Egy négyszög területe. A telek méretének manuális meghatározására szolgáló módszer

I. Előszó

Ez balszerencse: miután két hétig beteg voltál, bejössz az iskolába, és rájössz, hogy sok mindenről lemaradtál fontos téma, amelynek problémái a 9. osztályos vizsgákon lesznek – „Háromszögek, négyszögek és területük”. Itt rohannék a geometriatanárhoz kérdésekkel: "Hogyan találjuk meg a négyszög területét?" De a diákok fele fél a tanárokhoz fordulni, nehogy lemaradjanak, a másik fele pedig a „Nézd a tankönyvben, ott minden meg van írva”-hoz hasonló „segítséget” kap a tanároktól! vagy "Nem kellett volna kihagynod az órát!" De a tankönyvben egyáltalán nincs információ a háromszögek és négyszögek területének megtalálásának szabályairól. A leckék pedig elmaradtak jó ok, van egy orvosi igazolás. De sok tanár egyszerűen feladja ezeket az érveket. Persze meg lehet őket érteni: nem fizetnek plusz vezetési tananyagot a semmit nem értő diákok fejébe. Sok diák feladja ezt a haszontalan feladatot, és egy évvel később megbukik a vizsgán, és tíz pontot hiányolnak a háromszögek és négyszögek területének megkeresésére. És csak kevesen keresik fel a könyvtárat és a barátokat azzal a kérdéssel: „Hogyan találjuk meg a négyszög területét?” A különböző emberekés a könyvek különböző válaszokat adnak, és nagy a szabályzavar. Az alábbiakban megnevezem a háromszögek és négyszögek területeinek megtalálásának főbb módjait.

II. Négyszögek

Kezdjük a négyszögekkel. Az iskolákban és a vizsgákon csak a konvex négyszögeket veszik figyelembe, ezért beszéljünk róluk. A középfokú oktatásban a paralelogrammák és a trapézok területeit tanulják. Többféle paralelogramma létezik: téglalap, négyzet, rombusz és tetszőleges paralelogramma, amelyben csak az alapvető jellemzőit figyeljük meg: az oldalak páronként párhuzamosak és egyenlőek, a szomszédos szögek összege 180 fok. De ezeknek az ábráknak a területeinek megtalálásának módszerei eltérőek. Nézzük mindegyiket külön-külön.

1. Téglalap

Egy téglalap S-jét a következő képlettel találjuk meg: S = a * b, aholA- vízszintes oldal, b- függőleges oldal.*

2. A négyzetek területe

Az S négyzetet a következő képlettel találjuk meg: S = a * a, ahola- a tér oldala.

3. Rombuszok területe

A rombusz S-jét a következő képlettel találjuk meg: S = 0,5 * (d 1 * d 2), ahold 1- nagy átló,** d 2- kisebb átló.

4. Egy tetszőleges paralelogramma területe

Egy tetszőleges paralelogramma S-jét a következő képlettel találjuk meg: S = a * h a,a- a paralelogramma oldala, h a

Még nem minden?

Elkészültünk a paralelogrammákkal. – Csak ezt kell megtanulnom? - kérdezed megkönnyebbülten. Azt válaszolom: paralelogrammákból - igen, csak azt. De maradtak még trapézok és háromszögek. Tehát folytassuk.

III. Csapda tsés én

A trapéz területe

A trapéz S egy képlettel kereshető, legyen az közönséges vagy egyenlő szárú: S = ((a + b) : 2) * h, ahola, b- ee okok, h- ee magasság. Ennyi a trapézhoz. Most a kérdéshez: "Hogyan találjuk meg a négyszög területét?" - nem csak magadnak válaszolhatsz, hanem másokat is felvilágosíthatsz. Most térjünk át a háromszögekre.

IV. Háromszög

A geometriában három képletet azonosítottak a területük meghatározására: téglalap alakú, egyenlő oldalú és tetszőleges háromszögekre.

1. Egy háromszög területe

S tetszőleges háromszög képlettel számolva: S = 0,5a * h a, a- a háromszög oldala, h a- erre az oldalra húzott magasság.

2. Az egyenlő oldalú háromszögek területe

S egyenlő oldalú háromszög képlet segítségével találhatjuk meg: S = 0,5a * h, ahola- a háromszög alapja, h- ennek a háromszögnek a magassága.

3. Terület derékszögű háromszögek

A derékszögű háromszögek területét a következő képlet határozza meg: S = (a * b) : 2, aholA- 1. láb, b- 2. láb.

Következtetés

Nos, véleményem szerint ennyi. A háromszögekről is tanulnod kell egy kicsit, nem? Most nézz meg mindent, amit ide írtam. – Egy hónapba fog telni, amíg ezt megtanulod! - kiáltod valószínűleg. És ki mondta, hogy mindent gyorsan megtanulsz? De ha mindezt megtanulja, nem fog megijedni a „Hogyan találjuk meg a négyszög területét” vagy „Egy tetszőleges háromszög területe” témájú kérdésektől a 9. osztályos értékelésen. Szóval, ha egyáltalán el akarsz menni bárhová, taníts, tanulj és legyél tudós!

___________________________________

Jegyzet

* - aÉs b nem kell az általam beállított helyeken lenni. Feladatok megoldásánál a függőleges oldalt hívhatjuk aés vízszintes - b;

** - az átlók felcserélhetők és a nevük megváltoztatható ugyanúgy, mint a jegyzetben. *

Az iskolában matematikai feladatok Gyakran meg kell határoznia egy négyszög területét. Minden nagyon egyszerű, ha megadják speciális eset formák - négyzet, rombusz, téglalap, trapéz, paralelogramma, rombusz. Tetszőleges négyszög esetén minden valamivel bonyolultabb, de egy átlagos diák számára is elérhető. Az alábbiakban megvizsgáljuk különféle módszerek tetszőleges négyszögek területének kiszámítása, képletek megírása és különféle segédpéldák megfontolása.

Az alábbi táblázat tartalmazza a használt meghatározásokat és konvenciókat később megbeszéléseink során.

Négyszög területének meghatározása különféle módszerekkel és technikákkal

Nézzük meg, hogyan találjuk meg a négyszög területét, amikor átlói és a metszéspontjukban kialakult hegyesszög adottak. Ezután a négyszög területét a következő képlettel számítjuk ki: S = 1/2*d1*d2*sin(d1,d2).

Nézzünk egy példát. Legyen d1 = 15 centiméter, d2 = 12 centiméter, és a köztük lévő szög 30 fok. Határozzuk meg az S-t. S = 1/2*15*12*sin30 = 1/2*15*12*1/2 = 45 négyzetcentiméter.

Most engedd adott egy négyszög oldalai és szemközti szögei.

Legyen a, b, c, d ismert felek poligon; p a fél kerülete. Megegyezünk, hogy a kifejezés négyzetgyökét radként jelöljük (a latin gyökből). A négyszög területének képletét a következő képlet adja meg: S = rad((p − a) (p − b) (p − c) (p − d) − a b c d ⋅ c o s^2((a) ,b) + (c,d) )/2), ahol p = 1/2*(a + b + c + d).

Első pillantásra a képlet nagyon összetettnek és igényesnek tűnik. Itt azonban nincs semmi bonyolult, amit egy példán keresztül be is bizonyítunk. Állapotunk adatai legyenek a következők: a = 18 milliméter, b = 23 milliméter, c = 22 milliméter, d = 17 milliméter. Az ellentétes szögek (a,b) = 0,5 fok és (c, d) = 1,5 fok. Először is megtaláljuk a fél kerületet: p = 1/2*(18 + 23 + 22 + 17) = 1/2*80 = 40 milliméter.

Most keressük meg a koszinusz négyzetét fél összegek ellentétes szögek: c o s^2((a,b) + (c,d))/2) = c o s^2(0,5 + 1,5)/2 = c o s1*c o s1 = (1/2)*(1 /2) = 0,9996.

Helyettesítsük be a kapott adatokat a képletünkbe, így kapjuk: S = rad((40 - 18)*(40 - 23)*(40 - 22)*(40 - 17) - 18*23*22*17*0,97) = rad(22*17*18*23 - 18*23*22*17*1/4) = rad((22*17*18*23*(1 - 0,9996)) = rad(154836*0,0004) = rad62 = 7,875 négyzetmilliméter.

Találjuk ki hogyan lehet területet keresni a beírt és a körülírt kör használatával. Ebben a témában a problémák megoldása során érdemes egy segédrajzot kísérni, bár ez a követelmény nem kötelező.

Ha van egy beírt kör, és meg kell találnia a négyszög területét, a képlet így néz ki:

S = ((a + b+ c + d)/2)*r

Vegyük újra a példát: a = 16 méter, b = 30 méter, c = 28 méter, d = 14 méter, r = 6 méter. Ha behelyettesítjük az értékeket a képletbe, a következőket kapjuk:

S = ((16 +30 + 28 + 14)/2)*6 = 44*6 = 264 négyzetméter.

Most vessünk egy pillantást arra az opcióra, ahol egy kör egy négyszög köré van körülírva. Itt a következő képletet használhatjuk:

S = rad((p − a)*(p − b)*(p − c)*(p − d), ahol p egyenlő a kerület hosszának felével. Legyen esetünkben az oldalak értéke a következő a = 26 deciméter, b = 35 deciméter, c = 39 deciméter, d = 30 deciméter.

Először is határozzuk meg a fél kerületet, p = (26 + 35 + 39 + 30)/2 = 65 deciméter. Helyettesítsük be a talált értéket a képletünkbe. Kapunk:

S = rad((65-26)*(65-35)*(65-39)*(65-30)) = rad(39*30*26*35) = 1032 (lekerekített) négyzetdeciméter.

Következtetés

A fentiek gondos tanulmányozása után arra a következtetésre juthatunk - egy tetszőleges négyszög területének meghatározása különböző oldalak nehezebb, mint az övék speciális típusok- négyzet, téglalap, rombusz, trapéz, paralelogramma. Gondosan tanulmányozva azonban A fenti módszerek mindegyike könnyen megoldhatja az iskolások számára szükséges problémákat. Foglaljuk össze az összes képletünket egy táblázatban:

1. S = 1/2*d1*d2*sin(d1,d2);
2. S = rad((p − a)*(p − b)*(p − c)*(p − d) − a*b*c*d*c o s^2((a,b) + (c,d) ))/2), ahol p = 1/2*(a + b + c + d);
3. S = ((a + b+ c + d)/2)*r

S = rad((p − a)*(p − b)*(p − c)*(p − d), ahol p egyenlő a kerület felével​.

Így, csak a 2-es képlet igazán összetett, de ez is eléggé hozzáférhető, feltéve, hogy jól ismeri a cikkben szereplő definíciókat és konvenciókat.

Videó

Ez a videó segít megérteni ezt a témát.

​

Nem kapott választ a kérdésére? Javasolj témát a szerzőknek.

Ez az online számológép segít a terület kiszámításában, meghatározásában és kiszámításában földterület V online mód. A bemutatott program helyesen tudja javasolni a terület kiszámítását földterületek szabálytalan alakú.

Fontos! A fontos területnek körülbelül bele kell illeszkednie a körbe. Ellenkező esetben a számítások nem lesznek teljesen pontosak.

Minden adatot méterben adunk meg

A B, D A, C D, B C— A telek mindkét oldalának mérete.

Programunk a megadott adatok alapján online számításokat végez, és meghatározza a területet föld V négyzetméter, századok, hektárok és hektárok.

A telek méretének manuális meghatározására szolgáló módszer

A parcellák területének helyes kiszámításához nem kell bonyolult eszközöket használnia. Facsapokat vagy fémrudakat veszünk, és beépítjük a telephelyünk sarkaiba. Ezután egy mérőszalag segítségével határozza meg a telek szélességét és hosszát. Általában elegendő egy szélességet és egy hosszúságot mérni téglalap vagy egyenlő oldalú területekhez. Például a következő adatokkal rendelkezünk: szélesség – 20 méter és hosszúság – 40 méter.

Ezután áttérünk a telek területének kiszámítására. at helyes forma telek, használható geometriai képlet egy téglalap területének (S) meghatározása. E képlet szerint meg kell szorozni a szélességet (20) a hosszúsággal (40), vagyis a két oldal hosszának szorzatával. Esetünkben S=800 m².

Területünk meghatározása után meg tudjuk határozni a telken lévő hektárok számát. Az általánosan elfogadott adatok szerint száz négyzetméter 100 m². Ezután egyszerű aritmetikával elosztjuk az S paraméterünket 100-zal. A kész eredményés azzá lesz mérettel egyenlő parcellák hektárban. Példánkban ez az eredmény 8. Így azt találjuk, hogy a telek területe nyolc hektár.

Abban az esetben, ha a földterület nagyon nagy, a legjobb, ha minden mérést más egységekben - hektárban - végez. Az általánosan elfogadott mértékegységek szerint - 1 Ha = 100 hektár. Például, ha a telkünk a kapott mérések szerint 10 000 m², akkor ebben az esetben a területe 1 hektár vagy 100 hektár.

Ha a telek szabálytalan alakú, akkor ebben az esetben a hektárok száma közvetlenül függ a területtől. Ez az oka annak, hogy használja online számológép Képes lesz helyesen kiszámítani a telek S paraméterét, majd az eredményt elosztani 100-zal. Így a számításokat hektárban kapja meg. Ez a módszer lehetővé teszi a parcellák mérését összetett formák, ami nagyon kényelmes.

Általános információk

A telkek területének kiszámítása klasszikus számításokon alapul, amelyeket általánosan elfogadott geodéziai képletek szerint végeznek.

Számos módszer áll rendelkezésre a földterület kiszámítására - mechanikus (a terv szerint mérőpalettákkal számítva), grafikus (a projekt határozza meg) és analitikus (a mért határvonalakon alapuló területképlet segítségével).

Messze a legtöbbet pontos módon méltán megfontolt – elemző. Használata ezt a módszert, a számítási hibák általában a mért vonalak domborzati hibái miatt jelennek meg. Ez a módszer Az is elég bonyolult, ha a határok görbültek, vagy a szögek száma a telken több mint tíz.

A grafikus módszer egy kicsit könnyebben kiszámítható. Legjobban akkor használható, ha a helyszín határait szaggatott vonal formájában jelenítjük meg egy kis mennyiséget fordul.

És a legelérhetőbb és legegyszerűbb módszer, valamint a legnépszerűbb, de ugyanakkor a legnagyobb hiba - mechanikus módszer. Ezzel a módszerrel könnyen és gyorsan kiszámíthatja az egyszerű vagy összetett formájú földterületet.

A súlyos hiányosságok között a mechanikai ill grafikus módszer, emelje ki a következőket, a számítások során a helyszínmérési hibákon túl a papír deformációja vagy a tervkészítés hibája is hozzáadódik.

Négyszög négy csúcsból, amelyek közül három nem egy egyenesen fekszik, és az ezeket összekötő szakaszokból álló ábra.

Sok négyszög létezik. Ide tartoznak a paralelogrammák, négyzetek, rombuszok és trapézok. A lelet oldalakon található, átlókkal könnyen kiszámítható. Egy tetszőleges négyszögben az összes elemet felhasználhatja a négyszög területének képletének származtatásához. Először nézzük meg a négyszög területének képletét az átlója szempontjából. Használatához szüksége lesz az átlók hosszára és a köztük lévő hegyesszög méretére. A szükséges adatok ismeretében példát hajthat végre egy négyszög területének kiszámítására a következő képlettel:

Az átlók és a köztük lévő hegyesszög szinuszának szorzatának fele a négyszög területe. Tekintsünk egy példát egy négyszög területének kiszámítására az átló segítségével.

Legyen adott egy négyszög, amelynek két átlója d1 =5 cm;d2 =4cm. Hegyesszög közöttük egyenlő α = 30°. A négyszög területének képlete az átlói alapján könnyen alkalmazható ismert körülmények között. Cseréljük ki az adatokat:

A négyszög területének átlókkal történő kiszámításának példájával megértjük, hogy a képlet nagyon hasonlít a számításhoz.

Egy négyszög területe az oldalak mentén

Ha egy ábra oldalainak hossza ismert, alkalmazhatja a képletet egy négyszög területére az oldalak mentén. E számítások alkalmazásához meg kell találnia az ábra fél kerületét. Emlékezzünk arra, hogy a kerület az összes oldal hosszának összege. A félperiméter fél kerület. Az a, b, c, d oldalú téglalapunkban a fél kerületi képlet így fog kinézni:
Az oldalak ismeretében levezetjük a képletet. A négyszög területe a fél kerülete és az egyes oldalak hossza közötti különbség gyökere:

Nézzünk egy példát egy négyszög területének kiszámítására az oldalai alapján. Adott egy tetszőleges négyszög, amelynek oldalai a = 5 cm, b = 4 cm, c = 3 cm, d = 6 cm Először keressük meg a fél kerületet:

használja a talált értéket a terület kiszámításához:

Egy négyszög területe koordinátákkal megadva

A koordinátarendszerben elhelyezkedő ábrák területének kiszámításához a négyszög koordináták szerinti területének képletét használják. Ebben az esetben először ki kell számítania a szükséges oldalak hosszát. A négyszög típusától függően maga a képlet változhat. Nézzünk egy példát egy négyszög területének kiszámítására egy négyzet segítségével, amely az XY koordinátarendszerben található.

Adott egy XY koordinátarendszerben elhelyezkedő ABCD négyzet. Keresse meg az ábra területét, ha a csúcsok koordinátái A (2;10); B(10;8); C(8;0); D(0;2).

Tudjuk, hogy az ábra minden oldala egyenlő, és a négyzet területének képletét a következő képlet találja meg:
Keressük meg az egyik oldalt, például az AB-t:
Helyettesítsük be az értékeket a képletbe:
Tudjuk, hogy minden oldal egyforma. Az értéket behelyettesítjük a terület számítási képletébe:

Négyzet geometriai alakzat - egy geometriai alakzat numerikus jellemzője, amely az alakzat méretét mutatja (a felület egy része, amelyet az ábra zárt körvonala korlátoz). A terület nagyságát a benne lévő négyzetegységek száma fejezi ki.

Háromszög terület képletek

1. A háromszög területének képlete oldal és magasság szerint
   Egy háromszög területe egyenlő egy háromszög oldalának hosszának és az erre az oldalra húzott magasság hosszának a felével
   
2. A háromszög területének képlete három oldal és a körülírt kör sugara alapján
   
3. A háromszög területének képlete a három oldal és a beírt kör sugara alapján
   Egy háromszög területe egyenlő a háromszög fél kerületének és a beírt kör sugarának szorzatával.
   
ahol S a háromszög területe,
- a háromszög oldalainak hossza,
- a háromszög magassága,
- az oldalak közötti szög és
- a beírt kör sugara,
R - a körülírt kör sugara,

Négyzetterület képletek

1. A négyzet területének képlete oldalhosszonként
   Négyzet alakú terület egyenlő az oldala hosszának négyzetével.
2. Képlet egy négyzet területének az átlós hossz mentén
   Négyzet alakú terület egyenlő az átlója hosszának négyzetének felével.
   

   S=	1	2
   	2

ahol S a négyzet területe,
- a négyzet oldalának hossza,
- a négyzet átlójának hossza.

Téglalap terület képlete

Egy téglalap területe egyenlő két szomszédos oldala hosszának szorzatával

ahol S a téglalap területe,
- a téglalap oldalainak hossza.

Párhuzamos terület képletek

1. A paralelogramma területének képlete az oldalhossz és a magasság alapján
   Egy paralelogramma területe
2. A paralelogramma területének képlete két oldal és a köztük lévő szög alapján
   Egy paralelogramma területe egyenlő az oldalai hosszának a szorzatával a közöttük lévő szög szinuszával.
   

   a b sin α

ahol S a paralelogramma területe,
- a paralelogramma oldalainak hossza,
- a paralelogramma magasságának hossza,
- a paralelogramma oldalai közötti szög.

A rombusz területének képletei

1. A rombusz területének képlete az oldalhossz és a magasság alapján
   Rombusz területe egyenlő az oldala hosszának és az erre az oldalra süllyesztett magasságának szorzatával.
2. A rombusz területének képlete az oldalhossz és a szög alapján
   Rombusz területe egyenlő az oldala hosszának négyzetének és a rombusz oldalai közötti szög szinuszának szorzatával.
3. A rombusz területének képlete az átlóinak hossza alapján
   Rombusz területeátlói hosszának a felével egyenlő.
ahol S a rombusz területe,
- a rombusz oldalának hossza,
- a rombusz magasságának hossza,
- a rombusz oldalai közötti szög,
1, 2 - átlók hossza.

Trapézfelület képletek

1. Heron képlete a trapézhoz

   ahol S a trapéz területe,
   - a trapéz alapjainak hossza,
   - a trapéz oldalainak hossza,