Az egyenes menjen át az M 1 (x 1; y 1) és M 2 (x 2; y 2) pontokon. Az M 1 ponton átmenő egyenes egyenlete y-y 1 = alakú k (x - x 1), (10,6)

Ahol k - még ismeretlen együttható.

Mivel az egyenes az M 2 (x 2 y 2) ponton halad át, ennek a pontnak a koordinátáinak meg kell felelniük a (10.6) egyenletnek: y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).

Innen megtaláljuk a talált érték helyettesítése k a (10.6) egyenletbe az M 1 és M 2 pontokon áthaladó egyenes egyenletét kapjuk:

Feltételezzük, hogy ebben az egyenletben x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Ha x 1 = x 2, akkor az M 1 (x 1,y I) és M 2 (x 2,y 2) pontokon átmenő egyenes párhuzamos az ordináta tengellyel. Az egyenlete az x = x 1 .

Ha y 2 = y I, akkor az egyenes egyenlete y = y 1-ként írható fel, az M 1 M 2 egyenes párhuzamos az abszcissza tengellyel.

Egy vonal egyenlete szakaszokban

Az egyenes metsze az Ox tengelyt az M 1 (a;0) pontban, és az Oy tengelyt az M 2 (0;b) pontban. Az egyenlet a következő formában lesz:
azok.
. Ezt az egyenletet ún szakaszokban lévő egyenes egyenlete, mert az a és b számok jelzik, hogy az egyenes mely szakaszokat vágja le a koordinátatengelyeken.

Egy adott ponton átmenő egyenes egyenlete adott vektorra merőlegesen

Keressük meg az átmenő egyenes egyenletét ez a pont Mo (x O; y o) merőleges az adott n = (A; B) nem nulla vektorra.

Vegyünk egy tetszőleges M(x; y) pontot az egyenesen, és tekintsük az M 0 M (x - x 0; y - y o) vektort (lásd 1. ábra). Mivel az n és M o M vektorok merőlegesek, a skaláris szorzatuk egyenlő nullával:

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

A (10.8) egyenletet nevezzük egy adott ponton átmenő egyenes egyenlete adott vektorra merőlegesen .

Az egyenesre merőleges n= (A; B) vektort normálnak nevezzük ennek az egyenesnek a normálvektora .

A (10.8) egyenlet átírható így Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

ahol A és B a normálvektor koordinátái, C = -Ax o - Vu o - ingyenes tag. (10.9) egyenlet Van általános egyenlet egyenes(lásd 2. ábra).

Fig.1 Fig.2

Az egyenes kanonikus egyenletei

,

Ahol
- annak a pontnak a koordinátái, amelyen az egyenes áthalad, és
- irányvektor.

Másodrendű görbék Kör

A kör egy adott ponttól egyenlő távolságra lévő sík összes pontjának halmaza, amelyet középpontnak nevezünk.

Sugárkör kanonikus egyenlete R egy pontban középre állítva
:

Különösen, ha a tét középpontja egybeesik a koordináták origójával, akkor az egyenlet így fog kinézni:

Ellipszis

Az ellipszis egy síkon lévő pontok halmaza, amelyek távolságának összege két adott pontig És , amelyeket gócoknak nevezünk, állandó mennyiség
, nagyobb, mint a gócok közötti távolság
.

Egy ellipszis kanonikus egyenlete, amelynek fókuszpontja az Ox tengelyén van, és a koordináták origója a fókuszok között középen a következő alakú
G de a fél-nagy tengely hossza; b – a fél-minor tengely hossza (2. ábra).

A K(x 0 ; y 0) ponton átmenő és az y = kx + a egyenessel párhuzamos egyenest a következő képlettel találjuk meg:

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

hol k- lejtő egyenes.

Alternatív képlet:
Az M 1 (x 1 ; y 1) ponton átmenő és az Ax+By+C=0 egyenessel párhuzamos egyenest az egyenlet ábrázolja.

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Írj fel egyenletet a K() ponton átmenő egyenesre ;) párhuzamos az y = egyenessel x+ .

1. számú példa. Írjon egyenletet az M 0 (-2,1) ponton átmenő egyenesre, és ezzel egyidejűleg:
a) párhuzamos a 2x+3y -7 = 0 egyenessel;
b) az egyenesre merőlegesen 2x+3y -7 = 0.
Megoldás . Képzeljük el az egyenletet a meredekséggel y = kx + a formában. Ehhez vigye át az összes értéket az y kivételével ide jobb oldal: 3y = -2x + 7 . Ezután ossza el a jobb oldalt 3-mal. A következőt kapjuk: y = -2/3x + 7/3
Keressük meg a K(-2;1) ponton átmenő NK egyenletet, amely párhuzamos az y = -2 / 3 x + 7 / 3 egyenessel
Behelyettesítve x 0 = -2, k = -2 / 3, y 0 = 1 értékét kapjuk:
y-1 = -2/3 (x-(-2))
vagy
y = -2/3 x -1/3 vagy 3y + 2x +1 = 0

2. példa. Írja fel a 2x + 5y = 0 egyenessel párhuzamos egyenes egyenletét, amely a koordinátatengelyekkel együtt egy háromszöget alkot, amelynek területe 5!
Megoldás . Mivel az egyenesek párhuzamosak, a kívánt egyenes egyenlete 2x + 5y + C = 0. Terület derékszögű háromszög, ahol a és b a lábai. Keressük a pontokat a kívánt egyenes metszéspontja a koordinátatengelyekkel:
;
.
Tehát A(-C/2,0), B(0,-C/5). Helyettesítsük be a terület képletébe: . Két megoldást kapunk: 2x + 5y + 10 = 0 és 2x + 5y – 10 = 0.

3. példa. Írjon egyenletet a ponton (-2; 5) átmenő és az 5x-7y-4=0 egyenessel párhuzamos egyenesre!
Megoldás. Ezt az egyenest az y = 5 / 7 x – 4 / 7 (itt a = 5 / 7) egyenlettel ábrázolhatjuk. A kívánt egyenes egyenlete y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)), azaz. 7(y-5)=5(x+2) vagy 5x-7y+45=0.

4. számú példa. A 3. példa (A=5, B=-7) megoldása után a (2) képlet segítségével 5(x+2)-7(y-5)=0.

5. számú példa. Írjon egyenletet a ponton (-2;5) átmenő és a 7x+10=0 egyenessel párhuzamos egyenesre!
Megoldás. Itt A=7, B=0. A (2) képletből 7(x+2)=0, azaz. x+2=0. Az (1) képlet nem alkalmazható, mivel adott egyenlet nem oldható fel y-hoz képest (ez az egyenes párhuzamos az ordinátával).

Az l egyenes irányvektora minden nullától eltérő vektor ( m, n), párhuzamos ezzel a vonallal.

Legyen a megadott pont M 1 (x 1 , y 1) és irányvektor ( m, n), akkor a ponton átmenő egyenes egyenlete M 1 a vektor irányában így néz ki: . Ezt az egyenletet az egyenes kanonikus egyenletének nevezzük.

Példa. Határozzuk meg egy (1, -1) irányvektorral és az A(1, 2) ponton áthaladó egyenes egyenletét!

Megkeressük a kívánt egyenes egyenletét a következő formában: Axe+By+C= 0. Írjuk fel az egyenes kanonikus egyenletét, és alakítsuk át! Kapunk x + y - 3 = 0

Két ponton átmenő egyenes egyenlete

Legyen két pont adott a síkon M 1 (x 1 , y 1) és M 2 (x 2, y 2), akkor az ezeken a pontokon átmenő egyenes egyenlete a következő: . Ha bármelyik nevező nulla, akkor a megfelelő számlálót nullára kell állítani.

Példa. Határozzuk meg az A(1, 2) és B(3, 4) pontokon átmenő egyenes egyenletét!

A fent leírt képletet alkalmazva a következőt kapjuk: ,

Egy pontból és lejtőből induló egyenes egyenlete

Ha az egyenes általános egyenlete Ah + Wu + S= 0 a következőre redukálódik: és jelöli, akkor a kapott egyenletet egy k szögegyütthatós egyenes egyenletének nevezzük.

Egy vonal egyenlete szakaszokban

Ha az egyenes általános egyenletében Ah + Wu + S= 0 együttható VAL VEL¹ 0, majd elosztva C-vel, kapjuk: vagy hol

Geometriai jelentés együtthatók az, hogy az együttható A az egyenes és a tengely metszéspontjának koordinátája Ó, A b– az egyenes és a tengely metszéspontjának koordinátája OU.

Példa. Adott egy egyenes általános egyenlete x – nál nél+ 1 = 0. Keresse meg ennek az egyenesnek az egyenletét szakaszokban! A = -1, B = 1, C = 1, akkor A = -1, b= 1. A szakaszokban lévő egyenes egyenlete a következő lesz: .

Példa. Adottak az A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) háromszög csúcsai. Határozzuk meg a C csúcsból húzott magasság egyenletét!

Megtaláljuk az AB oldal egyenletét: ;

4x = 6y– 6; 2x – 3y + 3 = 0;

A szükséges magassági egyenlet a következőképpen alakul: Axe+By+C= 0 vagy y = kx + b.

k= . Akkor y= . Mert a magasság áthalad a C ponton, akkor a koordinátái kielégítik ezt az egyenletet: ahol b= 17. Összesen: .

Válasz: 3 x + 2y – 34 = 0.

Gyakorlati lecke №7

Az óra neve: Másodrendű görbék.

Az óra célja: Tanuljon meg másodrendű görbéket rajzolni és megszerkeszteni.

Felkészülés a leckére: Ismétlés elméleti anyag a „Másodrendű görbék” témában

Irodalom:

1. Dadayan A.A. „Matematika”, 2004

Órafeladat:

Az óra lebonyolításának menete:

1. Kérjen engedélyt a munkára
2. Végezze el a feladatokat
3. Válaszold meg a biztonsági kérdéseket.

1. Az óra neve, célja, feladat;
2. Elvégzett feladat;
3. Válaszok a biztonsági kérdésekre.

Ellenőrző kérdések hitelért:

1. Határozzon meg másodrendű görbéket (kör, ellipszis, hiperbola, parabola), írja le kanonikus egyenleteiket!
2. Mi az ellipszis vagy hiperbola excentricitása? Hogyan lehet megtalálni?
3. Írd fel egy egyenlő oldalú hiperbola egyenletét!

ALKALMAZÁS

Körméret a sík összes pontjának halmaza, amelyek egyenlő távolságra vannak a középpontnak nevezett ponttól.

Legyen a kör középpontja egy pont RÓL RŐL(a; b), valamint bármely pont távolságát M(x;y) a kör egyenlő R. Akkor ( x–a) 2 + (y–b) 2 = R 2 – egy középpontú kör kanonikus egyenlete RÓL RŐL(a; b) és sugár R.

Példa. Határozza meg a kör középpontjának és sugarának koordinátáit, ha az egyenlete a következő formában van megadva: 2 x 2 + 2y 2-8x + 5 y – 4 = 0.

A kör középpontjának és sugarának koordinátáinak meghatározásához ezt az egyenletet kanonikus formára kell redukálni. Ehhez válasszuk ki tökéletes négyzetek:

x 2 + y 2 – 4x + 2,5y – 2 = 0

x 2 – 4x + 4 – 4 + y 2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x– 2) 2 + (y + 5/4) 2 – 25/16 – 6 = 0

(x – 2) 2 + (y + 5/4) 2 = 121/16

Innen megtaláljuk a középpont koordinátáit RÓL RŐL(2; -5/4); sugár R = 11/4.

Ellipszis egy síkon lévő pontok halmaza, amelyek távolságának összege két adott ponttól (úgynevezett fókuszpontig) egy állandó érték, amely nagyobb, mint a fókuszok közötti távolság.

A fókuszokat betűk jelzik F 1 , F Val vel, az ellipszis bármely pontja és a fókusz közötti távolság összege 2 A (2A > 2c), a– fél-nagy tengely; b– fél-minor tengely.

Az ellipszis kanonikus egyenlete a következő: , ahol a, bÉs c a következő egyenlőségekkel függnek össze: a 2 – b 2 = c 2 (vagy b 2 – a 2 = c 2).

Az ellipszis alakját egy jellemző határozza meg, amely a fókusztávolság és a főtengely hosszának aránya, és ezt excentricitásnak nevezik. vagy .

Mert definíció szerint 2 A> 2c, akkor az excentricitást mindig megfelelő törtként fejezzük ki, azaz. .

Példa.Írjon fel egyenletet egy ellipszisre, ha a fókuszpontjai F 1 (0; 0), F 2 (1; 1), főtengely egyenlő 2-vel.

Az ellipszis egyenletének alakja: .

Fókusztávolság: 2 c= , És így, a 2 – b 2 = c 2 = . 2. feltétel szerint A= 2, tehát A = 1, b= Az ellipszis szükséges egyenlete a következő formában lesz: .

Túlzás egy síkon lévő pontok halmaza, amelyek távolságának különbsége két adott ponttól, úgynevezett góctól, állandó érték, kisebb, mint a fókuszpontok távolsága.

A hiperbola kanonikus egyenlete a következő alakú: vagy , ahol a, bÉs c az egyenlőség köti össze a 2 + b 2 = c 2 . A hiperbola szimmetrikus a fókuszokat összekötő szakasz közepe és a koordinátatengelyek körül. A fókuszokat betűk jelzik F 1 , F 2, a fókuszok közötti távolság – 2 Val vel, a hiperbola bármely pontja és a fókusz közötti távolságok különbsége 2 A (2A < 2c). 2. tengely A hívott valódi tengely hiperbolák, 2. tengely b– a hiperbola képzeletbeli tengelye. A hiperbolának két aszimptotája van, amelyek egyenletei:

A hiperbola excentricitása a fókuszpontok távolságának és a valós tengely hosszának aránya: vagy. Mert definíció szerint 2 A < 2c, akkor a hiperbola excentricitása mindig kifejeződik helytelen tört, azaz .

Ha a valós tengely hossza megegyezik a képzeletbeli tengely hosszával, azaz. a = b, ε = , akkor a hiperbolát nevezzük egyenlő oldalú.

Példa.Állítsd össze egy hiperbola kanonikus egyenletét, ha excentricitása 2, és fókuszai egybeesnek az egyenletben szereplő ellipszis fókuszaival

A gyújtótávolság megtalálása c 2 = 25 – 9 = 16.

Hiperbola esetén: c 2 = a 2 + b 2 = 16, ε = c/a = 2; c = 2a; c 2 = 4a 2 ; a 2 = 4; b 2 = 16 – 4 = 12.

Ekkor a hiperbola szükséges egyenlete.

Parabola a sík pontjainak halmaza attól egyenlő távolságra adott pont, amelyet fókusznak neveznek, és egy adott vonalat, amelyet irányítónak neveznek.

A parabola fókuszát a betű jelzi F, igazgatónő - d, távolság a fókusztól az irányítóig – R.

A parabola kanonikus egyenlete, amelynek fókusza az x tengelyen van, a következő:

y 2 = 2px vagy y 2 = -2px

x = -p/2, x = p/2

A parabola kanonikus egyenlete, amelynek fókusza az ordináta tengelyén van, a következő:

x 2 = 2ru vagy x 2 = -2ru

Irányegyenletek rendre nál nél = -p/2, nál nél = p/2

Példa. Egy parabolán nál nél 2 = 8x Keresse meg azokat a pontokat, amelyek távolsága az irányítótól 4.

A parabola egyenletből azt kapjuk R = 4. r = x + p/2 = 4; ennélfogva:

x = 2; y 2 = 16; y= ±4. Keresett pontok: M 1 (2; 4), M 2 (2; -4).

8. sz. gyakorlati óra

Az óra neve: Műveletek bekapcsolva komplex számok V algebrai forma. Komplex számok geometriai értelmezése.

Az óra célja: Tanuljon meg műveleteket végrehajtani komplex számokkal.

Felkészülés a leckére: Tekintse át az elméleti anyagot a „Komplex számok” témában.

Irodalom:

1. Grigorjev V.P., Dubinsky Yu.A. "Elemek felsőbb matematika", 2008

Órafeladat:

1. Kiszámítja:

1) én 145 + én 147 + én 264 + én 345 + én 117 ;

2) (én 64 + én 17 + én 13 + én 82)·( én 72 – én 34);

Egy adott ponton átmenő egyenes egyenlete ebben az irányban. Két adott ponton átmenő egyenes egyenlete. Két egyenes közötti szög. Két egyenes párhuzamosságának és merőlegességének feltétele. Két egyenes metszéspontjának meghatározása

1. Egy adott ponton átmenő egyenes egyenlete A(x 1 , y 1) adott irányban, amelyet a lejtő határozza meg k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ez az egyenlet egy ponton áthaladó vonalak ceruzáját határozza meg A(x 1 , y 1), amelyet sugár középpontjának nevezünk.

2. Két ponton átmenő egyenes egyenlete: A(x 1 , y 1) és B(x 2 , y 2), így írva:

Két adott ponton átmenő egyenes szögegyütthatóját a képlet határozza meg

3. Az egyenesek közötti szög AÉs B az a szög, amellyel az első egyenest el kell forgatni A ezen vonalak metszéspontja körül az óramutató járásával ellentétes irányban, amíg egybe nem esik a második vonallal B. Ha két egyenest meredekségű egyenletek adnak meg

y = k 1 x + B 1 ,

Legyen két pont megadva M(x 1 ,U 1) és N(x 2,y 2). Keressük meg az ezeken a pontokon átmenő egyenes egyenletét.

Mivel ez az egyenes átmegy a ponton M, akkor az (1.13) képlet szerint az egyenletének alakja van

U – Y 1 = K(X–x 1),

Ahol K– ismeretlen szögegyüttható.

Ennek az együtthatónak az értékét abból a feltételből határozzuk meg, hogy a kívánt egyenes áthalad a ponton N, ami azt jelenti, hogy a koordinátái megfelelnek az (1.13) egyenletnek.

Y 2 – Y 1 = K(x 2 – x 1),

Innen megtekintheti ennek a vonalnak a lejtését:

,

Vagy átalakítás után

(1.14)

Az (1.14) képlet határozza meg Két ponton átmenő egyenes egyenlete M(x 1, Y 1) és N(x 2, Y 2).

Abban a speciális esetben, amikor pont M(A, 0), N(0, B), A ¹ 0, B¹ 0, feküdjön a koordinátatengelyeken, az (1.14) egyenlet egyszerűbb formát vesz fel

(1.15) egyenlet hívott Egyenes egyenlete szakaszokban, Itt AÉs B jelölje a tengelyeken egyenes vonallal levágott szakaszokat (1.6. ábra).

1.6. ábra

1.10. példa. Írj egyenletet a pontokon átmenő egyenesre! M(1, 2) és B(3, –1).

. Az (1.14) szerint a kívánt egyenes egyenletének alakja van

2(Y – 2) = -3(x – 1).

Az összes tag átvitele ide bal oldal, végül megkapjuk a szükséges egyenletet

3x + 2Y – 7 = 0.

Példa 1.11. Írj egyenletet egy ponton átmenő egyenesre! M(2, 1) és az egyenesek metszéspontja x+ Y – 1 = 0, X – y+ 2 = 0.

. Az egyenesek metszéspontjának koordinátáit ezen egyenletek együttes megoldásával találjuk meg

Ha ezeket az egyenleteket tagonként összeadjuk, 2-t kapunk x+ 1 = 0, ahonnan . A talált értéket bármely egyenletbe behelyettesítve megkapjuk az ordináta értékét U:

Most írjuk fel a (2, 1) pontokon áthaladó egyenes egyenletét és:

vagy .

Ezért vagy –5( Y – 1) = x – 2.

Végül megkapjuk a kívánt egyenes egyenletét a formában x + 5Y – 7 = 0.

Példa 1.12. Határozzuk meg a pontokon átmenő egyenes egyenletét! M(2.1) és N(2,3).

Az (1.14) képlet segítségével megkapjuk az egyenletet

Ennek nincs értelme, mivel a második nevező nulla. A feladat feltételeiből egyértelműen kitűnik, hogy mindkét pont abszcisszái azonos értékűek. Ez azt jelenti, hogy a kívánt egyenes párhuzamos a tengellyel OYés az egyenlete: x = 2.

Megjegyzés . Ha egy egyenes egyenletének felírásakor az (1.14) képlet segítségével az egyik nevező a következőnek bizonyul egyenlő nullával, akkor a szükséges egyenletet a megfelelő számláló nullával való egyenlővé tételével kaphatjuk meg.

Tekintsünk más módokat egy vonal meghatározására egy síkon.

1. Legyen egy nem nulla vektor merőleges az adott egyenesre L, és pont M 0(x 0, Y 0) ezen a vonalon fekszik (1.7. ábra).

1.7. ábra

Jelöljük M(x, Y) egy egyenes bármely pontját L. Vektorok és Ortogonális. Ezen vektorok ortogonalitási feltételeit felhasználva megkapjuk, ill A(x – x 0) + B(Y – Y 0) = 0.

Megkaptuk egy ponton átmenő egyenes egyenletét M 0 merőleges a vektorra. Ezt a vektort nevezzük Normál vektor egyenesre L. A kapott egyenlet átírható a formába

Ó + Wu + VAL VEL= 0, ahol VAL VEL = –(Ax 0 + Által 0), (1.16),

Ahol AÉs BAN BEN– a normálvektor koordinátái.

Az egyenes általános egyenletét paraméteres formában kapjuk meg.

2. Egy síkon lévő egyenes a következőképpen definiálható: legyen egy nem nulla vektor párhuzamos az adott egyenessel Lés időszak M 0(x 0, Y 0) ezen a vonalon fekszik. Vegyünk ismét egy tetszőleges pontot M(x, y) egyenesen (1.8. ábra).

1.8. ábra

Vektorok és kollineáris.

Írjuk fel ezeknek a vektoroknak a kollinearitási feltételét: , ahol T – tetszőleges szám, az úgynevezett paraméter. Írjuk fel ezt az egyenlőséget koordinátákkal:

Ezeket az egyenleteket ún Paraméteres egyenletek Egyenes. Zárjuk ki a paramétert ezekből az egyenletekből T:

Ezeket az egyenleteket egyébként a formában is fel lehet írni

. (1.18)

A kapott egyenletet ún Kanonikus egyenlet egyenes. A vektort ún Az irányító vektor egyenes .

Megjegyzés . Könnyen belátható, hogy ha az egyenes normálvektora L, akkor irányvektora lehet a vektor, mivel , azaz.

1.13. példa. Írd fel egy ponton átmenő egyenes egyenletét! M 0(1, 1) párhuzamos a 3. egyenessel x + 2U– 8 = 0.

Megoldás . A vektor az adott és a kívánt egyenesek normálvektora. Használjuk egy ponton átmenő egyenes egyenletét M 0 adott normálvektorral 3( x –1) + 2(U– 1) = 0 vagy 3 x + 2у– 5 = 0. Megkaptuk a kívánt egyenes egyenletét.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete