Si të gjeni shumëfishin më të madh të përbashkët. Nod dhe nok i numrave - pjesëtuesi më i madh i përbashkët dhe shumëfishi më i vogël i përbashkët i disa numrave

Konsideroni tre mënyra për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët.

Gjetja nga faktoringu

Mënyra e parë është gjetja e shumëfishit më të vogël të përbashkët duke faktorizuar numrat e dhënë në faktorë të thjeshtë.

Supozoni se duhet të gjejmë LCM-në e numrave: 99, 30 dhe 28. Për ta bërë këtë, ne zbërthejmë secilin prej këtyre numrave në faktorët kryesorë:

Që numri i dëshiruar të jetë i pjesëtueshëm me 99, 30 dhe 28, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që ai të përfshijë të gjithë faktorët kryesorë të këtyre pjesëtuesve. Për ta bërë këtë, ne duhet t'i marrim të gjithë faktorët kryesorë të këtyre numrave në fuqinë më të lartë që ndodhin dhe t'i shumëzojmë së bashku:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Pra, LCM (99, 30, 28) = 13,860. Asnjë numër tjetër më i vogël se 13,860 nuk është i plotpjesëtueshëm me 99, 30 ose 28.

Për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave të dhënë, duhet t'i faktorizoni ata në faktorë të thjeshtë, më pas të merrni secilin faktor kryesor me eksponentin më të madh me të cilin shfaqet dhe t'i shumëzoni këta faktorë së bashku.

Meqenëse numrat e përbashkët nuk kanë faktorë të thjeshtë të përbashkët, shumëfishi i tyre më i vogël i përbashkët është i barabartë me produktin e këtyre numrave. Për shembull, tre numra: 20, 49 dhe 33 janë të dyfishtë. Kjo është arsyeja pse

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340.

E njëjta gjë duhet bërë kur kërkoni shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave të ndryshëm të thjeshtë. Për shembull, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Gjetja me përzgjedhje

Mënyra e dytë është gjetja e shumëfishit më të vogël të përbashkët duke përshtatur.

Shembulli 1. Kur më i madhi nga numrat e dhënë është i pjesëtueshëm në mënyrë të barabartë me numrat e tjerë të dhënë, atëherë LCM e këtyre numrave është e barabartë me më të madhin prej tyre. Për shembull, jepen katër numra: 60, 30, 10 dhe 6. Secili prej tyre pjesëtohet me 60, pra:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

Në raste të tjera, për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët, përdoret procedura e mëposhtme:

1. Përcaktoni numrin më të madh nga numrat e dhënë.
2. Më pas, gjejmë numra që janë shumëfisha të numrit më të madh, duke e shumëzuar atë me numra natyrorë në rend rritës dhe duke kontrolluar nëse numrat e mbetur të dhënë janë të pjesëtueshëm me produktin që rezulton.

Shembulli 2. Jepen tre numra 24, 3 dhe 18. Përcaktoni më të madhin prej tyre - ky është numri 24. Më pas, gjeni shumëfishat e 24, duke kontrolluar nëse secili prej tyre është i pjesëtueshëm me 18 dhe me 3:

24 1 = 24 pjesëtohet me 3 por nuk pjesëtohet me 18.

24 2 = 48 - i pjesëtueshëm me 3, por jo i pjesëtueshëm me 18.

24 3 \u003d 72 - i ndashëm me 3 dhe 18.

Pra, LCM(24, 3, 18) = 72.

Gjetja nga Gjetja Sekuenciale LCM

Mënyra e tretë është gjetja e shumëfishit më të vogël të përbashkët duke gjetur në mënyrë të njëpasnjëshme LCM.

LCM e dy numrave të dhënë është e barabartë me produktin e këtyre numrave të pjesëtuar me pjesëtuesin e tyre më të madh të përbashkët.

Shembulli 1. Gjeni LCM-në e dy numrave të dhënë: 12 dhe 8. Përcaktoni pjesëtuesin e tyre më të madh të përbashkët: GCD (12, 8) = 4. Shumëzoni këta numra:

Ne e ndajmë produktin në GCD-në e tyre:

Pra LCM(12, 8) = 24.

Për të gjetur LCM-në e tre ose më shumë numrave, përdoret procedura e mëposhtme:

1. Së pari, gjendet LCM e çdo dy prej numrave të dhënë.
2. Pastaj, LCM e shumëfishit më të vogël të përbashkët të gjetur dhe numrit të tretë të dhënë.
3. Pastaj, LCM e shumëfishit më të vogël të përbashkët që rezulton dhe numri i katërt, e kështu me radhë.
4. Kështu kërkimi LCM vazhdon për aq kohë sa ka numra.

Shembulli 2. Le të gjejmë LCM-në e tre numrave të dhënë: 12, 8 dhe 9. Ne kemi gjetur tashmë LCM-në e numrave 12 dhe 8 në shembullin e mëparshëm (ky është numri 24). Mbetet për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët të 24 dhe numrin e tretë të dhënë - 9. Përcaktoni pjesëtuesin e tyre më të madh të përbashkët: gcd (24, 9) = 3. Shumëzoni LCM me numrin 9:

Ne e ndajmë produktin në GCD-në e tyre:

Pra, LCM(12, 8, 9) = 72.

Llogaritësi online ju lejon të gjeni shpejt pjesëtuesin më të madh të përbashkët dhe shumëfishin më të vogël të përbashkët të dy ose çdo numri tjetër numrash.

Llogaritësi për gjetjen e GCD dhe NOC

Gjeni GCD dhe NOC

GCD dhe NOC gjetën: 5806

Si të përdorni kalkulatorin

• Futni numrat në fushën e hyrjes
• Në rast të futjes së karaktereve të pasakta, fusha e hyrjes do të theksohet me të kuqe
• shtypni butonin "Gjeni GCD dhe NOC"

Si të futni numra

• Numrat futen të ndarë me hapësira, pika ose presje
• Gjatësia e numrave të futur nuk është e kufizuar, kështu që gjetja e gcd dhe lcm e numrave të gjatë nuk do të jetë e vështirë

Çfarë është NOD dhe NOK?

Pjesëtuesi më i madh i përbashkët i disa numrave është numri i plotë natyror më i madh me të cilin të gjithë numrat origjinal janë të pjesëtueshëm pa mbetje. Pjesëtuesi më i madh i përbashkët është shkurtuar si GCD.
Shumëfishi më pak i zakonshëm disa numra është numri më i vogël që pjesëtohet me secilin nga numrat origjinal pa mbetje. Shumëfishi më i vogël i zakonshëm shkurtohet si NOC.

Si të kontrolloni nëse një numër pjesëtohet me një numër tjetër pa mbetje?

Për të zbuluar nëse një numër është i pjesëtueshëm me një tjetër pa mbetje, mund të përdorni disa veti të pjesëtueshmërisë së numrave. Më pas, duke i bashkuar ato, mund të kontrollohet pjesëtueshmëria e disa prej tyre dhe kombinimet e tyre.

Disa shenja të pjesëtueshmërisë së numrave

1. Shenja e pjesëtueshmërisë së një numri me 2
Për të përcaktuar nëse një numër është i pjesëtueshëm me dy (qoftë çift), mjafton të shikoni shifrën e fundit të këtij numri: nëse është e barabartë me 0, 2, 4, 6 ose 8, atëherë numri është çift, që do të thotë se pjesëtohet me 2.
Shembull: përcaktoni nëse numri 34938 ndahet me 2.
Zgjidhja: shikoni shifrën e fundit: 8 do të thotë se numri është i pjesëtueshëm me dy.

2. Shenja e pjesëtueshmërisë së një numri me 3
Një numër pjesëtohet me 3 kur shuma e shifrave të tij pjesëtohet me 3. Kështu, për të përcaktuar nëse një numër është i pjesëtueshëm me 3, duhet të llogaritni shumën e shifrave dhe të kontrolloni nëse është i pjesëtueshëm me 3. Edhe nëse shuma e shifrave doli të jetë shumë e madhe, mund të përsërisni të njëjtin proces përsëri.
Shembull: përcaktoni nëse numri 34938 ndahet me 3.
Zgjidhja: numërojmë shumën e shifrave: 3+4+9+3+8 = 27. 27 pjesëtohet me 3, që do të thotë se numri pjesëtohet me tre.

3. Shenja e pjesëtueshmërisë së një numri me 5
Një numër pjesëtohet me 5 kur shifra e fundit e tij është zero ose pesë.
Shembull: përcaktoni nëse numri 34938 ndahet me 5.
Zgjidhja: shikoni shifrën e fundit: 8 do të thotë se numri NUK ndahet me pesë.

4. Shenja e pjesëtueshmërisë së një numri me 9
Kjo shenjë është shumë e ngjashme me shenjën e pjesëtueshmërisë me tre: një numër pjesëtohet me 9 kur shuma e shifrave të tij pjesëtohet me 9.
Shembull: përcaktoni nëse numri 34938 ndahet me 9.
Zgjidhja: llogarisim shumën e shifrave: 3+4+9+3+8 = 27. 27 pjesëtohet me 9, që do të thotë se numri pjesëtohet me nëntë.

Si të gjeni GCD dhe LCM të dy numrave

Si të gjeni GCD-në e dy numrave

Mënyra më e thjeshtë për të llogaritur pjesëtuesin më të madh të përbashkët të dy numrave është të gjesh të gjithë pjesëtuesit e mundshëm të këtyre numrave dhe të zgjedhësh më të madhin prej tyre.

Konsideroni këtë metodë duke përdorur shembullin e gjetjes së GCD(28, 36):

1. Faktorizojmë të dy numrat: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. Gjejmë faktorë të përbashkët, pra ata që kanë të dy numrat: 1, 2 dhe 2.
3. Ne llogarisim produktin e këtyre faktorëve: 1 2 2 \u003d 4 - ky është pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave 28 dhe 36.

Si të gjeni LCM-në e dy numrave

Ekzistojnë dy mënyra më të zakonshme për të gjetur shumëfishin më të vogël të dy numrave. Mënyra e parë është që ju mund të shkruani shumëfishat e parë të dy numrave, dhe më pas të zgjidhni midis tyre një numër të tillë që do të jetë i përbashkët për të dy numrat dhe në të njëjtën kohë më i vogli. Dhe e dyta është të gjesh GCD-në e këtyre numrave. Le ta konsiderojmë atë.

Për të llogaritur LCM-në, duhet të llogaritni produktin e numrave origjinalë dhe më pas ta ndani atë me GCD-në e gjetur më parë. Le të gjejmë LCM për të njëjtët numra 28 dhe 36:

1. Gjeni prodhimin e numrave 28 dhe 36: 28 36 = 1008
2. gcd(28, 36) tashmë dihet se është 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Gjetja e GCD dhe LCM për numra të shumëfishtë

Pjesëtuesi më i madh i përbashkët mund të gjendet për disa numra, dhe jo vetëm për dy. Për këtë, numrat që gjenden për pjesëtuesin më të madh të përbashkët zbërthehen në faktorë të thjeshtë, pastaj gjendet prodhimi i faktorëve të thjeshtë të përbashkët të këtyre numrave. Gjithashtu, për të gjetur GCD të disa numrave, mund të përdorni relacionin e mëposhtëm: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Një lidhje e ngjashme vlen edhe për shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Shembull: gjeni GCD dhe LCM për numrat 12, 32 dhe 36.

1. Së pari, le të faktorizojmë numrat: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. Le të gjejmë faktorët e përbashkët: 1, 2 dhe 2.
3. Produkti i tyre do të japë gcd: 1 2 2 = 4
4. Tani le të gjejmë LCM: për këtë së pari gjejmë LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. Për të gjetur LCM-në e të tre numrave, duhet të gjeni GCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , GCD = 1 2. 2 3 = 12 .
6. LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .

Për të kuptuar se si të llogaritni LCM, së pari duhet të përcaktoni kuptimin e termit "shumë".

Një shumëfish i A është një numër natyror që pjesëtohet me A pa mbetje. Kështu, 15, 20, 25, e kështu me radhë mund të konsiderohen shumëfish të 5-së.

Mund të ketë një numër të kufizuar pjesëtuesish të një numri të caktuar, por ka një numër të pafund shumëfishësh.

Një shumëfish i përbashkët i numrave natyrorë është një numër që pjesëtohet me ta pa mbetje.

Si të gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave

Shumëfishi më i vogël i përbashkët (LCM) i numrave (dy, tre ose më shumë) është numri natyror më i vogël që pjesëtohet në mënyrë të barabartë me të gjithë këta numra.

Për të gjetur NOC, mund të përdorni disa metoda.

Për numrat e vegjël, është e përshtatshme të shkruani në një rresht të gjithë shumëfishat e këtyre numrave derisa të gjendet një i përbashkët midis tyre. Shumëfishat shënohen në regjistrim me shkronjën e madhe K.

Për shembull, shumëfishat e 4 mund të shkruhen si kjo:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Pra, mund të shihni se shumëfishi më i vogël i përbashkët i numrave 4 dhe 6 është numri 24. Kjo hyrje kryhet si më poshtë:

LCM(4, 6) = 24

Nëse numrat janë të mëdhenj, gjeni shumëfishin e përbashkët të tre ose më shumë numrave, atëherë është më mirë të përdorni një mënyrë tjetër për të llogaritur LCM.

Për të përfunduar detyrën, është e nevojshme të zbërthehen numrat e propozuar në faktorët kryesorë.

Së pari ju duhet të shkruani zgjerimin e numrit më të madh në një rresht, dhe nën të - pjesën tjetër.

Në zgjerimin e çdo numri, mund të ketë një numër të ndryshëm faktorësh.

Për shembull, le të faktorizojmë numrat 50 dhe 20 në faktorët kryesorë.

Në zgjerimin e numrit më të vogël duhet nënvizuar faktorët që mungojnë në zgjerimin e numrit të parë më të madh dhe më pas i shtohen ato. Në shembullin e paraqitur, mungon një deuce.

Tani mund të llogarisim shumëfishin më të vogël të përbashkët të 20 dhe 50.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Kështu, prodhimi i faktorëve të thjeshtë të numrit më të madh dhe faktorëve të numrit të dytë, të cilët nuk përfshihen në zbërthimin e numrit më të madh, do të jetë shumëfishi më i vogël i përbashkët.

Për të gjetur LCM-në e tre ose më shumë numrave, të gjithë ata duhet të zbërthehen në faktorë të thjeshtë, si në rastin e mëparshëm.

Si shembull, mund të gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Kështu, vetëm dy deuces nga zbërthimi i gjashtëmbëdhjetë nuk u përfshinë në faktorizimin e një numri më të madh (një është në zbërthimin e njëzet e katër).

Kështu, ato duhet të shtohen në zbërthimin e një numri më të madh.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Ka raste të veçanta të përcaktimit të shumëfishit më të vogël të përbashkët. Pra, nëse një nga numrat mund të ndahet pa mbetje me një tjetër, atëherë më i madhi nga këta numra do të jetë shumëfishi më pak i zakonshëm.

Për shembull, NOC-të e dymbëdhjetë dhe njëzet e katër do të ishin njëzet e katër.

Nëse është e nevojshme të gjendet shumëfishi më i vogël i përbashkët i numrave të përbashkët që nuk kanë pjesëtues të njëjtë, atëherë LCM e tyre do të jetë e barabartë me produktin e tyre.

Për shembull, LCM(10, 11) = 110.

Por shumë numra natyrorë janë të pjesëtueshëm në mënyrë të barabartë me numra të tjerë natyrorë.

Për shembull:

Numri 12 pjesëtohet me 1, me 2, me 3, me 4, me 6, me 12;

Numri 36 pjesëtohet me 1, me 2, me 3, me 4, me 6, me 12, me 18, me 36.

Numrat me të cilët numri pjesëtohet (për 12 është 1, 2, 3, 4, 6 dhe 12) quhen pjesëtuesit e numrave. Pjesëtues i një numri natyror aështë numri natyror që pjesëton numrin e dhënë a pa lënë gjurmë. Një numër natyror që ka më shumë se dy faktorë quhet të përbëra .

Vini re se numrat 12 dhe 36 kanë pjesëtues të përbashkët. Këta janë numrat: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Pjesëtuesi më i madh i këtyre numrave është 12. Pjesëtuesi i përbashkët i këtyre dy numrave a Dhe bështë numri me të cilin të dy numrat e dhënë janë të pjesëtueshëm pa mbetje a Dhe b.

shumëfish i përbashkët disa numra quhet numri që pjesëtohet me secilin prej këtyre numrave. Për shembull, numrat 9, 18 dhe 45 kanë një shumëfish të përbashkët të 180. Por 90 dhe 360 ​​janë gjithashtu shumëfishat e tyre të përbashkët. Ndër të gjitha shumëfishat jcommon, gjithmonë ekziston më i vogli, në këtë rast është 90. Ky numër quhet më së pakushumëfish i përbashkët (LCM).

LCM është gjithmonë një numër natyror, i cili duhet të jetë më i madh se më i madhi i numrave për të cilët është përcaktuar.

Shumëfishi më i vogël i përbashkët (LCM). Vetitë.

Komutativiteti:

Asociacioni:

Në veçanti, nëse dhe janë numra të dyfishtë, atëherë:

Shumëfishi më i vogël i përbashkët i dy numrave të plotë m Dhe nështë pjesëtues i të gjithë shumëfishave të tjerë të përbashkët m Dhe n. Për më tepër, grupi i shumëfishave të përbashkët m, n përkon me grupin e shumëfishave për LCM( m, n).

Asimptotika për mund të shprehet në terma të disa funksioneve teorike të numrave.

Kështu që, Funksioni i Chebyshev. Dhe:

Kjo rrjedh nga përkufizimi dhe vetitë e funksionit Landau g(n).

Çfarë rrjedh nga ligji i shpërndarjes së numrave të thjeshtë.

Gjetja e shumëfishit më të vogël të përbashkët (LCM).

NOC( a, b) mund të llogaritet në disa mënyra:

1. Nëse dihet pjesëtuesi më i madh i përbashkët, mund të përdorni lidhjen e tij me LCM:

2. Le të dihet zbërthimi kanonik i të dy numrave në faktorë të thjeshtë:

Ku p 1 ,...,p k janë numra të thjeshtë të ndryshëm, dhe d 1,...,dk Dhe e 1 ,...,ek janë numra të plotë jo negativ (ato mund të jenë zero nëse numri i thjeshtë përkatës nuk është në zbërthim).

Pastaj LCM ( a,b) llogaritet me formulën:

Me fjalë të tjera, zgjerimi LCM përmban të gjithë faktorët kryesorë që përfshihen në të paktën një nga zgjerimet e numrave a, b, dhe merret më i madhi nga dy eksponentët e këtij faktori.

Shembull:

Llogaritja e shumëfishit më të vogël të përbashkët të disa numrave mund të reduktohet në disa llogaritje të njëpasnjëshme të LCM të dy numrave:

Rregulli. Për të gjetur LCM-në e një serie numrash, ju nevojiten:

- të zbërthejë numrat në faktorë të thjeshtë;

- transferoni zgjerimin më të madh në faktorët e produktit të dëshiruar (produkti i faktorëve të numrit më të madh të atyre të dhënë), dhe më pas shtoni faktorët nga zgjerimi i numrave të tjerë që nuk ndodhin në numrin e parë ose janë në të. një numër më të vogël herë;

- prodhimi rezultues i faktorëve të thjeshtë do të jetë LCM e numrave të dhënë.

Çdo dy ose më shumë numra natyrorë kanë LCM-në e tyre. Nëse numrat nuk janë shumëfish të njëri-tjetrit ose nuk kanë faktorë të njëjtë në zgjerim, atëherë LCM e tyre është e barabartë me prodhimin e këtyre numrave.

Faktorët kryesorë të numrit 28 (2, 2, 7) u plotësuan me një faktor 3 (numri 21), produkti që rezulton (84) do të jetë numri më i vogël që pjesëtohet me 21 dhe 28.

Faktorët kryesorë të numrit më të madh 30 u plotësuan me një faktor 5 të numrit 25, prodhimi që rezulton 150 është më i madh se numri më i madh 30 dhe është i pjesëtueshëm me të gjithë numrat e dhënë pa mbetje. Ky është prodhimi më i vogël i mundshëm (150, 250, 300...) që të gjithë numrat e dhënë janë shumëfish.

Numrat 2,3,11,37 janë të thjeshtë, kështu që LCM e tyre është e barabartë me prodhimin e numrave të dhënë.

rregull. Për të llogaritur LCM-në e numrave të thjeshtë, duhet të shumëzoni të gjithë këta numra së bashku.

Një tjetër opsion:

Për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët (LCM) të disa numrave ju nevojiten:

1) përfaqësoni çdo numër si produkt i faktorëve të tij të thjeshtë, për shembull:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) shkruani fuqitë e të gjithë faktorëve kryesorë:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) shkruani të gjithë pjesëtuesit (shumëzuesit) e thjeshtë të secilit prej këtyre numrave;

4) zgjidhni shkallën më të madhe të secilit prej tyre, që gjendet në të gjitha zgjerimet e këtyre numrave;

5) shumëzojini këto fuqi.

Shembull. Gjeni LCM-në e numrave: 168, 180 dhe 3024.

Zgjidhje. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Ne shkruajmë fuqitë më të mëdha të të gjithë pjesëtuesve kryesorë dhe i shumëzojmë ato:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Pjesëtuesi më i madh i përbashkët dhe shumëfishi më i vogël i përbashkët janë koncepte kyçe aritmetike që ju lejojnë të operoni lehtësisht me thyesat e zakonshme. LCM dhe më së shpeshti përdoren për të gjetur emëruesin e përbashkët të disa thyesave.

Konceptet bazë

Pjesëtuesi i një numri të plotë X është një tjetër numër i plotë Y me të cilin X është i pjesëtueshëm pa mbetje. Për shembull, pjesëtuesi i 4 është 2, dhe 36 është 4, 6, 9. Një shumëfish i numrit të plotë X është një numër Y që pjesëtohet me X pa mbetje. Për shembull, 3 është shumëfish i 15, dhe 6 është shumëfish i 12.

Për çdo çift numrash, ne mund të gjejmë pjesëtuesit dhe shumëfishat e tyre të përbashkët. Për shembull, për 6 dhe 9, shumëfishi i përbashkët është 18, dhe pjesëtuesi i përbashkët është 3. Natyrisht, çiftet mund të kenë disa pjesëtues dhe shumëfish, kështu që pjesëtuesi më i madh i GCD dhe shumëfishi më i vogël i LCM përdoren në llogaritje. .

Pjesëtuesi më i vogël nuk ka kuptim, pasi për çdo numër është gjithmonë një. Shumëfishi më i madh është gjithashtu i pakuptimtë, pasi sekuenca e shumëfishave priret në pafundësi.

Gjetja e GCD

Ka shumë metoda për të gjetur pjesëtuesin më të madh të përbashkët, më të famshmet prej të cilave janë:

• numërimi sekuencial i pjesëtuesve, përzgjedhja e të përbashkëtve për një çift dhe kërkimi për më të madhin prej tyre;
• zbërthimi i numrave në faktorë të pandashëm;
• algoritmi i Euklidit;
• algoritmi binar.

Sot, në institucionet arsimore, metodat më të njohura të zbërthimit në faktorët kryesorë dhe algoritmi Euklidian. Kjo e fundit, nga ana tjetër, përdoret në zgjidhjen e ekuacioneve Diophantine: kërkimi për GCD kërkohet për të kontrolluar ekuacionin për mundësinë e zgjidhjes së tij në numra të plotë.

Gjetja e NOC

Shumëfishi më i vogël i përbashkët përcaktohet gjithashtu saktësisht nga numërimi përsëritës ose faktorizimi në faktorë të pandashëm. Përveç kësaj, është e lehtë të gjesh LCM nëse pjesëtuesi më i madh është përcaktuar tashmë. Për numrat X dhe Y, LCM dhe GCD lidhen me lidhjen e mëposhtme:

LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).

Për shembull, nëse gcd(15,18) = 3, atëherë LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Përdorimi më i dukshëm i LCM është gjetja e emëruesit të përbashkët, i cili është shumëfishi më i vogël i përbashkët i thyesat e dhëna.

Numrat e dyfishtë

Nëse një çift numrash nuk ka pjesëtues të përbashkët, atëherë një çift i tillë quhet koprim. GCM për çifte të tilla është gjithmonë e barabartë me një, dhe në bazë të lidhjes së pjesëtuesve dhe shumëfishëve, GCM për koprimin është e barabartë me produktin e tyre. Për shembull, numrat 25 dhe 28 janë të dyfishtë, sepse nuk kanë pjesëtues të përbashkët, dhe LCM(25, 28) = 700, që korrespondon me produktin e tyre. Çdo dy numra të pandashëm do të jenë gjithmonë të dyfishtë.

Pjesëtues i përbashkët dhe kalkulator i shumëfishtë

Me kalkulatorin tonë mund të llogarisni GCD dhe LCM për çdo numër numrash nga të cilët mund të zgjidhni. Detyrat për llogaritjen e pjesëtuesve të përbashkët dhe të shumëfishave gjenden në aritmetikën e klasave 5 dhe 6, megjithatë, GCD dhe LCM janë konceptet kryesore të matematikës dhe përdoren në teorinë e numrave, planimetrinë dhe algjebrën komunikuese.

Shembuj të jetës reale

Emëruesi i përbashkët i thyesave

Shumëfishi më i vogël i përbashkët përdoret kur gjendet emëruesi i përbashkët i disa thyesave. Supozoni se në një problem aritmetik kërkohet të mblidhen 5 thyesa:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Për të shtuar thyesa, shprehja duhet të reduktohet në një emërues të përbashkët, i cili reduktohet në problemin e gjetjes së LCM. Për ta bërë këtë, zgjidhni 5 numra në kalkulator dhe vendosni vlerat e emëruesit në qelizat përkatëse. Programi do të llogarisë LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Tani ju duhet të llogaritni faktorë shtesë për çdo fraksion, të cilët përcaktohen si raport i LCM me emëruesin. Pra, shumëzuesit shtesë do të duken si:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Pas kësaj, ne shumëzojmë të gjitha fraksionet me faktorin shtesë përkatës dhe marrim:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Mund të shtojmë lehtësisht fraksione të tilla dhe të marrim rezultatin në formën e 159/360. Ne e zvogëlojmë thyesën me 3 dhe shohim përgjigjen përfundimtare - 53/120.

Zgjidhja e ekuacioneve lineare diofantine

Ekuacionet lineare diofantine janë shprehje të formës ax + nga = d. Nëse raporti d / gcd(a, b) është një numër i plotë, atëherë ekuacioni është i zgjidhshëm në numra të plotë. Le të kontrollojmë disa ekuacione për mundësinë e një zgjidhjeje të plotë. Së pari, kontrolloni ekuacionin 150x + 8y = 37. Duke përdorur një kalkulator, gjejmë gcd (150.8) = 2. Ndani 37/2 = 18.5. Numri nuk është një numër i plotë, prandaj, ekuacioni nuk ka rrënjë të plota.

Le të kontrollojmë ekuacionin 1320x + 1760y = 10120. Përdorni kalkulatorin për të gjetur gcd(1320, 1760) = 440. Pjestoni 10120/440 = 23. Si rezultat, marrim një numër të plotë, pra, ekuacionin izsolte të diofantinës .

konkluzioni

GCD dhe LCM luajnë një rol të rëndësishëm në teorinë e numrave dhe vetë konceptet përdoren gjerësisht në fusha të ndryshme të matematikës. Përdorni kalkulatorin tonë për të llogaritur pjesëtuesit më të mëdhenj dhe shumëfishat më të vegjël të çdo numri numrash.