Pamje e përgjithshme e serisë Fourier. Seritë Furier në shembuj dhe problema

Shumë procese që ndodhin në natyrë dhe teknologji tentojnë të përsëriten në intervale të caktuara. Procese të tilla quhen periodike dhe matematikisht përshkruhen nga funksionet periodike. Funksione të tilla përfshijnë mëkat(x) , cos(x) , mëkat(wx), cos(wx) . Shuma e dy funksioneve periodike, për shembull, një funksion i formës , në përgjithësi, nuk është më periodike. Por mund të vërtetohet se nëse relacioni w 1 / w 2 është një numër racional, atëherë kjo shumë është një funksion periodik.

Proceset periodike më të thjeshta - lëkundjet harmonike - përshkruhen nga funksionet periodike mëkat(wx) Dhe cos(wx). Proceset periodike më komplekse përshkruhen nga funksione të përbëra ose nga një numër i fundëm ose i pafundëm termash të formës mëkat(wx) Dhe cos(wx).

Le të shqyrtojmë një seri funksionale të formës:

Ky serial quhet trigonometrike; numrat A 0 , b 0 , a 1 , b 1 ,A 2 , b 2 …, a n , b n ,… quhen koeficientët seri trigonometrike. Seria (1) shpesh shkruhet si më poshtë:

. (2)

Meqenëse anëtarët e serisë trigonometrike (2) kanë një periodë të përbashkët
, atëherë shuma e serisë, nëse konvergon, është gjithashtu një funksion periodik me pikë
.

Le të supozojmë se funksioni f(x) është shuma e kësaj serie:

. (3)

Në këtë rast thonë se funksioni f(x) zgjerohet në një seri trigonometrike. Duke supozuar se kjo seri konvergon në mënyrë të njëtrajtshme në interval
, ju mund të përcaktoni koeficientët e tij duke përdorur formulat:

,
,
. (4)

Quhen koeficientët e serisë së përcaktuar nga këto formula Koeficientët Furier.

Seritë trigonometrike (2), koeficientët e së cilës përcaktohen me formulat e Furierit (4), quhen pranë Furierit, që korrespondon me funksionin f(x).

Kështu, nëse një funksion periodik f(x) është shuma e një serie trigonometrike konvergjente, atëherë kjo seri është seria e saj Fourier.

Formulat (4) tregojnë se koeficientët Furier mund të llogariten për çdo integrues në interval

-funksioni periodik, d.m.th. Për një funksion të tillë gjithmonë mund të ndërtoni një seri Fourier. Por a do të konvergojë kjo seri me funksionin f(x) dhe në çfarë kushtesh?

Kujtojmë se funksioni f(x), të përcaktuara në segment [ a; b] , quhet i lëmuar pjesërisht nëse ai dhe derivati ​​i tij nuk kanë më shumë se një numër të kufizuar pikash ndërprerjeje të llojit të parë.

Teorema e mëposhtme jep kushte të mjaftueshme për zbërthimin e një funksioni në një seri Furier.

Teorema e Dirichlet-it. Le
-funksioni periodik f(x) është pjesë-pjesë e lëmuar
. Pastaj seria e saj Furier konvergon në f(x) në secilën nga pikat e tij të vazhdimësisë dhe në vlerë 0,5(f(x+0)+ f(x-0)) në pikën e thyerjes.

Shembulli 1.

Zgjeroni funksionin në një seri Fourier f(x)= x, e specifikuar në interval
.

Zgjidhje. Ky funksion plotëson kushtet e Dirichlet dhe, për rrjedhojë, mund të zgjerohet në një seri Fourier. Duke përdorur formulat (4) dhe metodën e integrimit sipas pjesëve
, gjejmë koeficientët Fourier:

Kështu, seria Fourier për funksionin f(x) ka një vështrim.

Seria Furiere e funksioneve periodike me periodë 2π.

Seria Fourier na lejon të studiojmë funksionet periodike duke i zbërthyer ato në komponentë. Rrymat dhe tensionet alternative, zhvendosjet, shpejtësia dhe nxitimi i mekanizmave të fiksimit dhe valëve akustike janë shembuj tipik praktik të përdorimit të funksioneve periodike në llogaritjet inxhinierike.

Zgjerimi i serisë Fourier bazohet në supozimin se të gjitha funksionet me rëndësi praktike në intervalin -π ≤x≤ π mund të shprehen në formën e serisë trigonometrike konvergjente (një seri konsiderohet konvergjente nëse sekuenca e shumave të pjesshme përbëhet nga termat e saj konvergon):

Shënim standard (=i zakonshëm) përmes shumës së sinx dhe cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

ku a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. janë konstante reale, d.m.th.

Ku, për diapazonin nga -π në π, koeficientët e serisë Fourier llogariten duke përdorur formulat:

Koeficientët a o, a n dhe b n quhen koeficientë Furier, dhe nëse mund të gjenden, atëherë seria (1) quhet seri Furier që i përgjigjet funksionit f (x). Për serinë (1), termi (a 1 cosx+b 1 sinx) quhet harmoniku i parë ose themelor,

Një mënyrë tjetër për të shkruar një seri është përdorimi i relacionit acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Ku a o është një konstante, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 janë amplituda e komponentëve të ndryshëm dhe është e barabartë me një n =arctg a n /b n.

Për serinë (1), termi (a 1 cosx+b 1 sinx) ose c 1 sin (x+α 1) quhet harmoniku i parë ose themelor, (a 2 cos2x+b 2 sin2x) ose c 2 sin (2x +α 2) quhet harmonik i dytë e kështu me radhë.

Për të paraqitur me saktësi një sinjal kompleks zakonisht kërkon një numër të pafund termash. Megjithatë, në shumë probleme praktike mjafton të merren parasysh vetëm disa terma të parë.

Seria Furiere e funksioneve joperiodike me periodë 2π.

Zgjerimi i funksioneve jo periodike.

Nëse funksioni f(x) është jo periodik, do të thotë se nuk mund të zgjerohet në një seri Fourier për të gjitha vlerat e x. Megjithatë, është e mundur të përcaktohet një seri Fourier që përfaqëson një funksion mbi çdo varg të gjerësisë 2π.

Duke pasur parasysh një funksion jo periodik, një funksion i ri mund të ndërtohet duke zgjedhur vlerat e f(x) brenda një diapazoni të caktuar dhe duke i përsëritur ato jashtë atij diapazoni në intervale 2π. Meqenëse funksioni i ri është periodik me periudhën 2π, ai mund të zgjerohet në një seri Fourier për të gjitha vlerat e x. Për shembull, funksioni f(x)=x nuk është periodik. Sidoqoftë, nëse është e nevojshme ta zgjerojmë atë në një seri Furier në intervalin nga o në 2π, atëherë jashtë këtij intervali ndërtohet një funksion periodik me një periudhë 2π (siç tregohet në figurën më poshtë).

Për funksionet joperiodike si f(x)=x, shuma e serisë së Furierit është e barabartë me vlerën e f(x) në të gjitha pikat në një interval të caktuar, por nuk është e barabartë me f(x) për pikat. jashtë gamës. Për të gjetur serinë Fourier të një funksioni jo periodik në intervalin 2π, përdoret e njëjta formulë e koeficientëve Furier.

Funksionet çift dhe tek.

Ata thonë se një funksion y=f(x) është edhe nëse f(-x)=f(x) për të gjitha vlerat e x. Grafikët e funksioneve çift janë gjithmonë simetrikë në lidhje me boshtin y (d.m.th., ato janë imazhe pasqyre). Dy shembuj të funksioneve çift: y=x2 dhe y=cosx.

Një funksion y=f(x) thuhet se është tek nëse f(-x)=-f(x) për të gjitha vlerat e x. Grafikët e funksioneve tek janë gjithmonë simetrikë në lidhje me origjinën.

Shumë funksione nuk janë as çift e as tek.

Zgjerimi i serisë Furier në kosinus.

Seria Furier e një funksioni periodik çift f(x) me periodë 2π përmban vetëm terma kosinus (d.m.th., pa terma sinus) dhe mund të përfshijë një term konstant. Prandaj,

ku janë koeficientët e serisë Fourier,

Seria Furiere e një funksioni periodik tek f(x) me periodë 2π përmban vetëm terma me sinus (d.m.th., nuk përmban terma me kosinus).

Prandaj,

ku janë koeficientët e serisë Fourier,

Seritë Furier në gjysmë cikli.

Nëse një funksion përcaktohet për një interval, le të themi nga 0 në π, dhe jo vetëm nga 0 në 2π, ai mund të zgjerohet në një seri vetëm në sinus ose vetëm në kosinus. Seria Fourier që rezulton quhet seri e gjysmë ciklit Furier.

Nëse dëshironi të merrni një zgjerim të Furierit gjysmë-cikli të kosinuseve të funksionit f(x) në intervalin nga 0 në π, atëherë duhet të ndërtoni një funksion periodik të barabartë. Në Fig. Më poshtë është funksioni f(x)=x, i ndërtuar në intervalin nga x=0 në x=π. Meqenëse funksioni çift është simetrik rreth boshtit f(x), ne vizatojmë drejtëzën AB, siç tregohet në Fig. më poshtë. Nëse supozojmë se jashtë intervalit të konsideruar, forma trekëndore që rezulton është periodike me një periudhë 2π, atëherë grafiku përfundimtar duket si ky: në Fig. më poshtë. Meqenëse duhet të marrim zgjerimin Furier në kosinus, si më parë, ne llogarisim koeficientët Furier a o dhe a n

Nëse dëshironi të merrni një zgjerim Furier me gjysmë cikli për sa i përket sinuseve të funksionit f(x) në rangun nga 0 në π, atëherë duhet të ndërtoni një funksion periodik tek. Në Fig. Më poshtë është funksioni f(x)=x, i ndërtuar në intervalin nga x=0 në x=π. Meqenëse funksioni tek është simetrik në lidhje me origjinën, ne ndërtojmë linjën CD, siç tregohet në Fig. Nëse supozojmë se jashtë intervalit të konsideruar, sinjali i dhëmbit të sharrës që rezulton është periodik me një periudhë prej 2π, atëherë grafiku përfundimtar ka formën e treguar në Fig. Meqenëse duhet të marrim zgjerimin Furier të gjysmëciklit në terma të sinuseve, si më parë, ne llogarisim koeficientin Fourier. b

Seritë Furier për një interval arbitrar.

Zgjerimi i një funksioni periodik me periudhën L.

Funksioni periodik f(x) përsëritet kur x rritet me L, d.m.th. f(x+L)=f(x). Kalimi nga funksionet e konsideruara më parë me një periudhë 2π në funksionet me një periudhë L është mjaft i thjeshtë, pasi mund të bëhet duke përdorur një ndryshim të ndryshores.

Për të gjetur serinë Furier të funksionit f(x) në diapazonin -L/2≤x≤L/2, ne prezantojmë një ndryshore të re u në mënyrë që funksioni f(x) të ketë një periudhë 2π në raport me u. Nëse u=2πx/L, atëherë x=-L/2 për u=-π dhe x=L/2 për u=π. Gjithashtu le të f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Seria Furiere F(u) ka formën

(Kufijtë e integrimit mund të zëvendësohen nga çdo interval me gjatësi L, për shembull, nga 0 në L)

Seritë Furier në një gjysmë cikli për funksionet e specifikuara në intervalin L≠2π.

Për zëvendësimin u=πх/L, intervali nga x=0 në x=L i përgjigjet intervalit nga u=0 në u=π. Rrjedhimisht, funksioni mund të zgjerohet në një seri vetëm në kosinus ose vetëm në sinus, d.m.th. në një seri Furier në gjysmë cikli.

Zgjerimi i kosinusit në rangun nga 0 në L ka formën

Seria Furiere e funksioneve periodike me periodë 2π.

Seria Fourier na lejon të studiojmë funksionet periodike duke i zbërthyer ato në komponentë. Rrymat dhe tensionet alternative, zhvendosjet, shpejtësia dhe nxitimi i mekanizmave të fiksimit dhe valëve akustike janë shembuj tipik praktik të përdorimit të funksioneve periodike në llogaritjet inxhinierike.

Zgjerimi i serisë Fourier bazohet në supozimin se të gjitha funksionet me rëndësi praktike në intervalin -π ≤x≤ π mund të shprehen në formën e serisë trigonometrike konvergjente (një seri konsiderohet konvergjente nëse sekuenca e shumave të pjesshme përbëhet nga termat e saj konvergon):

Shënim standard (=i zakonshëm) përmes shumës së sinx dhe cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

ku a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. janë konstante reale, d.m.th.

Ku, për diapazonin nga -π në π, koeficientët e serisë Fourier llogariten duke përdorur formulat:

Koeficientët a o, a n dhe b n quhen koeficientë Furier, dhe nëse mund të gjenden, atëherë seria (1) quhet seri Furier që i përgjigjet funksionit f (x). Për serinë (1), termi (a 1 cosx+b 1 sinx) quhet harmoniku i parë ose themelor,

Një mënyrë tjetër për të shkruar një seri është përdorimi i relacionit acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Ku a o është një konstante, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 janë amplituda e komponentëve të ndryshëm dhe është e barabartë me një n =arctg a n /b n.

Për serinë (1), termi (a 1 cosx+b 1 sinx) ose c 1 sin (x+α 1) quhet harmoniku i parë ose themelor, (a 2 cos2x+b 2 sin2x) ose c 2 sin (2x +α 2) quhet harmonik i dytë e kështu me radhë.

Për të paraqitur me saktësi një sinjal kompleks zakonisht kërkon një numër të pafund termash. Megjithatë, në shumë probleme praktike mjafton të merren parasysh vetëm disa terma të parë.

Seria Furiere e funksioneve joperiodike me periodë 2π.

Zgjerimi i funksioneve jo periodike.

Nëse funksioni f(x) është jo periodik, do të thotë se nuk mund të zgjerohet në një seri Fourier për të gjitha vlerat e x. Megjithatë, është e mundur të përcaktohet një seri Fourier që përfaqëson një funksion mbi çdo varg të gjerësisë 2π.

Duke pasur parasysh një funksion jo periodik, një funksion i ri mund të ndërtohet duke zgjedhur vlerat e f(x) brenda një diapazoni të caktuar dhe duke i përsëritur ato jashtë atij diapazoni në intervale 2π. Meqenëse funksioni i ri është periodik me periudhën 2π, ai mund të zgjerohet në një seri Fourier për të gjitha vlerat e x. Për shembull, funksioni f(x)=x nuk është periodik. Sidoqoftë, nëse është e nevojshme ta zgjerojmë atë në një seri Furier në intervalin nga o në 2π, atëherë jashtë këtij intervali ndërtohet një funksion periodik me një periudhë 2π (siç tregohet në figurën më poshtë).

Për funksionet joperiodike si f(x)=x, shuma e serisë së Furierit është e barabartë me vlerën e f(x) në të gjitha pikat në një interval të caktuar, por nuk është e barabartë me f(x) për pikat. jashtë gamës. Për të gjetur serinë Fourier të një funksioni jo periodik në intervalin 2π, përdoret e njëjta formulë e koeficientëve Furier.

Funksionet çift dhe tek.

Ata thonë se një funksion y=f(x) është edhe nëse f(-x)=f(x) për të gjitha vlerat e x. Grafikët e funksioneve çift janë gjithmonë simetrikë në lidhje me boshtin y (d.m.th., ato janë imazhe pasqyre). Dy shembuj të funksioneve çift: y=x2 dhe y=cosx.

Një funksion y=f(x) thuhet se është tek nëse f(-x)=-f(x) për të gjitha vlerat e x. Grafikët e funksioneve tek janë gjithmonë simetrikë në lidhje me origjinën.

Shumë funksione nuk janë as çift e as tek.

Zgjerimi i serisë Furier në kosinus.

Seria Furier e një funksioni periodik çift f(x) me periodë 2π përmban vetëm terma kosinus (d.m.th., pa terma sinus) dhe mund të përfshijë një term konstant. Prandaj,

ku janë koeficientët e serisë Fourier,

Seria Furiere e një funksioni periodik tek f(x) me periodë 2π përmban vetëm terma me sinus (d.m.th., nuk përmban terma me kosinus).

Prandaj,

ku janë koeficientët e serisë Fourier,

Seritë Furier në gjysmë cikli.

Nëse një funksion përcaktohet për një interval, le të themi nga 0 në π, dhe jo vetëm nga 0 në 2π, ai mund të zgjerohet në një seri vetëm në sinus ose vetëm në kosinus. Seria Fourier që rezulton quhet seri e gjysmë ciklit Furier.

Nëse dëshironi të merrni një zgjerim të Furierit gjysmë-cikli të kosinuseve të funksionit f(x) në intervalin nga 0 në π, atëherë duhet të ndërtoni një funksion periodik të barabartë. Në Fig. Më poshtë është funksioni f(x)=x, i ndërtuar në intervalin nga x=0 në x=π. Meqenëse funksioni çift është simetrik rreth boshtit f(x), ne vizatojmë drejtëzën AB, siç tregohet në Fig. më poshtë. Nëse supozojmë se jashtë intervalit të konsideruar, forma trekëndore që rezulton është periodike me një periudhë 2π, atëherë grafiku përfundimtar duket si ky: në Fig. më poshtë. Meqenëse duhet të marrim zgjerimin Furier në kosinus, si më parë, ne llogarisim koeficientët Furier a o dhe a n

Nëse dëshironi të merrni një zgjerim Furier me gjysmë cikli për sa i përket sinuseve të funksionit f(x) në rangun nga 0 në π, atëherë duhet të ndërtoni një funksion periodik tek. Në Fig. Më poshtë është funksioni f(x)=x, i ndërtuar në intervalin nga x=0 në x=π. Meqenëse funksioni tek është simetrik në lidhje me origjinën, ne ndërtojmë linjën CD, siç tregohet në Fig. Nëse supozojmë se jashtë intervalit të konsideruar, sinjali i dhëmbit të sharrës që rezulton është periodik me një periudhë prej 2π, atëherë grafiku përfundimtar ka formën e treguar në Fig. Meqenëse duhet të marrim zgjerimin Furier të gjysmëciklit në terma të sinuseve, si më parë, ne llogarisim koeficientin Fourier. b

Seritë Furier për një interval arbitrar.

Zgjerimi i një funksioni periodik me periudhën L.

Funksioni periodik f(x) përsëritet kur x rritet me L, d.m.th. f(x+L)=f(x). Kalimi nga funksionet e konsideruara më parë me një periudhë 2π në funksionet me një periudhë L është mjaft i thjeshtë, pasi mund të bëhet duke përdorur një ndryshim të ndryshores.

Për të gjetur serinë Furier të funksionit f(x) në diapazonin -L/2≤x≤L/2, ne prezantojmë një ndryshore të re u në mënyrë që funksioni f(x) të ketë një periudhë 2π në raport me u. Nëse u=2πx/L, atëherë x=-L/2 për u=-π dhe x=L/2 për u=π. Gjithashtu le të f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Seria Furiere F(u) ka formën

(Kufijtë e integrimit mund të zëvendësohen nga çdo interval me gjatësi L, për shembull, nga 0 në L)

Seritë Furier në një gjysmë cikli për funksionet e specifikuara në intervalin L≠2π.

Për zëvendësimin u=πх/L, intervali nga x=0 në x=L i përgjigjet intervalit nga u=0 në u=π. Rrjedhimisht, funksioni mund të zgjerohet në një seri vetëm në kosinus ose vetëm në sinus, d.m.th. në një seri Furier në gjysmë cikli.

Zgjerimi i kosinusit në rangun nga 0 në L ka formën

1 MINISTRIA E ARSIMIT DHE SHKENCËS E UNIVERSITETIT SHTETËROR RF NOVOSIBIRSK FAKULTETI I FIZIKËS R. K. Belkheeva SERIA FOURIER NË SHEMBUJ DHE PROBLEME Teksti mësimor Novosibirsk 211

2 UDC BBK V161 B44 B44 Seritë Belkheeva R.K. Fourier në shembuj dhe probleme: Libër mësuesi / Novosibirsk. shteti univ. Novosibirsk, s. ISBN Teksti shkollor ofron informacion bazë për seritë Fourier dhe jep shembuj për secilën temë të studiuar. Një shembull i aplikimit të metodës Fourier për zgjidhjen e problemit të dridhjeve tërthore të një vargu është analizuar në detaje. Jepet material ilustrues. Ka detyra për zgjidhje të pavarur. I destinuar për studentë dhe mësues të Fakultetit të Fizikës të NSU. Botuar me vendim të komisionit metodologjik të Fakultetit të Fizikës të NSU. Recensent: Dr. Fiz.-Math. Shkencë. V. A. Aleksandrov Manuali u përgatit si pjesë e zbatimit të Programit të Zhvillimit NRU-NSU për vitet. ISBN c Universiteti Shtetëror Novosibirsk, 211 c Belkheeva R.K., 211

3 1. Zgjerimi i një funksioni 2π-periodik në një Përkufizim të serisë Furier. Seria Furier e funksionit f(x) është seria funksionale a 2 + (a n cosnx + b n sin nx), (1) ku koeficientët a n, b n llogariten duke përdorur formulat: a n = 1 π b n = 1 π f (x) cosnxdx, n = , 1,..., (2) f(x) sin nxdx, n = 1, 2,.... (3) Formulat (2) (3) quhen formula të Euler Furierit. Fakti që funksioni f(x) i korrespondon serisë Furier (1) shkruhet si formula f(x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) (4) dhe themi se ana e djathtë e formulës ( 4) është një seri formale funksion Furier f(x). Me fjalë të tjera, formula (4) do të thotë vetëm se koeficientët a n, b n u gjetën duke përdorur formulat (2), (3). 3

4 Përkufizim. Një funksion 2π-periodik f(x) quhet pjesë-pjesë i qetë nëse ka një numër të kufizuar pikash = x në intervalin [, π]< x 1 . Рассмотрим два условия: а) f(l x) = f(x); б) f(l + x) = f(x), x [, l/2]. С геометрической точки зрения условие (а) означает, что график функции f(x) симметричен относительно вертикальной прямой x = l/2, а условие (б) что график f(x) центрально симметричен относительно точки (l/2;) на оси абсцисс. Тогда справедливы следующие утверждения: 1) если функция f(x) четная и выполнено условие (а), то b 1 = b 2 = b 3 =... =, a 1 = a 3 = a 5 =... = ; 2) если функция f(x) четная и выполнено условие (б), то b 1 = b 2 = b 3 =... =, a = a 2 = a 4 =... = ; 3) если функция f(x) нечетная и выполнено условие (а), то a = a 1 = a 2 =... =, b 2 = b 4 = b 6 =... = ; 4) если функция f(x) нечетная и выполнено условие (б), то a = a 1 = a 2 =... =, b 1 = b 3 = b 5 =... =. ЗАДАЧИ В задачах 1 7 нарисуйте графики и найдите ряды Фурье для функций, { предполагая, что они имеют период 2π:, если < x a cosx + a2 В задачах найдите ряды Фурье в комплексной форме для функций. 26. f(x) = sgn x, π < x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46

47 5. Teorema e barazisë së Lyapunovit (barazia e Lyapunovit). Le të jetë funksioni f: [, π] R i tillë që f 2 (x) dx< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47

48 a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. Prandaj, barazia Lyapunov për funksionin f(x) merr formën: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π. Nga barazia e fundit për një π gjejmë sin 2 na n 2 = a(π a) 2 Duke vendosur a = π 2, marrim sin2 na = 1 për n = 2k 1 dhe sin 2 na = për n = 2k. Prandaj, k=1 1 (2k 1) 2 = = π2 8. SHEMBULL 14. Le të shkruajmë barazinë e Lyapunovit për funksionin f(x) = x cosx, x [, π] dhe ta përdorim për të gjetur shumën e numrit seri (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4. 1 π Zgjidhje. Llogaritjet direkte japin = π π f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =

49 Meqenëse f(x) është një funksion çift, atëherë për të gjitha n kemi b n =, a n = 2 π = 1 π 1 = π(n + 1) = f(x) cosnxdx = 2 π 1 cos(n + 1 )x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos(n + 1)x + cos(n 1)x) dx = 1 π sin(n + 1)xdx sin(n 1)xdx = π(n 1) π π 1 + cos(n 1)x = π(n 1) 2 1 (= (1) (n+1) 1) 1 (+ (1) (n+1) 1) = π(n + 1) 2 π(n 1) 2 () = (1)(n+1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1) (n+1) 1 n k π (n 2 1) = π (4k 2 1) 2 nëse n = 2k, 2 nëse n = 2k + 1. Koeficienti a 1 duhet të llogaritet veçmas, pasi në formulën e përgjithshme për n = 1 emëruesi i thyesës shkon në zero. = 1 π a 1 = 2 π f(x) cosxdx = 2 π x(1 + cos 2x)dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = sin 2xdx = π 2.

50 Pra, barazia e Lyapunovit për funksionin f(x) ka formën: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π, nga ku gjejmë shumën e serisë së numrave (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) = π π PROBLEME 32. Shkruani barazinë Lyapunov për funksionin ( x f(x) = 2 πx, nëse x< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5

51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 Përgjigjet + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2. 1 π 35. f(x)g(x) dx= c n d n, ku c n është koeficienti Furier 2π i funksionit f(x), dhe d n është funksioni i koeficientit Furier g(x). 6. Diferencimi i serive Furier Le të jetë f: R R një funksion 2π-periodik vazhdimisht i diferencueshëm. Seria e saj Furier ka formën: f(x) = a 2 + (a n cos nx + b n sin nx). Derivati ​​f (x) i këtij funksioni do të jetë një funksion i vazhdueshëm dhe 2π-periodik, për të cilin mund të shkruajmë një seri formale të Furierit: f (x) a 2 + (a n cos nx + b n sin nx), ku a, a n , b n, n = 1 , 2,... Koeficientët Furier të funksionit f (x). 51

52 Teorema (mbi diferencimin term pas termi të serive Furier). Sipas supozimeve të mësipërme janë të vlefshme barazitë a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. SHEMBULL 15. Le të jetë funksioni i lëmuar pjesërisht f(x) i vazhdueshëm në intervalin [, π]. Le të vërtetojmë se nëse kushti f(x)dx = plotësohet, vlen pabarazia 2 dx 2 dx, e quajtur pabarazia e Steklovit, dhe do të sigurohemi që barazia në të vlen vetëm për funksionet e formës f(x) = Një cosx. Me fjalë të tjera, pabarazia e Steklovit jep kushte në të cilat vogëlsia e derivatit (në katrorin mesatar) nënkupton vogëlsinë e funksionit (në katrorin mesatar). Zgjidhje. Le ta zgjerojmë funksionin f(x) në intervalin [, ] në mënyrë të barabartë. Le ta shënojmë funksionin e zgjeruar me të njëjtin simbol f(x). Atëherë funksioni i zgjeruar do të jetë i vazhdueshëm dhe pjesë-pjesë i qetë në intervalin [, π]. Meqenëse funksioni f(x) është i vazhdueshëm, atëherë f 2 (x) është i vazhdueshëm në interval dhe 2 dx< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52

53 Meqenëse funksioni i vazhdueshëm është çift, atëherë b n =, a = sipas kushtit. Rrjedhimisht, barazia e Lyapunov merr formën 1 π 2 dx = a 2 π n. (17) Le të sigurohemi që për f (x) të plotësohet përfundimi i teoremës për diferencimin term pas termi të serisë Furier, domethënë që a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. Lëreni derivatin f (x) të pësojë kthesa në pikat x 1, x 2,..., x N në intervalin [, π]. Le të shënojmë x =, x N+1 = π. Le ta ndajmë intervalin e integrimit [, π] në N +1 intervale (x, x 1),..., (x N, x N+1), në secilën prej të cilave f(x) është vazhdimisht i diferencueshëm. Pastaj, duke përdorur vetinë e aditivitetit të integralit, dhe më pas duke u integruar me pjesë, fitojmë: b n = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sin nxdx = 1 π N f(x) sin nx j= N f (x) sin nx j= x j+1 x j x j+1 x j n n π N j= x j+1 x j x j+1 x j f (x) mëkat nxdx = f(x) cosnxdx = f(x) cosnxdx = = 1 π [(f(x 1) sin nx 1 f(x) sin nx) + + (f(x 2) sinnx 2 f(x 1) sin nx 1)

54 + (f(x N+1) sin nx N+1 f(x N) sin nx N)] na n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j+1 a = 1 f (x)dx = 1 N f (x)dx = π π j= x j = 1 N x j+1 f(x) π = 1 (f(π) f()) = . x j π j= Barazia e fundit ndodh për faktin se funksioni f(x) vazhdoi në mënyrë të barabartë, që do të thotë f(π) = f(). Në mënyrë të ngjashme marrim një n = nb n. Ne kemi treguar se teorema mbi diferencimin term pas termi të serive Furier për një funksion të vazhdueshëm të qetë 2π-periodik, derivati ​​i të cilit në intervalin [, π] i nënshtrohet ndërprerjeve të llojit të parë, është i saktë. Kjo do të thotë f (x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) = (na n)sin nx, pasi a =, a n = nb n =, b n = na n, n = 1, 2,.... Që nga 2 dx< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)

55 Meqenëse çdo term në serinë në (18) është më i madh ose i barabartë me termin përkatës në serinë në (17), atëherë 2 dx 2 dx. Duke kujtuar se f(x) është një vazhdimësi çift i funksionit origjinal, kemi 2 dx 2 dx. Kjo dëshmon barazinë e Steklovit. Tani shqyrtojmë se për cilat funksione vlen barazia në pabarazinë e Steklovit. Nëse për të paktën një n 2, koeficienti a n është i ndryshëm nga zero, atëherë një 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55

56 PROBLEME 37. Le të jetë funksioni i lëmuar pjesërisht f(x) i vazhdueshëm në intervalin [, π]. Vërtetoni se kur kushti f() = f(π) = plotësohet, vlen pabarazia 2 dx 2 dx, e quajtur edhe pabarazia Steklov, dhe sigurohuni që barazia në të vlen vetëm për funksionet e formës f(x) = B mëkat x. 38. Le të jetë funksioni f i vazhdueshëm në intervalin [, π] dhe të ketë në të (përveç ndoshta një numri të fundëm pikash) një derivat f (x) që është katror i integrueshëm. Vërtetoni se nëse plotësohen kushtet f() = f(π) dhe f(x) dx =, atëherë vlen pabarazia 2 dx 2 dx, e quajtur inekuacioni Wirtinger, dhe barazia në të vlen vetëm për funksionet e formës f. (x) = A cosx + B sin x. 56

57 7. Zbatimi i serive Furier për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale të pjesshme Gjatë studimit të një objekti real (dukuri natyrore, procesi i prodhimit, sistemi i kontrollit etj.), janë domethënës dy faktorë: niveli i njohurive të grumbulluara për objektin në studim dhe shkalla e zhvillimi i aparatit matematikor. Në fazën aktuale të kërkimit shkencor, është zhvilluar zinxhiri i mëposhtëm: modeli fizik fenomeni modeli matematikor. Formulimi fizik (modeli) i problemit është si më poshtë: identifikohen kushtet për zhvillimin e procesit dhe faktorët kryesorë që ndikojnë në të. Formulimi (modeli) matematik konsiston në përshkrimin e faktorëve dhe kushteve të zgjedhura në formulimin fizik në formën e një sistemi ekuacionesh (algjebrike, diferenciale, integrale etj.). Një problem quhet i shtruar mirë nëse në një hapësirë ​​të caktuar funksionale ekziston një zgjidhje e problemit, në mënyrë unike dhe të vazhdueshme varet nga kushtet fillestare dhe kufitare. Një model matematikor nuk është identik me objektin në shqyrtim, por është një përshkrim i përafërt i tij.Nxjerrja e ekuacionit për lëkundjet e lira të tërthorta të vogla të një vargu Do të ndjekim tekstin shkollor. Lërini skajet e vargut të sigurohen dhe vetë vargu të shtrihet i tendosur. Nëse lëvizni një varg nga pozicioni i tij ekuilibër (për shembull, tërhiqeni ose goditni), atëherë vargu do të fillojë në 57

58 hezitoj. Do të supozojmë se të gjitha pikat e vargut lëvizin pingul me pozicionin e tij të ekuilibrit (dridhjet tërthore), dhe në çdo moment të kohës vargu shtrihet në të njëjtin rrafsh. Le të marrim një sistem koordinatash drejtkëndëshe xou në këtë plan. Atëherë, nëse në momentin fillestar të kohës t = vargu ndodhej përgjatë boshtit Ox, atëherë u do të nënkuptojë devijimin e vargut nga pozicioni i ekuilibrit, pra pozicioni i pikës së vargut me abshisën x në një moment arbitrar i kohës t korrespondon me vlerën e funksionit u(x, t). Për çdo vlerë fikse të t, grafiku i funksionit u(x, t) paraqet formën e vargut vibrues në kohën t (Fig. 32). Me një vlerë konstante të x, funksioni u(x, t) jep ligjin e lëvizjes së një pike me abshisë x përgjatë një vije të drejtë paralele me boshtin Ou, derivati ​​u t është shpejtësia e kësaj lëvizjeje dhe derivati ​​i dytë është nxitimi 2 u t 2. Oriz. 32. Forcat e aplikuara në një seksion infinitimal të një vargu Le të krijojmë një ekuacion që funksioni u(x, t) duhet të plotësojë. Për ta bërë këtë, ne do të bëjmë disa supozime më thjeshtuese. Ne do ta konsiderojmë vargun të jetë absolutisht fleksibël - 58

59 koy, domethënë, do të supozojmë se vargu nuk i reziston përkuljes; kjo do të thotë që sforcimet që dalin në varg janë gjithmonë të drejtuara në mënyrë tangjenciale në profilin e tij të çastit. Vargu supozohet të jetë elastik dhe i nënshtrohet ligjit të Hukut; kjo do të thotë se ndryshimi i madhësisë së forcës së tensionit është proporcional me ndryshimin e gjatësisë së vargut. Le të supozojmë se vargu është homogjen; kjo do të thotë se dendësia lineare ρ e tij është konstante. Ne i neglizhojmë forcat e jashtme. Kjo do të thotë që ne po shqyrtojmë dridhjet e lira. Ne do të studiojmë vetëm dridhje të vogla të vargut. Nëse shënojmë me ϕ(x, t) këndin ndërmjet boshtit të abshisës dhe tangjentës me vargun në pikën me abshisën x në kohën t, atëherë kushti për lëkundjet e vogla është që vlera ϕ 2 (x, t) mund të neglizhohet në krahasim me ϕ (x, t), pra ϕ 2. Meqenëse këndi ϕ është i vogël, atëherë cosϕ 1, ϕ sin ϕ tan ϕ u prandaj, vlera (u x x,) 2 gjithashtu mund të neglizhohet. Menjëherë rrjedh se gjatë procesit të dridhjes mund të neglizhojmë ndryshimin në gjatësinë e çdo seksioni të vargut. Në të vërtetë, gjatësia e një pjese të vargut M 1 M 2, e projektuar në intervalin e boshtit të abshisës, ku x 2 = x 1 + x, është e barabartë me l = x 2 x () 2 u dx x. x Le të tregojmë se, sipas supozimeve tona, madhësia e forcës së tensionit T do të jetë konstante përgjatë gjithë vargut. Për këtë, le të marrim çdo seksion të vargut M 1 M 2 (Fig. 32) në kohën t dhe të zëvendësojmë veprimin e seksioneve të hedhura - 59

60 nga forcat e tensionit T 1 dhe T 2. Meqenëse, sipas kushtit, të gjitha pikat e vargut lëvizin paralelisht me boshtin Ou dhe nuk ka forca të jashtme, shuma e projeksioneve të forcave të tensionit në boshtin Ox duhet të të jetë e barabartë me zero: T 1 cosϕ(x 1, t) + T 2 cosϕ(x 2, t) =. Prandaj, për shkak të vogëlësisë së këndeve ϕ 1 = ϕ(x 1, t) dhe ϕ 2 = ϕ(x 2, t), arrijmë në përfundimin se T 1 = T 2. Le të shënojmë vlerën totale të T 1 = T 2 nga T. Tani llogarisim shumën e projeksioneve F u të forcave të njëjta në boshtin Ou: F u = T sin ϕ(x 2, t) T sin ϕ(x 1, t). (2) Meqenëse për kënde të vogla sin ϕ(x, t) tan ϕ(x, t), dhe tan ϕ(x, t) u(x, t)/ x, atëherë ekuacioni (2) mund të rishkruhet si F u T (tg ϕ(x 2, t) tan ϕ(x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) x x T 2 u x 2(x 1, t) x . Meqenëse pika x 1 zgjidhet në mënyrë arbitrare, atëherë F u T 2 u x2(x, t) x. Pasi të jenë gjetur të gjitha forcat që veprojnë në seksionin M 1 M 2, ne zbatojmë ligjin e dytë të Njutonit për të, sipas të cilit produkti i masës dhe nxitimit është i barabartë me shumën e të gjitha forcave që veprojnë. Masa e një cope vargu M 1 M 2 është e barabartë me m = ρ l ρ x, dhe nxitimi është i barabartë me 2 u(x, t). Ekuacioni t 2 i Njutonit merr formën: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2(x, t) x, ku α 2 = T ρ është një numër pozitiv konstant. 6

61 Duke reduktuar me x, marrim 2 u t (x, t) = u 2 α2 2 x2(x, t). (21) Si rezultat, kemi marrë një ekuacion linear homogjen diferencial të rendit të dytë me koeficientë konstante. Quhet ekuacioni i vibrimit të vargut ose ekuacioni i valës njëdimensionale. Ekuacioni (21) është në thelb një riformulim i ligjit të Njutonit dhe përshkruan lëvizjen e vargut. Por në formulimin fizik të problemit kishte kërkesa që skajet e vargut të fiksoheshin dhe pozicioni i vargut në një moment kohor të dihet. Ne do t'i shkruajmë këto kushte si ekuacione si më poshtë: a) do të supozojmë se skajet e vargut janë të fiksuara në pikat x = dhe x = l, d.m.th. do të supozojmë se për të gjitha t marrëdhëniet u(, t) =, u (l, t) = ; (22) b) do të supozojmë se në kohën t = pozicioni i vargut përkon me grafikun e funksionit f(x), d.m.th. do të supozojmë se për të gjitha x [, l] barazia u(x,) = f( x); (23) c) do të supozojmë se në momentin t = pikës së vargut me abshisë x i jepet shpejtësia g(x), pra do të supozojmë se u (x,) = g(x). (24) t Marrëdhëniet (22) quhen kushte kufitare, dhe marrëdhëniet (23) dhe (24) quhen kushte fillestare. Modeli matematikor i tërthoreve të vogla të lira 61

62 lëkundjet e vargut është se është e nevojshme të zgjidhet ekuacioni (21) me kushtet kufitare (22) dhe kushtet fillestare (23) dhe (24) Zgjidhja e ekuacionit të lëkundjeve të lira të vogla tërthore të vargut me metodën e Furierit Zgjidhja e ekuacionit (21) në rajoni x l,< t . Подставляя (25) в (21), получим: X T = α 2 X T, (26) или T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x). (27) Говорят, что произошло разделение переменных. Так как x и t не зависят друг от друга, то левая часть в (27) не зависит от x, а правая от t и общая величина этих отношений 62

63 duhet të jetë një konstante, të cilën e shënojmë me λ: T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x) = λ. Nga këtu marrim dy ekuacione diferenciale të zakonshme: X (x) λx(x) =, (28) T (t) α 2 λt(t) =. (29) Në këtë rast, kushtet kufitare (22) do të marrin formën X()T(t) = dhe X(l)T(t) =. Meqenëse ato duhet të plotësohen për të gjitha t, t >, atëherë X() = X(l) =. (3) Le të gjejmë zgjidhje për ekuacionin (28) që plotësojnë kushtet kufitare (3). Le të shqyrtojmë tre raste. Rasti 1: λ >. Le të shënojmë λ = β 2. Ekuacioni (28) merr formën X (x) β 2 X(x) =. Ekuacioni i tij karakteristik k 2 β 2 = ka rrënjë k = ±β. Prandaj, zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit (28) është X(x) = C e βx + De βx. Duhet të zgjedhim konstantet C dhe D në mënyrë që të plotësohen kushtet kufitare (3), pra X() = C + D =, X(l) = C e βl + De βl =. Meqenëse β, ky sistem ekuacionesh ka një zgjidhje unike C = D =. Prandaj, X(x) dhe 63

64 u (x, t). Kështu, në rastin 1 kemi marrë një zgjidhje të parëndësishme, të cilën nuk do ta shqyrtojmë më tej. Rasti 2: λ =. Atëherë ekuacioni (28) merr formën X (x) = dhe zgjidhja e tij jepet qartë me formulën: X(x) = C x+d. Duke e zëvendësuar këtë zgjidhje në kushtet kufitare (3), marrim X() = D = dhe X(l) = Cl =, që do të thotë C = D =. Prandaj, X(x) dhe u(x, t), dhe ne përsëri kemi një zgjidhje të parëndësishme. Rasti 3: λ

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Karakteristikat e elementit të karbonit dhe vetitë kimike