Ekuacione me dy ndryshore, shkallë me një eksponent natyror. Zgjidhja e ekuacioneve lineare me një ndryshore

EKUACION LINEAR ME NJË NDRYSHORE

Ekuacioni linear me një ndryshore quhet barazi që përmban vetëm një ndryshore.

Le të japim shembuj të ekuacioneve lineare:

3 x \u003d 12 ose 10 y -20 \u003d 0 ose 8 a +3 \u003d 0

zgjidhin ekuacionin- kjo do të thotë të gjesh të gjitha rrënjët e ekuacionit ose të provosh se ato nuk ekzistojnë. Me fjalë të tjera, të zgjidhësh një ekuacion linear do të thotë të gjesh të gjitha vlerat e ndryshores, për secilën prej të cilave ekuacioni kthehet në një barazi të vërtetë numerike.rrënjë(ose zgjidhje) e një ekuacioni është një vlerë e tillë e një ndryshoreje në të cilën ekuacioni kthehet në një barazi të vërtetë numerike.

Pra, ekuacioni 3 x \u003d 12 ka një rrënjë x =4, pasi 3*4=12 është barazia e saktë, dhe duhet theksuar se nuk ka rrënjë të tjera.

Në përgjithësi ekuacioni linear me një ndryshore x quhet ekuacion i formës sëpatë + b = 0 .

b - anëtar i lirë.

Koeficientët janë disa numra, dhe zgjidhja e një ekuacioni nënkupton gjetjen e vlerës së x, në të cilën shprehja ax + b = 0 është e saktë.

Për shembull, ne kemi një ekuacion linear 3 x – 6 = 0. Të zgjidhësh do të thotë të gjesh çfarë duhet të jetë e barabartë me x në 3x – 6 ishte e barabartë me 0. Duke kryer transformime, marrim:

3x=6

x=2

Pra shprehja 3 x – 6 = 0 e vërtetë për x = 2 (Kontrollo 3 * 2 - 6 = 0)

2 është rrënja e këtij ekuacioni. Kur zgjidhni një ekuacion, gjeni rrënjët e tij.

Koeficientët a dhe b mund të jenë çdo numër, megjithatë, ka vlera të tilla kur rrënja e një ekuacioni linear me një ndryshore nuk është një.

Nëse a = 0 , atëherë ax + b = 0 bëhet b = 0 . Këtu x "të shkatërruar". E njëjta shprehje b = 0 mund të jetë e vërtetë vetëm nëse njohuria b është 0. Kjo do të thotë, ekuacioni 0* x + 3 = 0 është e gabuar, pasi 3 = 0 është një pohim i rremë. Megjithatë 0* x + 0 = 0 është një shprehje e saktë. Nga kjo arrihet në përfundimin se nëse a = 0 dhe b ≠ 0 një ekuacion linear me një ndryshore nuk ka fare rrënjë, por nëse a=0 dhe b=0 , atëherë ekuacioni ka një numër të pafund rrënjësh. Nese nje b = 0 dhe a ≠ 0 , atëherë ekuacioni do të marrë formën sëpatë = 0 . Është e qartë se nëse a ≠ 0 , por rezultati i shumëzimit është 0, pastaj x = 0 . Kjo do të thotë, rrënja e këtij ekuacioni është 0.

Konsideroni rastin më të zakonshëm ku a ≠ 0

1) sëpatë + b = 0, pra sëpatë = - b (Sapo e zhvendosëm termin b nga ana e majtë në anën e djathtë me shenjën e kundërt) Mbani mend këtë rregull

2) sëpatë \u003d - b, atëherë

x = -b / a . Mbani mend këtë rregull

x vlera në këtë rast do të varet nga vlerat e a dhe b. Megjithatë, do të jetë i vetmi. Kjo është, është e pamundur me një dhetë njëjtat koeficientë për të marrë dy ose më shumë vlera të ndryshme x . Për shembull,

–8,5 x – 17 = 0

x = 17 / -8,5

x = -2

Asnjë numër tjetër përveç -2 nuk mund të merret duke pjesëtuar 17 me -8.5

Ka ekuacione që në pamje të parë nuk duken si forma e përgjithshme e një ekuacioni linear me një ndryshore, por konvertohen lehtësisht në të. Për shembull,

–4,8 + 1,3x = 1,5x + 12

Nëse lëvizim gjithçka në anën e majtë, atëherë 0 do të mbetet në të djathtë:

–4,8 + 1,3x – 1,5x – 12 = 0

Për nxënësit e shkollës, algjebra në klasën e 7-të sjell shumë surpriza në formën e sistemeve të ekuacioneve, hartimit të një modeli matematikor, konceptit të identiteteve dhe temave të tjera të rëndësishme. Por ju duhet të kaloni vazhdimisht nga një fazë në tjetrën, pasi të keni zotëruar plotësisht materialin - ky është çelësi i suksesit.

Gjuha e shkencës

Kushti kryesor që një student të kuptojë një temë është që ai të ketë një ide të mirë dhe të qartë se çfarë në fjalë. Për këtë qëllim, ndonjëherë është një ide e mirë të zëvendësohen termat e gjatë dhe të ndërlikuar me fjalë më të thjeshta. Gjuha matematikoreështë gjuha zyrtare e njerëzve që studiojnë shkencat ekzakte. Është më koncize se mënyra e zakonshme e shprehjes së mendimeve, sepse është specifike, logjike dhe funksionon me koncepte të sakta. Fjalët në një gjuhë matematikore janë një përcaktim shkronjash i simboleve, frazat janë formula.

Për fëmijët e klasës së 7-të gjuha matematikore bëhet më e ndërlikuar me çdo temë, por në të njëjtën kohë bëhet më interesante dhe më e pasur. Koncepte të reja po shfaqen, si p.sh shkallë natyrore dhe shumë të tjera, fëmijët jo vetëm që do të mësojnë t'i kuptojnë saktë ato, por edhe t'i zbatojnë ato.

Disavantazhet e arsimit modern

Për të mos u ngatërruar në larminë e termave, studimit të algjebrës duhet t'i qasemi seriozisht dhe pa nxitim të panevojshëm, të cilat mësimet moderne në shkollë i mëkatojnë aq shumë. Numri i vogël i orëve mësimore që kurrikula shkollore cakton për një temë të caktuar herët a vonë jep rezultate të trishtueshme - shumë studentë nuk e kuptojnë materialin që kanë studiuar, ata mbeten prapa. Kjo është e rrezikshme, sepse në matematikë, zotërimi i pamjaftueshëm i një teme çon në faktin se fëmija nuk do të jetë në gjendje të zotërojë mirë të gjitha temat pasuese.

Ekuacionet lineare

Si pjesë e kurrikulës, fëmijët do të njohin dhe studiojnë ekuacionin me dy variabla. Është një "frazë" matematikore a * x + b * y \u003d c, zgjidhja e së cilës është çdo çift numrash x dhe y që korrespondon me këtë ekuacion, domethënë, ata e kthejnë ekuacionin me këto ndryshore në numeriken e saktë. barazisë. Nga vetitë kryesore, duhet të mbani mend sa vijon.

1. Secili prej termave në ekuacion mund të zhvendoset nga një pjesë në tjetrën, duke ndryshuar shenjën në të kundërtën. Barazia që rezulton do të jetë e barabartë me atë origjinale.
2. Të dyja anët e ekuacionit mund të ndahen me çdo numër përveç zeros.

Ekuacioni me dy ndryshore ka shumë zgjidhje të ndryshme. Është mirë kur mësuesi mund t'ia përcjellë lehtë këtë fëmijës. Në të vërtetë, në të ardhmen, të gjitha "frazat matematikore" themelore do të bëhen më të ndërlikuara, në klasat e larta do të shfaqet një diplomë me një tregues natyror, etj. Detyra e mësuesit është t'ia shpjegojë këtë nxënësit sa më qartë që të jetë e mundur. Në praktikë, shpesh ndodh që studenti të drejtohet në klasa shtesë për të mësuar materialin.

Alternativë e denjë

Prindërit e dinë se mësimi shtesë nuk është i lirë. Mësuesit e shkollave nuk janë gjithmonë në gjendje të ofrojnë aktivitete jashtëshkollore për të mbetur prapa. Si të jesh? Ekziston një rrugëdalje - trajnimi për burimet speciale të Internetit. Ka një sërë avantazhesh serioze, sepse një student mund të shikojë një mësim video për një temë problematike për të në çdo kohë të përshtatshme në shtëpi, në një mjedis komod dhe falas. Nëse fëmija nuk mund ta kuptonte materialin që në shikimin e parë, ai mund ta shikojë me lehtësi videon përsëri pa frikë nga kritikat dhe talljet, gjë që ndodh shpesh në klasë. Të gjitha mësimet në matematikë mund të gjenden në portalin tonë në domenin publik.

Miqësia me matematikën është çelësi i të menduarit të zhvilluar, i cili do të dallohet nga logjika e shkëlqyer dhe plotësia e mendimit.

Dhe kështu me radhë, është logjike të njihemi me ekuacione të llojeve të tjera. Në radhë janë të radhës ekuacionet lineare, studimi i qëllimshëm i të cilit fillon në mësimet e algjebrës në klasën e 7-të.

Shtë e qartë se së pari duhet të shpjegoni se çfarë është një ekuacion linear, të jepni një përkufizim të një ekuacioni linear, koeficientët e tij, të tregoni formën e tij të përgjithshme. Pastaj mund të kuptoni se sa zgjidhje ka një ekuacion linear në varësi të vlerave të koeficientëve dhe si gjenden rrënjët. Kjo do t'ju lejojë të kaloni në zgjidhjen e shembujve dhe në këtë mënyrë të konsolidoni teorinë e studiuar. Në këtë artikull do të bëjmë këtë: do të ndalemi në detaje në të gjitha pikat teorike dhe praktike në lidhje me ekuacionet lineare dhe zgjidhjen e tyre.

Le të themi menjëherë se këtu do të shqyrtojmë vetëm ekuacionet lineare me një ndryshore, dhe në një artikull të veçantë do të studiojmë parimet e zgjidhjes ekuacionet lineare në dy ndryshore.

Navigimi i faqes.

Çfarë është një ekuacion linear?

Përkufizimi i një ekuacioni linear jepet nga forma e shënimit të tij. Për më tepër, në tekste të ndryshme të matematikës dhe algjebrës, formulimet e përkufizimeve të ekuacioneve lineare kanë disa dallime që nuk ndikojnë në thelbin e çështjes.

Për shembull, në një tekst shkollor algjebër për klasën 7 nga Yu. N. Makarycheva dhe të tjerët, një ekuacion linear përcaktohet si më poshtë:

Përkufizimi.

Ekuacioni i llojit sëpatë=b, ku x është një ndryshore, a dhe b janë disa numra, quhet ekuacioni linear me një ndryshore.

Le të japim shembuj të ekuacioneve lineare që korrespondojnë me përkufizimin e shprehur. Për shembull, 5 x=10 është një ekuacion linear me një ndryshore x, këtu koeficienti a është 5, dhe numri b është 10. Një shembull tjetër: −2,3 y=0 është gjithashtu një ekuacion linear, por me ndryshoren y , ku a=−2,3 dhe b=0 . Dhe në ekuacionet lineare x=−2 dhe −x=3,33 a nuk janë të pranishme shprehimisht dhe janë të barabartë me 1 dhe −1, përkatësisht, ndërsa në ekuacionin e parë b=−2 dhe në të dytin - b=3,33 .

Një vit më parë, në tekstin shkollor të matematikës nga N. Ya. Vilenkin, ekuacionet lineare me një të panjohur, përveç ekuacioneve të formës a x = b, u konsideruan edhe ekuacione që mund të reduktohen në këtë formë duke transferuar terma nga një pjesë. të ekuacionit me një tjetër me shenjë të kundërt, si dhe duke reduktuar termat e ngjashëm. Sipas këtij përkufizimi, ekuacionet e formës 5 x=2 x+6 etj. janë gjithashtu lineare.

Nga ana tjetër, përkufizimi i mëposhtëm është dhënë në librin shkollor të algjebrës për 7 klasa nga A. G. Mordkovich:

Përkufizimi.

Ekuacioni linear me një ndryshore xështë një ekuacion i formës a x+b=0 , ku a dhe b janë disa numra, të quajtur koeficientët e ekuacionit linear.

Për shembull, ekuacionet lineare të këtij lloji janë 2 x−12=0, këtu koeficienti a është i barabartë me 2, dhe b është i barabartë me −12, dhe 0,2 y+4,6=0 me koeficientët a=0,2 dhe b =4,6. Por në të njëjtën kohë, ka shembuj të ekuacioneve lineare që kanë formën jo një x+b=0, por një x=b, për shembull, 3 x=12.

Le të mos kemi mospërputhje në të ardhmen, nën një ekuacion linear me një ndryshore x dhe koeficientët a dhe b do të kuptojmë një ekuacion të formës a x+b=0 . Ky lloj ekuacioni linear duket të jetë më i justifikuari, pasi ekuacionet lineare janë ekuacionet algjebrike shkalla e parë. Dhe të gjitha ekuacionet e tjera të treguara më sipër, si dhe ekuacionet që reduktohen në formën x+b=0 me ndihmën e shndërrimeve ekuivalente, do të quhen ekuacione që reduktohen në ekuacione lineare. Me këtë qasje, ekuacioni 2 x+6=0 është një ekuacion linear, dhe 2 x=−6 , 4+25 y=6+24 y , 4 (x+5)=12, etj. janë ekuacione lineare.

Si të zgjidhim ekuacionet lineare?

Tani është koha për të kuptuar se si zgjidhen ekuacionet lineare a x+b=0. Me fjalë të tjera, është koha për të zbuluar nëse ekuacioni linear ka rrënjë, dhe nëse po, sa dhe si t'i gjeni ato.

Prania e rrënjëve të një ekuacioni linear varet nga vlerat e koeficientëve a dhe b. Në këtë rast, ekuacioni linear a x+b=0 ka

• e vetmja rrënjë në a≠0,
• nuk ka rrënjë për a=0 dhe b≠0,
• ka pafundësisht shumë rrënjë për a=0 dhe b=0, me ç'rast çdo numër është rrënjë e një ekuacioni linear.

Le të shpjegojmë se si janë marrë këto rezultate.

Ne e dimë se për të zgjidhur ekuacionet, ne mund të kalojmë nga ekuacioni origjinal në ekuacionet ekuivalente, pra te ekuacionet me rrënjë të njëjta ose të njëjta me atë origjinale, pa rrënjë. Për ta bërë këtë, mund të përdorni transformimet ekuivalente të mëposhtme:

• transferimi i një termi nga një pjesë e ekuacionit në një tjetër me shenjën e kundërt,
• dhe gjithashtu duke shumëzuar ose pjesëtuar të dyja anët e ekuacionit me të njëjtin numër jozero.

Pra, në një ekuacion linear me një ndryshore të formës a x+b=0, mund ta zhvendosim termin b nga ana e majtë në anën e djathtë me shenjën e kundërt. Në këtë rast, ekuacioni do të marrë formën a x=−b.

Dhe pastaj ndarja e të dy pjesëve të ekuacionit me numrin a sugjeron vetveten. Por ka një gjë: numri a mund të jetë i barabartë me zero, në këtë rast një ndarje e tillë është e pamundur. Për t'u marrë me këtë problem, së pari do të supozojmë se numri a është i ndryshëm nga zero dhe do të shqyrtojmë rastin e zeros a veçmas pak më vonë.

Pra, kur a nuk është e barabartë me zero, atëherë ne mund t'i ndajmë të dy pjesët e ekuacionit a x=−b me a, pas kësaj ai shndërrohet në formën x=(−b):a, ky rezultat mund të shkruhet duke përdorur një vijë e fortë si .

Kështu, për a≠0, ekuacioni linear a·x+b=0 është ekuivalent me ekuacionin , nga i cili duket rrënja e tij.

Është e lehtë të tregohet se kjo rrënjë është unike, domethënë ekuacioni linear nuk ka rrënjë të tjera. Kjo ju lejon të bëni metodën e kundërt.

Le ta shënojmë rrënjën si x 1 . Supozoni se ekziston një rrënjë tjetër e ekuacionit linear, të cilën e shënojmë x 2, dhe x 2 ≠ x 1, e cila, për shkak të përkufizimet e numrave të barabartë përmes diferencësështë ekuivalente me kushtin x 1 − x 2 ≠0 . Meqenëse x 1 dhe x 2 janë rrënjët e ekuacionit linear a x + b \u003d 0, atëherë kemi barazime numerike a x 1 +b=0 dhe a x 2 +b=0 . Ne mund të zbresim pjesët përkatëse të këtyre barazive, gjë që na lejohet ta bëjmë vetitë e barazive numerike, kemi një x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 , prej nga a (x 1 −x 2)+(b−b)=0 dhe pastaj a (x 1 −x 2 )=0 . Dhe kjo barazi është e pamundur, pasi edhe a≠0 edhe x 1 − x 2 ≠0. Pra, kemi ardhur në një kontradiktë, e cila vërteton veçantinë e rrënjës së ekuacionit linear a·x+b=0 për a≠0 .

Pra, ekuacionin linear a x+b=0 e kemi zgjidhur me a≠0 . Rezultati i parë i dhënë në fillim të këtij nënseksioni është i justifikuar. Janë edhe dy të tjera që plotësojnë kushtin a=0 .

Për a=0 ekuacioni linear a·x+b=0 bëhet 0·x+b=0 . Nga ky ekuacion dhe vetia e shumëzimit të numrave me zero, rezulton se pavarësisht se cilin numër e marrim x, kur e zëvendësojmë në ekuacionin 0 x+b=0, fitojmë barazinë numerike b=0. Kjo barazi është e vërtetë kur b=0 , dhe në raste të tjera kur b≠0 kjo barazi është e gabuar.

Prandaj, për a=0 dhe b=0, çdo numër është rrënja e ekuacionit linear a x+b=0, pasi në këto kushte, zëvendësimi i çdo numri në vend të x jep barazinë numerike të saktë 0=0. Dhe për a=0 dhe b≠0, ekuacioni linear a x+b=0 nuk ka rrënjë, pasi në këto kushte, zëvendësimi i ndonjë numri në vend të x çon në një barazi numerik të pasaktë b=0.

Arsyetimet e mësipërme bëjnë të mundur formimin e një sekuence veprimesh që lejon zgjidhjen e çdo ekuacioni linear. Kështu që, algoritmi për zgjidhjen e një ekuacioni linearështë:

• Së pari, duke shkruar një ekuacion linear, gjejmë vlerat e koeficientëve a dhe b.
• Nëse a=0 dhe b=0 , atëherë ky ekuacion ka pafundësisht shumë rrënjë, domethënë, çdo numër është një rrënjë e këtij ekuacioni linear.
• Nëse a është e ndryshme nga zero, atëherë
• koeficienti b bartet në anën e djathtë me shenjën e kundërt, ndërsa ekuacioni linear shndërrohet në formën a x=−b,
• pas së cilës të dyja pjesët e ekuacionit që rezulton ndahen me një numër jo zero a, i cili jep rrënjën e dëshiruar të ekuacionit linear origjinal.

Algoritmi i shkruar është një përgjigje shteruese për pyetjen se si të zgjidhen ekuacionet lineare.

Në përfundim të këtij paragrafi, vlen të thuhet se një algoritëm i ngjashëm përdoret për zgjidhjen e ekuacioneve të formës a x=b. Dallimi i tij qëndron në faktin se kur a≠0, të dyja pjesët e ekuacionit ndahen menjëherë me këtë numër, këtu b është tashmë në pjesën e dëshiruar të ekuacionit dhe nuk ka nevojë të transferohet.

Për të zgjidhur ekuacionet e formës x=b, përdoret algoritmi i mëposhtëm:

• Nëse a=0 dhe b=0 , atëherë ekuacioni ka pafundësisht shumë rrënjë, të cilat janë çdo numër.
• Nëse a=0 dhe b≠0 , atëherë ekuacioni origjinal nuk ka rrënjë.
• Nëse a është jo zero, atëherë të dy anët e ekuacionit ndahen me një numër jo zero a, nga i cili gjendet rrënja e vetme e ekuacionit e barabartë me b / a.

Shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve lineare

Le të kalojmë në praktikë. Le të analizojmë se si zbatohet algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve lineare. Le të paraqesim zgjidhje të shembujve tipikë që korrespondojnë me vlera të ndryshme të koeficientëve të ekuacioneve lineare.

Shembull.

Zgjidhet ekuacioni linear 0 x−0=0 .

Zgjidhje.

Në këtë ekuacion linear, a=0 dhe b=−0 , që është e njëjtë me b=0 . Prandaj, ky ekuacion ka pafundësisht shumë rrënjë, çdo numër është rrënja e këtij ekuacioni.

Përgjigje:

x është çdo numër.

Shembull.

A ka zgjidhje ekuacioni linear 0 x+2.7=0?

Zgjidhje.

Në këtë rast, koeficienti a është i barabartë me zero, dhe koeficienti b i këtij ekuacioni linear është i barabartë me 2.7, domethënë është i ndryshëm nga zero. Prandaj, ekuacioni linear nuk ka rrënjë.

Temat e pavarura: "Shprehjet numerike dhe algjebrike", "Gjuha matematikore dhe modeli matematikor", "Ekuacioni linear me një ndryshore", "Vija dhe plani koordinativ", "Ekuacionet lineare me dy ndryshore", "Funksioni linear dhe grafiku i tij", " Sistemet e dy ekuacioneve lineare me dy ndryshore", "Fuqia me një eksponent natyror dhe vetitë e tij", "Forma standarde e një monomi", "Mbledhja dhe zbritja e një monomi", "Shumëzimi i monomëve", "Ngritja e një monomi në një fuqia natyrore", "Pjestimi i një monomi me monom", "Faktorizimi i polinomit"

Puna e pavarur nr 1 (tremujori I), "Shprehjet numerike dhe algjebrike"

$8\frac(5)(9)*4.8 -\frac(2)(9)* 2.1$.

$3x - 6y + 5$ nëse jepen $x= 0,5$ dhe $y=\frac(2)(3)$.

3.Gjeni vlerën e $x$, në të cilën shprehja $5x-3$ do të jetë e barabartë me shprehjen $x - 4$.

Opsioni II.

1. Llogaritni vlerën e shprehjes në mënyrën më racionale.
$3\frac(3)(4) * 5.6 -\frac(1)(4)* 1.9$.

2. Gjeni vlerën e kësaj shprehjeje.
$x - 8y - 9$ nëse jepen $x= 0,9$ dhe $y=\frac(5)(6)$.

3.Gjeni vlerën e $x$, në të cilën shprehja $6x - 7$ do të jetë e barabartë me shprehjen $x - 5$.

Opsioni III.

1. Llogaritni vlerën e shprehjes në mënyrën më racionale.
$1\frac(7)(9)* 7,6 -\frac(1)(9)* 4,9$.

2. Gjeni vlerën e kësaj shprehjeje.
$x - 8y - 11$ nëse $x= 2,4$ dhe $y=\frac(6)(8).$

3. Gjeni vlerën e $y$ të tillë që shprehja $3y - 2$ të jetë e barabartë me shprehjen $y + 8$.

Puna e pavarur nr. 2 (tremujori i parë)
"Gjuha matematike", "Modeli matematik"

1. Përktheni fjalinë në gjuhën matematikore: ndryshimi i kubeve të numrave $a$ dhe $b$.

Një numër i shumëzuar në vetvete është i barabartë me katrorin e atij numri.

Shuma e numrit $3\frac(3)(4)$ dhe produkti i numrave $5\frac(4)(8)$ dhe $\frac(1)(8)$.

Rrobaqepësi bëri 3 fustane. Çdo fustan kërkonte $x$ metra pëlhurë. Më pas qepi edhe 10 kostume të tjera. Çdo kostum kërkonte 2 metra më shumë pëlhurë se fustani. Sa pëlhurë është dashur për të bërë të gjitha fustanet dhe kostumet?

Opsioni II.

1. Përktheni fjalinë në gjuhën matematikore. shuma e katrorëve të numrave x dhe y.

2. Përkthejeni vetinë e mëposhtme në gjuhën matematikore.
Nëse shumëzojmë një numër me $-1$, marrim të njëjtin numër, por me shenjën e kundërt.

3. Rishkruaje fjalinë si shprehje numerike. Llogaritni vlerën e tij.

Dallimi midis numrit $3\frac(5)(8)$ dhe numrave privatë $2\frac(5)(8)$ dhe $1\frac(1)(2)$.

4. Bëni një model matematikor të kësaj situate.
a) Dy këmbësorë shkuan në drejtime të kundërta. Shpejtësia e këmbësorit të parë është $x$ km/h. Shpejtësia e këmbësorit të dytë është 2 km/h më shumë. Sa larg do të udhëtojnë për 3 orë? Sa kohë do t'i duhet këmbësorit të dytë për të përshkuar 10 km?

Opsioni III.

1. Përkthejeni fjalinë në gjuhën matematikore: prodhimi i numrit 3 dhe ndryshimi midis numrave $n$ dhe $m$.

2. Përkthejeni vetinë e mëposhtme në gjuhën matematikore: nëse një njësi e ndajmë me një thyesë, atëherë si rezultat fitojmë një thyesë që është reciproke e kësaj.

3. Rishkruaje fjalinë si shprehje numerike. Llogaritni vlerën e tij:
Shuma prej $6\frac(5)(8)$ dhe herësi prej $1\frac(5)(9)$ dhe $\frac(2)(9)$.

4. Bëni një model matematikor të kësaj situate.
Varka lundroi në drejtim të rrymës nga skela. Shpejtësia e lumit është $x$ km/h. Shpejtësia e varkës - më shumë se 2 km / orë. Sa kohë do t'i duhet varkës për të udhëtuar 10 km? Sa kohë do t'i duhet atij të kthehet?

Puna e pavarur nr. 3 (tremujori i parë)
"Ekuacioni linear me një ndryshore"

a) $5z - 4 = 2\frac(3)(4)z + 2$.

B) $\frac(4x + 2)(3) =\frac(5x + 1)(6)$.

Një atlet vrapon një distancë të caktuar në 18 minuta. Nëse e rrit shpejtësinë me 3 km/h, do të vrapojë të njëjtën distancë 4 minuta më shpejt. Gjeni shpejtësinë e atletit.

Opsioni II.

1. Zgjidh ekuacionet me një ndryshore.
a) $3z - 2 = 1\frac(3)(6)z +1$.

B) $\frac(5y + 3)(7)=\frac(3y + 8)(4)$.

2. Shkruani një ekuacion për këtë problem dhe zgjidhni atë.
Një makinë udhëton nga qyteti në fshat për 4 orë. Nëse e rrit shpejtësinë me 20 km/h, atëherë të njëjtën rrugë e përshkon për 3 orë. Gjeni shpejtësinë e makinës.

Opsioni III.

1. Zgjidh ekuacionet me një ndryshore.
a) $4x - 6 = 2\frac(5)(8)x + 3$.

B) $\frac(2y + 7)(2)=\frac(4y + 3)(5)$.

2. Shkruani një ekuacion për këtë problem dhe zgjidhni atë.
Varka lundron nga skela në port për 30 minuta. Nëse e rrit shpejtësinë me 10 km/h, të njëjtën distancë do ta notojë për 20 minuta. Gjeni shpejtësinë e varkës.

Puna e pavarur nr 4 (tremujori I) "Linja koordinative"

X (-2); Y(-6.5); Z (3.8).

2. Specifikoni intervalin e treguar në vijën e koordinatave.
a) [-2,5; 0]; b) ; [-∞; 0].

3. Sa numra natyrorë i përkasin intervalit të dhënë [-30; -5]?

Opsioni II.

1. Specifikoni tre pikat e mëposhtme në vijën koordinative:
X(3); Y(-5); Z (-3,8).

a) ; b) ; .

3. Sa numra natyrorë i përkasin një intervali të caktuar?

Opsioni III.

1. Specifikoni tre pikat e mëposhtme në vijën koordinative:
X (-7); Y(2); Z (3.8).

2. Specifikoni intervalin e specifikuar në vijën e koordinatave:
a) ; b) [-2; katër]; [-një; +∞].

3. Sa numra natyrorë i përkasin intervalit të dhënë [-52; -katër]?

Vepra e pavarur nr 5 (tremujori I) "Rivi koordinativ"

E (-2; 5); F(5;-3); H (-3; -5).

A (-4; 0); Në (5; 8); C (-5; -4).

3. Ndërtoni një vijë të drejtë në planin koordinativ XOY me koordinatat С(-4;2) dhe D(3;0).

Opsioni II.

1. Pa vizatuar një figurë, tregoni në cilin plan koordinativ janë pikat?
E(3;6); F (-8; 7); H(4; 4).

2. Ndërtoni një trekëndësh nëse dihen koordinatat e kulmeve të tij
A (5; 3); B (-5; -2); C (-3; 0).

3. Ndërtoni një vijë të drejtë në planin koordinativ XOY me koordinatat С(-2;6) dhe D(7;-2).

Opsioni III.

1. Pa vizatuar një figurë, tregoni në cilin plan koordinativ janë pikat?
E (-2; -4); F(4;6); H(3;-2).

2. Ndërtoni një trekëndësh nëse dihen koordinatat e kulmeve të tij
A (7; -3); Në (2; 6); C (-2; 1).

3. Ndërtoni një vijë të drejtë në planin koordinativ XOY me koordinatat С(6;-4) dhe D(-3;6).

Puna e pavarur nr 6 (tremujori I) "Ekuacionet lineare me dy ndryshore"

1. Grafikoni funksionin: $5x + y -4 = 0$.

2. Paraqitni grafikët e dy funksioneve dhe gjeni pikën e kryqëzimit: $x + 5y = 7$; $x - 4y = -2$.

3. Për ekuacionin: $x + 2y - 4 = 0$ gjeni ordinatën e pikës me abshisën e barabartë me 4.

Opsioni II.

1. Paraqitni funksionin: $3x - y + 6 = 0$.

2. Vizatoni grafikët e dy funksioneve dhe gjeni pikën e kryqëzimit: $2x - 5y = $8; $2x - y = 0$.

3. Për ekuacionin: $2x + 4y - 5 = 0$ gjeni ordinatën e pikës me abshisë të barabartë me 5.

Opsioni III.

1. Grafikoni funksionin: $2x - 2y - 6 = 0$.

2. Vizatoni grafikët e dy funksioneve dhe gjeni pikën e kryqëzimit: $2x + 2y = $10; $x - 2y = 5 $.

3. Për ekuacionin: $x + 4y - 2 = 0$, gjeni ordinatën e pikës me abshisën e barabartë me 5.

Punim i pavarur nr 7 (tremujori I) "Funksioni linear dhe grafiku i tij"

1. Jepet një ekuacion linear: $x - 2y - 4 = 0$. Kthejeni atë në formën: $y = kx + m$. Gjeni vlerat e $k$ dhe $m$.

a) $y = 6x - 2$, me $x = 2$; b) $y = -3x + 5$, me $x = 3$.

3. Grafikoni funksionin: $y = 3\frac(5)(8)x -\frac(1)(2)$.

4. Jepet një ekuacion linear: $y = 4 - 3x$. Llogaritni vlerën e argumentit për të cilin ai merr vlera:
a) 3; b) -2; c) -1.1.

5. Në cilën pikë kryqëzohen dy funksione lineare: $y = 3x - 12$ dhe $y = -2x + 3$?

6. Në një interval të caktuar $[-3; +3]$ gjeni vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit $y=-5x + 4$.

Opsioni II.

1. Jepet një ekuacion linear: $2x - 3y - 5 = 0$. Kthejeni atë në formën: $y = kx + m$. Gjeni vlerat e $k$ dhe $m$.

2. Gjeni vlerën e funksionit nëse dihet vlera e argumentit.
a) $y = 2x + 2$, për $x = 1$; b) $y = 3x - 6$, me $x = 4$.

3. Grafikoni funksionin: $y = 4\frac(2)(3)x - \frac(3)(6)$.

4. Jepet një ekuacion linear: $y = 5 + 2x$. Llogaritni vlerën e argumentit për të cilin ai merr vlera:
a) -2; b) -4; c) -2.6.

5. Në cilën pikë kryqëzohen dy funksione lineare: $y = 2x - 5$ dhe $y = -3x + 10$?

6. Në një interval të caktuar $[-2; +6]$ gjeni vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit $y=-2x - 2$.

Opsioni III.

1. Jepet një ekuacion linear: $3x - y + 2 = 0$. Kthejeni atë në formën $y = kx + m$. Gjeni vlerat e $k$ dhe $m$.

2. Gjeni vlerën e funksionit nëse dihet vlera e argumentit.
a) $y = -2x +5$, me $x = 3$; b) $y = -2x + 6$, me $x = -1$.

3. Grafikoni funksionin: $y = 2\frac(1)(4)x + \frac(2)(3)$.

4. Jepet një ekuacion linear: $y = 3 +2x$. Llogaritni vlerën e argumentit për të cilin ai merr vlera:
a) -1; b) -4; në 2.

5. Në cilën pikë kryqëzohen dy funksione lineare: $y = -2x +4$ dhe $y = -4x - 2$?

6. Në një interval të caktuar $$, gjeni vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit $y=3x-5$.

Puna e pavarur nr 1 (tremujori II) "Sistemet e dy ekuacioneve lineare me dy ndryshore"

1. Jepet një sistem ekuacionesh. Gjeni se cili çift numrash (4;0), (3;4), (0;5) është zgjidhja e këtij sistemi ekuacionesh.
$\fillimi (rastet) 2x+y=10, \\ 4x-2y=4. \fund(rastet)$

$\fillojnë (rastet) x-y=2, \\ 3x+3y=6. \fund(rastet)$

a) $\fillojnë (rastet) x=-y, \\ 3x-y=8. \fund(rastet)$

B) $\fillojnë (rastet) x=2y, \\ 2x+4y=40. \fund(rastet)$

a) $\fillojnë (rastet) x=y+4, \\ -x=-3y-4. \fund(rastet)$

B) $\fillojnë (rastet) x=4y, \\ 2x+4y=24. \fund(rastet)$

5. Zgjidheni problemin.
Shuma e dy numrave është 9 dhe diferenca është 1. Gjeni këta numra.

6. Zgjidheni problemin.
Jepen 2 numra. Shuma e këtyre numrave është 80. Nëse numri i parë zvogëlohet për 2 herë, kurse numri i dytë zvogëlohet për 2 herë, atëherë në total fitojmë 115. Me çfarë janë të barabartë këta numra?

Opsioni II

1. Jepet një sistem ekuacionesh. Gjeni se cili çift numrash (2;6), (-3;4), (2;4) është zgjidhja e këtij sistemi ekuacionesh.
$\fillimi (rastet) 5x-3y=-2, \\ 3x+y=10. \fund(rastet)$

2. Të zgjidhë grafikisht sistemin e dhënë të ekuacioneve.
$\fillimi (rastet) 2x-2y=6, \\ x-y=1. \fund(rastet)$

3. Janë dhënë sistemet e ekuacioneve. Zgjidhini ato me metodën e vendosjes.
a) $\fillimi (rastet) x=-0.5y, \\ 3x-y=15. \fund(rastet)$

B) $\fillojnë (rastet) x=-3y, \\ 3x+4y=10. \fund(rastet)$

4. Të zgjidhin sistemet e dhëna të ekuacioneve duke përdorur metodën e mbledhjes algjebrike.
a) $\fillojnë (rastet) x=2y-1, \\ x-3y=-4. \fund(rastet)$

B) $\fillojnë (rastet) x=4y, \\ 2x-4y=4. \fund(rastet)$

5. Zgjidheni problemin.
Shuma e dy numrave është 10, dhe diferenca e trefishit të numrit të parë dhe të dytë është 2. Gjeni këta numra.

6. Zgjidheni problemin.
Dy fermerë korrën 300 kg manaferra në korrik. Në gusht, fermeri i parë korri 2 herë më shumë manaferra, dhe i dyti - gjysmën e aq sa korri në korrik. Sa kg manaferra kanë mbledhur çdo muaj fermerët nëse kanë mbledhur 450 kg së bashku në gusht?

Opsioni III

1. Jepet një sistem ekuacionesh. Gjeni se cili çift numrash (2;6), (3;-2), (2;4) është zgjidhja e këtij sistemi ekuacionesh.
$\fillojnë (rastet) 2x-4y=14, \\-3x+y=-11. \fund(rastet)$

2. Të zgjidhë grafikisht sistemin e dhënë të ekuacioneve.
$\fillimi (rastet) 5x+5y=-5, \\ 5x+y=3. \fund(rastet)$

3. Janë dhënë sistemet e ekuacioneve. Zgjidhini ato me metodën e vendosjes.
a) $\fillojnë (rastet) x=-y, \\ 3x-2y=5. \fund(rastet)$

B) $\fillimi (rastet) x+y=4, \\ 3x+4y=12. \fund(rastet)$

4. Të zgjidhin sistemet e dhëna të ekuacioneve duke përdorur metodën e mbledhjes algjebrike.
a) $\fillojnë (rastet) x=y+1, \\ x-2y=1. \fund(rastet)$

B) $\fillojnë (rastet) x=2y, \\ x-4y=12. \fund(rastet)$

5. Zgjidheni problemin.
Shuma e dy numrave është 10 dhe diferenca është -2. Gjeni këta numra.

6. Zgjidheni problemin.
Një varkë përshkon distancën midis dy fshatrave në 4 orë në rrjedhën e poshtme dhe 6 orë në rrjedhën e sipërme. Gjeni shpejtësinë e varkës dhe rrymën e lumit nëse distanca ndërmjet fshatrave është 60 km.

Puna e pavarur nr.2 (tremujori II) “Shkalla me tregues natyror dhe vetitë e saj”

a) 3.4 * 3.4 * 3.4 * 3.4.
b) a * a * a * a * a * a * a.

2. Llogaritni:
a) 5^3$.
b) $7^3- 4^4$.

3. Zgjidh ekuacionet:
a) $5x^3=320$.
b) $3^(x-3)=81$.

4. Gjeni vëllimin e kubit dhe sipërfaqen e tij nëse buza e tij është 4 cm.

a) $x^3* x^5$.
b) $x^6* x^4$.
c) $(a^3)^6$.

6. Llogaritni: $\frac(2^6*(2^3)^2)(2^4)$.

7. Jepen shprehjet. Ngritja e tyre në një fuqi.
a) $(4z^3)^3$.
b) $(6x^3y^3)^2$.
c) $\frac((2a^3)^4)((b^2)^3)$.

Opsioni II.

1. Shkruani këto shprehje si shkallë:
a) 5.1 * 5.1 * 5.1 * 5.1.
b) d * d * d * d * d * d * d * d.

2. Llogaritni:
a) 4^5$.
b) $8^2- 6^3$.

3. Zgjidh ekuacionet:
a) $2y^2=162$.
b) $4^(x-3)=64$.

4. Gjeni vëllimin e kubit dhe gjatësinë e skajit të tij nëse sipërfaqja është 216 cm 2.

5. Jepen shprehjet. Shprehni ato si fuqi:
a) $y^4* y^3$.
b) $z^6* z^2$.
c) $(b^4)^5$.

6. Llogaritni: $\frac(3^6*(3^2)^3)(3^4)$.

a) $(2y^2)^4$.
b) $(5x^2z^3)^3$.
c) $\frac((3c^4)^5)((d^2)^2)$.

Opsioni III.

1. Shkruani këto shprehje si shkallë:
a) 6.2 * 6.2 * 6.2.
b) z* z * z* z .

2. Llogaritni:
a) 6^4$.
a) $5^2- 3^4$.

3. Zgjidh ekuacionet:
a) $2f^4=512$.
b) $3^(x-1)=81$.

4. Vëllimi i kubit është 125 cm 3. Gjeni gjatësinë e skajit të kubit dhe sipërfaqen e tij.

5. Jepen shprehjet. Shprehni ato si fuqi:
a) $z^4* z^2$.
b) $\frac(y^5)(y^2)$.
c) $(c^4)^6$.

6. Llogaritni:
$\frac(4^6*(4^3)^3)(4^5)$.

7. Jepen shprehjet. Ngrini ato në një fuqi:
a) $(3a^2)^2$.
b) $(5z^3)^2$.
c) $\frac((2d^5)^6)(c^2)^3)$.

Puna e pavarur nr.1 (tremujori i 3-të) "Forma standarde e një monomi", "Mbledhja dhe zbritja e një monomi"

5 3 x 3 y 4 * (-3x 2 y 4).

2. Thjeshtoni: 5ab 3 - 3ab 3 + 4ab 3 .

3. Thjeshtoni shprehjen e dhënë dhe gjeni vlerën e saj në $y=2$, $t= 0.5$.
-4t 3 y 2 + 3y 2 - 2t 2 + 3t 2 + y 2 .

Një autobus me turistë përshkoi 2/9 e rrugës me një shpejtësi prej 60 km/h, 4/9 të rrugës që udhëtoi me një shpejtësi prej 50 km/h. 18 km të mbetura ai i ngiste me një shpejtësi prej 60 km / orë. Sa larg udhëtoi autobusi turistik?

Opsioni II.

1. Zvogëlojeni monomin e dhënë në formën standarde.

3 4 y 3 x 2 * 3 y 4 x 5 .

2. Thjeshtoni: 2cd 4 - 3cd 4 + 7cd 4 .

3. Thjeshtoni shprehjen e dhënë dhe gjeni vlerën e saj në $d=0.3$; $e=2$.
5d 3 e 2 + 2d 2 - 2e 2 + 4d 2 + e 2

4. Zgjidh problemin, duke evidentuar tre fazat e modelimit matematik.
Atleti vrapoi 3⁄8 e rrugës me një shpejtësi prej 12 km/h, vrapoi 1⁄8 të rrugës me një shpejtësi prej 15 km/h. Ai vrapoi 5 km të mbetura me një shpejtësi prej 10 km/h. Sa larg vrapoi atleti?

Opsioni III.

1. Zvogëlojeni monomin e dhënë në formën standarde.

5 3 a 2 b 3 * 2y 3 a 3 .

2. Thjeshtoni: 4mn 2 + 5mn 2 - 6mn 2 .

3. Thjeshtoni shprehjen e dhënë dhe gjeni vlerën e saj në t= - 1 ⁄ 2 , $u= 6$.
-3t 3 u 2 + 5t 2 - 7t 3 u 2 + 3t 2 + u 2 .

4. Zgjidh problemin, duke evidentuar tre fazat e modelimit matematik.
Një çiklist përshkoi 1⁄5 e shtegut me një shpejtësi prej 25 km/h, 3⁄5 e shtegut me një shpejtësi prej 30 km/h. Ai udhëtoi 10 km të mbetura me një shpejtësi prej 18 km/h. Sa larg ka udhëtuar atleti?

Vepra e pavarur nr 2 (tremujori i 3-të) "Shumëzimi i monomit", "Ngritja e një monomi në një fuqi natyrore", "Pjestimi i një monomi me një monom"

1. Llogaritni.
a) 3n ​​3 m 2 * (- 4m 3 n 4).
b) 2 ⁄ 7 x 2 y 4 * 1 ⁄ 3 x 3 y 4 .

2. Zgjidheni problemin.
Jepen 2 katrorë. Ana e katrorit më të madh është 1.5 herë më e madhe se ajo e katrorit më të vogël. Dhe sipërfaqja e sheshit më të madh është 125 cm2 më shumë se sipërfaqja e sheshit më të vogël. Gjeni brinjët e katrorëve.
3. Ndani monomin me monomin: $\frac((-6a^4b)^3)(3a^3)$.
4. Thjeshtoni shprehjen: $\frac((3x^3d^2)^3)((xd^2)^2)$.

Opsioni II.

1. Llogaritni.
a) 5y 2 z 3 * (- 6y 4 z 4).

B) 3 ⁄ 8 a 4 b 2 * 1 ⁄ 8 a 2 b 3.

2. Ndani monomin me monomin: $\frac(5b^4d^2)(7b^2)$.

3. Thjeshtoni shprehjen: $\frac((5c^3z^4)^2)(cz^3)$.

Opsioni III.

1. Llogaritni.
a) - 6tu 2 * 5t 4 u 3.

B) 5 ⁄ 9 x 2 y 3 * 1 ⁄ 9 x 2 y 2 .

2. Ndani monomin me monomin: $\frac(14z^4e^3)(7z^3)$.

3. Thjeshtoni shprehjen: $\frac((8t^5u^5)^2)(4t^3)$.

Vepra e pavarur nr.1 (4 tremujor) "Faktorizimi i polinomit"

1. Njehsoni shprehjen e mëposhtme në mënyrën më racionale: 4.5 2 - 2.5 2 .

2. Zgjidhe ekuacionin e dhënë: $(3x + 5)(2x - 2) = 0$.

3. Vlerëso shprehjen në mënyrën më racionale: $\frac(346^2- 146^2)(50 * 512)$.

4. Faktoroni shprehjet e mëposhtme:
a) 4y + 8y 2 .
b) 7z 5 - 21z 2.
c) 6a 2 b 5 c + 24 ab 2 c - 8 a 2 b 3.

5. Zgjidh barazimin: 3y 2 - 9 y =0.

Opsioni II.

1. Njehso shprehjen e mëposhtme në mënyrën më racionale: 12.5 2 - 7.5 2 .

2. Zgjidhe ekuacionin e dhënë: $(4y + 6)(y - 3) = 0$.

3. Llogaritni shprehjen në mënyrën më racionale: $\frac((456)^2-(256)^2)(1200 * 1024)$.

a) 2z + 6z 2 .
b) 8v 5 - 24v 3 .
c) 2abc -3 a 2 b 2 + 4 a 2 b 3 c.
5. Zgjidh barazimin: 6y 2 + 4y =0.

Opsioni III.

1. Njehso shprehjen e mëposhtme në mënyrën më racionale: 8.2 2 - 4.2 2 .

2. Zgjidhe ekuacionin e dhënë: $(2z - 3)(z + 5) = 0$.

3. Vlerëso shprehjen në mënyrën më racionale: $\frac((663)^2-(363)^2)(40 * 243)$.

4. Faktoroni shprehjet e mëposhtme.
a) 3x + 9x2.
b) 12v 4 - 26v 2.
c) 3x 2 y 5 z + 12xy 2 z - 9x 2 y 3 z.

5. Zgjidh barazimin e dhënë: 5a 2 + 10a =0.

Opsioni I
1. 40,6.
2. 2,5.
3. $x=-0,25$.
Opsioni II.
1. $20,525$.
2. $-14\frac(23)(30)$.
3. $x=0,4$.
Opsioni III.
1. $12\frac(87)(90)$.
2. $-14,6$.
3. $y=5$.

Opsioni I
1. $a^3-b^3$.
2. Për çdo numër $a$, pohimi $a*a=a^2$ është i vërtetë.
3. $3\frac(3)(4)+5\frac(4)(8)*\frac(1)(8)=4,4375$.
4. $13x+20$.
Opsioni II.
1. $x^2+y^2$.
2. Për çdo numër $a$, pohimi $a*(-1)=-a$ ​​është i vërtetë.
3. $3\frac(5)(8)-2\frac(5)(8):\frac(1)(2)=-1\frac(5)(8)$.
4. Ecni në distancë $(6x+6)$. Ecësit të dytë do t'i duhen $\frac(10)(x+2)$ orë.
Opsioni III.
1. $3(n-m)$.
2. Për çdo numër $a$, $b$ pohimi $1:(\frac(a)(b))=\frac(b)(a)$ është i vërtetë.
3. $6\frac(5)(8)+1\frac(5)(9):\frac(2)(9)=-\frac(3)(8)$.
4. Varka do të udhëtojë 10 km për $\frac(5)(x+1)$. Do të duhen 5 orë për t'u kthyer në skelë.

Opsioni I
1.
a) $z=\frac(8)(3)$.
b) $x=-1$.
2. 10.5 km/h.
Opsioni II.
1.
a) $z=2$.
b) $y=-44$.
2. 60 km/h.
Opsioni III.
1.
a) $6\frac(6)(11)$.
b) -14.5.20 km/h.
2. 20 km/h.

Opsioni I

Opsioni II.
3. 43.
Opsioni III.
3. Në këtë interval nuk ka numra natyrorë.

Opsioni I
2. $x=2$, $y=1$.
3. $y=0$.
Opsioni II.
2. $x=-1$, $y=-2$.
3. $y=-1,25$.
Opsioni III.
2. $x=5$, $y=0$.
3. $y=-0,75$.

Opsioni I
1. $y=0.5x+2$.
2.
a) $y=10$.
b) $y=-4$.
4.
a) $x=\frac(1)(3)$.
b) $x=2$.
c) $x=1,7$.
5. Pika me koordinatat $x=3$, $y=-3$.
6. $y_(min)=-11$, $y_(maksimum)=19$.
Opsioni II.
1. $y=\frac(2)(3)x-\frac(5)(3)$.
2.
a) $y=4$.
b) $y=6$.
4.
a) $x=-3,5$.
b) $x=-4,5$.
c) $x=-3,8$.
5. Pika me koordinatat $x=3$, $y=1$.
6. $y_(min)=2$, $y_(maksimumi)=-14$.
Opsioni III.
1. $y=3x+2$.
2.
a) $y=-1$.
b) $y=8$.
4.
a) $x=-2$.
b) $x=3,5$.
c) $x=-0,5$.
5. Pika me koordinatat $x=-3$, $y=10$.
6. $y_(min)=-5$, $y_(maksimum)=16$.

Opsioni I
1. Pika me koordinata (3;4).
2. Pika me koordinata (2;0).
3.
a) $x=2$, $y=-2$.
b) $x=10$, $y=5$.
4.
a) $x=4$, $y=0$.
b) $x=8$, $y=2$.
5. Një numër është 5, një numër tjetër është 4.
6. Një numër është 30, një numër tjetër është 50.
Opsioni II.
1. Pika me koordinata (2;4).
2. Nuk ka pikë kryqëzimi.
3.
a) $x=3$, $y=-6$.
b) $x=6$, $y=-2$.
4.
a) $x=5$, $y=3$.
b) $x=4$, $y=1$.
5. Një numër është 3, një numër tjetër është 7.
6. Në korrik, fermeri i parë korri 200 kg, i dyti - 100 kg. Në gusht, fermeri i parë korri 400 kg, i dyti - 50 kg.
Opsioni III.
1. Pika me koordinata (3;-2).
2. Pika me koordinata (1;-2).
3.
a) $x=1$, $y=-1$.
b) $x=4$, $y=0$.
4.
a) $x=1$, $y=0$.
b) $x=-12$, $y=-6$.
5. Një numër është 4, një numër tjetër është 6.
6. Shpejtësia e varkës është 12.5 km/h. Shpejtësia e lumit është 2.5 km/h.

Opsioni I
1. a) $(3,4)^4$; b) $a^7$.
2. a) 125; b) 87.
3. a) $x=4$; b) $x=7$.
4. $V=64 (cm)^3$. $S=96 (cm)^2$.
5. a) $x^8$; b) $x^(10)$; c) $a^(18)$.
6. 256.
7. a) $64z^9$; b) $36x^6y^6$; c) $\frac(16a^(12))(b^6)$.
Opsioni II.
1. a) $(5,1)^4$; b) $d^8$.
2. a) 1024; b) -152.
3. a) $y=9$; b) $x=6$.
4. $V=216 (cm)^3$; $a=6 cm$.
5. a) $y^7$; b) $z^8$; c) $b^(20)$.
6. 6561.
7. a) $16y^8$; b) $125x^6z^9$; c) $\frac(243c^(20))(d^4)$.
Opsioni III.
1. a) $(6,2)^3$; b) $z^4$.
2. a) 1296; b) -56.
3. a) $f=4$; b) $x=5$.
4. $a=5cm$. $S=150 (cm)^2$.
5. a) $z^6$; b) $y^3$; c) $c^24$.
6. 64.
7. a) $9a^4$; b) $25z^6$; c) $\frac(64d^(30))(c^6)$.

Opsioni I
1. $-375x^5y^8$.
2. $6ab^3$.
3. 3,25.
4. 54 km.
Opsioni II.
1. $243x^7y^7$.
2. $6cd^4$.
3. -2,92.
4. 10 km.
Opsioni III.
1. $-250a^5b^3y^3$.
2. 3 milion $^2 $.
3. 83.
4. 50 km.

Opsioni I
1. a) $-12n^7m^5$; b) $\frac(2)(21)x^5y^8$.
2. 10 cm dhe 15 cm.
3. $-72a^9b^3$.
4. $27x^7d^4$.
Opsioni II.
1. a) $-30y^6z^7$ b) $\frac(3)(64)a^6b^5$.
2. $\frac(5)(7)b^2d^2$.
3. $25c^5Z^5$.
Opsioni III.
1. $-30t^5u^5$; b) $\frac(5)(81)x^4y^4$.
2. $2ze^3$.
3. $16t^7u^(10)$.

Opsioni I
1. 14.
2. $3x^2+2x-5=0$.
3. $\frac(123)(32)$.
4. a) $4y(1+2y)$; b) $7z^2(z^3-3)$; c) $2ab(3ab^4c+12bc-4ab^2)$.
5. $y=3$.
Opsioni II.
1. 25.
2. $2y^2-3y-9=0$.
3. $\frac(89)(768)$.
4. a) $2z(1+3z)$; b) $8y^3(y^2-3)$; c) $ab(2c-3ab+4ab^2c)$.
5. $y=-\frac(2)(3)$.
Opsioni III.
1. 49,6.
2. $2z^2+7z-15=0$.
3. $\frac(2565)(81)$.
4. a) $3x(1+3x)$; b) $2y^2(6y^2-13)$; c) $3xy^2z(xy^3+4-3xy)$.
5. $a=-2$.