A szomszédos szögek összege 180. Függőleges és szomszédos szögek
A geometria nagyon sokrétű tudomány. Fejleszti a logikát, a képzeletet és az intelligenciát. Természetesen összetettsége miatt és Hatalmas mennyiségű tételek és axiómák, az iskolásoknak nem mindig tetszik. Ezenkívül állandóan bizonyítania kell következtetéseit általánosan elfogadott szabványok és szabályok alkalmazásával.
Kapcsolódó és függőleges szögek a geometria szerves része. Bizonyára sok iskolás egyszerűen imádja őket, mert tulajdonságaik világosak és könnyen bizonyíthatóak.
Sarkok kialakítása
Bármely szöget úgy alakítunk ki, hogy két egyenest metszünk, vagy egy pontból két sugarat húzunk. Egy betűnek vagy háromnak nevezhetők, amelyek egymás után jelölik azokat a pontokat, amelyekben a szöget megszerkesztik.
A szögeket fokban mérjük, és (értéküktől függően) másképpen nevezhetjük. Tehát van egy derékszög, hegyes, tompa és kibontott. Mindegyik név egy meghatározottnak felel meg fokmérő vagy annak intervalluma.
A hegyesszög az a szög, amelynek mértéke nem haladja meg a 90 fokot.
A tompaszög 90 foknál nagyobb szög.
Egy szöget akkor nevezünk jobbra, ha fokmértéke 90.
Abban az esetben, ha egy folytonos egyenes alkotja, és fokmérője 180, kiterjesztettnek nevezzük.
Azokat a szögeket, amelyeknek közös oldala van, és amelyeknek a második oldala folytatja egymást, szomszédosnak nevezzük. Lehetnek élesek vagy tompák is. Az egyenes metszéspontja szomszédos szögeket alkot. Tulajdonságaik a következők:
- Ezeknek a szögeknek az összege 180 fokkal lesz egyenlő (van egy tétel, amely ezt bizonyítja). Ezért az egyik könnyen kiszámítható, ha a másik ismert.
- Az első pontból az következik, hogy két tompaszög vagy két hegyesszög nem alkothat szomszédos szögeket.
Ezeknek a tulajdonságoknak köszönhetően mindig ki lehet számítani egy szög mértékét egy másik szög értékével, vagy legalábbis a köztük lévő arányokkal.
Függőleges szögek
Azokat a szögeket, amelyek oldalai egymás folytatásai, függőlegesnek nevezzük. Bármelyik fajtájuk működhet ilyen párként. A függőleges szögek mindig egyenlőek egymással.
Akkor jönnek létre, amikor az egyenes vonalak metszik egymást. Velük együtt a szomszédos szögek mindig jelen vannak. Egy szög egyszerre lehet szomszédos az egyiknél és függőleges a másiknál.
Egy tetszőleges vonal átlépésekor számos más szögtípust is figyelembe veszünk. Az ilyen vonalat metszővonalnak nevezzük, és ennek megfelelő, egyoldalú és keresztben fekvő szögeket képez. Egyenrangúak egymással. Megtekinthetők a függőleges és a szomszédos szögek tulajdonságainak fényében.
Így a szögek témája meglehetősen egyszerűnek és érthetőnek tűnik. Minden tulajdonságuk könnyen megjegyezhető és bizonyítható. A problémák megoldása nem tűnik nehéznek, amíg a szögek megfelelnek számérték. Később, amikor elkezdődik a bűn és a cos tanulmányozása, sokat kell memorizálnod összetett képletek, következtetéseik és következményeik. Addig is élvezheti az egyszerű rejtvényeket, ahol meg kell találnia a szomszédos szögeket.
Seitmambetova Ilvira Alimseitovna
Az óra témája: Szomszédos sarkok.
Az óra céljai:
Oktatási: ismertesse a fogalmat szomszédos sarkok;
Tanítsa meg a tanulókat szomszédos szögek megszerkesztésére;
Bizonyítsa be a tételt és következményeit;
Fontolgat különböző típusok sarkok
Oktatási: fejlesztés logikus gondolkodás;
Fejlesztés geometrikus képzelet;
Oktatási: a rögzítési megoldások matematikai kultúrájának kialakítása.
Az óra típusa: új ismeretek elsajátítása;
Felszerelés: szomszédos szögmodell, interaktív tábla
Az órák alatt
én Idő szervezése (a tanulók önállóan fogalmazzák meg a köszöntőket, az óra témájának kihirdetését, az óracélokat)
II Házi feladat ellenőrzése. (a feltárt nehézségek elemzése, a válaszok és megoldások véletlenszerű ellenőrzése)
III Frissítés háttér tudásés készségek
Órafeladat
Rajzoljon két további OA és OB sugarat (a probléma megoldása során emlékezzen a további sugarak meghatározására)
Milyen szöget alkotnak ezek a sugarak?
Mekkora a mérete?
Rajzolj egy sugarat az elforgatott szög oldalai között
Melyik sugarat tekintjük áthaladónak a szög oldalai között? (bármely sugár, amely egy szög csúcsából jön ki, kivéve a szög oldalait)
Fogalmazzon meg egy axiómát a szögek mérésére (az ábra az operációs rendszer sugarát mutatja, a számok a szögeket jelzik, és jegyezze fel∠ 1+ ∠ 2= ∠ AOB
IV Új anyagok tanulása
A fogalmak bevezetése úgy történik, hogy a tanulók önállóan fogalmazzák meg a szomszédos szögek definícióját, egy tételt, és próbálják bizonyítani.
A „szomszédos szögek” fogalmának bevezetése
Hozzárendelés az osztályhoz (egy diák dolgozik a táblánál)
Rajzoljon két szöget, amelyeknek az egyik oldala közös
Rajzoljon két sarkot, amelyeknek egyik oldala van
az első sarok a második sarok oldalának kiegészítő sugara.
Rajzoljon két szöget, amelyekben az egyik oldal közös, a másik kettő pedig további sugár
Következtetés: ábrán látható szögek legújabb rajz,
szomszédosak.
A szomszédos szögek meghatározásának megfogalmazása:
Két szöget szomszédosnak nevezünk, ha az egyik oldaluk közös és
a másik kettő további sugár.
Orális elsődleges megerősítés
Keresse meg a szomszédos szögeket a rajzon, és írja le őket
a) b)
Órafeladat
A tanár szöget épít a táblára.
Ehhez egy szöget kell kialakítani. Hány megoldást tesz ez a feladat. Milyen következtetést lehet levonni a vizsgált problémából?
A szomszédos szögek tulajdonsága
Órafeladat:
Probléma: Adott két szomszédos szög∠ BCDÉs∠ ACD, és∠ BCD= 35 O
megtalálja∠ ACD.
Indoklási lehetőség:∠ A.C.Kibontva tehát a fokmérője 180 O . SugárCDáthalad ennek a szögnek az oldalai között, mivel a csúcsából jön ki, és különbözik az oldalaitól. Az axióma szerint∠ ACD+ ∠ BCD= ∠ A.C.B, azaz∠ ACD+ ∠ BCD=180 O . ennélfogva,∠ ACD=180 O - ∠ BCD=180 O -35 O =145 O .
A szomszédos szögek milyen tulajdonságát veheti észre?
Következtetés: A szomszédos szögek összege 180 O .
A tétel bizonyítása.
Tétel: A szomszédos szögek összege 180 O .
Adott: ∠1 és ∠2 – szomszédos szögek
Bizonyít: ∠1 és ∠2=180 O
Bizonyíték:
Feltétel szerint,∠1 és ∠2 szomszédos szögek, ezért CA és CB további sugarak (a szomszédos szögek meghatározása). Ezután ∠ACV-fejlődött (kidolgozott szög definíciója).
∠DIA=180 O (alapigazság).
SugárCDegy egyenes szög oldalai között halad át (definíció szerint). Így,∠1 és ∠2=∠ASV, azaz. ∠1 és ∠2=180 O
A tétel bizonyítást nyert.
A tétel néhány következményének és szögtípusainak tanulmányozásakor kényelmes a használata egyszerű modell szomszédos sarkok. Így készül: szektorok vannak rögzítve a mozgatható oldalra, rögzítve a szomszédos sarkok tetején, mindkét oldalon. Forgás közben közös oldal mindkét szektor a másik két oldal mentén kialakított barázdákban mozog. A szektorokon jelölt skálák segítségével különböző méretű szomszédos szögeket mutatunk be.
Következmények a tételből:
Ha két szög egyenlő, akkor a szomszédos szögeik egyenlőek
Bizonyíték
Jelöljük a fokmérőt egyenlő szögek x-en keresztül, akkor az egyes szomszédos szögek értéke 180 lesz O -x, azaz ezek a szögek egyenlőek lesznek.
Ha a szög nincs elforgatva, akkor kisebb, mint 180 O
Bizonyíték
Legyen adott egy tetszőleges kidolgozatlan szög∠( ab), ezért ∠(ab) nem egyenlő180 O . Építsünk egy sugarat 1, az a sugáron kívül. Értelemszerűen szögek( ab) És (A 1 b) szomszédos lesz. Tétel szerint ∠ (ab) +∠ ( A 1 b)= 180 O vagy∠ ( A 1 b) = 180 O - ∠ ( Ab). Tegyük fel, hogy a szög (ab) nem kevesebb180 O . Ha ez ellentmond az axiómának. Ez azt jelenti. Azt jelenti,.
A derékszöggel szomszédos szög derékszögű
Bizonyíték
Az egyenlő szöget derékszögnek nevezzük. Legyen az egyik szomszédos szög egyenes, azaz. egyenlő. Mivel a szomszédos szögek összege egyenlő, akkor a második szög egyenlő, ezért helyes.
A szögek típusai (a tanulók már tudják, általánosítanak a táblázat segítségével)
V Új ismeretek és készségek megszilárdítása
Problémamegoldás
Két szög összege egyenlő, bizonyítsuk be, hogy nem szomszédosak.
Az egyik szomszédos szög egyenlő, keresse meg a második szöget.
Az egyik szomszédos szög nagyobb, mint a második. Keresse meg ezeket a szögeket.
Legyen a két szög közül a kisebbik fokmérője x. Ekkor a nagyobb szög egyenlő (x+), és összegük (x+(x+40)) vagy (tétel szerint).
Állítsuk össze és oldjuk meg az egyenletet
x+(x+40)=;
Válasz: i.
Az egyik szomszédos szög háromszor nagyobb, mint a második. Keresse meg ezeket a szögeket.
Az egyik szomszédos szög nagyobb, mint a második. Keresse meg ezeket a szögeket.
Megjegyzés: az utolsó két feladatot kétféleképpen lehet megoldani: egyenlet segítségével és egyenlet létrehozása nélkül.
A szomszédos szögek értéke 2:3 arányban van. Keresse meg ezeket a szögeket.
Megoldás (algebrailag)
Legyen a szomszédos szögek fokmértéke x. Ekkor a nagyobb szög 3x, a kisebb szög pedig 2x lesz. Összegük 2x+3x=5x vagy (a tétel szerint).
Állítsuk össze és oldjuk meg az egyenletet
5x=;
Ez azt jelenti, hogy a szomszédos szögek közül a kisebbik egyenlő, a nagyobb pedig egyenlő.
Válasz: i.
VI A lecke összegzése. Visszaverődés
Csinálja igaz állítás: Ha két szög összege 180, akkor szomszédosak? (Nem, illik ellenpéldát mondani)
Lehet-e egyenlő két szomszédos szög különbsége? derékszög(Igen,)
VII Házi feladat
7:29-hez kapcsolódnak (válasz);
egyenlő a különbségük? (válasz);
Két vonal metszi egymást. Hány pár szomszédos szög alakult ki? (válasz: 4)
Keresse meg a szomszédos szögek mértékét, ha:
Ismerje meg a szomszédos szögek definícióját, tudja bizonyítani a szomszédos szögekre vonatkozó tételt és annak következményeit.
1. Szomszédos szögek.
Ha bármely szög oldalát a csúcsán túlra kiterjesztjük, két szöget kapunk (72. ábra): ∠ABC és ∠CBD, amelyekben az egyik BC oldal közös, a másik kettő, az AB és a BD pedig egy egyenest alkot.
Két olyan szöget, amelyben az egyik oldal közös, a másik kettő pedig egyenest alkot, szomszédos szögeknek nevezzük.
Szomszédos szögek így is előállíthatók: ha az egyenes valamely pontjából (nem egy adott egyenesen fekvő) sugarat rajzolunk, akkor szomszédos szögeket kapunk.
Például ∠ADF és ∠FDB szomszédos szögek (73. ábra).
A szomszédos szögeknek sokféle pozíciója lehet (74. ábra).
A szomszédos szögek összeadják az egyenes szöget, tehát két szomszédos szög összege 180°
Ezért a derékszög a szomszédos szögével egyenlő szögként definiálható.
Az egyik szomszédos szög méretének ismeretében megtalálhatjuk a vele szomszédos másik szög méretét.
Például, ha az egyik szomszédos szög 54°, akkor a második szög egyenlő lesz:
180° - 54° = 126°.
2. Függőleges szögek.
Ha a szög oldalait a csúcsán túlra kiterjesztjük, függőleges szögeket kapunk. A 75. ábrán az EOF és AOC szögek függőlegesek; Az AOE és COF szögek szintén függőlegesek.
Két szöget függőlegesnek nevezünk, ha az egyik szög oldalai a másik szög oldalainak folytatásai.
Legyen ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° (76. ábra). A mellette lévő ∠2 egyenlő lesz 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, azaz 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°.
Ugyanígy kiszámolhatja, hogy ∠3 és ∠4 mit jelent.
∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;
∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (77. ábra).
Látjuk, hogy ∠1 = ∠3 és ∠2 = ∠4.
Megoldhat még több ugyanazt a problémát, és minden alkalommal ugyanazt az eredményt kapja: a függőleges szögek egyenlőek egymással.
Ahhoz azonban, hogy a függőleges szögek mindig egyenlőek legyenek egymással, nem elég az egyedi szempontokat figyelembe venni számpéldák, mivel a konkrét példák alapján levont következtetések néha tévesek lehetnek.
A függőleges szögek tulajdonságainak érvényességét bizonyítással kell ellenőrizni.
A bizonyítás elvégezhető a következő módon(78. ábra):
∠egy +∠c= 180°;
∠b+∠c= 180°;
(mivel a szomszédos szögek összege 180°).
∠egy +∠c = ∠b+∠c
(szintén bal oldal ennek az egyenlőségnek a szöge 180°, és a jobb oldala is 180°).
Ez az egyenlőség ugyanazt a szöget foglalja magában Val vel.
Ha származunk egyenlő értékeket egyenlően kivonjuk, akkor egyenlően marad. Az eredmény a következő lesz: ∠a = ∠b, azaz a függőleges szögek egyenlőek egymással.
3. Azon szögek összege, amelyeknek közös csúcsuk van.
A 79. rajzban ∠1, ∠2, ∠3 és ∠4 egy egyenes egyik oldalán helyezkednek el, és ezen az egyenesen van közös csúcsuk. Összegezve ezek a szögek egyenes szöget alkotnak, azaz.
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.
A 80. ábrán ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 és ∠5 közös csúcsokkal rendelkezik. Ezeknek a szögeknek az összege teljes szögben, azaz ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.
Más anyagokA geometriai kurzus tanulmányozása során a „szög”, a „függőleges szögek”, a „szomszédos szögek” fogalma gyakran felmerül. Az egyes kifejezések megértése segít a probléma megértésében és helyes megoldásában. Mik azok a szomszédos szögek, és hogyan lehet meghatározni őket?
Szomszédos szögek - a fogalom meghatározása
A „szomszédos szögek” kifejezés két olyan szöget jellemez, amelyet egy közös sugár és két további félegyenes alkot, amelyek ugyanazon az egyenesen helyezkednek el. Mindhárom sugár ugyanabból a pontból jön ki. Egy közös félegyenes egyidejűleg az egyik és a másik szög oldala is.
Szomszédos szögek - alapvető tulajdonságok
1. A szomszédos szögek megfogalmazása alapján könnyen észrevehető, hogy az ilyen szögek összege mindig fordított szöget képez, amelynek fokmértéke 180°:
- Ha μ és η szomszédos szögek, akkor μ + η = 180°.
- Az egyik szomszédos szög (például μ) nagyságának ismeretében könnyen kiszámolhatja a második szög mértékét (η) az η = 180° – μ kifejezéssel.
2. Ez az ingatlan szögek lehetővé teszi, hogy következő kimenet: A derékszöggel szomszédos szög is derékszög lesz.
3. Figyelembe véve trigonometrikus függvények(sin, cos, tg, ctg) a szomszédos μ és η szögekre vonatkozó redukciós képletek alapján a következő igaz:
- sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
- cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
- tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
- ctgη = ctg(180° – μ) = -ctgμ.
Szomszédos szögek - példák
1. példa
Adott egy M, P, Q – ΔMPQ csúcsú háromszög. Keresse meg a ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM szögekkel szomszédos szögeket.
- Hosszabbítsuk meg a háromszög mindkét oldalát egy egyenessel.
- Tudva, hogy a szomszédos szögek egy fordított szögig kiegészítik egymást, rájövünk, hogy:
a ∠QMP szög mellett ∠LMP,
az ∠MPQ szög mellett ∠SPQ,
a ∠PQM szög mellett ∠HQP.
2. példa
Egy szomszédos szög értéke 35°. Mi a második szomszédos szög fokmértéke?
- Két szomszédos szög 180°-ot tesz ki.
- Ha ∠μ = 35°, akkor vele szomszédos ∠η = 180° – 35° = 145°.
3. példa
Határozza meg a szomszédos szögek értékét, ha ismert, hogy az egyik fokmérője háromszor nagyobb, mint a másik szög fokmértéke.
- Jelöljük egy (kisebb) szög nagyságát – ∠μ = λ.
- Ekkor a feladat feltételei szerint a második szög értéke ∠η = 3λ lesz.
- A szomszédos szögek alaptulajdonsága alapján μ + η = 180° következik
λ + 3λ = μ + η = 180°,
λ = 180°/4 = 45°.
Ez azt jelenti, hogy az első szög ∠μ = λ = 45°, a második szög pedig ∠η = 3λ = 135°.
Terminológia használatának képessége, valamint ismeretek alapvető tulajdonságok a szomszédos szögek sok geometriai probléma megoldásában segítenek.
2) Mennyit közös pontok lehet 2 egyenesük?
3) Magyarázza el, mi az a szegmens?
4) Magyarázza el, mi az a sugár, hogyan jelölik a sugarakat?
5) Milyen alakot nevezünk szögnek! Magyarázza el, mi a szög csúcsa és oldalai?
6) Melyik szöget nevezzük kibontottnak?
7) Mely számokat nevezzük egyenlőnek?
8) Magyarázza el, hogyan kell 2 szegmenst összehasonlítani
9) Melyik pontot nevezzük a szakasz felezőpontjának?
10) Magyarázza el, hogyan lehet két szöget összehasonlítani.
11) Melyik sugarat nevezzük szögfelezőnek?
12) A C pont az AB szakaszt 2 szakaszra osztja. Hogyan találjuk meg az AB szakasz hosszát, ha az AC és CB szakaszok hossza ismert?
13) Milyen eszközöket használnak a távolságok mérésére?
14) Mi a szög fokmértéke?
15) A Ray OS az AOB szöget 2 szögre osztja. Hogyan találjuk meg az AOB szög fokszámát, ha ismertek az AOC és COB szögek fokszámai?
16) Melyik szöget nevezzük tompaszögnek?
17) Milyen szögeket nevezünk szomszédosnak. Mennyi a szomszédos szögek összege?
18) Milyen szögeket nevezünk függőlegesnek. Milyen tulajdonságai vannak a függőleges szögeknek?
19) Mely egyeneseket nevezzük merőlegesnek?
20) Magyarázza meg, miért nem metszi egymást a 3-ra merőleges 2 egyenes?
21) Milyen eszközökkel készítenek derékszöget a talajon?
2 Hány közös pontja lehet két egyenesnek?
3magyarázza el, mi az a szegmens
4magyarázza el, mi az a sugár, hogyan jelölik a sugarakat?
5melyik alakzatot nevezzük szögnek? magyarázza el, mi a szög csúcsa és oldalai
6Melyik szöget nevezzük egyenes szögnek?
7milyen számokat nevezünk egyenlőnek
8magyarázza el, hogyan lehet két szegmenst összehasonlítani
9melyik pontot nevezzük a szakasz felezőpontjának
10magyarázza el, hogyan lehet két szöget összehasonlítani
11melyik sugarat nevezzük szögfelezőnek
12 pont c az ab szakaszt két szakaszra osztja. Hogyan találjuk meg az ab szakasz hosszát, ha az ac és sb szakaszok hossza ismert
13milyen eszközökkel mérik a távolságokat
14 mi a szög mértéke
15 sugár oc az aob szöget két szögre osztja Hogyan találjuk meg az aob szög mértékét, ha az aoc szögek mértékei ismertek
16 Melyik szöget nevezzük hegyesnek?, igaz?, tompaszögnek?.
17Mely szögeket nevezzük szomszédosnak Mennyi a szomszédos szögek összege?
18Mely szögeket nevezzük függőlegesnek?Milyen tulajdonságaik vannak a függőleges szögeknek?
19melyik egyeneseket merőlegesnek nevezzük
20magyarázza meg, hogy a harmadikra merőleges két egyenes miért nem metszi egymást
21 Milyen eszközöket használnak derékszögek kialakítására a talajon?
milyen tulajdonságuk van a függőleges szögeknek 5)
Segítsen kérem!! plzz=**7. Bizonyítsuk be, hogy ha két párhuzamos egyenest egy harmadik egyenes metszi, akkor a metsző belső szögek egyenlőek, és a belső egyoldali szögek összege 180 fok.
8. Bizonyítsuk be, hogy két, a harmadikra merőleges egyenes párhuzamos. Ha egy egyenes merőleges két párhuzamos egyenes közül az egyikre, akkor merőleges a másikra is.
9. Bizonyítsuk be, hogy egy háromszög szögeinek összege 180 fok.
10. Bizonyítsuk be, hogy bármely háromszögnek van legalább két hegyesszöge.
11. Mekkora a háromszög külső szöge?
12. Igazolja, hogy egy háromszög külső szöge egyenlő az összeggel két belső szög nem szomszédos vele.
13. Bizonyítsuk be, hogy egy háromszög külső szöge nagyobb bármelyiknél belső sarok, nem szomszédos vele.
14. Melyik háromszöget nevezzük derékszögű háromszögnek?
15. Mennyi az összeg? éles sarkok derékszögű háromszög?
16. Egy derékszögű háromszög melyik oldalát nevezzük befogónak? Mely oldalakat nevezzük lábnak?
17. Fogalmazd meg az egyenlőség jelét! derékszögű háromszögek a hypotenusa és a láb mentén.
18. Bizonyítsuk be, hogy bármely pontból, amely nem fekszik egy adott egyenesen, ejthet erre az egyenesre egy merőlegest, és csak egyet.
19. Mit nevezünk egy pont és egy egyenes távolságának?
20. Magyarázza meg, mekkora a párhuzamos egyenesek távolsága!
Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete