Vetitë e inekuacioneve numerike vlerësimi i vlerës së një shprehjeje. Detyrat për zgjidhje të pavarur

1) Koncepti themelor i pabarazisë

2) Vetitë themelore të mosbarazimeve numerike. Pabarazitë që përmbajnë një ndryshore.

3) Zgjidhja grafike e mosbarazimeve të shkallës së dytë

4) Sistemet e pabarazive. Pabarazitë dhe sistemet e inekuacioneve me dy ndryshore.

5) Zgjidhja e pabarazive racionale me metodën e intervalit

6) Zgjidhja e pabarazive që përmbajnë një ndryshore nën shenjën e modulit

1. Koncepti bazë i pabarazisë

Një pabarazi është një marrëdhënie midis numrave (ose çdo shprehje matematikore që mund të marrë një vlerë numerike) që tregon se cili është më i madh ose më i vogël se tjetri. Mbi këto shprehje mund të kryhen veprimet e mëposhtme sipas rregullave të caktuara: mbledhje, zbritje, shumëzim dhe pjesëtim (për më tepër, kur N. shumëzohet ose pjesëtohet me një numër negativ, kuptimi i tij ndryshon në të kundërtën). Një nga konceptet bazë programimi linear — pabarazitë lineare lloj

a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n * b,

ku a 1 ,..., a n, b janë konstante dhe shenja * është një nga shenjat e pabarazisë, për shembull. ≥,

algjebrike

transcendentale

Pabarazitë algjebrike ndahen në mosbarazime të shkallës së parë, të dytë etj.

Pabarazia është algjebrike, e shkallës së dytë.

Pabarazia është transcendentale.

2. Vetitë themelore të mosbarazimeve numerike. Pabarazitë që përmbajnë një ndryshore

1) Grafiku i një funksioni kuadratik y \u003d sëpatë 2 + bx + cështë një parabolë me degë të drejtuara lart nëse a > 0, dhe poshtë nëse a (nganjëherë thonë se parabola është konvekse poshtë nëse a > 0 dhe fryhen, nëse a). Në këtë rast, tre raste janë të mundshme:

2) Parabola pret boshtin 0x (d.m.th., ekuacionin sëpatë 2 + bx + c = 0 ka dy rrënjë të ndryshme). Kjo do të thotë, nëse a

y \u003d sëpatë 2 + bx + ca>0 D>0 y \u003d sëpatë 2 + bx + ca D>0,

Parabola ka një kulm në boshtin 0x (d.m.th., ekuacioni sëpatë 2 + x + c = 0 ka një rrënjë, të ashtuquajturën rrënjë të dyfishtë) Kjo do të thotë, nëse d \u003d 0, atëherë për a\u003e 0, zgjidhja e pabarazisë është e gjithë rreshti numerik, dhe për një x 2 + x + c

y \u003d sëpatë 2 + bx + ca> 0 D= 0 y \u003d sëpatë 2 + bx + ca D=0,

3) Nëse d0 dhe më poshtë për a

y \u003d sëpatë 2 + bx + ca> 0 D0 y \u003d sëpatë 2 + bx + ca D 0,

4) Zgjidhe inekuacionin grafikisht

1. Le të jetë f (x) \u003d 3x 2 -4x - 7 atëherë do të gjejmë x të tillë për të cilin f (x) ;

2. Gjeni zerot e funksionit.

f(x) në x .

Përgjigja është f(x) për x.

Le të jetë f (x) \u003d x 2 + 4 x + 5 pastaj gjej x të tillë për të cilin f (x)> 0,

D=-4 Nuk ka zero.

4. Sistemet e pabarazive. Pabarazitë dhe sistemet e inekuacioneve me dy ndryshore

1) Bashkësia e zgjidhjeve të një sistemi pabarazish është kryqëzimi i bashkësive të zgjidhjeve të pabarazive të përfshira në të.

2) Bashkësia e zgjidhjeve të pabarazisë f (x; y)> 0 mund të paraqitet grafikisht në planin koordinativ. Zakonisht, vija e dhënë nga ekuacioni f (x; y) \u003d 0 e ndan rrafshin në 2 pjesë, njëra prej të cilave është zgjidhja e pabarazisë. Për të përcaktuar se cila nga pjesët, është e nevojshme të zëvendësohen koordinatat e një pike arbitrare M (x0; y0) që nuk shtrihet në vijën f (x; y) \u003d 0 në pabarazi. Nëse f(x0;y0) > 0, atëherë zgjidhja e pabarazisë është pjesa e rrafshit që përmban pikën М0. nëse f(x0; y0)

3) Bashkësia e zgjidhjeve të një sistemi pabarazish është kryqëzimi i bashkësive të zgjidhjeve të pabarazive të përfshira në të. Le të jepet, për shembull, një sistem pabarazish:

Për pabarazinë e parë, bashkësia e zgjidhjeve është një rreth me rreze 2 dhe me qendër në origjinë, dhe për të dytën, një gjysmërrafsh i vendosur mbi drejtëzën 2x+3y=0. Bashkësia e zgjidhjeve të këtij sistemi është kryqëzimi i këtyre bashkësive, d.m.th. gjysmërreth.

4) Shembull. Zgjidheni sistemin e pabarazive:

Zgjidhja e pabarazisë së parë është bashkësia , bashkësia e dytë (2;7) dhe e treta - bashkësia .

Kryqëzimi i këtyre bashkësive është intervali (2;3], i cili është bashkësia e zgjidhjeve të sistemit të pabarazive.

5. Zgjidhja e inekuacioneve racionale me metodën e intervalit

Metoda e intervalit bazohet në vetinë e mëposhtme të binomit ( Ha): pika x=α ndan boshtin e numrave në dy pjesë - në të djathtë të pikës α binom (х‑α)>0, dhe në të majtë të pikës α (x-α) .

Le të kërkohet për të zgjidhur pabarazinë (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0, ku α 1 , α 2 ... α n-1 , α n janë numra fiks, ndër të cilët nuk ka të barabartë, dhe të tillë që α 1 (x-α 1)(x-α 2)...(x ‑ α n)>0 me metodën e intervaleve veprohet si më poshtë: numrat α 1 , α 2 ... α n-1 , α n vihen në boshtin real; në hendekun në të djathtë të më të madhit prej tyre, d.m.th. numrat a n, vendosni një shenjë plus, në intervalin pas saj nga e djathta në të majtë vendosni një shenjë minus, pastaj një shenjë plus, më pas një shenjë minus etj. Pastaj grupi i të gjitha zgjidhjeve të pabarazisë (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0 do të jetë bashkimi i të gjitha intervaleve në të cilat vendoset shenja plus dhe bashkësia e zgjidhjeve të pabarazisë (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n) do të jetë bashkimi i të gjitha intervaleve në të cilat vendoset shenja minus.

1) Zgjidhja e pabarazive racionale (d.m.th., pabarazitë e formës P (x) Q (x) ku janë polinomet) bazohet në vetinë e mëposhtme të një funksioni të vazhdueshëm: nëse një funksion i vazhdueshëm zhduket në pikat x1 dhe x2 (x1 ; x2) dhe midis këtyre pikave nuk ka rrënjë të tjera, atëherë në intervalet (x1; x2) funksioni ruan shenjën e tij.

Prandaj, për të gjetur intervalet e qëndrueshmërisë së funksionit y=f(x) në vijën numerike, shënoni të gjitha pikat në të cilat funksioni f(x) zhduket ose prishet. Këto pika e ndajnë vijën reale në disa intervale, brenda secilit prej të cilave funksioni f(x) është i vazhdueshëm dhe nuk zhduket, d.m.th. shenjë e shpëtimit. Për të përcaktuar këtë shenjë, mjafton të gjesh shenjën e funksionit në çdo pikë të intervalit të konsideruar të vijës reale.

2) Për të përcaktuar intervalet e shenjës konstante të një funksioni racional, d.m.th. Për të zgjidhur një pabarazi racionale, shënojmë në vijën numerike rrënjët e numëruesit dhe rrënjët e emëruesit, të cilat, si dhe janë rrënjët dhe pikat e ndërprerjes së funksionit racional.

Zgjidhja e inekuacioneve me metodën e intervalit

Zgjidhje. Gama e vlerave të pranueshme përcaktohet nga sistemi i pabarazive:

Për funksionin f(x)= - 20. Gjeni f(x):

ku x= 29 dhe x = 13.

f(30) = - 20 = 0,3 > 0,

f(5) = - 1 - 20 = - 10

Përgjigje:

Shembulli 1 A janë të sakta pabarazitë 5 0, 0 0?

Pabarazia 5 0 është një pohim kompleks i përbërë nga dy pohime të thjeshta të lidhura me një lidhje logjike "ose" (disjunksion). Ose 5 > 0 ose 5 = 0. Pohimi i parë 5 > 0 është i vërtetë, pohimi i dytë 5 = 0 është i gabuar. Nga përkufizimi i disjuksionit, një deklaratë e tillë e përbërë është e vërtetë.

Regjistrimi 00 diskutohet në mënyrë të ngjashme.

Pabarazitë e formës a > b, a< b do të quhen strikte, dhe pabarazitë e formës ab, ab- jo strikte.

pabarazitë a > b dhe c > d(ose a< b dhe Me< d ) do të quhen inekuacione me të njëjtin kuptim, dhe inekuacione a > b dhe c< d - pabarazitë e kuptimit të kundërt. Vini re se këto dy terma (pabarazi me kuptime të njëjta dhe të kundërta) i referohen vetëm formës së shkrimit të pabarazive, dhe jo vetë fakteve të shprehura nga këto pabarazi. Pra, në lidhje me pabarazinë a< b pabarazia Me< d është një pabarazi me të njëjtin kuptim, dhe në të shkruar d > c(që do të thotë e njëjta gjë) - një pabarazi e kuptimit të kundërt.

Së bashku me pabarazitë e formës a > b, ab përdoren të ashtuquajturat pabarazi të dyfishta, d.m.th., pabarazi të formës a< с < b , asi< b , a< cb ,
acb. Sipas përkufizimit, hyrja

a< с < b (1)
do të thotë që të dyja pabarazitë janë:

a< с dhe Me< b.

Pabarazitë kanë një kuptim të ngjashëm acb, ac< b, а < сb.

Pabarazia e dyfishtë (1) mund të shkruhet si më poshtë:

(a< c < b) [(a < c) & (c < b)]

dhe pabarazia e dyfishtë a ≤ c ≤ b mund të shkruhet në formën e mëposhtme:

(a c b) [(a< c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)]

Le të vazhdojmë tani në paraqitjen e vetive kryesore dhe rregullave të veprimeve mbi pabarazitë, duke rënë dakord që në këtë artikull shkronjat a, b, c përfaqësojnë numra realë, dhe n do të thotë një numër natyror.

1) Nëse a > b dhe b > c, atëherë a > c (kalim).

Dëshmi.

Meqenëse sipas kushtit a > b dhe b > c, pastaj numrat a - b dhe b - c janë pozitive dhe rrjedhimisht numri a - c \u003d (a - b) + (b - c), si shuma e numrave pozitivë, është gjithashtu pozitive. Kjo do të thotë, me përkufizim, se a > c.

2) Nëse a > b, atëherë për çdo c vlen pabarazia a + c > b + c.

Dëshmi.

Sepse a > b, pastaj numri a - b pozitivisht. Prandaj, numri (a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - bështë gjithashtu pozitive, d.m.th.
a + c > b + c.

3) Nëse a + b > c, atëherë a > b - c, d.m.th., çdo term mund të transferohet nga një pjesë e pabarazisë në tjetrën duke ndryshuar shenjën e këtij termi në të kundërtën.

Vërtetimi rrjedh nga vetia 2) është e mjaftueshme për të dyja pjesët e pabarazisë a + b > c shtoni një numër -b.

4) Nëse a > b dhe c > d, atëherë a + c > b + d, d.m.th., duke shtuar dy pabarazi me të njëjtin kuptim, jepet një pabarazi me të njëjtin kuptim.

Dëshmi.

Me përkufizimin e pabarazisë, mjafton të tregohet se diferenca
(a + c) - (b + c) pozitive. Ky ndryshim mund të shkruhet si më poshtë:
(a + c) - (b + d) = (a - b) + (c - d).
Që nga gjendja e numrit a - b dhe c - d janë pozitive, atëherë (a + c) - (b + d)është gjithashtu një numër pozitiv.

Pasoja. Rregullat 2) dhe 4) nënkuptojnë rregullin e mëposhtëm për zbritjen e pabarazive: nëse a > b, c > d, pastaj a - d > b - c(për vërtetim u mjafton të dy pjesëve të pabarazisë a + c > b + d shtoni një numër - c - d).

5) Nëse a > b, atëherë për c > 0 kemi ac > bc, dhe për c< 0 имеем ас < bc.

Me fjalë të tjera, kur të dy pjesët e pabarazisë shumëzohen, shenja e pabarazisë ruhet (d.m.th. fitohet një pabarazi me të njëjtin kuptim), dhe kur shumëzohet me një numër negativ, shenja e pabarazisë ndryshon në të kundërtën. (d.m.th., fitohet një pabarazi e kuptimit të kundërt.

Dëshmi.

Nese nje a > b, pastaj a - bështë një numër pozitiv. Prandaj, shenja e ndryshimit ac-bc = c(a - b) përputhet me shenjën e numrit Me: nëse Meështë një numër pozitiv, atëherë diferenca ac - p.e.s pozitive dhe prandaj ac > bc, po nese Me< 0 , atëherë ky ndryshim është negativ dhe prandaj bc - ac pozitive, d.m.th. bc > ac.

6) Nëse a > b > 0 dhe c > d > 0, atëherë ac > bd, d.m.th., nëse të gjithë termat e dy pabarazive të të njëjtit kuptim janë pozitivë, atëherë shumëzimi term pas termi i këtyre pabarazive rezulton në një pabarazi me të njëjtin kuptim.

Dëshmi.

Ne kemi ac - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b(c - d). Sepse c > 0, b > 0, a - b > 0, c - d > 0, pastaj ac - bd > 0, d.m.th. ac > bd.

Komentoni. Nga prova duket qartë se kushti d > 0 në formulimin e vetisë 6) është e parëndësishme: që kjo veti të jetë e vërtetë, mjafton që kushtet a > b > 0, c > d, c > 0. Nëse (nëse pabarazitë a > b, c > d) numrat a, b, c nuk janë të gjitha pozitive, atëherë pabarazia ac > bd mund të mos kryhet. Për shembull, kur a = 2, b =1, c= -2, d= -3 kemi a > b, c > d, por pabarazia ac > bd(d.m.th. -4 > -3) dështoi. Kështu, kërkesa që numrat a, b, c të jenë pozitivë në deklaratën e vetive 6) është thelbësore.

7) Nëse a ≥ b > 0 dhe c > d > 0, atëherë (pjestimi i pabarazive).

Dëshmi.

Ne kemi Numëruesi i thyesës në anën e djathtë është pozitiv (shih vetitë 5), 6)), edhe emëruesi është pozitiv. Rrjedhimisht,. Kjo dëshmon pronësinë 7).

Komentoni. Vëmë re një rast të veçantë të rëndësishëm të rregullit 7) të marrë kur a = b = 1: nëse c > d > 0, atëherë. Kështu, nëse termat e pabarazisë janë pozitive, atëherë kur kalojmë në reciproke, fitojmë një pabarazi me kuptim të kundërt. Ftojmë lexuesit të verifikojnë se ky rregull ruhet edhe në 7) Nëse ab > 0 dhe c > d > 0, atëherë (ndarja e pabarazive).

Dëshmi. pastaj.

Më sipër vërtetuam disa veti të pabarazive të shkruara me shenjën > (më shumë). Megjithatë, të gjitha këto veti mund të formulohen duke përdorur shenjën < (më pak), pasi pabarazia b< а do të thotë, sipas përkufizimit, njësoj si pabarazia a > b. Për më tepër, meqë është e lehtë për t'u kontrolluar, vetitë e provuara më sipër ruhen gjithashtu për pabarazi jo të rrepta. Për shembull, vetia 1) për pabarazitë jo strikte do të ketë formën e mëposhtme: nëse ab dhe bc, pastaj asi.

Natyrisht, vetitë e përgjithshme të pabarazive nuk kufizohen në atë që u tha më sipër. Ekzistojnë një sërë pabarazish të përgjithshme që lidhen me marrjen në konsideratë të funksioneve të fuqisë, eksponenciale, logaritmike dhe trigonometrike. Qasja e përgjithshme për shkrimin e këtyre llojeve të pabarazive është si më poshtë. Nëse ndonjë funksion y = f(x) rritet në mënyrë monotone në segment [a, b], atëherë për x 1 > x 2 (ku x 1 dhe x 2 i përkasin këtij segmenti) kemi f (x 1) > f(x 2). Në mënyrë të ngjashme, nëse funksioni y = f(x) zvogëlohet në mënyrë monotone në segment [a, b], pastaj në x 1 > x 2 (ku x 1 dhe X 2 i përkasin këtij segmenti) kemi f(x1)< f(x 2 ). Natyrisht, ajo që u tha nuk ndryshon nga përkufizimi i monotonitetit, por kjo teknikë është shumë e përshtatshme për memorizimin dhe shkrimin e pabarazive.

Kështu, për shembull, për çdo funksion natyror n y = x n po rritet në mënyrë monotone në rreze }

Artikulli i mëparshëm: Llojet e foljeve në Rusisht Artikulli vijues: Rregullat për përcaktimin e valencës dhe gjendjes së oksidimit