Ebben a leckében további két műveletet nézünk meg vektorokkal: vektorok vektorszorzataÉs vektorok vegyes szorzata (azonnali link annak, akinek szüksége van rá). Nem baj, néha megesik, hogy a teljes boldogság érdekében, ráadásul vektorok skaláris szorzata, egyre többre van szükség. Ez vektorfüggőség. Úgy tűnhet, hogy a vadonba kerülünk analitikus geometria. Ez rossz. A felsőbb matematikának ebben a részében általában kevés a fa, kivéve talán elég Pinokkiót. Valójában az anyag nagyon gyakori és egyszerű – aligha bonyolultabb, mint ugyanaz skaláris szorzat, még tipikus feladatok kevesebb lesz. Az analitikus geometriában a legfontosabb, ahogyan sokan meggyõzõdnek vagy már meggyõzõdtek, hogy NE KÖVESSEN HIBÁT A SZÁMÍTÁSBAN. Ismételd, mint egy varázslatot, és boldog leszel =)

Ha valahol távol szikráznak a vektorok, mint a villám a láthatáron, az nem számít, kezdje a leckével Vektorok a bábokhoz helyreállítani vagy visszaszerezni Alap tudás vektorokról. A felkészültebb olvasók szelektíven ismerkedhetnek meg az információkkal, amennyit csak lehetett teljes gyűjtemény példák, amelyeket gyakran találunk praktikus munka

Mitől leszel azonnal boldog? Kicsi koromban két, sőt három labdával is tudtam zsonglőrködni. Jól sikerült. Most már egyáltalán nem kell zsonglőrködnie, hiszen megfontoljuk csak térbeli vektorok, és a két koordinátájú lapos vektorok kimaradnak. Miért? Így születtek ezek az akciók – a vektorok és a vektorok vegyes szorzata definiálva és beépülve háromdimenziós tér. Máris könnyebb!

Ez a művelet, akárcsak a skalárszorzat, magában foglalja két vektor. Legyenek ezek múlhatatlan betűk.

Maga az akció által jelölve a következő módon: . Vannak más lehetőségek is, de én a vektorok vektorszorzatát szoktam így jelölni, in szögletes zárójelek kereszttel.

És azonnal kérdés: ha bent vektorok skaláris szorzata két vektorról van szó, és itt is két vektort szorozunk, akkor mi a különbség? A nyilvánvaló különbség mindenekelőtt az EREDMÉNYBEN rejlik:

A vektorok skaláris szorzatának eredménye SZÁM:

A vektorok keresztszorzatának eredménye VECTOR: , azaz megszorozzuk a vektorokat és ismét vektort kapunk. Zárt klub. Valójában innen származik a művelet neve. Különféle oktatási irodalom a megnevezések is változhatnak, a betűt használom.

A keresztszorzat definíciója

Először lesz egy definíció képpel, majd kommentek.

Meghatározás: Vektoros termék nem kollineáris vektorok, ebben a sorrendben szedve, neve VECTOR, hossz ami számszerűen egyenlő a paralelogramma területével, ezekre a vektorokra épül; vektor merőleges a vektorokra, és úgy van irányítva, hogy az alap megfelelő tájolású legyen:

Bontsuk fel a definíciót, sok érdekesség van itt!

Tehát a következő lényeges pontokat lehet kiemelni:

1) Az eredeti vektorok, amelyeket piros nyilak jelölnek, értelemszerűen nem kollineáris. Esemény kollineáris vektorokÉrdemes lesz egy kicsit később megfontolni.

2) Vektorokat veszünk szigorúan egy bizonyos sorrendben : – "a" szorozva "be", és nem a „legyen” az „a”-vel. A vektorszorzás eredménye a VECTOR, amely kék színnel van jelölve. Ha a vektorokat megszorozzuk fordított sorrendben, akkor egyenlő hosszúságú és ellentétes irányú (málna színű) vektort kapunk. Vagyis az egyenlőség igaz .

3) Most ismerkedjünk meg a vektorszorzat geometriai jelentésével. Ez nagyon fontos pont! A kék vektor HOSSZA (és így a bíbor vektor) numerikusan egyenlő a vektorokra épített paralelogramma TERÜLETÉVEL. Az ábrán ez a paralelogramma feketére van árnyékolva.

jegyzet : a rajz sematikus, és természetesen a vektorszorzat névleges hossza nem egyenlő a paralelogramma területével.

Emlékezzünk az egyikre geometriai képletek: A paralelogramma területe egyenlő a szorzattal szomszédos oldalak a köztük lévő szög szinuszával. Ezért a fentiek alapján érvényes a vektorszorzat HOSSZ-számítási képlete:

Hangsúlyozom, hogy a képlet a vektor HOSSZÁRÓL szól, és nem magáról a vektorról. Mi a gyakorlati jelentése? És a jelentés az, hogy az analitikai geometria problémáiban a paralelogramma területét gyakran a vektorszorzat fogalmán keresztül találják meg:

Vegyük a másodikat fontos képlet. A paralelogramma átlója (piros pontozott vonal) kettéosztja egyenlő háromszög. Ezért a vektorokra épített háromszög területe (piros árnyékolás) a következő képlettel kereshető meg:

4) Legalább fontos tény az, hogy a vektor ortogonális a vektorokra, azaz . Természetesen az ellentétes irányú vektor (málna nyíl) is ortogonális az eredeti vektorokra.

5) A vektort úgy irányítjuk, hogy alapon Megvan jobb irányultság. A leckében kb áttérni egy új alapra Elég részletesen beszéltem róla sík tájolás, és most kitaláljuk, mi az a térorientáció. Az ujjadon elmagyarázom jobb kéz . Szellemileg kombinálni mutatóujj vektorral és középső ujj vektorral. Gyűrűsujj és kisujj nyomd a tenyeredbe. Ennek eredményeként hüvelykujj – a vektorszorzat felfelé néz. Ez egy jobboldali alap (az ábrán ez van). Most változtassa meg a vektorokat ( index és középső ujjak ) helyenként a hüvelykujj megfordul, és a vektorszorzat máris lefelé néz. Ez is egy jobboldali alap. Felmerülhet a kérdés: melyik alap balra irányult? „Hozzárendelés” ugyanazokhoz az ujjakhoz bal kéz vektorokat, és megkapja a tér bal bázisát és bal oldali tájolását (ebben az esetben a hüvelykujj az alsó vektor irányába fog elhelyezkedni). Képletesen szólva, ezek az alapok „csavarják” vagy orientálják a teret különböző oldalak. És ezt a koncepciót nem szabad valami távolinak vagy elvontnak tekinteni - például a tér tájolását a leghétköznapibb tükör megváltoztatja, és ha „kihúzza a visszaverődő tárgyat a szemüvegből”, akkor általános eset nem kombinálható az „eredetivel”. Amúgy tartsd három ujjad a tükör felé, és elemezd a visszaverődést ;-)

...milyen jó, hogy most már tudsz róla jobbra és balra orientált alapokon, mert ijesztőek egyes oktatók állításai az irányváltásról =)

Kollineáris vektorok keresztszorzata

A definíciót részletesen tárgyaltuk, még ki kell deríteni, mi történik, ha a vektorok kollineárisak. Ha a vektorok kollineárisak, akkor egy egyenesre helyezhetők, és a paralelogrammánk is egy egyenesbe „gyűrődik”. Az ilyenek területe, ahogy a matematikusok mondják, elfajzott paralelogramma egyenlő nullával. Ugyanez következik a képletből - a nulla vagy 180 fok szinusza egyenlő nullával, és ezért a terület nulla

Így ha , akkor . Szigorúan véve maga a vektorszorzat egyenlő a nulla vektorral, de a gyakorlatban ezt gyakran figyelmen kívül hagyják, és azt írják, hogy egyszerűen egyenlő nullával.

Különleges eset– vektor szorzata önmagával:

A kollinearitást a keresztszorzattal ellenőrizheti háromdimenziós vektorok, És ez a feladat többek között azt is elemezni fogjuk.

Megoldásokért gyakorlati példák talan szukseges trigonometrikus táblázat hogy kikeressük belőle a szinuszértékeket.

Na, gyújtsuk meg a tüzet:

1. példa

a) Határozza meg a vektorok vektorszorzatának hosszát, ha

b) Határozza meg a vektorokra épített paralelogramma területét, ha!

Megoldás: Nem, ez nem elírás, szándékosan tettem azonossá a kiindulási adatokat a tagmondatokban. Mert a megoldások kialakítása más lesz!

a) A feltételnek megfelelően meg kell találnia hossz vektor (kereszttermék). A megfelelő képlet szerint:

Válasz:

Ha a hosszról kérdezték, akkor a válaszban megadjuk a méretet - mértékegységeket.

b) A feltételnek megfelelően meg kell találnia négyzet vektorokra épített paralelogramma. Ennek a paralelogrammának a területe számszerűen megegyezik a vektorszorzat hosszával:

Válasz:

Kérjük, vegye figyelembe, hogy a válasz egyáltalán nem szól a vektorszorzatról; az ábra területe, ennek megfelelően a méret négyzetegység.

Mindig megnézzük, MIT kell az állapotnak megfelelően találnunk, és ennek alapján fogalmazunk egyértelmű válasz. Lehet, hogy szószerintiségnek tűnik, de a tanárok között rengeteg literalista van, és a feladat jó eséllyel visszakerül átdolgozásra. Bár ez nem túl messzire eltalált civakodás – ha a válasz helytelen, akkor az a benyomásunk támad, hogy az illető nem érti egyszerű dolgokés/vagy nem értette a feladat lényegét. Ezt a pontot mindig ellenőrzés alatt kell tartani bármilyen probléma megoldása során felsőbb matematika, és más tárgyakban is.

Hová tűnt a nagy „en” betű? Elvileg pluszban lehetett volna csatolni a megoldáshoz, de a bejegyzés lerövidítése érdekében ezt nem tettem meg. Remélem, ezt mindenki megérti, és ugyanazt a jelölést jelenti.

Népszerű példa erre önálló döntés:

2. példa

Keresse meg a vektorokra épített háromszög területét, ha

A háromszög területének vektorszorzaton keresztüli meghatározásának képlete a definíció megjegyzéseiben található. A megoldás és a válasz a lecke végén található.

A gyakorlatban a feladat nagyon gyakori, a háromszögek általában kínozhatnak.

Más problémák megoldásához szükségünk lesz:

A vektorok vektorszorzatának tulajdonságai

A vektorszorzat néhány tulajdonságát már megvizsgáltuk, de ebbe a listába felveszem őket.

Tetszőleges vektorokhoz és bármilyen szám becsületes következő tulajdonságokat:

1) Más információforrásokban ez az elem általában nincs kiemelve a tulajdonságoknál, de nagyon fontos gyakorlati szempontból. Úgyhogy legyen.

2) – az ingatlanról fentebb is van szó, néha ún antikommutativitás. Más szóval, a vektorok sorrendje számít.

3) – asszociatív ill asszociációs vektor szorzat törvényei. A konstansok könnyen áthelyezhetők a vektorszorzaton kívülre. Tényleg, mit csináljanak ott?

4) – terjesztés ill elosztó vektor szorzat törvényei. A konzolok kinyitásával sincs gond.

Ennek bemutatására nézzünk egy rövid példát:

3. példa

Keresse meg, ha

Megoldás: A feltételhez ismét meg kell találni a vektorszorzat hosszát. Festjük meg miniatűrünket:

(1) Az asszociatív törvények szerint az állandókat a vektorszorzat körén kívülre vesszük.

(2) A konstanst a modulon kívülre mozgatjuk, és a modul „megeszi” a mínusz jelet. A hossza nem lehet negatív.

(3) A többi világos.

Válasz:

Itt az ideje, hogy több fát rakjunk a tűzre:

4. példa

Számítsa ki a vektorokra épített háromszög területét, ha

Megoldás: Keresse meg a háromszög területét a képlet segítségével . A bökkenő az, hogy maguk a „tse” és „de” vektorok vektorok összegeként jelennek meg. Az algoritmus itt szabványos, és némileg emlékeztet a lecke 3. és 4. példájára Vektorok pontszorzata. Az egyértelműség kedvéért a megoldást három szakaszra osztjuk:

1) Az első lépésben a vektorszorzatot a vektorszorzaton keresztül fejezzük ki, valójában fejezzünk ki egy vektort vektorral. A hosszról még nem esett szó!

(1) A vektorok kifejezéseinek helyettesítése.

(2) Distributív törvények segítségével kinyitjuk a zárójeleket a polinomok szorzási szabálya szerint.

(3) Az asszociatív törvények segítségével az összes állandót a vektorszorzatokon túlra mozgatjuk. Kis tapasztalattal a 2. és 3. lépés egyszerre is végrehajtható.

(4) Az első és az utolsó tag egyenlő nullával (nulla vektor) miatt kellemes ingatlan. A második tagban egy vektorszorzat antikommutativitásának tulajdonságát használjuk:

(5) Hasonló kifejezéseket mutatunk be.

Ennek eredményeként kiderült, hogy a vektor egy vektoron keresztül fejeződik ki, amit el kellett érni:

2) A második lépésben megkeressük a szükséges vektorszorzat hosszát. Ez a művelet hasonló a 3. példához:

3) Keresse meg a kívánt háromszög területét:

A megoldás 2-3. szakaszát egy sorba lehetett volna írni.

Válasz:

A vizsgált probléma meglehetősen gyakori tesztek, íme egy példa egy független megoldásra:

5. példa

Keresse meg, ha

Gyors megoldásés a válasz a lecke végén. Lássuk, milyen figyelmes voltál az előző példák tanulmányozásakor ;-)

A vektorok keresztszorzata koordinátákban

, ortonormális alapon meghatározott, képlettel fejezzük ki:

A képlet nagyon egyszerű: a determináns felső sorába írjuk a koordináta vektorokat, a második és harmadik sorba a vektorok koordinátáit „rakjuk”, és V szigorú sorrendben – először a „ve” vektor koordinátái, majd a „dupla-ve” vektor koordinátái. Ha a vektorokat más sorrendben kell szorozni, akkor a sorokat fel kell cserélni:

10. példa

Ellenőrizze, hogy a következő térvektorok kollineárisak-e:
A)
b)

Megoldás: Az ellenőrzés az egyik állításon alapul ezt a leckét: ha a vektorok kollineárisak, akkor a vektorszorzatuk egyenlő nullával (nulla vektor): .

a) Keresse meg a vektorszorzatot:

Így a vektorok nem kollineárisak.

b) Keresse meg a vektorszorzatot:

Válasz: a) nem kollineáris, b)

Itt van talán minden alapvető információ a vektorok vektorszorzatáról.

Ez a szakasz nem lesz túl nagy, mivel kevés probléma adódik a vektorok vegyes szorzatának felhasználásával. Valójában minden a meghatározástól függ, geometriai jelentéseés pár munkaképlet.

Vegyes darab vektorok az három szorzata vektorok:

Így hát felsorakoztak, mint egy vonat, és alig várják, hogy azonosítsák őket.

Először is egy definíció és egy kép:

Meghatározás: Vegyes munka nem egysíkú vektorok, ebben a sorrendben szedve, hívott paralelepipedon térfogat, ezekre a vektorokra épül, „+” jellel, ha az alap jobb, és „–” jellel, ha az alap bal.

Csináljuk a rajzot. A számunkra láthatatlan vonalakat pontozott vonalak húzzák:

Merüljünk el a definícióban:

2) Vektorokat veszünk egy bizonyos sorrendben, vagyis a vektorok átrendeződése a szorzatban, ahogy sejthető, nem következik be következmények nélkül.

3) Mielőtt kommentálnám a geometriai jelentést, megjegyzek egy nyilvánvaló tényt: vektorok vegyes szorzata SZÁM: . Az oktatási irodalomban a design kissé eltérhet, a vegyes terméket a , a számítások eredményét pedig a „pe” betűvel szoktam jelölni.

A-priory a kevert termék a paralelepipedon térfogata, vektorokra épített (az ábra piros vektorokkal és fekete vonalakkal van megrajzolva). Vagyis a szám megegyezik egy adott paralelepipedon térfogatával.

jegyzet : A rajz sematikus.

4) Ne törődjünk ismét az alap és a tér orientációjának fogalmával. A záró rész jelentése az, hogy mínusz jelet lehet adni a kötethez. Egyszerű szavakkal, a vegyes termék negatív is lehet: .

Közvetlenül a definícióból következik a vektorokra épített paralelepipedon térfogatának kiszámításának képlete.

A vektorokra épített paralelogramma területe egyenlő ezen vektorok hosszának és a közöttük lévő szög szögének szorzatával.

Jó, ha a feltételek ugyanazon vektorok hosszát adják meg. Előfordul azonban, hogy a vektorokra épített paralelogramma területének képlete csak koordinátákkal végzett számítások után alkalmazható.
Ha szerencséd van, és a feltételek megadják a vektorok hosszát, akkor csak a képletet kell alkalmazni, amelyet a cikkben már részletesen tárgyaltunk. A terület egyenlő lesz a modulok és a köztük lévő szög szinuszának szorzatával:

Tekintsünk egy példát a vektorokra épített paralelogramma területének kiszámítására.

Feladat: A paralelogramma a és a vektorokra épül fel. Keresse meg a területet, ha , és a köztük lévő szög 30°.
Fejezzük ki a vektorokat értékükön keresztül:

Talán van egy kérdése: honnan származnak a nullák? Érdemes megjegyezni, hogy vektorokkal dolgozunk, és ezekért . azt is vegye figyelembe, hogy ha az eredmény egy kifejezés, akkor azt konvertálja a rendszer. Most végezzük el a végső számításokat:

Térjünk vissza a feladathoz, amikor a vektorok hossza nincs megadva a feltételekben. Ha a paralelogrammád benne van Descartes-rendszer koordináták, akkor a következőket kell tennie.

A koordinátákkal megadott ábra oldalai hosszának kiszámítása

Először megkeressük a vektorok koordinátáit, és a végkoordinátákból kivonjuk a kezdet megfelelő koordinátáit. Tegyük fel, hogy az a vektor koordinátái (x1;y1;z1), a b vektor pedig (x3;y3;z3).
Most megtaláljuk az egyes vektorok hosszát. Ehhez minden koordinátát négyzetre kell emelni, majd össze kell adni a kapott eredményeket és -ból véges szám kivonjuk a gyökeret. A vektoraink alapján a következő számítások lesznek:


Most meg kell találnia skaláris szorzat vektoraink. Ehhez a megfelelő koordinátáikat meg kell szorozni és összeadni.

A vektorok hosszának és skaláris szorzatának ismeretében megtalálhatjuk a közöttük lévő szög koszinuszát.
Most megtaláljuk az azonos szög szinuszát:
Most már megvan az összes szükséges mennyiség, és a már ismert képlet segítségével könnyen megkereshetjük a vektorokra épített paralelogramma területét.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete