1. A térelméleti alapfogalmak

A mezőelmélet számos fogalom alapja modern fizika, mechanika, matematika. Fő fogalmai a gradiens, áramlás, potenciál, rotor, divergencia, cirkuláció stb. Ezek a fogalmak az alapgondolatok elsajátításában is fontosak matematikai elemzés sok változó függvényei.

A mező a tér G régiója, amelynek minden pontjában egy bizonyos mennyiség értéke meghatározásra kerül.

IN fizikai problémákÁltalában kétféle mennyiség létezik: skalár és vektor. Ennek megfelelően kétféle mezőt veszünk figyelembe.

Ha ennek a régiónak minden M pontja egy bizonyos U(M) számhoz van társítva, akkor azt mondják, hogy in

terület egy skaláris mezőt kap (definiál). A skaláris mezők példái a fűtött test belsejében lévő hőmérsékleti mező (ennek a testnek minden M pontjában a megfelelő U (M) hőmérséklet van megadva), a mező

bármilyen fényforrás által létrehozott megvilágítás. Rögzüljön a rendszer térben

az M pont koordinátáit ebben a koordinátarendszerben. Az U(x,y,z) függvény értékei egybeesnek az U(M) mező értékeivel,

ezért ugyanazt a szimbólumot megtartják számára.

Ha ennek a területnek minden M pontja egy bizonyos vektorhoz (M) van társítva, akkor ezt mondják

vektormező van megadva. A vektormezők egyik példája az álló folyadékáramlás sebességmezője. Ez a következőképpen definiálható: legyen a G tartomány feltöltve minden pontban áramló folyadékkal -val

némi v sebesség, időtől független (de

más, általában véve, in különböző pontokat); Ha V (M) vektort rendelünk G-ből minden M ponthoz, egy vektormezőt kapunk, amelyet sebességmezőnek nevezünk.

Ha a(M) valamilyen vektormező in

teret, akkor ebben a térben egy rögzített derékszögű derékszögű koordináta-rendszert véve megtehetjük

ábrázolja a(M)-t a skalár rendezett hármasaként

függvények: a (M) = (P (x,y,z),Q (x,y,z),R (x,y,z)). Ezek

Ha az U (M) (vagy a (M)) függvény nem függ attól

idő, akkor a skaláris (vektor) mezőt stacionáriusnak nevezzük; az időben változó mezőt nemstacionáriusnak nevezzük. Az alábbiakban csak az álló mezőket fogjuk figyelembe venni.

2. A skaláris és vektormezők alapvető jellemzői

Egy vektor, amelynek koordinátái az U (x,y,z) függvény parciális deriváltjainak értékei a pontban

M (x ,y ,z ) a függvény gradiensének nevezzük és jelöli

Ismeretes, hogy a gradiens határozza meg az U (x,y,z) függvény leggyorsabb növekedésének irányát az M pontban. Azt mondják, hogy az U skaláris mező generál

vektor gradiens mező U.

Gradiens vonal az U(M) skalármezőt nevezzük

bármely olyan görbe, amelynek érintője minden pontban a gradU mentén irányul abban a pontban.

Így a mező gradiens vonalak azok a vonalak, amelyek mentén a mező a leggyorsabban változik.

A gradiens egy másik tulajdonságának megfogalmazásához idézzük fel a síkfelület definícióját.

Egyenletes felület függvények (mezők)U ​​=U (x,y,z)

az a felület, amelyen a funkció (mező) megmarad állandó érték. A szintfelületi egyenlet U (x,y,z) =C alakú.

Így a mező minden pontjában a gradiens a normál mentén az ezen a ponton áthaladó síkfelületre irányul.

Flow Π vektor mező a = (P ,Q ,R ) via

A σ felületet felületi integrálnak nevezzük

∫∫ (P cosα + Q cosβ + R cosγ )dS

vagy röviden ∫∫ a n dS, ahol n-en keresztül = (cosα, cosβ, cosγ)

kijelölt egységvektor normális a σ felületre, meghatározva annak oldalát.

akkor folyamatosak

3. Stokes és Ostrogradsky-Gauss képletek

Jelöljünk L-vel egy bizonyos zárt körvonalat, és σ az e körvonal által átívelt felületet.

Feltételezzük, hogy a kontúron az irány megválasztása összhangban van a felület oldalának megválasztásával (ha a kontúron a kiválasztott irányban haladunk, a kiválasztott oldal a bal oldalon van).

A Stokes-képlet azt mondja, hogy egy vektormező cirkulációja egy bizonyos körvonal mentén megegyezik a vektormező forgórészének fluxusával egy ezen a körvonalon átnyúló felületen.

Legyen most Ω valamilyen zárt korlátos tartomány, σ pedig ennek a tartománynak a határa. Akkor igazságos

σ Ω

Emlékezzünk vissza, hogy az (5) képlet bal oldalán lévő felületi integrált a szerint vettük kívül felület σ.

Az Ostrogradsky-Gauss képlet azt jelenti, hogy a vektormező divergenciájának egy tartománya feletti hármas integrál egyenlő ennek a mezőnek a tartományt határoló felületen áthaladó fluxusával.

4. Hamilton operátor. A skalár- és vektormezők bizonyos típusai

Hamilton angol matematikus és mechanikus bemutatta a vektor-differenciál operátort

felhívta a nabla operátort.

Azonnal meg kell jegyezni, hogy a szimbolikus vektorok és a „valódi” vektorok közötti analógia nem az

teljes. Ugyanis a szimbolikus vektort tartalmazó képletek hasonlóak a közönséges képletekhez vektor algebra abban az esetben, ha nem tartalmaznak változó mennyiségű (skalár és vektor) szorzatot, vagyis addig, amíg nem szükséges a műveletekben szereplő differenciálásokat alkalmazni a változó mennyiségek szorzatára.

nabla vektor, skaláris mező gradiens segítségével

A szimbolikus vektor bevezetésének célszerűsége abban rejlik, hogy segítségével kényelmesen meg lehet szerezni és írni különféle képletek vektorelemzés.

Mutassuk meg ezt példákkal.

1. feladat Bizonyítsuk be, hogy az U (M) skalármező gradiensének rotorja egyenlő 0-val, azaz rot(gradU) = 0.

Először bizonyítsuk be ezt az egyenlőséget a Hamilton-operátor használata nélkül. Így,

∂ ∂

= ∂ x∂ y∂ U∂ U

∂x∂y

mivel Schwarz tétele szerint a folytonos kevert deriváltak egyenlőek.

Most a (7) gradiens és a (9) forgórész átírásának formáját használva rot(gradU ) =× U kapjuk.

Mivel az U vektor (egy vektor és az U skalár szorzata) kollineáris a vektorral, akkor a vektoruk

a termék 0.

2. Feladat. Írja fel a skalármező gradiens div(gradU ) divergenciáját a segítségével!

A gradU-tól eltérést képezve azt kapjuk

= ∂ 2 U + ∂ 2 U + ∂ 2 U . ∂ x 2∂ y 2∂ z 2

Laplace és a szimbólum jelöli:

= ∂ 2+ ∂ 2+ ∂ 2. ∂ x 2∂ y 2∂ z 2

Mivel egy vektor skalárnégyzete egyenlő a négyzettel modulusa, akkor = 2. Így div(gradU ) =2 U .

Az a (M) vektormezőt potenciálnak nevezzük,

ha valamilyen U(M) skalármező gradienseként ábrázolható:

a = gradU .

Magát az U skaláris teret vektormezőpotenciálnak nevezzük.

Ahhoz, hogy az a(M) vektormező legyen

A (10) egyenlőség teljesítésének szükségessége bebizonyosodott (lásd fentebb tárgyalt 1. feladat).

A vektormezőpotenciál a képlet segítségével kereshető meg

ahol (x 0,y 0,z 0) tetszőleges pont a G tartományban.

A(M) vektormező, melynek divergenciája

megegyezik a nullával, szolenoidnak (cső alakúnak) nevezzük.

Annak érdekében, hogy megfogalmazzuk az egyiket legfontosabb tulajdonságait szolenoid mező, bemutatjuk a vektorvonal és a vektorcső fogalmát.

A G-ben fekvő L egyenest vektornak nevezzük

vonal, ha ennek az egyenesnek minden pontjában a hozzá tartozó érintő iránya egybeesik a vektormező irányával ebben a pontban.

Ismeretes, hogy a vektoregyenlet egy differenciálegyenlet-rendszer integrálgörbéje

Különösen, ha egy vektormező egy álló folyadékáramlás sebességmezője, akkor annak vektorvonalai a folyadékrészecskék pályái.

A vektorcső egy G régióban lévő pontok zárt Φ halmaza, amelyben egy a (M) vektormező úgy van megadva, hogy a határfelületén az n normálvektor mindenhol merőleges (M)-re.

Egy vektorcső a(M) vektor térvonalakból áll. Egy vektorvonal teljes egészében benne van Φ ha

az egyenes egy pontját Φ tartalmazza.

A Φ cső intenzitása egy szakaszon az ezen a szakaszon áthaladó térfluxus (M).

Ha a mező szolenoid, akkor teljesül a vektorcső intenzitásának megmaradásának törvénye.

Egy összenyomhatatlan folyadék v(M) sebességterére nyelők és források hiányában (vagyis divv(M) = 0 feltétel mellett) a vektorintenzitás megmaradásának törvénye

csöveket így lehet megfogalmazni: a vektorcső keresztmetszetén egységnyi idő alatt átáramló folyadék mennyisége minden szakaszán azonos.

Az alábbiakban bemutatunk néhány tipikus megoldási problémát.

3. feladat. Skalármezőszintű felületek keresése

U (M) = x2 + y2 − z.

A vízszintes felületek elliptikus paraboloidok családja, amelyek szimmetriatengelye az Óz tengely.

4. feladat.

A skalármezőben U (M ) = xy 2 + z 2 keresse meg

gradiens az M 0 pontban (2,1,− 1) .

Keressük az értékeket

részleges származékok

U (M) az M 0 pontban:

∂U

|M 0 = y 2 |M 0 = 12 = 1,

∂U

|M 0 = 2xy |M 0 = 2 2 1 = 4,

∂x

∂y

∂U

2 (− 1) =− 2.

∂z

Ezért,

gradU (M 0 ) =s i + 4s j − 2k s.

Számítsa ki egy vektormező divergenciáját!

a(M) = 2 xy2 i− yz j+ 3 z2 k

pontban M 0 (1,− 2,1) .

P = 2xy 2 ,Q =− yz ,R = 3z 2 . Keressük az értéket

megfelelő parciális deriváltok az M 0 pontban:

∂P|

2 év 2 |

2 (− 2)2 = 8,

∂Q

= − z |

= − 1,

∂x

∂y

A vektormező legfontosabb jellemzői a rotor és a divergencia. Ebben a bekezdésben megvizsgáljuk matematikai leírás a vektormezők ezen jellemzői és a differenciálműveletek segítségével történő kiszámításuk módszerei. Ebben az esetben csak a derékszögű koordinátarendszert fogjuk használni. Több teljes definíció divergencia és rotor és azok fizikai jelentése A következő fejezetben megnézzük. Ezeknek a mennyiségeknek a görbe vonalú koordinátarendszerekben történő kiszámítását a későbbiekben megfontoljuk. Tekintsünk egy háromdimenziós térben meghatározott vektormezőt. Definíció 1. Egy vektormező divergenciája a kifejezés által meghatározott szám Feltételezzük, hogy a megfelelő parciális deriváltok léteznek a vizsgált ponton. Egy vektormező divergenciája, akárcsak a gradiens, a nabla operátorral írható fel Itt az eltérést a következőképpen ábrázoljuk pont termék vektorok és F. Bizonyítás nélkül jegyezzük meg, hogy a divergencia a mezőt létrehozó források sűrűségét írja le. Példa 1. Számítsa ki egy vektormező divergenciáját egy pontban! Definíció 2. A vektormező görbülete egy olyan vektor, amelyet a kifejezés határoz meg Megjegyzendő, hogy a bemutatott összegben a szomszédos tagokban lévő indexek a körpermutációs szabály szerint változnak, figyelembe véve a szabályt. Egy vektormező görbülete a nabla operátorral írható fel A rotor a vektormező azon hajlamát jellemzi, hogy forogjon vagy örvényljön, ezért néha örvénynek nevezik és jelölik. curlF. Példa 1. Számítsa ki egy vektormező görbületét egy pontban. Néha szükségessé válik egy vektormező gradiensének kiszámítása. Ebben az esetben a vektormező minden összetevőjéből a gradienst számítjuk ki. Az eredmény egy második rangú tenzor, amely meghatározza a vektor gradiensét. Ez a tenzor leírható a mátrixszal Az ilyen objektumok leírására kényelmes a tenzor jelölés használata hinni. A tenzoros módszerek használata leegyszerűsíti matematikai műveletek olyan tárgyak felett. A tenzorszámítás apparátusának részletes bemutatása a „Tenzorelemzés alapjai” című kurzusban található, amelyet a „Felső matematika további fejezetei” kurzussal párhuzamosan tanítanak. Példa 1. Számítsa ki egy vektormező gradiensét. Megoldás. A számításokhoz tenzorjelölést használunk. megvan Itt a Kronecker szimbólum az identitásmátrix. Példa 2. Számítsa ki a skalármező gradiensét, és hasonlítsa össze az és a kifejezéseket. A nabla operátor néhány tulajdonsága Korábban bemutattuk a vektordifferenciáló operátort Ezzel az operátorral felírtuk a fő differenciálműveleteket tenzormezőkben: Az operátor a differenciáló operátor általánosítása, és a derivált megfelelő tulajdonságaival rendelkezik: 1) az összeg deriváltja egyenlő a származékok összegével 2) az operátorjelből kivehető a konstans szorzó A vektorfüggvények nyelvére lefordítva ezek a tulajdonságok a következőképpen alakulnak: Ezeket a képleteket ugyanúgy származtatjuk, mint az egy változó függvényének deriváltjainak megfelelő képleteit. A Hamilton operátor használata lehetővé teszi számos, a tenzormezők differenciálásával kapcsolatos művelet egyszerűsítését. Ne feledje azonban, hogy ez az operátor vektoroperátor, és óvatosan kell vele bánni. Nézzük meg ennek az operátornak néhány alkalmazását. Ebben az esetben a megfelelő képleteket Hamilton operátorral és hagyományos jelöléssel is írjuk. A művelethez használhatja a "nabla" operátort is: Itt figyelembe veszik azt vektor termék kollineáris operátorok egyenlő nullával. Javasoljuk, hogy ugyanazt az eredményt kapjuk közvetlen megkülönböztetéssel. Ebből az eredményből egy fontos következtetés vonható le. Vegyünk egy zárt görbét Lés feszítsünk rá egy tetszőleges felületet S. Stokes tételét felhasználva írhatunk Fogalmazzuk meg a kapott eredményt tétel formájában: 1. Tétel. Egy vektormező cirkulációja bármely zárt körvonal mentén egyenlő nullával. Következmény 1. Görbe vonalú integrál a skalár függvény gradiensének mértéke nem függ az integrációs út megválasztásától, és teljes mértékben meghatározza a kezdeti ill. végpontok integrációs vonalak. Bizonyíték. Készítsünk rajzot. Végezzük el a legegyszerűbb átalakításokat Ezért Ez azt jelenti, hogy az integrandus egy teljes differenciál. Következésképpen az integrál értéke csak az A és B pont megválasztásától függ: Számítsuk ki a műveletet. Ehhez a vektoralgebrából ismert kettős vektorszorzat képletét használjuk Írjuk át ezt a képletet számunkra kényelmesebb formába Az átalakítás úgy történik, hogy a további képletekben a „nabla” operátor ne az utolsó pozícióban jelenjen meg. A „nabla” operátort tekintve megkapjuk (Mi történne, ha a szokásos képletet használnánk a kettős kereszttermékhez?) A Laplace operátor jelölést használva írhatunk Van egy három differenciálreláció rendszerünk, amely a vektorkomponensekre íródott F. Megnéztük az alapvető másodrendű differenciálműveleteket. A jövőben különféle problémák megoldására fogjuk használni őket. Green képletei Vegyünk még néhány képletet általános, amelyek különböző funkciók tulajdonságait kapcsolják össze, és széles körben használják alkalmazásokban. Írjuk fel a Gauss-Osztrogradszkij képletet Legyen és két tetszőleges skalárfüggvény. Tegyük fel Ekkor a Gauss-Osztrogradszkij-tétel felveszi a formát Le lehet írni Itt bevezetjük a jelölést függvény deriváltjához az irányban Miután ezeket a kifejezéseket behelyettesítettük a módosított Gauss-Ostrogradsky képletbe, megkapjuk Ezt a képletet Green első képletének nevezik. Hasonlóképpen, ha feltesszük akkor Green első képlete felveszi a formát A megfelelő képleteket kivonva azt kapjuk Ezt a képletet Green második képletének nevezik. A Green-képletek segítségével kapcsolatokat lehet szerezni a függvény értékei között a kiválasztott térfogat belső pontjain és a határokon. Tétel 1. A függvény értéke in belső pont régióban T, amelyet a felület korlátoz S, a képlet határozza meg pontok közötti távolság és. Bizonyíték. Tekintsünk egy pontot, és vegyük körül egy kis sugarú gömbfelülettel Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete © 2015 . Az oldalról | Kapcsolatok | Webhelytérkép