Mekanika kuantike e një mikrogrimce, e cila nuk kufizohet në përafrimin gjysmëklasik, është ndërtuar mbi një bazë matematikore duke përdorur Hapësira e funksioneve Hilbert , pra bashkësia e funksioneve për të cilat produkti skalar është përcaktuar në formë integrale.

Pikat kryesore

Gjendja e grimcës përshkruhet nga funksioni valor. Bashkësia e gjendjeve të mundshme formon një hapësirë ​​Hilberti.

Funksioni valor fitohet duke zgjidhur ekuacionin e Shrodingerit.

Një sasi fizike përshkruhet nga një operator që vepron në një hapësirë ​​Hilbert.

Nëse gjendja e grimcës është një eigenfunksion i operatorit, domethënë funksioni rikthehet nën veprimin e operatorit, atëherë rezultati i matjes së sasisë është eigenvlera e operatorit. Zgjerimi i funksionit valor në termat e një baze ortonormale të eigenfunksioneve të operatorit jep probabilitetet e rezultateve të mundshme të matjes së një sasie fizike.

Mekanika kuantike në përgjithësi nuk jep rezultate të qarta për sjelljen dhe karakteristikat e një grimce, por vetëm probabilitetet e këtyre rezultateve.

funksioni i valës

Gjendja e grimcës përshkruhet nga funksioni valor kompleks  (psi), i cili është amplituda e probabilitetit zbulimi i grimcave:

Detektori i grimcave regjistron
. Kuptimi fizik është:

– probabiliteti zbulimi i grimcave për momentin t në vëllim
pranë pikës ;

– dendësia e probabilitetit është probabiliteti i zbulimit të një grimce në këtë moment t në një njësi vëllimi rreth një pike r.

Probabiliteti është normalizuar

.

Funksioni i valës:

1) Përcaktuar deri në një faktor fazor konstant. shteteve
Dhe
, Ku
, janë fizikisht të padallueshme, pasi
;

2) Është katror i integrueshëm, ekziston
;

3) Kënaq parimi i mbivendosjes . Nëse shtetet janë të mundshme
Dhe
, atëherë shteti është i mundur

,

Ku
janë numra kompleks që përcaktojnë probabilitetin e zbulimit të gjendjeve 1 dhe 2.

Operatorët

Sasia fizike A(koordinata, momenti, energjia dhe të tjera) përshkruhet nga një operator linear . Përjashtim bën koha, e cila konsiderohet një parametër. Supozohet se në të djathtë të operatorit është funksioni mbi të cilin ai vepron.

Merrni parasysh formën e qartë të operatorëve të koordinatave dhe momentit në paraqitjen e koordinatave. Arsyetimi i specieve do të jepet më vonë.

Operatori i koordinatave

,
. (2.1)

Veprimi i operatorit të koordinatave reduktohet në shumëzimin e funksionit me koordinatën.

Operatori i projeksionit të momentit

,
. (2.2)

Veprimi i operatorit të momentit reduktohet në diferencimin e funksionit në lidhje me koordinatën dhe shumëzimin me
.

Vetitë e operatorëve linearë:

Shumëzimi me një numër Me

Numri mund të hiqet nga nën shenjën e veprimit të operatorit.

Lineariteti

Ku Dhe - numrat. Veprimi i operatorit në shumën e funksioneve është i barabartë me shumën e veprimeve të operatorit në secilin funksion.

Mbledhja (zbritja) e operatorëve

. (2.5)

Veprimi i shumës së operatorëve në një funksion është i barabartë me shumën e veprimeve të secilit operator në funksion.

Shumëzoni një operator me një operator

Së pari, operatori më afër funksionit vepron, pastaj operatori në të majtë vepron në funksionin që rezulton. Operatorët shumëzues në përgjithësi nuk lëvizin, për shembull:

,

.

relacioni i ndërrimit, ose ndërprerësi i operatorit

.

Operatorët Dhe udhëtojnë nëse
.

,
,

. (2.7)

Mekanika kuantike

Çfarë është mekanika kuantike?

Mekanika kuantike (QM; e njohur edhe si fizika kuantike ose teoria kuantike), duke përfshirë teorinë kuantike të fushës, është një degë e fizikës që studion ligjet e natyrës në distanca të vogla dhe në energji të ulëta të atomeve dhe grimcave nënatomike. Fizika klasike - fizika që ka ekzistuar para mekanikës kuantike, rrjedh nga mekanika kuantike si kalim i saj kufizues, e vlefshme vetëm në shkallë të mëdha (makroskopike). Mekanika kuantike ndryshon nga fizika klasike në atë që energjia, momenti dhe sasitë e tjera shpesh kufizohen në vlera diskrete (kuantizimi), objektet kanë karakteristika si të grimcave ashtu edhe të valëve (dualiteti valë-grimcë), dhe ka kufizime në saktësinë me cilat sasi mund të përcaktohen (parimi i pasigurisë).

Mekanika kuantike vijon në mënyrë të njëpasnjëshme nga zgjidhja e Max Planck në 1900 për problemin e rrezatimit të trupit të zi (botuar në 1859) dhe vepra e Albert Ajnshtajnit e vitit 1905 që propozoi një teori kuantike për të shpjeguar efektin fotoelektrik (botuar në 1887). Teoria e hershme kuantike u rimendua thellë në mesin e viteve 1920.

Teoria e rimendimit është formuluar në gjuhën e formalizmave matematikore të zhvilluara posaçërisht. Në njërën prej tyre, një funksion matematikor (funksioni valor) jep informacion në lidhje me amplitudën e probabilitetit të pozicionit, momentit dhe karakteristikave të tjera fizike të grimcës.

Fushat e rëndësishme të zbatimit të teorisë kuantike janë: kimia kuantike, magnetet superpërcjellëse, diodat që lëshojnë dritë, si dhe pajisjet lazer, transistor dhe gjysmëpërçues si mikroprocesori, imazhet mjekësore dhe kërkimore si imazhet rezonancë magnetike dhe mikroskopi elektronik, dhe shpjegimet e shumë dukuritë biologjike dhe fizike.

Historia e mekanikës kuantike

Studimi shkencor i natyrës valore të dritës filloi në shekujt 17 dhe 18, kur shkencëtarët Robert Hoek, Christian Huygens dhe Leonhard Euler propozuan një teori valore të dritës bazuar në vëzhgimet eksperimentale. Në 1803, Thomas Young, një gjeneralist anglez, kreu eksperimentin e famshëm të çarjes së dyfishtë, të cilin më vonë e përshkroi në një punim të titulluar Natyra e dritës dhe ngjyrave. Ky eksperiment luajti një rol të rëndësishëm në pranimin e përgjithshëm të teorisë valore të dritës.

Në 1838, Michael Faraday zbuloi rrezet katodike. Këto studime u pasuan nga formulimi i problemit të rrezatimit të trupit të zi nga Gustav Kirchhoff në 1859, sugjerimi i Ludwig Boltzmann në 1877 se gjendjet energjetike të një sistemi fizik mund të ishin diskrete dhe hipoteza kuantike e Max Planck në 1900. Hipoteza e Planck-ut që energjia emetohet dhe absorbohet në "kuanta" (ose paketa energjie) diskrete korrespondon saktësisht me modelet e vëzhgueshme të rrezatimit të trupit të zi.

Në 1896, Wilhelm Wien përcaktoi në mënyrë empirike ligjin e shpërndarjes së rrezatimit të trupit të zi, i quajtur sipas tij, ligji i Wien-it. Ludwig Boltzmann arriti në mënyrë të pavarur në këtë rezultat duke analizuar ekuacionet e Maxwell. Megjithatë, ligji funksiononte vetëm në frekuenca të larta dhe nënvlerësonte rrezatimin në frekuenca të ulëta. Planck më vonë korrigjoi këtë model me një interpretim statistikor të termodinamikës së Boltzmann-it dhe propozoi atë që tani quhet ligji i Planck-ut, duke çuar në zhvillimin e mekanikës kuantike.

Pas zgjidhjes së Max Planck në 1900 për problemin e rrezatimit të trupit të zi (botuar 1859), Albert Einstein propozoi një teori kuantike për të shpjeguar efektin fotoelektrik (1905, botuar 1887). Në vitet 1900-1910, teoria atomike dhe teoria korpuskulare e dritës u pranuan gjerësisht për herë të parë si fakt shkencor. Prandaj, këto teori të fundit mund të konsiderohen si teori kuantike të materies dhe rrezatimit elektromagnetik.

Ndër të parët që studiuan fenomenet kuantike në natyrë ishin Arthur Compton, C. V. Raman dhe Peter Zeeman, pas secilit prej të cilëve emërtohen disa efekte kuantike. Robert Andrews Millikan hetoi efektin fotoelektrik eksperimentalisht dhe Albert Einstein zhvilloi një teori për të. Në të njëjtën kohë, Ernest Rutherford zbuloi eksperimentalisht modelin bërthamor të atomit, sipas të cilit Niels Bohr zhvilloi teorinë e tij të strukturës së atomit, e cila më vonë u konfirmua nga eksperimentet e Henry Moseley. Në vitin 1913, Peter Debye zgjeroi teorinë e Niels Bohr për strukturën e atomit duke prezantuar orbitat eliptike, një koncept i propozuar gjithashtu nga Arnold Sommerfeld. Kjo fazë në zhvillimin e fizikës njihet si teoria e vjetër kuantike.

Sipas Planck, energjia (E) e një kuantike rrezatimi është proporcionale me frekuencën e rrezatimit (v):

ku h është konstanta e Plankut.

Planck këmbënguli me kujdes se kjo ishte thjesht një shprehje matematikore e proceseve të përthithjes dhe emetimit të rrezatimit dhe nuk kishte asnjë lidhje me realitetin fizik të vetë rrezatimit. Në fakt, ai e konsideroi hipotezën e tij kuantike një mashtrim matematikor për të marrë përgjigjen e duhur, dhe jo një zbulim të madh themelor. Megjithatë, në vitin 1905, Albert Ajnshtajni i dha hipotezës kuantike të Planck-ut një interpretim fizik dhe e përdori atë për të shpjeguar efektin fotoelektrik, ku ndriçimi i substancave të caktuara me dritë mund të shkaktojë që elektronet të emetohen nga substanca. Ajnshtajni mori çmimin Nobel në Fizikë në vitin 1921 për këtë punë.

Ajnshtajni më pas zhvilloi këtë ide për të treguar se një valë elektromagnetike, e cila është ajo që është drita, mund të përshkruhet gjithashtu si një grimcë (më vonë e quajtur foton), me një energji kuantike diskrete që varet nga frekuenca e valës.

Gjatë gjysmës së parë të shekullit të 20-të, Max Planck, Niels Bohr, Werner Heisenberg, Louis de Broglie, Arthur Compton, Albert Einstein, Erwin Schrödinger, Max Born, John von Neumann, Paul Dirac, Enrico Fermi, Wolfgang Pauli, Max von Laue , Freeman Dyson, David Hilbert, Wilhelm Wien, Shatyendranath Bose, Arnold Sommerfeld dhe të tjerë hodhën themelet e mekanikës kuantike. Interpretimi i Kopenhagës i Niels Bohr-it ka marrë vlerësim universal.

Në mesin e viteve 1920, zhvillimi i mekanikës kuantike bëri që ajo të bëhej formulimi standard për fizikën atomike. Në verën e vitit 1925, Bohr dhe Heisenberg publikuan rezultate që mbyllën teorinë e vjetër kuantike. Nga respekti për sjelljen e tyre të ngjashme me grimcat në procese dhe matje të caktuara, kuantet e dritës u quajtën fotone (1926). Nga një postulat i thjeshtë i Ajnshtajnit, lindi një mori diskutimesh, ndërtimesh teorike dhe eksperimentesh. Në këtë mënyrë, u shfaqën fusha të tëra të fizikës kuantike, duke çuar në njohjen e saj të gjerë në Kongresin e Pestë të Solvay në 1927.

U zbulua se grimcat nënatomike dhe valët elektromagnetike nuk janë as vetëm grimca as valë, por kanë veti të caktuara të secilës prej tyre. Kështu lindi koncepti i dualitetit valë-grimcë.

Deri në vitin 1930, mekanika kuantike u unifikua më tej dhe u formulua në punën e David Hilbert, Paul Dirac dhe John von Neumann, të cilat theksuan matjen, natyrën statistikore të njohurive tona për realitetin dhe reflektimet filozofike mbi "vëzhguesit". Më pas, ajo ka depërtuar në shumë disiplina, duke përfshirë kiminë kuantike, elektronikën kuantike, optikën kuantike dhe shkencën kuantike të informacionit. Zhvillimet e saj teorike bashkëkohore përfshijnë teorinë e fijeve dhe teoritë e gravitetit kuantik. Ai gjithashtu ofron një shpjegim të kënaqshëm të shumë veçorive të tabelës periodike moderne të elementeve dhe përshkruan sjelljen e atomeve në reaksionet kimike dhe lëvizjen e elektroneve në gjysmëpërçuesit kompjuterikë, dhe për këtë arsye luan një rol kritik në shumë teknologji moderne.

Megjithëse mekanika kuantike u ndërtua për të përshkruar mikrokozmosin, është gjithashtu e nevojshme të shpjegohen disa fenomene makroskopike si superpërçueshmëria dhe superfluiditeti.

Çfarë do të thotë fjala kuantike?

Fjala quantum vjen nga latinishtja "quantum", që do të thotë "sa shumë" ose "sa shumë". Në mekanikën kuantike, kuantike do të thotë një njësi diskrete e lidhur me sasi të caktuara fizike, siç është energjia e një atomi në qetësi. Zbulimi se grimcat janë pako diskrete energjie me veti të ngjashme me valë çoi në krijimin e një dege të fizikës që merret me sistemet atomike dhe nënatomike që tani quhet mekanikë kuantike. Ai vendos themelet matematikore për shumë fusha të fizikës dhe kimisë, duke përfshirë fizikën e lëndës së kondensuar, fizikën e gjendjes së ngurtë, fizikën atomike, fizikën molekulare, fizikën llogaritëse, kiminë llogaritëse, kiminë kuantike, fizikën e grimcave, kiminë bërthamore dhe atë bërthamore. Disa aspekte themelore të teorisë janë ende duke u studiuar në mënyrë aktive.

Rëndësia e mekanikës kuantike

Mekanika kuantike është thelbësore për të kuptuar sjelljen e sistemeve në shkallë atomike dhe në distancë më të vogël. Nëse natyra fizike e atomit do të përshkruhej vetëm nga mekanika klasike, atëherë elektronet nuk do të duhej të rrotulloheshin rreth bërthamës, pasi elektronet që rrotullohen duhet të lëshojnë rrezatim (për shkak të lëvizjes rrethore) dhe përfundimisht të përplasen me bërthamën për shkak të humbjes së energjisë nga rrezatimi. Një sistem i tillë nuk mund të shpjegojë stabilitetin e atomeve. Në vend të kësaj, elektronet janë në orbitale të papërcaktuara, jo-përcaktuese, të lyera me grimca valore rreth bërthamës, në kundërshtim me nocionet tradicionale të mekanikës klasike dhe elektromagnetizmit.

Mekanika kuantike fillimisht u zhvillua për të shpjeguar dhe përshkruar më mirë atomin, veçanërisht ndryshimet në spektrat e dritës të emetuar nga izotopë të ndryshëm të të njëjtit element kimik, dhe për të përshkruar grimcat nënatomike. Shkurtimisht, modeli mekanik kuantik i atomit ka qenë jashtëzakonisht i suksesshëm në një zonë ku mekanika klasike dhe elektromagnetizmi dështuan.

Mekanika kuantike përfshin katër klasa fenomenesh që fizika klasike nuk mund t'i shpjegojë:

• kuantizimi i vetive fizike individuale
• ngatërresa kuantike
• parimi i pasigurisë
• dualiteti valë-grimcë

Bazat matematikore të mekanikës kuantike

Në formulimin matematikisht rigoroz të mekanikës kuantike, të zhvilluar nga Paul Dirac, David Hilbert, John von Neumann dhe Hermann Weyl, gjendjet e mundshme të një sistemi mekanik kuantik simbolizohen me vektorë njësi (të quajtur vektorë të gjendjes). Formalisht, ato i përkasin hapësirës komplekse të ndashme Hilbert - përndryshe, hapësirës së gjendjes ose hapësirës së lidhur Hilbert të sistemit, dhe përcaktohen deri në një produkt nga një numër kompleks me një modul njësi (faktori i fazës). Me fjalë të tjera, gjendjet e mundshme janë pika në hapësirën projektuese të një hapësire të Hilbertit, zakonisht të referuara si hapësira projektive komplekse. Natyra e saktë e kësaj hapësire Hilbert varet nga sistemi - për shembull, hapësira e gjendjes së pozicionit dhe momentit është hapësira e funksioneve të integruara në katror, ​​ndërsa hapësira e gjendjes për rrotullimin e një protoni të vetëm është vetëm produkt i drejtpërdrejtë i dy komplekseve. aeroplanët. Çdo sasi fizike përfaqësohet nga një operator linear hipermaksimal Hermitian (më saktë: vetë-përbashkët) që vepron në hapësirën e gjendjes. Çdo eigenstate e një sasie fizike i korrespondon një eigenvector të operatorit, dhe eigenvalue e lidhur korrespondon me vlerën e sasisë fizike në atë eigenstate. Nëse spektri i operatorit është diskret, sasia fizike mund të marrë vetëm vlera vetjake diskrete.

Në formalizmin e mekanikës kuantike, gjendja e një sistemi në një moment të caktuar përshkruhet nga një funksion valor kompleks, i quajtur gjithashtu një vektor i gjendjes në një hapësirë ​​vektoriale komplekse. Ky objekt matematik abstrakt ju lejon të llogaritni probabilitetet e rezultateve të eksperimenteve specifike. Për shembull, ju lejon të llogaritni probabilitetin e gjetjes së një elektroni në një zonë të caktuar rreth bërthamës në një kohë të caktuar. Ndryshe nga mekanika klasike, këtu nuk mund të bëhen kurrë parashikime të njëkohshme me saktësi arbitrare për variablat e konjuguar si pozicioni dhe momenti. Për shembull, elektronet mund të konsiderohen (me disa probabilitet) të jenë diku brenda një rajoni të caktuar të hapësirës, ​​por vendndodhja e tyre e saktë nuk dihet. Ju mund të vizatoni zona me probabilitet konstant, të quajtura shpesh "re", rreth bërthamës së një atomi për të përfaqësuar se ku ka më shumë gjasa të jetë një elektron. Parimi i pasigurisë së Heisenberg përcakton paaftësinë për të lokalizuar me saktësi një grimcë me një moment të caktuar që është i konjuguar me pozicionin.

Sipas një interpretimi, si rezultat i matjes, funksioni i valës që përmban informacion në lidhje me probabilitetin e gjendjes së sistemit zbërthehet nga një gjendje fillestare e caktuar në një gjendje të caktuar vetjake. Rezultatet e mundshme të matjes janë eigenvlerat e operatorit që përfaqëson sasinë fizike - gjë që shpjegon zgjedhjen e operatorit hermitian, eigenvlerat e të cilit janë të gjithë numra realë. Shpërndarja e probabilitetit të një sasie fizike në një gjendje të caktuar mund të gjendet duke llogaritur zgjerimin spektral të operatorit përkatës. Parimi i pasigurisë së Heisenberg përfaqësohet nga një formulë në të cilën operatorët që korrespondojnë me sasi të caktuara nuk lëvizin.

Matja në mekanikën kuantike

Natyra probabiliste e mekanikës kuantike rrjedh kështu nga akti i matjes. Ky është një nga aspektet më të vështira të sistemeve kuantike për t'u kuptuar dhe ishte një temë qendrore në debatin e famshëm të Bohr-it me Ajnshtajnin, në të cilin të dy shkencëtarët u përpoqën të sqaronin këto parime themelore përmes eksperimenteve të mendimit. Për dekada pas formulimit të mekanikës kuantike, pyetja se çfarë përbën një "matje" u studiua gjerësisht. Interpretimet e reja të mekanikës kuantike janë formuluar për të hequr nocionin e "kolapsit të funksionit të valës". Ideja bazë është që kur një sistem kuantik ndërvepron me një aparat matës, funksionet e tyre përkatëse valore ngatërrohen, në mënyrë që sistemi kuantik origjinal të pushojë së ekzistuari si një entitet i pavarur.

Natyra probabiliste e parashikimeve të mekanikës kuantike

Si rregull, mekanika kuantike nuk cakton vlera të caktuara. Në vend të kësaj, ajo bën një parashikim duke përdorur një shpërndarje probabiliteti; d.m.th., ai përshkruan probabilitetin e marrjes së rezultateve të mundshme nga matja e një sasie fizike. Shpesh këto rezultate shtrembërohen, si retë e densitetit të probabilitetit, nga shumë procese. Retë e densitetit të probabilitetit janë një përafrim (por më i mirë se modeli Bohr) në të cilin pozicioni i një elektroni jepet nga një funksion probabiliteti, funksionet valore që korrespondojnë me vlerat vetjake, të tilla që probabiliteti është katrori i modulit të amplitudës komplekse, ose gjendja kuantike e tërheqjes bërthamore. Natyrisht, këto probabilitete do të varen nga gjendja kuantike në "momentin" e matjes. Prandaj, pasiguria futet në vlerën e matur. Megjithatë, ka disa gjendje që lidhen me vlera të caktuara të një sasie të caktuar fizike. Ato quhen eigenstates (eigenstates) të një sasie fizike ("eigen" mund të përkthehet nga gjermanishtja si "i brendshëm" ose "i duhur").

Është e natyrshme dhe intuitive që çdo gjë në jetën e përditshme (të gjitha sasitë fizike) të kenë kuptimet e tyre. Gjithçka duket se ka një pozicion të caktuar, një moment të caktuar, një energji të caktuar dhe një kohë të caktuar të ngjarjes. Megjithatë, mekanika kuantike nuk specifikon pozicionin dhe momentin e saktë të një grimce (pasi ato janë çifte të konjuguara) ose energjinë dhe kohën e saj (pasi janë gjithashtu çifte të konjuguara); më saktë, ai siguron vetëm gamën e probabiliteteve me të cilat kjo grimcë mund të ketë një probabilitet të caktuar të momentit dhe momentit. Prandaj, këshillohet të bëhet dallimi midis gjendjeve që kanë vlera të papërcaktuara dhe gjendjeve që kanë vlera të caktuara (eigenstates). Si rregull, ne nuk jemi të interesuar për një sistem në të cilin grimca nuk ka vlerë eigen të sasisë fizike. Megjithatë, kur matet një sasi fizike, funksioni i valës merr në çast një eigenvalue (ose eigenvalue "të përgjithësuar") të asaj sasie. Ky proces quhet kolapsi i funksionit të valës, një proces i diskutueshëm dhe shumë i diskutuar në të cilin sistemi në studim zgjerohet duke shtuar një pajisje matës në të. Nëse funksioni valor përkatës është i njohur menjëherë përpara matjes, atëherë mund të llogaritet probabiliteti që funksioni i valës të shkojë në secilën prej gjendjeve vetjake të mundshme. Për shembull, grimca e lirë në shembullin e mëparshëm zakonisht ka një funksion valor, i cili është një paketë valore e përqendruar rreth një pozicioni mesatar x0 (që nuk ka eigenstate pozicioni dhe momenti). Kur matet pozicioni i një grimce, është e pamundur të parashikohet rezultati me siguri. Është mjaft e mundshme, por jo e sigurt, që do të jetë afër x0, ku amplituda e funksionit të valës është e madhe. Pas kryerjes së matjes, pasi është marrë një rezultat x, funksioni i valës shembet në një eigenfunksion të operatorit të pozicionit të përqendruar në x.

Ekuacioni i Shrodingerit në mekanikën kuantike

Evolucioni i përkohshëm i një gjendjeje kuantike përshkruhet nga ekuacioni i Shrodingerit, në të cilin Hamiltoniani (operatori që korrespondon me energjinë totale të sistemit) gjeneron evolucionin e përkohshëm. Evolucioni kohor i funksioneve valore është përcaktues në kuptimin që - duke pasur parasysh se cili ishte funksioni valor në kohën fillestare - mund të bëhet një parashikim i qartë se cili do të jetë funksioni valor në çdo kohë në të ardhmen.

Nga ana tjetër, gjatë matjes, ndryshimi nga funksioni valor origjinal në një funksion tjetër valor të mëvonshëm nuk do të jetë determinist, por do të jetë i paparashikueshëm (d.m.th., i rastësishëm). Një emulim i evolucionit kohor mund të shihet këtu.

Funksionet e valës ndryshojnë me kalimin e kohës. Ekuacioni i Shrodingerit përshkruan ndryshimin në funksionet valore me kohën dhe luan një rol të ngjashëm me rolin e ligjit të dytë të Njutonit në mekanikën klasike. Ekuacioni i Shrodingerit, i aplikuar në shembullin e grimcave të lira më sipër, parashikon që qendra e paketës së valës do të lëvizë nëpër hapësirë ​​me një shpejtësi konstante (si një grimcë klasike në mungesë të forcave që veprojnë mbi të). Megjithatë, paketa e valës do të përhapet gjithashtu me kalimin e kohës, që do të thotë se pozicioni bëhet më i pasigurt me kalimin e kohës. Kjo gjithashtu ka efektin e shndërrimit të eigenfunksionit të pozicionit (i cili mund të mendohet si një kulm pafundësisht i mprehtë i paketës së valëve) në një paketë valësh të zgjeruar që nuk përfaqëson më një vlerë të veçantë pozicioni (të caktuar).

Disa funksione valore krijojnë shpërndarje probabiliteti që janë konstante ose të pavarura nga koha - për shembull, kur në një gjendje të palëvizshme me energji konstante, koha zhduket nga moduli i katrorit të funksionit të valës. Shumë sisteme që konsiderohen dinamike në mekanikën klasike përshkruhen në mekanikën kuantike nga funksione të tilla valore "statike". Për shembull, një elektron në një atom të pangacmuar përfaqësohet klasikisht si një grimcë që lëviz përgjatë një rruge rrethore rreth bërthamës atomike, ndërsa në mekanikën kuantike përshkruhet nga një funksion valor statik, sferikisht simetrik që rrethon bërthamën (Fig. 1) (shënim , megjithatë, se vetëm gjendjet më të ulëta të momentit këndor orbital, të shënuara si s, janë sferikisht simetrike).

Ekuacioni i Shrodingerit vepron në të gjithë amplitudën e probabilitetit, jo vetëm në vlerën e saj absolute. Ndërsa vlera absolute e amplitudës së probabilitetit përmban informacione rreth probabiliteteve, faza e saj përmban informacion rreth ndikimit të ndërsjellë midis gjendjeve kuantike. Kjo krijon sjellje "të ngjashme me valë" të gjendjeve kuantike. Siç rezulton, zgjidhjet analitike të ekuacionit të Shrodingerit janë të mundshme vetëm për një numër shumë të vogël Hamiltonianësh relativisht të thjeshtë, siç është oshilatori harmonik kuantik, grimca në një kuti, joni i molekulës së hidrogjenit dhe atomi i hidrogjenit - këto janë përfaqësuesit më të rëndësishëm të modeleve të tilla. Edhe atomi i heliumit, i cili përmban vetëm një elektron më shumë se një atom hidrogjeni, nuk i është dorëzuar asnjë përpjekjeje për një zgjidhje thjesht analitike.

Sidoqoftë, ekzistojnë disa metoda për marrjen e zgjidhjeve të përafërta. Një teknikë e rëndësishme e njohur si teoria e perturbimit merr një rezultat analitik të marrë për një model të thjeshtë mekanik kuantik dhe gjeneron një rezultat për një model më kompleks që ndryshon nga modeli më i thjeshtë (për shembull) duke shtuar energjinë e një fushe të dobët potenciale. Një qasje tjetër është metoda e "përafrimit gjysmëklasik", e cila zbatohet për sistemet për të cilat mekanika kuantike zbatohet vetëm për devijimet e dobëta (të vogla) nga sjellja klasike. Këto devijime më pas mund të llogariten bazuar në lëvizjen klasike. Kjo qasje është veçanërisht e rëndësishme në studimin e kaosit kuantik.

Formulime matematikisht ekuivalente të mekanikës kuantike

Ekzistojnë formulime të shumta matematikisht ekuivalente të mekanikës kuantike. Një nga formulimet më të vjetra dhe më të përdorura është "teoria e transformimit" e propozuar nga Paul Dirac, e cila kombinon dhe përgjithëson dy formulimet më të hershme të mekanikës kuantike - mekanikën e matricës (krijuar nga Werner Heisenberg) dhe mekanikën valore (krijuar nga Erwin Schrödinger).

Duke qenë se Werner Heisenberg u nderua me Çmimin Nobel në Fizikë në 1932 për krijimin e mekanikës kuantike, roli i Max Born në zhvillimin e QM u anashkalua derisa iu dha Çmimi Nobel në 1954. Ky rol përmendet në biografinë e Bornit të vitit 2005, e cila flet për rolin e tij në formulimin e matricës së mekanikës kuantike, si dhe përdorimin e amplitudave të probabilitetit. Në vitin 1940, vetë Heisenberg pranon në një koleksion përkujtimor për nder të Max Planck se ai mësoi për matricat nga Born. Në një formulim matricë, gjendja e menjëhershme e një sistemi kuantik përcakton probabilitetet e vetive të tij të matshme ose të sasive fizike. Shembuj të sasive përfshijnë energjinë, pozicionin, momentin dhe momentin orbital. Madhësitë fizike mund të jenë ose të vazhdueshme (p.sh. pozicioni i një grimce) ose diskrete (p.sh. energjia e një elektroni të lidhur me një atom hidrogjeni). Integralet e rrugës së Feynman - Një formulim alternativ i mekanikës kuantike që trajton amplituda mekanike kuantike si shumën mbi të gjitha shtigjet e mundshme klasike dhe joklasike midis gjendjeve fillestare dhe përfundimtare. Ky është analogi mekanik kuantik i parimit të veprimit më të vogël në mekanikën klasike.

Ligjet e mekanikës kuantike

Ligjet e mekanikës kuantike janë themelore. Thuhet se hapësira e gjendjes së sistemit është Hilbert, dhe sasitë fizike të këtij sistemi janë operatorë hermitianë që veprojnë në këtë hapësirë, megjithëse nuk thuhet se cilat hapësira Hilbert ose cilët operatorë janë këta. Ato mund të zgjidhen në mënyrë të përshtatshme për të përcaktuar sasinë e sistemit kuantik. Një udhëzues i rëndësishëm për marrjen e këtyre vendimeve është parimi i korrespondencës, i cili thotë se parashikimet e mekanikës kuantike reduktohen në mekanikë klasike kur sistemi shkon në rajonin e energjive të larta ose, e njëjta gjë, në rajonin e numrave të mëdhenj kuantikë. domethënë, ndërsa një grimcë e vetme ka një shkallë të caktuar rastësie, në sistemet që përmbajnë miliona grimca, mbizotërojnë vlerat mesatare dhe, me tendencën e kufirit të energjisë së lartë, probabiliteti statistikor i sjelljes së rastësishme priret në zero. Me fjalë të tjera, mekanika klasike është thjesht mekanika kuantike e sistemeve të mëdha. Ky kufi i "energjisë së lartë" njihet si kufiri klasik ose i korrespondencës. Kështu, zgjidhja mund të fillojë edhe me një model klasik të mirëpërcaktuar të një sistemi të caktuar, dhe më pas të përpiqet të hamendësojë modelin kuantik themelor që do të krijonte një model të tillë klasik kur kaloni në kufirin e korrespondencës.

Kur mekanika kuantike u formulua fillimisht, ajo u aplikua në modele, kufiri i përshtatjes së të cilëve ishte mekanika klasike jorelativiste. Për shembull, modeli i mirënjohur i oshilatorit harmonik kuantik përdor një shprehje të qartë jo-relativiste për energjinë kinetike të oshilatorit dhe është kështu një version kuantik i oshilatorit harmonik klasik.

Ndërveprimi me teori të tjera shkencore

Përpjekjet e hershme për të kombinuar mekanikën kuantike me relativitetin special përfshinin zëvendësimin e ekuacionit të Schrödinger-it me ekuacione kovariante si ekuacioni Klein-Gordon ose ekuacioni Dirac. Megjithëse këto teori ishin të suksesshme në shpjegimin e shumë rezultateve eksperimentale, ato kishin disa cilësi të pakënaqshme që buronin nga fakti se ato nuk merrnin parasysh krijimin dhe asgjësimin relativist të grimcave. Një teori kuantike plotësisht relativiste kërkon zhvillimin e një teorie kuantike të fushës që përdor një kuantizimin e fushës (në vend të një grupi fiks grimcash). Teoria e parë e plotë e fushës kuantike, elektrodinamika kuantike, ofron një përshkrim të plotë kuantik të ndërveprimit elektromagnetik. Aparati i plotë i teorisë së fushës kuantike shpesh nuk kërkohet për të përshkruar sistemet elektrodinamike. Një qasje më e thjeshtë, e marrë që nga fillimi i mekanikës kuantike, është trajtimi i grimcave të ngarkuara si objekte mekanike kuantike që i nënshtrohen një fushe elektromagnetike klasike. Për shembull, modeli kuantik elementar i atomit të hidrogjenit përshkruan fushën elektrike të atomit të hidrogjenit duke përdorur shprehjen klasike për potencialin Kulomb:

E2/(4πε0r)

Një qasje e tillë "kuazi-klasike" nuk funksionon nëse luhatjet kuantike të fushës elektromagnetike luajnë një rol të rëndësishëm, për shembull, kur grimcat e ngarkuara lëshojnë fotone.

Teoritë kuantike të fushës janë zhvilluar gjithashtu për forcat bërthamore të forta dhe të dobëta. Teoria kuantike e fushës për ndërveprime të forta bërthamore quhet kromodinamikë kuantike dhe përshkruan bashkëveprimin e grimcave nënbërthamore si kuarket dhe gluonet. Forcat e dobëta bërthamore dhe elektromagnetike u unifikuan në format e tyre të kuantizuara në një teori të unifikuar të fushës kuantike (e njohur si teoria e elektrodobët) nga fizikanët Abdus Salam, Sheldon Glashow dhe Steven Weinberg. Për këtë punë, të tre morën çmimin Nobel në Fizikë në 1979.

Doli të ishte e vështirë të ndërtoheshin modele kuantike për forcën e katërt themelore të mbetur - gravitetin. Bëhen përafrime gjysmëklasike që çojnë në parashikime të tilla si rrezatimi Hawking. Megjithatë, formulimi i një teorie të plotë të gravitetit kuantik pengohet nga papajtueshmëritë e dukshme midis relativitetit të përgjithshëm (e cila është teoria më e saktë e gravitetit e njohur aktualisht) dhe disa nga parimet themelore të teorisë kuantike. Zgjidhja e këtyre papajtueshmërive është një fushë e kërkimeve aktive dhe teorive të tilla si teoria e fijeve, një nga kandidatët e mundshëm për një teori të ardhshme të gravitetit kuantik.

Mekanika klasike u zgjerua gjithashtu në sferën komplekse, me mekanikën klasike komplekse që filloi të sillet si mekanika kuantike.

Marrëdhënia midis mekanikës kuantike dhe mekanikës klasike

Parashikimet e mekanikës kuantike janë konfirmuar eksperimentalisht në një shkallë shumë të lartë saktësie. Sipas parimit të korrespondencës midis mekanikës klasike dhe kuantike, të gjitha objektet u binden ligjeve të mekanikës kuantike, dhe mekanika klasike është vetëm një përafrim për sisteme të mëdha objektesh (ose mekanika kuantike statistikore për një grup të madh grimcash). Kështu, ligjet e mekanikës klasike rrjedhin nga ligjet e mekanikës kuantike si një mesatare statistikore pasi numri i elementeve të sistemit ose vlerat e numrave kuantikë priren në një kufi shumë të madh. Sidoqoftë, sistemeve kaotike u mungojnë numrat kuantikë të mirë dhe kaosi kuantik studion marrëdhëniet midis përshkrimeve klasike dhe kuantike të këtyre sistemeve.

Koherenca kuantike është një ndryshim thelbësor midis teorive klasike dhe kuantike, i ilustruar nga paradoksi Einstein-Podolsky-Rosen (EPR), ai është bërë një sulm ndaj interpretimit të mirënjohur filozofik të mekanikës kuantike duke iu drejtuar realizmit lokal. Ndërhyrja kuantike përfshin shtimin e amplitudave të probabilitetit, ndërsa "valët" klasike përfshijnë shtimin e intensiteteve. Për trupat mikroskopikë, shtrirja e sistemit është shumë më e vogël se gjatësia e koherencës, gjë që çon në ngatërrim në distanca të mëdha dhe në fenomene të tjera jo lokale karakteristike për sistemet kuantike. Koherenca kuantike zakonisht nuk shfaqet në shkallët makroskopike, megjithëse një përjashtim nga ky rregull mund të ndodhë në temperatura jashtëzakonisht të ulëta (d.m.th., që i afrohet zeros absolute), në të cilat sjellja kuantike mund të shfaqet në një shkallë makroskopike. Kjo është në përputhje me vëzhgimet e mëposhtme:

Shumë veti makroskopike të një sistemi klasik janë pasojë e drejtpërdrejtë e sjelljes kuantike të pjesëve të tij. Për shembull, qëndrueshmëria e pjesës kryesore të materies (që përbëhet nga atome dhe molekula, të cilat shpejt do të shemben vetëm nën veprimin e forcave elektrike), ngurtësia e trupave të ngurtë, si dhe vetitë mekanike, termike, kimike, optike dhe magnetike. të materies janë rezultat i bashkëveprimit të ngarkesave elektrike në përputhje me rregullat e mekanikës kuantike.

Ndërsa sjellja në dukje "ekzotike" e materies e postuluar nga mekanika kuantike dhe relativiteti bëhet më e dukshme kur kemi të bëjmë me grimca shumë të vogla ose kur lëvizim me shpejtësi që i afrohen shpejtësisë së dritës, ligjet e fizikës klasike, shpesh të referuara si "njutoniane", mbeten të sakta. në parashikimin e sjelljes së shumicës dërrmuese të objekteve "të mëdha" (në rendin e madhësisë së molekulave të mëdha apo edhe më të mëdha) dhe me shpejtësi shumë më të ulëta se shpejtësia e dritës.

Cili është ndryshimi midis mekanikës kuantike dhe mekanikës klasike?

Mekanika klasike dhe ajo kuantike janë shumë të ndryshme në atë që përdorin përshkrime kinematike shumë të ndryshme.

Sipas mendimit të mirëvendosur të Niels Bohr-it, duhen eksperimente për të studiuar fenomenet mekanike kuantike, me një përshkrim të plotë të të gjitha pajisjeve të sistemit, matjet përgatitore, të ndërmjetme dhe përfundimtare. Përshkrimet paraqiten në terma makroskopikë, të shprehur në gjuhë të zakonshme, të plotësuara nga konceptet e mekanikës klasike. Kushtet fillestare dhe gjendja përfundimtare e sistemit përshkruhen përkatësisht nga një pozicion në hapësirën e konfigurimit, për shembull, në hapësirën e koordinatave, ose ndonjë hapësirë ​​ekuivalente, siç është hapësira e momentit. Mekanika kuantike nuk lejon një përshkrim plotësisht të saktë, si në aspektin e pozicionit ashtu edhe në momentin, të një parashikimi të saktë përcaktues dhe shkakor të një gjendjeje fundore nga kushtet fillestare ose "gjendjet" (në kuptimin klasik të termit). Në këtë kuptim, i promovuar nga Bohr në shkrimet e tij të pjekura, një fenomen kuantik është një proces kalimi nga një gjendje fillestare në një gjendje përfundimtare, dhe jo një "gjendje" e menjëhershme në kuptimin klasik të fjalës. Kështu, ekzistojnë dy lloje procesesh në mekanikën kuantike: stacionare dhe kalimtare. Për proceset stacionare, pozicionet e fillimit dhe të fundit janë të njëjta. Për kalimtare - ato janë të ndryshme. Është e qartë me definicion se nëse jepet vetëm kushti fillestar, atëherë procesi nuk përcaktohet. Duke pasur parasysh kushtet fillestare, parashikimi i gjendjes përfundimtare është i mundur, por vetëm në një nivel probabilistik, pasi ekuacioni i Shrodingerit përcaktohet për evolucionin e funksionit valor, dhe funksioni valor përshkruan sistemin vetëm në një kuptim probabilistik.

Në shumë eksperimente është e mundur të merret gjendja fillestare dhe përfundimtare e sistemit si grimcë. Në disa raste, rezulton se ka potencialisht disa shtigje ose trajektore të dallueshme hapësinore përgjatë të cilave grimca mund të kalojë nga gjendja fillestare në atë përfundimtare. Një tipar i rëndësishëm i përshkrimit kinematik kuantik është se ai nuk lejon që njeriu të përcaktojë në mënyrë të qartë se në cilën prej këtyre rrugëve ndodh kalimi midis gjendjeve. Përcaktohen vetëm kushtet fillestare dhe përfundimtare dhe, siç tregohet në paragrafin e mëparshëm, ato përcaktohen vetëm në masën që lejon përshkrimi i konfigurimit hapësinor ose ekuivalenti i tij. Në çdo rast për të cilin nevojitet një përshkrim kinematik kuantik, ekziston gjithmonë një arsye e mirë për një kufizim të tillë në saktësinë kinematike. Arsyeja është se për të gjetur eksperimentalisht një grimcë në një pozicion të caktuar, ajo duhet të jetë e palëvizshme; për të gjetur eksperimentalisht një grimcë me një moment të caktuar, ajo duhet të jetë në lëvizje të lirë; të dy kërkesat janë logjikisht të papajtueshme.

Fillimisht, kinematika klasike nuk kërkon një përshkrim eksperimental të fenomeneve të saj. Kjo bën të mundur përshkrimin plotësisht të saktë të gjendjes së menjëhershme të sistemit nga një pozicion (pikë) në hapësirën fazore - produkti kartezian i hapësirave të konfigurimit dhe momentit. Ky përshkrim thjesht supozon ose imagjinon gjendjen si një entitet fizik pa u shqetësuar për matshmërinë e tij eksperimentale. Një përshkrim i tillë i gjendjes fillestare, së bashku me ligjet e lëvizjes së Njutonit, bën të mundur që të bëhet me saktësi një parashikim përcaktues dhe shkakësor i gjendjes përfundimtare, së bashku me një trajektore të caktuar të evolucionit të sistemit. Për këtë mund të përdoret dinamika Hamiltoniane. Kinematika klasike gjithashtu bën të mundur përshkrimin e procesit, ngjashëm me përshkrimin e gjendjeve fillestare dhe përfundimtare të përdorura nga mekanika kuantike. Mekanika Lagranzhiane ju lejon ta bëni këtë. Për proceset në të cilat është e nevojshme të merret parasysh madhësia e veprimit të rendit të disa konstantave të Plankut, kinematika klasike nuk është e përshtatshme; këtu kërkohet të përdoret mekanika kuantike.

Teoria e përgjithshme e relativitetit

Edhe pse postulatet përcaktuese të relativitetit të përgjithshëm dhe teoria kuantike e Ajnshtajnit mbështeten pa mëdyshje nga prova empirike rigoroze dhe të përsëritura, dhe megjithëse teorikisht nuk kundërshtojnë njëra-tjetrën (të paktën në lidhje me pretendimet e tyre kryesore), ato janë provuar jashtëzakonisht të vështira për t'u integruar në një konsistent, një model i vetëm.

Graviteti mund të neglizhohet në shumë fusha të fizikës së grimcave, kështu që unifikimi midis relativitetit të përgjithshëm dhe mekanikës kuantike nuk është një çështje urgjente në këto aplikime të veçanta. Megjithatë, mungesa e një teorie të saktë të gravitetit kuantik është një çështje e rëndësishme në kozmologjinë fizike dhe kërkimin e fizikantëve për një "Teori të gjithçkaje" elegante (TV). Prandaj, zgjidhja e të gjitha mospërputhjeve midis dy teorive është një nga qëllimet kryesore për fizikën e shekullit të 20-të dhe 21-të. Shumë fizikanë të shquar, duke përfshirë Stephen Hawking, kanë punuar gjatë viteve në një përpjekje për të zbuluar teorinë që qëndron pas gjithçkaje. Ky televizor do të kombinojë jo vetëm modele të ndryshme të fizikës nënatomike, por gjithashtu do të nxjerrë katër forcat themelore të natyrës - ndërveprimin e fortë, elektromagnetizmin, ndërveprimin e dobët dhe gravitetin - nga një forcë ose fenomen. Ndërsa Stephen Hawking fillimisht besonte në TV, pasi mori në konsideratë teoremën e paplotësisë së Gödel, ai arriti në përfundimin se një teori e tillë nuk ishte e realizueshme dhe e deklaroi këtë publikisht në leksionin e tij Gödel dhe Fundi i Fizikës (2002).

Teoritë themelore të mekanikës kuantike

Kërkimi për të bashkuar forcat themelore përmes mekanikës kuantike është ende në vazhdim. Elektrodinamika kuantike (ose "elektromagnetizmi kuantik"), e cila aktualisht është (të paktën në modalitetin perturbativ) teoria fizike më e saktë e provuar në konkurrencë me relativitetin e përgjithshëm, ka bashkuar me sukses forcat e dobëta bërthamore në forcën elektroe dobët dhe aktualisht është duke u punuar mbi mbi unifikimin e ndërveprimeve të dobëta dhe të forta në bashkëveprim elektrofortë. Parashikimet aktuale thonë se rreth 1014 GeV, tre forcat e mësipërme bashkohen në një fushë të vetme të unifikuar. Përveç këtij "unifikimi të madh", supozohet se graviteti mund të unifikohet me tre simetritë e tjera të matësit, gjë që pritet të ndodhë në rreth 1019 GeV. Megjithatë - dhe ndërsa relativiteti special është përfshirë me kujdes në elektrodinamikën kuantike - relativiteti i përgjithshëm i zgjeruar, aktualisht teoria më e mirë për të përshkruar forcat e gravitetit, nuk është përfshirë plotësisht në teorinë kuantike. Një nga ata që zhvillon një teori të qëndrueshme të gjithçkaje, Edward Witten, një fizikant teorik, formuloi teorinë M, e cila është një përpjekje për të shpjeguar supersimetrinë në bazë të teorisë së superstringut. Teoria M sugjeron që hapësira jonë e dukshme 4-dimensionale është në fakt një vazhdimësi 11-dimensionale hapësirë-kohë që përmban dhjetë dimensione hapësinore dhe një dimension kohor, megjithëse 7 dimensionet hapësinore në energji të ulëta janë plotësisht të "kondensuara" (ose pafundësisht të lakuara) dhe janë nuk është e lehtë për t'u matur apo studiuar.

Një tjetër teori e njohur është graviteti kuantik i ciklit (LQG), një teori e krijuar nga Carlo Rovelli që përshkruan vetitë kuantike të gravitetit. Është gjithashtu një teori e hapësirës kuantike dhe kohës kuantike, pasi në relativitetin e përgjithshëm vetitë gjeometrike të hapësirë-kohës janë një manifestim i gravitetit. LQG është një përpjekje për të unifikuar dhe përshtatur mekanikën kuantike standarde dhe relativitetin e përgjithshëm standard. Rezultati kryesor i teorisë është një pamje fizike në të cilën hapësira është e grimcuar. Kokrra është një pasojë e drejtpërdrejtë e kuantizimit. Ka të njëjtën kokrrizë të fotoneve në teorinë kuantike të elektromagnetizmit ose nivelet diskrete të energjisë së atomeve. Por këtu vetë hapësira është diskrete. Më saktësisht, hapësira mund të shihet si një pëlhurë jashtëzakonisht e hollë ose rrjetë e "thurur" nga sythe të fundme. Këto rrjete ciklike quhen rrjete spin. Evolucioni i një rrjeti rrotullues me kalimin e kohës quhet shkumë rrotulluese. Madhësia e parashikuar e kësaj strukture është gjatësia e Plankut, e cila është afërsisht 1,616 × 10-35 m. Sipas teorisë, nuk ka asnjë pikë në një gjatësi më të shkurtër se kjo. Prandaj, LQG parashikon që jo vetëm materia, por vetë hapësira, ka një strukturë atomike.

Aspektet filozofike të mekanikës kuantike

Që nga fillimi i saj, shumë nga aspektet dhe rezultatet paradoksale të mekanikës kuantike kanë shkaktuar debate të nxehta filozofike dhe shumë interpretime. Edhe pyetjet themelore, të tilla si rregullat bazë të Max Born-it rreth amplitudës së probabilitetit dhe shpërndarjes së probabilitetit, u deshën me dekada për t'u vlerësuar nga publiku dhe nga shumë shkencëtarë kryesorë. Richard Feynman dikur tha, "Unë mendoj se mund të them me siguri se askush nuk e kupton mekanikën kuantike. Sipas Steven Weinberg, "Nuk ka asnjë interpretim plotësisht të kënaqshëm të mekanikës kuantike për mendimin tim tani për tani.

Interpretimi i Kopenhagës - kryesisht falë Niels Bohr dhe Werner Heisenberg - ka mbetur më i pranuari në mesin e fizikantëve për 75 vjet pas shpalljes së tij. Sipas këtij interpretimi, natyra probabilistike e mekanikës kuantike nuk është një tipar i përkohshëm që përfundimisht do të zëvendësohet nga një teori deterministe, por duhet parë si një refuzim përfundimtar i idesë klasike të "shkakësisë". Për më tepër, besohet se çdo aplikim i mirëpërcaktuar i formalizmit mekanik kuantik në të duhet gjithmonë t'i referohet dizajnit të eksperimentit, për shkak të natyrës së konjuguar të provave të marra në situata të ndryshme eksperimentale.

Albert Einstein, duke qenë një nga themeluesit e teorisë kuantike, nuk pranoi vetë disa nga interpretimet më filozofike ose metafizike të mekanikës kuantike, siç është refuzimi i determinizmit dhe shkakësisë. Përgjigja e tij e famshme më e cituar ndaj kësaj qasjeje është: "Zoti nuk luan zare". Ai hodhi poshtë konceptin se gjendja e një sistemi fizik varet nga një vendosje matje eksperimentale. Ai besonte se dukuritë natyrore ndodhin sipas ligjeve të tyre, pavarësisht nëse ato vëzhgohen dhe si. Në këtë drejtim, ai mbështetet nga përkufizimi i pranuar aktualisht i një gjendjeje kuantike, e cila mbetet e pandryshueshme për një zgjedhje arbitrare të hapësirës së konfigurimit për paraqitjen e saj, domethënë metodën e vëzhgimit. Ai gjithashtu besonte se mekanika kuantike duhet të bazohet në një teori që shpreh me kujdes dhe drejtpërdrejt rregullin që refuzon parimin e veprimit me rreze të gjatë; me fjalë të tjera, ai këmbënguli në parimin e lokalitetit. Ai mori në konsideratë, por teorikisht e hodhi poshtë në mënyrë të justifikuar, nocionin privat të variablave latente për të shmangur pasigurinë ose mungesën e shkakësisë në matjet mekanike kuantike. Ai besonte se mekanika kuantike ishte në atë kohë teoria e vlefshme, por jo e fundit dhe e palëkundur e fenomeneve kuantike. Ai besonte se zëvendësimi i tij në të ardhmen do të kërkonte përparime të thella konceptuale dhe se nuk do të ndodhte kaq shpejt dhe lehtë. Diskutimet Bohr-Einstein ofrojnë një kritikë të gjallë të interpretimit të Kopenhagës nga një këndvështrim epistemologjik.

John Bell tregoi se ky paradoks "EPR" çoi në dallime të verifikueshme eksperimentalisht midis mekanikës kuantike dhe teorive që mbështeten në shtimin e ndryshoreve të fshehura. Eksperimentet janë kryer duke konfirmuar saktësinë e mekanikës kuantike, duke demonstruar kështu se mekanika kuantike nuk mund të përmirësohet duke shtuar variabla të fshehura. Eksperimentet fillestare të Alain Aspect në 1982, dhe shumë eksperimente të mëvonshme që atëherë, kanë konfirmuar përfundimisht ngatërrimin kuantik.

Ngatërrimi, siç treguan eksperimentet e Bell, nuk cenon kauzalitetin, pasi nuk transmetohet asnjë informacion. Ngatërrimi kuantik formon bazën e kriptografisë kuantike, e cila propozohet për përdorim në aplikacione komerciale shumë të sigurta në banka dhe qeveri.

Interpretimi me shumë botë i Everett, i formuluar në vitin 1956, supozon se të gjitha mundësitë e përshkruara nga teoria kuantike ndodhin njëkohësisht në një multivers që përbëhet kryesisht nga universe të pavarura paralele. Kjo nuk arrihet duke futur një "aksiomë të re" në mekanikën kuantike, por, përkundrazi, arrihet duke hequr aksiomën e zbërthimit të paketave valore. Të gjitha gjendjet e mundshme të njëpasnjëshme të sistemit të matur dhe pajisjes matëse (përfshirë vëzhguesin) janë të pranishme në një mbivendosje kuantike reale - dhe jo vetëm në një matematikë formale, si në interpretimet e tjera. Një mbivendosje e tillë e kombinimeve të njëpasnjëshme të gjendjeve të sistemeve të ndryshme quhet gjendje e ngatërruar. Ndërsa multiversi është përcaktues, ne perceptojmë sjellje jo-deterministe, të rastësishme në natyrë, pasi ne mund të vëzhgojmë vetëm universin (d.m.th., kontributin e gjendjes së pajtueshme në mbivendosjen e lartpërmendur) në të cilin ne, si vëzhgues, banojmë. Interpretimi i Everett përshtatet në mënyrë të përkryer me eksperimentet e John Bell dhe i bën ato intuitive. Megjithatë, sipas teorisë së dekoherencës kuantike, këto "universe paralele" nuk do të jenë kurrë të disponueshme për ne. Paarritshmëria mund të kuptohet si më poshtë: pasi të bëhet një matje, sistemi që matet ngatërrohet si me fizikanin që e mati ashtu edhe me një numër të madh grimcash të tjera, disa prej të cilave janë fotone që fluturojnë larg me shpejtësinë e dritës në tjetrën. fundi i universit. Për të vërtetuar se funksioni i valës nuk është prishur, është e nevojshme që të gjitha këto grimca të kthehen dhe të maten përsëri së bashku me sistemin që u mat fillimisht. Jo vetëm që kjo është krejtësisht jopraktike, por edhe nëse teorikisht do të mund të bëhej, çdo dëshmi se matja origjinale ka ndodhur do të duhej të shkatërrohej (përfshirë kujtesën e fizikanit). Në dritën e këtyre eksperimenteve të Bell-it, Cramer formuloi interpretimin e tij transaksional në 1986. Në fund të viteve 1990, mekanika kuantike relacionale u shfaq si një derivat modern i interpretimit të Kopenhagës.

Mekanika kuantike ka qenë një sukses i madh në shpjegimin e shumë veçorive të universit tonë. Mekanika kuantike është shpesh mjeti i vetëm i disponueshëm që mund të zbulojë sjelljen individuale të grimcave nënatomike që përbëjnë të gjitha format e materies (elektrone, protone, neutrone, fotone, etj.). Mekanika kuantike ka ndikuar fuqimisht në teorinë e fijeve - një pretendent për teorinë e gjithçkaje (një Teori e Gjithçkaje).

Mekanika kuantike është gjithashtu kritike për të kuptuar se si atomet individuale krijojnë lidhje kovalente për të formuar molekula. Zbatimi i mekanikës kuantike në kimi quhet kimi kuantike. Mekanika kuantike relativiste, në parim, mund të përshkruajë matematikisht pjesën më të madhe të kimisë. Mekanika kuantike mund të japë gjithashtu një ide sasiore të proceseve të lidhjes jonike dhe kovalente, duke treguar qartë se cilat molekula janë energjikisht të përshtatshme për molekula të tjera dhe në çfarë energjie. Përveç kësaj, shumica e llogaritjeve në kiminë moderne kompjuterike mbështeten në mekanikën kuantike.

Në shumë industri, teknologjitë moderne funksionojnë në shkallë ku efektet kuantike janë të rëndësishme.

Fizika kuantike në elektronikë

Shumë pajisje elektronike moderne janë projektuar duke përdorur mekanikën kuantike. Për shembull, lazeri, transistori (dhe kështu mikroçipi), mikroskopi elektronik dhe imazhi i rezonancës magnetike (MRI). Studimi i gjysmëpërçuesve çoi në shpikjen e diodës dhe tranzistorit, të cilat janë përbërës të domosdoshëm të sistemeve moderne elektronike, kompjuterëve dhe pajisjeve të telekomunikacionit. Një aplikim tjetër është dioda që lëshon dritë, e cila është një burim drite shumë efikas.

Shumë pajisje elektronike funksionojnë nën ndikimin e tunelit kuantik. Madje është i pranishëm në një ndërprerës të thjeshtë. Ndërprerësi nuk do të funksiononte nëse elektronet nuk mund të kalonin tunel kuantik përmes shtresës së oksidit në sipërfaqet e kontaktit metalik. Çipat e memories flash, zemra e disqeve USB, përdorin tunelimin kuantik për të fshirë informacionin në qelizat e tyre. Disa pajisje negative të rezistencës diferenciale, të tilla si dioda e tunelit rezonant, përdorin gjithashtu efektin e tunelit kuantik. Ndryshe nga diodat klasike, rryma në të rrjedh nën veprimin e tunelit rezonant përmes dy barrierave të mundshme. Mënyra e funksionimit të tij me rezistencë negative mund të shpjegohet vetëm nga mekanika kuantike: ndërsa energjia e gjendjes së bartësit të kufizuar i afrohet nivelit Fermi, rryma e tunelit rritet. Ndërsa largoheni nga niveli Fermi, rryma zvogëlohet. Mekanika kuantike është jetike për të kuptuar dhe projektuar këto lloje të pajisjeve elektronike.

kriptografia kuantike

Studiuesit aktualisht po kërkojnë metoda të besueshme për manipulimin e drejtpërdrejtë të gjendjeve kuantike. Po bëhen përpjekje për të zhvilluar plotësisht kriptografinë kuantike, e cila teorikisht do të garantojë transmetimin e sigurt të informacionit.

llogaritja kuantike

Një qëllim më i largët është zhvillimi i kompjuterëve kuantikë që pritet të kryejnë detyra të caktuara llogaritëse në mënyrë eksponenciale më shpejt se kompjuterët klasikë. Në vend të biteve klasikë, kompjuterët kuantikë përdorin kubit, të cilët mund të jenë në një mbivendosje të gjendjeve. Një tjetër temë aktive kërkimore është teleportimi kuantik, i cili merret me metodat për transmetimin e informacionit kuantik në distanca arbitrare.

efektet kuantike

Ndërsa mekanika kuantike aplikohet kryesisht në sistemet atomike me më pak lëndë dhe energji, disa sisteme shfaqin efekte mekanike kuantike në një shkallë të gjerë. Superfluiditeti, aftësia për të lëvizur lëngun pa fërkim në temperatura afër zeros absolute, është një shembull i njohur i efekteve të tilla. I lidhur ngushtë me këtë fenomen është fenomeni i superpërçueshmërisë - një rrjedhë e gazit elektronik (rryma elektrike) që lëviz pa rezistencë në një material përçues në temperatura mjaft të ulëta. Efekti fraksional kuantik Hall është një gjendje e renditur topologjikisht që korrespondon me modelet me rreze të gjatë të ngatërrimit kuantik. Shtetet me një rend të ndryshëm topologjik (ose një konfigurim të ndryshëm të ndërthurjes me rreze të largët) nuk mund t'i ndryshojnë gjendjet në njëra-tjetrën pa transformime fazore.

Teoria kuantike

Teoria kuantike gjithashtu përmban përshkrime të sakta të shumë fenomeneve të pashpjeguara më parë, të tilla si rrezatimi i trupit të zi dhe stabiliteti i elektroneve orbitale në atome. Ai gjithashtu dha një pasqyrë se sa sisteme të ndryshme biologjike funksionojnë, duke përfshirë receptorët e nuhatjes dhe strukturat e proteinave. Një studim i fundit i fotosintezës ka treguar se korrelacionet kuantike luajnë një rol të rëndësishëm në këtë proces themelor te bimët dhe shumë organizma të tjerë. Megjithatë, fizika klasike shpesh mund të sigurojë përafrime të mira për rezultatet e marra nga fizika kuantike, zakonisht në kushte të një numri të madh grimcash ose numrash të mëdhenj kuantikë. Meqenëse formulat klasike janë shumë më të thjeshta dhe më të lehta për t'u llogaritur sesa formulat kuantike, përdorimi i përafrimeve klasike preferohet kur sistemi është mjaft i madh për t'i bërë efektet e mekanikës kuantike të papërfillshme.

Lëvizja e lirë e grimcave

Për shembull, merrni parasysh një grimcë të lirë. Në mekanikën kuantike, vërehet dualiteti valë-grimcë, kështu që vetitë e një grimce mund të përshkruhen si vetitë e një valë. Kështu, një gjendje kuantike mund të përfaqësohet si një valë me formë arbitrare dhe që shtrihet në hapësirë ​​si një funksion valor. Pozicioni dhe momenti i një grimce janë madhësi fizike. Parimi i pasigurisë thotë se pozicioni dhe momenti nuk mund të maten saktësisht në të njëjtën kohë. Sidoqoftë, është e mundur të matet pozicioni (pa matur momentin) e një grimce të lirë në lëvizje duke krijuar një gjendje të veçantë pozicioni me një funksion valor (funksioni delta i Diracit) që është shumë i madh në një pozicion të caktuar x dhe zero në pozicione të tjera. Nëse bëni një matje pozicioni me një funksion të tillë valor, atëherë rezultati x do të merret me një probabilitet prej 100% (d.m.th., me besim të plotë, ose me saktësi të plotë). Kjo quhet eigenvalue (gjendja) e pozicionit ose, në terma matematikore, eigenvalue e koordinatës së përgjithësuar (eigendistribution). Nëse një grimcë është në një gjendje të veçantë, atëherë momenti i saj është absolutisht i papërcaktueshëm. Nga ana tjetër, nëse grimca është në një gjendje të veçantë të momentit, atëherë pozicioni i saj është plotësisht i panjohur. Në një gjendje vetjake të një impulsi eigjenfunksioni i të cilit është në formën e një vale të rrafshët, mund të tregohet se gjatësia e valës është h/p, ku h është konstanta e Plankut dhe p është momenti i gjendjes vetjake.

Pengesë potenciale drejtkëndore

Ky është një model i efektit të tunelit kuantik, i cili luan një rol të rëndësishëm në prodhimin e pajisjeve moderne teknologjike si memoria flash dhe mikroskopi tunelues skanues. Tuneli kuantik është procesi fizik qendror që ndodh në superrrjeta.

Grimca në një kuti potenciale njëdimensionale

Një grimcë në një kuti potenciale njëdimensionale është shembulli më i thjeshtë matematik në të cilin kufizimet hapësinore çojnë në kuantizimin e niveleve të energjisë. Një kuti përkufizohet se ka zero energji potenciale kudo brenda një zone të caktuar, dhe energji potenciale të pafundme kudo jashtë asaj zone.

Pusi i mundshëm përfundimtar

Një pus potencial i kufizuar është një përgjithësim i problemit të një pusi potencial të pafund me një thellësi të kufizuar.

Problemi i një pusi me potencial të fundëm është matematikisht më kompleks se problemi i një grimce në një kuti me potencial të pafund, pasi funksioni i valës nuk zhduket në muret e pusit. Në vend të kësaj, funksioni i valës duhet të plotësojë kushte kufitare matematikore më komplekse, pasi është jo zero në rajonin jashtë pusit potencial.

(Ky kapitull përmban informacion nga matematika të nevojshme për të lexuar pjesën tjetër të kapitujve të librit. Megjithatë, ka një sërë seksionesh në këta kapituj që mund të lexohen pa njohuri të hollësishme të një informacioni të tillë, prandaj mos u dekurajoni nëse duken të vështira.)

Në kapitullin e parë, ekuacioni i Shrodingerit për një grimcë atomike u nxor nga ekuacioni klasik që korrespondon me një valë të qëndrueshme harmonike dhe relacionin de Broglie. Për sistemet që përmbajnë shumë grimca, si dhe në prani të fushave të jashtme elektrike dhe magnetike, nevojitet një qasje më e përgjithshme ndaj ekuacioneve të mekanikës kuantike.

Bazat e mekanikës kuantike shihen më së miri si një grup postulatesh nga të cilat mund të nxirren ekuacionet e lëvizjes. Pastaj vetë postulatet gjejnë konfirmim në pajtimin e zgjidhjeve të ekuacioneve të marra me eksperimentin. Le të shqyrtojmë një sistem prej n grimcash, i cili përshkruhet në mënyrë klasike duke vendosur në çdo moment të kohës vlerat e 3n koordinatave të përgjithësuara (q) dhe 3n momenteve të përgjithësuara (p). Për të përshkruar një sistem të tillë në mekanikën kuantike, janë paraqitur postulatet e mëposhtme:

Postulati 1. Një sistem grimcash mund të karakterizohet nga një funksion Ψ(q 1 ... q 3n , t), i quajtur funksioni valor, nëpërmjet të cilit përcaktohen të gjitha sasitë e matura për sistemin. Madhësia Ψ * Ψdq 1 ... dq 3n ka kuptim fizik, i cili përcakton probabilitetin e gjetjes së koordinatave të grimcave në intervalin midis *) q 1 ... q 3n dhe q 1 + dq 1 ... q 3n + dq 3n .

*) (Ndonëse, gjatë prezantimit të teorisë së atomit të hidrogjenit, autorët përcaktuan se ato janë të kufizuara në marrjen në konsideratë të gjendjeve me energji negative, këtu, në një paraqitje më rigoroze, vërejmë se ky interpretim i funksionit valor është i zbatueshëm vetëm për funksionet që mund të subjekt i kushtit të normalizimit (6.1). Ekzistojnë gjithashtu shtete, funksionet valore të të cilave nuk janë të integrueshme në katror dhe, për rrjedhojë, nuk mund ta plotësojnë këtë kusht; në raste të tilla, sasia Ψ * Ψ përcakton vetëm probabilitete relative, jo absolute (shih shënimin në faqen 100). - Përafërsisht. ed.)

Meqenëse çdo grimcë duhet të jetë domosdoshmërisht në një pikë në hapësirë, integrimi i densitetit të probabilitetit mbi të gjithë hapësirën duhet të japë unitet. Kjo shprehet me kushtin e normalizimit

∫ Ψ * Ψ dυ = 1, (6.1)

ku dυ = dq 1 ... dq 3n dhe integrali merret në të gjithë hapësirën 3n-dimensionale.

Postulati 2. Çdo sasi fizikisht e vëzhgueshme në mekanikën kuantike shoqërohet me një operator linear; Le ta shënojmë, për shembull, β . Pastaj vlera mesatare e kësaj sasie të vëzhguar përcaktohet si *)

b‾ = ∫ Ψ * β Ψ dυ. (6.2)

*) (Nëse është e nevojshme të transformohet çdo funksion f(x) në një funksion tjetër g(x), atëherë algjebrikisht kjo shprehet me relacionin β f(x) = g(x), ku β - operator. Për shembull,

[+2]x 3 \u003d 2 + x 3 (a); [x] x 3 = x 4 (b); [√] x 3 = x 3 / 2 (c);

X 3 \u003d 3x 2 (d).

Në të gjitha këto shprehje, operatori është i mbyllur në kllapa katrore. Operatorët veprojnë në funksionet në të djathtë të tyre. Një operator quhet linear nëse kushtet

β = β f(x) + β g(x) dhe β kf(x) = k β f (x),

ku k është një konstante. Në shembujt e mësipërm, vetëm (b) dhe (d) janë operatorë linearë.)

Rregulli për ndërtimin e operatorëve mekanikë kuantikë është si vijon: shprehja klasike për sasinë në shqyrtim shkruhet në variablat p dhe q, pastaj operatori mekanik kuantik përkatës fitohet duke zëvendësuar p k me

Le të japim disa shembuj të vlerave mesatare të formës (6.2).

a) Vlera mesatare e koordinatës x të një grimce individuale

b) Vlera mesatare e komponentit x të momentit të një grimce individuale

Duhet theksuar se nëse operatori β - funksioni algjebrik i koordinatave, si në ekuacionin (6.3), nuk ka rëndësi se ku ndodhet saktësisht në integrand. Nëse β është operator diferencial, atëherë duhet të vendoset ndërmjet funksioneve Ψ * dhe Ψ në mënyrë që të veprojë vetëm në funksionin Ψ.

Postulati 3. Për një sistem, energjia totale e të cilit është konstante në kohë (sistemi konservativ), shprehja klasike për energjinë, e shkruar në ndryshoret q, p, njihet si funksioni Hamilton. Operatori përkatës në mekanikën kuantike (d.m.th. operatori i energjisë) quhet operator Hamiltonian, ose Hamiltonian, dhe shënohet me simbolin

Për sistemet konservatore, funksioni i valës plotëson ekuacionin

Ψ(q, t) = EΨ(q, t), (6.5)

ku E është energjia e sistemit - një vlerë konstante që nuk varet nga koordinatat dhe koha t *).

*) (Një sistem konservator mund të mos ketë një vlerë të caktuar energjetike, por të karakterizohet nga një shpërndarje e caktuar probabiliteti në energji. Funksioni valor i një gjendjeje të tillë nuk e plotëson ekuacionin (6.5). Dendësia e probabilitetit Ψ 2 do të varet nga koha, por shpërndarja e energjisë mbetet konstante. - Përafërsisht. ed.)

Vini re se të dy anët e barazimit (6.5) përmbajnë të njëjtin funksion Ψ(q, t). Ekuacioni (6.5) është një ekuacion për eigenfunksionet e operatorit

E - eigenvalue e operatorit

Ψ është eigenfunksioni përkatës.

Si shembull i thjeshtë i një ekuacioni të tipit (6.5), kemi

Funksionet e vetë operatorit

është e kx, dhe vlerat vetjake të tij janë të barabarta me k. Nga pikëpamja matematikore, është krejtësisht e pakuptimtë të zvogëlohen të dyja anët e ekuacionit (6.6) me e kx [ose të dyja anët e ekuacionit (6.5) me Ψ] sepse operatori ka kuptim në ekuacion vetëm nëse vepron në një funksion. .

Postulati 4. Në përgjithësi, funksioni i valës plotëson ekuacionin

Quhet ekuacioni i kohës së Shrodingerit, i cili, ndryshe nga ekuacioni (6.5), vlen edhe nëse Hamiltoniani varet nga koha.

Nëse funksioni Ψ njihet në një moment në kohë, atëherë ky ekuacion ju lejon të merrni vlerat e funksionit në të gjitha pikat pasuese të kohës. Megjithatë, ky libër nuk do të merret me proceset që zhvillohen me kalimin e kohës dhe një ekuacion i tillë nuk do të gjendet në kapitujt e mëvonshëm.

Për sistemet konservatore, Ψ plotëson të dyja ekuacionin (6.5) dhe ekuacionin (6.7), pra

Ky ekuacion ka, si zgjidhje të përgjithshme, formën

Meqenëse Hamiltoniani nuk përmban kohë për sistemet konservatore, duke zëvendësuar shprehjen (6.9) në ekuacionin (6.5), ne mund të reduktojmë të dyja anët e ekuacionit me një faktor eksponencial dhe të marrim atë

Ψ(q) = EΨ(q). (6.10)

Ekuacioni (6.10) është ekuacioni i Shrodingerit i shkruar në formë të përgjithshme për të ashtuquajturën gjendje stacionare të sistemit, d.m.th., gjendjen energjia e së cilës nuk ndryshon me kalimin e kohës. Për një gjendje stacionare, mund të merret vlera mesatare e çdo sasie të vëzhguar duke përdorur funksionet valore të pavarura nga koha Ψ(g) në vend të funksioneve më komplekse Ψ(q, t), pasi shprehja (6.2) për gjendjen stacionare ka formë

nëse operatori β nuk varet nga koha.

Funksioni Hamilton për një elektron me energji potenciale V shkruhet si

Më pas, duke përdorur rregullin e përcaktuar nga postulati 2, marrim Hamiltonianin e këtij sistemi

dhe ekuacioni (6.10), pas shndërrimeve të thjeshta, merr formën

Ekuacioni (6.14) përkon me ekuacionin e Shrodingerit të dhënë në kapitullin e parë.

Le të supozojmë se janë të njohura dy zgjidhje të ekuacionit (6.10):

Ψ a = E a Ψ a;

Ψ b \u003d E b Ψ b. (6.15)

Nëse e shumëzojmë ekuacionin e parë me konstanten λ, dhe të dytin me konstanten μ dhe e shtojmë atë, marrim

(λΨ a + μΨ b) = λE a Ψ a + μE b Ψ b . (6.16)

Nëse ana e djathtë e ekuacionit (6.16) mund të përfaqësohet si prodhim k(λΨ a + μΨ b), ku k është një konstante, atëherë λΨ a + μΨ b do të ishte gjithashtu një eigenfunksion i operatorit

Megjithatë, ky nuk është rasti në përgjithësi, kështu që kombinimet lineare të eigenfunksioneve nuk janë në vetvete eigenfunksione. Përjashtimi i vetëm është kur E a = E b , kështu që

(λΨ a + μΨ b) = E a (λΨ a + μΨ b). (6.17)

Nëse dy ose më shumë eigenfunksione korrespondojnë me të njëjtën vlerë eigen, atëherë ajo quhet e degjeneruar. Në këtë rast, çdo kombinim linear i eigenfunksioneve është gjithashtu një eigenfunksion i Hamiltonian. Kjo teoremë është përdorur në Kap. 3 gjatë kalimit nga orbitalet komplekse p- dhe d-atomike në ato reale.

Sasitë e vëzhgueshme që karakterizojnë sistemet atomike mund të jenë dy llojesh: 1) sasi, vlerat e të cilave përcaktohen saktësisht, për shembull, energjia, e cila për çdo sistem të kufizuar ka vetëm vlera diskrete (të kuantizuara), dhe 2) sasi për të cilat, si rezultat për çdo matje, është e mundur të përcaktohet sipas shpërndarjes së probabilitetit, vetëm vlera mesatare *). Nëse vlera e vëzhguar, e karakterizuar nga operatori β , i përket tipit të parë, kjo do të thotë se funksionet valore të sistemit, të cilat janë eigenfunksione të Hamiltonianit, janë gjithashtu eigenfunksione të operatorit. β , d.m.th.

β Ψ = bΨ. (6.18)

*) (Kjo ndarje e sasive fizike në dy grupe nuk është absolute: sasitë që kanë vlera mjaft të përcaktuara në një gjendje të caktuar, në gjendje të tjera karakterizohen vetëm nga një shpërndarje probabiliste e vlerave. - Përafërsisht. ed.)

Nëse vlera e vëzhguar i përket llojit të dytë, atëherë

β Ψ ≠ bΨ, (6.19)

edhe pse operatori β dhe mund të ketë një grup eigenfunksionesh (që nuk përkon me Ψ). Megjithatë, edhe në këtë rast, vlera mesatare e sasisë së vëzhguar mund të llogaritet duke përdorur formulën (6.2).

Kushti që funksioni Ψ të përmbushë barazinë (6.18) është komutativiteti i operatorëve dhe β , pra barazi

βH = Hβ. (6.20)

Në përgjithësi, operatorët nuk bëjnë lëvizje; për shembull, nëse

Dhe Β = x, atëherë

ΑΒ - ΒΑ = 1. (6.21)

Le të provojmë tani se nëse dy operatorë lëvizin, atëherë ekziston një grup funksionesh të tilla që janë njëkohësisht eigenfunksione të të dy operatorëve. Shënoni eigenfunksionet e operatorit Α me θ dhe eigenfunksionet e operatorit Β me χ, atëherë

Αθ i = a i θ i , (6.22)

Βχ j = b j χ j . (6.23)

Duke shumëzuar barazinë (6.23) në të majtë me Α, marrim

ΑΒχ j = Αb j χ j = b j Αχ j . (6.24)

Por nëse ΑΒ = ΒΑ, atëherë shprehja (6.24) shndërrohet në

Β(Αχ j) = b j (Αχ j). (6.25)

Ekuacioni (6.25) do të thotë që Αχ j është një eigenfunksion i operatorit Β me një vlerë vetjake b j . Megjithatë, χ j është, sipas përkufizimit, një eigenfunksion i operatorit Β me të njëjtën vlerë eigen b j . Prandaj, Αχ j dhe χ j ndryshojnë nga një faktor konstant sipas shprehjes

Αχ j = kχ j , (6.26)

ose, nëse χ j i përket një grupi eigjenfunksionesh të degjeneruara, Αχ j është një kombinim linear i funksioneve të këtij grupi:

Αχ j = kχ j + k"χ j" + k″χ j″ , + ...

Në rastin jo të degjeneruar, nga barazia (6.26) rrjedh se χ j është një eigjenfunksion i operatorit Α, d.m.th., është një nga funksionet e grupit 6. Në rastin e degjeneruar, gjithmonë mund të zgjidhen kombinime të tilla lineare i funksioneve χ j që janë eigenfunksione të operatorit Α (dhe, natyrisht, operatorit B). Le të ndodhë, për shembull, rasti i degjenerimit të dyfishtë dhe

Αχj = aχj + bχj" ,

Αχj" = cχj + dχj" .

Atëherë, nëse futim konstante të reja λ, μ, k, k" të përcaktuara nga katër ekuacione

kλ = λa + μc, kμ = λb + μd,

k "μ \u003d μa - λc, kλ \u003d λd - μb,

do të rezultojë se

Α(λχ j + μχ j") = k(λχ j + μχ j"),

Α(μχ j - λχ j") = k"(χ j - λχ j"),

dhe këto ekuacione përcaktojnë eigenfunksionet e operatorit Α.

Marrëdhëniet e komutimit ndërmjet operatorëve janë baza e shumë rezultateve të rëndësishme të marra në mekanikën kuantike. Për shembull, nëse dy operatorë nuk lëvizin, atëherë nuk ka një grup funksionesh që të dy janë eigenfunksione të të dy operatorëve, dhe për këtë arsye nuk mund të kryhet asnjë eksperiment në të cilin mund të maten me saktësi sasitë që u korrespondojnë të dy operatorëve. Parimi i pasigurisë së Heisenberg-ut, i formuluar në Kap. 1 është një shembull i kësaj. Meqenëse operatorët x dhe

mos udhëto [shih barazi (6.21)], një grimcë nuk mund të ketë njëkohësisht vlera të sakta si të koordinatës x ashtu edhe të momentit p x.

Në mekanikën kuantike, klasa e eigenfunksioneve kufizohet gjithmonë nga funksione me një vlerë të vetme, të vazhdueshme dhe të normalizuar* (i quajmë funksione të klasës Q). Këto kushte duhet t'u imponohen eigenfunksioneve në mënyrë që densiteti i probabilitetit të jetë një funksion i sjellshëm. Si rezultat i matjeve, fitohen numra realë, kështu që duhet të vendoset një kufizim i duhur për operatorët, d.m.th., të kërkohet që për të gjithë operatorët mekanikë kuantikë vlerat mesatare të llogaritura nga shprehja (6.2) të jenë reale. Nëse

b‾ = ∫ Ψ * ΒΨ dυ, (6.27)

atëherë, duke marrë sasitë komplekse të konjuguara nga të dyja anët e barazisë, marrim

(b‾) * = ∫ ΨΒ * Ψ * dυ,. (6.28)

*) (Kushti i normalizimit të eigenfunksioneve është shumë i ngurtë dhe duhet të zëvendësohet nga kërkesa që vlerat e tij të jenë të fundme në të gjithë gamën e variablave. Vetia e integrueshmërisë kuadratike zotërohet vetëm nga eigenfunksionet e operatorit që korrespondojnë me eigenvlerat diskrete. - Përafërsisht. ed.)

Por nëse (b‾ = b‾) * , që është e vërtetë vetëm për numrat realë, atëherë

∫ Ψ * ΒΨ dυ = ∫ ΨΒ * Ψ * dυ. (6.29)

Në një rast më të përgjithshëm, mund të tregohet se operatori duhet të plotësojë kushtin

∫ Ψ 1 * ΒΨ 2 dυ = ∫ Ψ 2 Β * Ψ 1 * dυ, (6.30)

ku Ψ 1 dhe Ψ 2 janë funksione arbitrare të klasës Q.

Një operator që plotëson kushtin (6.30) për çdo funksion të klasës Q quhet Hermitian*). Nëse ndërtojmë një operator mekanik kuantik mbi bazën e shprehjes klasike për sasinë e vëzhguar, duke përdorur postulatin 2, atëherë është e nevojshme të rregullojmë termat individualë në operator në atë mënyrë që ai të jetë hermitian. Për shembull, nëse shprehja klasike ka formën xp x, atëherë operatori mekanik kuantik nuk shkruhet si

(ky operator nuk është hermitian), por në formë

(operator hermitian). Me fjalë të tjera, ato bazohen në shprehjen klasike të simetrizuar

Është e mundur të veprohet ndryshe, duke u nisur nga shprehja x 1/2 p x x 1/2, por vetëm eksperimenti do të tregojë se cila nga këto shprehje jep formën e saktë të operatorit mekanik kuantik.

*) (Një operator i tillë shpesh quhet edhe vetë-adjoint. - Përafërsisht. përkth.)

Eigenfunksionet dhe eigenvlerat e operatorëve Hermitian kanë tre veti të rëndësishme:

1. Eigenvlerat e operatorëve hermitian janë reale. Kjo rrjedh nga relacionet (6.27)-(6.29) nëse Ψ është një eigenfunksion i operatorit Β.

2. Nëse dy eigenfunksione të një operatori hermitian korrespondojnë me eigenvlera të ndryshme, atëherë këto funksione janë ortogonale, domethënë nëse

ΒΨ 1 = b 1 Ψ 1 (6,31)

ΒΨ 2 = b 2 Ψ 2 , (6.32)

∫ Ψ 2 * Ψ 1 dυ = 0. (6.33)

Për të vërtetuar këtë lidhje, marrim konjugatët komplekse të të dy anëve të barazisë (6.32):

Β * Ψ 2 * = b 2 Ψ 2 * . (6.34)

Le të shumëzojmë të dyja anët e barazisë (6.31) në të majtë me Ψ 2 * dhe të integrojmë në të gjithë hapësirën; në mënyrë të ngjashme, ne shumëzojmë të dyja anët e barazisë (6.34) në të majtë me Ψ 1 dhe gjithashtu integrojmë; duke zbritur shprehjet që rezultojnë njëra nga tjetra, kemi

∫ Ψ 2 * ΒΨ 1 dυ - ∫ Ψ 1 Β * Ψ 2 * dυ = (b 1 - b 2) ∫ Ψ 2 * Ψ 1 dυ. (6.35)

Por për shkak të faktit se operatori B është hermitian, ana e majtë e barazisë (6.35) zhduket. Nga kjo rrjedh se nëse b 2 ≠ b 1 , atëherë ekuacioni (6.33) është i kënaqur.

Koncepti i ortogonalitetit shfaqet në algjebër vektoriale; nëse dy vektorë a dhe b formojnë një kënd prej 90° ndërmjet tyre, atëherë produkti skalar i vektorëve zhduket, d.m.th., a b = 0, dhe vektorët quhen ortogonalë. Kjo do të thotë se nëse e shprehim vektorin a në terma të vektorëve të tjerë në hapësirë, atëherë kjo shprehje nuk do të përmbajë vektorin b; me fjalë të tjera, vektorët a dhe b janë plotësisht të pavarur nga njëri-tjetri. Në mënyrë të ngjashme, nëse eigenfunksionet janë ortogonale, atëherë kjo do të thotë se ato janë të pavarura: asnjëri prej tyre nuk përmban një përzierje të tjetrit.

Le të përpiqemi të paraqesim një nga eigenfunksionet e operatorit Hermitian si një kombinim linear i të gjithë eigenfunksioneve të tjera, d.m.th.

Ψ 1 = ∑ i≠1 me i1 Ψ. (6.36)

Pastaj, duke shumëzuar të dyja anët e barazisë (6.36) me Ψ j * (j ≠ 1) dhe duke integruar në të gjithë hapësirën, marrim

∫ Ψ j * Ψ 1 dυ = ∑ i≠1 me i1 ∫ Ψ j * Ψ i dυ. (6.37)

Megjithatë, për shkak të kushtit të ortogonalitetit të eigjenfunksioneve, ana e majtë e barazisë zhduket dhe i vetmi integral jozero në anën e djathtë fitohet për i = j. Kjo nënkupton se me j1 = 0, që do të thotë se funksionet Ψ 1 dhe Ψ j janë linearisht të pavarur, dhe kjo është e vërtetë për çdo j.

Kushtet për ortogonalitetin dhe normalizimin e eigenfunksioneve mund të kombinohen në një shprehje

∫ Ψ i * Ψ j dυ = δ ij , (6.38)

ku δ ij quhet simboli Kronecker: është zero nëse i ≠ j dhe një kur i = j. Bashkësia e funksioneve që plotësojnë kushtin (6.38) quhet ortonormale.

3. Eigenfunksionet Θ i të operatorit Hermitian formojnë një sistem të plotë funksionesh në të cilin mund të zgjerohet çdo funksion që plotëson të njëjtat kushte kufitare si eigenfunksionet. Pra dekompozimi

Ψ = ∑ i c i Θ i (6.39)

është e saktë nëse përmbledhja është mbi të gjitha eigenfunksionet (kjo është një shumë e pafundme). Nuk ka asnjë provë të kësaj deklarate në një formë të përgjithshme, por është e vërtetë për operatorët hermitianë që hasen në mekanikën kuantike. Siç do të shihet nga pjesa tjetër, si dhe nga kapitujt e tjerë të këtij libri, metoda e zgjerimit në disa sisteme funksionesh është mënyra më e zakonshme për të marrë zgjidhje të përafërta të ekuacionit të Shrodingerit.

Nga këndvështrimi i autorit të programit, baza kryesore matematikore e mekanikës kuantike është teorema spektrale. Fatkeqësisht, kjo teoremë, si rregull, nuk përfshihet në kursin e leksioneve të lexuara për studentët e fizikës. Nga ana tjetër, studentëve të matematikës nuk u shpjegohet kuptimi i saj nga pikëpamja e mekanikës kuantike. Kursi i propozuar synon kryesisht të plotësojë këtë boshllëk. Në fund të kursit, supozohet të preket teoria e grafëve të operatorëve jokomutativ dhe të flitet për lidhjen e tyre me kodet kuantike të korrigjimit të gabimeve.

1. Boreli mat $\mu$ në vijën reale. Zbërthimi i $\mu$ në një shumë të komponentëve të vazhdueshëm, pikë dhe njëjës. Masat e rregullta $\mu$. Hapësira e funksioneve të vazhdueshme me mbështetje kompakte $C(X)$ në një hapësirë ​​lokale kompakte Hausdorff $X$. Teorema Riesz-Markov-Kakutani.
2. Operatorët Hilbert-Schmidt dhe operatorët bërthamorë në hapësirën Hilbert. Zbërthimi spektral. Teorema e Lidskit.
3. Masat në rrjetën e projeksioneve ortogonale. Teorema e Gleason-it.
4. Masat me vlerë projektuese. Masat pozitive me vlerë operatori. Teorema e dilatimit të Naimarkut.
5. Aksiomatika e Mackey e mekanikës kuantike. Gjendjet kuantike dhe matjet.
6. Projektorët si ngjarje kuantike. Gjendjet kuantike të lidhura me masat në projektorë.
7. Matjet e lidhura me të vëzhgueshmet (operatorë vetë-bashkues) për shkak të teoremës spektrale.
8. Hapësira e funksioneve të valës $L^2(\mu)$ e lidhur me një kuantike të vëzhgueshme. Formula e lindur. Rasti i vëzhguesve kuantikë që janë kombinime lineare të operatorëve të pozicionit dhe momentit.
9. Ndryshoret kuantike të rastit. Rastësi. Teorema e Holevo-s mbi formën e përgjithshme të matjes.
10. Lidhja e pasigurisë Schrödinger-Robertson për matjet me momente të fundme të sekondës.
11. Produktet tensore të hapësirave Hilbert. Sistemet kuantike të përbëra. Shtete të lidhura dhe të ndashme.
12. Korrelacionet klasike dhe kuantike. Pabarazia Bell-Clauser-Horn-Shimoni. Kufiri Tsirelson.
13. Kanalet kuantike të transferimit të informacionit. Zbërthimi i Krausit. Kodimi dhe deshifrimi i informacionit klasik dhe kuantik
14. Hapësirat lineare të përbëra nga operatorë të kufizuar në një hapësirë ​​Hilbert. Teorema mbi formën e përgjithshme të një grafiku operator jokomutativ të lidhur me një kanal kuantik.
15. Kodet kuantike që korrigjojnë gabimet. Antiklikimet kuantike.

Libri i Neumann është përpjekja e parë dhe deri tani e vetmja për të përfunduar prezantimin e aparatit të mekanikës kuantike me qëndrueshmërinë dhe ashpërsinë që kërkohet zakonisht në ndërtimin e një teorie matematikore. Prandaj, është vetëm ekzistenca e këtij libri që ne i detyrohemi besimit tonë se mekanika kuantike është një skemë logjikisht e qëndrueshme. Në veçanti, është në këtë libër që paraqitet prova e teoremës së famshme mbi pamundësinë e futjes së "parametrave të fshehur" pa një ristrukturim rrënjësor të të gjithë mekanikës kuantike.
Kështu, libri do të jetë jashtëzakonisht i vlefshëm për të gjithë ata që studiojnë thellësisht mekanikën kuantike, kryesisht për studentët universitarë dhe të diplomuar, si fizikantë dhe matematikanët, si dhe për punonjësit shkencorë në të njëjtat disiplina.

Shfaqja e teorisë së transformimeve.
Ky nuk është vendi për të treguar përparimet e jashtëzakonshme të bëra nga teoria kuantike midis viteve 1900 dhe 1925. në një kurs zhvillimi të dominuar nga emrat Planck, Ajnshtajn dhe Bohr).

Në fund të këtij procesi zhvillimi, dukej e qartë dhe jashtë çdo dyshimi se të gjitha proceset elementare, d.m.th., gjithçka që ndodh në shkallën atomike-molekulare, udhëhiqen nga ligjet "të pandërprera" të kuanteve. Pothuajse për të gjitha problemet kishte edhe metoda sasiore-teorike kuantike, të cilat në pjesën më të madhe çuan në rezultate pak a shumë në përputhje të mirë me eksperimentin. Dhe ajo që kishte rëndësinë më të madhe themelore ishte se vetë mendimi i kërkimit teorik fizik pranoi idenë se parimi i vazhdimësisë (“natura non facit saltus”), i cili dominon të gjithë botën makrokozmike të arritshme për perceptim, lind vetëm si rezultat i procesi i mesatares në një botë thelbësisht të ndërprerë - për shkak të faktit se një person zakonisht percepton menjëherë vetëm shumën e shumë kadrilionave të proceseve elementare, kështu që natyra e vërtetë e një procesi të vetëm mbulohet plotësisht nga ligji gjithë-nivelues i madh. numrat.

TABELA E PËRMBAJTJES
Parathënie e redaktorit të përkthimit
Prezantimi
Kreu I. Vërejtje hyrëse
1. Shfaqja e teorisë së transformimeve
2. Formulimet fillestare të mekanikës kuantike
3. Ekuivalenca e dy teorive: Teoria e transformimeve
4. Ekuivalenca e dy teorive: Hapësira e Hilbertit
Kapitulli II. Karakteristikat e përgjithshme të një hapësire abstrakte Hilbert
1. Përkufizimi i hapësirës abstrakte Hilbert
2. Gjeometria e hapësirës së Hilbertit
3. Digresioni: Në kushtet A.-E
4. Manifoldet lineare të mbyllura
5. Operatorët në një hapësirë ​​Hilbert
6. Problemi i eigenvlerave
7. Vazhdim
8. Shqyrtimi paraprak i problemit të vlerës vetjake
9 Digresioni: Mbi ekzistencën dhe veçantinë e zgjidhjes së problemit të vlerës vetjake
10. Operatorët e udhëtimit
11. Spur
Kapitulli III. Statistikat mekanike kuantike
1. Deklarata statistikore të mekanikës kuantike
2. Interpretimi statistikor
3. Matshmëria e njëkohshme dhe matshmëria në përgjithësi
4. Marrëdhëniet e pasigurisë
5. Operatorët e projeksionit si pohime
6. Teoria e rrezatimit
Kapitulli IV. Ndërtimi deduktiv i teorisë
1. Arsyetimi themelor i teorisë statistikore
2. Vërtetimi i formulave statistikore
3. Përfundime nga eksperimentet
Kapitulli V. Konsiderata e Përgjithshme
1. Matja dhe kthyeshmëria
2. Pyetje termodinamike
3. Çështjet e kthyeshmërisë dhe ekuilibrit
4. Matja makroskopike
Kapitulli VI. Procesi i matjes
1. Deklarata e problemit
2. Sistemet e përbëra
8. Diskutim i procesit të matjes
Shtesa. Vërtetimi i Teoremës Ergodike dhe Teorema H në Mekanikën e Re (Zs. f. Phys. 57, 30-70 (1929))
Prezantimi
I. Formulimi kuanto-mekanik i koncepteve bazë të mekanikës statistikore të Gibbs-it
II. Mbajtja e provave
III. Diskutimi i rezultateve
Aplikacion.

Shkarkoni falas e-libër në një format të përshtatshëm, shikoni dhe lexoni:
Shkarkoni librin Bazat Matematike të Mekanikës Kuantike, Johann von Neumann, 1964 - fileskachat.com, shkarkim i shpejtë dhe pa pagesë.