Представляет собой комплекс последовательных операций по обобщению. Методические указания

При проектировании цифровых автоматов широко используются методы минимизации булевых функций, позволяющие получать экономичные схемы. Общая задача минимизации булевых функций может быть сформулирована следующим образом: найти аналитическое выражение заданной булевой функции в форме, содержащей минимально возможное число букв.

В основе методов минимизации лежит операция склеивания (алгоритм объединения соседний двоичных чисел):

где А - элементарная конъюнкция.

В выражении слагаемые являются соседними двоичными числами, которые отличаются друг от друга только одним разрядом. При выполнении операции склеивания над двумя соседними числами из набора исключается одна переменная, которая отличает одно число от другого, над четырьмя попарно соседними числами - две переменные, над восемью - три переменные и т.д.

Минимальной дизъюнктивной нормальной формой (МДНФ) булевой функции называется ДНФ, содержащая наименьшее число букв (по отношению ко всем другим ДНФ, представляющим заданную булеву функцию).

Минимизировать функции, то есть находить наиболее простое выражение для исходной функции можно различными методами. Все они практически различаются лишь на первом этапе - этапе получения сокращенной ДНФ. Следует отметить, что, к сожалению, поиск МДНФ всегда связан с некоторым перебором решений. Рассмотрим некоторые из них.

Минимизация сложных логических выражений с помощью матрицы Карно

Дли реализации алгоритма объединения необходимо из всей совокупности обязательных конституентов в совершенной дизъюнктивной нормальной форме функции алгебры логики отыскать соседние. Для отыскания соседних конституентов используются матрицы Карно, решетка соседних чисел, таблицы соседних конституентов.

Матрицы Карно целесообразно использовать для минимизации ФАЛ на наборах из 2,3,4,5 и 6 переменных. Номера столбцов в матрицах Карно образуют младшие разряды, а номера строк - старшие разряды наборов. Номера клеток составляются из номеров строк и столбцов и соответствуют наборам переменных.

Рассмотрим матрицу Карно для функции алгебры логики на наборах из 4-х переменных (табл. 1).

Таблица 1. Матрица Карно

Столбцы и строки в этой матрице обозначены двоичными соседними числами: 00-0I-II-I0. Поэтому номера смежных по горизонтали и вертикали клеток, а также крайних в строках и столбцах клеток являются соседними числами, например:

клетки с номерами и;

клетки с номерами;

клетки с номерами;

клетки с номерами.

Для минимизации функции алгебры логики, заданной в совершенной дизъюнктивной нормальной форме, с помощью матрицы Карно необходимо: подготовить матрицу Карно, вписав в клетки, соответствующие обязательным конституентам, единицы, объединить клетки с единицами в «подкубы», записать минимизированную функции алгебры логики в дизъюнктивной нормальной форме.

В «подкубы» объединяются:

• - две клетки с номерами, являющимися соседними числами, при этом исключается одна переменная;
• - четыре клетки (строка, столбец, квадрат, угловые клетки), при этом исключается две переменные;
• - восемь клеток (две соседних или крайних строки (столбца)), при этом исключается три переменные.

Для обеспечения исключения возможно большего количества переменных размеры «подкубов» должны быть как можно больше, а число их как можно меньше. С этой целью можно одну и ту же клетку с единицей использовать несколько раз, включая в различные «подкубы». Число слагаемых в минимизированной функции алгебры логики равно числу подкубов и клеток с единицами, не объединенных в подкубы.

Пусть необходимо минимизировать следующую функцию алгебры логики:

Матрица Карно, заполненная в соответствии с этой формулой, может быть представлена в виде таблицы 2:

Таблица 2. Матрица Карно

В этой матрице можно выделить два двухклеточных подкуба. В результате минимизации будет получена следующая функция алгебры логики:

Метод Квайна

Для получения минимальной формы логической функции необходимо в совершенной дизъюнктивной нормальной форме функции (СДНФ) произвести все возможные склеивания и поглощения так, что в результате будет получена сокращенная дизъюнктивная нормальная форма функции. (ДНФ).Сокращенная ДНФ в общем случае может содержать лишние простые импликанты, которые необходимо выявить на втором этапе минимизации.

На первом этапе выполняется переход от функции, заданной в форме ДНФ, к сокращенной ДНФ. Суть метода заключается в последовательном выполнении всех возможных склеиваний и затем всех поглощений, что приводит к сокращенной ДНФ. Метод применим к совершенной ДНФ. Из соотношения поглощения следует, что произвольное элементарное произведение поглощается любой его частью. Для доказательства достаточно показать, что произвольная простая импликанта р = xi1 xi2 ... xin может быть получена. В самом деле, применяя к р операцию развертывания (обратную операции склеивания):

по всем недостающим переменным x ik , ..., xim исходной функции f, получаем совокупность S конституент единицы. При склеивании всех конституент из S получим импликанту р. Последнее очевидно, поскольку операция склеивания обратна операции развертывания. Множество S конституент обязательно присутствует в совершенной ДНФ функции f поскольку р - ее импликанта.

В результате выполнения склеивания получается конъюнкция n-1 ранга, а конъюнкции остаются в исходном выражении и участвуют в сравнении с другими членами СДНФ. Таким образом, удается снизить ранг термов.

Склеивание и поглощение выполняются до тех пор, пока имеются члены, не участвовавшие в попарном сравнении. Термы, подвергшиеся операции склеивания, отмечаются. Неотмеченные термы представляют собой простые импликанты и включаются в сокращенную ДНФ. Все отмеченные конъюнкции ранга n-1 подвергаются вновь операции склеивания до получения термов n-2 ранга и так далее до тех пор, пока количество неотмеченных конъюнкций больше 2. В результате выполнения первого этапа получена сокращенная ДНФ.

Полученное логическое выражение не всегда оказывается минимальным. На втором этапе переходят от сокращенной ДНФ к тупиковым ДНФ и среди них выбирают МДНФ.

Для формирования тупиковых ДНФ строится импликантная таблица (матрица), строки которой отмечаются простыми импликантами сокращенной ДНФ, а столбцы конститутиентами единицы исходной СДНФ. В строке напротив каждой простой импликанты ставится метка под теми наборами (конститутиентами единицы), на которых она принимает значение 1. Соответствующие конститутиенты поглощаются (покрываются) данной простой импликантой.

Из общего числа простых импликант необходимо отобрать их минимальное число, исключив лишние. Формирование тупиковых форм и выбор минимального покрытия начинается с выявления обязательных простых импликант, то есть таких, которые (и только они) покрывают некоторый исходный набор. Рассмотрим на примере минимизации логической функции:

f СДНФ = V (1,2,5,6,7)=x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3

1 2 3 4 5

Выполним операцию склеивания:

• 1 - 3 (x1 ) x2 x3 1
• 2 - 4 (x1 ) x2 x3 2
• 3 - 5 (x2 ) x1 x3 3
• 4 - 5 (x3 ) x1 x2 4

В результате выполнения первого шага склеивания получаем четыре новые конъюнкции, простых импликант не выявлено. Полученные конъюнкции более не склеиваются и образуют сокращенную ДНФ.

f сокр СДНФ =x2 x3 + x2 x3 + x1 x3 + x1 x2

Для выявления обязательных простых импликант и фрормирования на их основе минимального покрытия строится импликантная таблица (таблица 3). В строках импликантгой таблицы записываются простые импликанты, а в столбцах конституэнты единицы. Звездочка ставится если простая импликанта покрывает контитуэнту.

Таблица 3. Импликантная таблица

	x 1 x2 x3	X 1 x2 x3	x 1 x2 x3	x 1 x2 x3	x 1 x2 x3

Простые импликанты являются обязательными так как только они покрывают конституэнтыи включаются в минимальное покрытие. Остается одна непокрытая конституэнта x1 x2 x3 которая может быть покрыта одной из двух оставшихся простых импликант. Это приводит к получению двух тупиковых форм.

Метод Блейка - Порецкого

Метод позволяет получать сокращенную ДНФ булевой функции f из ее произвольной ДНФ. Базируется на применении формулы обобщенного склеивания:

справедливость которой легко доказать. Действительно,

Следовательно,

В основу метода положено следующее утверждение: если в произвольной ДНФ булевой функции f произвести все возможные oбобщенные склеивания, а затем выполнить все поглощения, то в результате получится сокращенная ДНФ функции f.

Рассмотрим пример. Пусть булева функция f задана произвольной ДНФ.

Необходимо используя метод Блейка - Порецкого получить сокращенную ДНФ функции f. Проводим обобщенные склеивания. Легко видеть, что первый и второй элемент исходной ДНФ допускают обобщенное склеивание по переменной х 1 . В результате склеивания получим:

Первый и третий элемент исходной ДНФ допускают обобщенное склеивание как по переменной х 1 , так и по х2 . После склеивания по x1 имеем:

После склеивания по x 2 имеем:

Второй и третий элемент ДНФ допускают обобщенное склеивание по переменной х 2 . После склеивания получаем:

Выполнив последнее обобщенное склеивание, приходим к ДНФ:

После выполнения поглощений получаем:

Попытки дальнейшего применения операции обобщенного склеивания и поглощения не дают результата. Следовательно, получена сокращенная ДНФ функции f. Далее задача поиска минимальной ДНФ решается с помощью импликантной матрицы точно так же, как в методе Квайна.

Минимизация не полностью определенных ФАЛ

Если при синтезе логической схемы, реализующей некоторую ФАЛ n переменных, окажется, что некоторые наборы из общего числа 2n никогда не смогут появиться на входах схемы, то данная логическая функция не определена на этих наборах. Тогда 2n наборов переменных можно подразделить на три группы: наборы, на которых функция принимает единичное значение L, нулевое значение D и группа наборов, на которых функция не определена N (неопределенные наборы). ФАЛ, содержащая неопределенные наборы, называется неполностью или частично определенной. Неопределенные наборы могут быть использованы для улучшения качества минимизации. При этом неопределенные наборы (при минимизации, например, картами Вейча, Карно) могут участвовать в образовании контуров как с единичными, так и с нулевыми наборами. Это приводит к формированию более простой минимизированной логической функции.

Универсальным методом минимизации является использование законов и соотношений алгебры логики, которые позволяют проводить минимизацию ФАЛ при любом числе переменных.

Минимизация логических функций является одной из типовых задач в процессе обучения схемотехнике. Посему считаю, что такая статья имеет место быть, надеюсь Вам понравится.

Зачем это нужно?

Сложность логической функции, а отсюда сложность и стоимость реализующей ее схемы (цепи), пропорциональны числу логических операций и числу вхождений переменных или их отрицаний. В принципе любая логическая функция может быть упрощена непосредственно с помощью аксиом и теорем логики, но, как правило, такие преобразования требуют громоздких выкладок.

К тому же процесс упрощения булевых выражений не является алгоритмическим. Поэтому более целесообразно использовать специальные алгоритмические методы минимизации, позволяющие проводить упрощение функции более просто, быстро и безошибочно. К таким методам относятся, например, метод Квайна, метод карт Карно, метод испытания импликант, метод импликантных матриц, метод Квайна-Мак-Класки и др. Эти методы наиболее пригодны для обычной практики, особенно минимизация логической функции с использованием карт Карно. Метод карт Карно сохраняет наглядность при числе переменных не более шести. В тех случаях, когда число аргументов больше шести, обычно используют метод Квайна-Мак-Класки.

В процессе минимизации той или иной логической функции, обычно учитывается, в каком базисе эффективнее будет реализовать ее минимальную форму при помощи электронных схем.

Минимизация логических функций при помощи карт Карно

Карта Карно - графический способ минимизации переключательных (булевых) функций, обеспечивающий относительную простоту работы с большими выражениями и устранение потенциальных гонок. Представляет собой операции попарного неполного склеивания и элементарного поглощения. Карты Карно рассматриваются как перестроенная соответствующим образом таблица истинности функции. Карты Карно можно рассматривать как определенную плоскую развертку n-мерного булева куба.

Карты Карно были изобретены в 1952 Эдвардом В. Вейчем и усовершенствованы в 1953 Морисом Карно, физиком из «Bell Labs», и были призваны помочь упростить цифровые электронные схемы.

В карту Карно булевы переменные передаются из таблицы истинности и упорядочиваются с помощью кода Грея, в котором каждое следующее число отличается от предыдущего только одним разрядом.

Основным методом минимизации логических функций, представленных в виде СДНФ или СКНФ является операция попарного неполного склеивания и элементарного поглощения. Операция попарного склеивания осуществляется между двумя термами (членами), содержащими одинаковые переменные, вхождения которых (прямые и инверсные) совпадают для всех переменных, кроме одной. В этом случае все переменные, кроме одной, можно вынести за скобки, а оставшиеся в скобках прямое и инверсное вхождение одной переменной подвергнуть склейке. Например:

Возможность поглощения следует из очевидных равенств

Таким образом, главной задачей при минимизации СДНФ и СКНФ является поиск термов, пригодных к склейке с последующим поглощением, что для больших форм может оказаться достаточно сложной задачей. Карты Карно предоставляют наглядный способ отыскания таких термов.

Как известно, булевы функции N переменных, представленные в виде СДНФ или СКНФ могут иметь в своём составе 2N различных термов. Все эти члены составляют некоторую структуру, топологически эквивалентную N–мерному кубу, причём любые два терма, соединённые ребром, пригодны для склейки и поглощения.

На рисунке изображена простая таблица истинности для функции из двух переменных, соответствующий этой таблице 2-мерный куб (квадрат), а также 2-мерный куб с обозначением членов СДНФ и эквивалентная таблица для группировки термов:

В случае функции трёх переменных приходится иметь дело с трёхмерным кубом. Это сложнее и менее наглядно, но технически возможно. На рисунке в качестве примера показана таблица истинности для булевой функции трёх переменных и соответствующий ей куб.

Как видно из рисунка, для трёхмерного случая возможны более сложные конфигурации термов. Например, четыре терма, принадлежащие одной грани куба, объединяются в один терм с поглощением двух переменных:

В общем случае можно сказать, что 2K термов, принадлежащие одной K–мерной грани гиперкуба, склеиваются в один терм, при этом поглощаются K переменных.

Для упрощения работы с булевыми функциями большого числа переменных был предложен следующий удобный приём. Куб, представляющий собой структуру термов, разворачивается на плоскость как показано на рисунке. Таким образом появляется возможность представлять булевы функции с числом переменных больше двух в виде плоской таблицы. При этом следует помнить, что порядок кодов термов в таблице (00 01 11 10) не соответствует порядку следования двоичных чисел, а клетки, находящиеся в крайних столбцах таблицы, соседствуют между собой.

Аналогичным образом можно работать с функциями четырёх, пяти и более переменных. Примеры таблиц для N=4 и N=5 приведены на рисунке. Для этих таблиц следует помнить, что соседними являются клетки, находящиеся в соответственных клетках крайних столбцов и соответственных клетках верхней и нижней строки. Для таблиц 5 и более переменных нужно учитывать также, что квадраты 4х4 виртуально находятся друг над другом в третьем измерении, поэтому соответственные клетки двух соседних квадратов 4х4 являются сосоедними, и соответствующие им термы можно склеивать.

Карта Карно может быть составлена для любого количества переменных, однако удобно работать при количестве переменных не более пяти. По сути Карта Карно - это таблица истинности составленная в 2-х мерном виде. Благодаря использованию кода Грея в ней верхняя строка является соседней с нижней, а правый столбец соседний с левым, т.о. вся Карта Карно сворачивается в фигуру тор (бублик). На пересечении строки и столбца проставляется соответствующее значение из таблицы истинности. После того как Карта заполнена, можно приступать к минимизации.

Если необходимо получить минимальную ДНФ, то в Карте рассматриваем только те клетки которые содержат единицы, если нужна КНФ, то рассматриваем те клетки которые содержат нули. Сама минимизация производится по следующим правилам (на примере ДНФ):

Далее берём первую область и смотрим какие переменные не меняются в пределах этой области, выписываем конъюнкцию этих переменных, если неменяющаяся переменная нулевая, проставляем над ней инверсию. Берём следующую область, выполняем то же самое что и для первой, и т. д. для всех областей. Конъюнкции областей объединяем дизъюнкцией.
Например(для Карт на 2-ве переменные):

Для КНФ всё то же самое, только рассматриваем клетки с нулями, не меняющиеся переменные в пределах одной области объединяем в дизъюнкции (инверсии проставляем над единичными переменными), а дизъюнкции областей объединяем в конъюнкцию. На этом минимизация считается законченной. Так для Карты Карно на рис.1 выражение в формате ДНФ будет иметь вид:

В формате КНФ:

Различают комбинационные и последовательностные логические устройства.

Комбинационные логические устройства - это устройства, у которых значения выходных сигналов зависят только от комбинации входных сигналов в данный момент времени.

Последовательностные логические устройства - это устройства, выходные сигналы которых зависят от значений входных сигналов не только в данный момент времени, но и в предыдущие моменты времени. В состав этих устройств обязательно входят элементы памяти - триггеры. Различают несколько видов триггеров в зависимости от того, какую элементарную функцию памяти они реализуют.

При разработке логического устройства сначала формулируют словесное описание его алгоритма действия. Затем составляют удовлетворяющую этому описанию логическую функцию (абстрактный синтез) и далее разрабатывают структурную логическую схему устройства {структурный синтез).

В процессе абстрактного синтеза осуществляется переход от словесного описания ТП (его нормальный ход и аварийные ситуации) к составлению алгоритма функционирования в виде таблицы, циклограммы, графика и т.п. Циклограмма представляет собой ряд горизонтальных строк, равных числу входов и выходов логического устройства. Для составления логического алгоритма управления технологическим оборудованием необходимо иметь полную информацию о ТП каждой технологической операции и применяемом оборудовании. На этой стадии уточняют последовательность операций и необходимые временные задержки для всех режимов работы объекта управления, определяют параметры, подлежащие контролю и учету в ходе процесса; формулируют требования управляемого объекта к логическому устройству. Эти требования представляют в виде значений двоичных сигналов, которые должны быть поданы на исполнительные устройства системы управления в зависимости от состояния управляемого объекта.

В процессе структурного синтеза происходит переход от логической функции, описывающей алгоритм функционирования, к структурной схеме логического устройства.

Однако прежде чем приступить к разработке схемы, необходимо попытаться преобразовать исходную логическую функцию к максимально простому виду. На основе структурной схемы логического устройства разрабатывают его принципиальную схему с использованием конкретной элементной базы, например в базисе ИЛИ-HE или И-НЕ. Завершающий этап создания схемы логического устройства - разработка и согласование узлов связи устройства с оператором и управляемым объектом, защита от помех и т.п.

Исторически первыми устройствами, для описания действий которых использовали логические функции, были устройства, выполненные на релейно-контактных элементах. Для проектирования таких устройств была разработана теория релейно-контактных схем (ТРКС). Затем появились бесконтактные устройства, предназначенные только для логических преобразований сигналов и представляющие собой конструктивно оформленные изделия.

Устройства автоматики, действие которых описывается элементарными логическими функциями, обычно называют в соответствии с реализуемой ими логической операцией элементами НЕ, И, ИЛИ, И-НЕ, ИЛИ-HE (см. табл. 4.1).

Имея необходимые элементы, по логической функции можно синтезировать логическое устройство любой сложности. Однако построенная схема может оказаться неоправданно сложной, требующей использования большого числа логических элементов, что может повлиять на стоимость и надежность устройства. Во многих случаях удается так упростить логическую функцию, что соответствующая ей схема устройства оказывается существенно более простой и выполняющей поставленную задачу.

Методы минимизации логических функций. Методы упрощения комбинационных устройств называют методами минимизации логических функций. Метод минимизации основан на применении законов алгебры логики, или булевой алгебры, которые приведены ниже для минимального числа переменных. Эквивалентность левой и правой части уравнений обозначена знаком равенства. Одновременно изображены релейные эквиваленты рассматриваемых законов алгебры логики.

Переместительный закон . Для логической суммы и произведения порядок расположения переменных безразличен :

Сочетательный закон. Результат последовательного сложения переменных или умножения их не зависит от порядка этих действий:

Закон поглощения. Сложение переменной с этой же переменной , умноженной на другую переменную , или умножение переменной на сумму этой же переменной и другой переменной равно первой переменной:

Распределительный закон. Общий множитель можно выносить за скобки , как в обычной алгебре:

Закон склеивания. Сумма произведений первой и второй переменных и второй переменной и инверсии первой переменной равна второй переменной. Произведение суммы двух переменных и суммы инверсии первой переменной со второй переменной равно второй переменной:

Закон инверсии (закон Моргана - Шеннона). Отрицание логического сложения равносильно произведению отрицаний слагаемых , и , наоборот , отрицание логического умножения равносильно сумме отрицаний сомножителей:

Инверсия произвольной комбинации двоичных переменных, соединенных знаком «плюс» или «умножение», эквивалентна замене в ней значений перемен-

ных их инверсиями при одновременном изменении знака «плюс» на знак «умножение» и наоборот. Например, x t x 2 +x 3 x 4 =(x l x 2)(x 3 x 4) = (x l +х 2)(х 3 +х 4). Закон инверсии встречается только в алгебре логики.

Таким образом, закон инверсии позволяет заменить операцию ИЛИ операцией И, а при необходимости - наоборот. Это особенно важно, поскольку при широком использовании интегральных логических элементов в построении логических устройств наиболее часто используют элементы базисов И-НЕ, ИЛИ-НЕ.

Преобразования логических функций, выполняемые с применением распределительного закона, являются основным методом упрощений, так как вынесение общего множителя за скобки сокращает общее число переменных выражения, следовательно, позволяет сократить число элементов в схемах логических устройств.

Выполняя минимизацию, пользуются также следствиями законов алгебры логики, основные из которых следующие:

Последнее тождество для минимизации получено путем двойной инверсии упрощаемого выражения. Первая инверсия дает

Вторая инверсия дает

Для перехода из базиса И, ИЛИ, НЕ в базис ИЛИ-HE, а также в базис И-НЕ также выполняется преобразование логической формулы с использованием двойного отрицания. Рассмотрим пример перехода для релейной схемы на рис. 4.5, а , реализованной в базисе И, ИЛИ, НЕ (рис. 4.5, б), в базис ИЛИ-HE (рис. 4.5, в):

и в базис И-НЕ (рис. 4.5, г):

Количество черточек сверху формул равно количеству элементов отрицания, т.е. элементов ИЛИ-HE и И-НЕ. В первой формуле шесть отрицаний, и соответственно схема на рис. 4.5, в содержит шесть элементов ИЛИ-HE. Во второй формуле пять отрицаний, и соответственно схема на рис. 4.5, г содержит пять элементов И-НЕ.

Рис . 45.

а - на релейных элементах; б - на элементах ИЛИ, И, НЕ; в - на элементах

ИЛИ-HE; г-на элементах И-НЕ

Пример 4.1

Упростите выражение/ = (х + у)(х + z) и начертите релейный эквивалент до упрощения и после него. Здесь/ - выходной сигнал (состояние замыкающего контакта) релейного элемента F.

Решение

Упростим заданное выражение в соответствии с законами алгебры логики: Учитывая, что х х = х, запишем

Учитывая, что 1 + у + z = 1, окончательно запишем /= х + у z. После упрощения релейный эквивалент выглядит следующим образом:

Упростите выражение f = х-у + х y-z +y-z и начертите релейный эквивалент до упрощения и после него.

Решение

До упрощения релейный эквивалент в соответствии с заданным выражением выглядит следующим образом:

Упростим заданное выражение в соответствии с законами алгебры логики, вынося общий множитель за скобки:

Релейно-контактная схема этого выражения примет вид

Здесь учтено, что x-z =x + z иа + а = 1, или x+z+x+z = 1, где a = x + z; а = x+z. Поэтому после преобразования упрощенное выражение примет вид

После упрощения выражения релейный эквивалент выглядит так:

Проверим правильность преобразования с помощью таблицы состояния (табл. 4.2), в которой показаны все возможные комбинации двух переменных х и 2, и убедимся, что выражение х + г + х-г всегда равно единице.

Таблица 4.2

Таблица состояния

		X + Z + X-Z

Рассмотрим пример применения алгебры логики для создания системы автоматического регулирования уровня воды в резервуаре Р (рис. 4.6). Исполнительный механизм ИМ осуществляет подачу воды в резервуар путем полного открытия или закрытия подающего вентиля А. В резервуаре имеются два датчика уровня воды: датчик верхнего уровня В и датчик нижнего уровня Н. Когда уровень воды достигнет или превысит положение датчика, сигнал его становится равным единице. Если уровень воды опустится ниже уровня датчика, сигнал на его выходе становится равным нулю.

Рис. 4.6.

Проанализируем условия работы автоматической системы. Если уровень воды достигнет нижнего уровня Н, то необходимо включить подачу. Если уровень воды достигнет верхнего уровня В, то подачу необходимо отключить. Если уровень воды занимает промежуточное положение между В и Н, то подача должна остаться включенной, если она была включена от датчика Н. Если же подача была выключена датчиком В, то она должна оставаться выключенной. Временная диаграмма сигналов с выхода датчиков и управляющего сигнала Q приведена на рис. 4.7.

Рис. 4.7.

на рис. 4.6

Условия работы, т.е. все комбинации входных сигналов и сигнала управления, переведены на язык алгебры логики и представлены на рис. 4.7 в верхней таблице в виде единиц и нулей. В таблице указано, при каких соотношениях входных сигналов имеется или отсутствует сигнал Q на выходе релейной САР. Сигнал на выходе является результатом логических операций над входными сигналами.

Если по данным таблицы мы попытаемся записать условия работы в виде логических функций, то обнаружим, что включенному сигналу управления соответствуют два различных соотношения входных сигналов. То же относится и к выключенному сигналу управления. Получается неоднозначность выходного сигнала в зависимости от сочетания входных сигналов. При В = 0 и Н = 1 есть положение, когда Q = 0 и есть положение, когда Q=l. Это значит, что в схеме должен быть элемент памяти, в качестве которого можно использовать уже знакомый нам RS-триггер Т. Для включения триггера используем появление нулевого сигнала на выходе 11 (II = 0). Этот сигнал инвертируется и подается на устанавливающий вход S триггера Т. Поскольку сигнал В не изменяется, то его не будем учитывать и запишем условие для включения S = Н. Условия для сброса триггера и снятия сигнала управления записываем как R = В.

По этому же принципу строятся системы для регулирования температуры при охлаждении электрических машин и трансформаторов, а также силовых установок автомобилей и тракторов с помощью вентиляторов. Схема может использоваться и для автоматического поддержания температуры за счет подогрева в жилых и животноводческих помещениях.

Рассмотрим еще один пример применения алгебры логики для создания логических релейных защит электротехнических объектов на примере релейной защиты силового трансформатора, приведенной на рис. 4.8.

Правила устройства электроустановок предусматривают для ответственных объектов основную и резервную защиту. Основная защита должна отключать объект без выдержки времени, а резервная - с выдержкой времени.

Рис. 4.8.

а - силовая схема; б - схема цепей защиты

Основной защитой трансформатора Т1 при коротком замыкании в трансформаторе (КЗ в точке К1) служит дифференциальная релейная защита (на схеме она не показана). Резервной защитой при коротком замыкании на отходящих шинах подстанции за выключателем Q2 (КЗ в точке К2) служит максимальная токовая защита, действующая при срабатывании токовых реле КЛ1-К АЗ. Короткое замыкание в трансформаторе Т1 должно отключаться выключателем Q1 от действия резервной защиты без выдержки времени, т.е. «мгновенно». Короткое замыкание в точке К2 должно без выдержки времени отключаться выключателем Q2 (защита выключателя Q2 на схеме не показана). Если по каким-либо причинам защита, воздействующая на выключатель Q2 или сам выключатель Q2, не сработает, то от резервной защиты с выдержкой времени должен отключиться выключатель Q1.

Рассмотрим, как можно повысить быстродействие рассматриваемой резервной защиты, если КЗ произошло в трансформаторе и основная защита не сработала. Для этого измерительные органы ставят на входе и выходе трансформатора Т1. Они выполняют функцию определения места КЗ: на защищаемом объекте или на участке внешней сети. При КЗ на защищаемом объекте (КЗ в основной зоне) они разрешают работу резервной защиты без выдержки времени, а при внешнем КЗ они блокируют цепь мгновенного отключения, и защита работает как резервная с выдержкой времени.

Определение места КЗ выполняется следующим образом. При КЗ в Т1 (точка К1) трансформаторы тока ТА 1-ТАЗ обтекаются током КЗ, и срабатывают реле тока КА1-КАЗ. Трансформаторы тока ТА4-ТА5 на выходе трансформатора Т1 не обтекаются током КЗ. Реле тока КА4 и КА5 не срабатывают, их размыкающие контакты замкнуты. В такой ситуации защита должна сработать без выдержки времени. Промежуточное реле KL подает сигнал на отключение выключателя Q1.

Условия работы промежуточного реле KL для отключения без выдержки времени словесно можно сформулировать так: реле KL сработает, если сработает реле КЛ1, ИЛИ сработает реле КА2 ИЛИ, сработает реле КАЗ И НЕ сработают реле КА4 И реле КА5.

В символах математической логики условие срабатывания реле KL записывается так:

При КЗ на участке внешней сети (точка К2) трансформаторы тока ТА4 и ТА5 обтекаются током КЗ, что приводит к срабатыванию реле тока КА4 и КА5 и размыканию их размыкающих контактов в цепи релейной защиты без выдержки времени. Таким образом, работа защиты без выдержки времени блокируется. Резервная защита при КЗ в точке К2 работает с выдержкой времени.

Условие срабатывания реле времени резервной защиты формулируется словесно так: реле времени КТ сработает, если сработает реле КА1, ИЛИ сработает реле КА2, ИЛИ сработает реле КАЗ.

В символах математической логики условие срабатывания реле времени записывается как

Полностью условие срабатывания промежуточного реле KL, отключающего выключатель Q1 без выдержки времени и с выдержкой времени, записывается так:

Схема на рис. 4.8, б построена в соответствии с уравнениями (4.13) и (4.14). Срабатывание защиты без выдержки времени (логической защиты) фиксируется указательным реле КН1. Срабатывание защиты с выдержкой времени фиксируется указательным реле КН2.

Метод применим для функций от любого числа переменных, но мы рассмотрим его для функций от 3-х переменных.

Представим в виде ДНФ с неопределенными коэффициентамиk:

(**)

В этой ДНФ представлены все возможные элементарные коньюнкции, которые могут входить в функцию, а коэффициенты kмогут принимать значения 0 или 1. Значения коэффициентов нужно выбрать так, чтобы данная ДНФ была минимальной.

Будем рассматривать данную нам функцию на всех наборах и приравнивать выражение (**) на каждом из наборов (отбрасывая нулевые конъюнкции) соответствующему значению функции. Получим систему изуравнений вида:

Если в каком-то из этих уравнений правая часть равна 0, то все слагаемые левой части тоже равны 0. Эти коэффициенты можно исключить из всех уравнений, правые части которых равны 1. В этих уравнениях значение 1 следует присвоить тому коэффициенту, который соответствует коньюнкции наименьшего ранга. Эти коэффициенты и определят МДНФ.

Пример

Составляем систему, используя выражение (**).

После исключения нулевых слагаемых получаем

Полагаем остальные коэффициенты считаем нулевыми. Получаем МДНФ:

2.2. Метод Квайна - Мак - Класки

Рассмотренный метод неопределенных коэффициентов эффективен, если число аргументов функции не больше, чем 5 – 6. Это связано с тем, что число уравнений равно 2 n . Более эффективным является выписывание не всех возможных конъюнкций для функции, а только тех, которые могут присутствовать в ДНФ данной функции. На этом основан метод Квайна. При этом предполагается, что функция задана в виде СДНФ. В данном методе элементарные конъюнкции рангаn, входящие в ДНф, называются минитермами рангаn. Метод Квайна состоит из последовательного выполнения следующих этапов.

1. Нахождение первичных импликант

Просматриваем последовательно каждый минитерм функции и производим склеивание его со всеми минитермами, с которыми это возможно. В результате склеивания минитермов n-го ранга, мы получим минитермы (n-1)-га ранга. Минитермыn-го ранга, которые участвовали в операции склеивания, помечаем. Затем рассматриваем минитермы (n-1)-го ранга и операцию склеивания применяем к ним. Помечаем склеивающиеся минитермы (n-1)-го ранга и записываем получившиеся в результате склеивания минитермы (n-2)-го ранга и т. д. Этап заканчивается, если вновь полученные минитермыl -го ранга уже не склеиваются между собой. Все неотмеченные минитермы называются первичными импликантами. Их дизъюнкция представляет собой Сокр. ДНФ функции.

Склеиваем минитермы 4-го ранга и помечаем склеивающиеся минитермы звездочками

Образуем минитермы 2-го ранга:

Первичными (простыми) импликантами являются:

2. Расстановка меток

Для данной функции Сокр. ДНФ имеет вид:

Для построения тупиковых ДНФ и Сокр. ДНФ нужно выбросить лишние интервалы. Строим таблицу, строки которой соответствуют первичным импликантам, а столбцы – минитермам СДНФ. Если в некоторый из минитерм входит какой-то из импликант, то на пересечении соответствующей строки и столбца ставится метка, например, 1.

Продолжение примера

3. Нахождение существенных импликант

Если в каком-либо столбце содержится только одна единица, то первичная импликанта, определяющая эту строку, называется существенной. Например, существенной импликантой является . Существенная импликанта не может быть удалена из Сокр. ДНФ, т. к. только она способна покрыть некоторые минитермы СДНФ. Поэтому из таблицы исключаем строки, соответствующие этим импликантам, и столбцы, имеющие единицы в этих строках.

В рассматриваемом примере исключаем строку и столбцы.

В результате получаем таблицу

4. Вычеркивание лишних столбцов и строк

Если в полученной таблице есть одинаковые столбцы, то вычеркиваем все, кроме одного. Если после этого в таблице появятся пустые строки, то их вычеркиваем.

5. Выбор минимального покрытия максимальными интервалами

В полученной таблице выбираем такую совокупность строк, которая содержит единицы во всех столбцах. При нескольких возможных вариантах такого выбора, предпочтение отдается варианту с минимальным числом букв в строках, образующих покрытие.

Продолжение примера

Минимальное покрытие таблицы образуют строки, соответствующие импликантам . Тогда МДНФ имеет вид:

В методе Квайна есть одно существенное неудобство, связанное с необходимостью полного по парного сравнивания минитермов на этапе построения Сокр. ДНФ. В 1956 г. Мак - Класки предположил модернизацию первого этапа метода Квайна, дающую существенное уменьшение количества сравнений минитермов.

Идея метода Мак - Класки заключается в следующем. Все минитермы записываются в виде двоичных номеров, например, как 1010. Эти номера разбиваются на группы по числу единиц в номере, т. е. вi-ю группу попадают номера, имеющие в своей записиiединиц. По парное сравнение производится только между соседними по номеру группами, т. к. минитермы, пригодные для склеивания, отличаются друг от друга только в одном разряде. При образовании минитермов с ранга выше нулевого, в разряды, соответствующие исключенным переменным, ставится тире.

Пример

Найдем МДНФ для функции:

Минитермы 4-го ранга по группам

Минитермы 3-го ранга

Минитермы 2-го ранга

Непомеченные минитермы или простые импликанты

Строим таблицу меток

Обе первичные импликанты существенны и определяют минимальное покрытие, т. е. МДНФ имеет вид.

Существует два направления минимизации:

• Ш Кратчайшая форма записи (цель - минимизировать ранг каждого терма);
• Ш Получение минимальной формы записи (цель - получение минимального числа символов для записи всей функции сразу).
• 1. Метод эквивалентных преобразований

В основе метода минимизации булевых функций эквивалентными преобразованиями лежит последовательное использование законов булевой алгебры. Метод эквивалентных преобразований целесообразно использовать лишь для простых функций и для количества логических переменных не более 4-х. При большем числе переменных и сложной функции вероятность ошибок при преобразовании возрастает.

2. Метод Квайна.

При минимизации по методу Квайна предполагается, что минимизируемая логическая функция задана в виде СДНФ. Здесь используется закон неполного склеивания. Минимизация проводится в два этапа: нахождение простых импликант, расстановка меток и определение существенных импликант.

Непомеченные термы называются первичными импликантами. Полученное логическое выражение не всегда оказывается минимальным, поэтому исследуется возможность дальнейшего упрощения.

Для этого:

• Ш Составляются таблицы, в строках которых пишутся найденные первичные импликанты, а в столбцах указываются термы первичной ФАЛ.
• Ш Клетки этой таблицы отмечаются в том случае, если первичная импликанта входит в состав какого-нибудь первичного терма.
• Ш Задача упрощения сводится к нахождению такого минимального количества импликант, которые покрывают все столбцы.

Алгоритм метода Квайна (шаги):

• 1. Нахождение первичных импликант (исходные термы из ДНФ записывают в столбик и склеиваю сверху вниз, непомеченные импликанты переходят в функции на этом шаге).
• 2. Расстановка меток избыточности (составляется таблица, в которой строки - первичные импликанты, столбцы - исходные термы, если некоторый min-терм содержит первичный импликант, то на пересечении строки и столбца ставим метку).
• 3. Нахождение существенных импликант (если в каком-либо столбце есть только одна метка, то первичный импликант соответствующей строки является существенным).
• 4. Строка, содержащая существенный импликант и соответствующие столбцы вычеркиваются (если в результате вычеркивания столбцов появятся строки первичных импликант, которые не содержат метки или содержат одинаковые метки в строках, то такие первичные импликанты вычеркиваются, а в последнем случае оставляется одна меньшего ранга).
• 5. Выбор минимального покрытия (из таблицы, полученной на шаге 3 выбирают такую совокупность первичных импликант, которая включает метки во всех столбцах по крайней мере по одной метке в каждом, при нескольких возможных вариантах отдается предпочтение покрытию с минимальным суммарным числом элементов в импликантах, образующих покрытие).
• 6. Результат записывается в виде функции.

Пусть задана функция:

Для удобства изложения пометим каждую конституенту единицы из СДНФ функции F каким-либо десятичным номером (произвольно). Выполняем склеивания. Конституента 1 склеивается только с конституентой 2 (по переменной х3) и с конституентой 3 (по переменной х2) конституента 2 с конституентой 4 и т. д. В результате получаем:

Заметим, что результатом склеивания является всегда элементарное произведение, представляющее собой общую часть склеиваемых конституент.

с появлением одного и того же элементарного произведения. Дальнейшие склеивания невозможны. Произведя поглощения (из полученной ДНФ вычеркиваем все поглощаемые элементарные произведения), получим сокращенную ДНФ:

Переходим к следующему этапу. Для получения минимальной ДНФ необходимо убрать из сокращенной ДНФ все лишние простые импликанты. Это делается с помощью специальной импликантной матрицы Квайна. Строки такой матрицы отмечаются простыми импликантами булевой функции, т. е. членами сокращенной ДНФ, а столбцы -- конституентами единицы, т. е. членами СДНФ булевой функции.

Импликантная матрица имеет вид см. табл. 1.1

Таблица 1.1 Импликантная матрица

Как уже отмечалось, простая импликанта поглощает некоторую конституенту единицы, если является ее собственной частью. Соответствующая клетка импликантной матрицы на пересечении строки (с рассматриваемой простой импликантой) и столбца (с конституентой единицы) отмечается крестиком (табл. 1.). Минимальные ДНФ строятся по импликантной матрице следующим образом:

• 1. ищутся столбцы импликантной матрицы, имеющие только один крестик. Соответствующие этим крестикам простые импликанты называются базисными и составляют так называемое ядро булевой функции. Ядро обязательно входит в минимальную ДНФ.
• 2. рассматриваются различные варианты выбора совокупности простых импликант, которые накроют крестиками остальные столбцы импликантной матрицы, и выбираются варианты с минимальным суммарным числом букв в такой совокупности импликант.

Следовательно функция имеет вид:

3. Метод Квайна-Мак-Класки.

Метод представляет собой формализованный на этапе нахождения простых импликант метод Квайна. Формализация производится следующим образом:

• 1. Все конституенты единицы из СДНФ булевой функции F записываются их двоичными номерами.
• 2. Все номера разбиваются на непересекающиеся группы. Признак образования і-й группы: і единиц в каждом двоичном номере конституенты единицы.
• 3. Склеивание производят только между номерами соседних групп. Склеиваемые номера отмечаются каким-либо знаком (зачеркиванием, звездочкой и т.д.).
• 4. Склеивания производят всевозможные, как и в методе Квайна. Неотмеченные после склеивания номера являются простыми импликантами.

Образуем группы двоичных номеров. Признаком образования і-й группы является і единиц в двоичном номере конституенты единицы (табл.1.2).

Таблица 1.2 Группы двоичных номеров

Склеим номера из соседних групп табл. 1.3 Склеиваться могут только номера, имеющие прочерки в одинаковых позициях. Склеиваемые номера отметим. Результаты склеивания занесем в табл. 1.4.

Таблица 1.4 Результаты склеивания 2

По табл. 5. определяем совокупность простых импликант - 0--1 и 111-, соответствующую минимальной ДНФ. Для восстановления буквенного вида простой импликанты достаточно выписать произведения тех переменных, которые соответствуют сохранившимся двоичным цифрам:

Разбиение конституент на группы позволяет уменьшить число попарных сравнений при склеивании.

4. Метод диаграмм Вейча.

Метод позволяет быстро получать минимальные ДНФ булевой функции f небольшого числа переменных. В основе метода лежит задание булевых функций диаграммами некоторого специального вида, получившими название диаграмм Вейча. Для булевой функции двух переменных диаграмма Вейча имеет вид (Рис 1).

Рис.1.

Каждая клетка диаграммы соответствует набору переменных булевой функции в ее таблице истинности. На (Рис 1) это соответствие показано, в клетке диаграммы Вейча ставится единица, если булева функция принимает единичное значение на соответствующем наборе. Нулевые значения булевой функции в диаграмме Вейча не ставятся. Для булевой функции трех переменных диаграмма Вейча имеет следующий вид (Рис 2).

Рис.2.

Добавление к ней еще такой же таблицы дает диаграмму для функции 4-х переменных (Рис 3).

Рис.3.

Таким же образом, т. е. приписыванием еще одной диаграммы 3-х переменных к только что рассмотренной, можно получить диаграмму для функции 5-ти переменных и т. д., однако диаграммы для функций с числом переменных больше 4-х используются редко.

5. Карты Карно.

Метод карт Карно - это один из графических методов минимизации функции. Эти методы основаны на использовании особенности зрительного восприятия, так как с его помощью можно практически мгновенно распознать те или иные простые конфигурации.

Построим таблицу метода карт Карно (табл. 1.6).

Таблица 1.6 Карты Карно

Теперь подсчитаем совокупность всех крестиков с метками минимальным количеством крестиков. Таких крестиков в нашем случае будет 5: три четырехклеточных и два двухклеточных. Этим крестикам соответствуют следующие простые импликанты:

для первого - X 3 X 4 ;

для второго - X 1 X 3 ;

для третьего - X 2 X 3 ;

для четвертого - X 1 X 2 X 4 ;

для пятого - X 1 X 2 X 4 ;

Минимальная ДНФ будет выглядеть так:

6. Метод неопределенных коэффициентов.

Этот метод может быть использован для любого числа аргументов. Но так как этот метод достаточно громоздок, то применяется только в тех случаях, когда число аргументов не более 5-6.

В методе неопределенных коэффициентов используются законы универсального и нулевого множеств и законы повторения. В начале все коэффициенты неопределенны (отсюда и название метода).

Построим матрицу неопределенных коэффициентов для четырех аргументов. В этом случае мы будем иметь систему из 16-ти уравнений.

Приравняем все коэффициенты 0 в тех строках, которым соответствует 0 в векторе столбце. Затем приравняем 0 соответствующие коэффициенты в других строках. После этих преобразований система примет следующий вид (Рис 4):

Рис.4.

Теперь в каждой строке необходимо выбрать коэффициент минимального ранга и приравнять его единице, а остальные коэффициенты - 0. После этого вычеркиваем одинаковые строки, оставляя при этом одну из них (те строки, у которых все коэффициенты равны 0, также вычеркиваются).

Запишем теперь конъюнкции, соответствующие коэффициентам, равным единицам. Мы получим минимальную ДНФ.

Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства