shihet se funksioni përcakton degën e sipërme të parabolës, dhe funksioni përcakton degën e poshtme të parabolës. Para nesh është një parabolë e parëndësishme, e cila "shtrihet në anën e saj".

Figura e dëshiruar, sipërfaqja e së cilës duhet gjetur, është e hijezuar në ngjyrë blu.

Si të gjeni sipërfaqen e një figure? Mund të gjendet në mënyrën "normale". Për më tepër, sipërfaqja e figurës gjendet si shuma e sipërfaqeve:

- në segment ;

- në segment.

Kjo është arsyeja pse:

Ekziston një zgjidhje më racionale: ajo konsiston në kalimin në funksione të kundërta dhe integrimin përgjatë boshtit.

Si të kalojmë në funksione të anasjellta? Përafërsisht, ju duhet të shprehni "x" përmes "y". Së pari, le të merremi me parabolën:

Kjo është e mjaftueshme, por le të sigurohemi që i njëjti funksion mund të rrjedhë nga dega e poshtme:

Me një vijë të drejtë, gjithçka është më e lehtë:

Tani shikoni boshtin: ju lutemi anoni periodikisht kokën në të djathtë 90 gradë ndërsa shpjegoni (kjo nuk është shaka!). Shifra që na nevojitet qëndron në segmentin, i cili tregohet nga vija e kuqe me pika. Për më tepër, në segment, vija e drejtë ndodhet sipër parabolës, që do të thotë se zona e figurës duhet të gjendet duke përdorur formulën tashmë të njohur për ju: . Çfarë ka ndryshuar në formulë? Vetëm një letër dhe asgjë më shumë.

! shënim : Kufijtë e integrimit të boshtit duhet të rregullohetrreptësisht nga poshtë lart !

Gjetja e zonës:

Prandaj, në segment:

Kushtojini vëmendje sesi e realizova integrimin, kjo është mënyra më racionale, dhe në paragrafin tjetër të detyrës do të jetë e qartë pse.

Për lexuesit që dyshojnë në korrektësinë e integrimit, do të gjej derivate:

Përftohet integrandi origjinal, që do të thotë se integrimi është kryer në mënyrë korrekte.

Përgjigju:

2) Njehsoni vëllimin e trupit të formuar nga rrotullimi i kësaj figure rreth boshtit.

Unë do ta rivizatoj vizatimin në një dizajn paksa të ndryshëm:

Pra, figura e hijezuar në blu rrotullohet rreth boshtit. Rezultati është një "flutur pezull" që rrotullohet rreth boshtit të saj.

Për të gjetur vëllimin e trupit të revolucionit, ne do të integrojmë përgjatë boshtit. Së pari duhet të kalojmë te funksionet e anasjellta. Kjo tashmë është bërë dhe përshkruar në detaje në paragrafin e mëparshëm.

Tani e përkulim kokën përsëri në të djathtë dhe studiojmë figurën tonë. Natyrisht, vëllimi i trupit të revolucionit duhet të gjendet si diferencë midis vëllimeve.

E rrotullojmë figurën e rrethuar në të kuqe rreth boshtit, duke rezultuar në një kon të cunguar. Le ta shënojmë këtë vëllim me .

Ne e rrotullojmë figurën, të rrethuar në të gjelbër, rreth boshtit dhe e shënojmë atë përmes vëllimit të trupit që rezulton i rrotullimit.

Vëllimi i fluturës sonë është i barabartë me ndryshimin në vëllime.

Ne përdorim formulën për të gjetur vëllimin e një trupi rrotullues:

Si ndryshon nga formula e paragrafit të mëparshëm? Vetëm me shkronja.

Dhe këtu është avantazhi i integrimit për të cilin po flisja pak më parë, është shumë më e lehtë për t'u gjetur se sa për të ngritur paraprakisht integranin në fuqinë e 4-të.

Përgjigju:

Vini re se nëse e njëjta figurë e sheshtë rrotullohet rreth boshtit, atëherë do të dalë një trup krejtësisht i ndryshëm rrotullimi, me një vëllim të ndryshëm, natyrisht.

Shembulli 7

Njehsoni vëllimin e trupit të formuar nga rrotullimi rreth boshtit të figurës së kufizuar nga kthesat dhe .

Zgjidhje: Le të bëjmë një vizatim:

Gjatë rrugës njihemi me grafikët e disa funksioneve të tjera. Një grafik kaq interesant i një funksioni çift ....

Për të gjetur vëllimin e trupit të revolucionit, mjafton të përdorni gjysmën e djathtë të figurës, të cilën e kam hijezuar në blu. Të dy funksionet janë çift, grafikët e tyre janë simetrik rreth boshtit dhe figura jonë është gjithashtu simetrike. Kështu, pjesa e djathtë e hijezuar, që rrotullohet rreth boshtit, sigurisht që do të përkojë me pjesën e majtë të paçuar.

Përdorimi i integraleve për të gjetur vëllimet e trupave të revolucionit

Dobia praktike e matematikës është për faktin se pa

njohuritë specifike matematikore e bëjnë të vështirë kuptimin e parimeve të pajisjes dhe përdorimin e teknologjisë moderne. Çdo person në jetën e tij duhet të kryejë llogaritje mjaft komplekse, të përdorë pajisjet e përdorura zakonisht, të gjejë formulat e nevojshme në librat e referencës dhe të hartojë algoritme të thjeshta për zgjidhjen e problemeve. Në shoqërinë moderne, gjithnjë e më shumë specialitete që kërkojnë një nivel të lartë arsimimi shoqërohen me aplikimin e drejtpërdrejtë të matematikës. Kështu, për një nxënës, matematika bëhet një lëndë e rëndësishme profesionalisht. Roli kryesor i përket matematikës në formimin e të menduarit algoritmik, ajo sjell aftësinë për të vepruar sipas një algoritmi të caktuar dhe për të hartuar algoritme të reja.

Duke studiuar temën e përdorimit të integralit për llogaritjen e vëllimeve të trupave të revolucionit, sugjeroj që studentët në klasat me zgjedhje të marrin në konsideratë temën: "Vëllimet e trupave të revolucionit duke përdorur integrale". Këtu janë disa udhëzime për trajtimin e kësaj teme:

1. Sipërfaqja e një figure të sheshtë.

Nga kursi i algjebrës, ne e dimë se problemet praktike çuan në konceptin e një integrali të caktuar..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=">

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

Për të gjetur vëllimin e një trupi rrotullues të formuar nga rrotullimi i një trapezi lakor rreth boshtit Ox, i kufizuar nga një vijë e thyer y=f(x), boshti Ox, drejtëza x=a dhe x=b, ne llogarisim sipas formulës

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3. Vëllimi i cilindrit.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Koni fitohet duke rrotulluar një trekëndësh kënddrejtë ABC(C=90) rreth boshtit Ox në të cilin shtrihet këmba AC.

Segmenti AB shtrihet në vijën y=kx+c, ku https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

Le të a=0, b=H (H është lartësia e konit), pastaj Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">.

5. Vëllimi i një koni të cunguar.

Një kon i cunguar mund të merret duke rrotulluar një trapezoid drejtkëndor ABCD (CDOx) rreth boshtit Ox.

Segmenti AB shtrihet në drejtëzën y=kx+c, ku , c=r.

Meqë drejtëza kalon nëpër pikën A (0; r).

Kështu, vija e drejtë duket si https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">

Le të a=0, b=H (H është lartësia e konit të cunguar), pastaj https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = .

6. Vëllimi i topit.

Topi mund të merret duke rrotulluar një rreth me qendër (0;0) rreth boshtit x. Gjysmërrethi i vendosur mbi boshtin x jepet nga ekuacioni

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.

I. Vëllimet e organeve të revolucionit. Studioni paraprakisht kapitullin XII, paragrafët 197, 198, sipas tekstit shkollor të G. M. Fikhtengolts* Analizoni me hollësi shembujt e dhënë në paragrafin 198.

508. Njehsoni vëllimin e trupit të formuar nga rrotullimi i elipsës Rreth boshtit x.

Kështu,

530. Gjeni zonën e sipërfaqes së formuar nga rrotullimi rreth boshtit Ox të harkut të sinusoidit y \u003d sin x nga pika X \u003d 0 deri në pikën X \u003d It.

531. Llogaritni sipërfaqen e një koni me lartësi h dhe rreze r.

532. Njehsoni syprinën e formuar nga

rrotullimi i astroidit x3 -) - y* - a3 rreth boshtit x.

533. Llogaritni sipërfaqen e sipërfaqes së formuar nga përmbysja e lakut të kurbës 18 y-x(6-x)r rreth boshtit x.

534. Gjeni sipërfaqen e torusit të prodhuar nga rrotullimi i rrethit X2 - j - (y-3)2 = 4 rreth boshtit x.

535. Llogaritni sipërfaqen e sipërfaqes së formuar nga rrotullimi i rrethit X = një kosto, y = asint rreth boshtit Ox.

536. Llogaritni sipërfaqen e sipërfaqes së formuar nga rrotullimi i lakut të kurbës x = 9t2, y = St - 9t3 rreth boshtit Ox.

537. Gjeni sipërfaqen e sipërfaqes së formuar nga rrotullimi i harkut të lakores x = e * sint, y = kosto el rreth boshtit Ox

nga t = 0 në t = -.

538. Tregoni se sipërfaqja e prodhuar nga rrotullimi i harkut të cikloidit x = a (q> - sin φ), y = a (I - cos φ) rreth boshtit Oy, është e barabartë me 16 u2 o2.

539. Gjeni sipërfaqen e fituar nga rrotullimi i kardioidit rreth boshtit polar.

540. Gjeni sipërfaqen e sipërfaqes së formuar nga rrotullimi i lemniskatit rreth boshtit polar.

Detyra Shtesë për Kapitullin IV

Zonat e figurave të rrafshnaltës

541. Gjeni të gjithë zonën e një rajoni të kufizuar nga një kurbë Dhe boshti Oh.

542. Gjeni zonën e rajonit të kufizuar nga kurba

Dhe boshti Oh.

543. Gjeni pjesën e zonës së rajonit të vendosur në kuadrantin e parë dhe të kufizuar nga kurba

l akset koordinative.

544. Gjeni zonën e zonës që përmbahet brenda

sythe:

545. Gjeni zonën e rajonit të kufizuar nga një lak i lakores:

546. Gjeni zonën e zonës që gjendet brenda lakut:

547. Gjeni zonën e rajonit të kufizuar nga kurba

Dhe boshti Oh.

548. Gjeni zonën e rajonit të kufizuar nga kurba

Dhe boshti Oh.

549. Gjeni zonën e rajonit të kufizuar nga boshti Oxr

drejt dhe të lakuar

Si të llogarisni vëllimin e një trupi rrotullues duke përdorur një integral të caktuar?

Përveç nga gjetja e sipërfaqes së një figure të sheshtë duke përdorur një integral të caktuar aplikimi më i rëndësishëm i temës është llogaritja e vëllimit të një trupi rrotullues. Materiali është i thjeshtë, por lexuesi duhet të jetë i përgatitur: është e nevojshme të jetë në gjendje të zgjidhë integrale të pacaktuara kompleksiteti mesatar dhe aplikoni formulën Newton-Leibniz në integral i caktuar . Ashtu si me problemin e gjetjes së zonës, keni nevojë për aftësi të sigurta vizatimi - kjo është pothuajse gjëja më e rëndësishme (pasi vetë integralet shpesh do të jenë të lehta). Ju mund të zotëroni teknikën kompetente dhe të shpejtë të vizatimit të grafikëve me ndihmën e materialit metodologjik . Por, në fakt, kam folur vazhdimisht për rëndësinë e vizatimeve në mësim. .

Në përgjithësi, ka shumë aplikime interesante në llogaritjen integrale; duke përdorur një integral të caktuar, mund të llogaritni sipërfaqen e një figure, vëllimin e një trupi rrotullues, gjatësinë e një harku, sipërfaqen. e trupit, dhe shumë më tepër. Kështu që do të jetë argëtuese, ju lutemi jini optimistë!

Imagjinoni një figurë të sheshtë në planin koordinativ. Përfaqësuar? ... Pyes veten se kush prezantoi çfarë ... =))) Ne kemi gjetur tashmë zonën e saj. Por, përveç kësaj, kjo shifër gjithashtu mund të rrotullohet dhe rrotullohet në dy mënyra:

– rreth boshtit x; - rreth boshtit y.

Në këtë artikull, të dyja rastet do të diskutohen. Metoda e dytë e rrotullimit është veçanërisht interesante, ajo shkakton vështirësitë më të mëdha, por në fakt zgjidhja është pothuajse e njëjtë si në rrotullimin më të zakonshëm rreth boshtit x. Si bonus, do të kthehem problemi i gjetjes së sipërfaqes së një figure , dhe t'ju tregojë se si ta gjeni zonën në mënyrën e dytë - përgjatë boshtit. As edhe aq shumë bonus sa materiali përshtatet mirë me temën.

Le të fillojmë me llojin më të njohur të rrotullimit.

Shembulli 1

Llogaritni vëllimin e një trupi që përftohet duke rrotulluar një figurë të kufizuar me vija rreth një boshti.

Zgjidhja: Si në problemin e gjetjes së zonës, zgjidhja fillon me një vizatim të një figure të sheshtë. Kjo do të thotë, në një aeroplan është e nevojshme të ndërtohet një figurë e kufizuar nga vija, duke mos harruar se ekuacioni vendos boshtin. Si të bëni një vizatim më racional dhe më shpejt mund të gjeni në faqe Grafikët dhe vetitë e funksioneve elementare Dhe Integral i caktuar. Si të llogarisni sipërfaqen e një figure . Ky është një kujtesë kineze dhe nuk ndalem në këtë pikë.

Vizatimi këtu është mjaft i thjeshtë:

Figura e dëshiruar e sheshtë është e hijezuar në blu, është ajo që rrotullohet rreth boshtit. Si rezultat i rrotullimit, fitohet kjo disk fluturues paksa në formë veze, e cila është simetrike rreth boshtit. Në fakt, trupi ka një emër matematikor, por është shumë dembel për të parë diçka në librin e referencës, kështu që ne vazhdojmë.

Si të llogarisni vëllimin e një trupi rrotullues?

Vëllimi i një trupi rrotullues mund të llogaritet me formulën:

Në formulë, duhet të ketë një numër përpara integralit. Kështu ndodhi - gjithçka që rrotullohet në jetë është e lidhur me këtë konstante.

Si të vendosni kufijtë e integrimit "a" dhe "be", mendoj se është e lehtë të merret me mend nga vizatimi i përfunduar.

Funksioni... çfarë është ky funksion? Le të shohim vizatimin. Figura e sheshtë kufizohet nga grafiku parabolik në krye. Ky është funksioni që nënkuptohet në formulë.

Në detyrat praktike, një figurë e sheshtë ndonjëherë mund të vendoset nën bosht. Kjo nuk ndryshon asgjë - funksioni në formulë është në katror:, kështu vëllimi i një trupi revolucioni është gjithmonë jo negativ, që është mjaft logjike.

Llogaritni vëllimin e trupit të rrotullimit duke përdorur këtë formulë:

Siç e kam vërejtur tashmë, integrali pothuajse gjithmonë rezulton i thjeshtë, gjëja kryesore është të jesh i kujdesshëm.

Përgjigje:

Në përgjigje, është e nevojshme të tregohet dimensioni - njësi kub. Kjo do të thotë, në trupin tonë të rrotullimit ka afërsisht 3.35 "kuba". Pse pikërisht kub njësi? Sepse formulimi më universal. Mund të ketë centimetra kub, mund të ketë metra kub, mund të ketë kilometra kub etj., ja sa burra të vegjël jeshilë mund të futet imagjinata juaj në një disk fluturues.

Shembulli 2

Gjeni vëllimin e një trupi të formuar nga rrotullimi rreth boshtit të figurës të kufizuar me vija,

Ky është një shembull bëjeni vetë. Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit.

Le të shqyrtojmë dy probleme më komplekse, të cilat gjithashtu hasen shpesh në praktikë.

Shembulli 3

Llogaritni vëllimin e trupit të marrë duke u rrotulluar rreth boshtit të abshisës të figurës së kufizuar nga vijat , dhe

Zgjidhja: Le të përshkruajmë një figurë të sheshtë në vizatim, të kufizuar nga vijat ,,,, duke mos harruar se ekuacioni përcakton boshtin:

Figura e dëshiruar është e hijezuar në blu. Kur rrotullohet rreth boshtit, fitohet një donut i tillë surreal me katër qoshe.

Vëllimi i trupit të revolucionit llogaritet si ndryshimi i vëllimit të trupit.

Së pari, le të shohim figurën që është rrethuar me të kuqe. Kur rrotullohet rreth boshtit, fitohet një kon i cunguar. Shënoni vëllimin e këtij koni të cunguar me.

Konsideroni figurën që është rrethuar në të gjelbër. Nëse e rrotulloni këtë figurë rreth boshtit, do të merrni gjithashtu një kon të cunguar, vetëm pak më të vogël. Le ta shënojmë vëllimin e tij me .

Dhe, padyshim, ndryshimi në vëllime është pikërisht vëllimi i "donut" tonë.

Ne përdorim formulën standarde për të gjetur vëllimin e një trupi rrotullues:

1) Figura e rrethuar me të kuqe është e kufizuar nga lart me një vijë të drejtë, prandaj:

2) Figura e rrethuar në të gjelbër kufizohet nga lart me një vijë të drejtë, prandaj:

3) Vëllimi i trupit të dëshiruar të revolucionit:

Përgjigje:

Është kureshtare që në këtë rast zgjidhja mund të kontrollohet duke përdorur formulën e shkollës për llogaritjen e vëllimit të një koni të cunguar.

Vendimi në vetvete shpesh merret më i shkurtër, diçka si kjo:

Tani le të bëjmë një pushim dhe të flasim për iluzionet gjeometrike.

Njerëzit shpesh kanë iluzione të lidhura me vëllime, të cilat Perelman (jo i njëjtë) i vuri re në libër Gjeometri interesante. Shikoni figurën e sheshtë në problemin e zgjidhur - duket se është i vogël në sipërfaqe, dhe vëllimi i trupit të revolucionit është pak më shumë se 50 njësi kub, që duket shumë i madh. Nga rruga, një person mesatar gjatë gjithë jetës së tij pi një lëng me vëllimin e një dhome me një sipërfaqe prej 18. metra katrorë, e cila, përkundrazi, duket se është shumë e vogël.

Në përgjithësi, sistemi arsimor në BRSS ishte me të vërtetë më i miri. I njëjti libër i Perelman, i shkruar prej tij në vitin 1950, zhvillohet shumë mirë, siç tha humoristi, arsyeton dhe të mëson të kërkosh zgjidhje origjinale jo standarde për problemet. Kohët e fundit kam rilexuar disa kapituj me shumë interes, e rekomandoj, është i aksesueshëm edhe për humanistët. Jo, nuk keni pse të buzëqeshni se unë sugjerova një kalim kohe të mirë, erudicioni dhe një këndvështrim i gjerë në komunikim janë një gjë e shkëlqyer.

Pas një digresioni lirik, është thjesht e përshtatshme të zgjidhet një detyrë krijuese:

Shembulli 4

Llogaritni vëllimin e një trupi të formuar nga rrotullimi rreth boshtit të një figure të rrafshët të kufizuar nga vijat, ku.

Ky është një shembull bëjeni vetë. Ju lutemi vini re se të gjitha gjërat ndodhin në grup, me fjalë të tjera, janë dhënë kufij integrimi pothuajse të gatshëm. Gjithashtu përpiquni të vizatoni saktë grafikët e funksioneve trigonometrike, nëse argumenti ndahet me dy:, atëherë grafikët shtrihen përgjatë boshtit dy herë. Mundohuni të gjeni të paktën 3-4 pikë sipas tabelave trigonometrike dhe e bëjnë vizatimin më të saktë. Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit. Nga rruga, detyra mund të zgjidhet në mënyrë racionale dhe jo shumë racionale.

Llogaritja e vëllimit të një trupi të formuar nga rrotullimi i një figure të sheshtë rreth një boshti

Paragrafi i dytë do të jetë edhe më interesant se i pari. Detyra e llogaritjes së vëllimit të një trupi rrotullues rreth boshtit y është gjithashtu një vizitor mjaft i shpeshtë në teste. Në kalim do të merren parasysh problemi i gjetjes së sipërfaqes së një figure mënyra e dytë - integrimi përgjatë boshtit, kjo do t'ju lejojë jo vetëm të përmirësoni aftësitë tuaja, por edhe t'ju mësojë se si të gjeni zgjidhjen më fitimprurëse. Ka edhe një kuptim praktik! Ndërsa mësuesja ime në metodat e mësimdhënies së matematikës kujtoi me buzëqeshje, shumë maturantë e falënderuan me fjalët: "Lënda juaj na ndihmoi shumë, tani jemi menaxherë efektivë dhe menaxhojmë stafin tonë në mënyrë optimale". Duke shfrytëzuar këtë rast, i shpreh edhe mirënjohjen time të madhe, veçanërisht pasi njohuritë e marra i përdor për qëllimin e synuar =).

Shembulli 5

Jepet një figurë e sheshtë e kufizuar me vija ,,.

1) Gjeni sipërfaqen e një figure të sheshtë të kufizuar nga këto vija. 2) Gjeni vëllimin e trupit të marrë duke rrotulluar një figurë të sheshtë të kufizuar nga këto vija rreth boshtit.

Kujdes! Edhe nëse dëshironi të lexoni vetëm paragrafin e dytë, së pari Domosdoshmërisht lexo të parën!

Zgjidhja: Detyra përbëhet nga dy pjesë. Le të fillojmë me sheshin.

1) Le të ekzekutojmë vizatimin:

Është e lehtë të shihet se funksioni përcakton degën e sipërme të parabolës, dhe funksioni përcakton degën e poshtme të parabolës. Para nesh është një parabolë e parëndësishme, e cila "shtrihet në anën e saj".

Figura e dëshiruar, sipërfaqja e së cilës duhet gjetur, është e hijezuar në ngjyrë blu.

Si të gjeni sipërfaqen e një figure? Mund të gjendet në mënyrën "e zakonshme", e cila u konsiderua në mësim. Integral i caktuar. Si të llogarisni sipërfaqen e një figure . Për më tepër, sipërfaqja e figurës gjendet si shuma e zonave: - në segment ; - në segment.

Kjo është arsyeja pse:

Çfarë nuk shkon me zgjidhjen e zakonshme në këtë rast? Së pari, ka dy integrale. Së dyti, rrënjët nën integrale dhe rrënjët në integrale nuk janë dhuratë, për më tepër, mund të ngatërrohet në zëvendësimin e kufijve të integrimit. Në fakt, integralet, natyrisht, nuk janë vdekjeprurëse, por në praktikë gjithçka është shumë më e trishtuar, unë thjesht zgjodha funksione "më të mira" për detyrën.

Ekziston një zgjidhje më racionale: ajo konsiston në kalimin në funksione të kundërta dhe integrimin përgjatë boshtit.

Si të kalojmë në funksione të anasjellta? Përafërsisht, ju duhet të shprehni "x" përmes "y". Së pari, le të merremi me parabolën:

Kjo është e mjaftueshme, por le të sigurohemi që i njëjti funksion mund të rrjedhë nga dega e poshtme:

Me një vijë të drejtë, gjithçka është më e lehtë:

Tani shikoni boshtin: ju lutemi anoni periodikisht kokën në të djathtë 90 gradë ndërsa shpjegoni (kjo nuk është shaka!). Shifra që na nevojitet qëndron në segmentin, i cili tregohet nga vija e kuqe me pika. Në të njëjtën kohë, në segment, vija e drejtë ndodhet sipër parabolës, që do të thotë se zona e figurës duhet të gjendet duke përdorur formulën tashmë të njohur për ju: . Çfarë ka ndryshuar në formulë? Vetëm një letër dhe asgjë më shumë.

! Shënim: Kufijtë e integrimit përgjatë boshtit duhet të vendosenrreptësisht nga poshtë lart !

Gjetja e zonës:

Prandaj, në segment:

Kushtojini vëmendje sesi e realizova integrimin, kjo është mënyra më racionale, dhe në paragrafin tjetër të detyrës do të jetë e qartë pse.

Për lexuesit që dyshojnë në korrektësinë e integrimit, do të gjej derivate:

Përftohet integrandi origjinal, që do të thotë se integrimi është kryer në mënyrë korrekte.

Përgjigje:

2) Njehsoni vëllimin e trupit të formuar nga rrotullimi i kësaj figure rreth boshtit.

Unë do ta rivizatoj vizatimin në një dizajn paksa të ndryshëm:

Pra, figura e hijezuar në blu rrotullohet rreth boshtit. Rezultati është një "flutur pezull" që rrotullohet rreth boshtit të saj.

Për të gjetur vëllimin e trupit të revolucionit, ne do të integrojmë përgjatë boshtit. Së pari duhet të kalojmë te funksionet e anasjellta. Kjo tashmë është bërë dhe përshkruar në detaje në paragrafin e mëparshëm.

Tani e përkulim kokën përsëri në të djathtë dhe studiojmë figurën tonë. Natyrisht, vëllimi i trupit të revolucionit duhet të gjendet si diferencë midis vëllimeve.

E rrotullojmë figurën e rrethuar në të kuqe rreth boshtit, duke rezultuar në një kon të cunguar. Le ta shënojmë këtë vëllim me .

Ne e rrotullojmë figurën, të rrethuar në të gjelbër, rreth boshtit dhe caktojmë përmes vëllimit të trupit që rezulton i rrotullimit.

Vëllimi i fluturës sonë është i barabartë me ndryshimin në vëllime.

Ne përdorim formulën për të gjetur vëllimin e një trupi rrotullues:

Si ndryshon nga formula e paragrafit të mëparshëm? Vetëm me shkronja.

Dhe këtu është avantazhi i integrimit, për të cilin fola kohët e fundit, është shumë më e lehtë për t'u gjetur se sa për të ngritur paraprakisht integranin në fuqinë e 4-të.

Le të jetë T një trup rrotullimi i formuar nga rrotullimi rreth boshtit të abshisave të një trapezi lakor të vendosur në gjysmërrafshin e sipërm dhe i kufizuar nga boshti i abshisës, drejtëzat x=a dhe x=b dhe grafiku i një funksioni të vazhdueshëm y =f(x) .

Le ta vërtetojmë këtë trupi i rrotullimit është i kubueshëm dhe vëllimi i tij shprehet me formulën

V=\pi \int\limits_(a)^(b) f^2(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)y^2\,dx\,.

Së pari, vërtetojmë se ky trup rrotullimi është i rregullt nëse marrim si \Pi rrafshin Oyz pingul me boshtin e rrotullimit. Vini re se seksioni i vendosur në një distancë x nga rrafshi Oyz është një rreth me rreze f(x) dhe zona e tij S(x) është \pi f^2(x) (Fig. 46). Prandaj, funksioni S(x) është i vazhdueshëm për shkak të vazhdimësisë së f(x) . Tjetra, nëse S(x_1)\leqslant S(x_2), atëherë kjo do të thotë se . Por projeksionet e seksioneve në rrafshin Oyz janë rrathë me rreze f(x_1) dhe f(x_2) me qendër O , dhe nga f(x_1)\leqslant f(x_2) rrjedh se rrethi i rrezes f(x_1) gjendet në rrethin e rrezes f(x_2) .

Pra, trupi i rrotullimit është i rregullt. Prandaj, është i kubueshëm dhe vëllimi i tij llogaritet me formulë

V=\pi \int\limits_(a)^(b) S(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)f^2(x)\,dx\,.

Nëse një trapez lakor kufizohet si nga poshtë ashtu edhe nga lart nga kthesat y_1=f_1(x), y_2=f_2(x), atëherë

V= \pi \int\limits_(a)^(b)y_2^2\,dx- \pi \int\limits_(a)^(b)y_1^2\,dx= \pi\int\limits_(a )^(b)\Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)\Bigr)dx\,.

Formula (3) mund të përdoret gjithashtu për të llogaritur vëllimin e një trupi rrotullues në rastin kur kufiri i figurës rrotulluese jepet me ekuacione parametrike. Në këtë rast, duhet të përdoret ndryshimi i ndryshores nën shenjën e përcaktuar integrale.

Në disa raste rezulton të jetë e përshtatshme që trupat e revolucionit të zbërthehen jo në cilindra të drejtë rrethore, por në figura të një lloji tjetër.

Për shembull, le të gjejmë vëllimi i trupit i marrë nga rrotullimi i një trapezi lakor rreth boshtit y. Së pari, le të gjejmë vëllimin e marrë duke rrotulluar një drejtkëndësh me lartësi y#, në bazën e të cilit shtrihet segmenti . Ky vëllim është i barabartë me diferencën midis vëllimeve të dy cilindrave rrethorë të drejtë

\Delta V_k= \pi y_k x_(k+1)^2- \pi y_k x_k^2= \pi y_k \bigl(x_(k+1)+x_k\bigr) \bigl(x_(k+1)- x_k\bigr).

Por tani është e qartë se vëllimi i dëshiruar vlerësohet nga lart dhe poshtë si më poshtë:

2\pi \sum_(k=0)^(n-1) m_kx_k\Delta x_k \leqslant V\leqslant 2\pi \sum_(k=0)^(n-1) M_kx_k\Delta x_k\,.

Nga kjo rrjedh lehtësisht formula për vëllimin e një trupi rrotullues rreth boshtit y:

V=2\pi \int\limits_(a)^(b) xy\,dx\,.

Shembulli 4 Gjeni vëllimin e një topi me rreze R.

Zgjidhje. Pa humbur përgjithësinë, ne do të konsiderojmë një rreth me rreze R të përqendruar në origjinë. Ky rreth, duke u rrotulluar rreth boshtit Ox, formon një top. Ekuacioni i rrethit është x^2+y^2=R^2, pra y^2=R^2-x^2. Duke pasur parasysh simetrinë e rrethit rreth boshtit y, fillimisht gjejmë gjysmën e vëllimit të dëshiruar

\frac(1)(2)V= \pi\int\limits_(0)^(R)y^2\,dx= \pi\int\limits_(0)^(R) (R^2-x^ 2)\,dx= \majtas.(\pi\!\left(R^2x- \frac(x^3)(3)\djathtas))\djathtas|_(0)^(R)= \pi\ !\left(R^3- \frac(R^3)(3)\right)= \frac(2)(3)\pi R^3.

Prandaj, vëllimi i të gjithë sferës është \frac(4)(3)\pi R^3.

Shembulli 5 Njehsoni vëllimin e një koni lartësia e të cilit është h dhe rrezja e bazës është r.

Zgjidhje. Ne zgjedhim një sistem koordinatash në mënyrë që boshti Ox të përkojë me lartësinë h (Fig. 47), dhe marrim majën e konit si origjinë. Atëherë ekuacioni i drejtëzës OA mund të shkruhet si y=\frac(r)(h)\,x .

Duke përdorur formulën (3), marrim:

V=\pi \int\limits_(0)^(h) y^2\,dx= \pi \int\limits_(0)^(h) \frac(r^2)(h^2)\,x ^2\,dx= \majtas.(\frac(\pi r^2)(h^2)\cdot \frac(x^3)(3))\djathtas|_(0)^(h)= \ frac(\pi)(3)\,r^2h\,.

Shembulli 6 Gjeni vëllimin e trupit të marrë nga rrotullimi rreth boshtit të abshisave të astroidit \fillimi(rastet)x=a\cos^3t\,\\ y=a\sin^3t\,.\fund (rastet)(Fig. 48).

Zgjidhje. Le të ndërtojmë një astroid. Konsideroni gjysmën e pjesës së sipërme të astroidit, e vendosur në mënyrë simetrike rreth boshtit y. Duke përdorur formulën (3) dhe duke ndryshuar ndryshoren nën shenjën e përcaktuar integrale, gjejmë kufijtë e integrimit për ndryshoren e re t.

Nëse x=a\cos^3t=0, atëherë t=\frac(\pi)(2) dhe nëse x=a\cos^3t=a, atëherë t=0. Duke pasur parasysh se y^2=a^2\sin^6t dhe dx=-3a\cos^2t\sin(t)\,dt, marrim:

V=\pi \int\limits_(a)^(b) y^2\,dx= \pi \int\limits_(\pi/2)^(0) a^2\sin^6t \bigl(-3a \cos^2t\sin(t)\bigr)\,dt= \ldots= \frac(16\pi)(105)\,a^3.

Vëllimi i të gjithë trupit të formuar nga rrotullimi i astroidit do të jetë \frac(32\pi)(105)\,a^3.

Shembulli 7 Gjeni vëllimin e trupit të marrë nga rrotullimi rreth boshtit ordinat të një trapezi lakor të kufizuar nga boshti i abshisës dhe harku i parë i cikloidit \fillimi(rastet)x=a(t-\sin(t)),\\ y=a(1-\cos(t)).\fund(rastet).

Zgjidhje. Ne përdorim formulën (4): V=2\pi \int\limits_(a)^(b)xy\,dx, dhe zëvendësoni variablin nën shenjën integrale, duke marrë parasysh se harku i parë i cikloidit formohet kur ndryshorja t ndryshon nga 0 në 2\pi. Kështu,

\fillim(i rreshtuar)V&= 2\pi \int\limits_(0)^(2\pi) a(t-\sin(t))a(1-\cos(t))a(1-\cos( t))\,dt= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi) (t-\sin(t))(1-\cos(t))^2\,dt= \\ &= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi)\bigl(t-\sin(t)- 2t\cos(t)+ 2\sin(t)\cos( t)+ t\cos^2t- \sin(t)\cos^2t\bigr)\,dt=\\ &= \left.(2\pi a^3\!\left(\frac(t^2 )(2)+ \cos(t)- 2t\sin(t)- 2\cos(t)+ \sin^2t+ \frac(t^2)(4)+ \frac(t)(4)\sin2t+ \frac(1)(8)\cos2t+ \frac(1)(3)\cos^3t\right))\right|_(0)^(2\pi)=\\ &= 2\pi a^3 \!\majtas(2\pi^2+1-2+\pi^2+\frac(1)(8)+ \frac(1)(3)-1+2- \frac(1)(8) - \frac(1)(3)\djathtas)= 6\pi^3a^3. \fund (në linjë)