Vërtetoni se raporti i sipërfaqeve të trekëndëshave të ngjashëm është i barabartë. "raporti i sipërfaqeve të trekëndëshave të ngjashëm"

1.3. Raporti i sipërfaqeve të trekëndëshave të ngjashëm. Teorema. Raporti i sipërfaqeve të dy trekëndëshave të ngjashëm është i barabartë me katrorin e koeficientit të ngjashmërisë. Dëshmi. Le të jenë trekëndëshat ABC dhe A1B1C1 të ngjashëm dhe koeficienti i ngjashmërisë të jetë i barabartë me k. Le të tregojnë S dhe S1 sipërfaqet e këtyre trekëndëshave. Meqenëse A= A1, atëherë.

rrëshqitje 11 nga prezantimi ""Trekëndësha të ngjashëm" klasa 8". Madhësia e arkivit me prezantimin është 1756 KB.

Gjeometria e klasës 8

përmbledhje e prezantimeve të tjera

"Drejtkëndëshat" - Diagonale. Piktura. brinjët e drejtkëndëshit. Perimetri i drejtkëndëshit. Njerëzore. Zona e drejtkëndëshit. Drejtkëndësh në jetë. Përkufizimi. Ana e drejtkëndëshit. Diagonalet. Përralla e drejtkëndëshit. Drejtkëndësh. anët e kundërta.

"Produkti me pika në koordinata" - Vektor. Teorema e Napoleonit. Pasoja. Vetitë e produktit skalar të vektorëve. Shkëmbeni kartat. Le të zgjidhim detyrën. Gjeometria. Produkti skalar në koordinata dhe vetitë e tij. Testi i matematikës. Material i ri. Zgjidhje trekëndëshi. Stërvitje matematike. Emri i autorit të teoremës. Vërtetim i teoremës së Pitagorës.

"Gjetja e zonës së një paralelogrami" - Zona e një paralelogrami. ushtrime me gojë. Lartësia. Përcaktimi i lartësisë së një paralelogrami. Lartësitë paralelograme. Gjeni sipërfaqen e paralelogramit. Sipërfaqja e një trekëndëshi. Zona katrore. Vetitë e zonës. Gjeni sipërfaqen e trekëndëshit. Gjeni perimetrin e katrorit. Baza. Gjeni sipërfaqen e drejtkëndëshit. Gjeni sipërfaqen e sheshit. Shenjat e barazisë së trekëndëshave kënddrejtë.

"Vektorët e klasës 8" - Emërtoni vektorët e barabartë dhe të kundërt. Vektorët në mësimet e fizikës. Vlera absolute e vektorit. Vlera absolute e vektorit. Një drejtkëndësh me të gjitha anët të barabarta. Koncepti i një vektori. Përcaktoni koordinatat e vektorit. Gjeni dhe emërtoni vektorë të barabartë në këtë figurë. Vektorë të barabartë. Punë e pavarur në dyshe. Koordinatat vektoriale. Motoja e mësimit. Madhësitë fizike skalare si forca e fërkimit, shpejtësia.

"Llojet e ndryshme të simetrisë" - Kërkesa. Simetri rrëshqitëse. Trekëndëshi dykëndësh me simetri pasqyre. Teoria e grupit. Simetria në biologji. simetria rrotulluese. Simetria radiale me dy rreze. Çfarë është simetria. Supersimetria. Simetria në gjeometri. Simetria në fizikë. Maja e ziles. Shfaqja e simetrisë dypalëshe. simetri dypalëshe. Teorema e Noether-it. Mungesa e simetrisë. Simetria e fizikës. simetria qendrore.

“Sheshi në jetë” – Kudo na gjejnë katrorët. Indi. Sheshi magjik i Albrecht Dürer. Histori. Sheshe. Sheshi magjik Lo Shu. Sheshi i zi. Sheshi i Misterit. Fakte interesante për sheshin. Figura gjeometrike katrore. Sheshi Malevich. Sheshi magjik. Drejtkëndësh. Sheshi. Koncepti bazë. Fakte interesante. Kinë.

Mësimi 34 TEOREMA. Raporti i sipërfaqeve të dy trekëndëshave të ngjashëm është i barabartë me katrorin e koeficientit të ngjashmërisë. ku k është koeficienti i ngjashmërisë. Raporti i perimetrave të dy trekëndëshave të ngjashëm është i barabartë me koeficientin e ngjashmërisë. V. A. S. R. M. K. Zgjidhja e problemave: Nr 545, 549. Detyrë shtëpie: fq 56-58, nr 544, 548.

rrëshqitje 6 nga prezantimi "Gjeometria "Trekëndëshat e ngjashëm"". Madhësia e arkivit me prezantimin është 232 KB.

Gjeometria e klasës 8

përmbledhje e prezantimeve të tjera

"Përkufizimi i simetrisë boshtore" - Simetria në natyrë. E dhënë. Boshtet e simetrisë. Vizatoni një pikë. Ndërtimi i një pike. Ndërtimi i një trekëndëshi. Ndërtimi i një segmenti. Popujve. Simetria në poezi. Figurat që nuk kanë simetri boshtore. Figurat me dy boshte simetrie. Drejtkëndësh. Simetria. Drejt. Pikat e komplotit. Simetria boshtore. Segmenti i linjës. Boshti i simetrisë. Vizatoni dy vija. Pikat që shtrihen në të njëjtën pingul. proporcionaliteti.

"Gjetja e zonës së një paralelogrami" - Gjeni zonën e një paralelogrami. Sipërfaqja e një paralelogrami. Lartësia. Gjeni sipërfaqen e sheshit. Zona katrore. Lartësitë paralelograme. Gjeni sipërfaqen e trekëndëshit. Shenjat e barazisë së trekëndëshave kënddrejtë. Gjeni sipërfaqen e drejtkëndëshit. Përcaktimi i lartësisë së një paralelogrami. Baza. Sipërfaqja e një trekëndëshi. Gjeni perimetrin e katrorit. Vetitë e zonës. ushtrime me gojë.

"Detyrat për gjetjen e zonës" - Mësimi - një shpjegim i materialit të ri, i bërë në formën e një prezantimi "Power point". Qëllimi kryesor. "Sipërfaqja e një paralelogrami". "Sheshi i trapezit". KONTROLLI I MATERIALIT TË MËSUAR. Zgjidh nje problem. Fletorja e punës nr.42, përsëritni të gjitha formulat e studiuara. Nxjerr formulat për sipërfaqen e një drejtkëndëshi, paralelogrami, trapezi, trekëndëshi. Zgjeroni dhe thelloni idetë për matjen e zonave. Prezantoni nxënësve konceptin e zonës.

"Gjeometria "Trekëndëshat e ngjashëm"" - Dy trekëndësha quhen të ngjashëm. Proporcionaliteti i brinjëve të këndit. Vlerat e sinusit, kosinusit dhe tangjentes. Shenja e parë e ngjashmërisë së trekëndëshave. Segmentet proporcionale në një trekëndësh kënddrejtë. veti e përgjysmuesit të një trekëndëshi. Diktim matematik. Gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi kënddrejtë dykëndësh. shkurtime proporcionale. Vlerat e sinusit, kosinusit dhe tangjentes për këndet 30°, 45°, 60°.

"Drejtkëndëshat" - Njeriu. anët e kundërta. Ana e drejtkëndëshit. Përralla e drejtkëndëshit. brinjët e drejtkëndëshit. Drejtkëndësh në jetë. Perimetri i drejtkëndëshit. Drejtkëndësh. Diagonalet. Piktura. Diagonale. Përkufizimi. Zona e drejtkëndëshit.

""Katrori i drejtkëndëshit" Klasa 8" - Zona e katrorit me hije. Brinjët e secilit prej drejtkëndëshave. ABCD dhe DSMK janë katrorë. Një paralelogram është vizatuar në anën AB. Njësitë e zonës. Gjeni sipërfaqen e sheshit. Zona e drejtkëndëshit. ABCD është një paralelogram. Vetitë e zonës. Gjeni sipërfaqen e katërkëndëshit. Zonat e katrorëve të ndërtuar në anët e një drejtkëndëshi. Dyshemeja e dhomës është në formë drejtkëndëshe. Sipërfaqja e një katrori është e barabartë me katrorin e anës së tij.

Lloji i mësimit: mësimi i njohjes me materialin e ri.

Qëllimi i orës së mësimit: Të vërtetojë vetinë e sipërfaqeve të trekëndëshave të ngjashëm dhe të tregojë rëndësinë e saj praktike në zgjidhjen e problemeve.

Objektivat e mësimit:

mësimdhënie - të vërtetojë vetinë e sipërfaqeve të trekëndëshave të ngjashëm dhe të tregojë rëndësinë e saj praktike në zgjidhjen e problemeve;

zhvillim - të zhvillojë aftësinë për të analizuar dhe përzgjedhur argumente gjatë zgjidhjes së një problemi, metoda e zgjidhjes së të cilit është e panjohur;

arsimore - për të kultivuar interes për lëndën përmes përmbajtjes së procesit arsimor dhe krijimit të një situate suksesi, për të kultivuar aftësinë për të punuar në grup.

Studenti ka njohuritë e mëposhtme:

Njësia e përmbajtjes së aktivitetit që nxënësit duhet të mësojnë:

Gjatë orëve të mësimit.

1. Momenti organizativ.

2. Aktualizimi i njohurive.

3. Ballafaqimi me një situatë problemore.

4. Përmbledhja e mësimit dhe regjistrimi i detyrave të shtëpisë, reflektim.

Metodat e mësimdhënies: verbale, vizuale, problematike.

Format e trajnimit: punë frontale, punë në mini-grupe, punë individuale dhe e pavarur.

Teknologjitë: të orientuara nga detyra, teknologjitë e informacionit, qasja e bazuar në kompetenca.

Pajisjet:

një kompjuter, një projektor për demonstrimin e një prezantimi, një tabelë interaktive, një kamerë dokumentesh;

prezantim kompjuterik në Microsoft PowerPoint;

përmbledhje e referencës;

Gjatë orëve të mësimit

1. Momenti organizativ.

Sot në mësim nuk do të punojmë në fletore, por në shënime mbështetëse, të cilat do t'i plotësoni gjatë gjithë orës së mësimit. Nënshkruani atë. Vlerësimi për mësimin do të përbëhet nga dy komponentë: për shënimet e referencës dhe për punën aktive në mësim.

2. Aktualizimi i njohurive të nxënësve. Përgatitja për veprimtari aktive edukative dhe njohëse në fazën kryesore të mësimit.

Vazhdojmë të studiojmë temën "ngjashmëria e trekëndëshave". Pra, le të kujtojmë atë që mësuam në mësimin e fundit.

Stërvitje teorike. Test. Në shënimet tuaja të referencës, detyra e parë ka një karakter provë. Përgjigjuni pyetjeve duke zgjedhur një nga përgjigjet e sugjeruara, ku është e nevojshme, shkruani përgjigjen tuaj.

1. Mësues: Cili është raporti i dy segmenteve?

Përgjigje: Raporti i dy segmenteve të dy segmenteve është raporti i gjatësive të tyre.

1. Mësues: Në cilin rast janë segmentetAB Dhe CDproporcionale me segmentetA 1 B 1 dhe C 1 D 1

Përgjigje: prerje AB Dhe CDproporcionale me segmentetA 1 B 1 dhe C 1 D 1 nëse

opsionet tuaja. Mirë. Mos harroni të korrigjoni këdo që gabon.

1. Mësues: Cili është përkufizimi i trekëndëshave të ngjashëm? Referojuni përmbledhjes suaj të referencës. Ju keni tre përgjigje për këtë pyetje. Zgjidhni atë të duhurin. Rrethojeni atë.

Pra, ju lutem, cilin opsion keni zgjedhur _______

Përgjigje: Dy trekëndësha quhen të ngjashëm nëse këndet e tyre janë përkatësisht të barabartë dhe brinjët e njërit trekëndësh janë proporcionale me brinjët e trekëndëshit tjetër.

Te lumte! Korrigjoni këdo që gabon.

1. Mësues: Sa është raporti i sipërfaqeve të dy trekëndëshave që kanë kënd të njëjtë?

Përgjigje: Nëse këndi i një trekëndëshi është i barabartë me këndin e një trekëndëshi tjetër, atëherë sipërfaqet e këtyre trekëndëshave ndahen si prodhime të brinjëve që përmbajnë kënde të barabarta.

Zgjidhja e problemave sipas vizatimeve të gatshme.Më tej, ngrohja jonë do të bëhet gjatë zgjidhjes së problemeve sipas vizatimeve të gatshme. Ju gjithashtu i shihni këto detyra në shënimet tuaja të referencës.

Reflektimi. Le të sqarojmë se cilat njohuri dhe aftësi na lejuan t'i zgjidhnim këto probleme. Çfarë metodash zgjidhjeje përdorëm (fiksimi i përgjigjeve në tabelë).

Përgjigjet e mundshme:

Përkufizimi i trekëndëshave të ngjashëm;

Zbatimi i përkufizimit të trekëndëshave të ngjashëm në zgjidhjen e problemave;

Teorema mbi raportin e sipërfaqeve të trekëndëshave që kanë kënd të barabartë;

Dhe tani unë propozoj një metodë për zgjidhjen e disa problemeve që rezonojnë me temën e mësimit, por ato lidhen më shumë me gjeografinë.

situatë e suksesit.

Detyra e parë është para jush. Ne po punojmë vetë për këtë çështje. I pari që ka sukses do të tregojë zgjidhjen e tij në dërrasën e zezë dhe dikush do ta demonstrojë zgjidhjen e tij përmes një kamere dokumentesh, kështu që ne shkruajmë bukur dhe saktë.

Përgjigje: anët e Trekëndëshit të Bermudës janë 2000 km, 1840 km, 2220 km. Gjatësia e kufirit është 6060 km.

Reflektimi.

Përgjigje e mundshme: Trekëndëshat e ngjashëm kanë brinjë të ngjashme proporcionale.

situatë e suksesit.

Ne kuptuam dimensionet e Trekëndëshit të Bermudës. Epo, tani le të zbulojmë matjet e shtratit të luleve. Rrotullimi i shënimeve bazë. Detyra e dytë. Këtë problem e zgjidhim duke punuar në dyshe. Ne kontrollojmë në një mënyrë të ngjashme, por vetëm rezultati do të jetë çifti i parë që ka përfunduar detyrën.

Përgjigje: anët e një shtrati lulesh trekëndore janë 10m dhe 11m 20 cm.

Pra, le të kontrollojmë. A pajtohen të gjithë? Kush vendos në një mënyrë tjetër?

Reflektimi.

Çfarë veprimi keni përdorur për të zgjidhur këtë problem? Regjistroni në shënimin tuaj kryesor.

Përgjigje e mundshme:

trekëndëshat e ngjashëm kanë kënde përkatëse të barabarta;

Zonat e trekëndëshave me kënde të barabarta janë prodhimet e brinjëve që përmbajnë kënde të barabarta.

Situata e dështimit.

5. Mësimi i materialit të ri.

Gjatë zgjidhjes së detyrës së tretë, nxënësit përballen me një problem. Ata nuk arrijnë ta zgjidhin problemin, sepse sipas tyre gjendja e problemit nuk është mjaft e plotë ose marrin një përgjigje të paarsyeshme.

Studentët nuk e kanë hasur më parë këtë lloj problemi, kështu që ka pasur një dështim në zgjidhjen e problemit.

Reflektimi.

Çfarë metode u përpoqët të zgjidhnit?

Pse nuk e keni zgjidhur ekuacionin e fundit?

Nxënësit: Nuk mund ta gjejmë sipërfaqen e një trekëndëshi nëse dihet vetëm sipërfaqja e një trekëndëshi të ngjashëm dhe koeficienti i ngjashmërisë.

Kështu, qëllimi i mësimit tonë gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi nëse dihet vetëm sipërfaqja e një trekëndëshi të ngjashëm dhe koeficienti i ngjashmërisë.

Le të riformulojmë problemin në gjuhën gjeometrike. Le ta zgjidhim dhe pastaj t'i kthehemi këtij problemi.

konkluzioni: Raporti i sipërfaqeve të trekëndëshave të ngjashëm është i barabartë me katrorin e koeficientit të ngjashmërisë.

Epo, tani le të kthehemi te problemi numër 3 dhe ta zgjidhim atë, bazuar në një fakt të provuar.

7. Përmbledhje e mësimit

Çfarë mësuat të bëni sot?

Zgjidh probleme në të cilat dihet koeficienti i ngjashmërisë dhe sipërfaqja e një prej trekëndëshave të ngjashëm.

Çfarë vetie gjeometrike na ndihmoi në këtë?

Raporti i sipërfaqeve të trekëndëshave të ngjashëm është i barabartë me katrorin e koeficientit të ngjashmërisë.

Detyre shtepie.

F. 58 f.139 Nr 546, 548

Detyrë krijuese.

Gjeni sa është raporti i perimetrave të dy trekëndëshave të ngjashëm (№547)

Mirupafshim.

Segmente proporcionale

Për të prezantuar konceptin e ngjashmërisë, së pari duhet të kujtojmë konceptin e segmenteve proporcionale. Kujtoni gjithashtu përkufizimin e raportit të dy segmenteve.

Përkufizimi 1

Raporti i dy segmenteve është raporti i gjatësive të tyre.

Koncepti i proporcionalitetit të segmenteve ndodh edhe për një numër më të madh segmentesh. Le të, për shembull, $AB=2$, $CD=4$, $A_1B_1=1$, $C_1D_1=2$, $A_2B_2=4$, $C_2D_2=8$, pastaj

Domethënë, segmentet $AB$, $A_1B_1$, $\ A_2B_2$ janë proporcionale me segmentet $CD$, $C_1D_1$, $C_2D_2$.

Trekëndësha të ngjashëm

Për të filluar, le të kujtojmë se cili është koncepti i ngjashmërisë në përgjithësi.

Përkufizimi 3

Figurat thuhet se janë të ngjashme nëse kanë të njëjtën formë, por madhësi të ndryshme.

Le të merremi tani me konceptin e trekëndëshave të ngjashëm. Merrni parasysh figurën 1.

Figura 1. Dy trekëndësha

Le të kenë këta trekëndësha $\kënd A=\kënd A_1,\ \kënd B=\kënd B_1,\ \kënd C=\kënd C_1$. Ne prezantojmë përkufizimin e mëposhtëm:

Përkufizimi 4

Brinjët e dy trekëndëshave quhen të ngjashme nëse shtrihen përballë këndeve të barabarta të këtyre trekëndëshave.

Në figurën 1, anët $AB$ dhe $A_1B_1$, $BC$ dhe $B_1C_1$, $AC$ dhe $A_1C_1$ janë të ngjashme. Tani prezantojmë përkufizimin e trekëndëshave të ngjashëm.

Përkufizimi 5

Dy trekëndësha quhen të ngjashëm nëse këndet dhe të gjithë këndet e njërit trekëndësh janë përkatësisht të barabartë me këndet e tjetrit dhe të trekëndëshit, dhe të gjitha brinjët e ngjashme të këtyre trekëndëshave janë proporcionale, d.m.th.

\[\këndi A=\këndi A_1,\ \këndi B=\këndi B_1,\ \këndi C=\këndi C_1,\] \[\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C)_1)=\frac(AC)(A_1C_1)\]

Figura 1 tregon trekëndësha të ngjashëm.

Përcaktimi: $ABC\sim A_1B_1C_1$

Për konceptin e ngjashmërisë ekziston edhe koncepti i koeficientit të ngjashmërisë.

Përkufizimi 6

Numri $k$ i barabartë me raportin e anëve të ngjashme të figurave të ngjashme quhet koeficienti i ngjashmërisë së këtyre figurave.

Zonat e trekëndëshave të ngjashëm

Shqyrtoni tani teoremën mbi raportin e sipërfaqeve të trekëndëshave të ngjashëm.

Teorema 1

Raporti i sipërfaqeve të dy trekëndëshave të ngjashëm është i barabartë me katrorin e koeficientit të ngjashmërisë, d.m.th.

\[\frac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1))=k^2\]

Dëshmi.

Konsideroni dy trekëndësha të ngjashëm dhe shënoni zonat e tyre si $S$ dhe $S_1$, respektivisht (Fig. 2).

Figura 2.

Për të vërtetuar këtë teoremë, kujtoni teoremën e mëposhtme:

Teorema 2

Nëse këndi i një trekëndëshi është i barabartë me këndin e trekëndëshit të dytë, atëherë zonat e tyre lidhen si produkte të brinjëve ngjitur me këtë kënd.

Meqenëse trekëndëshat $ABC$ dhe $A_1B_1C_1$ janë të ngjashëm, sipas përkufizimit $\kënd A=\këndi A_1$. Pastaj, nga teorema 2, ne e marrim atë

Meqenëse $\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(AC)(A_1C_1)=k$, marrim

Teorema është vërtetuar.

Probleme që lidhen me konceptin e ngjashmërisë së trekëndëshit

Shembulli 1

Jepen trekëndësha të ngjashëm $ABC$ dhe $A_1B_1C_1.$ Brinjët e trekëndëshit të parë janë $AB=2,\ BC=5,\ AC=6$. Koeficienti i ngjashmërisë së këtyre trekëndëshave është $k=2$. Gjeni brinjët e trekëndëshit të dytë.

Zgjidhje.

Ky problem ka dy zgjidhje të mundshme.

Le të jetë $k=\frac(A_1B_1)(AB)=\frac((B_1C)_1)(BC)=\frac(A_1C_1)(AC)$.

Pastaj $A_1B_1=kAB,\ (B_1C)_1=kBC,\ A_1C_1=kAC$.

Prandaj, $A_1B_1=4,\ (B_1C)_1=10,\ A_1C_1=12$

Le të $k=\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C)_1)=\frac(AC)(A_1C_1)$

Pastaj $A_1B_1=\frac(AB)(k),\ (B_1C)_1=\frac(BC)(k),\ A_1C_1=\frac(AC)(k)$.

Prandaj $A_1B_1=1,\ (B_1C)_1=2,5,\ \ A_1C_1=3$.

Shembulli 2

Duke pasur parasysh trekëndëshat e ngjashëm $ABC$ dhe $A_1B_1C_1.$ Brinja e trekëndëshit të parë është $AB=2$, brinja përkatëse e trekëndëshit të dytë është $A_1B_1=6$. Lartësia e trekëndëshit të parë është $CH=4$. Gjeni sipërfaqen e trekëndëshit të dytë.

Zgjidhje.

Meqenëse trekëndëshat $ABC$ dhe $A_1B_1C_1$ janë të ngjashëm, $k=\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(1)(3)$.

Gjeni sipërfaqen e trekëndëshit të parë.

Nga teorema 1, kemi:

\[\frac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1))=k^2\] \[\frac(4)(S_(A_1B_1C_1))=\frac(1)(9)\] \

Përkufizimi dhe vetitë e trekëndëshave të ngjashëm

Numrat a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n quhen proporcionale me numrat b 1 , b 2 , b 3 , ..., b n , nëse barazia vlen: a 1 / b 1 = a 2 / b 2 = a 3 / b 3 = ... = a n / b n është një koeficient i caktuar i cili është një numër i caktuar,

Shembull. Numrat 6; 7.5 dhe 15 janë proporcionale me -4; 5 dhe 10. Faktori i proporcionalitetit është -1.5 sepse

6/-4 = -7,5/5 = 15/-10 = -1,5.

Proporcionaliteti i numrave ndodh nëse këta numra janë të lidhur me proporcion.

Dihet se një proporcion mund të përbëhet nga të paktën katër numra, kështu që koncepti i proporcionalitetit është i zbatueshëm për të paktën katër numra (një palë numrash është në përpjesëtim me një çift tjetër, ose një treshe numrash është proporcionale me një treshe tjetër, etj.).

Merrni parasysh oriz. 1 dy trekëndësha ABC dhe A 1 B 1 C 1 me kënde të barabarta në çifte: A \u003d A 1, B \u003d B 1, C \u003d C 1.

Brinjët që janë përballë çifteve të barabarta të këndeve të të dy trekëndëshave quhen i ngjashëm. Po, në oriz. 1 brinjët AB dhe A 1 B 1 , AC dhe A 1 C 1 , BC dhe B 1 C 1 , të ngjashme sepse shtrihen përballë këndeve të barabarta të trekëndëshave ABC dhe A 1 B 1 C 1 përkatësisht.

Le të përcaktojmë trekëndësha të ngjashëm:

Të dy trekëndëshat quhen i ngjashëm, nëse këndet e tyre janë të barabartë në çift, dhe brinjët e ngjashme janë proporcionale.

Raporti i brinjëve të ngjashme të trekëndëshave të ngjashëm quhet koeficienti i ngjashmërisë.

Trekëndëshat e ngjashëm shënohen si më poshtë: Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1 .

Kështu me radhë oriz. 2 kemi: Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1

këndet A \u003d A 1, B \u003d B 1, C \u003d C 1 dhe AB / A 1 B 1 \u003d BC / B 1 C 1 \u003d AC / A 1 C 1 \u003d k, ku k është koeficienti i ngjashmërisë. Nga oriz. 2 mund të shihet se trekëndëshat e ngjashëm kanë të njëjtat përmasa dhe ato ndryshojnë vetëm në shkallë.

Shënim 1: Trekëndëshat e barabartë janë të ngjashëm me një faktor 1.

Shënim 2: Kur caktoni trekëndësha të ngjashëm, kulmet e tyre duhet të renditen në atë mënyrë që këndet në to të jenë të barabartë në çifte. Për shembull, për trekëndëshat e paraqitur në figurën 2, është e gabuar të thuhet se Δ ABC ~ Δ B 1 C 1 A 1. Duke vëzhguar rendin e saktë të kulmeve, është e përshtatshme të shkruani proporcionin që lidh anët e ngjashme të trekëndëshave pa iu referuar vizatimit: numëruesi dhe emëruesi i raporteve përkatëse duhet të përmbajnë çifte kulmesh që zënë të njëjtat pozicione në përcaktimin e trekëndëshave të ngjashëm. Për shembull, nga shënimi "Δ ABC ~ Δ KNL" rrjedh se këndet A = K, B = N, C = L dhe AB / KN = BC / NL = AC / KL.

Shënim 3: Kërkesat e renditura në përkufizimin e trekëndëshave të ngjashëm janë të tepërta. Kriteret e ngjashmërisë së trekëndëshave, të cilat përmbajnë më pak kërkesa për trekëndësha të ngjashëm, do të vërtetohen pak më vonë.

Le të formulojmë vetitë e trekëndëshave të ngjashëm:

1. Raporti i elementeve linearë përkatës të trekëndëshave të ngjashëm është i barabartë me koeficientin e ngjashmërisë së tyre. Elementë të tillë të trekëndëshave të ngjashëm përfshijnë ato që maten në njësi gjatësie. Kjo është, për shembull, ana e një trekëndëshi, perimetri, mesatarja. Këndi ose zona nuk janë elementë të tillë.
2. Raporti i sipërfaqeve të trekëndëshave të ngjashëm është i barabartë me katrorin e koeficientit të ngjashmërisë së tyre.

Le të jenë të ngjashëm trekëndëshat ABC dhe A 1 B 1 C 1 me koeficientin k (Fig. 2).

Le të vërtetojmë se S ABC /S A1 B1 C1 = k 2 .

Meqenëse këndet e trekëndëshave të ngjashëm janë të barabartë në çift, d.m.th. A \u003d A 1, dhe sipas teoremës për raportin e sipërfaqeve të trekëndëshave me kënde të barabarta, kemi:

S ABC /S A1 B1 C1 \u003d (AB AC) / (A 1 B 1 A 1 C 1) \u003d AB / A 1 B 1 AC / A 1 C 1.

Për shkak të ngjashmërisë së trekëndëshave AB/A 1 B 1 = k dhe AC/A 1 C 1 = k,

pra S ABC /S A1 B1 C1 = AB/A 1 B 1 AC/A 1 C 1 = k k = k 2 .

Shënim: Vetitë e trekëndëshave të ngjashëm të formuluara më sipër janë gjithashtu të vlefshme për figurat arbitrare.

Shenjat e ngjashmërisë së trekëndëshave

Kërkesat që u vendosen trekëndëshave të ngjashëm sipas përkufizimit (kjo është barazia e këndeve dhe proporcionaliteti i brinjëve) janë të tepërta. Ju gjithashtu mund të vendosni ngjashmërinë e trekëndëshave me një numër më të vogël elementësh.

Pra, gjatë zgjidhjes së problemeve, më shpesh përdoret shenja e parë e ngjashmërisë së trekëndëshave, duke thënë se për ngjashmërinë e dy trekëndëshave, mjafton që këndet e tyre të jenë të barabarta:

Shenja e parë e ngjashmërisë së trekëndëshave (në dy kënde): Nëse dy kënde të një trekëndëshi janë përkatësisht të barabartë me dy kënde të trekëndëshit të dytë, atëherë këta trekëndësha janë të ngjashëm (Fig. 3).

Le të jepen trekëndëshat Δ ABC, Δ A 1 B 1 C 1, në të cilët këndet A = A 1 , B = B 1 . Është e nevojshme të vërtetohet se Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1 .

Dëshmi.

1) Sipas teoremës mbi shumën e këndeve të një trekëndëshi, kemi:

këndi C = 180° (këndi A + këndi B) = 180° (këndi A 1 + këndi B 1) = këndi C 1 .

2) Sipas teoremës mbi raportin e sipërfaqeve të trekëndëshave që kanë një kënd të barabartë,

S ABC / S A1 B1 C1 \u003d (AB AC) / (A 1 B 1 A 1 C 1) \u003d (AB BC) / (A 1 B 1 B 1 C 1) \u003d (AC BC) / (A 1 C 1 B 1 C 1).

3) Nga barazia (AB AC) / (A 1 B 1 A 1 C 1) = (AB BC) / (A 1 B 1 B 1 C 1) rrjedh se AC / A 1 C 1 = BC / B 1 C 1.

4) Nga barazia (AB BC) / (A 1 B 1 B 1 C 1) = (AC BC) / (A 1 C 1 B 1 C 1) rrjedh se AB / A 1 B 1 = AC / A 1 C 1.

Kështu, për trekëndëshat ABC dhe A 1 B 1 C 1 DA \u003d DA 1, DB \u003d DB 1, DC \u003d DC 1, dhe AB / A 1 B 1 \u003d AC / A 1 C 1.

5) AB / A 1 B 1 \u003d AC / A 1 C 1 \u003d BC / B 1 C 1, domethënë, anët e ngjashme janë proporcionale. Pra, Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1 sipas përkufizimit.

Teorema mbi segmentet proporcionale. Ndarja e një segmenti në një raport të caktuar

Teorema e intervalit proporcional është një përgjithësim i teoremës së Talesit.

Për të përdorur teoremën e Talesit, është e nevojshme që vijat paralele që kryqëzojnë dy drejtëza të dhëna të presin segmente të barabarta në njërën prej tyre. Teorema e përgjithësuar e Talesit thotë se nëse drejtëzat paralele kryqëzojnë dy drejtëza të dhëna, atëherë segmentet e prera prej tyre në një vijë janë proporcionale me segmentet e prera në vijën e dytë.

Teorema mbi segmentet proporcionale vërtetohet në mënyrë të ngjashme me teoremën e Talesit (vetëm në vend të barazisë së trekëndëshave, ngjashmëria e tyre përdoret këtu).

Teorema mbi segmentet proporcionale (teorema e përgjithësuar e Talesit): Vijat paralele që kryqëzojnë dy drejtëza të dhëna prenë segmente proporcionale mbi to.

Vetia mesatare e trekëndëshit

Shenja e parë e ngjashmërisë së trekëndëshave na lejon të vërtetojmë vetinë mesatare të një trekëndëshi:

Vetia mesatare e trekëndëshit: Medianat e një trekëndëshi kryqëzohen në një pikë dhe ndahen me këtë pikë në një raport 2: 1, duke numëruar nga lart (Fig. 4).

Pika e prerjes së medianave quhet qendër trekëndëshi.

Le të jepet Δ ABC, për të cilat AA 1 , BB 1 , CC 1 janë mediana, përveç kësaj, AA 1 ∩CC 1 = O. Është e nevojshme të vërtetohet se BB 1 ∩ CC 1 = O dhe AO/OA 1 = BO/OB 1 = CO/OC 1 = 2.

Dëshmi.

1) Vizatoni vijën e mesme A 1 C 1 . Nga teorema e vijës së mesit të trekëndëshit A 1 C 1 || AC, dhe A 1 C 1 = AC/2.

2) Trekëndëshat AOC dhe A 1 OC 1 janë të ngjashëm në dy kënde (këndi AOC = këndi A 1 OC 1 si vertikal, këndi OAC = këndi OA 1 C 1 si i kryqëzuar i brendshëm në A 1 C 1 || AC dhe sekant AA 1), prandaj, sipas përcaktimit të trekëndëshave të ngjashëm AO / A 31 OOS / A 3 1 OOS / 0 \u003d 2.

3) Le të BB 1 ∩CC 1 = O 1 . Në mënyrë të ngjashme me pikat 1 dhe 2, mund të vërtetohet se BO / O 1 B 1 \u003d CO 1 / O 1 C \u003d 2. Por meqenëse ekziston një pikë e vetme O në segmentin CC 1 që e ndan atë në lidhje me CO: OS 1 \u003d 2: 1, atëherë pikat Oci dhe Oci . Kjo do të thotë që të gjitha medianat e trekëndëshit kryqëzohen në një pikë, duke e ndarë secilën prej tyre në një raport 2: 1, duke numëruar nga lart.

Në rrjedhën e gjeometrisë në temën "zona e shumëkëndëshave", vërtetohet fakti se mediana ndan një trekëndësh arbitrar në dy pjesë të barabarta. Përveç kësaj, kur ndërpriten tre median e një trekëndëshi, formohen gjashtë trekëndësha me sipërfaqe të barabartë.

A keni ndonjë pyetje? Nuk dini si të zgjidhni problemet e trekëndëshit?
Për të marrë ndihmë nga një mësues -.
Mësimi i parë është falas!

blog.site, me kopjim të plotë ose të pjesshëm të materialit, kërkohet një lidhje me burimin.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Karakteristikat e elementit të karbonit dhe vetitë kimike