Két változó függvényének határértéke.
Koncepció és példák megoldásokra

Üdvözöljük a témával foglalkozó harmadik leckében FNP, ahol végre minden félelmed beigazolódni kezdett =) Ahogy azt sokan gyanították, a határ fogalma tetszőleges számú érv függvényére is kiterjed, erre kell ma rájönnünk. Vannak azonban optimista hírek. Abból áll, hogy a határ bizonyos mértékig elvont, és a megfelelő feladatok a gyakorlatban rendkívül ritkák. E tekintetben figyelmünket két változó függvényének határaira összpontosítjuk, vagy ahogy gyakrabban írjuk: .

Sok ötlet, elv és módszer hasonlít a „hétköznapi” határok elméletéhez és gyakorlatához, ami azt jelenti pillanatnyilag neked kellene képes korlátokat találniés ami a legfontosabb, ÉRTSE meg, mi az egy változó függvényének határértéke. És mivel a sors erre az oldalra hozta, akkor valószínűleg már sokat értesz és tudsz. És ha nem, nem baj, tényleg minden hiányosság bepótolható órák, sőt percek alatt.

A lecke eseményei nálunk játszódnak háromdimenziós világ, és ezért egyszerűen óriási mulasztás lenne nem aktívan részt venni bennük. Először is építsünk egy jól ismert Derékszögű koordinátarendszer a térben. Keljünk fel, és sétáljunk egy kicsit a szobában... ...a padló, amin mész, egy sík. A tengelyt tegyük valahova... hát pl bármelyik sarokba, hogy ne álljon közbe. Nagy. Most kérem, nézzen fel, és képzelje el, hogy a takaró ott lóg kiterítve. Ez felület, függvény adja meg. A padlón való mozgásunk, mint közérthető, független változók változását imitálja, és kizárólag a takaró alatt mozoghatunk, i.e. V két változó függvényének definíciós tartománya. De a móka még csak most kezdődik. Egy kis csótány mászkál a takarón közvetlenül az orrod hegye fölött, és bárhová mész, oda is megy. Nevezzük Freddynek. Mozgása a megfelelő függvényértékek változását szimulálja (kivéve azokat az eseteket, amikor a felület vagy töredékei párhuzamosak a síkkal és a magasság nem változik). Kedves Freddie nevű olvasó, ne sértődjön meg, ez kell a tudományhoz.

Vegyünk a kezünkbe egy csüllőt és egy tetszőleges ponton szúrjuk ki a takarót, melynek magasságát jelöljük, majd a szerszámot szigorúan a lyuk alatt szúrjuk a padlóba - ez lesz a lényeg. Most pedig kezdjük végtelenül közel megközelíteni egy adott pontot , és jogunk van BÁRMILYEN pálya mentén megközelíteni (amelynek minden pontja természetesen a meghatározás tartományába tartozik). Ha MINDEN esetben Freddy az lesz végtelenül közel mászni a defekthez egy magasságig és PONTOSAN EZ A MAGASSÁGRA, akkor a függvénynek van határa a ponton :

Ha a megadott feltételek mellett az áttört pont a takaró szélén található, akkor a határ továbbra is fennáll - fontos, hogy a önkényesen kis környék az awl csúcsai legalább néhány pont a függvény definíciójának tartományából származtak. Sőt, ahogy az a helyzet egy változó függvényének határértéke, nem számít, függetlenül attól, hogy a függvény egy pontban definiálva van-e vagy sem. Vagyis a szúrásunkat rágógumival le lehet zárni (tegyük fel két változó függvénye folytonos) és ez nem befolyásolja a helyzetet – ne feledjük, hogy a határ lényege magában foglalja végtelenül közeli közelítés, és nem egy pont „pontos megközelítése”.

A felhőtlen életet azonban beárnyékolja, hogy az övével ellentétben öccse, a határ sokkal gyakrabban nem létezik. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy általában sok út vezet a sík egy adott pontjához, és mindegyiknek szigorúan a defektig kell vezetnie Freddyt. (nem kötelező „rágógumival lezárva”)és szigorúan a magasságig. És több mint elég bizarr felületek vannak ugyanilyen bizarr szakadásokkal, ami bizonyos pontokon ennek a szigorú feltételnek a megsértéséhez vezet.

Szervezzünk legegyszerűbb példa– vegyél a kezedbe egy kést, és vágd le a takarót úgy, hogy az átszúrt pont a vágási vonalra feküdjön. Vegye figyelembe, hogy a határ még mindig létezik, csak az a helyzet, hogy elvesztettük a jogot, hogy a vágási vonal alatti pontokba lépjünk, mivel ez a terület „kiesett” függvény tartomány. Most óvatosan emeljük fel bal oldalt takarót a tengely mentén, és a jobb oldali részét, ellenkezőleg, lefelé mozgatjuk, vagy akár a helyén is hagyjuk. Mi változott? És a következő alapvetően megváltozott: ha most közelítünk a bal oldali ponthoz, akkor Freddy lesz nagyobb magasságban mintha jobbról közelítenénk meg egy adott pontot. Tehát nincs határ.

És persze csodálatos határok Hol lennénk nélkülük? Nézzünk egy példát, amely minden értelemben tanulságos:

11. példa

A fájdalmasan ismerős trigonometrikus képletet használjuk, ahol a szabvány mesterségesen megszervezzük első figyelemre méltó határok :

Térjünk át a poláris koordinátákra:
Ha, akkor

Úgy tűnik, hogy a megoldás a természetes kimenetel felé tart, és semmi sem jósol bajt, de a legvégén nagy a veszélye annak, hogy komoly hibát követünk el, amelynek természetére már utaltam egy kicsit a 3. példában és részletesen leírtam. a 6. példa után. Először a befejezés, majd a megjegyzés:

Nézzük meg, miért lenne rossz azt írni, hogy „végtelen” vagy „plusz végtelen”. Nézzük a nevezőt: mivel , a poláris sugár hajlamos elenyésző pozitív érték: . Ezen kívül,. Így a nevező előjele és a teljes határérték csak a koszinusztól függ:
, ha a polárszög (2. és 3 koordinátanegyedek: );
, ha a polárszög (1. és 4. koordinátanegyed: ).

Geometriailag ez azt jelenti, hogy ha balról közelítjük meg az origót, akkor a függvény által meghatározott felületet , lenyúlik a végtelenségig:

A természettudomány és a közgazdaságtan számos mintázatának tanulmányozása során két (vagy több) független változó függvényeivel találkozhatunk.

Definíció (két változó függvényére).Hadd X , Y És Z - sokaság. Ha minden pár (x, y) elemek halmazokból, ill X És Y valamilyen törvény erejénél fogva f egy és csak egy elemnek felel meg z sokaktól Z , akkor azt mondják két változó függvénye adott z = f(x, y) .

IN általános eset két változó függvényének tartománya geometriailag egy bizonyos ponthalmazsal ábrázolható ( x; y) sík xOy .

A több változó függvényére vonatkozó alapvető definíciók a megfelelő általánosításai definíciók egy változó függvényéhez .

Sok D hívott a függvény tartománya z, és a készlet E – számos jelentése. Változók xÉs y funkcióval kapcsolatban zérveinek nevezzük. Változó z függő változónak nevezzük.

Az érvek privát értékei

a funkció privát értékének felel meg

Több változóból álló függvény tartománya

Ha több változó függvénye (például két változó) képlet adja meg z = f(x, y) , Azt meghatározásának területe a sík összes olyan pontjának halmaza x0y, amelyre a kifejezés f(x, y) értelmes és elfogadja valódi értékeket. A több változóból álló függvény tartományának általános szabályai ebből származnak általános szabályokat Mert egy változó függvényének definíciós tartománya. A különbség az, hogy két változó függvénye esetén a definíciós tartomány egy bizonyos ponthalmaz a síkon, és nem egy egyenes, mint egy változó függvénye. Három változóból álló függvény esetén a definíciós tartomány a megfelelő ponthalmaz háromdimenziós tér, és a funkcióhoz n változók - az absztrakt megfelelő pontkészlete n-dimenziós tér.

Két gyökérrel rendelkező változó függvényének tartománya n fokozat

Abban az esetben, ha két változó függvényét az és a képlet adjuk meg n - természetes szám :

Ha n - páros szám, akkor a függvény definíciós tartománya a sík minden értéknek megfelelő ponthalmaza radikális kifejezés, amelyek nagyobbak vagy egyenlőek nullával, azaz

Ha n páratlan szám, akkor a függvény definíciós tartománya bármely érték halmaza, azaz a teljes sík x0y .

Két, egész kitevővel rendelkező változó hatványfüggvényének tartománya

:

Ha a- pozitív, akkor a függvény definíciós tartománya a teljes sík x0y ;

Ha a- negatív, akkor a függvény definíciós tartománya a nullától eltérő értékkészlet: .

Két, tört kitevővel rendelkező változó hatványfüggvényének tartománya

Abban az esetben, ha a függvényt a képlet adja meg :

ha pozitív, akkor a függvény definíciós tartománya azon pontok halmaza a síkban, amelyekben nullánál nagyobb vagy azzal egyenlő értékeket vesz fel: ;

ha - negatív, akkor a függvény definíciós tartománya a sík azon pontjainak halmaza, ahol értékeket vesz fel, nagy nullák: .

Két változó logaritmikus függvényének definíciós tartománya

Két változó logaritmikus függvénye definiálva van, feltéve, hogy argumentuma pozitív, azaz definíciójának tartománya a sík azon pontjainak halmaza, amelyeken nullánál nagyobb értékeket vesz fel: .

Két változó trigonometrikus függvényeinek definíciós tartománya

Funkció Domain - az egész gépet x0y .

Funkció Domain - az egész gépet x0y .

A függvény definíciós tartománya a teljes sík x0y

Funkció Domain - az egész gépet x0y, kivéve azokat a számpárokat, amelyek értéket vesznek fel.

Két változó inverz trigonometrikus függvényeinek definíciós tartománya

Funkció Domain .

Funkció Domain - azon pontok halmaza a síkon, amelyekre .

Funkció Domain - az egész gépet x0y .

Funkció Domain - az egész gépet x0y .

A tört definíciós tartománya két változó függvényében

Ha egy függvényt a képlet ad meg, akkor a függvény definíciós tartománya annak a síknak az összes pontja, amelyben .

Két változó lineáris függvényének tartománya

Ha a függvényt az alak képlete adja meg z = fejsze + által + c , akkor a függvény definíciós tartománya a teljes sík x0y .

1. példa

Megoldás. A definíciós tartományra vonatkozó szabályok szerint kettős egyenlőtlenséget alkotunk

A teljes egyenlőtlenséget megszorozzuk és megkapjuk

Az eredményül kapott kifejezés a két változóból álló függvény definíciós tartományát adja meg.

2. példa Keresse meg egy két változóból álló függvény tartományát.

A statisztikai eltérések fő általánosító mutatói az eltérések és az átlagok. szórás.

Diszperzió ezt számtani átlag az egyes jellemző értékek négyzetes eltérései az összátlagtól. A szórást általában az eltérések átlagos négyzetének nevezik, és  2-vel jelöljük. A szórást a forrásadatoktól függően az egyszerű vagy súlyozott számtani átlag segítségével lehet kiszámítani:

 súlyozatlan (egyszerű) variancia;

 szórással súlyozott.

Szórás ez az abszolút méretek általánosító jellemzője variációk jelek összesítve. Ugyanazokban a mértékegységekben van kifejezve, mint az attribútum (méterben, tonnában, százalékban, hektárban stb.).

A szórás a variancia négyzetgyöke, és -val jelöljük:

 súlyozatlan szórás;

 súlyozott szórás.

A szórás az átlag megbízhatóságának mértéke. Minél kisebb a szórás, annál jobban tükrözi a számtani átlag a teljes reprezentált sokaságot.

A szórás számítását a szórás számítása előzi meg.

A súlyozott variancia kiszámításának eljárása a következő:

1) határozza meg a súlyozott számtani átlagot:

2) számítsa ki az opciók átlagtól való eltérését:

3) négyzetesítse az egyes opciók átlagtól való eltérését:

4) szorozd meg az eltérések négyzetét a súlyokkal (gyakoriságokkal):

5) foglalja össze az eredményül kapott termékeket:

6) a kapott összeget elosztjuk a súlyok összegével:

2.1. példa

Számítsuk ki a súlyozott számtani átlagot:

Az átlagtól való eltérések értékeit és azok négyzeteit a táblázat tartalmazza. Határozzuk meg az eltérést:

A szórása egyenlő lesz:

Ha a forrásadatokat intervallum formájában mutatjuk be terjesztési sorozat , akkor először meg kell határoznia az attribútum diszkrét értékét, majd alkalmaznia kell a leírt módszert.

Példa 2.2

Mutassuk meg egy intervallumsorozat varianciaszámítását a kolhoz vetésterületének búzatermés szerinti megoszlására vonatkozó adatok felhasználásával.

A számtani átlag a következő:

Számítsuk ki a szórást:

6.3. Varianciaszámítás egyedi adatokon alapuló képlet segítségével

Számítástechnika eltérések bonyolult, de nagy értékek az opciók és a frekvenciák elsöprőek lehetnek. A számítások leegyszerűsíthetők a diszperzió tulajdonságaival.

A diszperzió a következő tulajdonságokkal rendelkezik.

1. Egy változó jellemző súlyának (frekvenciájának) meghatározott számú csökkentése vagy növelése nem változtatja meg a diszperziót.

2. Csökkentse vagy növelje a jellemző minden értékét azonos állandó értékkel A nem változtatja meg a diszperziót.

3. Csökkentse vagy növelje egy jellemző értékét meghatározott számú alkalommal k rendre csökkenti vagy növeli a szórást k 2 alkalommal és szórás  be k egyszer.

4. Egy karakterisztika tetszőleges értékhez viszonyított szórása mindig nagyobb, mint az átlagos és tetszőleges értékek közötti különbség négyzetenkénti számtani átlagához viszonyított szórása:

Ha A 0, akkor a következő egyenlőséghez jutunk:

azaz a karakterisztika szórása megegyezik a jellemző értékek átlagnégyzete és az átlag négyzete közötti különbséggel.

Mindegyik tulajdonság önállóan vagy másokkal kombinálva is használható a variancia számításakor.

A variancia kiszámításának folyamata egyszerű:

1) határozza meg számtani átlag :

2) négyzetre emelje a számtani átlagot:

3) négyzetre emelje a sorozat egyes változatainak eltérését:

X én 2 .

4) keresse meg az opciók négyzetösszegét:

5) osszuk el az opciók négyzeteinek összegét a számukkal, azaz határozzuk meg az átlagos négyzetet:

6) határozza meg a különbséget a jellemző négyzete és az átlag négyzete között:

Példa 3.1 A következő adatok állnak rendelkezésre a dolgozók termelékenységéről:

Végezzük el a következő számításokat:

Ha a sokaságot a vizsgált jellemző szerint csoportokra osztjuk, akkor erre a sokaságra számítható a következő típusok szórások: összesen, csoport (csoporton belüli), csoport átlaga (csoporton belüli átlag), csoportközi.

Kezdetben a determinációs együtthatót számolja ki, amely megmutatja, hogy a vizsgált tulajdonság teljes variációjának mekkora része a csoportok közötti variáció, azaz. a csoportosítási jellemzők miatt:

Az empirikus korrelációs kapcsolat a csoportosítás (faktoriális) és a teljesítményjellemzők közötti kapcsolat szorosságát jellemzi.

Az empirikus korrelációs arány 0 és 1 közötti értékeket vehet fel.

A kapcsolat szorosságának az empirikus korrelációs arány alapján történő értékeléséhez használhatja a Chaddock-relációkat:

4. példa A tervezési és felmérési szervezetek által végzett munkavégzésről az alábbi adatok állnak rendelkezésre különböző formák ingatlan:

Határozza meg:

1) teljes variancia;

2) csoportvarianciák;

3) a csoportvarianciák átlaga;

4) csoportok közötti variancia;

5) teljes variancia az eltérések összeadási szabálya alapján;

6) determinációs együttható és empirikus korrelációs arány.

vonjon le következtetéseket.

Megoldás:

1. Határozzuk meg a két tulajdonosi forma vállalkozásai által végzett átlagos munkamennyiséget:

Számítsuk ki a teljes szórást:

2. Határozza meg a csoportátlagokat:

millió rubel;

millió rubel

Csoport eltérések:

;

3. Számítsa ki a csoportvarianciák átlagát:

4. Határozzuk meg a csoportok közötti varianciát:

5. Számítsa ki a teljes szórást az eltérések összeadási szabálya alapján:

6. Határozzuk meg a determinációs együtthatót:

.

Így a tervező és felmérő szervezetek által végzett munka mennyisége 22%-ban függ a vállalkozások tulajdonformájától.

Az empirikus korrelációs hányadost a képlet segítségével számítjuk ki

.

A számított mutató értéke azt jelzi, hogy a munka mennyiségének a vállalkozás tulajdoni formától való függősége kicsi.

5. példa A vizsgálat eredményeként technológiai fegyelem a gyártóhelyek a következő adatokat kapták:

Határozza meg a determinációs együtthatót!

Ez az oldal leírja szabványos példa megtalálja a szórást, más problémákat is megvizsgálhat annak megtalálásához

1. példa: Csoport, csoportátlag, csoportközi és teljes variancia meghatározása

2. példa A variancia és a variációs együttható megkeresése egy csoportosítási táblázatban

Példa 3. A variancia meghatározása in diszkrét sorozat

4. példa A következő adatok állnak rendelkezésre egy 20 fős diákcsoportra vonatkozóan levelező osztály. Építeni kell intervallum sorozat egy jellemző eloszlását, számítsa ki a jellemző átlagos értékét és tanulmányozza szórását

Építsünk intervallum-csoportosítást. Határozzuk meg az intervallum tartományát a képlet segítségével:

ahol X max- maximális érték csoportosítási funkció;
X min – a csoportosítási jellemző minimális értéke;
n – intervallumok száma:

Elfogadjuk, hogy n=5. A lépés a következő: h = (192 - 159)/ 5 = 6,6

Hozzunk létre egy intervallum csoportosítást

A további számításokhoz elkészítjük segédasztal:

X"i – az intervallum közepe. (például az intervallum közepe 159 – 165,6 = 162,3)

Átlagos érték A tanulók magasságát a súlyozott számtani átlag képlettel határozzuk meg:

Határozzuk meg az eltérést a képlet segítségével:

A képlet a következőképpen alakítható át:

Ebből a képletből az következik variancia egyenlő az opciók négyzeteinek átlaga és a négyzet és az átlag közötti különbség.

Diszperzió a variációs sorozatokban egyenlő intervallumokkal a momentumok módszerével a következő módon számítható ki a diszperzió második tulajdonságával (az összes lehetőséget elosztva az intervallum értékével). Variancia meghatározása, a momentumok módszerével számítva, a következő képlettel kevésbé munkaigényes:

ahol i az intervallum értéke;
A egy hagyományos nulla, amelyhez kényelmes az intervallum közepét használni a legmagasabb frekvenciával;
m1 az elsőrendű nyomaték négyzete;
m2 - másodrendű pillanat

Diszperzió alternatív jel (ha egy statisztikai sokaságban egy jellemző úgy változik, hogy csak két, egymást kizáró lehetőség van, akkor ezt a variabilitást alternatívnak nevezzük) a következő képlettel számítható:

Behelyettesítés ezt a képletet variancia q =1- p, kapjuk:

A variancia típusai

Teljes variancia egy jellemző változását méri a teljes populáció egészében, minden olyan tényező hatására, amely ezt a változást okozza. Ez egyenlő az eltérések középnégyzetével egyéni értékek jellemző x az x általános átlagából, és egyszerű varianciaként vagy súlyozott varianciaként definiálható.

Csoporton belüli variancia véletlenszerű variációt jellemzi, azaz. a változás egy része, amely a fel nem számolt tényezők hatásából adódik, és nem függ a csoport alapját képező faktor-attribútumtól. Ez a diszperzió megegyezik az X csoporton belüli attribútum egyedi értékeinek a csoport számtani átlagától való eltérésének átlagos négyzetével, és kiszámítható egyszerű diszperzióként vagy súlyozott diszperzióként.

Így, csoporton belüli varianciamérők egy tulajdonság változása egy csoporton belül, és a következő képlet határozza meg:

ahol xi a csoport átlaga;
ni a csoportban lévő egységek száma.

Például a csoporton belüli eltérések, amelyeket meg kell határozni a dolgozók képzettségének a munkatermelékenység szintjére gyakorolt ​​hatásának tanulmányozása során egy műhelyben, az egyes csoportokban a kibocsátás változásait mutatják, amelyeket minden lehetséges tényező okoz (a berendezések műszaki állapota, szerszámok és anyagok, a dolgozók életkora, munkaintenzitása, stb.), kivéve a képzettségi kategória eltéréseit (egy csoporton belül minden dolgozó azonos képzettséggel rendelkezik).