• Metoda e linearizimit harmonik në projektimin e sistemeve të kontrollit automatik jolinear.[Djv-10,7 M] Redaktuar nga Yu.I. Topçeeva. Ekipi i autorëve.
  (Moskë: Shtëpia Botuese Mashinostroenie, 1970. - Seria "Sistemet e kontrollit automatik jolinear")
  Skanimi: AAW, përpunimi, formati Djv: Ilya Sytnikov, 2014
• PËRMBLEDHJE:
  Parathënie (5).
  Kapitulli I. Bazat teorike të metodës së linearizimit harmonik (EP Popov) (13).
  Kapitulli II. Një formë e re e linearizimit harmonik për sistemet e kontrollit me karakteristika jolineare të histerezës (E.I. Khlypalo) (58).
  Kapitulli III. Metoda e linearizimit harmonik bazuar në vlerësimin e ndjeshmërisë së zgjidhjes periodike ndaj harmonikave më të larta dhe parametrave të vegjël (A.A. Vavilov) (88).
  Kapitulli IV. Përcaktimi i karakteristikave të amplitudës dhe frekuencës fazore të sistemeve jolineare (Yu.I. Topcheev) (117).
  Kapitulli V. Metodat e përafërta të frekuencës për analizimin e cilësisë së sistemeve të kontrollit jolinear (Yu.I. Topcheev) (171).
  Kapitulli VI. Rritja e saktësisë së metodës së linearizimit harmonik (VV Pavlov) (186).
  Kapitulli VII. Zbatimi i metodës së linearizimit harmonik në sistemet diskrete jolineare të kontrollit (S.M. Fedorov) (219).
  Kapitulli VIII. Aplikimi i metodës asimptotike të N.M. Krylov dhe N.N. Bogolyubov në analizën e sistemeve të kontrollit jolinear (A.D. Maksimov) (236).
  Kapitulli IX. Zbatimi i linearizimit harmonik në sistemet e kontrollit jo-linear vetë-rregullues (Yu.M. Kozlov, S.I. Markov) (276).
  Kapitulli X. Zbatimi i metodës së linearizimit harmonik në sistemet automatike jolineare me automata të fundme (M.V. Starikova) (306).
  Kapitulli XI. Një metodë e përafërt për studimin e proceseve osciluese dhe mënyrave të rrëshqitjes në sistemet automatike me një strukturë të ndryshueshme (M.V. Starikova) (390).
  Kapitulli XII. Studimi i përafërt i një sistemi kontrolli me stafetë pulsi (M.V. Starikova) (419).
  Kapitulli XIII. Përcaktimi i proceseve osciluese në sisteme komplekse jolineare me devijime fillestare të ndryshme (M.V. Starikova) (419).
  Kapitulli XIV. Zbatimi i metodës së linearizimit harmonik në sistemet me jolinearitete periodike (LI Semenko) (444).
  Kapitulli XV. Zbatimi i metodës së linearizimit harmonik në sistemet me dy jolinearitete (VM Khlyamov) (467).
  Kapitulli XVI. Karakteristikat amplitudë-fazore të mekanizmave rele me motorë DC dhe AC, të marra me metodën e linearizimit harmonik (VV Tsvetkov) (485).
  Aplikimet (518).
  Letërsi (550).
  Treguesi alfabetik (565).

Shënim i botuesit: Ky libër është pjesë e një serie monografish mbi sistemet e kontrollit automatik jolinear.
Ai në mënyrë sistematike, në detaje të mjaftueshme, përshkruan teorinë e sistemeve të kontrollit automatik jolinear, bazuar në metodën e linearizimit harmonik. Vëmendja kryesore i kushtohet bazave teorike të metodës së linearizimit harmonik dhe zbatimeve të saj praktike në sistemet e vazhdueshme, diskrete, vetërregulluese, si dhe sistemet me automata të fundme dhe një strukturë të sintonizueshme. Janë marrë parasysh metodat për rritjen e saktësisë së metodës së linearizimit harmonik duke marrë parasysh ndikimin e harmonikëve më të lartë. Metodat e propozuara janë ilustruar me shembuj të shumtë.
Libri është menduar për shkencëtarë, inxhinierë, mësues dhe studentë të diplomuar të institucioneve të arsimit të lartë që merren me çështje të kontrollit automatik.

Karakteristika e paraqitur në figurën 1.5 b është një stafetë me tre pozicione në të cilën një pozicion shtesë është për shkak të pandjeshmërisë. Ekuacioni i një karakteristike të tillë

Karakteristika e paraqitur në figurën 1.5c është një stafetë me dy pozicione me histerezë. Quhet edhe "stafetë me memorie". Ai "kujton" gjendjen e tij të mëparshme dhe brenda x in< a сохраняет это своё значение. Уравне-

një karakteristikë e tillë

Karakteristika e paraqitur në figurën 1.5d është një stafetë me tre pozicione me histerezë, në të cilën një pozicion shtesë është për shkak të zonës së vdekur. Ekuacioni i një karakteristike të tillë

Nga ekuacionet e mësipërme mund të shihet se në mungesë të një laku histerezë, veprimi i daljes së stafetës varet vetëm nga vlera x brenda ose x jashtë = f (x në ) .

Në prani të një qarku histeresis, vlera e x-out varet gjithashtu nga derivati ​​në lidhje me x-në ose x-jashtë \u003d f (x in, x & in ) , ku x & in karakterizon praninë e një "memorie" në stafetë.

1.4 Analiza e metodave për studimin e sistemeve jolineare

Për të zgjidhur problemet e analizës dhe sintezës së një sistemi jolinear, para së gjithash, është e nevojshme të ndërtohet modeli i tij matematik, i cili karakterizon lidhjen e sinjaleve dalëse të sistemit me sinjalet që pasqyrojnë efektet e aplikuara në sistem. Si rezultat, marrim një ekuacion diferencial jolinear të rendit të lartë, ndonjëherë me një numër marrëdhëniesh logjike. Teknologjia moderne informatike ju lejon të zgjidhni çdo ekuacion jolinear, dhe një numër tepër i madh i këtyre ekuacioneve diferenciale jolineare do të duhet të zgjidhen. Pastaj zgjidhni më të mirën. Por në të njëjtën kohë, nuk mund të jetë i sigurt se zgjidhja e zgjedhur është vërtet optimale dhe nuk dihet se si të përmirësohet zgjidhja e zgjedhur. Prandaj, një nga problemet e teorisë së kontrollit është si më poshtë.

Krijimi i metodave të tilla të projektimit të sistemit të kontrollit që lejojnë përcaktimin e strukturës më të mirë dhe raporteve optimale të parametrave të sistemit.

Për të përmbushur këtë detyrë, ju duhet metodat e llogaritjes që

lejojnë në një formë mjaft të thjeshtë të përcaktojnë marrëdhëniet matematikore të parametrave të një sistemi jolinear me treguesit dinamikë të procesit të kontrollit

leniya. Dhe në të njëjtën kohë pa gjetur një zgjidhje për një ekuacion diferencial jolinear. Për të zgjidhur problemin, karakteristikat jolineare të elementeve reale të sistemit zëvendësohen me disa karakteristika të përafërta të idealizuara. Llogaritja e sistemeve jolineare sipas karakteristikave të tilla jep rezultate të përafërta, por gjëja kryesore është se varësitë e marra na lejojnë të lidhim strukturën dhe parametrat e sistemit me vetitë e tij dinamike.

Në rastet më të thjeshta, dhe kryesisht për një sistem jolinear të rendit të dytë, përdoret Metoda e trajektores fazore, i cili ju lejon të tregoni vizualisht dinamikën e lëvizjes së një sistemi jolinear për lloje të ndryshme të një lidhjeje jolineare, duke marrë parasysh kushtet fillestare. Sidoqoftë, është e vështirë të merren parasysh ndikimet e ndryshme të jashtme duke përdorur këtë metodë.

Për një sistem të rendit të lartë, përdorni metoda e linearizimit harmonik. Me linearizimin konvencional, një karakteristikë jolineare trajtohet si lineare dhe humb disa nga vetitë e saj. Me linearizimin harmonik ruhen vetitë specifike të lidhjes jolineare. Por kjo metodë është e përafërt. Përdoret kur plotësohen një sërë kushtesh, të cilat do të shfaqen kur llogaritet një sistem jolinear duke përdorur këtë metodë. Një veti e rëndësishme e kësaj metode është se ajo lidh drejtpërdrejt parametrat e sistemit me treguesit dinamikë të procesit të rregullimit.

Për të përcaktuar gabimin statistikor të rregullimit nën ndikime të rastësishme, ne përdorim metoda e linearizimit statistikor. Thelbi i kësaj metode është se elementi jolinear zëvendësohet nga një element linear ekuivalent, i cili transformon dy momentet e para statistikore të funksionit të rastit në të njëjtën mënyrë si elementi jolinear: pritshmëria matematikore (vlera mesatare) dhe varianca (ose devijimi standard). Ekzistojnë metoda të tjera për analizimin e sistemeve jolineare. Për shembull, metoda e parametrave të vegjël në formën B.V Bulgakov. Metoda asimptotike e N.M. Krylov dhe N.N. Bogolyubov për të analizuar procesin në kohë pranë zgjidhjes periodike. Grafiko-analitike Metoda lejon reduktimin e një problemi jolinear në një problem linear. Metoda e bilancit harmonik e cila përdorte L.S. Goldfarb për analizën e qëndrueshmërisë së sistemeve jolineare me kriterin Nyquist. Metodat grafike, ndër të cilat D.A. Bashkirov. Nga shumëllojshmëria e metodave të kërkimit në këtë tutorial do të merren parasysh: metoda e trajektoreve fazore, metoda e shndërrimeve të pikave, metoda e linearizimit harmonik E.P. Popov, metoda grafike-analitike L.S. Goldfarb, kriteri absolut i stabilitetit të V.M. Popova, metoda e linearizimit statistikor.

Në mënyrë të rreptë, sistemet lineare nuk ekzistojnë në natyrë; të gjitha sistemet reale janë jolineare. Sensorë të ndryshëm, detektorë, diskriminues, përforcues, konvertues analog në dixhital dhe dixhital në analog, pajisje kontrolli dhe aktivizues kanë karakteristika jolineare.

Nuk ka teori të përgjithshme për analizën e sistemeve jolineare. Shkencëtarët kanë zhvilluar metoda të ndryshme për analizën e sistemeve jolineare, të cilat lejojnë zgjidhjen e problemeve të analizës në kushte dhe kufizime të caktuara.

Le të karakterizojmë metodat më të zakonshme për analizimin e sistemeve jolineare.

Metoda e planit fazor. Kjo metodë quhet edhe metoda e portreteve fazore ose hapësirave fazore. Kjo metodë lejon përdorimin vizual të konstruksioneve grafike për të analizuar sjelljen e sistemeve jolineare të përshkruara nga ekuacione diferenciale jolineare jo më të larta se rendi i dytë (i tretë).

Metoda e përafrimit linear pjesë-pjesë. Kjo metodë përdor një përafrim linear pjesë-pjesë të karakteristikës së një elementi jolinear, sistemi analizohet si linear për vlera të ndryshme sinjalesh dhe më pas rezultatet e analizës "qepen". Metoda karakterizohet nga kompleksiteti i lartë i analizës dhe saktësia e ulët e rezultateve, veçanërisht në pikat e "crosslinking".

Metoda e linearizimit harmonik. Kjo metodë përdoret në rastet kur pas elementit jolinear përfshihet një filtër linear me kalim të ulët dhe efekti i hyrjes është harmonik.

Metoda e linearizimit statistikor. Kjo metodë përdoret në rastet kur një proces i rastësishëm i palëvizshëm vepron si sinjal hyrës. Në këtë metodë, një element real jolinear zëvendësohet nga një element i tillë linear, në daljen e të cilit pritshmëria matematikore dhe varianca e procesit janë të njëjta si në daljen e një elementi real jolinear. Metodat për përcaktimin e parametrave të një elementi ekuivalent linear mund të jenë të ndryshme.

Metoda e proceseve Markov. Kjo metodë përdoret për sinjalet hyrëse të rastësishme jo-stacionare, por një zgjidhje analitike mund të gjendet vetëm për sistemet jo më të larta se rendi i dytë.

Metoda e simulimit kompjuterik. Kjo metodë pretendon të jetë universale, nuk ka kufizime themelore në natyrën e jolinearitetit dhe rendit të sistemit. Aktualisht, kjo është metoda më e zakonshme për analizimin e sistemeve jolineare, e vetmja pengesë e metodës është mungesa e ndonjë rezultati analitik të analizës (në formën e formulave).

Kapitulli7

Analiza e Sistemeve Jolineare

Sistemi i kontrollit përbëhet nga elemente funksionale individuale, për përshkrimin matematikor të të cilave përdoren lidhjet tipike elementare (shih seksionin 1.4). Ndër lidhjet tipike elementare, ekziston një lidhje pa inerci (përforcuese). Karakteristika statike e një lidhjeje të tillë, që lidh hyrjen x dhe ditë pushimi y madhësia, lineare: y=Kx. Elementet reale funksionale të sistemit të kontrollit kanë një karakteristikë statike jolineare y=f(x). Lloji i varësisë jolineare f(∙) mund të ndryshohet:

Funksionet me pjerrësi të ndryshueshme (funksionet me efektin e "ngopjes", funksionet trigonometrike, etj.);

Funksionet lineare pjesë-pjesë;

funksionet rele.

Më shpesh, duhet të merret parasysh jolineariteti i karakteristikës statike të elementit ndijor të sistemit të kontrollit, d.m.th. jolineariteti i karakteristikës së diskriminimit. Zakonisht, ata përpiqen të sigurojnë funksionimin e sistemit të kontrollit në seksionin linear të karakteristikës diskriminuese (nëse forma e funksionit e lejon atë) f(∙)) dhe përdorni modelin linear y=Kx. Ndonjëherë kjo nuk mund të sigurohet për shkak të vlerave të mëdha të komponentëve dinamikë dhe të luhatjeve të gabimit CS, ose për shkak të të ashtuquajturit jolinearitet të rëndësishëm të funksionit. f(∙) e natyrshme, për shembull, në funksionet rele. Pastaj është e nevojshme të kryhet një analizë e sistemit të kontrollit, duke marrë parasysh lidhjet që kanë një karakteristikë statike jolineare, d.m.th. për të analizuar sistemin jolinear.

7.1. Karakteristikat e sistemeve jolineare

Proceset në sistemet jolineare janë shumë më të ndryshme sesa proceset në sistemet lineare. Le të vëmë re disa veçori të sistemeve dhe proceseve jolineare në to.

1. Parimi i mbivendosjes nuk plotësohet: përgjigja e një sistemi jolinear nuk është e barabartë me shumën e përgjigjeve ndaj ndikimeve individuale. Për shembull, një llogaritje e pavarur e komponentëve dinamikë dhe të luhatjeve të gabimit të përcjelljes, e kryer për sistemet lineare (shih seksionin 3), është e pamundur për sistemet jolineare.

2. Vetia e komutativitetit nuk është e zbatueshme për bllok diagramin e një sistemi jolinear (lidhjet lineare dhe jolineare nuk mund të ndërrohen).

3. Në sistemet jolineare ndryshojnë kushtet e qëndrueshmërisë dhe vetë koncepti i qëndrueshmërisë. Sjellja e sistemeve jolineare, nga pikëpamja e qëndrueshmërisë së tyre, varet nga ndikimi dhe kushtet fillestare. Për më tepër, një lloj i ri i procesit të qëndrueshëm është i mundur në një sistem jolinear - vetë-lëkundje me amplitudë dhe frekuencë konstante. Vetë-lëkundje të tilla, në varësi të amplitudës dhe frekuencës së tyre, mund të mos prishin performancën e sistemit të kontrollit jolinear. Prandaj, sistemet jolineare nuk ndahen më në dy klasa (të qëndrueshme dhe të paqëndrueshme), si sisteme lineare, por ndahen në më shumë klasa.

Për sistemet jolineare, matematikani rus A.M. Lyapunov në 1892 prezantoi konceptet e stabilitetit "në të vogla" dhe "në të mëdha": sistemi është i qëndrueshëm "në të vogël" nëse, për një devijim (mjaftueshëm të vogël) nga pika e ekuilibrit të qëndrueshëm, ai mbetet në një të dhënë. rajon (i kufizuar) ε, dhe sistemi është i qëndrueshëm "i madh" nëse mbetet në rajonin ε për çdo devijim nga pika e ekuilibrit të qëndrueshëm. Vini re se rajoni ε mund të vendoset në mënyrë arbitrare të vogël pranë pikës së ekuilibrit të qëndrueshëm; prandaj, jepet në Sec. 2, përkufizimi i stabilitetit të sistemeve lineare mbetet i vlefshëm dhe është i barabartë me përkufizimin e stabilitetit asimptotik në kuptimin e Lyapunov. Në të njëjtën kohë, kriteret e stabilitetit për sistemet lineare të konsideruara më herët për sistemet reale jolineare duhet të merren si kritere stabiliteti "në të vogla".

4. Proceset kalimtare ndryshojnë cilësisht në sistemet jolineare. Për shembull, në rastin e funksionit f(∙) me një pjerrësi të ndryshueshme në një sistem jolinear të rendit të parë, procesi kalimtar përshkruhet nga një eksponencial me një parametër në ndryshim T.

5. Apertura e kufizuar e karakteristikës diskriminuese të sistemit jolinear është shkaku i ndërprerjes së gjurmimit (sistemi është i qëndrueshëm "në të vogla"). Në këtë rast, është e nevojshme të kërkoni për një sinjal dhe të futni sistemin në modalitetin e gjurmimit (koncepti i një matësi të gjurmimit të kërkimit është dhënë në seksionin 1.1). Në sistemet e sinkronizimit me një karakteristikë të diskriminimit periodik, kërcimet në vlerën e daljes janë të mundshme.

Prania e veçorive të konsideruara të sistemeve jolineare çon në nevojën e përdorimit të metodave speciale për analizën e sistemeve të tilla. Konsiderohet si më poshtë:

Një metodë e bazuar në zgjidhjen e një ekuacioni diferencial jolinear dhe që lejon, në veçanti, përcaktimin e gabimit në gjendjen e qëndrueshme, si dhe brezat e kapjes dhe mbajtjes së sistemit PLL jolinear;

Metodat e linearizimit harmonik dhe statistikor, të përshtatshme në analizën e sistemeve me një element thelbësisht jolinear;

Metodat e analizës dhe optimizimit të sistemeve jolineare bazuar në rezultatet e teorisë së proceseve Markov.

7.2. Analiza e proceseve të rregullta në një sistem PLL jolinear

Metoda e përgjithshme për studimin e qëndrueshmërisë së sistemeve jolineare është metoda e drejtpërdrejtë Lyapunov. Ai bazohet në teoremën e Lyapunovit mbi qëndrueshmërinë e sistemeve jolineare. Si aparat hulumtues përdoret i ashtuquajturi funksion Lyapunov, i cili është funksion i caktuar me shenjë i koordinatave të sistemit, i cili gjithashtu ka një derivat kohorë të caktuar. Zbatimi i kësaj metode është i kufizuar nga kompleksiteti i saj.

Një metodë më e thjeshtë për llogaritjen e qëndrueshmërisë së sistemeve jolineare është metoda e zhvilluar nga shkencëtari rumun V. M. Popov. Megjithatë, është i përshtatshëm për disa raste të veçanta.

Proceset në një sistem jolinear mund të hetohen në bazë të një përafrimi linear pjesë-pjesë. Në këtë rast, karakteristikat jolineare të lidhjeve individuale ndahen në një numër seksionesh lineare, brenda të cilave problemi rezulton të jetë linear dhe mund të zgjidhet mjaft thjesht. Në kufijtë e seksioneve, është e nevojshme të "qepni" pjesët individuale të procesit në një proces të vetëm. Metoda mund të përdoret nëse numri i seksioneve në të cilat ndahet karakteristika jolineare është i vogël. Ky është rasti, për shembull, për karakteristikat e stafetës (shih Fig. 5.1). Me një numër të madh seksionesh, metoda rezulton të jetë shumë e rëndë. Sidoqoftë, përdorimi i një kompjuteri bën të mundur tejkalimin e kësaj vështirësie dhe llogaritjen me sukses të proceseve në sistemet jolineare për çdo karakteristikë jolineare dhe, në përgjithësi, në prani të varësive jolineare të një forme arbitrare.

Metoda e hapësirës fazore, në parim, bën të mundur studimin e sistemeve me jolinearitete të një forme arbitrare, si dhe me disa jolinearitete. Në të njëjtën kohë, në hapësirën fazore ndërtohet i ashtuquajturi portreti fazor i proceseve që ndodhin në një sistem jolinear.Nga forma e portretit fazor mund të gjykohet stabiliteti, mundësia e vetëlëkundjeve dhe saktësia në të qëndrueshme. Megjithatë, dimensioni i hapësirës së fazës është i barabartë me rendin e ekuacionit diferencial të sistemit jolinear. Kjo e bën të vështirë përdorimin e metodës për studimin e sistemeve të përshkruara nga një ekuacion diferencial mbi rendin e dytë. Në rastin e një sekonde rendit ekuacionin diferencial, hapësira e fazës është një plan fazor, dhe kjo metodë mund të zbatohet me sukses.

Për të analizuar proceset e rastësishme në sistemet automatike jolineare, mund të përdoret aparati matematikor i teorisë së proceseve të rastësishme Markov. Megjithatë, kompleksiteti i metodës dhe mundësia

zgjidhja e ekuacionit Fokker-Planck, e cila kërkohet në analizë, vetëm për ekuacionet e rendit të parë dhe në disa raste të rendit të dytë, kufizon përdorimin e tij.

Të gjitha metodat e mësipërme janë të sakta. Kompleksiteti dhe aplikimi i kufizuar i tyre çuan në zhvillimin e metodave të përafërta, por më të thjeshta për studimin e sistemeve jolineare. Metodat e përafërta lejojnë, në shumë raste, thjesht marrjen e rezultateve transparente dhe lehtësisht të dukshme të analizës së sistemeve jolineare)

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Karakteristikat e elementit të karbonit dhe vetitë kimike