A szolgáltatás célja. A szolgáltatás használata ben online mód kiszámítja a matematikai elvárást, a szórást és az átlagot szórás (lásd a példát). Ezenkívül az F(X) eloszlásfüggvény grafikonját ábrázoljuk.

• Online megoldás
• Videós utasítás

Egy valószínűségi változó matematikai elvárásának tulajdonságai

1. Várható érték állandó értékönmagával egyenlő: M[C]=C, C állandó;
2. M=C M[X]
3. Az összeg matematikai elvárása Véletlen változók egyenlő a matematikai elvárásaik összegével: M=M[X]+M[Y]
4. A független valószínűségi változók szorzatának matematikai elvárása megegyezik a matematikai várakozásaik szorzatával: M=M[X] M[Y] , ha X és Y függetlenek.

Diszperziós tulajdonságok

1. Egy állandó érték varianciája nulla: D(c)=0.
2. A diszperziós előjel alól a konstans tényezőt négyzetre emelve vehetjük ki: D(k*X)= k 2 D(X).
3. Ha az X és Y valószínűségi változók függetlenek, akkor az összeg szórása egyenlő a szórások összegével: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. Ha az X és Y valószínűségi változók függőek: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. A diszperzióra a következő számítási képlet érvényes:
   D(X)=M(X2)-(M(X)) 2

Példa. Két független X és Y valószínűségi változó matematikai elvárása és szórása ismert: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Határozza meg a Z=9X-8Y+7 valószínűségi változó matematikai elvárását és szórását!
Megoldás. Tulajdonságok alapján matematikai elvárás: M(Z)=M(9X-8Y+7)=9*M(X)-8*M(Y)+M(7)=9*8-8*7+7=23.
A diszperzió tulajdonságai alapján: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 – 64*6 = 345

Folyamatos valószínűségi változók. Valószínűségi változók rendszerei. Két véletlenszerű argumentum függvénye. Konvolúciós képlet. A normál eloszlás stabilitása, 3. oldal

Legyen adott egy X véletlenszerű argumentum függvénye. Meg kell találni ennek a függvénynek a matematikai elvárását, ismerve az argumentum eloszlási törvényét.

1. Legyen az X argumentum diszkrét valószínűségi változó eloszlássorozattal

.

3. példa Az X diszkrét valószínűségi változót az eloszlás adja

Határozza meg egy függvény matematikai elvárását! .

Lehetséges Y értékek:

; ; .

2. Legyen az X argumentum egy folytonos valószínűségi változó, amelyet a p(x) eloszlássűrűség határoz meg. Egy függvény matematikai elvárásainak meghatározásához először keresse meg az Y érték g(y) eloszlássűrűségét, majd használja a képletet: .

Ha lehetséges értékek , Azt .

4. példa Az X valószínűségi változót a sűrűség adja intervallumban (0, π/2); ezen az intervallumon kívül p(x)=0. Határozza meg egy függvény matematikai elvárását! .

, , , ; Ennélfogva,

17. § Kettő funkciója véletlenszerű érvek.

Konvolúciós képlet. Fenntarthatóság normális eloszlás.

o Ha az X és Y valószínűségi változók minden lehetséges értékpárja megfelel a Z valószínűségi változó egy lehetséges értékének, akkor Z ún. két véletlenszerű argumentum függvénye X és Y:

.

További példák bemutatják, hogyan lehet megtalálni a függvény eloszlását ismert kifejezéseloszlások szerint. Ez a probléma gyakran előfordul a gyakorlatban. Például, ha X az olvasási hiba mérőeszköz(egyenletesen elosztva), akkor felmerül a feladat - megtalálni a hibák összegének eloszlási törvényét .

1. eset. Legyen X és Y- diszkrét független valószínűségi változók. A Z=X+Y függvény eloszlási törvényének elkészítéséhez meg kell találni Z összes lehetséges értékét és azok valószínűségét. Más szavakkal, a Z valószínűségi változó eloszlási sorozata összeáll.

1. példa Diszkrét független valószínűségi változók X és Y, eloszlások által meghatározott

3. VÉLETLENSZERŰ VÁLTOZÓK. A VÉLETLENSZERŰ VÁLTOZÓ FOGALMA

Véletlen változó Olyan mennyiséget nevezünk, amely az azonos körülmények között végzett vizsgálatok eredményeként általánosságban elmondható, hogy a véletlenszerű tényezőktől függően eltérő értékeket vesz fel. Példák valószínűségi változókra: a perre húzott pontok száma dobókocka, a hibás termékek száma egy tételben, a lövedék becsapódási pontjának a céltól való eltérése, az eszköz hibamentes működésének ideje stb. Vannak diszkrét és folyamatos valószínűségi változók. Diszkrét Valószínűségi változót nevezünk, amelynek lehetséges értékei kialakulnak megszámlálható készlet, véges vagy végtelen (vagyis olyan halmaz, amelynek elemei számozhatók).

Folyamatos Valószínűségi változót nevezünk, amelynek lehetséges értékei folyamatosan kitöltik a számegyenes valamely véges vagy végtelen intervallumát. Egy folytonos valószínűségi változó értékeinek száma mindig végtelen.

Valószínűségi változókat fogunk jelölni nagybetűvel vége Latin ábécé: x, Y, . ; valószínűségi változók értékei – kisbetűk: X, y,. . És így, x Egy valószínűségi változó lehetséges értékeinek teljes halmazát jelöli, és X - Néhány konkrét jelentése.

Az elosztás törvénye A diszkrét valószínűségi változó egy valószínűségi változó lehetséges értékei és azok valószínűségei között bármilyen formában meghatározott megfelelés.

Legyen a valószínűségi változó lehetséges értékei x Vannak . A teszt eredményeként a valószínűségi változó ezen értékek valamelyikét veszi fel, pl. A páronként összeférhetetlen események teljes csoportjából egy esemény fog bekövetkezni.

Legyen ismert ezeknek az eseményeknek a valószínűsége is:

Valószínűségi változó eloszlási törvénye xún. táblázat formájában írható Közel elosztás Diszkrét valószínűségi változó:

Adott két független x és y valószínűségi változó eloszlásának törvénye

q p

q
p

Ez geometriai törvény disztribúciók.

(konvergens sorozatot kapunk, hiszen
).

4. feladat. A buliban től 10 Három nem szabványos alkatrész van. Két részt véletlenszerűen választottak ki. Írja le a törvényt a nem szabványos alkatrészek számának a két kiválasztott között való megoszlására! Számítsa ki ennek a valószínűségi változónak a matematikai elvárását!

Megoldás. Véletlenszerű érték x– a nem szabványos alkatrészek száma a két kiválasztott között a következő lehetséges értékekkel rendelkezik:


Keressük a valószínűségeiket

Állítsuk össze egy valószínűségi változó szükséges eloszlási törvényét

A matematikai elvárás megtalálása

.

5. feladat. Az X értékének valószínű előrejelzése - a részvények értékének százalékos változása a jelenlegi árfolyamhoz viszonyítva hat hónap alatt - felosztási törvény formájában adjuk meg:

Határozza meg annak valószínűségét, hogy a részvények vásárlása jövedelmezőbb lesz, mint a pénzt bankbetétbe helyezni, évi 36%-kal.

Megoldás. A bankbetét összegének havi 3%-os növekedése 6 hónap után lesz. Annak valószínűségét, hogy a részvényvásárlás jövedelmezőbb, mint a bankbetét, a nagyobb növekedésnek megfelelő valószínűségek összege határozza meg. részvényárfolyam:

6. probléma. Legyen az autók szervizelésének és reklámozásának napi költségei egy bizonyos autókereskedésben átlagosan 100 ezer rubel, és az eladások száma x Az autók napközben betartják a következő forgalmazási törvényt:

a) Határozza meg a napi profit matematikai elvárását 150 ezer rubel autóár mellett b) Az autók számának napi eladásának szórását!

Megoldás. a)A napi nyereség kiszámítása a képlet segítségével történik

P = (150 x– 100) ezer rubel

Kötelező jellemző M(P) a matematikai elvárás fenti tulajdonságaival található (ezer rubelben):

b) Valószínűségi változó eloszlásának törvénye x 2 így néz ki:

M(x 2) = 0 ∙ 0,25 + 1 ∙ 0,2 + 9 ∙ 0,1 + 16 ∙ 0,1 + 25 ∙ 0,1 + 36 ∙ ∙0,05 + 49 ∙ 0,05 + 64 ∙ 0,025 + 81 ∙ 0,025 = 13,475.

Várható érték M(x) = 2,675. Ennek eredményeként megkapjuk a kívánt diszperziós értéket:

7. probléma. Véletlenszerű érték x a teljes tengelyen az eloszlásfüggvény határozza meg
. Keresse meg a valószínűségi sűrűségfüggvényt és annak a valószínűségét x az intervallumban lévő értéket veszi fel ( 0,1 ).

Megoldás. A-priory

Célszerű a probléma megoldását a 4. ábrán kísérni.

Z probléma 8. Egy valószínűségi változó eloszlásfüggvényének alakja az 5. ábrán látható.

Keresse meg: a) valószínűségi sűrűségfüggvényt; b) nézzük a grafikont F(x), jelölje meg egy valószínűségi változó főbb jellemzőit, például a lehetséges értékek tartományát, a legvalószínűbb értékeket stb.; V) M(x), D(x) ; G) P(x 2 ) . Ekkor annak a valószínűsége, hogy a rész jó, egyenlő

Egy alkatrész gyártását önálló tapasztalatnak tekintjük, a „siker” valószínűséggel p=0,31 . Ezután az összefüggésből meghatározzuk a szükséges alkatrészszámot

1. feladat. A lottó tartalma: egy 5000 den értékű autó. egységek, 4 TV 250 den-ért. egységek, 5 db 200 den értékű videórögzítő. egységek 7 napra összesen 1000 jegy kel el. egységek Készítsen felosztási törvényt az egy szelvényt vásárló lottórésztvevő nettó nyereményére.

Megoldás. Az X valószínűségi változó lehetséges értékei - a jegyenkénti nettó nyeremény - 0 - 7 = -7 pénz. egységek (ha nem nyert a jegy), 200 – 7 = 193, 250 – 7 = 243, 5000 – 7 = 4993 den. egységek (ha a jegyen videomagnó, tévé vagy autó nyereménye szerepel). Tekintettel arra, hogy 1000 jegyből a nem nyertesek száma 990, a feltüntetett nyeremények pedig rendre 5, 4 és 1, és a klasszikus meghatározás valószínűséggel kapjuk:

azok. terjesztési sorozat

2. feladat. Annak a valószínűsége, hogy egy hallgató sikeres félévi vizsgát tesz tudományágonként AÉs B, 0,7, illetve 0,9. Készítsen felosztási törvényt a hallgató által letenni kívánt félévi vizsgák számáról.

Megoldás. Egy valószínűségi változó lehetséges értékei x— letett vizsgák száma – 0, 1, 2.

Hadd A én– olyan esemény, amely abból áll, hogy a hallgató sikeres lesz én vizsga ( én=1,2). Ekkor egyenlő lesz annak a valószínűsége, hogy a hallgató sikeres 0, 1, 2 vizsgát tesz a foglalkozáson (az eseményeket számoljuk A 1 és A 2 független):

Tehát egy valószínűségi változó eloszlási sorozata

3. feladat. Kiszámítja M(X) valószínűségi változóhoz x— nettó nyereség az 1. feladat szerint.

azok. átlagos nyeremény egyenlő nullával. Az eredmény azt jelenti, hogy a jegyeladásokból származó teljes bevétel a nyereményekre fordítódik.

4. feladat. A valószínűségi változók eloszlásának törvényei ismertek xÉs Y– az 1. és 2. lövő által szerzett pontok száma.

Ki kell deríteni, hogy a két lövő közül melyik lő jobban.

Figyelembe véve a valószínűségi változók eloszlási sorozatát xÉs Y, erre a kérdésre a válasz a bőség miatt korántsem egyszerű számértékek, Ráadásul az első lövésznek elég nagy valószínűséggel(például több mint 0,1) van szélsőséges értékek szerzett pontok száma ( x= 0; 1 és x= 9; 10), és a második lövész köztes értékekkel rendelkezik ( Y = 4; 5; 6).

Nyilvánvaló, hogy két lövő közül az lő átlagosan, aki jobban lő. nagy mennyiség pontokat.

vagyis két lövő által szerzett átlagos pontszám azonos.

5. feladat. A 4. feladatban számítsa ki az egyes lövőknél szerzett pontok számának szórását és szórását!

Tehát, ha a szerzett pontok átlagértékei egyenlőek ( M(x)=M(Y)) szórása, i.e. szórási karakterisztikája az átlagértékhez viszonyítva, kevesebb a második lövőnél ( D(x)

Gondoskodunk róla

Figyelembe véve, hogy egy valószínűségi változó eloszlásának törvénye x binomiális nekünk van

7. feladat. Egy diszkrét valószínűségi változó eloszlássorozata két ismeretlen értékből áll. Annak a valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó felveszi az egyik értéket, 0,8. Határozzuk meg egy valószínűségi változó eloszlásfüggvényét, ha a matematikai elvárása 3,2, a varianciája pedig 0,16.

Megoldás. A terjesztési sorozatnak megvan a formája

vagy

A kapott rendszert megoldva két megoldást találunk:

És

Felírjuk az eloszlási függvény kifejezését:

vagy

8. feladat. Adott egy valószínűségi változó eloszlásfüggvénye x:

a) Határozza meg a valószínűségi sűrűséget! f(x); b) grafikonok felépítése f(x) És F(x); c) győződjön meg arról x– folytonos valószínűségi változó; d) keresse meg a valószínűségeket P(x=1), P(x

10. probléma. A bank hiteleket adott ki n különböző hitelfelvevőknek az összegben S R. mindegyik kölcsön kamata r. Határozza meg a) a bank nyereségének matematikai elvárását és szóródását, valamint a kamatláb feltételét, ha a hitel felvevő általi visszafizetésének valószínűsége egyenlő p; b) a profit matematikai elvárása és szórása at n =1000, p =0,8, S= 100 ezer rubel És r = 30%.

Megoldás. a) Mivel a hitelfelvevők nem állnak kapcsolatban egymással, feltételezhetjük, hogy van n független tesztek. Annak a valószínűsége, hogy a bank hitelt veszít, minden próba során q = = 1 – p. Hadd x– a hitelt kamatostul törlesztők száma, majd a bank nyereségét a képlet határozza meg

Ahol x egy valószínűségi változó binomiális törvény disztribúciók.

Mivel a kölcsön kibocsátásának csak pozitív matematikai profitvárakozás esetén van értelme (pozitív átlagos érték profit), akkor a feltételtől M( P) > 0, a kamatláb feltétele a következő:

b) A hitelkamat teljesíti azt a feltételt, hogy a matematikai profitvárakozás pozitív: 30 >100(1 – 0,8)/0,8. A profit matematikai elvárása:

100 ∙ 1000 (30 ∙ 0,8/100 – 0,2) = 4 millió rubel.

A nyereség szórása:

1. probléma. Egy 25 darab bőrdzseki tételben 5-nek rejtett hibája van. Vásároljon 3 kabátot. Keresse meg a hibás kabátok számának megoszlási törvényét a vásárolt kabátok között! Készítsen eloszlási sokszöget.

2. feladat. Annak a valószínűsége, hogy a mérlegkészítés során hiba történt, 0,3. A könyvvizsgáló a vállalkozás 3 mérlegét ismertette a következtetéshez. Készítsen törvényt az ellenőrzött egyenlegekre vonatkozó pozitív következtetések számának megoszlására.

3. feladat. Két vevő egymástól függetlenül egy-egy vásárlást hajt végre. Annak a valószínűsége, hogy az első vásárló vásárol, 0,8, a második vevő pedig 0,6. Véletlenszerű érték x– a vásárlók által végrehajtott vásárlások száma. Ismertesse a valószínűségi változó eloszlási törvényét! x.

4. feladat. Két konzervgyár 2:3 arányban szállít termékeket az üzletbe. Termék részesedés legmagasabb minőség az első üzemben 90%, a másodiknál ​​pedig 80%. Az üzletben 3 doboz konzervet vásároltak. Keresse meg a legjobb minőségű termékekkel rendelkező dobozok számának matematikai elvárását és szórását.

5. feladat. Egy folytonos valószínűségi változó valószínűségi sűrűsége x a függvény által meghatározott intervallumban (–π/2; π/2).
Ezen az intervallumon kívül
Paraméter keresése VAL VELés meghatározzuk egy valószínűségi változó eltalálásának valószínűségét x intervallumba (0; π/4).

6. feladat. Véletlenszerű érték x a valószínűségi sűrűség adja meg
at – ∞

4)M(x) = 2,519, σ( x) ≈ 0,64; 5)C = 1/2; 6)
7)M x= =1 óra, D x= 1/3 óra 2; 8)σ x = 48,8 g.

SZMOLENSZKI ÁLLAMI EGYETEM

A VALÓSZÍNŰSÉG-ELMÉLET SZERINT

A valószínűségszámítás határtételei.

Bármely valószínűségi változóra, amelynek matematikai elvárása és szórása van, a Csebisev-egyenlőtlenség érvényes:

P(| x— a|> ε )≤
(1)

P(| x— a|≤ ε )≥ 1-

Csebisev tétele : Ha az eltérés n független valószínűségi változók x 1 , x 2 . x n ugyanarra az állandóra korlátozódnak, akkor a szám korlátlan növekedésével n egy valószínűségi változó számtani átlaga valószínűségben konvergál matematikai várakozásaik számtani átlagához, azaz.

Következmény: Ha független valószínűségi változók x 1 , x 2 . x n ugyanazok a matematikai elvárások, egyenlők a, és varianciáikat ugyanaz a konstans korlátozza, akkor Csebisev egyenlőtlensége és Csebisev tétele a következő alakot ölti:

Bernoulli tétele : Az események relatív gyakorisága n ismételt független kísérletek, amelyek mindegyikében azonos valószínűséggel fordulhat elő p, számának korlátlan növelésével n valószínűségben konvergál a valószínűséghez p ezt az eseményt külön tesztben:

Központi határérték tétel egyenlőre elosztott mennyiségeket : Ha x 1 , x 2 . x n– független valószínűségi változók, amelyek azonos matematikai elvárásokkal rendelkeznek M[ x én ] =a, szórás D[ x én ]= a 2 és harmadrendű abszolút központi momentumok M(| x én — a én | 3 )= m én , (
) , akkor az összeg elosztásának törvénye Y n = x 1 + x 2 +. + x n nál nél
végtelenül megközelíti a normálisat. Különösen, ha minden valószínűségi változó x én azonos eloszlásúak, akkor összegük végtelenségig való eloszlásának törvénye közeledik normális törvény nál nél
.

Moivre-Laplace lokális tétele : Ha a valószínűség p esemény bekövetkezése A minden próbában állandó és különbözik 0-tól és 1-től, akkor a valószínűség P m , n hogy az esemény A meg fog történni m minden alkalommal n független tesztek kellően nagy számmal n, megközelítőleg egyenlő

,

.

Moivre-Laplace integrál tétel : Ha a valószínűség p esemény bekövetkezése A minden kísérletben állandó, és különbözik 0-tól és 1-től, akkor annak a valószínűsége, hogy a szám m esemény bekövetkezése A V n től kezdve független tesztek következtek a előtt b(beleértve), kellően nagy számmal n megközelítőleg egyenlő

–

Laplace-függvény (vagy valószínűségi integrál);

,
.

Az óra célja : 1. A központi használat feltételeinek elsajátítása határtétel.

2. A normális eloszlási törvényhez kapcsolódó valószínűségszámítási ismeretek erősítése.

3. Tanítsa meg a tanulókat a nagy számok törvényének megnyilvánulásának felismerésére.

A témával kapcsolatos leckéhez a következő kérdésekre kell választ adni:

Mi a nagy számok törvényének lényege?

Mi a Csebisev-egyenlőtlenség gyakorlati és elméleti jelentősége?

Melyik gyakorlati jelentősége van Csebisev tétele?

Magyarázza meg Bernoulli tételével a relatív frekvenciák stabilitásának tulajdonságát!

Mi a lényege a valószínűségszámítás központi határérték-tételének?

1. feladat. Egy állattartó telepen az átlagos vízfogyasztás napi 1000 liter, ennek a valószínűségi változónak a szórása nem haladja meg a 200 litert. Becsülje meg annak valószínűségét, hogy a gazdaság vízhozama egyik kiválasztott napon sem haladja meg a 2000 L-t a Csebisev-egyenlőtlenség segítségével.

Megoldás. Diszperzió D(x)=σ 2 ≤200 2 . Mivel a 0≤X≤2000 intervallum határai szimmetrikusak a matematikai elvárásra M(X)=1000, akkor a kívánt esemény valószínűségének becsléséhez alkalmazhatjuk Csebisev egyenlőtlenségét.

,

azok. nem kevesebb, mint 0,96.

2. feladat. A statisztikák szerint átlagosan az újszülöttek 87%-a él 50 éves kort. Csebisev-egyenlőtlenség segítségével becsülje meg annak valószínűségét, hogy 1000 újszülött közül az 50 évig túlélők aránya legfeljebb 0,04-el tér el ennek az eseménynek a valószínűségétől (a abszolút érték).

,

azok. nem kevesebb, mint 0,929.

3. feladat. Meghatározására átlagos időtartama elektromos lámpák égetése 200 egyforma dobozból álló tételben, minden dobozból egy-egy lámpát vettek mintát. Becsülje meg annak valószínűségét, hogy a kiválasztott 200 elektromos lámpa átlagos égési ideje legfeljebb 5 órával tér el a teljes tételben lévő lámpák átlagos égési idejétől (abszolút értékben), ha ismert, hogy az égés szórása az egyes dobozokban lévő lámpák működési ideje kevesebb, mint 7 óra.

A kívánt esemény valószínűségének meghatározása

,

azok. nem kevesebb, mint 0,9902.

4. feladat. Hány mérést kell elvégezni egy adott mennyiségen, hogy legalább 0,95-ös valószínűséggel garantálható legyen, hogy ezeknek a méréseknek a számtani átlaga legfeljebb 1-gyel térjen el a mennyiség valódi értékétől (abszolút értékben), ha az egyes mérések szórása nem haladja meg az 5-öt?

Meg kell találni n, ahol

.

Alkalmazzuk Csebisev egyenlőtlenségét:

, ahol

és at
, azaz legalább 500 mérésre lesz szükség.

5. feladat. A metró vonatok időközönként közlekednek 2 percek. Minden utas, a többiektől függetlenül, egy véletlenszerű pillanatban érkezik a peronra. Felszálltam erre a vonatra 75 utasok. Mennyi annak a valószínűsége, hogy teljes várakozási idejük egy és két és fél óra között lesz?

Megoldás. Jelöljük a várakozási időt én th utas keresztül x én. Természetes azt feltételezni, hogy az utas a vonatok között bármikor megérkezhet. Formálisan ez azt jelenti x én egységes eloszlási törvénye van valószínűségi sűrűségfüggvénnyel

f(x) =

Akkor
És

Teljes várakozási idő Y=∑ x én az összeget jelenti több független azonos eloszlású valószínűségi változók korlátos varianciával. A centrális határértéktétel alapján kijelenthető, hogy Y normálishoz közeli eloszlási törvénye van. A normál eloszlás törvényét a matematikai elvárás és a diszperzió határozza meg. Számoljuk meg őket.

N(75,25) . A probléma számítást igényel

6. feladat. A lövő nagy valószínűséggel eléri a legjobb tízet 0,4 , kilencre - valószínűséggel 0,3 , nyolcra - valószínűséggel 0,2 , hétben - valószínűséggel 0,1 . Mennyi a valószínűsége, hogy mikor 25 lövések dördültek a lövöldözőből 250 pontokat fog kiütni 220 előtt 240 szemüveg?

Megoldás. Hagyja a én-th lövés a lövő tárcsákat x én pontokat. Mennyiségek x én függetlenek és azonos eloszlásúak

Pontok összege Y= lévén az összeg nagyszámú független azonos eloszlású tagok korlátozott szórással, normálishoz közeli eloszlási törvénye van, melynek paraméterei

N(225,25) És P(220 2 ). Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy mérésnél a hiba nem haladja meg 1 MK? A mérési pontosság javítása érdekében megtettük 25 méréseknél a megfigyelt értékek számtani átlagát veszik mért értéknek. Ebben az esetben mekkora a valószínűsége annak, hogy a hiba nem haladja meg 1 MK? (Utasítás: használja a normál eloszlási törvény stabilitásának tényét.) Határozza meg az utolsó valószínűséget, ha a mérési hiba eloszlási törvénye ismeretlen, és csak a szórása ismert, egyenlő 4 mk 2.

Megoldás. Hadd x- mérési hiba. Akkor

Ha a mérési hiba eloszlási törvénye ismeretlen, akkor Csebisev egyenlőtlenségéből:

P(|  0 | 1 , akkor mindkét Moivre–Laplace-tétel érvényes.

a) Moivre–Laplace lokális tétele alapján

b) X véletlenszerű változó jelentése van relatív gyakoriság siker benne n kísérletek és D

Mivel Pearson kísérletében a siker relatív gyakoriságának eltérése a siker valószínűségétől egy kísérletben egyenlő volt
akkor a Moivre–Laplace integráltétel szerint

1. feladat. Egy adott régió munkaképes lakosságának átlagosan 10%-a munkanélküli. Csebisev egyenlőtlenségét felhasználva becsülje meg annak valószínűségét, hogy a megkérdezett 10 000 munkaképes városi lakos munkanélküliségi rátája 9 és 11% között lesz (beleértve).

2. feladat. Egy biztosító tapasztalata azt mutatja, hogy megközelítőleg minden ötödik szerződésben történik biztosítási esemény. Becslés Csebisev-egyenlőtlenséggel szükséges mennyiség szerződések, amelyeket úgy kell megkötni, hogy 0,9-es valószínűséggel kijelenthető, hogy a biztosítási események aránya legfeljebb 0,01-el tér el a 0,1-től (abszolút értékben).

3. feladat. A bankok jegyzett tőkéjének vizsgálatakor kiderült, hogy a bankok ötödének jegyzett tőkéje meghaladja a 100 millió rubelt. Határozza meg annak valószínűségét, hogy 1800 bank közül 100 millió rubel feletti jegyzett tőke van: a) legalább 300; b) 300 és 400 között.

4. feladat. Annak a valószínűsége, hogy az értékpapírokat értékesítő kereskedő eladja azokat, 0,7. Hány értékpapír legyen, hogy 0,996-os valószínűséggel kijelenthető legyen, hogy az eladottak aránya közöttük legfeljebb 0,04-el tér el a 0,7-től (abszolút értékben)?

5. feladat. Egy biztosítótársaságnak 10 000 ügyfele van. Mindegyikük, biztosítva a balesetet, 500 rubel járul hozzá. A baleset valószínűsége 0,0055, az áldozatnak fizetett biztosítási összeg 50 000 rubel. Mennyi a valószínűsége, hogy: a) Biztosítótársaság veszteséget szenved; b) az ügyfelektől kapott pénzeszközök több mint felét a biztosítási összegek kifizetésére fordítják?

Ez érdekes:

• Függvény határértékének meghatározása egy pontban L'Hopital-szabály segítségével Függvény határértékének meghatározása L'Hopital-szabály segítségével, 0/0 és ∞/∞ formájú bizonytalanságok feltárása. Az alábbi számológép a L'Hopital-szabály segítségével (deriváltákon keresztül) megkeresi egy függvény határát.
• Matematikai portál Navigációs nézet keresés Navigáció Ön itt van: Kezdőlap Matematikai elemzés L'Hopital szabálya L'Hopital szabálya. Tétel (L'Hopital szabálya a $\frac$ vagy $\frac$ alakú bizonytalanságok feltárására). Legyen a függvények […]
• A „Második millió megnyitása!” promóció szabályai >> 1. lépés: Promóciós kód beszerzése A résztvevő promóciós kódját a kia.ru webhelyen vagy közvetlenül a hivatalos KIA márkakereskedésekben szerezheti be: Ha szeretne promóciós kódot kapni a kia.ru webhelyen, […]
• Kérvényezve ... által tengeri hajók A tengeri hajók névadására vonatkozó eljárást az Oroszországi Közlekedési Minisztérium 2009. augusztus 20-án kelt, 141. sz. rendelete JÓVÁHAGYTA RENDELKEZÉSEK a tengeri hajók névadásának eljárásáról I. Általános rendelkezések 1. Az eljárás […]

Készítsen eloszlási törvényt a műszak során mindkét gépen előállított hibás alkatrészek számára, és számítsa ki ennek a valószínűségi változónak a matematikai elvárását és szórását!

192. 0,2 annak a valószínűsége, hogy az órán további beállításra van szükség. Készítsen törvényt a további beállítást igénylő órák számának három véletlenszerűen kiválasztott óra között történő elosztására. A kapott eloszlási törvény segítségével keresse meg ennek a valószínűségi változónak a matematikai elvárását és szórását. Ellenőrizze az eredményt a binomiális törvény szerint eloszló valószínűségi változó matematikai elvárásának és szórásának megfelelő képleteivel!

193. A rendelkezésre álló hat sorsjegy közül, amelyek közül négy nem nyerő, egy szelvényt véletlenszerűen sorsolnak ki mindaddig, amíg nyerőszelvényt nem találnak. Készítsen eloszlási törvényt az X valószínűségi változóra - a kivett jegyek számára, ha minden kivett jegyet nem adnak vissza. Határozza meg ennek a valószínűségi változónak a matematikai elvárását és szórását!

194. Egy hallgató legfeljebb négy alkalommal vizsgázhat. Készítsen eloszlási törvényt az X valószínűségi változóra - a sikeres vizsgára tett kísérletek száma, ha a sikeres átadás valószínűsége 0,75, és ezt követően minden következő próbálkozással 0,1-gyel nő. Határozzuk meg ennek a valószínűségi változónak a varianciáját.

195. Két független X és Y valószínűségi változó eloszlásának törvényei a következők:

x	– 6					Y	– 3	– 1
P	0,3	0,45	0,25				0,75	0,25

Készítsen eloszlási törvényt az X–Y valószínűségi változóra, és ellenőrizze a D(X–Y) = D(X) + D(Y) diszperziós tulajdonságot!

196. A műhelyben kapható öt azonos típusú óra közül csak egyben van rosszul beállított inga. A mester egy véletlenszerűen kiválasztott órát ellenőriz. Az áttekintés azonnal véget ér, amint elmozdult ingával rendelkező órát észlel (az ellenőrzött órákat nem nézi meg újra). Készítsen eloszlási törvényt a mester által hallgatott órák számára, és számítsa ki ennek a valószínűségi változónak a matematikai elvárását és szórását!

197. Az X és Y független valószínűségi változókat eloszlási törvények határozzák meg:

x						Y	– 2
P	0,1	0,3	?				0,4	0,6

Rajzolja fel az X 2 + 2Y valószínűségi változó eloszlási törvényét, és ellenőrizze a matematikai elvárás tulajdonságát: M(X 2 + 2Y) = M(X 2) + 2M(Y).

198. Ismeretes, hogy egy X valószínűségi változónak két x 1 = 1 és x 2 = 2 értéke van, és a matematikai elvárása 7/6. Mekkora valószínűséggel veszi fel az X valószínűségi változó értékeit! Készítsen eloszlási törvényt egy 2 X 2 valószínűségi változóra, és határozza meg a varianciáját!

199. Két független X és Y valószínűségi változót határoznak meg az eloszlási törvények:

Keresse meg P(X= 3) és P(Y= 4). Rajzolja fel az X – 2Y valószínűségi változó eloszlási törvényét, és ellenőrizze a matematikai elvárás és diszperzió tulajdonságait: M(X – 2Y) = M(X) – 2M(Y); D(X – 2Y) = D(X) + 4D(Y).

A 201–210. feladatokban olyan valószínűségi változókat adunk meg, amelyek a normális törvény szerint vannak elosztva

201. A ξ valószínűségi változó normális eloszlású. Keresse meg P(0< ξ<10), если Мξ= 10 и Р(10< ξ<20)= 0,3.

202. A ξ valószínűségi változó normális eloszlású. Keresse meg P(35< ξ<40), если Мξ= 25 и Р(10< ξ<15)= 0,2.

203. A ξ valószínűségi változó normális eloszlású. Keresse meg P(1< ξ<3), если Мξ= 3 и Р(3< ξ<5)= 0,1915.

204. <σ).

205. A normáltörvény szerint eloszló ξ valószínűségi változóhoz keressük Р(|ξ–а|).<2σ).

206. A normáltörvény szerint eloszló ξ valószínűségi változóhoz keressük Р(|ξ–а|).<4σ).

207. A ξ és η független valószínűségi változók normális eloszlásúak,

Мξ= –1; Dξ=2; Мη= 5; Dη= 7. Írja fel összegük valószínűségi sűrűségét és eloszlásfüggvényét! Keresse meg a Р(ξ+η<5) и Р(–1< ξ+η<3).

208. A ξ, η, ζ független valószínűségi változók a normáltörvény szerint oszlanak el, és Мξ= 3; Dξ=4; Мη= –2; Dr = 0,04; Мζ= 1; Dζ = 0,09. Írja fel összegük valószínűségi sűrűségét és eloszlásfüggvényét! Keresse meg a Р(ξ+η+ζ<5) и Р(–1< ξ+η+ζ<3).

209. A ξ, η, ζ független valószínűségi változók normális eloszlásúak és Мξ= –1; Dξ=9; Мη= 2; Dη = 4; Мζ= –3; Dζ= 0,64. Írja fel összegük valószínűségi sűrűségét és eloszlásfüggvényét! Keresse meg a Р(ξ+η+ζ<0) и

Р(–3< ξ+η+ζ<0).

210. Az automata hengereket állít elő, szabályozva azok átmérőjét ξ. Feltételezve, hogy ξ normális eloszlású és a = 10 mm, σ = 0,1 mm, keresse meg azt az intervallumot, amelyben a legyártott görgők átmérői benne lesznek 0,9973 valószínűséggel.

A 211–220. feladatokban n = 100 térfogatú X mintát ad meg a táblázat:

x i	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6	x 7
n i			20+(a+b)	30–(a+b)

ahol a mérési eredmények x i = 0,2·a +(i –1)·0,3·b; n i – az x i értékek előfordulásának gyakorisága.

1) hozzon létre egy sokszöget relatív gyakorisággal w i =n i /n;

2) számítsa ki a minta átlagát, a D B minta szórását és a σ B szórást;

3) kiszámítja az elméleti frekvenciákat. Készítsen gráfot ugyanazon a rajzon, mint a sokszög;

4) a χ 2 kritérium segítségével tesztelje a sokaság normális eloszlására vonatkozó hipotézist α = 0,05 szignifikancia szinten.

211. a = 4; b = 3; 212 . a = 3; b = 2; 213. a = 5; b = 1; 214. a = 1; b = 4;

215. a = 3; b = 5; 216. a=2; b = 3; 217. a = 4; b = 1; 218. a = 2; b = 5; 219. a = 1; b = 2; 220. a = 5; b = 4.

A 221–230. feladatokban az X és Y jellemzők együttes mérésének eredményeinek n = 100 térfogatú kétdimenziós mintáját egy korrelációs táblázat adja meg:

X Y	y 1	y 2	y 3	y 4	y 5	n xi
x 1			–	–	–
x 2				–	–
x 3	–	8+a	12+b	–	–	20+(a+b)
x 4	–	–	16–a	14–b	–	30–(a+b)
x 5	–	–			–
x 6	–	–
x 7	–	–	–
n yi		19+a	42+b–a	31–b		n = 100

ahol x i = 0,2·a +(i –1)·0,3·b; y i = 0,5·a +(j – 1)·0,2·b.

1) Keresse meg és σ y. Vegye ki a és σ x értékeit az előző feladatból.

2) Számítsa ki az r B korrelációs együtthatót! Vonjunk le következtetést az X és Y jellemzők közötti kapcsolat természetéről!

3) Szerkessze meg Y egyenes regressziós egyenletét X-en a formában.

4) Rajzolj a grafikonra egy korrelációs mezőt, azaz! ábrázoljuk a pontokat (xi, yi) és készítsünk egy egyenest.

221. a = 4; b = 3; 222. a = 3; b = 2; 223. a = 5; b = 1;

224. a = 1; b = 4; 225. a = 3; b = 5; 226. a = 2; b = 3;

227. a = 4; b = 1; 228. a = 2; b = 5; 229. a = 1; b = 2

230. a = 5; b = 4

A 231–240. feladatokban keresse meg a függvény maximális értékét

feltételek mellett . Vegye ki az értékeket a táblázatból

Lehetőségek	Lehetőségek
A 1
A 2
A 3
B 1
B 2
B 3
T 1
T 2
T 3
C 1
C 2

kívánt:

1) oldja meg grafikusan a lineáris programozási feladatot;

2) oldja meg a feladatot táblázatos szimplex módszerrel;

3) mutassa meg a támaszmegoldások és a megvalósítható megoldások régiójának csúcsai közötti megfelelést;

A 241–250. feladatban a három szállító között A i () koncentrált homogén rakományt öt B j () fogyasztóhoz kell eljuttatni. Az a i beszállítóktól származó rakománykészletek és a b j fogyasztói igények, valamint az i-edik szállítótól a j-edik fogyasztóhoz szállított rakomány egységnyi költségét C ij a táblázat tartalmazza.

Szállítók	Fogyasztók	Tartalékok
B 1	B 2	B 3	B 4	B 5
A 1	11-től	12-től	13-tól	14-től	15-től	egy 1
A 2	21-től	22-től	23-tól	24-től	25-től	a 2
A 3	C 31	C 32	C 33	C 34	35-től	a 3
Igények	b 1	b 2	b 3	b 4	b 5

Meg kell határozni egy optimális szállítási terv, amely lehetővé teszi az összes rakomány eltávolítását a beszállítóktól, és kielégíti az összes fogyasztó igényeit oly módon, hogy ez a terv minimális költséggel járjon. Keresse meg az első támogatási tervet az „északnyugati” szög módszerével. Keresse meg az optimális tervet a potenciál módszerrel. Számolja ki az egyes csomagok szállítási költségeit.

Lehetőségek	Lehetőségek
egy 1
a 2
a 3
b 1
b 2
b 3
b 4
b 5
11-től
12-től
13-tól
14-től
15-től
21-től
22-től
23-tól
24-től
25-től
C 31
C 32
C 33
C 34
35-től

A 251-260. feladatokban négy objektumban hajt végre tőkebefektetést az ipar. A hozzájárulás sajátosságait és a helyi adottságokat figyelembe véve az ágazat profitját a finanszírozás mértékétől függően a fizetési mátrix elemei fejezik ki. A probléma leegyszerűsítése érdekében tegyük fel, hogy az iparág vesztesége megegyezik az iparág nyereségével. Találja meg az optimális iparági stratégiákat. Kívánt:

1) foglalja össze a kiindulási adatokat egy táblázatban, és találjon megoldást a mátrixjátékra tiszta stratégiákban, ha létezik (egyébként lásd a következő 2. lépést);

2) egyszerűsítse a fizetési mátrixot;

3) hozzon létre egy pár kölcsönösen kettős feladatot, amely megfelel az adott mátrixjátéknak;

4) találja meg a direkt probléma optimális megoldását (B iparág számára) szimplex módszerrel;

5) a változók megfeleltetésével írja ki a duális probléma optimális megoldását (A iparágra);

6) adja meg ennek a megoldásnak a geometriai értelmezését (A ipar esetében);

7) a kettős problémapár optimális megoldásai, az optimális stratégiák és a játék költsége közötti kapcsolat felhasználásával vegyes stratégiákban találjon megoldást a játékra;

1. lehetőség 2. lehetőség 3. lehetőség

;

1. Analitikus geometria és vektoralgebra………………….. 4

2. Lineáris egyenletrendszerek és komplex számok………….. 5

3. Függvénygráfok ábrázolása, határértékek számítása

és a függvények töréspontjainak azonosítása.…………….……………. 6

4. Függvények származékai, legnagyobb és legkisebb értékek

a szegmensen..………………………………………………………………

5. Függvénykutatás és gráfok felépítése,

több változó függvényei, legkisebb négyzetek módszere... 11

6. Határozatlan, határozott és nem megfelelő integrál….. 12

7. Differenciálegyenletek és -rendszerek megoldása

differenciálegyenletek……………………………….….…… 14

8. Többszörös és görbe vonalú integrálok ……………………………… 15

9. Numerikus és hatványsorok vizsgálata, közelítő

Differenciálegyenletek megoldása…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

10. Valószínűségszámítás…………………………………………………… 18

Petr Alekszejevics Burov

Anatolij Nyikolajevics Muravjov

Feladatok gyűjteménye

©2015-2019 oldal
Minden jog a szerzőket illeti. Ez az oldal nem igényel szerzői jogot, de ingyenesen használható.
Az oldal létrehozásának dátuma: 2017-12-07

Két valószínűségi változó minimumának (maximumának) eloszlásának törvénye. Az elosztás törvénye rendes statisztika

Ebben a részben mindenekelőtt egy ilyen funkcionális transzformációt vizsgálunk c. c., amely abból áll, hogy két érték közül a maximumot (minimumot) kell kiválasztani.

1. feladat. Két valószínűségi változó minimumának eloszlásának törvénye. Folyamatos rendszer adott. V. (X és X 2) p.r./(*!, x 2). Keresse meg az r.v eloszlásfüggvényét. Y:

Megoldás. Először keressük meg P ( Y> y) = P (Xi > y; x 2 > y). Vidék D(y), hol x> y és x 2 > yábrán látható. 9.6.1. Egy pont eltalálásának valószínűsége (X[, X 2) a régióba D(y) egyenlő

Ahol F (x b x 2) - rendszerelosztási függvény c. V. (Хь Х 2), F x(jq), F 2 (x 2) - eloszlási függvények c. V. xÉs x 2 illetőleg. Ennélfogva,

A p.r. g (y) meg kell találni a jobb oldal deriváltját (9.6.1):

Ha azzal. V. X x, X 2 független és a p.r-vel azonosan elosztva. Fi(X) =/ 2 (x) =f(x), Hogy

Példa 1. Egy két Bi és B 2 blokkból álló készülék működését tekintjük, amelyek együttes működése feltétlenül szükséges a készülék működéséhez. B blokk üzemidő! és B2 jelentése független s. V. xÉs X 2, paraméterekkel exponenciális törvények szerint elosztva xÉs X 2. Meg kell találni az elosztási törvényt c. V. U- a műszaki egység üzemideje.

Megoldás. Ez nyilvánvaló

A (9.6.4) képletekkel a következőket kapjuk:

azaz legalább két független valószínűségi változó, exponenciális törvények szerint elosztva X x és X 2 paraméterekkel, exponenciális törvények szerint is elosztva X x paraméterrel + X 2. ?

2. feladat. A minimum eloszlási törvénye P független valószínűségi változók. Adott a rendszer Pönálló falvak V. (X x, X 2, ..., X p) p.r.-vel .f (x x),f 2 (x 2), ...,fn (x n). Keresse meg f. R. és sűrűség c. V. Y= min (X X,.... X p).

Megoldás. A-priory

Példa 2. Tekintsük egy automatizált rendszer (AS) működését, amely a következőkből áll P alrendszerek Ahhoz, hogy a hangszórók működjenek, mindenkinek dolgoznia kell P alrendszerek; a /edik alrendszer üzemideje 7} exponenciális törvény szerint elosztva a paraméterrel (/ = 1, 2, P)és nem függ más alrendszerek működési idejétől. Határozza meg az AS hibamentes működésének D i) időeloszlási törvényét!

Megoldás. Ez nyilvánvaló

A (9.6.6) képlet segítségével megtaláljuk az r.v eloszlásfüggvényt. D l)

Így az elosztási törvény c. V. - a minimum Pönálló falvak c., exponenciális törvények szerint elosztva, szintén exponenciális; míg a paramétere i)S n)) egyenlő ezen exponenciális eloszlások paramétereinek összegével. Ebből következik, hogy

Kimutatható, hogy az elosztási törvény c. V. D i) ha elég nagy P az exponenciális törvényhez fog konvergálni, még akkor is, ha s. V. 7) (/= 1, 2, ..., P) nem exponenciális törvények szerint oszlanak meg. Mutassuk meg ezt az egyenlően egyenletes eloszlású s példáján. V.:

Ebben az esetben

és ez f. R. demonstratív jog.

Így a mérnöki alkalmazásokban széles körben használt következtetést vonhatunk le: ha bármely eszköz kellően sok n elemből áll, amelyek működése feltétlenül szükséges az eszköz működéséhez, akkor a készülék hibamentes működésének F p) időeloszlási törvénye közel exponenciális a paraméterrel, képlet határozza meg

ahol M[ Tj- az i-edik elem átlagos hibamentes működési ideje.

Egy ilyen eszköz meghibásodási folyamata közel lesz a Poisson-hoz a paraméterrel )Sn ?

3. feladat. Két valószínűségi változó maximumának eloszlásának törvénye. Folyamatos rendszer adott. V. (Хь X 2) sűrűséggel/(lbs x 2). Meg kell találni az r.v.

Megoldás. A-priory,

Ahol F(x x, x 2) - rendszereloszlási függvény (X és X 2).

Megkülönböztetve ezt a kifejezést, mint korábban, a következőket kapjuk:

Ha a valószínűségi változók X és X2 akkor egyenlően oszlanak el

Ha a valószínűségi változók X x 2 akkor függetlenek

Ha a valószínűségi változók X x 2 független és egyenlően elosztott

3. példa Egy műszaki eszköz működése nem kezdődhet meg addig, amíg a két Bi és B2 blokk összeszerelése be nem fejeződött. A Bi és B 2 blokkok összeszerelési ideje független s rendszer. V. X xÉs X 2, paraméterekkel exponenciális törvények szerint elosztva X xÉs X 2. Y- mindkét műszaki specifikációs blokk összeszerelésének befejezési ideje.

Megoldás. Ez nyilvánvaló Y= max (X ъ X 2). Eloszlási sűrűség c. V. ^a (9.6.12) képlet határozza meg

Ez a törvény nem tájékoztató jellegű. ?

4. feladat A maximum eloszlásának törvénye P független valószínűségi változók. Folyamatos rendszer adott. V. (X x, X 2 , ..., X p) sűrűséggel f(x x, x 2,

Keresse meg egy valószínűségi változó eloszlási törvényét!

Megoldás. A-priory

Ahol F(x 1, x 2 ,..., x p) - rendszerelosztási funkció (X x, X 2, ..., X p). Differenciálással megkapjuk az eloszlási sűrűséget:

Ahol Fj (Xj) - f. R. Val vel. V. Xjfj(xj) - a sűrűsége.

Ha azzal. V. x b ..., X o független és egyenlően elosztott (Fi(y) = F(y);f (y) =f(y) (/"= 1,P)), Ez

Ha a valószínűségi változók X és ..., X o akkor függetlenek

4. példa: A műszaki berendezések munkája nem kezdődhet el az összes összeszerelés előtt P blokkjai: B b Bg, ..., B„. A B b..., B l blokkok összeszerelési ideje egy rendszert jelent Pönálló falvak V. (Hú..., X p), exponenciális törvények szerint elosztva A.1,..., A, p paraméterekkel.

Meg kell találnunk a sűrűséget c. V. U- az összes összeszerelés befejezési ideje P TU blokkok.

Megoldás. Nyilvánvalóan y = max (X,..., X p). A (9.6.16) képlet szerint megvan

5. feladat A rendelési statisztikák eloszlásának törvénye. Tekintsünk egy azonos eloszlású, független s folytonos rendszerét. V. (X v X 2, ..., X p) f-vel. R. F(x)és p.r./(x). Rendezzük el a valószínűségi változók által felvett értékeket X v X 2, ..., X p, növekvő sorrendben és jelölje:

X (1) - valószínűségi változó, amely a legkisebb értéket veszi fel: (X (1) = min (X v X 2, ..., X p));

X(2) - a valószínűségi változók második legnagyobb elfogadott értéke X v X 2, ..., X p;

x(T) - y-i a valószínűségi változókból elfogadott érték nagyságával X x, X 2, ..., X p;

X(P) - az elfogadott érték szerinti legnagyobb valószínűségi változó X, X 2, x„ (X (n) = Sah (X és X 2, ..., X p)).

Magától értetődően,

Véletlen változók X(i), X@),..., X(") hívják rendes statisztika.

A (9.6.8) és (9.6.17) képletek megadják a szélső tagok eloszlásának törvényeit X(i),És X(") rendszerek (*).

Keressük az eloszlásfüggvényt F^ m)(x)s. V. X^t y Esemény (X^x) az T Val vel. V. a rendszerből P Val vel. V. (X ( , X 2 ,..., x n) kisebb lesz, mint x és (p - t) Val vel. V. nagyobb lesz, mint x. Mivel s. V. Xt (/" = 1, 2,..., P) függetlenek és azonos eloszlásúak, akkor P (X t x) = F(x) R (Xj > x) = 1 - F(x). Meg kell találnunk annak a valószínűségét P független kísérletek esemény (Xj x) pontosan fog megjelenni T egyszer. Jelentkezés binomiális eloszlás, kapunk

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete