Otthon » A gomba pácolása » Az egyenes és fordított arányosság problémái. Összetett arányproblémák

Az egyenes és fordított arányosság problémái. Összetett arányproblémák

Együttműködési és termelékenységi kihívások

Az ilyen típusú feladatok általában információkat tartalmaznak egy-egy munka több alany (munkások, mechanizmusok, szivattyúk stb.) teljesítményéről, amelyek mennyiségét nem jelzik, és nem is keresik (például kézirat újranyomtatása, alkatrészek gyártása, ásás árkok, tározó feltöltése csöveken keresztül stb.). Feltételezzük, hogy az elvégzett munka egyenletesen történik, azaz. állandó produktivitással minden tantárgy esetében. Mivel nem vagyunk kíváncsiak az elvégzett munka mennyiségére (vagy például a feltöltött uszoda térfogatára), ezért az összes munka mennyisége igen. vagy medencét egységnek vesszük. Időt, minden munka elvégzéséhez szükséges, és P a gyártóa munkaintenzitás, vagyis az időegység alatt végzett munka mennyisége összefügg

hányadosP= 1/t .Hasznos ismerni a szabványos megoldási sémát tipikus feladatok.

Hagyja, hogy egy munkás x óra alatt, egy másik munkás y óra alatt végezzen el munkát. Majd egy óra alatt teljesítenek 1/xés 1/ya munka része. Egy óra alatt együtt teljesítenek 1/x +1/ ya munka része. Ezért ha együtt dolgoznak, akkor minden munka 1/ (1/x+ 1/ y)

Az együttműködési problémák megoldása kihívást jelent a hallgatók számára, ezért a vizsgára való felkészülés során a legtöbbet megoldhatja. egyszerű feladatokat. Nézzük meg, hogy milyen típusú problémákhoz elegendő csak egy változót megadni.

1. feladat. Egy vakoló 5 órával gyorsabban tud elvégezni egy feladatot, mint egy másik. Mindketten együtt 6 óra alatt teljesítik ezt a feladatot. Hány órát vesz igénybe mindegyiküknek a feladat elvégzése?

Megoldás. Hagyja, hogy az első vakoló végezze el a feladatotxóra, akkor a második vakoló ben elvégzi ezt a feladatotx+5 óra. 1 óra alatt együttműködés teljesítik 1/x + 1/( x+5) feladatok. Készítsünk egy egyenletet

6×(1/x+ 1/( x+5))= 1 vagyx² - 7 x-30 = 0. Megoldás adott egyenlet, megkapjukx= 10 ésx= -3. A probléma körülményei szerintx– az érték pozitív. Ezért az első vakoló 10, a második 15 óra alatt tudja elvégezni a munkát.

2. probléma . Két munkás 12 nap alatt végezte el a munkát. Hány napig tudja minden dolgozó elvégezni a munkát, ha egyiküknek 10 nappal többre volt szüksége a teljes munka elvégzéséhez, mint a másiknak?

Megoldás . Hagyja, hogy az első munkás minden munkára költsönxnap, majd a második- (x-10) nap. 1 nap közös munka alatt teljesítenek 1/x+ 1/( x-10) feladatok. Készítsünk egy egyenletet

12×(1/x+ 1/( x-10) = 1 vagyx²- 34x+120=0. Ezt az egyenletet megoldva azt kapjukx=30 ésx= 4. A feladat feltételeit csak az teljesítix=30 Ezért az első dolgozó 30 nap alatt, a második pedig 20 nap alatt tudja elvégezni a munkát.

3. feladat. 4 napos közös munka során két traktorral felszántották a tábla 2/3-át. Hány nap alatt lehet felszántani a teljes táblát minden traktorral, ha az első 5 nappal gyorsabban tudja felszántani, mint a második?

Megoldás. Hagyja, hogy az első traktor költsöna feladat elvégzéséhez x nap, majd a második - x + 5 nap. 4 napos közös munka során mindkét traktor 4× szántott (1/ x + 1/( x +5)) feladatokat, vagyis a terület 2/3-át. Hozzuk létre a 4×(1/) egyenletet x + 1/ ( x +5)) = 2/3 vagyx² -7x-30 = 0. . Ezt az egyenletet megoldva azt kapjukx= 10 ésx= -3. A probléma körülményei szerintx– az érték pozitív. Ezért az első traktor 10 óra, a második 15 óra alatt képes felszántani a szántóföldet.

4. probléma . Masha 10 oldalt tud nyomtatni 1 óra alatt, Tanya 0,5, Olya pedig 3 oldalt tud kinyomtatni 20 perc alatt. Hogyan tudnak a lányok 54 oldalnyi szöveget szétosztani egymás között úgy, hogy mindegyik ugyanannyi ideig működjön?

Megoldás . Tanya a feltétel szerint 0,5 óra alatt 4 oldalt nyomtat, i.e. 8 oldal 1 óra alatt, és Olya – 9 oldal 1 óra alatt. Kijelölt X óra - idő, amely során a lányok dolgoztak, megkapjuk az egyenletet

10X + 8X + 9X = 54, ebből X = 2.

Ez azt jelenti, hogy Tanyának 20 oldalt, Tanyának 16 oldalt, Olyának pedig 18 oldalt kell nyomtatnia.

5. feladat. Két egyidejűleg működő sokszorosítógép segítségével 20 perc alatt másolatot készíthet egy kéziratról. Mennyi idő alatt lehet ezt a munkát minden gépen külön-külön elvégezni, ha ismert, hogy az elsőn végzett munka 30 perccel kevesebbet vesz igénybe, mint a másodikon?

Megoldás. Legyen X min a másolás befejezéséhez szükséges idő az első gépen, majd X+30 min a második gépen a működési idő. Ezután az első gép 1 perc alatt 1/X másolatot készít, és 1/(X+30) példány - második gép.

Készítsük el az egyenletet: 20× (1/X + 1/(X+30)) = 1, kapjukX²-10X-600= 0. Ahonnan X = 30 és X = - 20. A feladat feltételeit X = 30 teljesíti. A következőt kaptuk: 30 perc - az első készülék másolatának elkészítési ideje, a másodiké 60 perc .

6. feladat. Az A cég 4 nappal gyorsabban tud néhány játékgyártási rendelést teljesíteni, mint a B cég. Mennyi ideig tudja mindegyik cég teljesíteni ezt a megrendelést, ha ismert, hogy együtt dolgozva 24 nap alatt ötször nagyobb megrendelést teljesítenek?

Megoldás. X kijelölte nap – idő, amit A cég megkövetel a megrendelés teljesítéséhez, akkor X + 4 nap a B cégnél az idő. Az egyenlet összeállításakor figyelembe kell venni, hogy a 24 napos közös munka során nem 1, hanem 5 megrendelés érkezik. be kell fejezni. 24×-et kapunk (1/X + 1/( X+4)) = 5. Ahonnan 5 X²- 28X-96 = 0. A másodfokú egyenlet megoldásával X = 8 és X = - 12/5. Az első cég 8 nap, a B cég 12 nap alatt tudja teljesíteni a megrendelést.

A következő feladatok megoldása során egynél több változót kell megadniés egyenletrendszereket old meg.

7. probléma . Két munkás dolgozik. 45 perc közös munka után az első dolgozót áthelyezték egy másik munkahelyre, a második pedig 2 óra 15 perc alatt végzett a többi munkával. Mennyi ideig tartana minden dolgozónak egyénileg az összes munka elvégzése, ha ismert, hogy a másodiknak 1 órával többre lesz szüksége ehhez, mint az elsőnek?

Megoldás. Hagyja, hogy az első munkás x óra alatt, a második munkás y óra alatt végezzen el minden munkát. A feladat feltételeiből x = y -1. 1 óra először

a dolgozó elvégzi 1/xa munka egy része, a második pedig - 1/ya munka része.T.Ahoz. ¾ órát dolgoztak együtt, majd ezalatt ¾ órát teljesítettek (1/x + 1/ y)

a munka része. Mert2 és 1/4óra munka a második teljesítve 9/4× (1/y) a munka része.T.Ahoz. minden munka elkészült, majd összeállítjuk a ¾ egyenletet (1/x+1/ y)+9/4×1/y=1 vagy

¾ × 1/x+ 3 × 1/y =1

Az érték helyettesítésexebbe az egyenletbe ¾× 1/ (y-1)+ 3×1/y= 1. Ezt az egyenletet 4y másodfokúra redukáljuk2 -19у + 12 =0, amelynek van

megoldások től 1 = h ésat 2 = 4 óra Az első megoldás nem megfelelő (mindkét rabszolgaOakik csak ¾ órát dolgoztak együtt!). Ekkor y = 4 és x =3.

Válasz. 3 óra, 4 óra.

8. feladat. A medence két csapból tölthető fel vízzel. Ha az első csapot 10 percre, a másodikat 20 percre kinyitjuk, a medence megtelik.

Ha az első csapot 5 percig, a másodikat 15 percig nyitják, akkor a 3/5 megtelik úszómedence

Mennyi ideig tart a teljes medence feltöltése minden csapból külön-külön?

Megoldás. Lehetővé válik a medence feltöltése az első csapból x perc alatt, a második csapból y 1 perc alatt. Az első csap megtelik a medence egy része, és a második . Az első csapolástól számított 10 percen belül megtelik a medence egy részében, és 20 perc múlva a második csaptól - . T.Ahoz. a medence megtelik, megkapjuk az első egyenletet: . A második egyenletet is ugyanúgy összeállítjuk (megtölti az egész medencét, de csak térfogata). A probléma megoldásának egyszerűsítése érdekében új változókat vezetünk be: Akkor van lineáris rendszer egyenletek:

10u + 20v =1,

,

melynek megoldása u = v = lesz. Innen kapjuk a választ: x = min, y = 50 perc.

Feladat 9 . Két ember végzi a munkát. Az első működött az az idő, amely alatt a második elvégzi az összes munkát. Aztán a második működött az idő, ameddig az első befejezte volna a hátralévő munkát. Mindkettő csak befejeződött az összes munka. Mennyi időbe telik egy személynek ennek a munkának a befejezése, ha ismert, hogy ha együtt dolgoznak, akkor meg is fogják csinálni3 h36 min?

Megoldás. Jelöljük x órával és y órával azt az időt, amely alatt az első, illetve a második az összes munka elvégzéséhez szükséges. Majd És

A munka azon részei, amelyekért elvégzik1 óraMűködőképes (állapot szerint) idővel az első befejeződik a munka része. Teljesítetlen marad a munka egy részét, amire az első költött volna óra. A második feltétel szerint 1 működik/3 ezúttal. Akkor megteszi a munka része. Együtt csak befejezték az összes munka. Ezért megkapjuk az egyenletet . Együtt dolgozni azért1 mindketten megtesznek egy órát + a munka része. Mivel a probléma körülményei szerint ezt a munkát benn fogják elvégezni3 h36 min (vagyis sa 3 óra), majd a1 egy óra múlva megcsinálják az összes munka. Ezért 1/x + 1/ y = 5/18. Az első egyenletben jelölve , másodfokú egyenletet kapunk

6 t 2 - 13 t + 6 = 0 , melynek gyökerei egyenlőkt 1 =2/3 , t 2 =3/2. Mivel nem ismert, hogy ki dolgozik gyorsabban, mindkét esetet figyelembe vesszük.

A)t = => y = X. Helyettesítsd be y-t a második egyenletbe: Nyilván ez nem megoldás

feladatokat, hiszen együtt több mint 3 óra alatt végzik el a munkát.

b) t=3/2 => y=3/2 x. A második egyenletből 1/x+2/3 × 1/x=5/18.Innenx=6,y =9.

10. feladat. A víz két különböző átmérőjű csőből érkezik a tartályba. Az első napon mindkét cső egyidejűleg működött, 14-et szállítottm 3 víz. A második napon csak az volt benne kis cső. 14 m-t szolgált 3 víz, 5 órával tovább dolgozik, mint az első napon. A harmadik napon a munka ugyanannyi ideig folytatódott, mint a másodikon, de mindkét cső először működött, 21 m-t szállítva. 3 víz. Aztán csak egy nagy cső működött, amely további 20 m-t szolgáltatott 3 víz. Keresse meg az egyes csövek termelékenységét.

Megoldás. Ebben a problémában nincs absztrakt fogalma a „tározó térfogatának”, hanem a csöveken átfolyó víz meghatározott térfogatát jelzik. A probléma megoldásának módja azonban valójában ugyanaz marad.

Hagyja, hogy a kisebb-nagyobb csövek szivattyúzzanak x és y m-t 1 óra alatt3 víz. Együtt működve mindkét cső x + y m-t szolgáltat3 víz.

Ebből következően az első napon a csövek működtek 14/(x+ y) óra. A második napon 5 órával többet dolgozott a kiscső, azaz 5+14/(x+ y) . Erre

szolgálati ideje 14 m 3 víz. Innen kapjuk az első egyenletet 14 vagy 5+14/(x+ y)=14/ x. A harmadik napon mindkét cső együtt működött21/(x+ y) óra, majd a nagy cső 20/xóra. A csövek teljes ideje egybeesik az első cső második napi üzemidejével, azaz.

5+14/( x+ y) =21/( x+ y)+ 20/ x. Mivel az egyenlet bal oldala egyenlő, így van . A nevezőktől megszabadulva kapjuk homogén egyenlet 20 x 2 +27 xy-14 y 2 =0. Az egyenletet elosztva ezzely 2 és kijelölvex/ y= t, nálunk 20 vant 2 +27 t-14=0. Ennek a másodfokú egyenletnek a két gyökéből (t 1 = , t 2 = ) a probléma jelentése szerint csak megfelelőt= . Ezért,x= y. Helyettesítésxaz első egyenletbe, azt találjuky=5. Majdx=2.

Feladat 11. Két csapat együtt dolgozva két nap alatt kiásta az árkot. Ezt követően ugyanolyan mélységű és szélességű árkot kezdtek ásni, de ötször hosszabbat, mint az első. Eleinte csak az első csapat dolgozott, majd csak a második csapat, másfélszer kevesebb munkát végzett, mint az első csapat. A második árok ásását 21 nap alatt végezték el. Hány nap alatt áshatja meg a második csapat az első árkot, ha ismert, hogy az első csapat egy nap alatt végzett munkája nagyobb, mint a második csapat egy nap alatt végzett munkája?

Megoldás.Kényelmesebb ezt a problémát megoldani, ha az elvégzett munka azonos léptékű. Ha mindkét csapat együtt dolgozott az első árok kiásásán 2 nap alatt, akkor nyilvánvalóan 10 nap alatt ásták volna a második (ötször hosszabb) árkot. Hagyja, hogy az első brigád x nap múlva ásja ezt az árkot, a második pedig y, azaz. 1 nap alatt az első ásott volna az árok egy része, a második - 1/y , és együtt -1/x+1/ y az árok egy része.

Akkor van . A csapatok külön dolgoztak a második árok ásásakor. Ha a második csapat befejezte a munka mennyiségétm, majd (a probléma feltételeinek megfelelően) - az első brigád . Mertm + m = m akkor egyenlő az összes munka mennyiségével, amelyet egységnek tekintünkm = . Következésképpen a második brigád ásott árkokat és költöttek rá napokon. Az első brigád ásott árkok és költöttek X napokon. Innentől megvan vagyX = 35- . Ha x-et behelyettesítünk az első egyenletbe, akkor a másodfokú egyenlethez jutunk2у 2 - 95у +1050 = 0, melynek gyöke y lesz 1 = És at 2 = 30. Akkor ennek megfelelőenX 1 = És X 2 =15. A problémafelvetésből válassza ki a kívántat: y = 30. Mivel a talált érték a második árokra vonatkozik, a második csapat 6 nap alatt megásta volna az első (ötször rövidebb) árkot.

Feladat 12. Három kotró vett részt egy 340 m térfogatú gödör ásásában 3 . Egy óra alatt az első kotrógép 40 m-t távolít el 3 font, a második - per cm 3 kevesebb, mint az első, a harmadik pedig 2s-kor több mint az első. Először is, az első és a második kotrógép egyszerre dolgozott, és 140 métert ásott 3 talaj. Ezután az első és a harmadik kotrógép egyidejűleg kiásta a gödör többi részét. Határozza meg az értékeket a(0<с<15), amelyben a gödröt 4 óra alatt kiásták, ha a munkát megszakítás nélkül végezték.

Megoldás. Mivel az első kotrógép 40 m-t vesz ki 3 talaj óránként, majd a második - (40-s) m 3 , a harmadik pedig - (40+2s) m 3 font óránként. Hagyja, hogy az első és a második kotrógép működjön együtt x órán keresztül. Ekkor a problémakörülményekből az következik, hogy (40+40-с)х = 140 vagy (80-с)х = 140. Ha az első és a harmadik kotrógép együtt dolgozott óra szerint, akkor (40+40+2с)у = 340-140 vagy (80+2c)y - 200. Mivel a teljes üzemidő 4 óra, a következő egyenletet kapjuk c meghatározásához: x + y = 4 ill.

Ez az egyenlet ekvivalens a másodfokú egyenlettelVel 2 -30s+ 200 =0, akinek a döntései lesznek 1 = 10 m 3 és azzal 2 = 20 m 3 . A probléma feltételei szerint csakco

s = 10 m 3 .

Feladat 10. Mind a két dolgozót ugyanannyi alkatrész feldolgozására bízták. Az első azonnal elkezdte és 8 óra alatt végezte el a munkát. A második először több mint 2 órát töltött a készülék beállításával, majd a segítségével 3 órával korábban fejezte be a munkát, mint az első. Ismeretes, hogy a második munkás egy órával a munkája megkezdése után ugyanannyi alkatrészt dolgozott fel, mint amennyit az első dolgozott fel abban a pillanatban. Hányszorosára növeli a készülék a gép termelékenységét (azaz az üzemóránként feldolgozott alkatrészek számát)?

Megoldás. Ez egy példa egy olyan problémára, amelyben nem kell minden ismeretlent megtalálni.

Jelöljük x-ként a második munkás által a gép beállításának idejét (x>2 feltétellel). Tegyük fel, hogy mindegyiket fel kell dolgozninrészletek.

Ezután az első dolgozó óránként feldolgozza részletek, és a második részletek. Mindkét munkás ugyanannyi alkatrészt dolgozott fel egy órával a második munka megkezdése után. Ez azt jelenti Innen kapjuk az x meghatározására szolgáló egyenletet: X 2 -4x + 3-0 melynek gyökerei x 1 = 1 ésX 2 = 3. Mert

x > 2, akkor szükséges érték- ez x = 3. Ezért a második munkás óránként dolgoz fel részletek. Mivel az első dolgozó óránként feldolgozza

alkatrészeket, akkor azt tapasztaljuk, hogy az eszköz növeli a munka termelékenységét = 4-szer.

Feladat 1 3. Három munkásnak bizonyos számú alkatrészt kell gyártania. Eleinte csak egy munkás kezdett dolgozni, majd egy idő után egy másik is csatlakozott hozzá. Amikor az összes alkatrész 1/6-a elkészült, a harmadik munkás megkezdte a munkát. Egyszerre fejezték be a munkát, és mindegyik ugyanannyi alkatrészt készített. Mennyi ideig dolgozott a harmadik munkás, ha ismert, hogy két órával kevesebbet dolgozott, mint a második, és hogy az első és a második együtt dolgozva 9 órával korábban tudta elkészíteni az összes szükséges számú alkatrészt, mint a harmadik, külön dolgozva ?

Megoldás. Hagyja, hogy az első munkás x órát dolgozzon, a harmadik pedig x órát. Aztán a második munkás 2 órával többet dolgozott, azaz y+2 órát. Mindegyik készült egyenlő mennyiségben részek, azaz az összes alkatrész 1/3-a. Ebből következően az első 3 óra alatt, a második 3(y+2) óra alatt, a harmadik pedig 3 óra alatt készíti el az összes alkatrészt. Ezért az első egy óra alatt termel az összes részlet egy része, a második - és a harmadik - .

Mivel mindhárman az együttműködésük során produkáltak minden részletet, akkor megkapjuk az első egyenletet (mindhárom együtt dolgozott az órán)

. (1)

Az első és a második munkás együtt dolgozva 9 órával korábban készítette volna el az összes alkatrészt, mint a harmadik munkás egyedül dolgozva. Innen kapjuk a második egyenletet

. (2)

Ez a két egyenlet könnyen redukálható ekvivalens rendszerre

A második egyenletből x-et kifejezve és az első egyenletbe behelyettesítve y-t kapunk 3 -5у 2 - 32у - 36 = 0. Ez az egyenlet faktorizált(y-9)(y +2) 2 = 0.

Mivel y > 0, az egyenletnek csak egy szükséges gyöke van, y = 9.Válasz:y = 9.

Feladat 14. A víz egyenletesen áramlik a gödörbe, 10 egyforma, egyidejűleg működő szivattyú 12 óra alatt képes kiszivattyúzni a vizet, 15 ilyen szivattyú pedig 6 alatt;h.Mennyi ideig képes 25 ilyen szivattyú kiszivattyúzni a vizet a feltöltött gödörből, ha együtt dolgoznak?

Megoldás.Hagyja, hogy a gödör térfogataVm 3 , és az egyes szivattyúk termelékenysége x m 3 óránként A víz folyamatosan áramlik a gödörbe.T.mivel beérkezésének mennyisége ismeretlen, y m-rel jelöljük 3 óránként - a gödörbe belépő víz mennyisége. Tíz szivattyú szivattyúz ki 12 órán belül X= 120x víz. Ez a vízmennyiség megegyezik a gödör teljes térfogatával és a 12 óra alatt a gödörbe belépő víz térfogatával. Ez a teljes térfogat egyenlőV+12 y. Ezeket a térfogatokat egyenlővé téve létrehozzuk az első 120x = egyenletetV + 12 y .

A 15 ilyen szivattyú egyenlete hasonló módon épül fel:15-6 x = V + 6 yvagy 90x = V + 6 y. Az első egyenletből V = 120x - 12y. V-t behelyettesítve a második egyenletbe, azt kapjuk, hogy y = 5x.

A 25 szivattyú működési időtartama nem ismert. Jelöljük azzalt. Ezután a feladat feltételeit figyelembe véve analógia útján megszerkesztjük az utolsó egyenletet. Nekünk 25 vantx=V+ty. Ha behelyettesítjük y-t és V-t ebben az egyenletben, 25-öt kapunktx= 120x -12 5x +t 5x vagy 20tx= 60x. Innentől kapunkt= 3 óra.Válasz: 3 óra alatt.

Feladat 15. Két csapat 15 napig dolgozott együtt, majd csatlakozott hozzájuk egy harmadik, majd 5 nap múlva a teljes munka elkészült. Ismeretes, hogy a második brigád 20%-kal többet termel naponta, mint az első. A második és a harmadik brigád együtt tudta elvégezni az összes munkát az az idő, amely az első és a harmadik csapat összes munkájának elvégzéséhez szükséges, amikor együtt dolgoznak. Mennyi idő alatt tudta mindhárom csapat együtt dolgozni a teljes munkát?

Megoldás. Hagyja, hogy az első, a második és a harmadik csapat végezzen minden munkát külön-külön, x, y és rendreznapokon. Aztán azon a napon, amikor fellépnek a munka része. A probléma első feltételének egyenletté alakítása, feltételezve, hogy a teljes munkamennyiség egyenlő eggyel, megkapjuk

15 vagy

(1)

20 .

Mivel a második csapat 120%-át állítja elő annak, amit az első (20%-kal többet), mi vagy . (2)

A második és harmadik csapat az összes munkát 1/ nap, az első és a harmadik pedig 1/ napokon. Feltétel szerint az első mennyiség egyenlő

(3)

Másodszor, ez 1/ . Innen kapjuk a harmadik egyenletet .

A probléma megköveteli, hogy meg kell határozni, hogy mennyi időbe telik a teljes munka három részében történő befejezéséhez az együtt dolgozó csapatok, vagyis a méret1/ .

Nyilvánvalóan kényelmesebb az (1)-(3) egyenletrendszer megoldása, ha új változókat vezetünk be: , Meg kell találnunk az értéket

l/(u + v+ w) .Akkor van egy egyenértékű rendszerünk

Ezt a lineáris rendszert megoldva könnyen megtaláljuku= Ekkor a szükséges érték 1/ ÍgyÍgy együtt dolgozva mindhárom csapat 16 nap alatt elvégzi az összes munkát.

Válasz: 16 nap alatt. Ha a második gyár termelékenysége megduplázódna, akkor egyenlő lenne szinte minden típusú termelékenységi feladat.

Feladatok

    Két dolgozó együtt 10 nap alatt elvégezhet néhány munkát. 7 napos közös munka után egyikük megbetegedett, másikuk további 9 nap munka után otthagyta a munkát. Hány óra a napokban?Minden dolgozó egyedül elvégezheti az összes munkát?

    Néhány munkás néhány nap alatt befejezte a munkát. Ha nő a dolgozók számaHa 3 fővel nő a dolgozók száma, akkor 2 nappal hamarabb, ha pedig 12 fővel, akkor 5 nappal hamarabb készül el a munka. Határozza meg a dolgozók számát és a munka elvégzéséhez szükséges időt.

    Két különböző teljesítményű szivattyú együttesen 4 óra alatt tölti meg a medencét A medence felének feltöltéséhez az első szivattyú 4 órával több időt vesz igénybe, mint a második a medence háromnegyedének feltöltéséhez. Mennyi ideig tart a medence feltöltése az egyes szivattyúkkal külön-külön?

10. A hajó meg van rakva darukkal. Először négy, azonos teljesítményű daru dolgozott 2 órán keresztül, majd csatlakozott hozzájuk még két, de kisebb teljesítményű daru, majd 3 órával ezután a rakodás befejeződött. Ha az összes daru egyszerre kezdene működni, a rakodás megtörténne hátralévő munka. A harmadik brigád termelékenysége megegyezik az első és a második brigád termelékenységének felével. Hányszor nagyobb a második csapat produktivitása, mint a harmadik csapaté?

15. Két vakolócsapat együtt dolgozva 6 nap alatt vakolt egy lakóépületet. Egy másik alkalommal gipszkartont vakoltak, és háromszor annyi munkát végeztek, mint egy lakóépület vakolásánál. Eleinte az első csapat dolgozott a klubnál, majd a második csapat lecserélte és befejezte a munkát, az első csapat pedig kétszer annyi munkát végzett, mint a második. 35 nap alatt vakolták be a klubot. Hány nap múlva lenne képes az első brigádkörbejárni egy lakóépületet, ha ismert, hogy a második csapat 14 napnál többet töltene vele?

    Két csapat 8 órakor megkezdte a munkát, miután 72 részt készítettek el, külön-külön. 15:00-kor kiderült, hogy a külön munka során az első csapat 8-cal több részt készített, mint a második. Másnap az első csapat 1 óra alatt eggyel többet, a második pedig eggyel kevesebbet csinált 1 óra alatt, mint az első napon. A csapatok 8 órakor kezdték meg a közös munkát, és miután 72 részt teljesítettek, újra elkezdtek külön dolgozni. Most a külön munka során az első csapat 8 résszel többet készített, mint a második, 13:00-ra minden csapat hány részt készített el óránként?

    Három munkásnak 80 egyforma alkatrészt kell készítenie. Ismeretes, hogy mindhárom együtt 20 részt készít egy óra alatt. Az első kezdett először dolgoznidolgozó 20 alkatrészt készített, több mint 3 órát fordított a gyártásra. A többi munkát a második és a harmadik munkások közösen végezték. A teljes munka 8 órát vett igénybe. Hány órát vesz igénybe az első munkás mind a 80 alkatrész elkészítéséhez?

    A medence az első csövön keresztül 5 órával gyorsabban megtelik vízzel, mint a második csövön, és 30 órával gyorsabban, mint a harmadik csövön keresztül. Köztudott, hogya harmadik cső teherbírása 2,5-szer kisebb, mint az első cső és 24 m 3 /h kisebb, mint a második cső kapacitása. Határozza meg az első és a harmadik cső kapacitását.

    Két kotrógép, amelyek közül az első kisebb termelékenységű, ástak veleközös munka, 240 m térfogatú gödör 3 . Aztán az első elkezdte ásni a második gödröt, a második pedig folytatta az első ásását. 7 órával a munkájuk megkezdése után az első gödör térfogata 480 m volt 3 nagyobb, mint a második gödör térfogata. Másnap a második kotrógép 10 m-rel növelte termelékenységét 3 /h, az első pedig 10 m-rel csökkent 3 /h. Először együtt ástak egy gödröt 240 m-en 3 , ami után az első újabb gödröt kezdett ásni, a második pedig folytatta az első ásását. Most az első gödör térfogata 480 m lett 3 nagyobb, mint a második gödör térfogata már 5 órával azután, hogy a kotrógépek munkába álltak. Mennyi talajt távolítottak el óránként a kotrógépek az első munkanapon?

    Három jármű szállítja a gabonát, minden út során teljesen megrakva. Egy repülés során az első és a második autót együtt szállítják6 tonna gabonát, és az első és a harmadik együtt 2 járatban ugyanannyi gabonát szállít, mint a második 3 járatban. Mennyi gabonát szállít egy út során a második jármű, ha ismert, hogy a második és a harmadik jármű együtt szállít bizonyos mennyiségű gabonát,3-szor kevesebb utat kell megtennie, mint amennyi egy harmadik járműhöz szükséges ugyanannyi gabona szállításához?

    Két kotrógép különböző kialakítások két azonos szélességű árkot kell fektetnikeskeny szakasz hossza 960mi180 m A teljes munka 22 napig tartott, amely alatt az első kotró egy nagy árkot rakott le. A második kotrógép 6 napig kezdett dolgozni később, mint az első, ástam egy kisebb árkot, 3 napig javítottam, majd segítettem az elsőt. Ha nem kellene időt vesztegetni a javításra, 21 nap alatt elkészülnének a munkálatok. Hány méter árkot áshat egy kotró naponta?

    Három brigád két mezőt szántott teljes terület 120 hektár. Az első szántóföldet 3 nap alatt szántották fel, mindhárom legénység együtt dolgozott. A második mezőt az első és a második br 6 napja alatt szántottákigadami. Ha mindhárom csapat 1 napig dolgozna a második pályán, akkor az első csapat 8 nap alatt felszánthatná a második pálya többi részét. Hány hektárt szántott naponta a második csapat?

    Két azonos átmérőjű cső csatlakozik két medencéhez(Célminden medencének saját csöve van). Az első csövön keresztül az első medencébe egy bizonyos térfogatú vizet öntöttek, majd a második csövön keresztül azonnal ugyanannyi vizet öntöttek a második medencébe, és mindez 16 óráig tartott, ha az első csövön átfolyt a víz annyi idő, mint a másodikon, és a másodikon - annyi idő, mint az elsőn, akkor az első csövön 320 méteren keresztül vizet öntenek 3 kevesebb, mint a második. Ha az elsőn áthaladna 10 m 3 kevesebb, és a második után - 10 m-rel 3 több vizet, akkor 20 órát vesz igénybe a kezdeti vízmennyiség kiöntése a medencébe (először az elsőbe, majd a másodikba Meddig folyik a víz az egyes csövekben).

    Két konvojból áll ugyanaz a szám rakományt szállító autók. Mindegyik autóbanA járművek azonos teherbírásúak, és repülés közben teljesen meg vannak rakva. A különböző kötelékekben lévő járművek teherbírása eltérő, és egy út során az első konvoj 40 tonnával többet szállít, mint a második konvoj. Ha az első konvojban 2-vel, a másodikban 10-el csökkentjük a járművek számát, akkor az első konvoj 1 út alatt 90 tonna, a második konvoj 3 menet alatt 90 tonna árut szállít. Mekkora a második konvojban lévő járművek teherbírása?

    Egy munkás egy adag alkatrészt 12 óra alatt tud legyártani. Egy munkás elkezdte a munkát, egy órával később egy másik csatlakozott hozzá, egy másik órával később egy harmadik stb., amíg a munka be nem fejeződött. Mennyi ideig dolgozott az első munkás? (Minden dolgozó munkatermelékenysége azonos.)

    Azonos képzettségű munkásokból álló csapatnak egy adag alkatrészt kellett előállítania. SnachElőször egy munkás kezdett dolgozni, egy órával később egy másik csatlakozott hozzá, egy órával később egy harmadik stb., amíg az egész csapat elkezdett dolgozni. Ha a csapat minden tagja a kezdetektől fogva dolgozott volna, a munka 2 órával gyorsabban elkészült volna. Hány dolgozó van a csapatban?

    Három munkás árkot ásott. Eleinte az első munkás fél munkaidőben dolgozott, nema másik kettőnek a teljes árok kiásásához kellett, majd a második munkás feleannyi időt dolgozott, mint a másik kettőnek a teljes árok kiásásához, végül a harmadik munkás feleannyi időt dolgozott, mint a másik kettőnek az egész árok kiásásához. Ennek eredményeként az árkot kiásták. Hányszor gyorsabban ásnák ki az árkot, ha mindhárom munkás egyszerre dolgozott volna a kezdetektől fogva?

A feladatok típusai

A feladatok típusai.

Feladatok tanulmányozása a „Természetes számok” témában

6, egyenként átlagosan 150 tonna súlyú felnőtt bálnát emeltek fel egy bálnavadászhajóra, és lefűrészelték a fejüket. Mekkora távolságot tenne meg mind a 6 fej nélküli bálnatetem, ha egy kifejlett bálna hossza 18 m, a feje pedig a teljes bálna 1/3-a?

1 kg tej előállításához 500 kg vérnek kell átfolynia a tehén tőgyén. Hány tonna vér folyik át egy tehén tőgyén ahhoz, hogy naponta 20 kg tejet kapjunk? Naponta hányszor megy át a vér egy tehén tőgyén, ha a tehénben 40 kg vér van?

Egy köbméter finomítatlan szennyvízátlagosan 12,5 m3 tisztaságot szennyez. Számolja ki, hány köbméter tisztítatlan szennyvíz elegendő az iskolakert vízmedencéjének szennyezéséhez!

Természetes számok összeadása és kivonása

A feladatok arra irányulnak, hogy az összeadás és kivonás műveleteivel megismételjék a „... többel” és a „... kevesebbel” összefüggések kapcsolatát.

Egy esztergályos tanuló műszakonként 120, egy esztergályos pedig 36 alkatrészt forgatott többet. Hány alkatrészt forgattak össze?

A gyűjtemény 128 bélyeget tartalmaz. Ebből 93 orosz, a többi külföldi. Mennyivel több orosz bélyeg található a gyűjteményben, mint külföldi?

Gondoltunk egy számot, növeltük 45-tel, és 66-ot kaptunk. Keresse meg azt a számot, amelyre gondolt.

A probléma megoldásához használhatja a 4. ábrát sematikusan, amely segít megjeleníteni az összeadás és a kivonás műveletei közötti kapcsolatot. Főleg hatékony segítséget a rajz lesz több ismeretlen nagyságrendű akciók.

4. ábra A probléma grafikus megoldása.

Gondoltunk egy számot, növeltük 120-al, csökkentettük az eredményt 49-cel. 200-at kaptunk. Keressük meg azt a számot, amelyre gondoltunk.

Három osztályba 44 lány jár, ami 8-cal kevesebb, mint a fiúké. Hány fiú van három osztályban?

Vevő 50 rubeltől. 30 rubelt adtam fizetésként a vásárolt áruért. és 2 rubelt kapott. változás. Mennyi pénze maradt?

Természetes számok szorzása és osztása

A feladatok arra hivatottak, hogy áttekintsék a „több benne...” és a „kevesebb benne...” összefüggések kapcsolatát a szorzás és osztás műveleteivel. Némelyikben a megoldást nehezíti a „többet...” és a „kevesebb által...” kapcsolatokhoz kapcsolódó lépések hozzáadása.

Növelje a 48-as számot 3-mal, növelje az eredményt háromszorosára. ( Ősi probléma.)

A gyárból 9 szekér edényekkel érkezett, egyenként 2 dobozzal, dobozonként 45 tucat tányérral. Hány tányér hagyta el a gyárat?

A kerékpáros 10 naponként 36 km-t tett meg. Naponta hány kilométert kell megtennie, hogy 9 nap múlva visszaérjen?

Problémák részekre

A lekvár elkészítéséhez vegyünk 2 rész málnát és 3 rész cukrot. Hány kilogramm cukrot kell venni 2 kg 600 g bogyóhoz?

4 alkalom volt az első polcon több könyvet mint a második. Ez 12 könyvvel több, mint a második polcon. Hány könyv volt egy-egy polcon?

Két szám összege 230. Ha az elsőt csökkentjük 20-zal, akkor a számok egyenlővé válnak.

Folyómozgási problémák

Ennek az anyagnak a sikeres elsajátításához meg kell értenie, hogy az áram mentén és az árammal szembeni sebességek a saját sebesség és az áram sebességének összege és különbsége.

A hajó 1 óra 40 percet töltött az úton A pontból B pontba, ill visszafelé- 2 óra melyik irányba folyik a folyó?

Egy 15 km/h saját sebességű tűz úszott 2 órán át a folyó mentén és 3 órán át a folyó ellen. Mennyit úszott az egész idő alatt, ha a folyó áramlási sebessége 2 km/h?

Egy motorcsónak 48 km-t tett meg lefelé 3 óra alatt, az árammal szemben pedig 4 óra alatt. Határozza meg az áramlat sebességét.

Különféle mozgásos feladatok

A mozgási problémák hagyományosan nehezek a tanulók számára. Ahhoz, hogy eljusson a probléma eltávolítási sebességének fogalmához, a következőket kell tennie: keresse meg a mozgás résztvevői közötti távolságot 3 lépésben, írja le numerikus kifejezés(például 3-4 + 3-5), vedd ki a zárójelből a közös tényezőt, tedd fel a kérdést: mit mutat a 4 + 5 összege?

Ezek után az eltávolítási arány segítségével két lépésben kell megoldást mutatnia a problémára. Hasonlóan vezetjük be a megközelítés -sebessége fogalmát.

Két gyalogos szállt ki egyszerre ellentétes irányokba egy pontból. Az első sebessége 4 km/h, a másodiké 5 km/h. Mekkora lesz köztük a távolság 3 óra múlva? Óránként hány kilométert távolodnak el egymástól a gyalogosok? (Ezt a mennyiséget eltávolítási aránynak nevezzük.)

Két, 36 km távolságra lévő faluból egyszerre két gyalogos jött ki egymás felé. Sebességük 4 km/h és 5 km/h. Óránként hány kilométerrel közelítik meg egymást a gyalogosok? (Ezt a mennyiséget zárási sebességnek nevezzük).

Problémák a „Racionális számok” témában

A törtproblémák a legrégebbiek, amelyek hozzánk jutottak. írott források; megoldásuk igen nehéz feladat volt, amíg fel nem találták a közönséges törtek jelöléseit és kidolgozták a kezelésükre vonatkozó szabályokat. IN Az ókori Egyiptom, például csak a számára voltak hieroglifák

az 1-es számlálójú törtek jelölései. Az egyetlen kivétel az

A 2 a 3 9 tört volt, amelyre volt megfelelő megjelölés.

Végezetül megjegyezzük, hogy az alapvető törtfeladatok megoldása során a tizedesjegyek használata nem vezet semmi újdonsághoz, mivel a tizedesjegyek a közönséges törtek némelyikének más jelölése.

Tört problémák:

1. feladat. 600 rubel volt, 4 összeget költöttek el. mennyi pénzt költöttél? Megoldás:

Ha 600 rubelből 4-et szeretne találni, ezt az összeget el kell osztania 4-gyel:

600:4 = 150 (dörzsölje)

2 2. feladat. 1000 rubel volt, ebből az összegből 5-öt költöttek el. Hány

költöttél pénzt?

Megoldás:

Először keressük meg 1000 rubel egyötödét, majd kétötödét:

1) 1000: 5 = 200 (dörzsölje),

2) 200 2 = 400 (dörzsölje)

Ez a két művelet kombinálható:

1000: 5-2 = 400 (dörzsölje) 2

Az 1000 ötödikének megtalálásához eloszthatja az 1000-et a nevezővel

törteket, és az eredményt megszorozzuk a számlálójával.

A 2. feladat a következő szabály szerint oldható meg:

Ha az egész egy részét törtként fejezzük ki, akkor ennek a résznek a megtalálásához

Az egész számot eloszthatja a tört nevezőjével, és megszorozhatja az eredményt

a számlálójához.

3. feladat. 50 rubelt költöttünk, ami az eredeti pénzösszeg 6-át tette ki. Keresse meg az eredeti pénzösszeget. Megoldás:

50 dörzsölje. 6-szor kevesebb, mint az eredeti összeg, ami 6-szor több, mint 50 rubel. Ennek az összegnek a megtalálásához 50 rubelre van szüksége. szorozzuk meg 6-tal:

50 6 = 300 (r.).

2 4. feladat. 600 rubelt költöttünk, ez 3-at tett ki

az eredeti pénzösszeg. Keresse meg az eredeti pénzösszeget.

Megoldás:

feltétel, hogy a kétharmad egyenlő 600-zal. Először is keressük meg az egyharmadot

az eredeti összeget, majd háromharmadát:

600: 2-300 (r.),

300 3 = 900 (r.).

Ez a két művelet kombinálható: 600: 2 3 = 900 (r.).

Annak a számnak a megtalálásához, amelynek 3 értéke 600, eloszthatja a 600-at a tört számlálójával, és az eredményt megszorozhatja a nevezőjével.

A 4. feladat a következő szabály szerint oldható meg: Ha a kívánt egész egy része törtként van kifejezve, akkor ezt az egészet megtalálhatja ezt a részt

osszuk el a tört számlálójával, és szorozzuk meg az eredményt a nevezőjével.

Közönséges törtek összeadásával és kivonásával kapcsolatos problémák

Nagyobb figyelmet fogunk fordítani azokra a problémákra, amelyekben a teljes mennyiséget egynek vesszük, és először is jobb

2 3_

2 y s-ként ábrázolja stb. mennyiségeket.

1. probléma. Az első traktoros szántott? mezők, a második - ? mezőket.

Együtt 10 hektárt szántottak fel. Határozza meg a mező területét.

2. feladat Verebek ültek egy ágon. Amikor a harmadik rész elrepült,

akkor 6 db maradt belőlük kezdetben hány veréb volt?

A probléma megoldásához tanácsos felajánlani a hallgatóknak



a következő rajz:

3. feladat Ebéd előtt az esztergályos 8, ebéd után - 8 feladatot teljesített, utána 24 alkatrész maradt hátra. Hány alkatrészt kellett faragnia?

A közönséges törtek szorzásával és osztásával kapcsolatos problémák

Probléma 1. Minden nap egy turista végigsétál a tervezett útvonalon.

I Mennyit tesz meg az útvonalból 2 nap alatt; 2 nap alatt; 4 nap alatt?

3_ 4

2 2. feladat Keresse meg az 5. számot 60!

3. feladat. Mi nagyobb, mint 5 45 m-ről vagy 5 30 m-ről?

4. feladat. Keress egy számot, amelynek 5 egyenlő 60-zal!

Együttműködési feladatok

Probléma 1. A baromfitelepre takarmányt vittek, ami a kacsáknak 30 napra, a libáknak 45 napra volt elegendő. Számolja ki, hogy a hozott eleség hány napra elegendő a kacsáknak és a libáknak együtt?

2. feladat (L. F. Magnyitszkij „Aritmetikájából”.) Egy férfi 14 nap alatt megiszik egy kadot, a feleségével pedig 10 nap múlva. A kérdés az, hogy a felesége hány napig issza ugyanazt a Kad-ot külön?

Egy tehervonat 720 km-t tett meg 80 km/órás sebességgel. Mekkora utat tesz meg egy személyvonat egyszerre 60 km/h sebességgel? Az út állandó mozgási időben arányos a sebességgel,

80 80

Ez azt jelenti, hogy a sebesség 60-szoros csökkenésével a távolság 60-szorosára csökken.

80 720-60

720: 60 = 80 = 540 (km).

Ugyanezt a technikát alkalmazzuk a probléma megoldására, ha a sebesség nem csökkent, hanem nőtt, ha a mennyiségek nem közvetlenül, hanem fordítottan arányosak.

Problémák az arányokkal.

Egyszerű arányproblémák

1. probléma. 8 rubelt fizettek több egyforma ceruzáért. Mennyit kell fizetni ugyanazért a ceruzáért, ha kétszer olcsóbban vásárolta meg őket?

2. probléma. 8 rubelt fizettek több egyforma ceruzáért. Mennyit kell fizetni ugyanazért a ceruzáért, amelyek mindegyike 2-szer drágább?

3. feladat. Van pénz 30 ceruzára. Hány jegyzetfüzetet vásárolhat ugyanannyi pénzért, ha egy füzet fele egy ceruza árának?

4. feladat Egy kerékpáros 36 km-t tett meg néhány óra alatt. Mennyit tesz meg egy gyalogos ugyanannyi idő alatt, ha a sebessége 3-szor kisebb, mint egy kerékpárosé?

5. feladat Egy kerékpáros 3 óra alatt tett meg egy bizonyos távolságot. Hány órába telik egy motorosnak, akinek a sebessége 5-szöröse megtenni ezt a távolságot? nagyobb sebesség kerékpáros? Térjünk át a problémák megoldására az arányok használatával.

6. feladat 6 óra alatt 480 km-t tett meg a vonat. Mekkora utat tett meg a vonat az első 2 órában, ha a sebessége állandó volt? Kötelező lesz rövid megjegyzés problémakörülmények:



A szóbeli megbeszélés során kiderült, hogy az idő és a távolság ugyanannyiszor csökkent, mióta állandó sebesség ezek a mennyiségek egyenesen arányosak.

7. feladat Egy személyvonat 3 óra alatt tette meg a két város közötti távolságot 80 km/h sebességgel. Hány óra alatt tesz meg egy tehervonat ugyanazt a távolságot 40 km/h sebességgel?



8. feladat. 2 óra alatt 12 kárászt fogtak ki. Hány kárász fog 3 óra alatt?

9. feladat Három kakas ébresztett fel 6 embert. Hány ember ébred fel 5 kakas?

10. feladat. Amikor Vasya elolvasott 10 oldalt a könyvből, további 90 oldalt kell elolvasnia. Hány oldalt kell elolvasnia, ha 30 oldalt elolvasott?

Az elolvasott könyv oldalainak száma és a hátralévő oldalak száma közötti kapcsolatot gyakran úgy tekintik fordított arányosság: Minél több oldalt olvasunk, annál kevesebbet kell olvasni.

De az egyik oldal nagyítása és a másik kicsinyítése nem ugyanannyiszor fordul elő.

Összetett feladatok az arányokról

Ősi feladat. Egy 26 fős kotrócsapat, napi 12 órán át gépekkel dolgozik, 96 m hosszú, 20 m széles és 12 cm mély csatornát tud ásni 40 napon belül. Mennyi ideig áshat egy csatornát 39 ásó, napi 80 napon át, napi 10 órában, ha a csatorna szélessége 10 m és mélysége 18 dm?

A csatorna hossza a létszámnövekedéstől 26-szorosára nő, től

30 18-

a napok számának 40-szeres növelésével és a szélességének 12-szeresének csökkentésével.

39 80 20 12 18 P£

x = 96: -: -

26 40 10 10 12

Végül x = 320.

Egy szám százalékos arányának meghatározása

11. probléma. A termék ára 5000 rubel. 20%-kal nőtt az ára. Hány rubellel nőtt az ár? Mennyi a termék új ára?

12. feladat A bank a befektetett összeg 2%-ának megfelelő jövedelmet fizet évente. Hány rubel volt a számlán egy év után, ha letétbe helyezték: 100 rubelt; 200 dörzsölje; 1000 dörzsölje; 12 000 RUR?

13. probléma. Vasya azt mondta, hogy a százalékokkal kapcsolatos tudását meg akarta mutatni, hogy a könyv 60%-át elolvasta múlt héten, a fennmaradó 50% pedig ezen. Vasya hibázott?

14. feladat Egy iskolában 400 tanuló van, ennek a számnak 52%-a lány. Hány fiú van az iskolában?

15. feladat Növelje a 200-as számot 10%-kal. Csökkentse a kapott számot 10%-kal. Megint 200 lesz a szám? Miért?

Szám keresése százalékos aránya alapján

Probléma 16. Izzók kerültek egy elektromos boltba. Köztük 16 darab törött villanykörte volt, ami számuk 2%-át tette ki. Hány izzót vittél a boltba?

17. feladat. Keress egy számot, amelynek 110%-a 33.

Probléma Az osztály 18,60%-a moziba ment, a maradék 12 fő pedig a kiállításra. Hány tanuló van az osztályban?

19. feladat: Szárításkor a fű elveszti tömegének 80%-át. Hány tonna széna lesz 4 tonna friss fűből? Hány tonna füvet kell levágni 4 tonna széna szárításához? 100 - 80 - 20 (%) - a fű tömege a széna tömege; 4 0,2 = 0,8 (t) - 4 tonna fűből lesz széna; 4: 0,2 = 20 (t) - a füvet le kell nyírni.

Százalék megtalálása

20. feladat 16 kg friss körtéből 4 kg szárított körtét kapunk. A friss körte tömegének mekkora része a szárított körte tömege? Fejezd ki ezt a részt százalékban! Hány tömegszázalék vész el a szárítás során?

21. feladat. Az 50-es szám hány százaléka a 40-es? A 40-es szám hány százaléka az 50-es?

22. feladat. A hónapban 12 napos és 18 felhős nap volt. A hónap hány százaléka süt a nap? felhős napok?

23. probléma. Egy termék ára 40 rubelről csökkent. legfeljebb 30 dörzsölje. Hány rubellel csökkent az ár? Hány százalékkal csökkent az ár?

A. V. Elisov

Hozz jót, taníts jót,
Érje el a célokat a nehézségeken keresztül
Szeretettel szolgálni az igazságot -
Én bölcsességnek hívom.
A. V. Elisov.

matematika vizsgát tett középiskolások új formaés végzettek középiskola- V Egységes államvizsga nyomtatvány számos kérdést tett fel a tanároknak: Hogyan tanítsunk új körülmények között? Hogyan szervezzük meg az órát úgy, hogy a diákok elégedettek legyenek a vizsga után, és ne mondják azt, hogy „nem oldottuk meg az ilyen problémákat”? L.G szavai nagyon relevánsak. Peterson: „Ma nem az az érték, ahol a világot a „tudom – nem tudom, tudok – nem tudom, birtokom – nem birtokom” séma szerint érzékeljük, hanem az, ahol van a tézis „Keresek és találok, gondolkodom és tanulok, edzek és csinálok”. Előtérbe kerül a tanuló személyisége, a világhoz való viszonyulása, kulturális kommunikációs és reflexiós képessége. megfelelő önbecsülésés az önfejlesztés, az alkotásra és a jóságra összpontosítva.”

Mi legyen az modern lecke? Ez mindenekelőtt érdekes lecke. Csak akkor tudunk támogatni magas motivációÉs érzelmi színezés lecke. Ez magában foglalja az átgondolt óraszerkezetet, az új tananyag elsajátításának logikáját és a változatosságot. didaktikai anyag, illetve a tanulói munka megszervezése, valamint a tanítási formák és módszerek folyamatos keresése, az óra technikai felszereltsége.

Hol kezdjem? Minden elején tanévbenévfolyamon 5-9. évfolyamon felvételi megfigyelést végzek tesztek a tanulók maradék tudásának azonosítása. A maradék tudás alapján a három képzési szintnek megfelelően meghatározott sorokba ültetem a gyerekeket. Ugyanakkor a hallgatók tudják, hogy az anyag elsajátításával a képzés következő szintjére léphetnek.

Elérni jó eredményeket Minden órán kötelező szóbeli számításokat, önálló tanulási tevékenységeket és teszteket végzek. A 6. évfolyamon a tanulóknak jól kell érteniük egy témát pozitív ill negatív számok, a 7. - a rövidített szorzás képleteinek jó tanulmányozása, a 8. - a megoldás másodfokú egyenletek. Ez globális témák, amely nem futtatható. 5-7. osztályban munkafüzeteket használok tesztfeladatokat, valamint feladatgyűjtemények tesztekkel. A tanulók egy órán - előadáson ismerkednek meg a problémamegoldó algoritmusokkal. A gyerekeknek külön füzetük van, amelybe leírják az instrukciókat és a feladat elvégzésének mintáját. A további feldolgozást a gyakorlati gyakorlatok at különféle formák munka (frontális, csoportos, egyéni). Az algoritmus asszimilációjának gyors nyomon követése érdekében nagyon gyakran (minden órán vagy minden második órán) kisebb önálló munkát végzek, melynek célja nem az osztályzatok besorolása, hanem azoknak a tanulóknak az azonosítása, akik nem értenek valamit. Ezeknek a srácoknak a tanácsadók azonnali segítséget nyújtanak, vagy újra elmagyarázzák, ha felhívják őket az igazgatósághoz. A csoportos munkaszervezés során egyes tanulók a kötelező tanulási eredmények elérését célzó feladatokat kapnak, van, aki előtt a feladat elvégzésének mintája, míg másoknak csak az erősebb tanulók kapnak emelt szintű feladatokat. Egy ilyen leckében a munkám többre összpontosít gyenge tanulók, egy erős csoportban általában mindig közös erőfeszítéssel találják meg helyes döntés, önállóan alkalmazva ismereteket és tevékenységi technikákat ben új helyzet. A tanulók értékelésénél nem sietek az osztályzatok beírásával a naplóba, mindig lehetőséget adok a magasabb jegy megszerzésére és az „F” javításra, ehhez a tanulónak önállóan vagy segítséggel kell kidolgoznia a hibákat. tanácsadók közül (az én segítségemmel), majd oldjon meg egy hasonló feladatot az órán.

A lényeg az, hogy idővel a srácok ne féljenek a „kettőtől”, bátrabban kérdezzenek, és megbirkózzanak a feladatokkal kötelező szint. Az órán a légkör barátságos és nyugodt.

A tanítási algoritmusok lehetővé teszik, hogy a leggyengébb tanulók elérjék a kötelező tanulási szintet, és nem vezethetnek a gondolkodás standardizálásához és elnyomásához kreatív erők gyerekek, mivel a különféle automatizált cselekvések (készségek) fejlesztése a kreatív folyamat szükséges összetevője, nélkülük egyszerűen lehetetlen.

Az algoritmusok tanulása nem korlátozódik a memorizálásra, magában foglalja az algoritmusok független felfedezését, felépítését és kialakítását is, és ez az, ami kreatív folyamat. Végül, az algoritmizálás nem terjed ki mindenre oktatási folyamat, de csak azokat az összetevőket, ahol ez megfelelő. Az algoritmusok és programok rendszere bizonyos mértékig lehetővé teszi az oktatási folyamat automatizálását a szabványos problémák megoldásához szükséges készségek fejlesztésének szakaszában, és bőséges lehetőséget aktívnak önálló munkavégzés hallgatók.

A 7. évfolyam végén és a 8. évfolyamon az államra való felkészülést szolgáló feladatgyűjteményt ismertetem meg a tanulókkal. végső bizonyítvány a 9. osztályban: L.V. Kuznetsova, Prosveshchenie kiadó, 2007-2009. Ez a gyűjtemény az algebrai állami záróbizonyítványra való felkészülést szolgálja egy új formában, amely három fő részből és két mellékletből áll.

9. évfolyamon saját rendszert dolgozok ki az alapiskolai tanfolyam vizsgára való felkészítésére.

A 9. évfolyam algebraóráinak naptár-tematikus tervezésébe ismétlést igénylő témákat is beiktatok

Az arányosság fő tulajdonsága;

Az arányok kialakításával és megoldásával kapcsolatos problémák;

Százalékkal kapcsolatos problémák;

Rövidített szorzóképletek;

Kifejezések és átalakulásaik

Egyenletek és egyenletrendszerek;

Egyenlőtlenségek és egyenlőtlenségek rendszerei;

Aritmetikai és geometriai progressziók.
Az ismétlést tanórákon és tanórák után is szisztematikus konzultációkon keresztül végzem. Az óra során az osztályteremben mikroklímát teremtve gyakorolom a cselekvések algoritmizálását; Azzal, hogy fenntartom a tanulók érdeklődését a tantárgy iránt, motivációt építek a tanulásra. A diákok jól tanulnak kötelező minimum matematikai anyag, ha módszertani technikákat használ:

Problémák megoldása a modell szerint;

Megfontolás különböző megközelítések ugyanazt a problémát megoldani;

Összeállítás referencia diagramokés egyéb vizuális oktatási segédeszközök használata;

A témakörök és a feladatok szintjének helyes megválasztása, szórakoztató forma biztosítása;

Az ösztönzött verseny használata a következő kérdéseket tanárok: „Hogyan lehet gyorsabban megoldani?”, Kinek volt a legrövidebb megoldása? – A legegyszerűbb dolog?

Majd megyek tematikus ellenőrzés teszteléssel, a tesztekkel való munkaszervezés szabályainak betartásával:

A tanulók feljegyzéseket készítenek válaszkártyáikra;

A tanár utasításokat ad a kártya helyes kitöltésére;

A teljesítési időket és az osztályozási normákat a tanulóval előre el kell ismertetni.
Az órákon flash kártyákat használok, amelyek segítenek ismételni a tanult anyagot. Tartalmazzák a vizsgált téma összes feltételes vonatkozását, valamint egy algoritmust a feladatok megoldásához.
KÁRTYA-TANÁCSADÓ A TÉMÁBAN

"LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER"
Rendszer lineáris egyenletek:
:

A megoldás módjai


Grafikus módszer
Helyettesítési módszer

Hozzáadás módja

1. Minden egyenletben fejezze ki y-t x-szel

2. Ábrázolja az egyes egyenletek függvényét!

3. Határozza meg a metszéspont koordinátáit!

1. Valamilyen egyenletből

az egyik változót a másikkal fejezzük ki.

2. Helyettesítsd be a kapott kifejezéseket és oldd meg!

3. Helyettesítse be a változó talált értékét, és számítsa ki a második változó értékét!


1. Egyenlítse ki bármely változó együtthatóinak moduljait!

2. Adja össze (vonja ki) a rendszer egyenleteit.

3. Komponálás új rendszer: az egyik egyenlet új: a másik a régiek közül való.

4. Oldja meg az új egyenletet, és keresse meg egy változó értékét!

5. Helyettesítse be a talált változó értékét a régi egyenletbe, és keresse meg a másik változó értékét!

Válasz: x =_______; y =_______

Amikor gyengén teljesítő gyerekekkel dolgozom, kártyaarzenál egészét használom, Dolgozz a modell szerint!” , amelyek lehetővé teszik különböző műveletek és matematikai műveletek algoritmusának kidolgozását.
Minta feladatok.


1 kifejezés

2 kifejezés

E kifejezések különbségének és összegének szorzata

E kifejezések négyzeteinek különbsége

Vel
3u
0,5 x
ó
Vel
5v
2у
2s

(c - x) (c + x)
(3u - 5v) (3u + 5v)

C 2 − x 2
9у 2 - 25в 2
Két kifejezés különbségének és összegének szorzata.

A tanulóknak hiányos feladatokat kell teljesíteniük. Kihagyás kulcsszavakat, helyes memorizálás ami az anyag megértését jelzi.
Feladatok bérletekkel.
Négyzetgyökerek.



Használjon tematikus táblázatokat a különböző szakaszokhoz iskolai tanfolyam. Minden táblázat röviden felvázolja egy-egy konkrét kérdés elméletét (definíciók, tételek, következmények, képletek); Rajzok, grafikonok, valamint a legalapvetőbb problémák megoldására vonatkozó példák találhatók.

A táblázatok segítenek rendszerezni az ismereteket, és gyorsan és teljesen megismételni egy adott téma főbb pontjait.

Táblázat. Négyzetgyökerek.


Meghatározás számtani gyök




= 4, mert 4  0. 4 2 = 16;

 7, mert 7 2  25;

 −5, mert −5  0;

nincs meghatározva.



2
 3;

0,8
 0,9.


Identitások

Alaptulajdonságok










Összehasonlítások négyzetgyökökkel

Ha a  b  0, akkor

.

.

Ha a  1, akkor a  és  1.

Ha 0  a  1, akkor a  és 0   1.


Eltávolítás a gyökérből

, b  0
Alkalmazás a gyökérben




;

;

;

;

;

Az ismeretek általánosításáról és rendszerezéséről tartok órákat. Az ismeretek általánosításának és rendszerezésének leckék nélkül, amelyeket általánosító ismétlésnek is neveznek, a tanulók ismétlési folyamata nem jöhet számításba. oktatási anyag elkészült. Ezen órák fő célja, hogy a tanulók megismerjék a fogalmak és elméletek összefüggéseit, összefüggéseit, holisztikus képet alkossanak a tanult anyagról, annak jelentőségéről és konkrét körülmények között történő alkalmazásáról. Az összegzés és az ismétlés célja, hogy segítse a tanulókat a matematika vizsgák sikeres letételében. Mondok egy példát egy általános ismétlésre a témában: „Szöveges feladatok megoldása”.

Kérdések:


  1. Egyszerű arányproblémák.

  2. Összetett arányproblémák.

  3. 1. számú teszt.

  4. Szám keresése százalékos aránya alapján.

  5. A százalék megkeresése.

  6. 2. számú teszt.

  7. Százalékkal kapcsolatos összetett problémák. Gyakorlat.

  8. Problémák a folyó mentén történő mozgással.

  9. Mozgásos feladatok.

  10. 3. sz. teszt.

  11. 4. sz. teszt.

  12. Természetes számok szorzásával és osztásával kapcsolatos problémák.

  13. Feladatok részekre bontva.

  14. Együttműködési feladatok.

  15. Feladatok megoldása egyenletek segítségével.

  16. 5. sz. teszt.

  17. Vegyes feladatok. Kérdések és feladatok.

Felhasznált források :


  1. Algebra: gyűjtemény. évfolyamon az érettségire való felkészítés feladatai./ [L. V. Kuznyecova, S. B. Szuvorova, E. A. Bunimovics stb.]. M.: Oktatás, 2007.

  2. Oktatási és módszertani újság Matematika 2005. 18., 19., 20., 21., 22., 23. sz.; 2007. 18., 19.; 2008. 11., 12. sz.

  3. Programok oktatási intézményekben. Algebra 7-9. Moszkva. Oktatás. 2008 Összeállította: Burmistrova T. A.

Egyszerű arányproblémák

Az első feladatok a tanulók tapasztalt elképzelései alapján választ kapnak, a közvetlen és fordított arányosság fogalmának megismétlésére irányulnak.

Az első problémák megoldásánál célszerű hangsúlyozni, hogy a beszerzési költséget a képlet határozza meg

költség = ár mennyiség,

és figyeljük meg, hogy amikor az egyik érték többször nő (csökken), a második érték változik, míg a harmadik változatlan marad.
1°. Több egyforma ceruzaért 8 rubelt fizettek. Mennyit kell fizetni ugyanazért a ceruzáért, ha kétszer olcsóbban vásárolta meg őket?
2°. Több egyforma ceruzaért 8 rubelt fizettek. Mennyit kell fizetni ugyanannyi ceruzaért, amelyek mindegyike 2-szer drágább?
3°. Van pénz 30 ceruzára. Hány jegyzetfüzetet vásárolhat ugyanannyi pénzért, ha egy füzet fele egy ceruza árának?


  1. Egy kerékpáros néhány óra alatt 36 km-t tett meg. Mennyit tesz meg egy gyalogos ugyanannyi idő alatt, ha a sebessége 3-szor kisebb, mint egy kerékpárosé?

  1. Egy kerékpáros 3 óra alatt tett meg egy bizonyos távot. Hány órába telik egy motorosnak, akinek a sebessége 5-szöröse a kerékpáros sebességének?

Térjünk át a problémák megoldására az arányok használatával. Az első olyan mennyiségek egész értékeit tartalmazza, amelyek aránya szintén egész szám.
6. 6 óra alatt 480 km-t tett meg a vonat. Mekkora utat tett meg a vonat az első 2 órában, ha a sebessége állandó volt?

7. 6 kg bogyóhoz cseresznye lekvár készítéséhez vegyünk 4 kg kristálycukrot. Hány kilogramm kristálycukrot kell használni 12 kg bogyóhoz?


  1. 100 g oldat 4 g sót tartalmaz. Hány gramm sót tartalmaz 300 g oldat?

9. Egy személyvonat 3 óra alatt tette meg a két város közötti távolságot 80 km/h sebességgel. Hány óra alatt tesz meg egy tehervonat 40 km/h sebességgel?
10. Öt festő 8 nap alatt tudta lefesteni a kerítést. Hány napig tart 10 festőnek ugyanazt a kerítést lefesteni?
A 10. feladatban, mint sok más problémában, azt feltételezzük, hogy minden dolgozó ugyanolyan termelékenységgel dolgozik, és nem zavarják egymást. Célszerű ezt minden alkalommal kikötni, hogy a tanulók jobban odafigyeljenek az ilyen feltételekre.

Annak érdekében, hogy ne azt a benyomást keltsék, hogy a függőségnek csak két típusa van – közvetlen vagy fordított arányosság –, célszerű olyan provokatív problémákat figyelembe venni, amelyekben a függőség eltérő jellegű.
11. 1) 2 óra alatt 12 kárászt fogtak ki. Hány kárász fog 3 óra alatt?


  1. Három kakas ébresztett fel 6 embert. Hány embert fog felébredni öt kakas?

  2. Amikor Vasya elolvasott 10 oldalt a könyvből, még 90 oldalt kell elolvasnia. Hány oldalt kell elolvasnia, ha 30 oldalt elolvasott?

Az elolvasott könyv oldalainak száma és a hátralévő oldalak száma közötti összefüggést gyakran fordított aránynak tekintik: minél több oldalt olvasunk, annál kevesebbet kell elolvasni. Hívja fel a gyerekek figyelmét arra, hogy az egyik érték növekedése és egy másik érték csökkenése nem ugyanannyiszor következik be.

Tekintsünk egy olyan problémát, amelyben a mennyiségek közötti kapcsolatot gyakran egyenes arányosságnak tekintik, és a „4 hét múlva” választ helyesnek tartják.
12*. A tavat benőtt liliom, és egy héten belül megduplázódik a liliomokkal borított terület. Hány hétbe telt, mire a tavat félig liliomok borították be, ha 8 hét alatt teljesen beborították a liliomot?
Mivel a liliomokkal borított terület egy hét alatt megduplázódik, egy héttel azelőtt, hogy a tavat teljesen beborították volna a liliomok, a területet félig beborították. Tehát a tavat félig liliom borította 7 hét alatt?


  1. 8 m ruha annyiba kerül, mint 63 m kalikó. Hány méter kalikót tudsz venni 12 méter ruha helyett?

  1. (Régi probléma.) Egy forró napon 6 kaszáló ivott meg egy hordó kvaszt 8 óra alatt. Azt kell kideríteni, hogy 3 óra alatt hány kaszás iszik meg ugyanazt a hordó kvaszt?

  1. (AL. Kiselev „Aritmetikából”?) 8 arshin szövet ára 30 rubel. Mennyibe kerül 15 arshin ebből a kendőből?

  1. Egy 60 km/h sebességgel közlekedő teherautó 8 óra alatt tette meg a városok közötti távolságot Hány óra alatt tesz meg egy személyautót 80 km/h sebességgel?

  1. Az autós észrevette, hogy 60 km/órás sebességgel 40 másodperc alatt hajtott át a folyón átívelő hídon. Visszafelé 30 másodperc alatt ment át a hídon. Határozza meg az autó sebességét a visszaúton.

  2. Két fogaskereke fogakkal van összekötve. Az első, amelynek 60 foga van, percenként 50 fordulatot tesz meg. Hány fordulatot tesz meg percenként a második, amelynek 40 foga van?

A fentebb tárgyalt problémák elégségesek ahhoz, hogy a tanulók megtanulják különbséget tenni az egyenes és fordított arányosság között, arányokat alkotni] és megoldani azokat.


  1. (A. P. Kiselev „Aritmetikából”.) 8 munkás végez néhány munkát 18 nap alatt; Hány napig tart 9 embernek ugyanazt a munkát elvégezni, ugyanolyan sikeresen dolgozni, mint az első?

20*. (Régi probléma.) Tíz dolgozónak 8 napon belül be kell fejeznie a munkát. Amikor 2 napot dolgoztak, kiderült, hogy 3 nap múlva kell befejezni a munkát. Hány dolgozót kell még felvennie?


  1. (L. F. Magnyitszkij „Aritmetikájából”.) Egy úr hívott egy asztalost, és megparancsolta neki, hogy építsen egy udvart. Adott neki 20 munkást, és megkérdezte, hány napba telik, amíg megépítik az udvarát. Az asztalos azt válaszolta: 30 nap múlva. De a mesternek 5 nap alatt kell megépíteni, ezért megkérdezte az asztalost: hány ember kell ahhoz, hogy 5 nap alatt udvart építhessen velük; és én, asztalos, megzavarodva megkérdezem tőled, számtanész: hány ember kell neki, hogy 5 nap alatt megépítse azt az udvart?

22*. (Régi probléma.) 560 katonát vittek el élelemmel 7 hónapra, és elrendelték, hogy 10 hónapig szolgáljanak; és embereket akartak eltávolítani magukról, hogy legyen 10 hónapra elegendő élelem. A kérdés az, hogy hány főt kell csökkenteni.


  1. (Régi probléma.) Egy 28 fős asztaloscsapat 54 nap alatt, egy másik 30 fős csapat 45 nap alatt tud házat építeni. Melyik csapat működik jobban?

Az arányokkal megoldott problémákról szóló beszélgetést lezárva, példát kell hoznunk egy olyan problémára, amelyet nem lehet „régi módon” megoldani.

24. Egy személyvonat 3 óra alatt, egy gyorsvonat 2 óra alatt tesz meg egy bizonyos távolságot. Egy napon ezek a vonatok egyszerre két várost hagytak el egymás felé. A személyvonat 120 km-t tett meg, mielőtt találkozott a mentővel. Hány kilométert tett meg a gyorsvonat, mielőtt találkozott a személyvonattal?

Itt 120 km nem osztható 3 órára, hiszen 3 óra alatt más távot tettek meg. Röviden írjuk le a probléma körülményeit.

Időtávolság

Gyors 2h x km

Utas Zh 120 km

Az első alkalommal, amikor a vonatok ugyanazt az utat járták be, a sebesség fordítottan arányos az idővel, vagyis egy gyorsvonat sebessége a személyvonat sebessége többszöröse.

Másodszor pedig az utazási idő állandó volt, míg a távolság egyenesen arányos a sebességgel, vagyis a gyorsvonat által megtett távolság szor több módon elhaladt egy személyvonat.

Készítsünk arányt
, melynek megoldása x = 180. A gyorsvonat 180 km-t tett meg, mielőtt találkozott az utassal.

Összetett arányproblémák

A döntés az elsőRöviden a probléma megfogalmazása:

Csirke napok tojás

3 33
12 12 x


4.

5. (Régi probléma.)

6.

7. (Régi probléma.)
1. teszt

1. lehetőség


  1. A két könyvtárban ugyanannyi könyv volt. Egy évvel később az első könyvtárban lévő könyvek száma 50% -kal, a másodikban pedig 2-szeresére nőtt. Melyik könyvtárban van több könyv?
A. Az első könyvtárban

B. A második könyvtárban

IN. Ugyanannyi könyv maradt

G


  1. 6500 RUR értékű mosógép vásárlásakor. a vásárló egy újságból kivágott hirdetést mutatott be, amely 5%-os kedvezményre jogosította fel. Mennyit fog fizetni az autóért?
A. 325 dörzsölje. B. 3250 dörzsölje. IN. 6175 dörzsölje. G. 6495 dörzsölje.

  1. Az intézet első évfolyama 180 főt tud felvenni. A beadott jelentkezések száma a kurzus férőhelyeinek 120%-a volt. Hány pályázatot nyújtottak be?
A. 36 B. 150 C. 216 D. 300

  1. A folyó vízszintje 2,4 m volt. Az árvíz első óráiban 5%-kal emelkedett. Milyen szintet ért el a víz a folyóban?
A. 0,12 m B. 2,52 m C. 3,6 m D. 7,4

2. lehetőség


  1. A két könyvtárban ugyanannyi könyv volt. Egy évvel később az első könyvtárban lévő könyvek száma 50% -kal, a másodikban pedig 1,5-szeresére nőtt. Melyik könyvtárban van több könyv?
A. Az első könyvtárban

B. A második könyvtárban

IN. Ugyanannyi könyv maradt

G. Nincs elég adat a válaszadáshoz


  1. Díj a közművek 800 rubel. Mennyit kell fizetni a rezsiért, miután azok 6%-kal emelkednek?
A. 48 dörzsölje. B. 480 dörzsölje. V. 806 dörzsölje. G. 848 dörzsölje.

  1. Decemberben a cég minden alkalmazottja havi fizetése 130-ának megfelelő prémiumot kapott. bérek. Milyen bónuszt kapott az a munkavállaló, akinek a fizetése 5500 rubel?
A. 71500 dörzsölje. B. 7150 dörzsölje. V. 5630 dörzsölje. G. 1650 dörzsölje.

  1. A cég 5 millió rubelt helyezett el a bankban. évi 8%-kal. Mennyi lesz egy év múlva a cég számláján?
A. 13 millió rubel. V. 5,4 millió rubel.

B. 9 millió dörzsölje. G. 0,4 millió dörzsölje.
Szám keresése százalékos aránya alapján


  1. Izzók kerültek az elektromos cikkek boltjába. Köztük 16 darab törött villanykörte volt, ami számuk 2%-át tette ki. Hány villanykörtét hoztak
    üzlet?

  2. Keress egy számot, amelynek 110%-a 33.

  1. Az osztály 60%-a moziba ment, a maradék 12 fő pedig a kiállításra. Hány tanuló van az osztályban?
Segítenek a százalékokkal kapcsolatos problémák feltételeinek elemzésében.sematikus rajzok, amelyek „sugalmazzák” másesetekben az ahhoz vezető lépések sorrendjétdöntés. Például az 50. feladat megoldásakor előszörtermészetes az esedékes százalékok számának megállapítása12 fő részére.
4. A termék ára 30%-kal nőtt, és most 91 rubel. Mennyibe került a termék az áremelés előtt?
5. Az üzem 10 000 autó gyártását tervezte. A tervet 2%-kal túllépték. Hány autót gyártott az üzem a tervezetten felül? Hány autót adtak ki?
Az 5. feladatot kétféleképpen lehet megoldani. Elsőként a feltett kérdésekre válaszolva:

  1. 10 000 0,02 = 200 (gép);

  2. 10 000 + 200 = 10 200 (gép),

majd további kérdéseket tesz fel:

-Hány százalékban teljesítette az üzem a tervet?

- 100 + 2 = 102 (%).

-Hány autó teszi ki a 102%-ot?


  • 10 000-1,02 = 10 200 (gép)

  1. Szárításkor a fű elveszti tömegének 80%-át. Hány tonna széna lesz 4 tonna friss fűből? Hány tonna füvet kell levágni 4 tonna széna szárításához?

  1. 100 - 80 = 20 (%) - a fű tömege a széna tömege;

  2. 4 0,2 = 0,8 (t) - 4 tonna fűből lesz széna;

  3. 4: 0,2 = 20 (t) - a füvet le kell nyírni.

  1. Az album ára először 15%-kal csökkent, majd további 15 rubel. Az album új ára két csökkentés után 19 rubel. Határozza meg az eredeti árát.

  1. 15 + 19 = 34 (r.) - az album ára a másodpercig
    árcsökkentés;

  1. 100 - 15 = 85 (%) - 34 rubelre esik;

3)
= 40 (r.) - az album eredeti ára.


  1. Összeadva három számot. Az első az összeg 25%-át tette ki, a második pedig 40%-át. Keresse meg a harmadik számot, ha 45-tel kisebb, mint a második.

  1. 100 - 25 - 40 = 35 (%) - az összeget teszi ki
    a harmadik számon;

  1. 40 - 35 = 5 (%) - az összeg 45-re esik;

3)
= 315 a harmadik szám.


  1. Az osztály 30%-a és további 5 fő moziba, az osztály maradék 3 fő és további 8 fő pedig kirándulásra ment. Hány ember van az osztályban?

  1. A cég dolgozóinak egyharmada nyáron, a megmaradt dolgozók 35%-a ősszel, további 2314 fő télen és tavasszal nyaralt. Hány dolgozó van a cégben?

  1. Áruk eladásakor 693 rubelért. 10% nyereséget kaptunk. Határozza meg a termék költségét.

Százalék megtalálása

Az ebben a részben található feladatok megoldásával a tanulóknak egy egyszerű ötletet kell elsajátítaniuk: meg kell találni két szám százalékos arányát, pl. hány százaléka az első szám a másodiknak, akkor százalékban fejezheti ki az első és a második szám arányát.

Az ilyen típusú első feladatoknak egyszerűnek kell lenniük, vagyis a számok arányát végessel kell kifejezni decimális.
Két szám százalékos arányának meghatározásához az első számot eloszthatja a másodikkal, és az eredményt megszorozhatja 100-zal.


  1. 16 kg friss körtéből 4 kg szárított körtét kaptunk. A friss körte tömegének mekkora részét hagyja hátra a szárított körte tömege? Fejezd ki ezt a részt százalékban! Hány tömegszázalék vész el a szárítás során?

  1. Az 50-es szám hány százaléka a 40-es? A 40-es szám hány százaléka az 50-es?

  1. Masha 120 oldalt olvasott el, és 130 oldala maradt a könyvből. Az összes oldal hány százalékát olvasta el? Az összes oldal hány százaléka maradt még elolvasásra?

  1. A hónapban 12 napos és 18 felhős nap volt. A hónap hány százaléka süt a nap? felhős napok?

5. Hány százalékkal nagyobb az 50, mint a 40? 40 kevesebb mint 50?

50 a 40-ből , vagy
% = 125% ;

50 nagyobb, mint 40 x 125 - 100 = 25 (%);

40 az 50-ből , vagy
% = 80% ;

40 kisebb, mint 50 x 100 - 80 = 20 (%).
6. A termék ára 40 rubelről csökkent. legfeljebb 30 dörzsölje. Hány rubellel csökkent az ár? Hány százalékkal csökkent az ár?
A 6. feladatban a tanulóknak nehézséget jelenthet annak meghatározása, hogy melyik szám a 100%. Fel kell hívnia a figyelmüket arra a számra, amellyel egy másik számot hasonlítanak össze. A probléma újrafogalmazása segít ebben: „30 rubel hány százaléka. kevesebb, mint 40 rubel? Hasonlítsa össze a 40 rubel összeggel, ami 40 rubelt jelent. - ez 100%.

2. teszt
1. lehetőség

  1. Közúti balesetek száma nyári időszak télen számuk 0,7-ét tette ki. Hány százalékkal csökkent a közlekedési balesetek száma nyáron a télihez képest?

A. 70%-kal B. 30%-kal C. 7%-kal D. 3%-kal


A. B. C. 0,08 D. 0,8
1) 50% 2) 80% 3) 75% 4) 8%
2. lehetőség


  1. A TV lejegyzése után az új ára a régi 0,8-a volt. A régi ár hány százaléka az új?

A. 0,8% B. 8% C. 20% D. 80%


  1. Párosítsa össze azokat a törteket, amelyek egy bizonyos mennyiség részeit fejezik ki, a hozzájuk tartozó százalékokkal.
A. B. C. 0,4 D. 0,04
1) 40% 2) 25% 3) 80% 4) 4%
Összetett arányproblémák
Ebben a részben minden probléma választható abban az értelemben, hogy nem kell minden tanulónak tudnia megoldani azokat. Használja őket, amennyire érdekes a tanulói számára.

  1. Három csirke 3 nap alatt 3 tojást tojott. Hány tojást tojik 12 csirke 12 nap alatt?

A diákok nagyon meglepődnek, amikor megtudják, hogy a „12 tojás” „nyilvánvaló” válasz helytelen. A döntés az elsőJobb, ha a dachákat ebből a részből együttesen elemezzük,esetleg otthoni gondolkodás, lejegyzés utánRöviden a probléma megfogalmazása:

Csirke napok tojás

3 33
12 12 x

A párbeszéd során meg kell találnia, hogy hányszor nőtt a csirkék száma (4-szer); Hogyan változott a tojások száma, ha a napok száma nem változott (4-szeresére nőtt); hányszorosára nőtt a napok száma (4-szer); hogyan változott a tojások száma (négyszeresére nőtt). A tojások száma: x = 3 4 4 = 48.
2. Három festő 5 nap alatt 60 ablakot tud kifesteni. Hány festőt kell felvenni ablakfestésre, hogy 2 nap alatt 64 ablakot lehessen lefesteni?

3. Tanfolyamok idegen nyelv tanterem bérelhető az iskolában. Az első félévben négy bérbeadásra tantermek A hét hat napján az iskola 336 rubelt kapott. havonta. Mennyi lesz a havi bérleti díj az év második felében 5 tanteremre, heti 5 napon azonos feltételek mellett?

4. (I. Newton „Universal Aithmetic” című könyvéből.) Ha egy írnok 15 levelet tud írni 8 nap alatt, hány írástudó kell 405 levél megírásához 9 nap alatt?

5. (Régi probléma.) 2040 rubelt költöttek 45 fő 56 napos fenntartására. Mennyibe kerülne 75 fő 70 napos eltartása?
Nézzünk bonyolultabb problémákat négy, sőt hat mennyiséggel. Opcionálisan beállíthatók házi feladat a legerősebb tanulók, akik élvezik a rejtélyes problémák megoldását.
6. (AL. Kiselev „Aritmetikából”.) 18 szoba megvilágítására 48 nap alatt 120 font kerozint használtak fel, minden helyiségben 4 lámpa égett. Hány napig tart 125 font kerozin, ha 20 szoba ki van világítva, és minden szobában 3 lámpa van?

7. (Régi probléma.) Egy 26 fős kotrócsapat, napi 12 órán át gépekkel dolgozik, 96 m hosszú, 20 m széles és 12 cm mély csatornát tud ásni 40 napon belül. Mennyi ideig áshat egy csatornát 39 ásó, napi 80 napon át, napi 10 órában, ha a csatorna szélessége 10 m és mélysége 18 dm?
Folyómozgási problémák

Az árammal és az árammal szembeni sebesség a saját sebesség és az áram sebességének összege és különbsége. Megtalálásukhoz a korábban elsajátított technikát kell alkalmazni, hogy két mennyiséget találjunk összegük és különbségük alapján: az áram mentén és az árammal szembeni sebességkülönbség az áram sebességének kétszeresével egyenlő.
1. Útban a ponttól A hogy mutasson IN A hajó 1 óra 40 percet töltött, és a visszaúton - 2 órát, melyik irányba folyik a folyó?


  1. Csónak sebessége álló víz 18 km/h. A folyó sebessége 2 km/h. Milyen sebességgel fog a hajó lefelé haladni a folyón? Az árammal szemben?

  2. A csónak sebessége állóvízben (saját sebesség) 12 km/h, a folyó áramlási sebessége 3 km/h. Határozza meg: a csónak sebességét lefelé és a folyó áramlásával szemben; a hajó útja a folyó mentén 3 óra alatt; A hajó útja a folyó sodrásával szemben 5 órát vesz igénybe.

  3. A hajó saját sebessége 27 km/h, a folyóé 3 km/h. Mennyi ideig tart egy motoros hajó végighaladni a folyón két móló között, ha a távolság közöttük 120 km?

  4. Egy 15 km/h-s saját sebességű hajó 2 órát lebegett a folyó mentén és 3 órát az áramlattal szemben. Mennyit úszott az egész idő alatt, ha a folyó áramlási sebessége 2 km/h?

  5. A két kikötőhely közötti távolság 24 km. Mennyi ideig tart a motor
egy hajó az egyik mólótól a másikig és vissza, ha saját sebessége 10 km/h és az áram sebessége 2 km/h?
Az alábbi táblázat (más számadatokkal együtt) kényelmesen használható önálló munkához.

  1. Határozza meg a sebességeket, és töltse ki a táblázatot:

Saját sebesség

A folyó áramlási sebessége

Sebesség által

folyó áramlása

A folyó folyása


Az árammal szembeni sebesség

1
12 km/h

4 km/h

2
25 km/h

28 km/h

3
24 km/h

20 km/h

4
5 km/h

17 km/h

5
3 km/h

16 km/h

6
48 km/h

42 km/h

  1. Egy motorcsónak 48 km-t tett meg lefelé 3 óra alatt, az árammal szemben pedig 4 óra alatt.

  2. A folyó sebessége 3 km/h. Hány kilométer per óra sebessége nagyobb a folyásirányban, mint a folyásirányban felfelé haladó sebessége?
Mozgásos feladatok

5 eltávolítási arány.)

megközelítési sebesség.)





  2. (Régi probléma.)

  3. (Régi probléma.)



  3. V az első vonat úton van;

8. Városok közötti távolság AÉs IN 720 km-nek felel meg. Tól A V IN

10. 1) Pontból A hogy mutasson IN A és B egyenlő 30 km-rel?


  1. A pontból pontba IN,



lényegében a mozgásról szól egymással szemben

  1. 30-2 = 60 (km);

  2. 10 + 5 = 15 (km/h);

  3. 60:15 = 4 (óra).

Mozgásos feladatok

1. Két gyalogos egyszerre hagyta el ugyanazt a pontot ellentétes irányba. Az első sebessége 4 km/h, a másodiké 5 km/h Mekkora lesz köztük a távolság 3 óra múlva? Óránként hány kilométert távolodnak el egymástól a gyalogosok? (Ezt a mennyiséget ún eltávolítási arány.)

2. Két, 36 km távolságra lévő faluból egyszerre két gyalogos ment egymás felé. Sebességük 4 km/h és 5 km/h. Óránként hány kilométerrel közelítik meg egymást a gyalogosok? (Ezt a mennyiséget ún megközelítési sebesség.)
Mekkora lesz köztük a távolság 3 óra múlva?


  1. Két kerékpáros egyszerre haladt egymás felé két pontról, amelyek távolsága 36 km. Az első sebessége 10 km/h, a másodiké 8 km/h. Hány óra múlva találkoznak?

  2. 1) A két város távolsága 900 km. Két vonat indult el ezekből a városokból egymás felé 60 km/h és 80 km/h sebességgel. Milyen messze voltak egymástól a vonatok 1 órával a találkozó előtt? Van valami extra feltétel a problémában?
2) A falu és a város távolsága 45 km. Egy gyalogos 5 km/h sebességgel hagyta el a falut a város felé. Egy órával később egy kerékpáros száguldott feléje a városból a faluba 15 km/órás sebességgel. Melyikük lesz közelebb a faluhoz a találkozás idején?

3) Két biciklis egy időben indult el egymással találkozni két faluból, melyek távolsága 54 km. Az első sebessége 12 km/h, a másodiké 15 km/h. Hány óra múlva lesznek 27 km-re egymástól?


  1. Egy kerékpáros és egy motoros egyszerre indult el ugyanarról a pontról ugyanabba az irányba. A motoros sebessége 40 km/h, a kerékpárosoké 12 km/h. Milyen sebességgel távolodnak el egymástól? Hány óra múlva lesz köztük 56 km a távolság?

  2. (Régi probléma.) Egy fiatalember Moszkvából Vologdába ment. Naponta 40 mérföldet gyalogolt. Egy nappal később egy másik fiatalembert küldtek utána, aki napi 45 mérföldet gyalogolt. Hány napig tart, amíg a második utoléri az elsőt?

  3. (Régi probléma.) Egyszerre két vonat indult Moszkvából Tverbe. Az első 39 verttal haladt el, és két órával korábban érkezett Tverbe
    a második, amely 26 vertával telt el. Hány mérföldre van Moszkva és Tver között?

  1. 26 2 = 52 (verszt) - ennyivel maradt le a vonat az elsőtől;

  2. 39 - 26 = 13 (verszt) - ennyivel maradt el a második vonat az elsőtől 1 óra alatt;

  3. 52: 13 = 4 (óra) - ennyi idő volt V az első vonat úton van;

  4. 39 4 = 156 (verszt) - Moszkva és Tver távolsága.

8. Városok közötti távolság AÉs IN 720 km-nek felel meg. Tól A V IN Egy gyorsvonat 80 km/h-s sebességgel indult el. 2 óra múlva egy személyvonat jött feléje B-ből A-ba 60 km/h sebességgel. Hány órával találkoznak a gyorsvonat indulása után?

9. Két vonat halad egymás felé - az egyik 70 km/h, a másik 80 km/h sebességgel. A második vonaton ülő utas észrevette, hogy az első vonat 12 másodperc alatt elhaladt mellette. Mennyi az első vonat hossza?

10. 1) Pontból A hogy mutasson IN Egy gyalogos 5 km/h sebességgel lépett ki. Ezzel egy időben egy kerékpáros 10 km/h-s sebességgel A-ból B felé indult. A kerékpáros elérte a B-t, visszafordult és azonos sebességgel haladt a gyalogos felé. Hány órával a mozgás megkezdése után találkoznak, ha a távolság között A és B egyenlő 30 km-rel?


  1. A pontból pontba IN, amelyek közötti távolság 17 km, a kerékpáros 12 km/h sebességgel távozott. Ezzel egy időben egy gyalogos 5 km/h sebességgel A-ból B felé indult. A kerékpáros elérte a B-t, megfordult és ugyanolyan sebességgel visszahajtott.
    Hány órával azután, hogy elkezdenek mozogni, találkoznak?

  2. Két pont távolsága 12 km. Két kerékpáros egyszerre száguldott ki belőlük egymás felé 10 és 8 km/órás sebességgel. Mindegyikük más-más pontra ért, megfordult és ugyanolyan sebességgel visszahajtott. Hány órával azután, hogy elkezdenek mozogni, találkoznak másodszor?
A 10 (1) feladat „hosszú” megoldását magyarázat nélkül mutatjuk be.

1) 30:10 = 3(ó); 4) 10 + 5 = 15 (km/h);


  1. 5-3 = 15 (km); 5) 15:15 = 1 (h);

  2. 30-15 = 15 (km); 6) 3 + 1 = 4 (óra).
Leegyszerűsíthető, ha megjegyezzük, hogy a probléma a beszéddel kapcsolatoslényegében a mozgásról szól egymással szembendupla távolság. Ugyanezt a választ kapjuk, hafogalmazza meg újra a problémafelvetést a következőképpen:Tehát: „Az A és B pont közötti távolság 60 km.Egy gyalogos 5 km/h sebességgel hagyta el az A pontot a B pontba. Ezzel egy időben egy kerékpáros 10 km/órás sebességgel B-ből A felé indult. Hány óra alattTalálkoznak majd, miután elkezdenek költözni?

  1. 30-2 = 60 (km);

  2. 10 + 5 = 15 (km/h);

  3. 60:15 = 4 (óra).
Ez egy példa egy probléma sikeres újrafogalmazására, ami a megoldás egyszerűsítéséhez vezet.

4. sz. teszt
1. Határozza meg az időt, ami alatt a kerékpáros eljut A pontból B pontba

(lásd az 1. ábra diagramját).
υ=12 km/h

A| _________________________________________ IN


s = 6 km
Rizs. 1.
A. 72 óra B. 0,5 óra IN. 2 óra

G. 5 óra D. ________________


  1. Két pontról, amelyek távolsága 10 km, egyszerre két turista indult el ugyanabba az irányba. Az első turista sebessége 4 km/h, az őt követőé 6 km/h. Mennyi időbe telik, míg a második turista utoléri az elsőt?

A. 1 óra múlva B. 2,5 óra múlva IN. 1-ben

G. 5 óra múlva D. ________________________


  1. A hajó 3 órát hajózott egyik állomásról a másikra, visszafelé pedig 4 órát töltött. A folyó áramlási sebessége 1 km/h. Írjon egy egyenletet a hajó saját sebességének meghatározásához, jelölje azt x km/h-val.

Válasz: _____________________

Ebben a részben minden probléma választható abban az értelemben, hogy nem kell minden tanulónak tudnia megoldani azokat. Használja őket, amennyire érdekes a tanulói számára.


  1. Három csirke 3 nap alatt 3 tojást tojott. Hány tojást tojik 12 csirke 12 nap alatt?

A diákok nagyon meglepődnek, amikor megtudják, hogy a „12 tojás” „nyilvánvaló” válasz helytelen. Az első probléma megoldását érdemesebb ebből a részből közösen elemezni, esetleg otthoni gondolkodás után, röviden leírva a probléma feltételét:

Csirke napok tojás

3 33
12 12 x

A párbeszéd során meg kell találnia, hogy hányszor nőtt a csirkék száma (4-szer); Hogyan változott a tojások száma, ha a napok száma nem változott (4-szeresére nőtt); hányszorosára nőtt a napok száma (4-szer); hogyan változott a tojások száma (négyszeresére nőtt). A tojások száma: x = 3 4 4 = 48.

2. Három festő 5 nap alatt 60 ablakot tud kifesteni. Hány festőt kell felvenni ablakfestésre, hogy 2 nap alatt 64 ablakot lehessen lefesteni?

3. Idegen nyelvtanfolyamok tantermi helyiséget bérelnek az iskolában. Az első félévben 336 rubelt kapott az iskola négy tanterem bérbeadásáért heti 6 napra. havonta. Mennyi lesz a havi bérleti díj az év második felében 5 tanteremre, heti 5 napon azonos feltételek mellett?

4. (I. Newton „Universal Aithmetic” című könyvéből.) Ha egy írnok 15 levelet tud írni 8 nap alatt, hány írástudó kell 405 levél megírásához 9 nap alatt?

5. (Régi probléma.) 2040 rubelt költöttek 45 fő 56 napos fenntartására. Mennyibe kerülne 75 fő 70 napos eltartása?

Nézzünk bonyolultabb problémákat négy, sőt hat mennyiséggel. Választható házi feladatként adhatóak a haladóbb tanulóknak, akik szeretik a rejtélyes problémák megoldását.

6. (AL. Kiselev „Aritmetikából”.) 18 szoba megvilágítására 48 nap alatt 120 font kerozint használtak fel, minden helyiségben 4 lámpa égett. Hány napig tart 125 font kerozin, ha 20 szoba ki van világítva, és minden szobában 3 lámpa van?

7. (Régi probléma.) Egy 26 fős kotrócsapat, napi 12 órán át gépekkel dolgozik, 96 m hosszú, 20 m széles és 12 cm mély csatornát tud ásni 40 napon belül. Mennyi ideig áshat egy csatornát 39 ásó, napi 80 napon át, napi 10 órában, ha a csatorna szélessége 10 m és mélysége 18 dm?

Ebben a részben minden probléma választható abban az értelemben, hogy nem kell minden tanulónak tudnia megoldani azokat. Használja őket annyira, amennyire érdekes lesz diákjai számára, és amennyire csak tudja rendezni oktatási tevékenységek iskolások, fejlődésük elősegítése. Az első feladatok jók az osztállyal való frontális munkához. A velük való munka után a tanulók megtanulják jobban megkülönböztetni a közvetlen és fordított arányosságot, és kevesebb nehézséget tapasztalnak az egyszerű hármas szabályos problémákkal.

278 .* 3 csirke 3 nap alatt 3 tojást tojott. Hány tojást tojik 12 csirke 12 nap alatt?

A diákok nagyon meglepődnek, amikor megtudják, hogy a „12 tojás” „nyilvánvaló” válasz helytelen. Az első probléma megoldását érdemesebb ebből a részből közösen elemezni, esetleg otthoni átgondolás után. Az irányadó kérdések a „Válaszok és tippek” részben találhatók. Röviden írja le a probléma feltételét:

csirke nap tojás

12 12 x,

a párbeszéd során meg kell találnia, hogy hányszor nőtt a csirkék száma (4-szer); Hogyan változott a tojások száma, ha a napok száma nem változott (4-szeresére nőtt); hányszorosára nőtt a napok száma (4-szer); hogyan változott a tojások száma (négyszeresére nőtt). Ennek eredményeként a tojások száma:

x = 3 · 4 · 4 = 48.

279 .* 100 mell 100-at eszik meg 100 nap alatt kg szemek Hány kilogramm gabonát eszik meg 10 cinege 10 nap alatt?

280 .* 3 festő 5 nap alatt 60 ablakot tud kifesteni.

a) Hány festőt kell felvenni az ablakfestésre, hogy 2 nap alatt 64 ablakot lehessen festeni?

b) Hány ablakot fest 5 festő 4 nap alatt?

c) Hány napig tart 2 festőnek 48 ablak kifestése?

281 .* a) 2 ásó 2-hez h kiásni 2 márkok. Hány ásó 5-ben h kiásni 5 márkok?

b) 10 szivattyú 10-hez min kiszivattyúzni 10 T víz. Hány percig tart 25 szivattyú 25 szivattyúzásához T víz?

282 .* Idegen nyelvtanfolyamok bérelhetők tanteremben az iskolában. Az első félévben heti 6 napra 4 tanterem bérlésére 336 db. r. havonta. Mennyi lesz a havi bérleti díj az év második felében 5 tanteremre, heti 5 napon azonos feltételek mellett?

283 .* Tól "Aritmetika" L.F. Magnyitszkij. Valakinek volt 100 r. a kereskedő osztályban 1 évig, és csak 7-et vásárolt r.És amikor 1000-et adtam a kereskedőknek r. 5 évig hányat vesznek?

284 .* I. Newton „Általános aritmetikájából”.. Ha egy írnok 15 levelet tud írni 8 nap alatt, hány írástudó kell 405 levél megírásához 9 nap alatt?

285 .* Ősi probléma. Egy írnok 4 napon belül 40 lapot tud lemásolni, egyszerre 9 lapot dolgozva. h naponta. Hány nap kell neki, hogy átírjon 60 lapot, egyszerre 12-t dolgozva? h naponta?

286 .* A háziasszonyt megkérdezték:

Jól tojik a csirkék?

Számold meg magad – hangzott a válasz – „másfél csirke másfél nap alatt másfél tojást tojik, és összesen 12 csirkém van.”

Hány tojást tojnak a csirkék naponta?

287 .* a) Az első ásócsapat 4 főből áll - 4-re valók h kiásott 4 márkok. A második ásóbrigádban 5 ember van – ők 5-en h kiásott 5 márkok. Melyik csapat működik jobban?

b) Az első háziasszonynál 3 tyúk 3 nap alatt 6, a második háziasszonynál 4 tyúk 4 nap alatt 8 tojást tojott. Melyik háziasszonynak vannak jobb csirkék?

288 .* Ősi problémák. a) 2040-ben 45 embert tartottak fogva 56 napig r. Mennyibe kerülne 75 fő 70 napos eltartása?

b) Oldalanként 32 sort és soronként 30 betűt tartalmazó könyv nyomtatásához minden példányhoz 24 papírlapra van szükség. Hány papírlapra van szükség ennek a könyvnek a kinyomtatásához ugyanabban a formátumban, de 36 sorral az oldalon és 32 betűvel soronként?

Nézzünk bonyolultabb problémákat négy, sőt hat mennyiséggel. Választható házi feladatként adhatóak a haladóbb tanulóknak, akik szeretik a rejtélyes problémák megoldását.

289 .* Az A.P. „Aritmetikából” Kiseleva.

a) 18 szoba megvilágítására 48 nap alatt 120 font petróleumot használtak fel, minden helyiségben 4 lámpa égett. Hány napig tart 125 font kerozin, ha 20 szoba ki van világítva, és minden szobában 3 lámpa van?

b) 5 egyforma petróleumkályhához, 24 napig égetve 6-ig h napi, használt 120 l kerozin. Hány napig tart a 216? l petróleum, ha 9 egyforma petróleumkályha egyenként 8-at éget h naponta?

290 .* Ősi feladat. 26 emberből álló kotrók artellája, akik egyenként 12 géppel dolgoznak h naponta, 96-ban tud csatornát ásni m hossz, 20 m szélessége és 12 dm mélységben 40 napon belül. Meddig áshat egy csatornát 39 ásó, akik 80 napig, 10 napig dolgoznak egyszerre? h naponta, ha a csatorna szélessége 10 legyen m, mélység 18 dm?

290. feladat S.I. Shokhor-Trockij nem tartotta kielégítőnek életkörülményekés nem alkalmas iskolai gyakorlatra, „Aritmetikai módszerek” című művében (1935) „maga számára” tartotta. Alkalmazzuk az általunk továbbfejlesztett „végső képletet”. Erős osztályban ezt a módszert meg lehet mutatni a tanulóknak, de csak az övékkel aktív részvétel határozatban - in egyébkéntértelmetlen lesz a munka. Lent van írva rövid állapotú feladatokat és indokolást adunk, amellyel párhuzamosan a táblán a jobb oldalon látható, fokozatosan kiegészített nyilvántartás vezethető.

Dl. Személy Nap Óra. Shir. Ch.

96 26 40 12 20 12

x 39 80 10 10 18

A csatorna hossza tól növekszik

az emberek számának növelése 39 / 26 x = 96· 39/26

a napok számának növekedésétől 80 / 40 x = 96· 39/26 · 80/40

és a szélesség csökkentésétől 20 / 10 alkalommal; x = 96· 39/26 · 80/40 .

A csatorna hossza csökkenni fog

az órák számának csökkentése 12 / 10 alkalommal és x = 96· 39/26 · 80/40 · 20/10: 12/10

és a növekvő mélységből 18 / 12 alkalommal: x = 96· 39/26 · 80/40 · 20/10: 12/10: 18/12.

Végül megvan: x = 320. Ez azt jelenti, hogy 39 ásó képes egy 320 m hosszú csatornát ásni.



Előző cikk: Következő cikk:

© 2015 .
Az oldalról | Kapcsolatok | Webhelytérkép