Szinuszok és koszinuszok megfogalmazása tétele. Koszinusz tétel

Nem minden iskolás, és különösen a felnőttek nem tudják, hogy a koszinusztétel közvetlenül kapcsolódik a Pitagorasz-tételhez. Pontosabban az utóbbi az előbbi speciális esete. Ez a pont, valamint a koszinusztétel bizonyításának két módja segít abban, hogy többé válj hozzáértő ember. Emellett jól fejlődik a gyakorlat a mennyiségek kezdeti kifejezésekből történő kifejezésében logikus gondolkodás. A tanulmányozott tétel hosszú képlete határozottan kemény munkára és fejlődésre kényszerít.

Beszélgetés indítása: a jelölések bemutatása

Ez a tétel megfogalmazva és bebizonyítva tetszőleges háromszög. Ezért mindig, bármilyen helyzetben használható, ha két oldal van megadva, bizonyos esetekben három, és egy szög, és nem feltétlenül közöttük. Bármi is legyen a háromszög típusa, a tétel mindig működni fog.

És most a mennyiségek megjelöléséről minden kifejezésben. Jobb azonnal megállapodni, hogy később ne kelljen többször magyarázkodni. Az alábbi táblázatot erre a célra állítottuk össze.

Fogalmazás és matematikai jelölés

Tehát a koszinusztétel megfogalmazódik a következő módon:

Bármely háromszög négyzet alakú oldala egyenlő az összeggel két másik oldalának négyzete mínusz ugyanezen oldalak kétszerese és a közöttük lévő szög koszinusza.

Természetesen hosszú, de ha megérted a lényegét, könnyen megjegyezhető. Akár egy háromszög rajzolását is el tudod képzelni. Vizuálisan mindig könnyebb megjegyezni.

Ennek a tételnek a képlete így fog kinézni:

Kicsit hosszú, de minden logikus. Ha egy kicsit jobban megnézi, láthatja, hogy a betűk ismétlődnek, ami azt jelenti, hogy nem nehéz megjegyezni.

A tétel közös bizonyítása

Mivel ez minden háromszögre igaz, az érveléshez bármelyik típust kiválaszthatja. Legyen ez egy figura minden éles szöggel. Tekintsünk egy önkényes hegyesszögű háromszög, amelynek C szöge nagyobb, mint B szög. A csúcsból ezzel a nagy szöggel le kell engedni egy merőlegest az ellenkező oldalt. A megrajzolt magasság a háromszöget két téglalap alakúra osztja. Ez szükséges lesz a bizonyításhoz.

Az oldal két részre lesz osztva: x, y. Ezeket ismert mennyiségekben kell kifejezni. Azt a részt, amely egy b-vel egyenlő hipotenuszú háromszögben lesz, a következő jelöléssel fejezzük ki:

x = b * cos A.

A másik egyenlő lesz ezzel a különbséggel:

y = c - in * cos A.

Most fel kell írni a Pitagorasz-tételt a két eredményül kapott derékszögű háromszögre, a magasságot véve ismeretlen értéknek. Ezek a képletek így fognak kinézni:

n 2 = in 2 - (in * cos A) 2,

n 2 = a 2 - (c - b * cos A) 2.

Ezekben az egyenlőségekben vannak azonos kifejezések bal. Ez azt jelenti, hogy a jobb oldaluk is egyenlő lesz. Könnyű leírni. Most meg kell nyitnia a zárójeleket:

in 2 - in 2 * (cos A) 2 = a 2 - c 2 + 2 c * in * cos A - in 2 * (cos A) 2.

Ha végrehajt egy átvitelt és leadja ide hasonló kifejezések, akkor megkapjuk a kezdeti képletet, amit a megfogalmazás, vagyis a koszinusztétel után írunk. A bizonyítás kész.

A tétel bizonyítása vektorok segítségével

Sokkal rövidebb, mint az előző. És ha ismeri a vektorok tulajdonságait, akkor a koszinusztétel egy háromszögre egyszerűen bebizonyosodik.

Ha az a, b, c oldalt a BC, AC és AB vektorok jelölik, akkor az egyenlőség teljesül:

BC = AC - AB.

Most meg kell tennie néhány lépést. Ezek közül az első az egyenlőség mindkét oldalának négyzetre emelése:

BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB.

Ezután az egyenlőséget skaláris formában kell átírni, figyelembe véve, hogy a vektorok szorzata egyenlő a köztük lévő szög és skalárértékeik koszinuszával:

BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB * cos A.

Nincs más hátra, mint visszatérni a régi jelöléshez, és ismét megkapjuk a koszinusztételt:

a 2 = b 2 + c 2 - 2 * b * c * cos A.

Képletek a többi oldalhoz és minden szöghez

Az oldal megtalálásához a koszinusztétel négyzetgyökét kell venni. A másik oldal négyzetének képlete így fog kinézni:

c 2 = a 2 + b 2 - 2 * a * b * cos C.

Egy oldal négyzetére vonatkozó kifejezés felírása V, le kell cserélnie az előző egyenlőségben Val vel tovább V, és fordítva, és tegye a B szöget a koszinusz alá.

Tól től alapképlet tétel, kifejezhetjük az A szög koszinuszának értékét:

cos A = (2-ben + c 2 - a 2) / (2-ben * c).

Más szögek képletei hasonló módon származnak. Ez jó gyakorlatok, így megpróbálhatja megírni őket saját maga.

Természetesen ezeket a képleteket nem kell megjegyezni. Elég, ha megértjük a tételt, és képesek vagyunk ezeknek a kifejezéseknek a fő jelöléséből származtatni.

A tétel eredeti képlete lehetővé teszi az oldal megkeresését, ha a szög nem esik be két ismert közé. Például meg kell találni V, ha az értékek megadva: a, c, A. Vagy ismeretlen Val vel, de vannak jelentései a, b, A.

Ebben a helyzetben a képlet összes kifejezését át kell vinnie ide bal oldal. A következő egyenlőséget kapod:

с 2 - 2 * в * с * cos А + в 2 - а 2 = 0.

Írjuk át egy kicsit más formában:

c 2 - (2 * in * cos A) * c + (in 2 - a 2) = 0.

Könnyen belátható másodfokú egyenlet. Ismeretlen mennyiség van benne - Val vel, és az összes többi adott. Ezért elegendő diszkrimináns segítségével megoldani. Így megtalálják az ismeretlen oldalt.

A második oldal képletét hasonló módon kapjuk meg:

2-ben - (2 * c * cos A) * in + (c 2 - a 2) = 0.

Más kifejezésekből az ilyen képleteket önállóan is könnyű megszerezni.

Hogyan lehet megtudni a szög típusát a koszinusz kiszámítása nélkül?

Ha alaposan megnézi a korábban levezetett szög koszinusz képletet, a következőket fogja észrevenni:

• a tört nevezője mindig pozitív szám, mert olyan oldalak szorzatát tartalmazza, amelyek nem lehetnek negatívak;
• a szög értéke a számláló előjelétől függ.

Az A szög a következő lesz:

• akut olyan helyzetben, amikor a számláló Nulla felett;
• hülye, ha ez a kifejezés negatív;
• közvetlen, ha egyenlő nullával.

Ez utóbbi helyzet egyébként a koszinusztételt Pitagorasz-tétellé változtatja. Mert 90°-os szög esetén a koszinusza az egyenlő nullával, és az utolsó kifejezés eltűnik.

Első feladat

Feltétel

Egy tetszőleges háromszög tompaszöge 120º. Az oldalakról, amelyekre korlátozódik, ismert, hogy az egyik 8 cm-rel nagyobb, mint a másik A harmadik oldal hossza ismert, ez 28 cm.

Megoldás

Először meg kell jelölnie az egyik oldalt az „x” betűvel. Ebben az esetben a másik egyenlő lesz (x + 8). Mivel mindhárom oldalra vannak kifejezések, használhatjuk a koszinusztétel által biztosított képletet:

28 2 = (x + 8) 2 + x 2 - 2 * (x + 8) * x * cos 120º.

A koszinusztáblázatokban meg kell találnia a 120 foknak megfelelő értéket. Ez a 0,5-ös szám lesz mínuszjellel. Most meg kell nyitnia a zárójeleket, követve az összes szabályt, és hasonló kifejezéseket kell hoznia:

784 = x 2 + 16x + 64 + x 2 - 2x * (-0,5) * (x + 8);

784 = 2x 2 + 16x + 64 + x 2 + 8x;

3x 2 + 24x - 720 = 0.

Ezt a másodfokú egyenletet úgy oldjuk meg, hogy megtaláljuk a diszkriminánst, amely egyenlő lesz:

D = 24 2 - 4 * 3 * (- 720) = 9216.

Mivel értéke nagyobb, mint nulla, az egyenletnek két gyökérválasza van.

x 1 = ((-24) + √(9216)) / (2 * 3) = 12;

x 2 = ((-24) - √(9216)) / (2 * 3) = -20.

Az utolsó gyökér nem lehet válasz a problémára, mert az oldalnak pozitívnak kell lennie.

Fontos számunkra az Ön személyes adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok az azonosításra használható adatokra vonatkoznak bizonyos személy vagy kapcsolat vele.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezik az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Mi gyűjtöttük össze Személyes adat lehetővé teszi számunkra, hogy kapcsolatba léphessünk Önnel és tájékoztassuk Önt arról egyedi ajánlatok, akciók és egyéb események és Közelgő események.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik fél számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásnak megfelelően és/vagy nyilvános megkeresés vagy kormányzati szervek az Orosz Föderáció területén - adja ki személyes adatait. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

Végzettek, akik matematikából egységes államvizsgára készülnek, és szeretnének betelni magas pontszám, mindenképpen el kell sajátítania a problémamegoldás elvét a szinuszok és koszinuszok tételével. Sok éves gyakorlat azt mutatja, hogy a „Síkgeometria” rész hasonló feladatai a program kötelező részét képezik tanúsító teszt. Ezért, ha az egyik gyenge pontok A koszinuszok és szinuszok tételével kapcsolatos problémák, javasoljuk, hogy feltétlenül ismételje meg az alapvető elméletet ebben a témában.

Készüljön fel a vizsgára a Shkolkovo oktatási portálon

Edzés előtt az egységes államvizsga letétele, sok diplomás szembesül azzal a problémával, hogy megtalálja a megoldáshoz szükséges alapvető elméletet gyakorlati problémák a szinuszok és koszinuszok tételének alkalmazásáról.

A tankönyv nincs mindig kéznél megfelelő pillanat. A szükséges képletek megtalálása pedig néha még az interneten is meglehetősen problémás lehet.

Felkészülés a tanúsító tesztre oktatási portál A „Shkolkovo” a legmagasabb minőségű és leghatékonyabb lesz. A szinuszok és koszinuszok tételével kapcsolatos problémák megkönnyítése érdekében javasoljuk, hogy ecsetelje az egész elméletet ebben a témában. Szakértőink ezt az anyagot széleskörű tapasztalatok alapján készítették el és közérthető formában mutatták be. Megtalálható az „Elméleti információk” részben.

Az alaptételek és definíciók ismerete fele a sikernek a tanúsítási teszt sikeres teljesítésekor. A megfelelő gyakorlatok lehetővé teszik a példák megoldásában szerzett készségeinek csiszolását. Megtalálásukhoz egyszerűen lépjen a Shkolkovo oktatási webhely „Katalógus” részébe. Ott bemutatva nagy lista feladatokat különböző szinteken komplexitás, amelyet folyamatosan kiegészítenek és frissítenek.

Moszkvában vagy bármely más orosz városban a tanulók online feladatokat oldhatnak meg a szinuszok és koszinuszok tételeivel, hasonlóak a matematika egységes államvizsga-tételeihez.

Ha szükséges, például bármilyen gyakorlatot el lehet menteni a „Kedvencek” részben. Ez lehetővé teszi, hogy a jövőben visszatérjen ehhez, hogy ismét elemezze a helyes válasz megtalálásának algoritmusát, és megvitassa azt egy iskolai tanárral vagy egy oktatóval.

A matematika egységes államvizsga és egységes államvizsga geometriai feladatainak megoldása során gyakran felmerül az igény a háromszög két oldalának és a közöttük lévő szög ismeretében a harmadik oldal megkeresésére. Vagy egy háromszög minden oldalának ismeretében keresse meg a szögeit. A problémák megoldásához szükség lesz a koszinusztétel értékére egy háromszögre. Ebben a cikkben egy matematika és fizika oktató beszél arról, hogyan fogalmazzák meg, igazolják és alkalmazzák a gyakorlatban ezt a tételt a feladatok megoldása során.

A koszinusztétel megfogalmazása háromszögre

A háromszög koszinusztétele a háromszög két oldalát és a köztük lévő szöget a szöggel ellentétes oldallal hozza összefüggésbe. Például jelöljük a betűkkel és a háromszög oldalainak hosszával ABC, amelyek a szögekkel szemben helyezkednek el A, BÉs C.

Ekkor ennek a háromszögnek a koszinusztétele a következőképpen írható fel:

Az ábrán a további megbeszélés megkönnyítése érdekében a szög VAL VEL szög jelzi. Szavakkal ez a következőképpen fogalmazható meg: „A háromszög bármely oldalának négyzete egyenlő a másik két oldal négyzeteinek összegével mínusz kétszerese a terméknek ezek az oldalak a köztük lévő szög koszinuszával."

Nyilvánvaló, hogy ha a háromszög másik oldalát fejezi ki, például oldalt, akkor a képletben a szög koszinuszát kell vennie A, vagyis a háromszögben a kívánt oldallal szemben fekszenek, az egyenletben pedig a jobb oldalon az oldalak és lennének a helyükön. Az oldal négyzetének kifejezését hasonló módon kapjuk meg:

A koszinusztétel bizonyítása háromszögre

A koszinusztétel bizonyítása háromszögre általában a következőképpen történik. Oszd ketté az eredeti háromszöget derékszögű háromszög magasságban, majd játsszon a kapott háromszögek oldalaival és a Pitagorasz-tétellel. Ennek eredményeként hosszú unalmas átalakulások után kapok kívánt eredményt. Én személy szerint nem szeretem ezt a megközelítést. És nem csak a nehézkes számítások miatt, hanem azért is, mert ebben az esetben külön kell vizsgálnunk azt az esetet, amikor a háromszög tompaszögű. Túl sok a nehézség.

Javaslom ennek a tételnek a bizonyítását a következő fogalom segítségével pont termék vektorok." Tudatosan vállalom magamnak ezt a kockázatot, tudván, hogy sok iskolás inkább kerüli ezt a témát, hisz ez valahogy homályos, és jobb nem foglalkozni vele. De a vonakodás, hogy külön bütyköljenek vele tompa háromszög Még mindig hatalmába kerít. Sőt, az eredményül kapott bizonyítás meglepően egyszerűnek és emlékezetesnek bizonyul. Most ezt fogod látni.

Cseréljük le háromszögünk oldalait a következő vektorokkal:

A koszinusztétel használata háromszögre ABC. Egy oldal négyzete egyenlő az oldalak négyzeteinek összegével, mínusz ezen oldalak kétszerese a köztük lévő szög koszinuszával:

Azóta az eredmény:

Azt jelenti,. Egyértelmű, hogy negatív döntés nem vesszük, mert a szakasz hossza pozitív szám.

A szükséges szög az ábrán látható. Írjuk át a koszinusztételt egy háromszögre ABC. Mivel az összes jelölést megtartottuk, a koszinusztételt kifejező képlet erre a háromszögre ugyanaz marad:

Helyettesítsük be ebbe a képletbe az összes megadott mennyiséget. Ennek eredményeként a következő kifejezést kapjuk:

Az összes számítás és átalakítás után a következő egyszerű kifejezést kapjuk:

Mi legyen az érték hegyesszög, hogy a koszinusza egyenlő legyen: Megnézzük a táblázatot, amely ben található, és megkapjuk a választ: .

Így oldhatók meg a geometriai feladatok a koszinusztétel segítségével egy háromszögre. Ha az OGE-t vagy az egységes államvizsgát fog tenni matematikából, akkor feltétlenül el kell sajátítania ezt az anyagot. A releváns problémák szinte biztosan lesznek a vizsgán. Gyakorold saját maga megoldani őket. Végezze el a következő feladatokat:

1. Háromszögben ABC oldal AB egyenlő 4 cm, oldal IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT. egyenlő 6 cm, szög B egyenlő 30°-kal. Találd meg az oldalt A.C..
2. Háromszögben ABC oldal AB egyenlő 10, oldal IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT. egyenlő 8, oldal A.C. egyenlő 9. Határozzuk meg a szög koszinuszát A.

Válaszait és megoldásait írja meg kommentben. Sok szerencsét!

Az anyagot Sergey Valerievich készítette