Кто решил какие проблемы гильберта. VIVOS VOCO: Давид Гильберт, "Математические проблемы"

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Описание слайда:

2 слайд

Описание слайда:

Общие сведения Проблемы Гильберта - список из 23 кардинальных проблем математики, представленный Давидом Гильбертом на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Тогда эти проблемы (охватывающие основания математики, алгебру, теорию чисел, геометрию, топологию, алгебраическую геометрию, группы Ли, вещественный и комплексный анализ, дифференциальные уравнения, математическую физику и теорию вероятностей, а также вариационное исчисление) не были решены. На данный момент решены 16 проблем из 23. Ещё 2 не являются корректными математическими проблемами (одна сформулирована слишком расплывчато, чтобы понять, решена она или нет, другая, далёкая от решения, - физическая, а не математическая). Из оставшихся 5 проблем две не решены никак, а три решены только для некоторых случаев.

3 слайд

Описание слайда:

4 слайд

Описание слайда:

Список проблем (продолжение) № Статус Краткая формулировка Результат Год решения 11 частично решена Исследование квадратичных форм с произвольными алгебраическимичисловыми коэффициентами 12 не решена Распространение теоремы Кронекера об абелевых полях на произвольную алгебраическую область рациональности 13 решена Можно ли решить общее уравнение седьмой степени с помощью функций, зависящих только от двух переменных Да 1957 14 решена Доказательство конечной порождённости алгебры инвариантов линейной алгебраической группы Опровергнута 1959 15 частично решена Строгое обоснование исчислительной геометрии Шуберта 16 частично решена Топология алгебраических кривых и поверхностей 17 решена Представимыли определённые формы в виде квадратов Да 1927

5 слайд

Описание слайда:

Список проблем (продолжение) № Статус Краткая формулировка Результат Год решения 18 решена Конечно ли число алгебраическихгрупп? Существуют ли нерегулярные заполнения пространства конгруэнтными многогранниками? Являются ли гексагональная и кубическая гранецентрированная упаковки шаров наиболее плотными? Да Да Да (a)1927 (b)1998 19 решена Всегда ли решения вариационной задачи Лагранжа являются аналитическими? Да 1957 20 решена Все ли вариационныезадачи с определёнными граничными условиями имеют решения? Да? 21 решена Доказательство существования линейных дифференциальных уравнений с заданной группой монодромии Требуетуточнения формулировки? 22 решена Униформизация аналитических зависимостей с помощью автоморфных функций? 23 не решена Развитиеметодов вариационного исчисления

6 слайд

Описание слайда:

24 ‒ я проблема Изначально список содержал 24 проблемы, но в процессе подготовки к докладу Гильберт отказался от одной из них. Эта проблема была связана с теорией доказательств критерия простоты и общих методов. Данная проблема была обнаружена в заметках Гильберта немецким историком науки Рюдигером Тиле в 2000 году.

ГОУ Гимназия № 000

«Московская городская педагогическая гимназия-лаборатория»

Реферат

Проблемы Гильберта и советская математика

Ефремова Екатерина

Руководитель:

Введение.............................................................................................................................................2

§1. Краткая биография Давида Гильберта.................................................................................4

§2. Прблемы Гильберта..................................................................................................................5

§3. Вклад советских математиков в решение проблем Гильберта........................................ 7

§4. Проблемы, решенные советскими математиками.............................................................9

Заключение......................................................................................................................................10

Список литературы.......................................................................................................................11

Введение

Мой реферат посвящён статье о проблемах Гильберта и советской математике. Статью написал Демидов, а опубликована была в ноябрьском номере физико-математического научно-популярного журнала "Квант" в 1977 году.

Этот журнал для школьников и студентов рассчитывался на массового читателя. Во время выпуска статьи журнал выпускался изданием "Наука". Идею создания "Кванта" первым высказал академик Пётр Леонидович Капица в 1964 году, и только в январе 1970 года вышел в свет первый номер журнала, в котором главным редактором стал академик Исаак Константинович Кикоин. По оценкам экспертов ЮНЕСКО в 1985 году "Квант" являлся уникальным в своём жанре журналом.

Проблемы Гильберта - это список двадцати трёх кардинальных проблем математики, представленные Давидом Гильбертом на втором Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Эти проблемы охватывали основания математики (1, 2 проблемы), алгебру (13, 14, 17 проблемы), теорию чисел (7, 8, 9, 10, 11, 12 проблемы), геометрию (3, 4, 18 проблемы), топологию (16 проблема), алгебраическую геометрию (12, 13, 14, 15, 16, 22 проблемы), группы Ли (5, 14, 18 проблемы), вещественный и комплексный анализ (13, 22 проблемы), дифференциальные уравнения (16, 19, 20, 21 проблемы), математическую физику и теорию вероятностей (6 проблема), а так же вариационное исчисление (23 проблема). Тогда эти проблемы не были решены. На данный момент уже решены девятнадцать из двадцати трех, а точнее пятнадцать решены, а остальные четыре имеют только частичное решение. Ещё две не являются корректными математическими проблемами, так как одна сформулирована слишком не четко, что бы понять, решена она или нет, а вторая скорее физическая, а не математическая. Ответ для оставшихся двух (8,16) до сих пор является загадкой.

Но акцент в этой статье делается не на проблемы Гильберта, а именно на советскую математику. В ней рассказывается, что Россия долго не была мощной математической державой, подобно Франции и Германии. К тому времени Россия обладала признанными математическими школами и дала миру выдающихся математиков, таких как Лобачевский и Чебышева. В статье Демидова показывается, как Россия росла в науке, как достигала вершин в математике. Я считаю, что это важно, так как показывается, что не всё даётся сразу, и что всего надо добиваться услиями. Что даже для того, что бы получить всемирное признание учёным пришлось пройти огромный путь в науке.

Эта статья написана по книге, которая рассказывает о достижениях ученых всего мира в решении проблем Гильберта, которая вышла в России в 1969 году. Но я не пишу по этой книге, так как она требует значительной математической подготовки, а для понимания некоторых отделов не хватит даже университетского курса. Так же со времени её издания даже до времени написания статьи очень изменилось положение дел с изучение проблем Гильберта. Математика уже тогда была в стадии бурного развития, она постоянно ставила перед учеными новые проблемы. Это не смотря на то, что многие старые, в том числе и проблемы Гильберта, не нашли своего решения.

Я себе поставила цель изучить именно вклад советских математиков в решение данных проблем и посмотреть, как развилась математическая наука за ХХ век на примере этой статьи.

Я считаю эту тему интересной в первую очередь для себя, и именно поэтому взяла её в основу моего реферата. Мне кажется, что сейчас, понятие математики среди школьников очень поверхностное. Все считают, что уже открыты все возможные теоремы, законы. Но это далеко не так. С каждым днём математика идет вперед, не стоит на месте. А в данной статье показано, кок она развивалась, как её развивали наши соотечественники. И мне кажется важно знать, что они сделали для мировой математики.

§1. Биография Давида Гильберта

Давид Гильберт родился в семье судьи Отто Гильберта, в городке Велау близ Кёнигсберга в Пруссии 23 января 1862. Здесь же закончил гимназию Вильзельма и поступил в Кёнигсбергский университет, где подружился с Германом Минковским и Адольфом Гурвицем. Вместе они часто совершали долгие «математические прогулки», где деятельно обсуждали решение научных проблем. Позднее Гильберт узаконил такие прогулки как неотъемлемую часть обучения своих студентов.

В 1885 году Гильберт защитил диссертацию по теории инвариантов, научным руководителем которой был Линдеман, а в следующем году стал профессором математики в Кёнигсберге. В ближайшие несколько лет фундаментальные открытия Гильберта в теории инвариантов выдвинули его в первые ряды европейских математиков.

В 1895 году по приглашению Феликса Клейна Гильберт переходит в Гёттингенский университет. На этой должности он оставался 35 лет, почти до конца жизни.

В 1900 году на Втором Международном математическом конгрессе Гильберт формулирует знаменитый список 23 нерешённых проблем математики, о которых далее и пойдет речь.

§2. Проблемы Гильберта

“Кто из нас не хотел бы приоткрыть завесу, за которой скрыто наше будущее, чтобы хоть одним взглядом проникнуть в предстоящие успехи нашего знания и тайны его развития в ближайшие столетия? Каковы будут те особенные цели, которые поставят себе ведущие математические умы ближайшего поколения? Какие новые методы и новые факты будут открыты в новом столетии на широком и богатом поле математической мысли? История учит, что развитие науки протекает непрерывно. Мы знаем, что каждый век имеет свои проблемы, которые последующая эпоха или решает, или отодвигает в сторону как бесплодные, чтобы заменить их новыми. Чтобы представить себе возможный характер развития математики в ближайшем будущем, мы должны перебрать в нашем воображении вопросы, которые еще остаются открытыми, обозреть проблемы, которые ставит современная наука, и решения которых мы ждем от будущего. Такой обзор проблем кажется мне сегодня, на рубеже нового столетия, особенно своевременным”. – Так начал свой доклад Д. Гильберт на втором математическом конгрессе восьмого августа 1900 года на заседании пятой и шестой секций.

Первые шесть проблем доклада Гильберта относятся к обоснованию различных математических дисциплин, следующие девять - к более специальным вопросам алгебры, алгебраической геометрии и теории чисел, остальные восемь - к теории функций, дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению.

Следует отметить, что некоторые из этих проблем были поставлены задолго до Гильберта. Так, первая в списке - проблема континуума - была поставлена Г. Кантором в 1878 году, вопросы, относящиеся к третьей проблеме, обсуждались еще К. Гауссом в его переписке с Герлингом. Что касается вопросов, составляющих содержание восьмой проблемы, то один из них - гипотеза о нулях

дзета-функции - был поставлен Б. Риманом в 1859 году, другой, именуемый гипотезой Гольдбаха, - еще в 1742 году в письме последнего к Л. Эйлеру, наконец, 21-я проблема - задача, выдвинутая Б. Риманом в 1857 году. Остальные проблемы, автором которых был сам Гильберт, составляют лишь часть задач, поставленных им к тому времени. Эти обстоятельства подчеркивают особый характер выбора проблем, содержащихся в докладе, - здесь лишь те наиболее важные, по мнению Гильберта, задачи, которые стояли тогда перед математикой, размышления над которыми могли помочь “представить себе возможный характер развития математического знания в ближайшем будущем”.

На данное время, уже 113 лет спустя озвучки проблем, не решены две знаменитые проблемы. А именно восьмая (о нулях дзета-функции Римана) и шестнадцатая (о предельных циклах). Ученые во всего мира думают над решением данных проблем, но пока не находят решения, и прогнозы пока не очень ясные.

Из всех проблем только двенадцать проблем решено, из них две опровергнуты. Так же три требуют уточнения формулировки, и одна неразрешаема.

Существует ещё интересный факт, что изначально существовало 24 проблемы Гильберта. Но в процессе подготовки к докладу Гильберт отказался от одной из них. Задача была обнаружина сто лет спустя, немецким историком в заметках Гильберта. Эта задача была связана с теорией доказательств критерия простых и общих методов. В принципе эта задача тоже является нерешенной, но о ней никто официально не говорил. И следовательно не пробовали ее решать.

§3. Вклад советских математиков в решение проблем Гильберта

Так же в решении этих проблем, помимо многих талантливых математиков из различных стран мира и самого Гильберта, принимали участие и отечественные математики. Россия в то время ещё не была математической державой, как Франция или Германия, но уже обладала математическими школами. Русские делегации на конгрессах были не большими, где-то 9 человек. А это мало, по сравнению с Германией (25) и Францией (90). На данном конгрессе делегация выступила только с одним сообщением «Об исчезновении функции Н нескольких переменных».

Первой работой в России, посвящённой решению проблем Гильберта, считается работа Кагана 1903 года над третьей проблемой. Хоть она и не была решена, но исследования значительно упростили докозательство. Именно с этой проблемы и началось в России активное участие в их решении.

А уже спустя год молодой ученый, в последствии академик, Беренштейн полностью дал решение девятнадцатой проблеме. Разработка этих проблем и принесла определенную известность советским математикам, так как ранее о них мало что знали.

На протяжении всего двадцатого века ученые решали проблемы с разным успехом. Так в 1929 года Гельфонд дал частичное решение седьмой проблемы Гильберта, а в 1934 году дал окончательное ее решение. Над данной проблемой трудились и постепенно приходили к выводам некоторые немецкие математики. Именно благодаря совместной работе ученых и была доказана седьмая проблема, как и многие другие.

Восьмая проблема Гильберта состоит из нескольких задач, относящихся к теории простых чисел. Каждый полученный здесь новый факт был событием чрезвычайной значимости. Одна из этих задач - так называемая проблема Гольдбаха: доказать, что всякое целое число, большее или равное шести является суммой трех простых.

Легко найти требуемые разложения для небольших чисел:

6 = 2 + 2 + 2,

7 = 3 + 2 + 2,

15 = 3 + 5 + 7.

Но проверять эту гипотезу на больших чисел долгое время не удавалось. К решению проблемы не удавалось найти никаких подходов. Дошло до того, что на Международном конгрессе математиков 1912 года был доклад о невозможном решении данной проблемы. Тем более сенсационным стал результат замечательного советского математика академика, сумевшего в 1937 году решить проблему для нечетных чисел. Этот результат, а также метод его получения относят к числу наиболее выдающихся математических достижений XX века. Метод этот успешно применялся в дальнейшем для решения многих задач теории чисел. В 1946 году академик дал другое доказательство теореме с привлечением методов теории функций комплексного переменного.

Можноподробно рассказывать о многих Российских ученых, которые внесли свой вклад в решении этих проблем, потому что даже небольшая находка в решении проблемы уже много значила и приближала к её решению.

§4. Проблемы, решенные советскими математиками

Список проблем, решенных совесткимим математиками, или к решению которых они приблизились:

1. Исследование 1903 года, который значительно сократил и упростил решение третьей проблемы Гильберта;

2. В 1904 году дал решение девятнадцатой проблемы

3. Им же в работах 1908-1909 годов были получены важные результаты, связанные с двадцатой проблемой;

4. В 1929 году дал частичное решение седьмой проблемы Гильберта;

5. занимался шестнадцатой проблемой Гильберта и в 1933 году он решил одну из этих задач;

6. В 1934 году дал окончательное решение седьмой проблемы;

7. Делали успехи в решение пятой проблемы и, доказавшие проблему соответственно в 1934 и 1946 года для очень важных случаев, хоть и не решили её полностью;

8. Результаты по девятнадцатой проблеме были получены в 1937 году;

9. в 1937 году решил часть восьмой проблемы для нечетных чисел;

10. Одно из самых замечательных доказательств второй проблемы получил в 1943 году академик;

11. В работе 1949 года (совместно с) обобщил свой результат по девятнадцатой проблеме;

12. В 1954 году академиком и были достигнуты успехи в решении тринадцатой проблемы;

13. В 1960 году ленинградскими математиками и было получено “смыкание” результатов по девятнадцатой и двадцатой проблемам Гильберта;

14. Десятую проблему окончательно решил в 1970 году;

Заключение

Проблемы Гильберта – одна из самых сложных задач всемирной математики. Но их решение помогло развить математику России почти из ничего и до всемирной известности. Если в начале XX века были известны лишь несколько математиков, то к концу Россию знали как великую математическую державу. Были образованы школы и университеты с математическими направлениями. Математика находится сейчас в стадии бурного развития, она постоянно ставит перед учеными новые и новые проблемы. Да и многие старые (в том числе некоторые из проблем Гильберта) до сих пор не нашли своего решения. Многие видят математику как «мертвую науку», но это не так. Математики постоянно ее развивают.

И наличие определенных проблем показывает, что у математики тоже есть своя история. Причем изучая данные проблемы я поняла, что эта история очень интересная. Я для себя узнала много нового, для многих математика – это просто набор формул и доказательств, теорем и аксиом . Так вот, математика это живая наука. Как мир живет и каждый день входит в историю, так и математика пишет свою историю.

Так же я увидела, как много значил ХХ век для математики, а в частности для математики в России. Ведь так много изменилось за это столетие. Произошел невероятный скачек в науке, в том числе и благодаря советским математикам.

Список литературы

1) Болибрух «Математическое просвещение» Выпуск 2. «Проблемы Гильберта (100 лет спустя)». // Москва, 1999 год.

2) Демидов С. Научно-популярный физико-математический журнал "Квант". // Москва, Ноябрь, 1977 год.

План:

Введение

• 1 Список проблем
• 2 24-я проблема
• 3 Примечания
• 4 Тексты в Интернете
Литература

Введение

Пробле́мы Ги́льберта - список из 23 кардинальных проблем математики, представленный Давидом Гильбертом на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Тогда эти проблемы (охватывающие основания математики, алгебру, теорию чисел, геометрию, топологию, алгебраическую геометрию, группы Ли, вещественный и комплексный анализ, дифференциальные уравнения, математическую физику и теорию вероятностей, а также вариационное исчисление) не были решены. На данный момент решены 16 проблем из 23. Ещё 2 не являются корректными математическими проблемами (одна сформулирована слишком расплывчато, чтобы понять, решена она или нет, другая, далёкая от решения, - физическая, а не математическая). Из оставшихся 5 проблем две не решены никак, а три решены только для некоторых случаев.

1. Список проблем

2. 24-я проблема

Изначально список содержал 24 проблемы, но в процессе подготовки к докладу Гильберт отказался от одной из них. Эта проблема была связана с теорией доказательств критерия простоты и общих методов. Данная проблема была обнаружена в заметках Гильберта немецким историком науки Рюдигером Тиле в 2000 году .

3. Примечания

1. Результаты Гёделя и Коэна (Cohen) показывают, что ни континуум-гипотеза, ни её отрицание не противоречит системе аксиом Цермело - Френкеля (стандартной системе аксиом теории множеств). Таким образом, континуум-гипотезу в этой системе аксиом невозможно ни доказать, ни опровергнуть (при условии, что эта система аксиом непротиворечива). Ведутся споры о том, является ли результат Коэна полным решением задачи.
2. Курт Гёдель доказал, что непротиворечивость аксиом арифметики нельзя доказать, исходя из самих аксиом арифметики. В 1936 году Герхард Генцен доказал непротиворечивость арифметики, однако для этого ему пришлось в список аксиом добавить ослабленную форму трансфинитной индукции.
3. Согласно Рову (Rowe) и Грею (Gray) (см. далее), большинство проблем были решены. Некоторые из них не были достаточно точно сформулированы, однако достигнутые результаты позволяют рассматривать их как «решённые». Ров и Грей говорят о четвёртой проблеме как о такой, которая слишком нечётко поставлена, чтобы судить о том, решена она или нет.
4. Решена Зигелем и Гельфондом (и независимо Шнайдером) в более общем виде: если a ≠ 0, 1 - алгебраическое число, и b - алгебраическое, но иррациональное, то a b - трансцендентное число
5. Проблема № 8 содержит две известные проблемы, обе из которых остаются нерешёнными. Первая из них, гипотеза Римана, является одной из семи Проблем тысячелетия, которые были обозначены как «Проблемы Гильберта» 21-го века.
6. Проблема № 9 была решена для абелевого случая; неабелев случай остаётся нерешённым.
7. Юрий Матиясевич в 1970 году доказал алгоритмическую неразрешимость вопроса о том, имеет ли произвольное диофантово уравнение хотя бы одно решение. Изначально проблема была сформулирована Гильбертом не в качестве дилеммы, а в качестве поиска алгоритма: в то время, видимо, даже не задумывались о том, что может существовать отрицательное решение подобных проблем.
8. Утверждение о конечной порождённости алгебры инвариантов доказано для редуктивных групп. Нагата в 1958 году построил пример унипотентной группы, у которой алгебра инвариантов не является конечно порождённой. В. Л. Попов доказал, что если алгебра инвариантов любого действия алгебраической группы G на аффинном алгебраическом многообразии конечно порождена, то группа G редуктивна.
9. Первая (алгебраическая) часть проблемы № 16 более точно формулируется так. Харнаком доказано, что максимальное число овалов равно M=(n-1)(n-2)/2+1, и что такие кривые существуют - их называют M-кривыми. Как могут быть расположены овалы M-кривой? Эта задача сделана до степени n=6 включительно, а для степени n=8 довольно много известно (хотя её ещё не добили). Кроме того, есть общие утверждения, ограничивающие то, как овалы M-кривых могут быть расположены - см. работы Гудкова, Арнольда, Роона, самого Гильберта (впрочем, стоит учитывать, что в доказательстве Гильберта для n=6 есть ошибка: один из случаев, считаемый им невозможным, оказался возможным и был построен Гудковым). Вторая (дифференциальная) часть остаётся открытой даже для квадратичных векторных полей - неизвестно даже, сколько их может быть, и что оценка сверху существует. Даже индивидуальная теорема конечности (то, что у каждого полиномиального векторного поля имеется конечное число предельных циклов) была доказана только недавно. Она считалась доказанной Дюлаком, но в его доказательстве была обнаружена ошибка, и окончательно эта теорема была доказана Ильяшенко и Экалем, для чего каждому из них пришлось написать по книге.
10. Приведен перевод исходного названия проблемы, данного Гильбертом: «16. Problem der Topologie algebraischer Curven und Flächen» - www.mathematik.uni-bielefeld.de/~kersten/hilbert/rede.html (нем.) . Однако, более точно её содержание (как оно рассматривается сегодня) можно было бы передать следующим названием: «Число и расположение овалов вещественной алгебраической кривой данной степени на плоскости; число и расположение предельных циклов полиномиального векторного поля данной степени на плоскости». Вероятно (как можно увидеть из английского перевода текста анонса - aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/problems.html#prob16 (англ.) ), Гильберт считал, что дифференциальная часть (в реальности оказавшаяся значительно труднее алгебраической) будет поддаваться решению теми же методами, что и алгебраическая, и потому не включил её в название.
11. Bieberbach L. Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I.-Math. Ann., 1911, 70, S. 297-336; 1912, 72, S. 400-412.
12. Ров и Грей также называют проблему № 18 «открытой» в своей книге за 2000 год, потому что задача упаковки шаров (известная также как задача Кеплера) не была решена к тому времени, однако на сегодняшний день есть сведения о том, что она уже решена (см. далее). Продвижения в решении проблемы № 16 были сделаны в недавнее время, а также в 1990-х.
13. http://www.maa.org/news/Thiele.pdf - www.maa.org/news/Thiele.pdf

4. Тексты в Интернете

• Оригинальный текст на немецком доклада Гильберта - www.mathematik.uni-bielefeld.de/~kersten/hilbert/rede.html
• Русский перевод доклада Гильберта - vivovoco.rsl.ru/VV/PAPERS/NATURE/GILBERT_R.HTM (вводная часть и заключение)

Литература

• Болибрух А. А. Проблемы Гильберта (100 лет спустя) - www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php?book=2. - МЦНМО, 1999. - Т. 2. - 24 с. - (Библиотека «Математическое просвещение»).
• Демидов С. С. К истории проблем Гильберта // Историко-математические исследования . - М .: Наука, 1966. - № 17. - С. 91-122.
• Ляшко С. И., Номировский Д. А., Петунин Ю. И., Семенов В. В. Двадцатая проблема Гильберта. Обобщенные решения операторных уравнений - shtonda.blogspot.com/2009/01/twentieth-problem-hilbert.html. - М .: «Диалектика», 2009. - 192 с. - ISBN 978-5-8459-1524-5
• Проблемы Гильберта - ilib.mccme.ru/djvu/klassik/gilprob.htm, Сборник под редакцией П. С. Александрова, М., Наука, 1969 г., 240 с.

В 1900 году в Париже состоялся II Международный Конгресс математиков. На нем выступил немецкий ученый, профессор Давид Гильберт, который в своем докладе поставил 23 самые главные на тот момент, существенные проблемы, касающиеся математики, геометрии, алгебры, топологии, теории чисел, теории вероятностей.

На данный момент решены 16 проблем из 23. Ещё 2 не являются корректными математическими проблемами (одна сформулирована слишком расплывчато, чтобы понять, решена она или нет, другая, далёкая от решения, - физическая, а не математическая). Из оставшихся пяти проблем две не решены никак, а три решены только для некоторых случаев.

Полный список проблем Гильберта и их статус:

1. Континуум–гипотеза. Существует ли бесконечное кардинальное число строго между кардиналами множеств целых и действительных чисел? Решена Полом Коэном в 1963 г. - ответ на вопрос зависит от того, какие аксиомы используются в теории множеств.

2. Логическая непротиворечивость арифметики. Доказать, что стандартные аксиомы арифметики не могут привести к противоречию. Решена Куртом Геделем в 1931 г.: с обычными аксиомами теории множеств такое доказательство невозможно.

3. Равносоставленность равновеликих тетраэдров. Если два тетраэдра имеют одинаковый объем, то всегда ли можно разрезать один из них на конечное число многоугольников и собрать из них второй? Решена в 1901 г. Максом Деном, ответ отрицательный.

4. Прямая как кратчайшее расстояние между двумя точками. Сформулировать аксиомы геометрии на основе данного определения прямой и посмотреть, что из этого следует. Слишком расплывчатая задача, чтобы можно было рассчитывать на определенное решение, но сделано немало.

5. Группы Ли без опоры на дифференцируемость. Технический вопрос теории групп преобразований. В одной из интерпретаций ее решил Эндрю Глисон в 1950–е гг., в другой - Хидехико Ямабе.

6. Аксиомы физики. Разработать строгую систему аксиом для математических областей физики, таких как теория вероятностей или механика. Систему аксиом для вероятностей построил Андрей Колмогоров в 1933 г.

7. Иррациональные и трансцендентные числа. Доказать, что определенные числа являются иррациональными или трансцендентными. Решена в 1934 г. Александром Гельфондом и Теодором Шнайдером.

8. Гипотеза Римана. Доказать, что все нетривиальные нули римановой дзета–функции лежат на критической линии. См. главу 9.

9. Законы взаимности в числовых полях. Обобщить классический закон квадратичной взаимности (о квадратах по определенному модулю) на более высокие степени. Частично решена.

10. Условия существования решений диофантовых уравнений. Найти алгоритм, позволяющий определить, имеет ли данное полиномиальное уравнение со многими переменными решения в целых числах. Невозможность доказал Юрий Матиясевич в 1970 г.

11. Квадратичные формы с алгебраическими числами в качестве коэффициентов. Технические вопросы решения диофантовых уравнений со многими переменными. Решена частично.

12. Теорема Кронекера об абелевых полях. Технические вопросы обобщения теоремы Кронекера. Не доказана до сих пор.

13. Решение уравнений седьмой степени при помощи функций специального вида. Доказать, что общее уравнение седьмой степени не может быть решено с использованием функций двух переменных. В одной из интерпретаций возможность такого решения доказали Андрей Колмогоров и Владимир Арнольд.

14. Конечность полной системы функций. Расширить теорему Гильберта об алгебраических инвариантах на все группы преобразований. Опроверг Масаёси Нагата в 1959 г.

15. Исчислительная геометрия Шуберта. Герман Шуберт нашел нестрогий метод подчета различных геометрических конфигураций. Задача в том, чтобы сделать этот метод строгим. Полного решения до сих пор нет.

16. Топология кривых и поверхностей. Сколько связанных компонент может иметь алгебраическая кривая заданной степени? Сколько различных периодических циклов может иметь алгебраическое дифференциальное уравнение заданной степени? Ограниченное продвижение.

17. Представление определенных форм в виде суммы квадратов. Если рациональная функция всегда принимает неотрицательные значения, то должна ли она обязательно выражаться в виде суммы квадратов? Решили Эмиль Артин, Д. Дюбуа и Альбрехт Пфистер. Верно для действительных чисел, неверно в некоторых других числовых системах.

18. Заполнение пространства многогранниками. Общие вопросы о заполнении пространства конгруэнтными многогранниками. Имеет отношение к гипотезе Кеплера, ныне доказанной (см. главу 5).

19. Аналитичность решений в вариационном исчислении. Вариационное исчисление отвечает на такие вопросы, как «найти кратчайшую кривую с заданными свойствами». Если подобная задача формулируется при помощи красивых функций, то должно ли решение тоже быть красивым? Доказали Эннио де Джорджи в 1957 г. и Джон Нэш.

20. Граничные задачи. Разобраться в решениях дифференциальных уравнений физики в определенной области пространства, если заданы свойства решения на ограничивающей эту область поверхности. В основном решена (вклад внесли многие математики).

21. Существование дифференциальных уравнений с заданной монодромией. Особый тип комплексного дифференциального уравнения, в котором можно разобраться при помощи данных о его точках сингулярности и группе монодромии. Доказать, что может существовать любая комбинация этих данных. Ответ «да» или «нет» в зависимости от интерпретации.

22. Униформизация с использованием автоморфных функций. Технический вопрос об упрощении уравнений. Решил Пауль Кебе вскоре после 1900 г.

23. Развитие вариационного исчисления. Гильберт призывал к выдвижению новых идей в области вариационного исчислении. Многое сделано, но формулировка слишком неопределенная, чтобы задачу можно было считать решенной.