12. §. Egy halmaz elemei közötti bináris kapcsolat fogalma

8. témakör Kapcsolatok és megfeleltetések

A halmaz elemei közötti bináris kapcsolat fogalma

BAN BEN hétköznapi élet folyamatosan két tárgy kapcsolatáról beszélünk. Például x a menedzsmentnek dolgozik, x apa, x és y barátok – ezek az emberek közötti kapcsolatok. Számok több szám m, egy szám osztható y-vel, számok és y 3-mal osztva ugyanazt a maradékot adja - ezek a számok közötti kapcsolatok.

Bármely matematikai elmélet bizonyos objektumok vagy elemek halmazával foglalkozik. Építeni matematikai elmélet Nemcsak magukra az elemekre van szükségünk, hanem a köztük lévő kapcsolatokra is. A számoknál a kapcsolatok fogalmának van értelme: a = b, ilia > b, ilia< b. Две прямые плоскости могут быть параллельными или пересекаться.

Mindezek a kapcsolatok két tárgyat érintenek. Ezért nevezik őket bináris relációknak.

Amikor bizonyos összefüggéseket vizsgálunk, mindig egy adott halmaz elemeiből képzett rendezett párokkal van dolgunk. Például az „x szám 4-gyel nagyobb, mint az y” reláció esetén, amelyet az X = (2, 6, 10, 14) halmazon veszünk figyelembe, ezek a (6,2), (10) párok lesznek rendezve. , 6), (14, 10 ). Ezek egy részhalmaz Descartes termék X X .

Meghatározás. Az X halmaz elemei közötti bináris reláció vagy egy X halmaz relációja az X X derékszögű szorzat bármely részhalmaza.

A bináris relációkat általában jelölik nagybetűvel Latin ábécé: P, T, S, R, Q stb. Tehát, ha P egy reláció egy X halmazon, akkor P X X. A P-ből származó párok összes első elemének halmazát a P reláció definíciós tartományának nevezzük. A P reláció értékkészlete a P-ből származó párok összes második elemének halmaza.

Sok esetben kényelmes a használata grafikus kép bináris reláció.

Az X halmaz elemeit pontok ábrázolják, a megfelelő elemeket pedig nyilak kötik össze úgy, hogy ha (x,y)P(xPy) előfordul, akkor a nyíl pontokból pontokba húzódik. Az így kapott rajzot P relációs gráfnak nevezzük, az X halmaz elemeit reprezentáló pontokat pedig

a gráf csúcsai.

Például az X = (5, 10, 20, 30, 40) halmazon definiált P: „szám - számosztó” reláció grafikonja az ábrán látható. 54.

A gráf azon nyilait, amelyeknek a kezdete és vége ugyanaz, huroknak nevezzük. Ha a P relációs gráfon az összes nyíl irányát változtatjuk

ellenkezőleg, akkor egy új relációt kapunk, amelyet P inverzének nevezünk. Jelöljük P -1. Vegye figyelembe, hogy xPy yP -1 x.

Bináris relációk megadásának módszerei, tulajdonságaik

Mivel az R reláció az X halmaz elemei között olyan halmaz, amelynek elemei rendezett párok, ugyanúgy megadható, mint bármely halmaz.

Leggyakrabban az X halmaz R relációját a segítségével adjuk meg jellemző tulajdonság elempárok az R relációban. Ez a tulajdonság két változós mondatként van megfogalmazva. Például az X = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) halmaz relációi közül a következőket vehetjük figyelembe: „a szám 2-szer kisebb, mint az y szám”, „ a szám a szám osztója” stb.

Az X halmazon lévő R relációt úgy is meghatározhatjuk, hogy felsoroljuk az X halmazból vett és az R relációval összefüggő összes elempárt.

Például, ha felírunk egy pár halmazt (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3,

Ugyanez az R reláció megadható gráf segítségével (ábra). Kiemeljük legfontosabb tulajdonságait bináris kapcsolatok.

Definíció 1. Egy X halmazon lévő R relációt reflexívnek nevezünk, ha az X halmaz minden eleme ebben a relációban van önmagával.

Röviden szólva ezt a meghatározást a következőképpen írható fel: R reflexív X xRx-en bármely x X-re.

Nyilvánvaló, hogy ha egy R reláció egy X halmazon reflexív, akkor a relációs gráf minden csúcsán van egy hurok. Az ellenkező állítás is igaz.

Példák a reflexív összefüggésekre: „egyenlőnek lenni a sík háromszögeinek halmazán”, „x ≤ y”.

Vegyük észre, hogy vannak olyan relációk, amelyek nem rendelkeznek a reflexivitás tulajdonságával, például az egyenesek merőlegességének relációja.

Definíció 2. Egy X halmazon lévő R relációt szimmetrikusnak nevezünk, ha X bármely elemére teljesül a következő feltétel: ha x és y R relációban van, akkor y is ebben a relációban van.

Röviden: R szimmetrikus az X xRy yRx-en.

A szimmetrikus relációs gráfnak az a tulajdonsága, hogy ha van egy nyíl, amely összeköt egy elempárt, akkor szükségszerűen van egy második, amely ugyanazokat az elemeket köti össze, de az ellenkező irányba megy. Ennek fordítva is igaz.

Példák a szimmetrikus összefüggésekre a következő relációk: „egymásra merőlegesnek lenni a sík összes egyenesének halmazára”, „hasonlónak lenni a sík összes téglalapjának halmazán”.

3. definíció. Ha az X halmazból egyetlen elem és y esetén sem fordulhat elő, hogy az xRy és az yRx is jelen van egyszerre, akkor az X halmazon lévő R relációt aszimmetrikusnak nevezzük. Példa az aszimmetrikus kapcsolatra: „apának lenni” (ha ih - apának, akkor nem lehetsz apa).

4. definíció. Az X halmazon lévő R relációt antiszim-

Például a "kisebb, mint" reláció az egész számok halmazán antiszimmetrikus.

Az antiszimmetrikus relációs gráfnak van egy sajátossága: ha a gráf két csúcsát egy nyíl köti össze, akkor csak egy nyíl van. Az ellenkező állítás is igaz. Az aszimmetria tulajdonsága az antiszimmetria tulajdonságának és a reflexivitás hiányának kombinációja.

Definíció 5. Egy X halmazon lévő R relációt tranzitívnak nevezzük, ha bármely x, y, z X elemre teljesül a következő feltétel: ha x az R relációban és y az R cz relációban van, akkor az x elem az R relációban a z elemmel.

Röviden: R tranzitív az X xRy-n és az yRz xRz-en.

Például az „egy x egyenes párhuzamos egy egyenessel” reláció, amely egy síkban lévő egyenesek halmazán van definiálva, tranzitív.

A tranzitív relációgráfnak van egy különlegessége: minden x-ből ky-be és oty-ból z-be tartó nyílpár tartalmaz egy x-ből z-be tartó nyilat is. Ennek fordítva is igaz.

Vegyük észre, hogy vannak olyan relációk, amelyek nem rendelkeznek a tranzitivitás tulajdonságával. Például az „egymás mellett állni a polcon” reláció nem tranzitív.

Egyenértékűségi reláció

Legyen X emberek halmaza. Ezen a halmazon definiálunk egy R bináris relációt az aRb törvény segítségével, ha a és b ugyanabban az évben születtek.

Könnyen ellenőrizhető, hogy az R reláció reflexivitás, szimmetria és tranzitivitás tulajdonságokkal rendelkezik. Az R relációt ekvivalenciarelációnak mondjuk.

Definíció 1. Egy X halmazon lévő R bináris relációt ekvivalenciarelációnak nevezünk, ha reflexív, szimmetrikus és tranzitív.

Térjünk vissza ismét az R relációhoz, amelyet a törvény egy emberhalmazon határoz meg: aRb, ha a és b ugyanabban az évben születtek.

Tekintsük minden a személlyel együtt azon K a személyek halmazát, akik ugyanabban az évben születtek sa. Két K a és K b halmaz sem rendelkezik közös elemek, vagy teljesen egybeesik.

A K a halmazok halmaza az összes ember halmazának az osztályokba való felosztását jelenti, mivel felépítéséből következik, hogy két feltétel teljesül: minden személy valamilyen osztályba tartozik, és minden személy csak egy osztályba tartozik. Vegye figyelembe, hogy minden osztály az azonos évben született emberekből áll.

Így az R ekvivalenciareláció az X halmaz egy partícióját generálja osztályokra (ekvivalencia osztályokra). Ennek az ellenkezője is igaz.

Tétel. Az X halmaz minden ekvivalencia relációja megfelel az X halmaz osztályokra (ekvivalencia osztályokra) történő felosztásának. A halmazok minden partíciója megfelel egy ekvivalencia relációnak az X halmazon.

Bizonyítás nélkül elfogadjuk ezt a tételt.

A tételből az következik, hogy a halmaz osztályokra osztása eredményeként kapott minden osztályt bármely (egyik) képviselője meghatároz, ami lehetővé teszi, hogy egy adott halmaz összes elemének tanulmányozása helyett csak a gyűjteményt vizsgáljuk. egyéni képviselők minden osztály.

Rendelési viszony

Folyamatosan alkalmazzuk a rendelési kapcsolatokat Mindennapi élet. Definíció 1. Minden R on antiszimmetrikus és tranzitív reláció

néhány X halmazt sorrendi relációnak nevezünk.

Egy X halmazt, amelyen egy sorrendi reláció adott, rendezettnek nevezzük.

Vegyük az X = (2, 4, 10, 24) halmazt. Az „x nagyobb” összefüggés szerint van rendezve (63. ábra).

Tekintsünk most egy másik „x oszt” rendű relációt

y" (64. ábra).

Ennek az áttekintésnek az eredménye furcsának tűnhet. Az „x nagyobb” és az „x oszt” összefüggések különböző módon rendezik az X halmazt. Az x-nagyobb reláció lehetővé teszi bármely két szám összehasonlítását

készlet X. Ami az „x oszt” relációt illeti, nincs ilyen tulajdonsága. Tehát a 10-es és 24-es számpárt ez a kapcsolat nem köti össze.

Definíció 2. Valamely X halmazon lévő R rendű relációt relációnak nevezzük lineáris rend, ha van a következő tulajdonság: bármely elemhez iu

az X halmaz vagy xRy vagy yRx.

Az X halmazt, amelyen lineáris sorrendű reláció adott, lineárisan rendezettnek nevezzük.

A lineárisan rendezett halmazoknak számos tulajdonsága van. Legyenek a, b, c az X halmaz elemei, amelyekre az R lineáris rendű relációt adjuk meg. Ha aRb és bRc, akkor azt mondjuk, hogy a b elem az a és .

Egy lineárisan rendezett X halmazt diszkrétnek nevezünk, ha bármely két eleme között csak véges elemhalmaz található.

Ha bármelyik kettőre különféle elemek lineárisan rendezett X halmaz között van a halmaz egy eleme, ekkor az X halmazt sűrűnek nevezzük.

A halmazok közötti megfelelés fogalma. A megfelelések megadásának módszerei

Legyen adott két X és Y halmaz. Ha minden x X elemre megadjuk azt az Y elemet, amelyhez illeszkedik, akkor azt mondjuk, hogy megfeleltetés jön létre az X és Y halmazok között.

Más szóval, az X és Y halmazok elemei közötti megfelelés e halmazok X és Y derékszögű szorzatának bármely G részhalmaza: G X Y .

Mivel az egyezés egy halmaz, ugyanúgy megadható, mint bármely halmaz: az összes pár felsorolásával (x, y), ahol

Ha az X és Y halmazok végesek, akkor az elemek közötti megfelelést egy táblázatban adhatjuk meg, ahol az X halmaz elemei a bal oldali oszlopba, az Y halmaz elemei pedig a felső sorba vannak írva. A G-vel egyező elempárok a megfelelő oszlopok és sorok metszéspontjában lesznek.

Egyezés a kettő között véges halmazok grafikon segítségével is megjeleníthető. Az X és Y halmazok oválisként vannak ábrázolva, az X és Y halmazok elemeit pontok jelölik, a megfelelő elemeket pedig nyilak kötik össze úgy, hogy ha (x,y) G előfordul, akkor a nyilat pontokból húzzuk pontokat.

Például az ábrán látható grafikon. 16, beállítja a megfelelést „X író írta a munkát”.

Ha a halmazok és Y numerikusak, akkor lehetőség van egy G megfelelőségi gráf összeállítására Koordináta sík.

A megfelelés az adott inverze. Egy-egy levelezés

Legyen R az X = (1, 2, 4, 5, 6) halmazok elemei közötti megfelelés „A szám ötször kisebb, mint a szám”

Y = (10, 5, 20, 13, 25).

Ennek a megfeleltetésnek a grafikonja az ábra szerint lesz. 23. Ha ennek a grafikonnak a nyilai irányát a következőre változtatjuk

ellenkezőleg, akkor kapunk egy grafikont (22. ábra) az új megfelelésről: „Az y szám ötször nagyobb, mint az x szám”, figyelembe véve

Y és X halmazok között.

Ezt a megfeleltetést inverz megfeleltetésnek nevezzük

koordinátaszögek.

Képzeljünk el egy helyzetet: a nézőtéren minden ülőhelyen van egy néző és minden nézőnek van helye. Ebben az esetben azt mondják, hogy a készlet között

ülőhelyek a nézőtéren és a nézők sokasága egy-egy levelezést alakított ki.

Meghatározás. Legyen adott két X és Y halmaz. Az X és Y halmaz elemei közötti megfelelést, amelyben az X halmaz minden eleme az Y halmaz egyetlen elemének felel meg, az Y halmaz minden eleme pedig csak az X halmaz egy elemének felel meg, egy az egyhez.

Nézzünk példákat az egy-egy levelezésre. 1. példa Minden iskolában, minden osztályban

egy menő magazinnak felel meg. Ez a levelezés egy az egyhez.

2. példa Adott ABC háromszög (25. ábra).A háromszög 1 C 1 középvonala. Legyen X az A 1 C 1 szakaszon lévő pontok halmaza, Y az AC pontok halmaza.

Az A 1 C 1 szakasz egy tetszőleges x pontját összekötjük a háromszög B csúcsával egy egyenes szakasszal és

Folytassuk addig, amíg az AC-vel hegyes pontban nem metszi. Párosítsuk a pontokat az így megszerkesztett ponttal. Ebben az esetben egy-egy megfeleltetés jön létre az X és Y halmazok között.

Meghatározás. Az X és Y halmazokat ekvivalensnek vagy egyenértékűnek nevezzük, ha közöttük valamilyen módon egy-egy megfeleltetés létesíthető. Két halmaz egyenértékűségét a következőképpen jelöljük: X ~ Y.

A hatalom fogalma a mennyiség fogalmának általánosítása. Ez a mennyiség fogalmának kiterjesztése a végtelen halmazokra.

1. Mátrix rang

3
5
2
4

2. Algebrai komplementer elem

A 23 = 12
A 23 = -34
A 23 = 34
A 23 = -12

3. Mátrixok szorzata

- Jobb

4. Ha minden elem egy sorban van téglalap alakú mátrixÉs az n x m méretek szorozva kettővel, akkor az A mátrix rangja...
2-vel fog növekedni
Nem fog változni
duplájára fog nőni

5. Helyes arány

- Jobb

6. Meghatározó érték

2
4
5
3

7. Kölcsönös megállapodás egyenesek 4x - 2y - 6 = 0 és 8x - 4y - 2 = 0 a síkon - egyenesek ...
párhuzamos
metszik egymást
merőleges
mérkőzés

8. Legyen x és y a rendszer megoldásai

4
7
5
6

9. Az alábbi egyenletek között jelölje meg az ellipszis egyenletét!

10. Legyen adott a sor normál egyenlet x sinα + y sinα – p = 0. Igaz állítás
Ha az OA egy merőleges, az origóból visszaállítva az egyenesre, akkor α az a szög, amelyet az OA merőleges az Ox tengellyel alkot.
Ha OA egy merőleges, az origótól az egyenesig visszaállítva, akkor α ennek a merőlegesnek a hossza
p - az Ox tengelyen egyenes vonallal levágott szegmens mérete
α az egyenes dőlésszöge pozitív irányÖkör tengely

11. Adott egy lineáris rendszer

a rendszernek számtalan megoldása van
a rendszernek nincs megoldása
a rendszernek egyedi megoldása van
a megoldások jelenlétéről nem mondható el semmi (lehet a rendszernek van megoldása, de lehet, hogy nincs)

5x - 3y - 7 = 0
3x + y – 7 = 0
4x - 2y - 6 = 0
6x - y - 11 = 0

13. Keresse meg skaláris szorzat vektorok

A „megfelelőség” szót meglehetősen gyakran használják az orosz nyelvben, ez valami közötti kapcsolatot jelent, bizonyos tekintetben konzisztenciát, egyenlőséget fejez ki; Szótár Ozhegova).

Az életben gyakran hallani: „Ez a tankönyv ennek a programnak felel meg, de ez a tankönyv nem felel meg (de megfelelhet egy másik programnak); Ez az alma a legmagasabb fokozatnak felel meg, de ez csak az első.” Azt mondjuk, hogy ez a vizsgán adott válasz „kitűnő”, míg ez a válasz „jó” osztályzatnak felel meg. Azt mondjuk, hogy ez a személy passzol (az illeszkedés értelmében) a 46-os méretű ruhákhoz. Az utasításoknak megfelelően ezt kell tennie, és nem másként. A számok között egyezés van napos Napokévi és terméshozam.

Ha megpróbálja elemezni ezeket a példákat, azt minden esetben észre fogja venni arról beszélünk az objektumok két osztályáról, és az azonos osztályba tartozó objektumok között ez hozza létre bizonyos szabályokat valamilyen kapcsolat egy másik osztály objektumaival. Például egy bizonyos mérethez passzoló ruházat esetében a tárgyak egyik osztálya az ember, a másik tárgyosztály pedig néhány egész számok, a ruhaméretek szerepét tölti be. Beállíthatjuk azt a szabályt, amely alapján a megfelelés megállapításra kerül, például egy természetes algoritmus segítségével - egy adott öltöny felpróbálásával vagy annak alkalmasságának „szemmel” meghatározásával.

Olyan megfeleléseket fogunk figyelembe venni, amelyeknél az objektumok osztályai, amelyek között a megfeleltetés létrejön, és a megfeleltetés megállapításának szabálya teljesen meghatározott. Az iskolában számos példát tanulmányoztak ilyen levelezésre. Először is ezek természetesen funkciók. Bármely függvény a megfeleltetés példája. Vegyük például a függvényt nál nél = x+ 3. Ha nincs külön mondva a függvény definíciós tartományáról, akkor úgy tekintjük, hogy az argumentum minden egyes számértéke x megfelel számérték nál nél, amely a szabály szerint található: hogy x hozzá kell adni 3. Ebben az esetben a halmazok között létrejön a megfelelés R És R valós számok.

Vegye figyelembe, hogy két halmaz közötti kapcsolatok létrehozása xÉs Y a halmaz elemeiből kialakított tárgypárok figyelembevételével kapcsolatos xés a halmaz megfelelő elemei Y.

Meghatározás. Megfelelés készletek között xÉs Y hívja a derékszögű szorzat bármely nem üres részhalmazát x ´ Y.

Egy csomó x hívott indulási terület gyufa, készlet Y – érkezési terület megfelelés.

A halmazok közötti megfeleléseket általában jelöljük nagybetűvel latin ábécé pl. R, S, T. Ha R– némi megfelelés a halmazok között xÉs Y, akkor a levelezés definíciója szerint, RÍ x´ YÉs R≠ Æ. A halmazok közötti megfelelés ideje xÉs Y a derékszögű szorzat minden részhalmaza x ´ Y, azaz rendezett párok halmaza, akkor a megfelelések megadásának metódusai lényegében megegyeznek a halmazok megadásának módszereivel. Szóval, párosítás R készletek között xÉs Y beállíthatod:

a) az összes elempár felsorolása ( x, y) Î R;

b) megjelölve azt a jellemző tulajdonságot, amellyel minden pár rendelkezik ( x, y) készletek Rés nincs olyan pár, amely nem az eleme.

PÉLDÁK.

1) Megfelelés R készletek között x= (20, 25) és Y= (4, 5, 6) a jellemző tulajdonság feltüntetésével adható meg: “ x többszörös nál nél»,
x Î x, nál nél Î Y. Aztán sok R = {(20, 4), (20, 5),(25, 5)}.

2) Megfelelés R készletek között x= (2, 4, 6, 8) és

Y= (1, 3, 5) párok halmaza adja meg R = {(4, 1), (6, 3), (8, 5)}.

Ha R– levelezés kettő között numerikus halmazok xÉs Y, majd az összes megfelelő számpárt ábrázolja R a koordinátasíkon egy megfelelési gráfnak nevezett ábrát kapunk R. Ezzel szemben a koordinátasíkon lévő pontok bármely részhalmaza a numerikus halmazok közötti megfelelés grafikonjának tekinthető. xÉs Y.

Egyező grafikon

A véges halmazok közötti megfelelések vizuális megjelenítéséhez a grafikonokon kívül grafikonokat is használnak. (Tól től görög szó„grapho” – írok, hasonlítok össze: gráf, távíró).

A halmazok közötti megfelelési gráf felépítése xÉs Y az egyes halmazok elemeit pontként ábrázoljuk a síkon, majd nyilak rajzolnak ki x Î x Nak nek nál nél Î Y, ha pár ( x, y) ehhez a levelezéshez tartozik. Az eredmény egy pontokból és nyilakból álló rajz.

PÉLDA Levelezés R készletek között x= (2, 3, 4, 5) és Y= (4, 9) a párok felsorolásával adódik R = {(2, 4), (4, 4), (3, 9)}.

Ugyanígy írhatod a 4-et R 4, 3R 9. És általában, ha egy pár
(x, y) Î R, akkor azt mondják, hogy az elem x Î x elemnek felel meg nál nél Î Yés írd le xRу. 2. elem О x az elem inverz képének nevezzük
4 Î Y betartásának függvényében Rés a 4 R-1 2. Hasonlóképpen írhat 4-et R -1 4, 9R -1 3.

A rendszer elemeinek szoros kapcsolatát a köztük lévő fizikai, pontosabban természetes kapcsolatok, vagy a rendszer egyéb alapvető tulajdonságai, például gazdasági, társadalmi, az emberi társadalom fejlődését jellemző tulajdonságai határozzák meg.

Az ilyen kapcsolatok mélysége a rendszer szintjétől függ a kapcsolódó rendszerek hierarchiájában tárgykörben a vizsgált komplex objektum létezését. Az összefüggések magukban foglalják a rendszert alkotó természet és társadalom elemei közötti általános kapcsolatokat és az elemeinek bizonyos korlátozott körére vonatkozó privát kapcsolatokat is. A fentiekkel kapcsolatban ezeket az összefüggéseket vagy nevezzük általános törvények természet (alapvető) vagy magán, amely a jelenségek korlátozott körére vonatkozik (empirikus törvények) vagy olyan irányzatokhoz, amelyek tömegjelenségekben valamilyen ismétlődés formájában jelentkeznek és ún törvényszerűségek.

Az alapvető összefüggéseket törvényeknek nevezzük. A jog egy filozófiai kategória, amely minden természeti tárgyra, jelenségre és eseményre vonatkozóan egyetemes tulajdonságokkal rendelkezik. Ezzel kapcsolatban a törvény meghatározása a következő: a törvény lényegi, stabil, ismétlődő kapcsolat bármely jelenség között.

A törvény bizonyos kapcsolatot fejez ki maguk a rendszerek között, alkotóelemei tárgyak és jelenségek asszociációi, valamint magukon a tárgyakon és jelenségeken belül.

Nem minden kapcsolat törvény. Lehet szükségszerű és véletlen is, a Törvény szükségszerű kapcsolat. A térben egymás mellett létező dolgok (általános értelemben vett anyagi képződmények) közötti lényegi kapcsolatot fejezi ki.

A fent leírtak mind erre vonatkoznak működési törvények(létezés természetes környezet vagy mesterségesen hozta létre az ember). Vannak még a fejlődés törvényei, amely kifejezi az események trendjét, irányát vagy sorrendjét időben. Minden természeti törvények- nem emberi kéz alkotja, objektíven léteznek a világban és kifejezik a dolgok összefüggéseit, és tükröződnek az emberi tudatban is.

Mint már említettük, a törvényeket az általánosság foka szerint osztják fel. Univerzális törvények filozófiai törvények. A természet alapvető törvényei általánosságukban is két részre oszlanak nagy osztály. Az általánosabbakra, amelyeket számos, vagy akár abszolút tudományág vizsgált (ezek közé tartoznak például az energia- és információmegmaradás törvényei stb.). És kevesebb általános törvények, amelyek meghatározott tudományok (fizika, kémia, biológia) által vizsgált korlátozott területekre terjednek ki.

Az empirikus törvényeket speciális tudományok tanulmányozzák, amelyek magukban foglalják az összes műszaki tudományt. Példaként vehetjük az anyagok szilárdságának tudományát. Azokat az objektumokat és rendszereket vizsgálja, amelyekben minden működik. alaptörvényekés a kísérleti adatokon alapuló empirikus törvények a tudományág alanyaira csak azokat mechanikus testek, amelyek engedelmeskednek Hooke törvényének: a test deformációja egyenesen arányos a testre ható erővel (és fordítva).

BAN BEN műszaki tudományok Vannak olyan szakaszok, amelyek konkrétabb, axiómaként elfogadott empirikus összefüggéseken alapulnak.

Egyes törvények szigorú mennyiségi függőséget fejeznek ki és rögzítettek matematikai képletek, míg mások még nem alkalmasak formalizálásra, jelezve például egy eseménytípus kötelező jellegét egy másik előfordulása miatt.

Néhány törvény - eltökélt, vagyis pontosat állapítanak meg mennyiségi összefüggések, Egyéb - statisztikai, amely meghatározza egy esemény bekövetkezésének valószínűségét bizonyos feltételek mellett.

A természetben a törvények spontán erőként működnek. A törvények ismeretében azonban célirányosan használhatók benne gyakorlati tevékenységek(mint a gőznyomás ereje a gőzgépekben, mint a sűrített gáz ereje a belső égésű motorokban).

A társadalomtörténeti törvények nem sokban különböznek a természet törvényeitől, de között működnek gondolkodó emberek. Ezen törvények ismerete segít jobb szervezettség gazdaság és társadalom.

Így a természet és a társadalom törvényeinek tanulmányozása az emberiség elsődleges feladata. Csak a törvények ismerete és a helyes alkalmazásukra vonatkozó intézkedések kidolgozása biztosíthatja a fejlődő és felnövekvő emberiséget táplálékkal és olyan mesterségesen kialakított környezettel, amelyben létezhet.

A felmerülő új problémák megoldásának sebessége attól függ, hogy mekkora tartalék tudományos tudás az emberek megtakarították Ebben a pillanatbanés hogyan dolgozták fel és értelmezték. A tudományos ismeretek megértése vezet a megfogalmazáshoz tudományos probléma, amelynek megoldása elvezethet az elmélet befejezéséhez ebben a kérdéskörben, és szigorúbb következtetések alkalmazásához gyakorlati kérdésekben. Tudományos probléma- nemcsak filozófiai kategória a leírt értelemben, hanem gyakorlati is, amelytől függ, hogyan elméleti tudomány, valamint gyakorlati megvalósítása az emberek életében.

A tudományos probléma jelentőségének az elmélet teljessége szempontjából magyarázó részéből az következik, hogy a tudományos probléma egy olyan ellentmondásos helyzet, amely ellentétes álláspontok formájában jelenik meg bármilyen jelenség, tárgy, folyamat magyarázatában, és megfelelő adekvátságot igényel. az egyetlen elmélet megoldani.

Sikeres megoldásának fontos feltétele a helyes megfogalmazás. Ellentmondásokat látni a megszerzett empirikus tudásban, odafigyelni rájuk és felvetni ennek az ellentmondásnak a felszámolását, azt jelenti, hogy elkezdjük a tudományos probléma megoldását és a tudományt a haladás felé mozdítani. Nem ok nélkül a tudományban a problémák megfogalmazására képes embereket még jobban tisztelik, mint azokat a kutatókat, akik konkrétan megoldották a megfogalmazott problémát. A rossz problémák megfogalmazása a tudomány nagy megtorpanásához vezet.

A „tudományos probléma” kategória közvetlenül kapcsolódik a kategóriához "hipotézis". A hipotézisek mindenekelőtt egy tudományos probléma ellentmondásainak elméleti kiküszöbölésére szolgálnak. Az ilyen hipotézisek (feltevések), ha sikeresek, akár alapvető elméletekké is válnak (Newton feltevése a két fizikai test közötti vonzás erejéről).

A hipotéziseket a műszaki tudományokban is használják, ahol sajátos természetűek, és a vizsgált objektum és elemei viselkedését meghatározó tényezők kölcsönhatási módszerének leírását jelentik. Ebben az esetben a hipotézist munkahipotézisnek nevezzük, amely, mint pl tudományos probléma, kísérleti adatok alapján bizonyítható vagy elutasítható.

Ezért a hipotézis egy jelenség, tárgy, esemény valószínű (lehetséges) változási mintájára vonatkozó feltevés, amely nem bizonyított, de valószínűnek tűnik.

A hipotézis hasznossága abban rejlik, hogy mozgósítja a kutatókat a problémák megfogalmazására kísérleti munka a feltett hipotézis helyességének bizonyítása érdekében. És ha ettől eltérő eredmény születik, akkor a felhalmozott anyag lehetővé teszi a hipotézis korrigálását és a további tudományos kutatómunka megtervezését.

Egy általánosabb megfogalmazás szerint a modellezés, mint a tudományos módszertan módszere, abban áll, hogy áttérünk a vizsgált objektumról alkotott informálisan értelmes elképzelésekről a matematikai modellek használatára.

Elméleti szint Az axiómák alapján kapott modellek, tételek levezetésének szabályai, megfeleltetési szabályok hipotetikus-deduktív rendelkezések alapján tovább bővülnek a felállított hipotézisek elemzésével kapott konzekvenciák megfogalmazásával. Az ebben az esetben használt matematikai apparátus csak az új ismeretek megszerzésének eszköze, és semmiképpen végső cél módszertani elemzés.

Összeállításhoz matematikai modell felhasználása következik, melynek célja a létrehozása előtt hiányzó információk megszerzése, i. az eredményül kapott modellnek heurisztikusnak kell lennie. Ez a cselekvés az, amivé a módszertant alakítja kísérleti tudomány, amely lehetővé teszi a következtetések gyakorlati ellenőrzését.

Modell és tulajdonságai.

Formalizálás meglévő tudás a vizsgált rendszerről (a modell fordítója által) modellt hoz létre, hogy megkapja a rendszer szükséges tulajdonságait: konzisztencia; teljesség; az axiómarendszer függetlensége; tartalom. Jó példa ezeknek a tulajdonságoknak a beteljesülése Lobacsevszkij, Gauss, Bolyai nemeuklideszi geometriai elméletei a XIX. Az olasz Beltrami megmutatta, hogy vannak valódi testek, amelynek felületén teljesülnek a Lobacsevszkij-geometria törvényei.

Az emberi tudás elméleti megértésének hajnalán az elméletek fejlődése mindig az egyedi esetektől az általános felé haladt. Jelenleg az objektumok modellezésére szolgáló módszerek jelentek meg, amelyek egy matematikai modell strukturálásán alapulnak. Az ilyen ismeretek fejlődési lánca a fordított sorrendben. Először jön az axiomatikus matematikai leírás a vizsgált eseményt (objektumot), és ennek alapján fogalmi modellt – paradigmát – fogalmaznak meg. Ezzel együtt a megfelelési elvek is változnak. természetes folyamatokÉs elméleti sémák(modellek). A modell szerinti számítási eredmények és a kísérleti adatok egyszerű egybeesése helyett figyelembe vesszük összehasonlító jellemzők az övék matematikai algoritmusok eredmények elérése más (közvetett) paraméterekben. Ezek közé az elvek közé tartoznak például az alapelvek egyszerűség és szépség tudományos elméletek . Ráadásul ebben az esetben a modellt egy új matematikai apparátussal vezetik be az interpretációval együtt, pl. A kiindulópont benne egy olyan matematikai formalizmus, amely a matematika nyelvén képes megmagyarázni egy bizonyos lényeget, amely a tapasztalatban nyilvánul meg. Ez a lépés az, ami megnehezíti az empirikus verifikációt, hiszen nemcsak a leírási egyenletet, hanem annak értelmezését is tapasztalattal kell igazolni.

Belépett matematikai berendezés ebben az esetben nem konstruktív elemeket tartalmaz, amelyek utólag az elmélet és a tapasztalat közötti eltéréshez vezethetnek. Meg kell jegyezni, hogy pontosan ez a modern sajátossága tudományos kutatás. Másrészt a modern tudományos kutatásnak ez a sajátossága a javasolt elutasításának lehetőségével fenyeget ígéretes készülék. Hogy ez ne forduljon elő, külön kell foglalkozni a dolognak ezzel az oldalával – az eltéréseket kísérlet alapján kiküszöbölni (például a kvantumfizikaés elektrodinamika).

Régi rendszer klasszikus fizikaértelmezések tudományos tények egy közelítő matematikailag kialakított elmélet lépésről lépésre történő „megalkotásává” vált valódi folyamat az eredeti modellhez. Felmerül a kérdés, hogy mi készteti a kutatókat egy ilyen cselekvési algoritmusra, pl. Milyen késztetései vannak ennek az elméleti képalkotásnak? Erre a tudomány módszertana nagyon határozott választ ad: az igazság belső értéke; újdonságérték.

Minden, amit mondunk, a használatával érhető el elveket követve kutatás: a) a plágium tilalma; b) a tudományos kutatás megalapozottságának kritikai felülvizsgálatának megengedhetősége; c) mindenki egyenlősége (beleértve a zseniket is) az igazsággal szemben; d) a hamisítás és csalás tilalma

Példa erre az Einstein-Lorentz kapcsolat. Az akkor még nem hivatalos minősítés szerinti első akkoriban kevésbé volt mérvadó, de a relativitáselmélet elemei alapvető elmélet. .

A matematikai modellezéssel foglalkozó számos munka ellenére a pontos fogalom megfogalmazása során nehézségek merültek fel matematikai modellezés. Ezek (modellek) és tartalmuk túl sokrétű. Összességében egyértelmű, hogy a modellhez többre van szükség, mint összehasonlítani valóság: a modellnek információt kell szolgáltatnia a szimulált objektumok és jelenségek tulajdonságairól. Ezért a modell elfogadható meghatározásának olyannak kell lennie, amely nem tartalmaz részleges bizonytalanságokat. Például: egy adott objektum modellje egy másik objektum, amelyet összehasonlítanak az eredetivel, a modellezett ill bizonyos tulajdonságokat amely adott módon tükrözi (elmenti) az objektum kiválasztott tulajdonságait.

A modellnek minden ismertet (néha néhány ismert jellemzőt) meg kell jelenítenie az objektumról, és meg kell jósolnia vagy formálnia kell új információ róla bármilyen új létfeltétel között. A modellezés célja az Így, - függvény reprezentáció (leírás), ha van magyarázata a modell által figyelembe vett jelenségeknek. Ebben az esetben a modell elméletként működik. És ennek ellenére a modell egészének matematikai (formális) és tartalmi oldala közötti éles szembenállás tarthatatlan. Figyelembe véve a modell kialakításának sajátos oldalát, összefoglalhatjuk, hogy a matematika úgy működik, mint a legfontosabb eszközértelmes ötletek kialakítása a vizsgált jelenséggel kapcsolatban a tanulmány során.