Másodrendű lineáris differenciálegyenletek állandókkal. Másodrendű lineáris homogén differenciálegyenletek állandó együtthatókkal

Csúcstechnológiai korunkat az jellemzi széles lehetőségek. Az elektronikus számítógépek fejlődésével elképesztő távlatok nyíltak meg az emberek előtt. Minden érdekes hír most teljesen ingyenesen, otthona elhagyása nélkül megtalálható a globális hálózaton. Ez áttörést jelent a technológia területén. De hogyan lehet ennyi adatot tárolni a számítógép memóriájában, feldolgozni és nagy távolságra továbbítani? Milyen mértékegységek léteznek a számítástechnikában? És hogyan lehet velük dolgozni? Manapság nem csak az írással közvetlenül foglalkozó emberek számítógépes programok, de ezekre a kérdésekre a hétköznapi iskolásoknak is tudniuk kell a választ. Hiszen ez mindennek az alapja.

számítástechnikában

Megszoktuk, hogy azt gondoljuk, hogy az információ mindaz a tudás, amelyet átadnak nekünk. De az informatikában és Számítástechnika ennek a szónak kicsit más a meghatározása. Ez az összes elektronikai tudomány alapvető összetevője. számítógépek. Miért alapvető vagy alapvető? Mert a számítástechnika az adatokat feldolgozza, tárolja és elérhetővé teszi az emberek számára. Az információmérés minimális mértékegysége bitben történik. Az információkat addig tárolja a számítógép, amíg a felhasználó meg nem akarja tekinteni.

Megszoktuk, hogy az információ a nyelv egysége. Igen, ez igaz, de a számítástechnika más meghatározást használ. Ez információ a minket körülvevő környezetben lévő objektumok állapotáról, tulajdonságairól és paramétereiről. Teljesen egyértelmű, hogy minél több információt tudunk meg egy tárgyról vagy jelenségről, annál jobban megértjük, hogy nem értjük őket. De most, a világ minden tájáról származó, teljesen ingyenes és hozzáférhető anyagok hatalmas mennyiségének köszönhetően, sokkal könnyebbé vált a tanulás, az új ismeretségek kötése, a munka, a pihenés és a pihenés könyvolvasás vagy filmnézés közben.

Az információmennyiség mérésének alfabetikus szempontja

Amikor dokumentumokat nyomtatunk munkához, cikkeket weboldalakra, és személyes blogunkat vezetjük az interneten, nem gondolunk arra, hogyan történik az adatcsere a felhasználó és maga a számítógép között. Hogyan képes egy gép megérteni a parancsokat, és milyen formában tárolja az összes fájlt? A számítástechnikában az információ mértékegysége egy bit, amely nullákat és egyeseket tárolhat. Az alfabetikus megközelítés lényege a mérésben rejlik szöveges karakterek karaktersorozatból áll. De ne fonja össze az ábécé szerinti megközelítést a szöveg tartalmával. Ezek teljesen más dolgok. Az ilyen adatok mennyisége arányos a beírt karakterek számával. Ennek köszönhetően kiderül, hogy egy jel információs súlya a bináris ábécéből egyenlő egy bittel. Az informatikában, mint minden más mértékegységben, különböző mértékegységek léteznek. A bit a mérés minimális értéke.

Az információmennyiség számításának tartalmi szempontja

Az információmérés a valószínűségszámításon alapul. BAN BEN ebben az esetben figyelembe veszik azt a kérdést, hogy mennyi adatot tartalmaz az üzenet, amelyet egy személy kap. Itt jönnek képbe a tételek. diszkrét matematika. Az anyagok kiszámításához kettő különböző képletek az esemény valószínűségétől függően. Ugyanakkor a számítástechnikában az információ mértékegységei változatlanok maradnak. A karakterszám és a grafikák számának tartalmi megközelítéssel történő kiszámításának feladatai sokkal nehezebbek, mint a betűrendes megközelítéssel.

Az információs folyamatok típusai

Az elektronikus számítógépben három fő folyamattípus létezik:

1. Így megy ez ez a folyamat? Adatbeviteli eszközökön keresztül, legyen az billentyűzet, optikai egér, nyomtató vagy egyéb, információkat fogad. Aztán bináris kóddá alakítja át, és bitben, bájtban, megabájtban kiírja a merevlemezre. A számítástechnikában az információ bármely mértékegységének lefordításához van egy táblázat, amelyből kiszámíthatja, hogy hány bit van egy megabájtban, és más fordításokat is végrehajthat. A számítógép mindent automatikusan csinál.
2. Fájlok és adatok tárolása a készülék memóriájában. A számítógép mindenre bináris formában képes emlékezni. A bináris kód nullákból és egyesekből áll.
3. Az elektronikus számítógépben végbemenő másik fő folyamat az adatátvitel. Bináris formában is végrehajtják. De az információ szimbolikus vagy más felfogásunk által ismert formában jelenik meg a monitor képernyőjén.

Az információ kódolása és mérésének mértéke

Az információ mértékegysége egy bit, amivel meglehetősen könnyű dolgozni, mert 0 vagy 1 értéket tartalmazhat. Hogyan kódolja a számítógép a közönséges decimális számokat bináris kódba? Nézzünk egy kis példát, amely megmagyarázza az információ számítógépes technológia általi kódolásának elvét.

Tegyük fel, hogy van egy számunk a szokásos számrendszerben - 233. A konvertáláshoz bináris nézet, addig kell osztani 2-vel, amíg kisebb lesz, mint maga az osztó (esetünkben - 2).

1. Az osztást kezdjük: 233/2=116. A többit külön felírjuk, ezek lesznek a válasz bináris kód komponensei. Esetünkben ez az 1.
2. A második akció a következő lesz: 116/2=58. Az osztás fennmaradó részét - 0 - ismét külön írjuk.
3. 58/2=29 maradék nélkül. Ne felejtse el felírni a maradék 0-t, mert ha csak egy elemet veszít, akkor teljesen más értéket kap. Ez a kód ezután a számítógép merevlemezén kerül tárolásra, és biteket jelent - minimális egységek információmérés a számítástechnikában. A 8. osztályosok már képesek megbirkózni a számok decimálisról binárisra konvertálásával és fordítva.
4. 29/2=14 1 maradékkal. A már kapott kettes számjegyekre külön írjuk.
5. 14/2=7. Az osztás maradéka 0.
6. Még egy kicsit, és a bináris kód készen lesz. 7/2=3 1 maradékával, amit beírunk a jövőbeli bináris kód válaszába.
7. 3/2 = 1 1 maradékkal. Innentől két egységet írunk a válaszba. Az egyik - maradékként, a másik - az utolsó megmaradt szám, amely már nem osztható 2-vel.

Emlékeztetni kell arra, hogy a válasz be van írva fordított sorrendben. Az első műveletből származó első bináris szám az utolsó számjegy lesz, a másodikból az utolsó előtti, és így tovább. A végső válaszunk a 11101001.

Ezt rögzíti a számítógép memóriájában, és ebben a formában tárolja mindaddig, amíg a felhasználó meg nem akarja nézni a monitor képernyőjén. Bit, bájt, megabájt, gigabyte - az információ mértékegységei a számítástechnikában. Ebben a mennyiségben tárolódnak a bináris adatok a számítógépben.

Számok fordított átalakítása binárisról decimális rendszerre

A megvalósítás érdekében fordított fordítás bináris értékről decimális számrendszerre, a képletet kell használnia. Egy bináris értékben számoljuk a karakterek számát, 0-tól kezdve. Esetünkben 8 van, de ha nullától kezdjük a számolást, akkor azok véget érnek. sorozatszám 7. Most meg kell szoroznia a kód minden számjegyét 2-vel 7, 6, 5,…, 0 hatványára.

1*2 7 +1*2 6 +1*2 5 +0*2 4 +1*2 3 +0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 =233. Itt a miénk magszám, amelyet még a bináris kódra történő fordítás előtt vettek át.

Most már ismeri a számítógépes eszköz lényegét és az információ tárolásának minimális mértékét.

Minimális információs egység: leírás

Mint fentebb említettük, az információ legkisebb mérését bitnek tekintjük. Ez a szó angol eredetű, lefordítva azt jelenti: "bináris számjegy". Ha a másik oldalról nézzük ezt az értéket, akkor azt mondhatjuk, hogy ez egy memóriacella az elektronikus számítógépekben, amely 0 vagy 1 formában van tárolva. A bitek bájtokká, megabájtokká és még nagyobb mennyiségű információvá alakíthatók. Elektronikus Számológép Maga is részt vesz egy ilyen eljárásban, amikor bináris kódot ment a merevlemez memóriacelláiba.

Előfordulhat, hogy egyes számítógép-felhasználók manuálisan és gyorsan át akarják konvertálni a digitális információmennyiség mértékét egyikről a másikra. Az online számológépeket ilyen célokra fejlesztették ki.

Az információ mértékegységei a számítástechnikában: mennyiségi táblázat

A számítógépek, pendrive-ok és egyéb tároló- és információfeldolgozó eszközök memóriakapacitásukban különböznek, amelyet általában gigabájtban számítanak ki. Meg kell nézni a fő mennyiségi táblázatot, hogy lássuk az információ egy mértékegységének összehasonlíthatóságát a számítástechnikában növekvő sorrendben a másodikkal.

Az információ maximális mértékegységének felhasználása

Napjainkban az ügynökség a maximális mennyiségű információ felhasználását tervezi, amit yottabyte-nak neveznek. nemzetbiztonság től beszerzett összes hang- és képanyag tárolása céljából közterületek ahol videokamerák és mikrofonok vannak felszerelve. Tovább Ebben a pillanatban A yottabyte a számítástechnika legnagyobb információs egysége. Ez a határ? Nem valószínű, hogy most valaki tud pontos választ adni.

Sziasztok, a blogoldal kedves olvasói! Olyan körülmények között gyors fejlődés információs technológiák Jó lenne ismereteket szerezni néhány alapvető szempontról, legalább az alapvető szempontokról. Ez nagy segítség lehet a jövőben.

Az interneten, amelyet a számítógépeknek köszönhetően használunk, minden információ titkosított digitális formátumban kerül tárolásra vagy továbbításra, ezért meg kell határozni az adatok mennyiségének mérését, mert ettől függ a szisztematikus munkavégzés módja. Ezek a mértékegységek a bitek és a bájtok.

Hasonlatosan az általunk ismertekkel fizikai egységek mérések, amelyek nagy méretükben a számítás megkönnyítése érdekében nagyító előtagokat kapnak (1000 méter = 1 kilométer, 1000 gramm = 1 kilogramm), az információs bájt egységnek is megvannak a származékai (kilobyte, megabyte, gigabyte stb.). A bitek és bájtok esetében azonban vannak árnyalatok, amelyekről részletesebben szólok.

Melyek az információs bit (bit) és a bájt (byte) egységei?

Hogy világosabb legyen, mindent részletesebben el kell magyaráznunk, és úgymond elölről kell kezdenünk. Mindazonáltal igyekszem elfogultság nélkül átadni az információkat matematikai képletekés feltételek. A helyzet az, hogy többféle helyzetszámrendszer létezik. Nem sorolom fel őket, mert erre nincs szükség.

Bináris és decimális számrendszerek

Ezek közül a leghíresebb, amellyel mindannyian nap mint nap találkozunk, a decimális rendszer. Ebben bármely szám számjegyekből áll (0-tól 9-ig), amelyek mindegyike egy számjegy, és szigorúan megfelelő pozíciót foglal el. Sőt, a bitmélység jobbról balra növekszik (egységek, tízek, százak, ezrek stb.).

Vegyük például a 249-es számot, amely a számjegyek 10-es szorzatának összegeként ábrázolható az adott számjegyhez tartozó hatványra:

249 = 2 × 10 2 + 4 × 10 1 + 9 × 10 0 = 200 + 40 + 9

Így a nulla számjegy egység (10 0), az első tízes (10 1), a második százas (10 2) stb. A számítógépben, mint másokban elektronikus eszközök, minden információt fájlokba () osztanak szét és ennek megfelelően kódolnak digitális formátumban, illetve a könnyű kezelhetőség miatt kettes számrendszert alkalmaznak, amit külön tárgyalok.

BAN BEN kettes számrendszer A számokat mindössze két számjegy ábrázolja: 0 és 1. Próbáljuk meg beírni a 249-es számot, amelyet már tárgyaltunk, a kettes rendszerbe, hogy megértsük a lényegét. Ehhez osszuk el 2-vel, és kapjunk egy egész hányadost 1 maradékával. Ez lesz a legalacsonyabb számjegy, ami, mint ebben az esetben decimális rendszer, jobb szélen.

Ezután folytatjuk az osztási műveletet, és minden alkalommal elosztjuk az egész számokat 2-vel, 0 vagy 1 maradékot hagyva. Ezeket egymás után jobbról balra írjuk, végül 249-et kapunk a bináris rendszerben. Az osztási műveletet addig kell végrehajtani, amíg az eredmény nulla nem lesz:

249/2 = 124 (1 maradék) 124/2 = 62 (0 maradék) 62/2 = 31 (0 maradék) 31/2 = 15 (1 maradék) 15/2 = 7 (1 maradék) 7/2 = 3 (maradék 1) 3/2 = 1 (fennmaradó 1) 1/2 = 0 (maradék 1)

Most felírjuk a maradék számokat egymás után jobbról balra, és megkapjuk a kísérleti számunkat a bináris rendszerben:

11111001

Annak érdekében, hogy ne maradjanak sötét foltok, fordított műveletet hajtunk végre, és megpróbáljuk ugyanazt a számot binárisból decimális rendszerbe konvertálni, ugyanakkor ellenőrizzük a fenti műveletek helyességét. Ehhez ismét megszorozzuk sorrendben balról jobbra nullát vagy egyet 2-vel a számjegynek megfelelő hatványra (a decimális rendszer analógiájára):

1 × 2 7 + 1 × 2 6 + 1 × 2 5 + 1 × 2 4 + 1 × 2 3 + 0 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 = 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 249

Mint látható, minden sikerült, és egy kettes rendszerben írt számot tudtunk átalakítani decimális számrendszerbeli ábrázolására.

Hány bit van egy bájtban, ha bináris rendszert használunk a számítástechnikában

Nem véletlenül adtam egy rövid matematikai kitekintést közvetlenül fent, hiszen az elektronikai eszközökben használt mérés alapjául a bináris rendszer szolgál. Az információmennyiség alapegysége, amely a bináris rendszerben egy számjegynek felel meg, pontosan a bit.

Ez a kifejezés az angol kifejezésből származik b inary dig azt (bit), ami azt jelenti bináris szám. Így egy bit csak két lehetséges értéket vehet fel: 0 vagy 1. Ez az informatikában két teljesen egyenlő eredményt jelent a valószínűség szempontjából ("igen" vagy "nem"), és nem tesz lehetővé más értelmezést.

Ez nagyon fontos a rendszer helyes működése szempontjából. Menj tovább. A számítógép által egyszerre feldolgozott bitek száma bájtnak nevezik. 1 bájt 8 bitnek felel meg, és ennek megfelelően 2 8 (256) érték egyikét veheti fel, azaz 0 és 255 között:

Tehát most már biztosan tudjuk, mi a bájt, és milyen szerepet játszik mértékegységként a tárolt és feldolgozott információk feldolgozásakor. digitális formában. Egyébként a nemzetközi formátumban egy bájt kétféleképpen jelölhető - bájt vagy B.

Számológép segítségével decimális formátumú számokat binárissá alakíthat. Ha Windows 7-et használ, ezt az eszközt így hívhatja meg: Start - Minden program - Kellékek - Számológép. A „Nézet” menüben válassza a lehetőséget "Programozó" formátumés írja be a kívánt számot (az én példámban 120):

Most kapcsolja be a „Bin” és az „1 byte” rádiógombokat, amely után bejegyzést kap adott szám bináris rendszerben:

Mire kell itt figyelni? Először, a kijelző sora csak hét bitet mutat (nulla vagy egyes értékű biteket), bár már tudjuk, hogy nyolcnak kell lennie, ha a bájt értéke 0 és 255 között van:

Itt minden egyszerű. Ha a legjelentősebb számjegy (bit), amely a bal szélen található, 0 értéket vesz fel, akkor egyszerűen nincs kiírva. Két vagy több nulla bit is kimarad (hasonlóan a decimális számok- elvégre százra például nem írunk 0 ezret).

A bizonyíték lehet teljes rekord az eredményül kapott szám, amely megjelenik apró betűs csak lent:

0111 1000

Ha vigyázol, meglátod mi itt a második dolog?. Ez egy két részből álló írásmód, amelyek mindegyike négy bitből áll. A számítástechnikában is létezik olyan fogalom, mint rágcsálni, vagy rágcsálni(rágcsál). Ez azért kényelmes, mert egy nibble számjegyként ábrázolható a programozásban széles körben használt hexadecimális rendszerben.

Az adatok feldolgozása több mint 1 bájtot vesz igénybe – mi van akkor?

Fentebb beszéltünk arról, hogy egy bájt nyolc bitet tartalmaz. Ez lehetővé teszi, hogy kifejezzük a 256-ot (kettőt a nyolcadik hatványig) különböző jelentések. A gyakorlatban azonban ez általában messze nem elegendő, és sok esetben nem egy, hanem több bájtot kell használni. Példaként használjuk újra a Windows számológépet, és alakítsuk át az 1000-et binárissá:

Amint látja, ehhez le kellett csípnünk pár bitet a második bájtból. A gyakorlatban a számítógépeknek meglehetősen nagy mennyiségű információt kell feldolgozniuk. olyan fogalmat használnak, mint gépszó, amely 16, 32, 64 bitet tartalmazhat.

Segítségükkel 2 16, 2 32 és 2 64 különböző értéket fejezhet ki. De ebben az esetben nem beszélhetünk 2, 4 vagy 8 bájtról, ezek egy kicsit különböző dolgok. Innentől kezdve nőnek a lábak például a 32-, 64-bites (-bites) processzorok vagy egyéb eszközök említésétől.

Hány bájt van egy kilobájtban, megabájtban, gigabájtban, terabájtban?

Nos, itt az ideje, hogy továbblépjünk a bájtos származékokra, és képzeljük el, milyen nagyítási előtagokat használunk itt. Végül is egy bájt egységként nagyon kicsi érték, és a kényelem érdekében nagyon hasznos olyan analógokat használni, amelyek 1000 B, 1 000 000 B stb. Itt is van néhány árnyalat, amelyeket az alábbiakban tárgyalunk.

Szigorúan véve a mennyiségek ábrázolására helyes a kettes számrendszer előtagjai használata, amelyek 2 10 (1024) többszörösei. Ezek a kibibyte, mebibyte, gebibyte stb.

1 kibibyte = 2 10 (1024) bájt 1 mebibyte = 2 10 (1024) kibibyte = 2 20 (1 048 576) bájt 1 gebibyte = 2 10 (1024) mebibyte = 2 20 (1 044) mebibájt = 2 20 (1 044) bájt = 2 20 (1 044) 3 7 (1 048) 3 4) bájt 1 tebibyte = 2 10 (1024) gebibyte = 2 20 (1 048 576) mebibyte = 2 30 (1 073 741 824) kibibyte = 2 40 (1 099 511 627 776) bájt

De ezek a kifejezések nem terjedtek el széles körben. Talán az egyik oka a kakofóniájuk volt. Ezért a felhasználók (és nem csak) mindenhol decimális előtagokat (kilobyte, megabyte, gigabyte, terabyte) használnak a binárisok helyett, ami nem teljesen helyes, hiszen lényegében (a decimális számrendszer szabályai szerint) ez a következő:

1 kilobájt = 10 3 (1000) bájt 1 megabájt = 10 3 (1000) kilobyt = 10 6 (1 000 000) bájt 1 gigabájt = 10 3 (1000) megabájt = 10 6 (1 000 000) kilobájt = 10 9 (1 000 000 000) bájt 1 terabájt = 10 3 (1000) gigabájt = 10 6 (1 000 000) megabájt = 10 9 (1 000 000 000) kilobájt = 10 12 (1 000 000 000 000) bájt

De mivel ez megtörtént, semmit sem lehet tenni. Csak fontos megjegyezni, hogy a gyakorlatban a kilobyte-ot (KB), a megabájtot (MB), a gigabyte-ot (GB), a terabyte-ot (TB) gyakran pontosan a bájt származékaiként használják a bináris információ mennyiségének mértékegységeként. rendszer. És ebben az esetben például a „kilobyte” kifejezést használják, ami pontosan 1024 bájtot jelent, és semmi mást.

Azonban a tárolóeszközök (beleértve a merevlemezeket, flash meghajtókat, DVD-ket és CD-ket) gyártói nagyon gyakran használnak decimális előtagokat a rendeltetésüknek megfelelően (1 KB = 1000 bájt), amikor az információ tárolására szolgáló kötetet megadják, míg ugyanaz a Windows például binárisan számítja ki a méretüket.

Ez bizonyos következetlenségekhez vezet, amelyek megzavarhatják az átlagos felhasználót. Mondjuk a dokumentáció kimondja Lemezkapacitás 500 GB, miközben a Windows megjeleníti térfogata 466,65 GB.

Valójában nincs eltérés, csak a meghajtó mérete van benne különböző rendszerek halott számonkérés (ugyanaz a csonk, csak az oldalán). Ez rendkívül kényelmetlen a tapasztalatlan felhasználók számára, de, mint mondtam, el kell viselnie.

Összefoglalva a következőket szeretném megjegyezni. Tegyük fel, hogy felteszik a kérdést: hány bájt van egy kilobájtban? Elméletileg a helyes válasz: 1 kilobyte egyenlő 1000 bájttal. Csak emlékeznie kell arra, hogy a gyakorlatban a decimális előtagokat többnyire bináris előtagként használják, amelyek oszthatók 1024-gyel, bár néha a rendeltetésüknek megfelelően használják őket, és oszthatók 1000-rel.

Ez az aritmetika, remélem nem vagy összetévedve. A kiadványban említettem kilobyte-ot, megabyte-ot, gigabyte-ot és terabyte-ot, de mi lesz ezután? Milyen más nagyobb információegységek lehetségesek? Erre a kérdésre egy táblázat ad választ, amely nemcsak az egységek arányát mutatja mindkét rendszerben, hanem azok megnevezését is nemzetközi és orosz formátumban:

Ha gyorsan meg akarja határozni például, hogy hány megabájt van egy gigabájtban (bár egy tapasztalt felhasználó ebben az esetben természetesen könnyen megteheti táblázat nélkül), akkor keresse meg a táblázatban a bájtok számának megfelelő cellákat. megabájtban és gigabájtban, majd ossza el magasabb értéket kevesebbért.

10 9 /10 6 = 1 000 000 000/1 000 000 = 1000

Kiderült, hogy 1 gigabájtban 1000 megabájt van. Ugyanígy konvertálhatja a származékokat a bináris rendszerben - mebibyte-okat kibibyte-okra, tebibyte-okat gibibájtokra stb.

Konvertálja a bájtokat bitekké, kilobájtokká, megabájtokká, gigabájtokká, terabájtokká egy online konverterben

A publikáció hiányos lenne, ha nem adnék olyan eszközt, amellyel a bájtokat különféle származékokká konvertálhatná. A hálózaton számos különféle konverter található, amelyeken keresztül elvégezheti ezeket az egyszerű műveleteket. Itt van az egyik közülük, ami tetszett.

Ez a konverter kényelmes, mert a bájtok számának megadásával azonnal megkaphatja az eredményt minden lehetséges dimenzióban (beleértve a bitek bájtokká konvertálását is):

Tól től ezt a példát Ebből következik, hogy 3072 bájt egyenlő 24576 bittel, 3,0720 kilobájttal vagy 3 kibibyte-tal. Ezenkívül az alábbiakban mini számológépekre mutató hivatkozások találhatók, amelyek segítségével gyorsan átválthat egy adott mértékegységrendszerből a másikba.

Másodrendű lineáris differenciálegyenlet formaegyenletnek nevezzük

y"" + p(x)y" + q(x)y = f(x) ,

Ahol y a keresendő függvény, és p(x) , q(x) És f(x) - folyamatos függvények egy bizonyos intervallumon ( a, b) .

Ha jobb rész az egyenlet nulla ( f(x) = 0), akkor az egyenletet nevezzük lineáris homogén egyenlet . Ennek a leckének a gyakorlati részét főként az ilyen egyenleteknek szentelik. Ha az egyenlet jobb oldala nem egyenlő nullával ( f(x) ≠ 0), akkor az egyenletet nevezzük.

A feladatokban meg kell oldanunk az egyenletet y"" :

y"" = −p(x)y" − q(x)y + f(x) .

Lineáris differenciál egyenletek másodrendű egyedi megoldással rendelkezik Cauchy problémák .

Lineáris homogén másodrendű differenciálegyenlet és megoldása

Tekintsünk egy másodrendű lineáris homogén differenciálegyenletet:

y"" + p(x)y" + q(x)y = 0 .

Ha y1 (x) És y2 (x) adott megoldásai ennek az egyenletnek, akkor a következő állítások igazak:

1) y1 (x) + y 2 (x) - ennek az egyenletnek a megoldása is;

2) Cy1 (x) , Ahol C- egy tetszőleges állandó (konstans), ennek az egyenletnek a megoldása is.

Ebből a két állításból az következik, hogy a függvény

C1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x)

megoldása is ennek az egyenletnek.

Jogos kérdés merül fel: ez a megoldás másodrendű lineáris homogén differenciálegyenlet általános megoldása , vagyis olyan megoldás, amelyben különböző értékekre C1 És C2 Meg lehet kapni az egyenlet összes lehetséges megoldását?

A válasz erre a kérdésre: lehet, de bizonyos feltételek mellett. Ez feltétele, hogy az egyes megoldásoknak milyen tulajdonságokkal kell rendelkezniük y1 (x) És y2 (x) .

És ezt az állapotot állapotnak nevezik lineáris függetlenség privát megoldások.

Tétel. Funkció C1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) egy lineáris homogén másodrendű differenciálegyenlet általános megoldása, ha a függvények y1 (x) És y2 (x) lineárisan független.

Meghatározás. Funkciók y1 (x) És y2 (x) lineárisan függetlennek nevezzük, ha arányuk állandó, nem nulla:

y1 (x)/y 2 (x) = k ; k = const ; k ≠ 0 .

Ennek meghatározása azonban, hogy ezek a függvények lineárisan függetlenek-e, gyakran nagyon munkaigényes. Van mód a lineáris függetlenség megállapítására a Wronski-determináns használatával W(x) :

Ha a Wronski-determináns nem egyenlő nullával, akkor a megoldások lineárisan függetlenek . Ha a Wronski-determináns nulla, akkor a megoldások lineárisan függenek.

1. példa Keresse meg egy lineáris homogén differenciálegyenlet általános megoldását!

Megoldás. Kétszer integrálunk, és amint jól látható, ahhoz, hogy egy függvény második deriváltja és maga a függvény közötti különbség nullával egyenlő legyen, a megoldásokat olyan exponenciálishoz kell társítani, amelynek deriváltja önmagával egyenlő. Vagyis a részmegoldások és .

Mivel a Wronski-határozó

nem egyenlő nullával, akkor ezek a megoldások lineárisan függetlenek. Ezért ennek az egyenletnek az általános megoldása így írható fel

.

Lineáris homogén másodrendű differenciálegyenletek állandó együtthatóval: elmélet és gyakorlat

Lineáris homogén másodrendű differenciálegyenlet -val állandó együtthatók formaegyenletnek nevezzük

y"" + py" + qy = 0 ,

Ahol pÉs q- állandó értékek.

Azt, hogy ez egy másodrendű egyenlet, jelzi a kívánt függvény másodlagos deriváltjának jelenléte, homogenitását pedig nulla jelzi a jobb oldalon. A fent már említett értékeket állandó együtthatóknak nevezzük.

Nak nek oldjon meg egy lineáris homogén másodrendű differenciálegyenletet állandó együtthatókkal , először meg kell oldania a forma úgynevezett karakterisztikus egyenletét

k² + pq + q = 0 ,

amely, mint látható, egy közönséges másodfokú egyenlet.

A döntéstől függően karakterisztikus egyenlet három különböző lehetőség lehetséges lineáris homogén másodrendű differenciálegyenlet megoldásai állandó együtthatókkal , amelyet most elemezünk. A teljes határozottság érdekében feltételezzük, hogy az összes konkrét megoldást a Wronski-determináns tesztelte, és nem minden esetben egyenlő nullával. A kételkedők azonban ezt maguk is ellenőrizhetik.

A karakterisztikus egyenlet gyökerei valóságosak és különállóak

Más szavakkal, . Ebben az esetben a lineáris homogén másodrendű differenciálegyenlet konstans együtthatókkal a megoldása

.

2. példa Oldjon meg egy lineáris homogén differenciálegyenletet!

.

3. példa Oldjon meg egy lineáris homogén differenciálegyenletet!

.

Megoldás. A karakterisztikus egyenletnek van formája, gyökerei, valódiak és megkülönböztethetők. Az egyenlet megfelelő részmegoldásai: és . Ennek a differenciálegyenletnek az általános megoldása a következő alakkal rendelkezik

.

A karakterisztikus egyenlet gyöke valós és egyenlő

Azaz . Ebben az esetben a lineáris homogén másodrendű, állandó együtthatójú differenciálegyenlet megoldása a következőképpen alakul:

.

4. példa Oldjon meg egy lineáris homogén differenciálegyenletet!

.

Megoldás. Karakterisztikus egyenlet Megvan egyenlő gyökerek. Az egyenlet megfelelő részmegoldásai: és . Ennek a differenciálegyenletnek az általános megoldása a következő alakkal rendelkezik

5. példa Oldjon meg egy lineáris homogén differenciálegyenletet!

.

Megoldás. A karakterisztikus egyenletnek egyenlő gyöke van. Az egyenlet megfelelő részmegoldásai: és . Ennek a differenciálegyenletnek az általános megoldása a következő alakkal rendelkezik

Itt a Lagrange-állandók variációs módszerét alkalmazzuk lineáris inhomogén másodrendű differenciálegyenletek megoldására. Részletes leírás oldalon ismertetjük ezt a tetszőleges sorrendű egyenletek megoldásának módszerét
Magasabb rendű lineáris inhomogén differenciálegyenletek megoldása Lagrange-módszerrel >>>.

1. példa

Oldjon meg egy másodrendű differenciálegyenletet állandó együtthatókkal a Lagrange-állandók variációs módszerével:
(1)

Megoldás

Először oldjuk meg a homogén differenciálegyenletet:
(2)

Ez egy másodrendű egyenlet.

A másodfokú egyenlet megoldása:
.
Több gyökér: . A (2) egyenlet alapvető megoldási rendszere a következőképpen alakul:
(3) .
Innentől kapjuk az általános megoldást homogén egyenlet (2):
(4) .

A C állandók változtatása 1 és C 2 . Vagyis a (4)-ben lévő konstansokat függvényekkel helyettesítjük:
.
Megoldást keres eredeti egyenlet(1) mint:
(5) .

A származék megkeresése:
.
Kössük össze a függvényeket és az egyenletet:
(6) .
Akkor
.

Megtaláljuk a második származékot:
.
Helyettesítse be az eredeti (1) egyenletet:
(1) ;



.
Mivel és teljesül a (2) homogén egyenlet, az utolsó három sor minden oszlopában szereplő tagok összege nullát ad, és az előző egyenlet a következő alakot ölti:
(7) .
Itt .

A (6) egyenlettel együtt egy egyenletrendszert kapunk a függvények meghatározására, és:
(6) :
(7) .

Egyenletrendszer megoldása

Megoldjuk a (6-7) egyenletrendszert. Írjunk ki kifejezéseket a függvényekhez és:
.
Megtaláljuk származékaikat:
;
.

A (6-7) egyenletrendszert Cramer módszerrel oldjuk meg. Kiszámoljuk a rendszermátrix determinánsát:

.
A Cramer-képleteket használva a következőket kapjuk:
;
.

Tehát megtaláltuk a függvények származékait:
;
.
Integráljunk (lásd: Módszerek a gyökerek integrálására). Csere elvégzése
; ; ; .

.
.

;
.

Válasz

2. példa

Oldja meg a differenciálegyenletet a Lagrange-állandók variációs módszerével:
(8)

Megoldás

1. lépés: A homogén egyenlet megoldása

Megoldjuk a homogén differenciálegyenletet:

(9)
Formában keresünk megoldást . Összeállítjuk a karakterisztikus egyenletet:

Ennek az egyenletnek van összetett gyökerek:
.
Az ezeknek a gyökereknek megfelelő megoldások alapvető rendszere a következő:
(10) .
A (9) homogén egyenlet általános megoldása:
(11) .

2. lépés. Állandók variálása – konstansok helyettesítése függvényekkel

Most változtatjuk a C állandókat 1 és C 2 . Ez azt jelenti, hogy a (11) konstansokat függvényekkel helyettesítjük:
.
Az eredeti (8) egyenletre keresünk megoldást a következő formában:
(12) .

Továbbá a megoldás előrehaladása ugyanaz, mint az 1. példában következő rendszer függvények meghatározására szolgáló egyenletek és:
(13) :
(14) .
Itt .

Egyenletrendszer megoldása

Oldjuk meg ezt a rendszert. Írjuk fel az és a függvények kifejezéseit:
.
A származékok táblázatából a következőket találjuk:
;
.

A (13-14) egyenletrendszert Cramer módszerrel oldjuk meg. A rendszermátrix meghatározója:

.
A Cramer-képleteket használva a következőket kapjuk:
;
.

.
Mivel a logaritmusjel alatti modulusjel elhagyható. Szorozzuk meg a számlálót és a nevezőt a következővel:
.
Akkor
.

Az eredeti egyenlet általános megoldása:


.

Ebben a bekezdésben lesz szó különleges eset másodrendű lineáris egyenletek, amikor az egyenlet együtthatói állandóak, azaz számok. Az ilyen egyenleteket állandó együtthatójú egyenleteknek nevezzük. Ez a fajta egyenlet különösen széles körben alkalmazható.

1. Lineáris homogén differenciálegyenletek

Tekintsük az egyenletet

amelyben az együtthatók állandók. Feltéve, hogy az egyenlet összes tagját elosztjuk és jelöljük

írjuk le adott egyenlet mint

Mint ismeretes, megtalálni általános megoldás másodrendű lineáris homogén egyenlet, elég tudni alapvető rendszer privát megoldások. Mutassuk meg, hogyan találhatunk parciális megoldások alapvető rendszerét egy homogén lineáris differenciálegyenlethez állandó együtthatókkal. Ennek az egyenletnek egy konkrét megoldását fogjuk keresni a formában

Ezt a függvényt kétszer differenciálva és a kifejezéseket behelyettesítve az (59) egyenletbe, megkapjuk

Mivel tehát -vel redukálva megkapjuk az egyenletet

Ebből az egyenletből meghatározzuk azokat a k értékeit, amelyekre a függvény az (59) egyenlet megoldása lesz.

A k együttható meghatározására szolgáló (61) algebrai egyenletet az (59) differenciálegyenlet karakterisztikus egyenletének nevezzük.

A karakterisztikus egyenlet egy másodfokú egyenlet, ezért két gyöke van. Ezek a gyökök lehetnek valós különálló, valódi és egyenlő, vagy összetett konjugátumok.

Nézzük meg, milyen formában van az egyes megoldások alaprendszere ezekben az esetekben.

1. A karakterisztikus egyenlet gyökerei valósak és különbözőek: . Ebben az esetben a (60) képlet segítségével két részmegoldást találunk:

Ez a két sajátos megoldás mindvégig alapvető megoldási rendszert alkot számtengely, mivel a Wronski-determináns nem tűnik el sehol:

Következésképpen a (48) képlet szerinti egyenlet általános megoldásának alakja van

2. A karakterisztikus egyenlet gyökei egyenlők: . Ebben az esetben mindkét gyökér valódi lesz. A (60) képlet segítségével csak egy konkrét megoldást kapunk

Mutassuk meg, hogy a második partikuláris megoldásnak, amely az elsővel együtt alaprendszert alkot, van formája

Először is ellenőrizzük, hogy a függvény az (59) egyenlet megoldása-e. Igazán,

De mivel a (61) karakterisztikus egyenletnek van gyöke. Ráadásul Vieta tétele szerint ezért . Következésképpen , azaz a függvény valóban az (59) egyenlet megoldása.

Mutassuk meg most, hogy a talált részmegoldások alapvető megoldási rendszert alkotnak. Igazán,

Így ebben az esetben a homogén általános megoldása lineáris egyenletúgy néz ki, mint a

3. A karakterisztikus egyenlet gyökerei összetettek. Mint ismeretes, összetett gyökerek másodfokú egyenlet valós együtthatókkal konjugáltak komplex számok, azaz így néznek ki: . Ebben az esetben az (59) egyenlet részmegoldásai a (60) képlet szerint a következőképpen alakulnak:

Az Euler-képletekkel (lásd XI. fejezet, 5. §, 3. bekezdés) a kifejezések a következőképpen írhatók fel:

Ezek a megoldások átfogóak. Az érvényes megoldások megszerzéséhez vegye figyelembe az új funkciókat

Ezek a megoldások lineáris kombinációi, és ezért maguk is az (59) egyenlet megoldásai (lásd a 3. § 2. tételét, 1. tétel).

Könnyen kimutatható, hogy ezekre a megoldásokra a Wronski-determináns nem nulla, ezért a megoldások alapvető megoldási rendszert alkotnak.

Így egy homogén lineáris differenciálegyenlet általános megoldása abban az esetben összetett gyökerek karakterisztikus egyenletnek van alakja

Befejezésül bemutatunk egy képlettáblázatot az (59) egyenlet általános megoldásához a karakterisztikus egyenlet gyökeinek típusától függően.