1 i zgjidhje numrash komplekse. Numrat kompleks

Kujtoni informacionin e nevojshëm për numrat kompleks.

Numri kompleksështë shprehje e formës a + bi, Ku a, b janë numra realë, dhe i- të ashtuquajturat njësi imagjinare, simboli katrori i të cilit është -1, d.m.th. i 2 = -1. Numri a thirrur pjesë reale, dhe numrin b - pjesë imagjinare numër kompleks z = a + bi. Nëse b= 0, pastaj në vend të a + 0i shkruani thjesht a. Mund të shihet se numrat realë janë një rast i veçantë i numrave kompleks.

Veprimet aritmetike në numrat kompleks janë të njëjta si në ato reale: ato mund të shtohen, zbriten, shumëzohen dhe pjesëtohen me njëri-tjetrin. Mbledhja dhe zbritja vazhdon sipas rregullit ( a + bi) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, dhe shumëzimi - sipas rregullit ( a + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (ad + p.e.s)i(këtu përdoret vetëm kaq i 2 = -1). Numri = a – bi thirrur konjuguar kompleks te z = a + bi. Barazia z · = a 2 + b 2 ju lejon të kuptoni se si të ndani një numër kompleks me një numër tjetër kompleks (jo zero):

(Për shembull, .)

Numrat kompleks kanë një paraqitje gjeometrike të përshtatshme dhe vizuale: numrin z = a + bi mund të paraqitet si një vektor me koordinata ( a; b) në rrafshin kartezian (ose, që është pothuajse i njëjtë, një pikë - fundi i vektorit me këto koordinata). Në këtë rast, shuma e dy numrave kompleksë përshkruhet si shuma e vektorëve përkatës (të cilët mund të gjenden nga rregulli i paralelogramit). Sipas teoremës së Pitagorës, gjatësia e vektorit me koordinata ( a; b) është e barabartë me . Kjo vlerë quhet modul numër kompleks z = a + bi dhe shënohet me | z|. Këndi që bën ky vektor me drejtimin pozitiv të boshtit x (i numëruar në drejtim të kundërt të akrepave të orës) quhet argument numër kompleks z dhe shënohet me Arg z. Argumenti nuk është i përcaktuar në mënyrë unike, por vetëm deri në shtimin e një shumëfishi të 2 π radianët (ose 360°, nëse numëroni në gradë) - në fund të fundit, është e qartë se rrotullimi përmes një këndi të tillë rreth origjinës nuk do të ndryshojë vektorin. Por nëse vektori i gjatësisë r formon një kënd φ me drejtim pozitiv të boshtit x, atëherë koordinatat e tij janë të barabarta me ( r cos φ ; r mëkat φ ). Prandaj rezulton shënim trigonometrik numri kompleks: z = |z| (cos (Arg z) + i mëkat (Arg z)). Shpesh është i përshtatshëm për të shkruar numra kompleksë në këtë formë, sepse thjeshton shumë llogaritjet. Shumëzimi i numrave kompleksë në formë trigonometrike duket shumë i thjeshtë: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (cos (Arg z 1+arg z 2) + i mëkat (Arg z 1+arg z 2)) (kur shumëzohen dy numra kompleksë, moduli i tyre shumëzohet dhe argumentet shtohen). Nga këtu ndiqni Formulat e De Moivre: z n = |z|n(për shkak n(Arg z)) + i mëkat ( n(Arg z))). Me ndihmën e këtyre formulave, është e lehtë të mësosh se si të nxjerrësh rrënjët e çdo shkalle nga numrat kompleks. rrënja e n-të e zështë një numër kaq kompleks w, Çfarë w n = z. Është e qartë se , Dhe ku k mund të marrë çdo vlerë nga grupi (0, 1, ..., n- 1). Kjo do të thotë se gjithmonë ekziston saktësisht n rrënjët n shkalla e th nga një numër kompleks (në rrafsh ato janë të vendosura në kulmet e një të rregullti n-gon).